高中数学 2.1.2直线方程(1)教案 新人教版必修2
人教课标版高中数学必修2《直线的两点式方程》名师课件2
（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；
方程为： x y 1
y 3
23
0 2x
（2）在x轴上的截距是5，在y轴上的截距是-6。
方程为： x y 1 56
y
0
5x
截距式方程作图很方便
-6
当堂练习
2.根据下列条件求直线的方程
（1）过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2； （2）过点（5，0），且在两坐标轴上的截距之差为2；
由已知得：
3 k b， 4 2k b，
解方程组得：
k b
1， 2，
所以，直线方程为: y=x+2.
待定系数法 方程思想
复习引入
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程． 你还有哪些做法？
解：由斜率公式得到斜率k 4 3 . 21
再由直线的点斜式方程得y 3 4 3 ( x 1)， 21
直线的两点式方程
复习引入
1、直线的点斜式方程：P1（x0，y0），斜率k
点斜式方程：y y0 kx x0 y
P0（x0,y0）
O
x
2、直线的斜截式方程：斜率k,截距b
斜截式方程：y kx b
y
O
b
x
P(0,b)
复习引入
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．
解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
即: x＋y－1＝0或2x＋3y＝0.
例题讲解 探究点二 直线的截距式方程及其应用
例2、(2)已知直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相 等，求直线l的方程．
法二：设直线 l 在两坐标轴上的截距均为 a. ①若 a＝0，则直线 l 过原点，此时 l 的方程为 2x＋3y＝0； ②若 a≠0，则 l 的方程可设为xa＋ay＝1， 因为直线 l 过点(3，－2)，知3a＋－a2＝1，即 a＝1. 所以直线 l 的方程为 x＋y＝1， 即 x＋y－1＝0. 综上可知，直线 l 的方程为 x＋y－1＝0 或 2x＋3y＝0.
高中数学2.1直线与方程2.1.3两条直线的平行与垂直第一课时两条直线的平行课件苏教版必修2
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 不 重 合 的 两 条 直 线 的 倾 斜 角 相 等 ， 则 它 们 一 定 互 相 平
行．
(√ )
(2) 如 果 两 条 直 线 互 相 平 行 ， 那 么 它 们 的 斜 率 一 定 相 等 ．
(×)
(3)直线 l1：ax＋y＋2a＝0 与 l2：x＋ay＋2＝0 互相平行，则
[活学活用] 1．若直线 l1：ax＋y＋2a＝0 与 l2：x两直线平行，所以 a2－1＝0，解得 a＝±1.
答案：±1
2．直线 l1 经过 A(3,4)，B(5,8)，直线 l2 经过点 M(1，－2)，N(0， b)，且 l1∥l2，则实数 b＝________. 解析：∵k1＝85－ －43＝2，k2＝b－＋12＝－(b＋2)， 又∵l1∥l2，∴k1＝k2， 即－b－2＝2，∴b＝－4. 答案：－4
应用两直线平行求参数值
[典例] 已知直线 l1：mx＋y－(m＋1)＝0，l2：x＋my－2m ＝0，当 m 为何值时，
(1)直线 l1 与 l2 互相平行？ (2)直线 l1 与 l2 重合？ [解] (1)若 l1∥l2，需满足
m2－1＝0， －2m2＋m＋1≠0，
解得 m＝－1.
[解] (1)k1＝1，k2＝33－ －11＝1，k1＝k2， ∴l1 与 l2 重合或 l1∥l2. (2)l1 与 l2 都与 x 轴垂直，通过数形结合知 l1∥l2. (3)k1＝01－ －10＝－1，k2＝2－0－－31＝－1，k1＝k2，数形结合 知 l1∥l2.
判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线 l1，l2 的斜率都存在，将它们的方程都化成 斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2； 则kb11＝ ≠kb22， ⇒l1∥l2. ②若两条直线 l1，l2 的斜率都不存在，将方程化成 l1：x＝x1， l2：x＝x2，则 x1≠x2⇒l1∥l2. (2)若直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1 不全为 0)，l2：A2x＋ B2y＋C2＝0(A2，B2 不全为 0)，由 A1B2－A2B1＝0 得到 l1∥l2 或 l1， l2 重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行．
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.2 直线的方程》
直线的方程——点斜式连云港外国语学校谭军港1教材分析本节内容是苏教版必修2第二章第一节局部的内容。
本节是在初中学习了平面几何和一次函数，之前一节又学习了直线的斜率的根底上，通过以点的集合的方式来研究直线图像上的点应该满足的方程的问题，起着承上启下的作用。
首先它是对初中平面几何知识和一次函数的延续，其次它也是培养平面解析几何思想，〔也就是用代数的方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数的方法研究几何问题〕用来解决后续的圆、圆锥曲线以及直线与圆、圆锥曲线关系等问题的根底。
其地位非常重要，这也是高考考纲中的C级要求知识点。
从研究直线方程开始，学生对“解析几何〞的学习进入了实质性阶段，“直线与方程〞关系的研究，是“曲线与方程〞的关系研究的前奏和根底，直线的点斜式方程的探索过程，对构建前后连贯，逻辑一致的研究过程与方法，起到了重要的根底作用，“直线的点斜式方程〞是“平面解析几何初步〞的起始课，也是高中平面解析几何的起始课，也将是学生亲自经历第一次“求曲线方程〞的探索实践。
所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何〞教学的效果刚刚接触“解析几何〞的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何〞的实质，而本节课那么以比拟浅显的问题开启“解析几何〞学习知识之门，通过求直线方程的一般步骤“建系、设点、代入、化简、验证〞这一本质规律对后续解析几何内容学习产生重要影响，因为它也是求“曲线方程〞的一般步骤。
“解析几何〞中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课那么以生动的具体事例有效地促进学生树立、稳固和熟练应用这些数学思想综上，本节课是高中数学教学中极为关键的内容，创设和实施优质的教学程序，在一定程度上影响着后面解析几何教学的成败2教学目标知识与技能1探索确定直线位置的几何要素，知道由一个点和斜率可以确定一条直线，探索、经历并掌握求直线的点斜式、斜截式方程过程与方法；2能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程，并有直线点斜式方程和斜截式方程代数形式的到直线的几何性质过程与方法1让学生经历求直线方程构建过程，培养学生观察、探究能力；2使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系〔方程的解与直线上点的坐标的关系〕，渗透数形结合等数学思想情感态度与价值观1使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力；2利用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，增进数学学习的情趣通过数学史的学习培养学生数学文化素养。
最新人教版高中数学必修2第三章《直线与方程_复习》教案1
