九年级数学上册辅导作业1
北师版九年级数学上册 第1章 特殊平行四边形中的旋转、最值、动点问题 专题训练 (含答案)
6.解：(1)根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短(小于AB)，而这时DF大于AD，即DF大于BF
(2)如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．
二、最值问题
7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )
A．2 B．4
∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，
∴点O为正方形的角平分线的交点，
∴直线EG必过正方形角平分线的交点
20.解：(1)BG＝DE，BG⊥DE，证明如下：
延长BG交DE于点H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式是；
(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
北师版九年级数学上册作业课件(BS) 第一章 特殊平行四边形 本章考点整合训练一
10．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开， 若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为(D ) A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km
11．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂 直于横梁AC，AB＝8 m，∠ABC＝60°，则DE＝_2_m__．
解：(1)∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°， ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF 平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴∠ACD＝∠CAF＝30°， ∴CE＝AE，过点 E 作 EH⊥AC 于点 H，
∴CE＝2EH，CH＝AH.∵AC＝4，∴CH＝2，∴CE＝43 3
(2)四边形CEGF是菱形，理由：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB， ∴ ∠ ACF ＝ ∠ AGF ＝ 90° ， CF ＝ GF ， 又 ∵ AF ＝ AF ， ∴ Rt△ACF≌Rt△AGF(HL) ， ∴ ∠ AFC ＝ ∠ AFG ， ∵ CD⊥AB ， FG⊥AB ， ∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝ FG，∵CD∥FG，∴四边形CEGF是平行四边形．∵CF＝GF，∴▱CEGF是 菱形
A．5 B．10 C．20 D．40
3．如图，以菱形ABCD的对角线AC为边向上作等边△ACE. 已知∠DAB＝70°，则∠EAD＝___2_5．°
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分 ∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.
(1)若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长； (2)过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG， 试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．
九年级数学上册 第1章 二次函数 专题训练 巧用抛物线对称性解题 (新版)浙教版
巧用抛物线对称性解题►类型之一二次函数与三角形的综合图3－ZT－11．如图3－ZT－1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________．2．如图3－ZT－2，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，求过点B，C，E的抛物线的函数表达式．图3－ZT－23．如图3－ZT－3，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连结AB，AC，BC.(1)求该二次函数的表达式；(2)判断△ABC的形状．图3－ZT－34．如图3－ZT－4，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，已知C(0，5)，M为它的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(2)求△MAB的面积；(3)求△MCB的面积．图3－ZT－45．如图3－ZT －5，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，且点P 在x 轴上方．若S △PAB ＝8，请求出此时点P 的坐标．图3－ZT －56．如图3－ZT －6，一小球从斜坡上点O 抛出，球的抛出路线可以用二次函数y ＝－x 2＋4x 刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画．(1)请用配方法求二次函数图象最高点P 的坐标； (2)小球的落点是A ，求点A 的坐标；(3)连结抛物线的最高点P 与点O ，A 得△POA ，求△POA 的面积；(4)在OA 上方的抛物线上存在一点M (点M 与点P 不重合)，使△MOA 的面积等于△POA 的面积，请直接写出点M 的坐标．图3－ZT －6► 类型之二 二次函数与特殊四边形的综合图3－ZT －77．边长为1的正方形OA 1B 1C 1的顶点A 1在x 轴的正半轴上，将正方形OA 1B 1C 1绕顶点O 顺时针旋转75°得正方形OABC (如图3－ZT －7)，使点B 恰好落在函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象上，则a 的值为( )A ．－23B ．－12C ．－2D ．－238．如图3－ZT －8，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．3－ZT －83－ZT －99．二次函数y ＝3x 2的图象如图3－ZT －9，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，则菱形OBAC 的面积为__________．