2012届高三第二次六校联考理数试题(正式)

2013届高三数学（理科）试题本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22 （ ）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ． i -12．设U=R ，集合2{|2,},{|40}x A y y x R B x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（ ）A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UC A B =-∞C ．(){2,1,0}U C A B =-D ．(){1,2}U C A B =3． 右图给出了红豆生长时间t （月）与枝数y （枝）的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？ （ ）A ．指数函数：t y 2=B ．对数函数：t y 2log =C ．幂函数：3t y =D ．二次函数：22t y = 4．已知定义在R上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f ()1,0≠>a a 且，若()2012g a =，则()2012f -=A. 2 B . 2012201222-- C. 2012201222-- D. 2a 5．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’则y x z -=2的取值范围是（ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[0，2]6．如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D内函数2y x =图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为A ．15 B ．14 C ．13 D ．127．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）正视图侧视图俯视图A ．B ．C ．D ．8．已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()'()f x f x <对于x R ∈恒成立且e 为自然对数的底，则（ ）A ．2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >⋅>⋅ B ．2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f <⋅>⋅ C ．2012(1)(0),(2012)(0)f e f f ef >⋅<⋅D ．2012(1)(0),(2012)(0)f e f f ef <⋅<⋅二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）(一)必做题(9～13题)9．等比数列{}n a 中，372,8,a a == 则5a =10．10(x 的展开式中，的系数是___________11．命题“x R ∃∈，230x x -≤”的否定是 ．第15题图12．已知|a |=|b |=|b a -|=2，则|2a b -|的值为13．在实数的原有运算法则中，定义新运算3a b a b ⊗=-，则()()418x x x x⊗-+-⊗>的解集为(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分) 14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线1:C 22x t ay t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），曲线2:C 2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.若曲线1C 、2C 有公共点，则实数a 的取值范围____________．15．（几何证明选讲）如图，点,,A B C 是圆O 上的点,且2,120AB BC CAB ==∠= ,则AOB ∠对应的劣弧长为 ．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分） 已知函数()sin()sin(cos (,)66f x x x x a a R a ππ=++-++∈为常数.(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)若函数()f x 在[-2π，2π]上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值.17．（本题满分12分）调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15。

（1）求x 的值；（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？ （3）已知193≥y ，193≥z ，肥胖学生中男生不少于女生的概率。

18．（本题满分14分）如图， 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，5=AB ，AA1＝4，点D 是AB 的中点 （Ⅰ）求证：AC ⊥BC 1；（Ⅱ）求二面角1D CB B --的平面角的正切值．19．（本题满分14分）已知函数()ln (,)f x ax x b a b R =∙+∈，在点(,())e f e 处的切线方程是20x y e --=（e 为自然对数的底）。

（1）求实数,a b 的值及()f x 的解析式；（2）若t 是正数，设()()()h x f x f t x =+-，求()h x 的最小值；（3）若关于x 的不等式2ln (6)ln(6)ln(72)x x x x k k +--≥-对一切(0,6)x ∈恒成立，求实数k 的取值范围.20. （本题满分14分）已知数列{}n a 中，()112,202,n n a a a n n n N -=--=≥∈.（1）写出23a a 、的值（只写结果）并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设12321111n n n n n b a a a a +++=+++⋅⋅⋅+，求n b 的最大值。

21．（本题满分14分）如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点且21AF F ∠为钝角，若172AF =，252AF =， （1）求曲线1C 和2C 的方程；（2）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线12C C 、依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点、H 为BE 中点，问22BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.2013届高三考参考答案数学（理科）试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案D C A B D C B A二、填空题 本大题共6小题， 每小题5分，满分30分．9．4 10．1890 11．x R ∀∈，230x x -> 12． 13．115,88x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭14．22a ≤≤（ 或 [2 ） 15．2三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.解：（1）∵()2sin coscos 6f x x x a π=++cos x x a ++2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……………………4分∴函数()f x 的最小正周期2T π=………………………6分(2)∵,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴2363x πππ-≤+≤∴当63x ππ+=-，即2x π=-时，()min 2f x f a π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭……8分 当62x ππ+=，即3x π=时，()max 23f x f a π⎛⎫==+⎪⎝⎭……10分由题意，有()(2)a a ++=∴1a =……12分17．解：（1）由题意可知，15.01000=x，∴x ＝150（人）； ……………4分 （2）由题意可知，肥胖学生人数为400=+z y （人）。

设应在肥胖学生中抽取m 人，则100050400=m ，∴20=m （人） 答：应在肥胖学生中抽20名。

………………………………8分（3）由题意可知， 400=+z y ，且193≥y ，193≥z ，满足条件的（y ，z ）有（193，207），（194，206），…，（207，193），共有15组。

设事件A ：“肥胖学生中男生不少于女生”，即z y ≤，满足条件的（y ，z ）有（193，207），（194，206），…，（200，200），共有8组，所以158)(=A P 。