第三章直线与方程复习整体设计教学分析本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容大致分为三个部分：(1)直线的倾斜角和斜率；(2)直线方程；(3)两条直线的位置关系．可采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识．在此基础上，教师可对一些关键处予以强调．比如可重申解析几何的基本思想——坐标法，并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求和要注意的问题，可让学生先阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位．三维目标通过总结和归纳直线与方程的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：①直线的倾斜角和斜率．②直线的方程和两直线的位置关系的应用．③激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．教学难点：①数形结合和分类讨论思想的渗透和理解．②处理直线综合问题的策略．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们知道学习是一个循序渐进的过程，更是一个不断积累的过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上基础梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚结束的本章．引出课题．思路2.为了系统掌握第三章的知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题①第一节是直线的倾斜角和斜率棳需 要注意什么?②第二节是直线的方程,有几种形式? 各自的适用范围怎样?③第三节是两直线的位置关系,分为哪些内容? 如何判断?④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合教材，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按教材的章节标题来分类．对于画知识结构图，可让学生合作交流，待学生有了不同画法后，先对比分析，再画本章的知识结构图．讨论结果：①直线的倾斜角(α)和斜率(k )：倾斜角范围：0°≤α<180°，斜率：k ∈R .k 与α的关系：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧不存在，α＝90°，tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，α∈[0°，90°)∪(90°，180°). 注意倾斜角为90°的直线的斜率不存在(分类讨论)．②直线方程的五种形式及适用范围：(a)斜截式：y ＝kx ＋b ，不含与x 轴垂直的直线．(b)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，不含与x 轴垂直的直线．(c)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，不含与x轴、y轴垂直的直线．(d)截距式：xa＋yb＝1，不含过原点和与x轴、y轴垂直的直线．(e)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，无限制(可表示任何直线)．注：两点式的“改良”(x－x1)(y2－y1)－(y－y1)(x2－x1)＝0，可表示任何直线．③分为：两条直线的位置关系及点到直线的距离和两条平行线间的距离．判定两条直线的位置关系(三种：相交、平行、重合)．设l1：y＝k1x＋b1，A1x＋B1y＋C1＝0；l2：y＝k2x＋b2，A2x＋B2y＋C2＝0.(a)l1∩l2＝P⇔k1≠k2或仅有一个不存在⇔A1B2－A2B1≠0；l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一个为零一个不存在⇔A1A2＋B1B2＝0.(b)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0.(c)l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0.④第三章的知识结构图如图1所示．从几何直观到代数表示(建立直线的方程)从代数表示到几何直观(通过方程研究几何性质和度量)图1应用示例思路11求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，－1)且与直线2x＋3y＋12＝0平行；(2)经过点Q(－1,3)且与直线x＋2y－1＝0垂直；(3)经过点R(－2,3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1,2)且与点A(2,3)、B(4，－5)距离相等；(5)经过点N(－1,3)且在x轴的截距与它在y轴上的截距的和为零．解：(1)2x＋3y－1＝0.(2)2x－y＋5＝0.(3)x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.(4)4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.(5)3x＋y＝0或x－y＋4＝0.224，求直线l 的方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，则当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24.∴m ＝±24.1．如果直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行，则a 等于( )A ．0 B.16 C ．0或1 D ．0或162．直线l 1：mx ＋(m －1)y ＋5＝0与l 2：(m ＋2)x ＋my －1＝0互相垂直，则m 的值是________．答案：1.D 2.m ＝0或m ＝－12拓展提升问题：过点M (1,2)作l 1交x 正半轴于A ，作l 2交y 正半轴于B ，若l 1⊥l 2，且AB 恰平分四边形OAMB 的面积，求直线AB 的方程．解：设l 1：y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，l 2：y －2＝－1k(x －1)，即x ＋ky －2k －1＝0.则A (1－2k ，0)，B (0,2＋1k)． 则|OA |·|OB |＝|MA |·|MB |，∴|1－2k |·|2＋1k |＝(2k )2＋4·1＋(1k)2.解得k ＝34或k ＝－43. 则A (－53，0)，B (0，103)或A (52，0)，B (0，54)． ∴AB 方程为x －53＋y 103＝1或x 52＋y 54＝1， 即6x －3y ＋10＝0或2x ＋4y －10＝0.课堂小结本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法，渗透了几种重要的数学思想方法．作业课本本章复习参考题A 组8、9、10.设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有基础知识的复习、基本题型的联系，又为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进行了归纳和总结．备课资料备用习题1．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都通过点P (2,3)，求经过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程．解：依题意得2a 1＋3b 1＋1＝0，这说明Q 1(a 1，b 1)在直线2x ＋3y ＋1＝0上，同理，Q 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋3y ＋1＝0上．因为两点确定一直线，所以经过两点Q 1(a 1，b 1)、Q 2(a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0.2．从点A (－4,1)出发的一束光线l ，经过直线l 1：x －y ＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B (1,6)，求入射光线l 所在的直线方程．解：设B (1,6)关于直线l 1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，y 0－6x 0－1·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4. ∴直线AB ′的方程为y －14－1＝x ＋43＋4，即3x －7y ＋19＝0. 故直线l 的方程为3x －7y ＋19＝0.3．已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点A (－1,2)、B (0,3)，试在l 上找一点P ，使得|P A |＋|PB |的值最小，并求出这个最小值．解：过点B (0,3)且与直线l 垂直的直线方程为l ′：y －3＝－12x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝－12x ＋3，得⎩⎨⎧ x ＝45，y ＝135，即直线l 与直线l ′相交于点Q (45，135)． 点B (0,3)关于点Q (45，135)的对称点为B ′(85，115)， 连接AB ′，则依平面几何知识，知AB ′与直线l 的交点P 即为所求．直线AB ′的方程为y －2＝113(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝113x ＋2713，得⎩⎨⎧x ＝1425，y ＝5325，即P (1425，5325)，相应的最小值为|AB ′|＝(－1－85)2＋(2－115)2＝1705.。