10．如图3－ZT －10，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－43x ＋2过点B (1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线与y 轴的交点C 的坐标及与x 轴的另一交点A 的坐标； (3)以AC 为边在第二象限画正方形ACPQ ，求P ，Q 两点的坐标．图3－ZT －1011．如图3－ZT －11，已知抛物线y ＝－14x 2－12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)E 是此抛物线上的点，F 是其对称轴上的点，求以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积．(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图3－ZT －11详解详析1．(1＋2，2)或(1－2，2)[解析]∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形， ∴点P 在线段CD 的垂直平分线l 上．如图，作CD 的垂直平分线交抛物线于点P 1，P 2，交y 轴于点E ，则E 为线段CD 的中点．∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ， ∴C (0，3)，而D (0，1)，∴点E 的坐标为(0，2)， ∴点P 的纵坐标为2.在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝2，可得－x 2＋2x ＋3＝2，解得x ＝1±2，∴点P 的坐标为(1＋2，2)或(1－2，2)． 2．解：如图，过点D 作DG ⊥x 轴于点G . ∵OA ＝8，AC ＝AB ＝10， ∴A (0，－8)，BO ＝OC ＝6， ∴B (6，0)，C (－6，0)． ∵S △COE ＝S △ADE ，∴S △CBD ＝S △AOB ＝12×8×6＝24，∴12×BC ×||y D ＝24，解得||y D ＝4， ∴D 为AB 的中点，∴D (3，－4)．联合C 点坐标可求得直线CD 的函数表达式为y ＝－49x －83，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83.设过B ，C ，E 三点的抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋6)(x －6)， 将E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83代入，得a ＝227，∴过点B ，C ，E 的抛物线的函数表达式为y ＝227(x ＋6)(x －6)＝227x 2－83.3．解：(1)把A (3，0)，B (4，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋3中，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋3＝0，16a ＋4b ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－52，∴该二次函数的表达式为y ＝12x 2－52x ＋3.(2)△ABC 是直角三角形．理由：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， 易知点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝45°.又∵点B 的坐标为(4，1)， ∴AD ＝BD ， ∴∠DAB ＝45°，∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC是直角三角形．4．解：(1)∵A (－1，0)，B (5，0)，∴可设表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)．将C (0，5)代入，得a ＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)(x －5)＝－x 2＋4x ＋5.∴M (2，9)．(2)S △MAB ＝12AB ·||y M ＝12×6×9＝27. (3)过点M 作MD ⊥y 轴于点D ，则S △MCB ＝S 梯形MDOB －S △DCM －S △COB ＝12×(2＋5)×9－12×2×4－12×5×5＝15. 5．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根为x ＝－1或x ＝3，∴－1＋3＝－b ，－1×3＝c ，∴b ＝－2，c ＝－3，∴该抛物线的函数表达式是y ＝x 2－2x －3.(2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－4)．(3)设点P 的纵坐标为y P ，∵S △PAB ＝8，∴12AB ·|y P |＝8. ∵AB ＝3＋1＝4，∴|y P |＝4，∴y P ＝±4.∵点P 在x 轴上方，∴y P＝4.把y P ＝4代入表达式，得4＝x 2－2x －3，解得x ＝1±2 2，∴点P 的坐标为(1＋2 2，4)或(1－2 2，4)．6．解：(1)∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x 2－4x )＝－(x 2－4x ＋4)＋4＝－(x －2)2＋4，∴最高点P 的坐标为(2，4)．(2)点A 的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝74， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，74.(3)如图，过点P 作PB ⊥x 轴交OA 于点B ，则点B 的坐标为(2，1)，∴PB ＝3，∴S △POA ＝S △OPB ＋S △APB ＝12×3×2＋12×3×32＝214. (4)如图，过点P 作PM ∥OA 交抛物线于点M ，连结OM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋b ， ∵直线PM 过点P (2，4)，∴12×2＋b ＝4，解得b ＝3，∴直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋3. 