答：肥胖学生中女生少于男生的概率为158。

…………………………13分 18． （Ⅰ）证明：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，222AC BC AB +=∴ AC ⊥BC ， …………………2分 又 AC ⊥1C C ，且1BC C C C =∴ AC ⊥平面BCC 1 ，又1BC ⊂平面BCC 1 ……………………………………4分 ∴ AC ⊥BC 1 ………………………………………………………………5分 （Ⅱ）解法一：取BC 中点E ，过D 作1DF B C ⊥于F ，连接EF …………6分D 是AB 中点，∴//DE AC ，又AC ⊥平面11BB C C∴DE ⊥平面11BB C C ，又 EF ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ∴DE EF ⊥∴1B C DE ⊥ 又 1DF B C ⊥且DE DF D =∴1B C ⊥平面DEF ，EF ⊂平面DEF ………8分 ∴1B C EF ⊥ 又 1DF B C ⊥∴EFD ∠是二面角1D B C B --的平面角 ……………………………………10分AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，∴在DEF ∆中，DE EF ⊥，32DE =，EF = ∴3tan 4DE EFD EF ∠=== …………………………………………12分 ∴二面角1D B C B -- …………………………………………13分 解法二：以1CA CB CC 、、分别为x y z 、、轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，∴(300)A ，，，(00)B ，4， (000)C ，，，3(20)2D ，，，1(044)B ，，， ∴3(20)2CD = ，，， F EDC 1B 1A 1CBA1(044)CB =，，平面11CBBC 的法向量1(100)n = ，，， …………………8分 设平面1DB C 的法向量2000()n x y =，，z ，则1n ，2n的夹角（或其补角）的大小就是二面角1D CB B --的大小 …………9分 则由2002100302020440n CD x y n CB y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩令04x =，则03y =-，03z = ∴ 2(4,3,3)n =-………………11分121212cos ||||n n n n n n ⋅<>==⋅，，则12tan 4n n <>=， ……………12分 ∵二面角1D B C B --是锐二面角 ∴二面角1D B C B --………………………… 13分 19．解：（1）依题意有2()0()e f e e f e e--=∴='()ln '()ln 22222(,())()()ln 2210()ln f x a x a b f e a e a b a b b a e f e f x f e ae e b ae b e ae a e a b f x x x=++∴=++=∴+=∴=-∴=+=+=∴+-=∴=∴=∴= 在上；故实数1,0,()ln a b f x x x === ……………4分 （2）()()()ln ()ln()h x f x f t x x x t x t x =+-=+--，()h x 的定义域为(0,)t ；……………5分'()ln 1[ln()1]lnxh x x t x t x=+--+=- ……………6分 '()0,'()0,22t th x x t h x x ><<<<<由得得0……………8分(),)2t h x t ∴在(上是增函数()0,)2th x ∴在(上是减函数min ()()ln 22t th x h t ∴==……………10分（3）ln (6)ln(6)()(6)()x x x x f x f x h x +--=+-=由(2)知min ()()ln22tt h x h t == min 66,()()6ln 3ln 7292t h x h ∴====…………11分2ln (6)ln(6)ln(72)x x x x k k +--≥- 对一切(0,6)x ∈恒成立2ln(72)ln 729k k ∴-≤22720,90,728172729k k k k k k ⎧->∴∴-≤<<≤⎨-≤⎩…………13分 故实数k 的取值范围[9,0)(72,81]-⋃.…………14分 20. 解：（1）∵ ()112,202,n n a a a n n n N -=--=≥∈ ∴ 236,12a a == ……………2分当2n ≥时，()11232212,21,,23,22n n n n a a n a a n a a a a ----=-=-⋅⋅⋅-=⨯-=⨯， ∴ ()12132n a a n n -=⎡+-+⋅⋅⋅++⎤⎣⎦，∴()()()121321212n n n a n n n n +=⎡+-+⋅⋅⋅+++⎤==+⎣⎦ …………………5分当1n =时，()11112a =⨯+=也满足上式，…………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为()1n a n n =+…………7分 （2）()()()()()1221111111223221n n n n b a a a n n n n n n ++=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++++ ()()()()()1111111223221n n n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-+++++()()21111121231(2)3n n n n n n n=-==++++++ …………………10分 令()()121f x x x x =+≥，则()212f x x'=-， 当()1,0x f x '≥>时恒成立 ∴ ()f x 在[)1,x ∈+∞上是增函数，故当1x =时，()()13f x f ==min …13分即当1n =时， 1(6n b =)max ……………14分 另解： 111111111223121221231n n b b n n n n n n n n +⎛⎫-=--+=+-+ ⎪++++++++⎝⎭ 2233340252253n n n n n n ++=-<++++ ∴ 数列{}n a 是单调递减数列，∴11(6n b b ==)max 21．解：（Ⅰ）设椭圆方程为12222=+by a x ，则=a 26252721=+=+AF AF ， 得3=a ……………2分设)0,(),0,(),,(21c F c F y x A -，则222)27()(=++y c x ，222)25()(=+-y c x ， 两式相减得23=xc ，由抛物线定义可知252=+=c x AF ， 则23,1==x c 或23,1==c x （舍去） 所以椭圆方程为18922=+y x ，抛物线方程为x y 42=。