高中数学选择性必修一(人教版)《2.1.2两条直线平行和垂直的判定》课件
图示
l1 与 l2 中的一条斜率不
对应 l1 与 l2 的斜率都存在， 存在(倾斜角为 90°)，另
关系 分别为 k1，k2，则 l1⊥ 一条斜率 为零 (倾斜 角
l2⇔ k1·k2＝－1
为 0°)，则 l1 与 l2 的位置
关系是 l1⊥l2
(二)基本知能小试
1．已知直线 l1 的斜率 k1＝2，直线 l2 的斜率 k2＝－12，则 l1 与 l2
故选 A. 答案：A
2．已知定点 A(－1,3)，B(4,2)，以 A，B 为直径作圆，与 x 轴有 交点 C，则交点 C 的坐标是_______．
解析：以线段 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 C， 则 AC⊥BC.设 C(x,0)，则 kAC＝x－＋31，kBC＝x－－24， 所以x－＋31·x－－24＝－1.解得 x＝1 或 2. 所以 C 的坐标为(1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0)
解得ab＝ ＝－ 6. 1，
所以 D(－1,6)． (2)因为 kAC＝43－ －21＝1，kBD＝－6－1－05＝－1，
所以 kAC·kBD＝－1. 所以 AC⊥BD.故平行四边形 ABCD 为菱形．
二、应用性——强调学以致用 2．如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，
已知矩形花园长 AD 为 5 m，宽 AB 为 3 m， 其中一条小路定为 AC，另一条小路过点 D，问如何在 BC 上 找到一点 M，使得两条小路所在直线 AC 与 DM 互相垂直？
解：由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置如图所示， 由斜率公式可得 kAB＝2－5－－34＝13， kCD＝－0－3－36＝13，kAD＝－30－－3－4＝－3， kBC＝36－ －52＝－12.
高中数学2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式例题与探究新人教B版必修2
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式典题精讲例1 已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)，求证:A、B、C三点共线.思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).证法一:利用斜率公式.∵ｋAB==2，k AC==2,∴ｋAB=k AC.∴A、B、C三点共线.证法二:利用直线方程.设AB:y=kx+b，则∴∴直线AB的方程为y=2x-3.当x=4时，y=2×４-3=5，故点C(4，5)在AB上.∴A、B、C三点共线.绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.变式训练1若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,4)共线，则a的值等于_______________.思路解析:因为k AB=，k BC=，又因为三点A、B、C共线，所以k AB=k BC，即=，解得a=4.答案:4例2 设过定点A的直线l1的倾斜角为α.现将直线l1绕点A按逆时针方向旋转45°得到直线l2,设直线l2的倾斜角为β,请用α表示β的值.思路解析：先画出示意图,根据图形求解.答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得图2-2-(1,2)-1当0°≤α＜135°时,β=α+45°；当135°≤α＜180°时,β=α+45°-180°=α-135°．黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为β=α+45°.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0°≤α＜180°,故当135°≤α＜180°时,180°≤α+45°＜225°.故作为直线的倾斜角应减去180°.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.变式训练 2 如图2-2-(1,2)-2，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥ｌ2，求l1、l2的斜率.图2-2-(1,2)-2解：l1的斜率k1=tanα1=tan30°＝，∵ｌ2的倾斜角α2=90°+30°=120°，∴ｌ2的斜率k2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°＝.例3设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，若直线在x轴上的截距是-3，试确定m的值.思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件.解：令y=0，由题意得由①式，得m≠３且m≠-1.由②式，得3m2-4m-15=0，解得m=3或m=.因为m≠3，所以m=.绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在x轴上的截距，只需令y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式m2-2m-3≠０的解是m≠３且m≠-1；而方程3m2-4m-15=0的解是m=3或m=.变式训练3已知直线ax+by+c=0的图形如图2-2-(1,2)-3，则( )图2-2-(1,2)-3A.若c＞0，则a＞0，b＞0B.若c＞0，则a＜0，b＞0C.若c＜0，则a＞0，b＜0D.若c＜0，则a＞0，b＞0思路解析：∵直线ax+by+c=0的斜率k=＜0，∴ab＞0.又∵直线在x轴、y轴上的截距分别为与，∴＞0，＞0.∴ac＜0，bc＜0.若c＞0，则a＜0，b＜0；若c＜0，则a＞0，b＞0.选D.答案:D例4求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x、y轴上的截距.思路分析：按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x的取值即为直线在x轴上的截距;令x=0,则y 的取值即为直线在y轴上的截距.解:令y=0,则x=,于是直线在x轴上的截距为；令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y轴上的截距为；当k=时,直线在y轴上的截距不存在.黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对y轴截距是否存在的讨论，即忽视了k=的情形而造成错解.事实上，当k=时，分式无意义，此时的直线在y轴上的截距不存在.变式训练4一条直线经过点M(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是____________.思路解析：设直线在两轴上的截距均为 a.若a=0,则所求直线方程为3x-2y=0；若a≠0,则同上可求得直线方程为x+y=5.答案:3x-2y=0或x+y=5问题探究问题1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.若点P1与P2关于点M对称，则点M是P1、P2的中点.若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.若点P1与P2关于直线l对称，则直线l是线段P1P2的中垂线，它应同时满足两个条件，即P1、P2的中点在直线l上，且P1P2的连线与l垂直，也就是说，P1P2的中点坐标满足直线l的方程，且P1P2连线的斜率与直线l的斜率互为倒数.曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称.探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下：(1)点P(x0,y0)关于点M(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0);(2)点P(a,b)不在直线l：Ax+By+C=0上，P关于直线l的对称点为P′(x,y)的求法：因为PP′中点M()在l上,PP′⊥l,所以由方程组可解出P′(x0,y0).(3)几种特殊对称：点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于y=x的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m的对称点为(m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.