根据题意，可列方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝154， ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，154.7．D [解析] 如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，连结OB .依题意得∠AOE ＝75°，∠AOB ＝45°，∴∠BOE ＝30°.∵OA ＝1，∴OB ＝ 2.∵∠OEB ＝90°，∴BE ＝12OB ＝22，∴OE ＝62， ∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22. 将其代入y ＝ax 2(a ＜0)，得a ＝－23. 故选D.8．－2 [解析] 连结BC，与AO交于点D.观察图象，根据二次函数的图象与其表达式的系数之间的关系可知a<0，c>0.由图象可知，点A是抛物线的顶点，设点A的坐标为(0，c)，则OA＝c，∵四边形ABOC 是正方形，∴AO ＝BC ，AD ＝OD ，△ABD ，△ACD 是等腰直角三角形，∴AD ＝OD ＝c 2. ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴BD ＝c 2. ∵BD ＝c 2，OD ＝c 2， ∴点B 的坐标为(－c 2，c 2)． 将点B 的坐标代入二次函数表达式y ＝ax 2＋c ，可得c 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22＋c ， 整理，得ac ＝－2.9．2 3 [解析] 连结BC 交OA 于点D .∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥OA .∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°，∴OD ＝3BD .设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B ()t ，3t . 把B (t ，3t )代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1.∴BD ＝1，OD ＝3，∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝2 3，∴菱形OBAC 的面积为12×2×2 3＝2 3.10．解：(1)将B (1，0)代入y ＝ax 2－43x ＋2，得a －43＋2＝0，∴a ＝－23， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－23x 2－43x ＋2. (2)当y ＝0时，－23x 2－43x ＋2＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－3.当x ＝0时，y ＝2，∴抛物线与x 轴的另一交点A 的坐标为(－3，0)，与y 轴的交点C 的坐标为(0，2)．(3)如图，过点P ，Q 分别作PH ⊥y 轴，QG ⊥x 轴，H ，G 分别为垂足．∵四边形ACPQ 是正方形，∴易知△AOC ≌△QGA ≌△CHP ，∴AO ＝QG ＝CH ＝3，OC ＝GA ＝HP ＝2，∴P (－2，5)，Q (－5，3)．11．解：(1)当x ＝0时，y ＝2，∴C (0，2)．当y ＝0时，－14x 2－12x ＋2＝0， 解得x 1＝－4，x 2＝2，∴B (－4，0)，A (2，0)．(2)易得对称轴为直线x＝－1.当AB为对角线时，如图①，图①由点F 的横坐标为－1，易知点E 的横坐标也是－1，∴E (－1，94)， ∴▱AEBF 的面积为AB ×94×12×2＝272； 当AB 为边时，如图②，图②∵AB ＝6，∴EF ＝6，∴E (5，－274)或E ′(－7，－274)， ∴以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为AB ×274＝6×274＝812. 综上，以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为272或812. (3)存在，设点M 的坐标为(－1，t )．∵A (2，0)，C (0，2)，∴AC ＝22，MC ＝1＋（t －2）2，AM ＝9＋t 2.①当AC＝MC时，22＝1＋（t－2）2，解得t＝2±7，即M(－1，2＋7)或M(－1，2－7)；②当MC＝AM时，1＋（t－2）2＝9＋t2，解得t＝－1，即M(－1，－1)；③当AC＝AM时，22＝9＋t2，此方程无解．综上，此抛物线的对称轴上存在点M，使得△ACM是等腰三角形，点M的坐标为(－1，2＋7)或(－1，2－7)或(－1，－1)．感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程(第1课时)作业.1 一元二次方程(第1课时)作业
一、教材作业【必做题】教材第4页习题21.1的1,2题.【选做题】教材第4页习题21.1的4,5,6题.二、课后作业【基础巩固】1.下列方程为一元二次方程的是 ()A.1-x2=0B.2(x2-1)=3yC.-=0D.(x-3)2=(x+3)22.若ax2-5x+3=0是一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集是()A.a>-2B.a<-2C.a>-2且a≠0D.a>3.生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x 名同学,则根据题意列出的方程是()A.x(x+1)=182B.x(x-1)=182C.2x(x+1)=182D.x(x-1)=182×24.方程2x2=3(x+6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为()A.2,3,-6B.2,-3,-18C.2,-3,6D.2,3,65.把一元二次方程(x-2)(x+3)=1化为一般形式是.6.若方程kx2+x=3x2+1是关于x的一元二次方程,则k的取值范围是.7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.(1)(2x-1)2=6;(2)3x2+5(2x+1)=0.8.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)有一个面积为54 m2的长方形,将它的一边剪短5 m,另一边剪短2 m,恰好变成一个正方形,这个正方形的边长是多少?(2)三个连续整数两两相乘,再求和,结果为242,这三个数分别是多少?9.求方程x2+3=2x-4的二次项系数、一次项系数及常数项的积.【能力提升】10.若关于x的方程(k2-4)x2+x+5=0是一元二次方程,求k的取值范围.11.