一线三等角模型

专题九：“一线三角型”模型的应用

1、如图，在△ABC中，AB=AC，P、M分别在BC、AC边上，且APM B

∠=∠，AP=MP，求证：△APB≌△PMC。

分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据

已有的知识经验，学生很快能够解决。

2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图，

△ABC为等边三角形，60

APM︒

∠=，BP=1,

2

3

CM=，求△ABC的边长。

3、如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,3,7,60

AD cm BC cm B︒

==∠=，P为BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PM交DC于M，使得APM B

∠=∠。

（1）求证：△ABP∽△PCM；

（2）求AB的长；

（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DM:MC=5:3？若存在，

求出BP的长；若不存在，请说明理由。

4、如图，,

===，

AB cm CD cm BD cm

⊥⊥，且6,4,14

AB BD CD BD

问：在BD上是否存在P点，使以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C

为顶点的三角形相似？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由。

5、已知在梯形ABCD中，AD//BC,AD BC

<，且AD=5,AB=DC=2。

（1）如图a，P是AD上的一点，满足BPC A

∠=∠。

①求证：△ABP∽△DPC；②求AP的长。

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPE A

∠=∠，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么：

①当点Q在线段DC的延长线上时，设,

AP x CQ y

==，求y关于x的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；

②当CE=1时，求出AP的长。

6、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，

当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，如图。

（1）证明Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BM x

=，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数

关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出

最大面积；

（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求x 的值。

7、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点

B 、

C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ AP ⊥交DC 于点Q ，

设BP 的长为xcm ，CQ 的长为ycm 。

（1）求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；

（2）当14

y cm =时，求x 的值。

8、如图，边长为1的正方形OABC 的顶点为坐标原点，点A 在

x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上。动点D 在线段BC 上移动

（不与B 、C 重合），连结OD ，过点D 作DE OD ⊥，交边AB 于点E ，

连结OE ，设CD=t 。

（1）当13

t =时，求直线DE 的函数表达式； （2）当22OD DE +的算术平方根取最小值时，求点E 的坐标。

9、如图，在矩形ABCD 中，AB m =（m 是大于0的常数），

BC=8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，

作EF DE ⊥，EF 与射线BA 交于点F ，设,CE x BF y ==。

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若8

m=，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若12

=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

y

m

10、如图，已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3，P是线段AD边

上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE PC

⊥交

AB于E。

（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC QE

⊥？若存在，求线段AP 与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围。

11、在四边形ABCD中,,,,

⊥⊥===+，且a b

AB BC DC BC AB a DC b BC a b

≤，取AD的中点P，连结PB、PC。

（1）试判断三角形PBC的形状；

（2）在线段BC上，是否存在点M，使AM MD

⊥。若存在，

请求出BM的长；若不存在，请说明理由。

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