问题2一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x、y以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗? 导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度.直线系y=kx+b中，若b为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若k为常数，它表示平行线系.平行线系关注的是斜率相等，垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁.对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成f1(x,y)+λｆ2(x,y)=0的形式，再解方程组求交点；也可赋予参数两个具体的值，将得到的两个方程联立方程组求交点坐标.探究：几种常见的直线系：(1)过定点的直线系直线y=kx+b(其中k为参数，b为常数)，它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y轴(即x=0).经过定点M(x0，y0)的直线系y-y0=k(x-x0)(k为参数)，它表示经过定点(x0，y0)的直线系，但不包括平行于y轴的那一条(即x=x0).(2)已知斜率的直线系y=kx+b(k为常数，b为参数)，它表示斜率为k的平行直线系.若已知直线l：Ax+By+C=0，与l平行的直线系为Ax+By+m=0(m为参数,且m≠C).若已知直线l：Ax+By+C=0，与l垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n为参数).(3)经过两条直线交点的直线系经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2：A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m、n为参数，m2+n2≠0).当m=1，n=0时，方程即为l1的方程；当m=0，n=1时，方程即为l2的方程.上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为实数).但是，方程中不包括直线l2，这个形式的直线系方程在解题中常见.。
陕西省西安市高新第一中学北师大版高中数学必修二2.1.2 直线的方程教案
【教学案例】直线的方程（一）（西安高新一中）（一）教学分析1．学生起点分析：（1）学生已经具备的知识：点的坐标，直线的y截距，直线的倾斜角，直线的斜率，两点确定一条直线，（2）学生活动的经验基础：学生在初中甚至是在小学就基本掌握了过两点作一条直线，如何过直线外一点作一条直线的的平行线，其中最重要的体验就是要确定过该点的直线的倾斜方向，意识到确定直线需要的2个要素。
2．教学任务分析：（1）通过本节的学习，学生要明确确定直线的因素——经过的一个点和直线的方向。
（2）有了直线的点斜式方程，就可逐一探求出直线方程的其他形式。
探求过程本身并没有多少难度，但过程中体现出的思想方法却很有必要挖掘。
从点斜式到斜截式，是从一般到特殊的思维过程，用到了演绎思想；从点斜式到两点式，是从一般到一般的逻辑推理，依靠直线的斜率来过渡，体现了转化思想；从两点式到截距式，又是从一般到特殊的思维过程，再一次用到演绎思想。
（3）两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因而在教学中要突出点斜式方程。
（二）教学过程1．问题提出：方案一：我们知道，点的代数表示形式是坐标，那么点动成线，直线的代数表示形式会有吗？如果有，应该是什么？我们来探究。
方案二：一次函数的一般形式为y = kx + b，其图像为一条直线。
当一次项系数k> 0时，函数单调递增，图像呈上升趋势，是一条逐渐上升的直线；当一次项系数k< 0时，函数单调递减，图像呈下降趋势，是一条逐渐下降的直线；当一次项系数k = 0时，函数为常数函数，图像是一条与y轴垂直的直线。
问题提出：①从集合的角度看，直线可以看成什么？②在平面直角坐标系中，点的代数形式是什么？③一次函数的图像是怎么描绘出来的？④一次函数的解析式可以看成什么？⑤在平面直角坐标系中，直线的代数形式是什么？⑥从直线的代数形式上看，确定直线的因素是什么？⑦这些因素的几何意义你知道吗？是什么？⑧在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何因素是什么？⑨从对上面问题的解答中，你能抽象出与直线有着直接关系的数学概念吗？分别有哪些？你能对它们进行叙述或定义吗？⑩在平面直角坐标系中，所有直线都可以写成一次函数的解析式吗？问题解答：①可以看成点的集合。
高中数学人教版必修2 3.2.2直线的两点式方程 教案1
3.2.2《直线的两点式方程》教案【教学目标】1.直线的两点式方程的推导过程；2.直线的截距式方程的构成，了解直线方程截距式的形式特点及适用范围； 3 截距的含义。
掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围。
【导入新课】 问题导入：利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程。
（2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。
新授课阶段1.直线的两点式方程的推导过程已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）)1(232-=-x y（2）)(112121x x x x y y y y---=-指出：当21y y ≠时，方程可以写成),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式。
思考：若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y轴垂直，直线方程为：1y y=。
例1 已知直线l ：120kx y k -++= (1) 证明直线l 经过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（3） 若直线不经过第三象限，求k 的取值范围。
解：（1）（－2，1）；（2）由直线l 的方程得A （－12kk+，0），B （0，1＋2k)，由题知：－12kk+＜0，且1＋2k ＞0，∴k ＞0 ∵S=12 |OA||OB|=11(44)2k k++≥4．当且仅当k ＞0,4k=1k ,即k=12时，面积取最小值4，此时直线的方程是：x －2y ＋4=0．(3)由（2）知直线l 在坐标轴上的截距，直线不经过第四象限则－12kk+≤0，且1＋2k≥0，∴k ＞0。
2.1.2第1课时直线方程的点斜式 学案(高中数学必修2北师版)
1．2 直线的方程第1课时 直线方程的点斜式若直线经过点P (x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？ 【提示】 y －y 0＝k (x －x 0)． 1．直线的方程如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l 的方程： (1)直线l 上任一点的坐标(x ，y )都满足这个方程；(2)满足该方程的每一个数对(x ，y )所对应的点都在直线l 上． 2．直线方程的点斜式和斜截式(1)经过点A (－1,4)，斜率k ＝－3； (2)经过坐标原点，倾斜角为45°； (3)经过点B (3，－5)，倾斜角为90°； (4)经过点C (2,8)，D (－3，－2)．【思路探究】 解答本题可先分析每条直线的斜率是否存在，然后选择相应形式求解． 【自主解答】 (1)y －4＝－3[x －(－1)]，即y ＝－3x ＋1，图形如图(1)所示． (2)k ＝tan 45°＝1，∴y －0＝x －0，即y ＝x .图形如图(2)所示．(3)斜率k 不存在，∴直线方程为x ＝3.图形如图(3)所示．(4)k ＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y －8＝2(x －2)，即y ＝2x ＋4.图形如图(4)所示．1．求直线的斜率是解题的关键，利用“两点确定一条直线”作图．2．利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一点，并确定其坐标(x 0，y 0)；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时，方程为x ＝x 0)．本例第(4)问中“C (2,8)”改为“C (m,8)”，试写出满足条件的直线方程． 【解】 当m ＝－3时，斜率不存在，直线方程为x ＝－3；当m ≠－3时，k ＝8－(－2)m －(－3)＝10m ＋3，∴y －(－2)＝10m ＋3[x －(－3)]，即y ＝10m ＋3x ＋24－2m m ＋3.(2)已知直线l 的方程是2x ＋y －1＝0，求直线的斜率k ，在y 轴上的截距b ，以及与y 轴交点P 的坐标．【思路探究】 利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程．