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,求m的值.12.当m取何值时,x2m-1+10x+m=0是关于x的一元二次方程?13.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.【拓展探究】14.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)x为何值时,此方程是一元一次方程?(2)x为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.【答案与解析】1.A(解析:B中含有两个未知数,C中方程不是整式方程,D中方程化简后不含有x的二次项,只有A符合一元二次方程定义.故选A.)2.C(解析:根据一元二次方程的二次项系数不为0可得a≠0,解不等式得a>-2.故选C.)3.B(解析:每名同学都赠出(x-1)件,所以x名同学共赠出x(x-1)件,根据题意可列方程为x(x-1)=182.故选B.)4.B(解析:化简得2x2-3x-18=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,-3,-18.故选B.)5.x2+x-7=0(解析:根据多项式乘法法则化简方程左边,然后移项、合并同类项,可得x2+x-7=0.)6.k≠3(解析:根据一元二次方程的定义知一元二次方程的二次项系数不为0,所以k≠3.)7.解:(1)4x2-4x-5=0,二次项系数为4,一次项系数为-4,常数项为-5. (2)3x2+10x+5=0,二次项系数为3,一次项系数为10,常数项为5.8.解:(1)设这个正方形的边长是x m,根据题意得(x+5)(x+2)=54,化简得x2+7x-44=0. (2)设这三个连续整数为x-1,x,x+1,根据题意得x(x-1)+(x-1)(x+1)+x(x+1)=242,化简得3x2-243=0.9.解:将方程化简可得x2-2x+7=0,所以二次项系数、一次项系数及常数项分别为,-2,7,所以×(-2)×7=-28.10.解析:一元二次方程满足二次项系数不为0,该题易忽略二次根式的被开方数为非负数.解:依题意得k2-4≠0,且k-1≥0,解得k≥1且k≠2.11.解:由题意得解得m=-1.12.解:由题意得2m-1=2,解得m=.13.解析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0,∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程.14.解析:本题是含有字母系数的方程问题,根据一元一次方程和一元二次方程的定义,分别进行讨论求解.解:(1)由题意得即m=1时,关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元一次方程. (2)由题意得m2-1≠0,即m≠±1时,关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程.此方程的二次项系数是m2-1,一次项系数是-(m+1),常数项是m.因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念,所以本节课主要采用启发式、类比法教学.教学中力求体现“问题情境—数学模型—概念归纳”的模式.但是由于学生将实际问题转化为数学方程的能力有限,所以通过小组讨论,共同探究,从具体的问题情境中抽象出数学问题,建立数学方程,从而突破难点.让学生在实际生活情境中,经过自主探索和合作交流的学习过程,产生积极的情感体验,进而创造性地解决问题,有利于培养学生数学思维的提升.在教学过程中,小组合作交流还存在个别学生参与意识不强的现象,有些问题教师引导不到位,比如根据实际问题建立数学模型,通过题意不能找到等量关系时,没有很好地帮助学生提高分析问题的能力,再如问题2中排球赛问题,学生对寻找题中的等量关系遇到了困难,不能理解为什么除以2,遇到问题时给学生思考时间较短.学生为了解决实际问题进行小组合作交流时,教师应给足够的时间进行探究,让学生更好地体会建模思想在数学中的应用,对于学生的发言,给予充分的肯定,激发学生学习数学的激情,真正让学生在课堂上动起来.同时应该注重学生能力的培养,在引导学生分析问题时设计出更有价值的问题.练习(教材第4页)1.解:(1)5x2-4x-1=0,二次项系数为5,一次项系数为-4,常数项为-1. (2)4x2-81=0,二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为-81. (3)4x2+8x-25=0,二次项系数为4,一次项系数为8,常数项为-25. (4)3x2-7x+1=0,二次项系数为3,一次项系数为-7,常数项为1.2.解:(1)4x2=25,4x2-25=0. (2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0. (3)x·1=(1-x)2,x2-3x+1=0.(1)数学来源于生活,又应用到生活中去,所以以不同的生活情境问题导入新课,通过分析题意,构建方程模型,让学生掌握利用方程解决问题的方法,既突破了本节课的难点,又很自然地引出了本节课的重点.(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本节课类比以前学过的一元一次方程的有关概念,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.(3)本节课重难点、易错点的掌握通过不同的形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养竞争意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.已知关于x的方程(2k+1)x2-4kx+(k-1)=0.(1)当k为何值时,此方程是一元一次方程?求出这个一元一次方程的根.(2)当k为何值时,此方程是一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.〔解析〕(1)一元一次方程中不含有二次项,所以二次项系数为0.(2)一元二次方程中二次项系数不为0.〔答案〕(1)k=-,x=.(2)k≠-;二次项系数为2k+1,一次项系数为-4k,常数项为k-1.。
《第1章特殊平行四边形》专题培优提升训练2021-2022学年北师大版九年级数学上册
2021年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》专题培优提升训练（附答案）1．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；（2）判断△AEG的形状，并说明理由；（3）当GF＝1时，求CE的长．2．如图，O是正方形ABCD对角线AC，BD的交点，AF平分∠BAC，交BD于点M，DE ⊥AF于点H，分别交AB，AC于点E，G．（1）证明△AED≌△BF A；（2）△ADM是等腰三角形吗？请说明理由；（3）若OG的长为1，求BE的长度．3．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．（1）求证：CE＝FE；（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．4．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值．5．如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．6．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，H是AF的中点．（1）求证：CH＝AF；（2）若BC＝1，CE＝3，求CH的长．7．四边形ABCD是正方形，点M在边BC上（不与端点B、C重合），点N在对角线AC上，且MN⊥AC，连接AM，点G是AM的中点，连接DN、NG．（1）若AB＝10，BM＝2，求NG的长；（2）求证：DN＝NG．8．如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB＝GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．9．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．10．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．11．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．12．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．14．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF ∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．16．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．17．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，延长AE到点N，使AE ＝EN，连接CN、CE．（1）求证：△CAN为直角三角形．（2）若AN＝4，正方形的边长为6，求BE的长．18．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．20．探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．21．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，作BF⊥CE于点F，交OC于点G．（1）求证：BG＝CE；（2）若AB＝4，BF是∠DBC的角平分线，求OG的长．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AB＝AD，∵∠CDE＝20°，∴∠ADE＝70°，∵DE＝AB，∴DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°．（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，∴DG是AE的垂直平分线，∴AG＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DE＝DC＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，∴∠DEA+∠DEC＝135°，∴∠GEA＝45°，∴∠GAE＝∠GEA＝45°，∴∠AGE＝90°，∴△AEG为等腰直角三角形．（3）如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝，∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，∴GF＝AF＝EF＝1，∴AG＝GE＝，∵AC2＝AG2+GC2，∴10＝2+（EC+）2，∴EC＝（负根已经舍弃）．2．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∵DE⊥AF，∴∠DAH+∠ADE＝90°，∵∠DAH+∠BAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，在△AED和△BF A中，，∴△AED≌△BF A（ASA）．（2）△ADM是等腰三角形，理由如下：∵∠BAC＝45°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝22.5°，∴∠DAM＝∠DAC+∠CAF＝67.5°，∴∠DMA＝180°﹣∠DAM﹣∠ADM＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠DAM＝∠DMA，∴△ADM是等腰三角形．（3）∵∠ADE＝∠BAF＝22.5°，∴∠CDG＝∠ADC﹣∠ADE＝67.5°，∴∠DGC＝180°﹣∠GCD﹣∠CDG＝67.5°，∴CG＝CB，∵AE∥CD，∴∠AEG＝∠CDG＝67.5°，∴AE＝AG，如图，作FK⊥AC于点K，设AG＝AE＝x，∵AO＝AG+OG＝x+1，∴AB＝BC＝AO＝（x+1），AC＝2AO＝2（x+1），∵△AED≌△BF A，∴BF＝AE＝x，∵AF平分∠BAC，∴FK＝BF＝x，∵S△ABF＝AB•BF，S△ACF＝AC•FK，∴＝＝，又∵＝，∴＝＝，即＝，解得x＝，∴BE＝AB﹣AE＝（x+1）﹣x＝2．解法二：BF＝x之后，可以直接AB＝（x+1），BC＝x+x，由AB＝BC，可以直接解出x．3．解：（1）连结DE，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，在△ABE和△DF A中，，△ABE≌△DF A（AAS），∴AB＝CD＝DF，在Rt△DFE和Rt△DCE中，，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．∴CE＝FE．