【自主解答】 (1)∵直线的斜率为2，在y 轴上截距是3， ∴直线方程的斜截式为y ＝2x ＋3.(2)把直线l 的方程2x ＋y －1＝0，化为斜截式为y ＝－2x ＋1， ∴k ＝－2，b ＝1，点P 的坐标为(0,1)．1．已知直线斜率或直线与y 轴有交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y 轴上也没有截距．写出斜率为2，在y 轴上截距为m 的直线方程，并求m 为何值时，直线过点(1,1)? 【解】 由题意知，直线方程为y ＝2x ＋m . 把点(1,1)代入得1＝2×1＋m ， ∴m ＝－1.【思路探究】 可以把直线l 的方程变形为点斜式或斜截式，根据其特点证明．【自主解答】 法一 将直线方程变形为y －35＝a (x －15)，它表示经过点A (15，35)，斜率为a 的直线．∵点A (15，35)在第一象限．∴直线l 必过第一象限．法二 将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a ＞0时，不论a 取何值，直线一定经过第一象限；当a ＝0时，y ＝35，直线显然过第一象限；当a ＜0时，3－a5＞0，直线一定经过第一象限．综上，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定过第一象限．1．法一是变形为点斜式，法二是变形为斜截式．2．解决此类问题关键是将方程转化为点斜式或斜截式来处理．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1，12) B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(－1，－12)【解析】 ∵直线方程可化为y －1＝m [x －(－2)]， ∴直线恒过定点(－2,1)．【答案】B忽视对字母的分类讨论致误求过两点(m,2)，(3,4)的直线方程．【错解】 ∵k ＝4－23－m ＝23－m，∴直线方程为y －4＝23－m(x －3)．【错因分析】 未考虑m 与3的关系导致错误的出现．【防范措施】 当m ＝3时斜率不存在，故应该讨论m 与3的关系． 【正解】 当m ＝3时，直线斜率不存在， ∴直线方程为x ＝3，当m ≠3时，k ＝23－m，∴直线方程为y －4＝23－m(x －3)．1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解．2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)【解析】由点斜式可得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．【答案】 D2．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,2 B．－3，－3C．－3,2 D．2，－3【解析】由斜截式方程形式可知，k＝2，b＝－3.【答案】 D3．倾斜角为150°，在y轴上截距为6的直线方程是________．【解析】∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33，又知直线在y轴上截距为6，∴y＝－33x＋6.【答案】y＝－33x＋64．已知直线的斜率为2，与x轴交点横坐标为－1，求直线方程．【解】∵直线过(－1,0)，k＝2，由点斜式得y＝2[x－(－1)]∴y＝2x＋2.一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为( )A ．y －2＝－33(x ＋4)B ．y －(－2)＝－33(x －4)C ．y －(－2)＝33(x －4)D ．y －2＝33(x ＋4)【解析】 k ＝tan 150°＝－33，∴y －(－2)＝－33(x －4)．【答案】 B2．方程y ＝kx ＋1k表示的直线可能是( )【解析】 斜率为k ，且k ≠0，在y 轴上的截距为1k.当k >0时，1k >0；当k <0时，1k<0，从而选B.【答案】 B3．直线l 过点(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 005，b )在l 上，则b 的值为( ) A ．2 009 B ．2 010 C ．2 011 D ．2 012【解析】 ∵直线斜率k ＝5－(－1)2－(－1)＝2，∴直线点斜式方程为y －5＝2(x －2)， ∴y ＝2x ＋1，令x ＝1 005，∴b ＝2 011. 【答案】 C4．方程y ＝k (x ＋4)表示( ) A ．过点(－4,0)的所有直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且除去x 轴的一切直线【解析】 显然y ＝k (x ＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x 轴的直线．【答案】 C 5．(2013·佛山高一检测)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 当a ＝0时，不满足条件，当a ≠0时，令x ＝0，y ＝a ＋2，令y ＝0，x ＝2＋aa.由已知得a ＋2＝2＋aa .∴(a ＋2)(1－1a)＝0.∴a ＝－2或a ＝1. 【答案】 D 二、填空题 6．(2013·平江高一检测)直线－x ＋3y －6＝0的倾斜角是________，在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝33x ＋23，∴tan α＝33，∴α＝π6，在y 轴上的截轴为2 3.【答案】 π6，2 37．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12.【答案】 －128．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．【解析】 由已知得直线方程 y ＋1＝tan 45°(x －4)， 即y ＝x －5.当x ＝0，y ＝－5，当y ＝0，x ＝5.∴被坐标轴所截得的线段长|AB |＝52＋52＝5 2. 【答案】 5 2 三、解答题9．写出下列直线的方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截轴是－2. (2)倾斜角是30°，过点(2,1)．【解】 (1)根据斜截式得直线方程为y ＝3x －2.(2)k ＝tan 30°＝33.∴直线方程为y －1＝33(x －2)，∴y ＝33x －233＋1.10．直线x －y ＋1＝0上一点P (3，m )，把已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°后得直线l ，求直线l 的方程．【解】 把点P (3，m )的坐标代入方程x －y ＋1＝0可得3－m ＋1＝0， ∴m ＝4，即P (3,4)．又∵已知直线方程可化为y ＝x ＋1， ∴k ＝1＝tan 45°， 即倾斜角为45°.。
2.1.2直线方程(1)(2014年人教A版数学必修二导学案)
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2．若一直线经过点 P1 ， 2 ，且斜率与直线 y 2 x 3 的斜率相等， 则该直线的方程是 ．
3．说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角： （1）y－2 ＝x－1
（2）y 2 3x 3
4．当 k 不断变化时，直线 y＝ k（x＋2）恒过点
．
5．已知点 P 的坐标为（1，—1） ，直线 l 的方程为 x 3 y 1 0 （1）求经过点 P 且与直线 l 斜率相等的直线方程； （2）求经过点 P 且倾斜角为直线 l 的倾斜角 2 倍的直线方程．
姓名：
学号：
第
学习小组
；
②适用条件： 3． （1）若直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为 0，b ，代入直线的点斜式， 得 ，我们称 b 为直线 l 在 y 轴上的 确定的， ．
这个方程是由直线 l 的斜率和它在 y 轴上的 所以叫做直线的 （2）直线的斜截式方程 ①截距： ②一般形式： ③适用条件： 方程．
姓名：
学号：
第
学习小组
（2）经过点 3， 1 ，斜率为
1 ； 2
（3）斜率为 2 ，在 y 轴上的截距为 2 ；
（4）斜率为
3 ，与 x 轴交点的横坐标为 7 ； 2
（5）经过点 3， 3 ，与 x 轴平行；
（6）经过点 3， 3 ，与 y 轴平行．
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课题:2.1.2 直线的方程（1）
班级： 【学习目标】 掌握直线方程的点斜式、斜截式，能根据条件熟练求出直线的方程。