（2）∵△DEF≌△DEC，∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，设AD＝x，则AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，∴（x﹣1）2+52＝x2，∴x＝13，即AD＝13，∴S矩形ABCD＝AD•DC＝65．4．（1）证明：如图所示，连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴∠ADB＝∠NDB＝60°，故△ADB是等边三角形，∴AB＝BD，又AM+CN＝1，DN+CN＝1，∴AM＝DN，在△AMB和△DNB中，，∴△AMB≌△DNB（SAS），∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，又∠MBA+∠DBM＝60°，∴∠NBD+∠DBM＝60°，即∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）解：过点B作BE⊥MN于点E．设BM＝BN＝MN＝x，则，故，∴当BM⊥AD时，x最小，此时，，．∴△BMN面积的最小值为．5．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝FC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，根据勾股定理，得AE＝＝＝5，∵四边形AECF是菱形，∴EC＝AE＝5，∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵DG⊥AE，∴∠DGA＝∠B＝90°，∴DG＝．6．（1）证明：如图，延长AD交EF于M，连接AC，CF，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴；（2）解：方法一：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，在Rt△AMF中，由勾股定理得：＝，∴．方法二：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，∴AC＝，CF＝3，∴AF＝＝，∴．7．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝10，BM＝2∴AM＝∵MN⊥AC，点G是AM的中点∴GN＝（2）证明：过点D作DE⊥AC于点E∵四边形ABCD是正方形∴DE＝∵AC为正方形对角线∴∠ACB＝45°∵MN⊥AC∴MN＝NC设MN＝NC＝a，AN＝b∴由勾股定理AM＝∵MN⊥AC，点G是AM的中点∴GN＝∵AC＝a+b∴DE＝EC＝∴EN＝EC﹣NC＝DN＝∴DN＝NG8．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△AGD和△AEB中，，∴△AGD≌△AEB（SAS），∴EB＝GD；（2）解：作AH⊥DG于H，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝3．∴由勾股定理得：EG＝＝6，AH＝GH＝EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴DH＝＝4，∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．9．解：（1）结论：PB＝PQ，理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ；（2）结论：PB＝PQ．理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．10．（1）证明：∵O是对角线AC的中点，∴AO＝CO，∵矩形ABCD的边AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，∵EF⊥AC，∴∠AOE＝∠COF＝90°，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：∵AE＝10cm，四边形AFCE是菱形，∴AF＝AE＝10cm，设AB＝x，∵△ABF的面积为24cm2，∴BF＝，在Rt△ABF中，根据勾股定理，AB2+BF2＝AF2，即x2+（）2＝102，x4﹣100x2+2304＝0，解得，x1＝6，x2＝8，∴BF＝＝8cm，BF＝＝6cm，所以，△ABF的周长＝6+8+10＝24cm．11．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．12．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF＝AF．13．解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DM＝BD＝．方法二：过M作MH⊥DF于H，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形，∴∠CEF＝45°，∴∠AEB＝∠CEF＝45°，∴BE＝AB＝8，∴CE＝CF＝14﹣8＝6，∵MH∥CE，EM＝FM，∴CH＝FH＝CF＝3，∴MH＝CE＝3，∴DH＝11，∴DM＝＝．14．（1）证明：∵PQ为线段AC的垂直平分线，，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（AAS）；（2）证明：∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝F A，∴EC＝EA＝FC＝F A，∴四边形AECF为菱形；（3）解：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∵ED＝6，AE＝10，∴EF＝2ED＝12，AD＝＝8．∴AC＝2AD＝16，∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×16×12＝96．15．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．16．解：（1）∵MN∥BC，∴∠3＝∠2，又∵CF平分∠GCO，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FO＝CO，同理：EO＝CO，∴EO＝FO．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，由（1）可知，FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，∵MN∥BC，∴∠AOE＝∠ACB∵∠ACB＝90°，∴∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．