【课前预习】 1.（1）已知：直线 l 经过点 A（2,3） ，B（1,4） ，则直线 l 的斜率 （2）已知：直线 l 经过点 A（m,3） ，B（1,4）且斜率为-3，则 m 的值为 （3）直线 l 经过点 A（1，3）,斜率为 2，点 P（-1，-1）在直线 l 上吗？ 2.（1）若直线 l 经过点 P0 x0，y 0 ，且斜率为 k ，则直线方程为 这个方程是由直线上 所以叫做直线的 （2）直线的点斜式方程 ①一般形式： 及其 方程． 确定的，
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.2 直线的方程》59
直线与方程盐城市亭湖高级中学 宋丽娜一、教学分析教材利用斜率公式推导出了直线的点斜式方程，利用直线的点斜式方程推导出了直线的斜截式方程，让学生讨论得出直线的两点式方程，在练习中给出了直线的截距式方程．值得注意的是本节所讨论直线方程的四种形式中，点斜式方程是基础是一个“母方程”，其他方程都可以看成是点斜式方程的“子方程”．二、三维目标1．掌握直线的点斜式方程和斜截式方程；了解直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，培养普遍联系的辩证思维能力．2．理解直线的两点式方程和截距式方程，并能探讨直线方程不同形式的适用范围，提高学生思维的严密性．3．会求直线方程，提高学生分析问题和解决问题的能力．三、重点难点教学重点：直线方程的四种形式及应用．教学难点：求直线方程．四、教学过程（一）基础训练1已知直线 过点（3，1），且倾斜角为直线﹣2﹣1 =0倾斜角的2倍，则直线 的斜截式方程为_____﹣412=0与6﹣81=0之间的距离d=______过点（1，1）且A （1，3）,B （5，-1）到直线 的距离相等，则 的方程为__________（二）知识梳理1、（1）直线的倾斜角与斜率（2）经过两点 111222(,),(,)P x y P x y 的直线的斜率公式2、直线的方程3、00(,):0P x y l Ax By C ++=点到直线的距离公式为：4 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=两条平行直线与之间的距离公式为：5（1）平面上两点间的距离（2）中点公式（三）数学应用 0,-2且与连结A-2,3和B3,2的线段 有公共点，则直线的斜率的范围为________变式1:已知直线过点2m ∈R ），那么直线的倾斜角的取值范围是_______________例2：过点ABC ∆(1,1),(3,2),(5,4)A B C 2－2m －3＋2m2＋m －1－2m ＋6＝0m ≠－1，直线在轴上的截距是-3,则实数m 的值为______ 2已知三条直线 和 共有三个不同的交点，则实数a 满足的条件为______________:-12=0 ∈R （1）证明：直线过定点；（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；（3）若直线交轴负半轴于A ，交轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线的方程五、课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？六、作业配套练习121212:60,:(2)320,(1),(2)//l x my l m x y m m l l l l ++=-++=⊥例3:已知直线求的值,使得: 10,280,x y x y ++=-+=350ax y +-=。
2.1.2-第2课时直线方程的两点式和一般式 教案 (高中数学必修二北师大版)
第2课时直线方程的两点式和一般式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式和一般式．难点：利用直线方程的各种形式求直线方程．两点式其实就是点斜式的变形，值得注意的是两点式方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1中的条件x1≠x2，y1≠y2，使得它既不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线．(教师用书独具)●教学建议本节课的教学内容为直线方程的两点式和一般式，在此之前，学生已掌握了直线方程的点斜式、斜截式，在本节教学时，通过师生探讨，得出直线的两点式和一般式方程，通过直线的两点式方程向截距式方程的过渡训练，让学生体会由一般到特殊的处理方法，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解直线方程的两点式、一般式⇒通过例1及互动探究使学生掌握灵活运用题目条件求直线方程⇒通过例2及变式训练使学生掌握一般式方程与其他方程的互化⇒通过例3及变式训练使学生掌握一般式方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？【提示】k AB＝y2－y1x2－x1由点斜式方程得y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)．1．两点式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)是直线l上的两点，则l的两点式为y－y1y2－y1＝x－x1 x2－x1.2．截距式：若直线l过A(a,0)，B(0，b)，(ab≠0)，则直线l的两点式方程可化为xa＋yb＝1的形式，这种形式的方程叫作直线方程的截距式．其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距．以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？【提示】能．直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．(1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．【思路探究】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点这两种情况．【自主解答】 (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式，得x 4＋y－5＝1化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线过P (2,3) ， ∴2＋3a ＝1，∴a ＝5， 直线方程为x ＋y －5＝0，所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.1．本题(3)中易漏掉截距都为0情况．2．直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意方程各种形式的适用范围．将本例(1)中的A 改(－2，m )，求直线方程． 【解】 当m ＝－1时直线方程为y ＝－1， 当m ≠－1时，由两点式得y －m －1－m ＝x －4－2－4，∴y ＝m ＋16x ＋m －13.定m 的值；(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式．【自主解答】 (1)由题意可得⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ② 由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④ 由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.1．本题的易错点是(1)中漏掉m 2－2m －3≠0，(2)中漏掉2m 2＋m －1≠0.2．把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为2，且经过点A (1，－1)．(2)斜率为12，在y 轴上的截距为1.【解】 (1)y －(－1)＝2(x －1)，即2x －y －3＝0.(2)y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．【思路探究】 解答本题可先把一般式方程化为点斜式方程，然后再由直线过定点(15，35)，说明直线l 恒过第一象限．对于求a 的取值范围可借助图形，利用“数形结合思想”求得．【自主解答】 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限， 故l 过第一象限．。
【步步高】高中数学 第二章 2.1.2直线的方程(一)配套名师课件 苏教版必修2
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．方程 y＝k(x－2)表示___③_____． ①通过点(－2,0)的所有直线； ②通过点(2,0)的所有直线； ③通过点(2,0)且不垂直于 x 轴的所有直线； ④通过点(2,0)且除去 x 轴的所有直线． 解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在， 故直线不垂直于 x 轴．
斜率？ 答 当 x1≠x2 时，kAB＝yx22－－yx11； 当 x1＝x2 时，直线的斜率不存在．
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问题 2 在直角坐标系内确定一条直线，应已知哪些条件？ 答 已知直线上的一个点和直线的倾斜角(斜率)可以确定 一条直线； 已知两点也可以确定一条直线．
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2.1.2 直线的方程
第一课时
【学习要求】 1．理解由斜率公式推导直线方程的点斜式的思路，掌握直
线方程的点斜式与斜截式的关系． 2．初步学会利用直线方程的知识解决有关的实际问题． 【学法指导】
通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探讨得 出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解“截距”与 “距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关 系，进一步培养数形结合的思想．
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探究点二 直线的斜截式方程 问题 1 已知直线 l 的斜率为 k，且与 y 轴的交点为(0，b)，
得到的直线 l 的方程是什么？ 答 将 k 及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.
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小结 我们称 b 为直线 l 在 y 轴上的截距．方程 y＝kx＋b 由 直线的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定，所以这个方程也 叫做直线的斜截式方程．
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。必修2直线的方程教案
集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题直线的倾斜角和斜率第 1 课时三维目标1．理解直线的倾斜角和斜率的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．通过一系列直线的不同位置的学习，培养学生的探究精神．3．通过几何问题用代数问题来处理的思维，培养学生的数形结合思想．重点倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式．中心发言人难点直线倾斜角与它的斜率之间的关系教具多媒体，学案课型新授课课时安排 1 课时教法讲练结合法学法类比归纳法个人主页教学过程【问题导思】1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？2．当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？3．直线l1，l2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．2．直线的倾斜角(1)定义：(2)范围：3．直线的斜率4．倾斜角、斜率及直线特点之间的联系5.过两点的直线斜率的计算公式例1：求直线的倾斜角设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°例2：求直线的斜率(1)直线过两点A(1,3)、B(2,7)，求直线的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的倾斜率例3：直线的倾斜角、斜率的综合应用已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(3,1)，且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围．课堂小结：1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置状态的两种基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时斜率公式才成立．3．斜率公式与两点的顺序无关，它是以后研究直线方程的各种形式的基础，须熟记并会灵活运用．4．利用斜率相等，是解决三点共线问题的有效途径，但要确保直线的斜率存在.教后反思审核人签字：年月日集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题直线方程的点斜式第 1 课时三维目标1．(1)掌握直线方程的点斜式．(2)了解斜截式与一次函数的关系．2．通过直线点斜式方程的学习，培养学生的探索精神．3．培养学生用代数思维解决几何问题，提高数学的学习兴趣．重点直线方程的点斜式．中心发言人难点直线方程的应用教具多媒体，学案课型新授课课时安排 1 课时教法讲练结合法学法类比归纳法个人主页教学过程【问题导思】：若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？．1．直线的方程如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程：(1)直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程；(2)满足该方程的每一个数对(x，y)所对应的点都在直线l上．2．直线方程的点斜式和斜截式类型一：利用点斜式求直线方程例1：根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．(1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2,8)，D(－3，－2)．类型二：利用斜截式求直线方程例2： (1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．类型三：点斜式、斜截式方程的综合应用例3：已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，求证：不论a取何值，直线l总经过第一象限．课堂小结：1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解．2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．课堂练习：见课本63页及练习册相应内容作业：见习题2-3 第5题教后反思审核人签字：年月日集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题直线方程的两点式和一般式第 1 课时三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．重点直线方程的两点式和一般式．中心发言人难点利用直线方程的各种形式求直线方程．教具多媒体，学案课型新授课课时安排 1 课时教法讲练结合法学法类比归纳法个人主页教学过程【问题导思】已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？1．两点式：2．截距式．【问题导思】以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax ＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．直线方程的两点式和截距式例1、求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；(2)在x轴、y轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．学生合作交流：将本例(1)中的A改(－2，m)，求直线方程．直线方程的一般式例2、设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值；(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－ 1.学生交流：根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为2，且经过点A(1，－1)．(2)斜率为12，在y轴上的截距为1.课堂小结：作业：教后反思审核人签字：年月日集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题直线方程的应用第 1 课时三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．重点直线方程的两点式和一般式．中心发言人难点利用直线方程的各种形式求直线方程．教具多媒体，学案课型新授课课时安排 1 课时教法讲练结合法学法类比归纳法个人主页教学过程复习提问直线方程的几种形式：直线方程的应用例1、已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键．2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By＋C＝0(A，B不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数审核人签字：年月日形结合思想，会使问题简单明了．课堂小结1．在求直线方程时，应适当选用方程的形式，并注意各种形式的适用条件，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和经过原点的直线．2．对于求直线的方程，在没有特殊说明的情况下，结果应该化为一般式方程．3．一般式方程化为特殊方程形式时，应注意条件的限制．当B ≠0时，可化为斜截式，在ABC ≠0时，可化为截距式．课堂练习1．过两点(2 013,2 014)，(2 013,2 015)的直线方程是()A ．x ＝2 013B ．x ＝2 014C ．y ＝2 013D ．x ＋y ＝2 0132．(2013·厦门高一检测)直线x －y ＋5＝0的倾斜角为()A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°3直线ax ＋by －ab ＝0(ab ≠0)在两坐标轴上截距之和是________．4．已知△ABC 的顶点为A(1，－1)，线段BC 的中点为D(3，32)，求BC 边上的中线所在直线的方程．教后反思集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题两条直线的位置关系第 1 课时三维目标1．知识与技能(1)能根据两条直线的斜率判定平行或垂直．(2)能运用两条直线的平行或垂直，求直线的方程．2．过程与方法通过对两条直线平行、垂直关系的判定，培养学生发现数学规律的思维方法与能力．重点两条直线平行或垂直的判定和性质的应用．中心发言人难点直线无斜率时平行或垂直的关系．教具多媒体，学案课型新授课课时安排2课时教法讲练结合法学法类比归纳法个人主页教学过程【问题导思】1．直线y＝x＋1与y＝x－1，它们的斜率分别是多少？它们有什么位置关系？2．直线y＝－x与y＝x的斜率是什么？它们有什么位置关系？3．直线x＝3和y＝3，有什么位置关系？阅读课本完成练习册中表格判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.学生练习已知点A(2,2＋22)，B(－2,2)和C(0,2－22)可组成三角形，求证：△ABC为直角三角形．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解；或利用待定系数法求解．2．直线方程的常用设法①过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)；②知斜率k，设斜截式y＝kx＋b；③与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0；④与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0.小结1．判断两条直线平行的一般性结论是：l1∥l2?k1＝k2或l1，l2的斜率均不存在．2．判断两条直线垂直的一般结论是：l1⊥l2?k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.3．根据两条直线的平行或垂直关系求直线方程时，可根据两直线的位置关系求出直线的斜率再求解；也可利用待定系数法求解．教后反思审核人签字：年月日集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题两条直线的位置关系第2课时三维目标1．知识与技能(1)能根据两条直线的斜率判定平行或垂直．(2)能运用两条直线的平行或垂直，求直线的方程．2．过程与方法通过对两条直线平行、垂直关系的判定，培养学生发现数学规律的思维方法与能力．3．情感、态度与价值观学习用数学思维方法解决问题、认识问题，不断提高学习数学的兴趣．重点两条直线平行或垂直的判定和性质的应用．中心发言人难点直线无斜率时平行或垂直的关系．教具多媒体，学案课型新授课课时安排2课时教法讲练结合法学法类比归纳法个人主页教学过程复习提问1．直线y＝x＋1与y＝x－1，它们的斜率分别是多少？它们有什么位置关系？2．直线y＝－x与y＝x的斜率是什么？它们有什么位置关系？3．直线x＝3和y＝3，有什么位置关系？4.两条直线平行，垂直的判定方法?利用两直线的平行、垂直求参数若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求：a取何值时，(1)l1∥l2，(2)l1⊥l2.学生合作完成已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．课堂小结：1．判断两条直线平行的一般性结论是：l1∥l2 ?k1＝k2或l1，l2的斜率均不存在．2．判断两条直线垂直的一般结论是：l1⊥l2?k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.3．根据两条直线的平行或垂直关系求直线方程时，可根据两直线的位置关系求出直线的斜率再求解；也可利用待定系数法求解．1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是()A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．ax－ay－a＝0D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝02．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不确定3．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________.4．已知直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a －1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数 a.教后反思审核人签字：年月日集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题两条直线的交点第1课时三维目标1．知识与技能(1)学会用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．(2)理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．2．过程与方法通过用解方程组的方法求两直线交点，使学生掌握用代数方法解决与直线有关的问题．3．情感、态度与价值观培养解析几何意识，实现平面几何问题向代数方法的转变．重点用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．中心发言人难点方程组的解和两直线交点坐标的对应关系。
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2.1.2 直线方程（1）
教学目标：
1．掌握点斜式直线方程，能根据条件求出直线方程；
2．感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；
3．掌握斜截式方程是点斜式的一种特殊情况，并理解其中参数的几何意义．
教材分析及教材内容的定位：
点斜式方程的推导蕴含了求轨迹方程的思想，应该向学生渗透，这对于后继的学习有帮助；从点斜式到斜截式实际上是从一般到特殊；通过本节课的学习应明确：求直线的方程只需要两个独立的条件．
教学重点：
本节课的重点是点斜式直线方程的求解．
教学难点：
理解直线方程与直线的对应关系．
教学方法：
合作交流．
教学过程：
一、问题情境
1．复习回顾：(1)直线的斜率；(2)直线的倾斜角
2．问题情境：
（1）已知直线l过点A(－1，3)且斜率为－2，试写出直线上另一点B的坐标．
（2）问题：这样的点唯一吗？它们的共同点是什么呢？
本节课研究的问题是：
——如何写出直线方程？——两个要素（点与方向）．
——已知直线上的点的坐标和直线的斜率，如何描述直线上点的坐标的关系？
二、学生活动
外），点P 在直线)（不同于点）的坐标都是这个方程的解，反过来，以这个方程的y=kx+b 练习：
1．求下列直线的方程：
（1）在y 轴上的截距为－1，斜率为4；（2）过点B (2)，倾斜角为30°；
（3）过点C (4，－2)，倾斜角为0°； （4）过点D (－1，0)，斜率不存在．
2．若一直线经过点P (1，2)，且斜率与直线y ＝ －2x ＋3的斜率相等，则该直线的方程是 ．
3．下列图象，能作为直线y ＝k (x ＋1)( k ＞0)的图象的是（ ）
A B C D
4．已知直线
l 经过点P (1，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．
5．已知直线l 的斜率为－
34，且与两坐标轴所围成的三角形的周长为12，求直线l 的方程． 五、要点归纳与方法小结
直线方程的解与直线上的点的关系？
——一一对应．
如何利用直线上的点和斜率写出直线方程？
——点斜式和斜截式．。