17．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE；∵AE＝CE，AE＝EN，∴∠EAC＝∠ECA，CE＝EN，∴∠ECN＝∠N，∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N＝180°，∴∠ACE+∠ECN＝90°，即∠ACN＝90°，∴△CAN为直角三角形；（2）∵正方形的边长为6，∴AC＝BD＝6，∵∠ACN＝90°，AN＝4，∴CN＝＝2，∵OA＝OC，AE＝EN，∴OE＝CN＝，∵OB＝BD＝3，∴BE＝OB+OE＝4．18．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD．在△AFE和△DCE中，∴△AEF≌△DEC（AAS）．∴AF＝DC，∵BD＝DC，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC．∴∠ADB＝90°．∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．19．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴四边形BECD是菱形；（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．20．解：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立．理由如下：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，则△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，∴∠EAF＝∠EAF′，又∵∠ABC+∠D＝180°，∴∠ABF′+∠ABE＝180°，∴F′、B、E三点共线，在△AEF与△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又∵EF′＝BE+BF′，∴EF＝BE+DF；（3）发生变化．EF、BE、DF之间的关系是EF＝BE﹣DF．理由如下：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F′处，得到△ABF′，∴△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，又∵∠EAF＝∠BAD，且∠BAF′＝∠DAF，∴∠F′AE＝∠BAD﹣（∠BAF′+∠EAD）＝∠BAD﹣（∠DAF+∠EAD）＝∠BAD﹣∠F AE＝∠F AE，即∠F′AE＝∠F AE，在△F′AE与△F AE中，，∴△F′AE≌△F AE（SAS），∴EF＝EF′，又∵BE＝BF′+EF′，∴EF′＝BE﹣BF′，即EF＝BE﹣DF．21．（1）证明：∵正方形ABCD中，AC、BD相交于O，∴BO＝CO，BO⊥CO，∵BF⊥EC，∴∠5＝∠6＝∠7＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴△BOG≌△CEO，（AAS）∴BG＝CE．（2）解：∵BF是∠DBC的角平分线，∴∠1＝∠8，∵BF＝BF，∠9＝∠6＝90°，∴△BEF≌△BCF（ASA），∴BE＝BC＝4，∵四边形BCD是正方形∴∠AOB＝90°，AO＝BO设AO为x，由勾股定理，得2x2＝42解得x＝2∵△BOG≌△COE∴OG＝OE∵OE＝BE﹣BO＝4﹣2，∴OG＝4﹣2．。
XJ湘教版 初三九年级数学 上册第一学期 同步课堂补习练习题作业 (上学期 秋季 全册电子作业 分课时)
第一章 反比例函数 1.1 反比例函数（一）1．反比例函数 xm y 1+=的图象经过点（2，1），则m 的值是 ． 2．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 ． 3．请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数．答： ． 4．已知反比例函数y ＝xa 2-的图象在第二、四象限，则a 的取值范围是 （二）1.反比例函数xky =)0(<k 的图象与经过原点的直线l 相交于A 、B 两点，已知A 点坐标为)1,2(-，那么B 点的坐标为 .2．P 是反比例函数(0)k y k x=<图象上的一点，由P 分别向x 轴和y 轴引垂线，阴影部分面积为3，则k=3．如图，已知点C 为反比例函数6y x=-上的一点，过点C 向坐标轴引垂线，垂足分别为A 、B ，那么四边形AOBC 的面积为 ． （三）1.点A (2，1)在反比例函数y kx=的图像上，当1﹤x ﹤4时，y 的取值范围是2.直线5y x b =-+与双曲线 2y x=- 相交于点P (2,)m -，则 b =3．反比例函数xy 1-=的图象位于（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、四象限D ．第二、三象限（四）1．下列函数中，图像过点M （-2，1）的反比例函数解析式是( )x y A 2.=2.B y x =- x y C 21.= xy D 21.-=2.如果点（3，－4）在反比例函数ky x =的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（ ）A .（3,4）B . （－2，－6）C .（－2，6）D .（－3，－4） 3、已知y 是x 的反比例函数，并且当x=3时，y=-8。
（1）写出y 与x 之间的函数关系式。
（2）求y=2时x 的值。
（五）1指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx 与y=kx （k ≠0）在同一坐标系中的图象 （ ）2．如图13-24，在函数x y 1=的图象上有三点A 、B 、C ，过这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为1S、2S 、3S ，则（ ）（A ）321S S S >> （B ）321S S S <<（C ）231S S S << （D ）321S S S ==3.函数23)2(m x m y --=是反比例函数，则m=______1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数xk y =（k >0）的图象与性质1.（对比练习）（1）已知正比例函数3)1(--=m x m y 中，y 随x 的增大而增大，求m 的值；（2）已知反比例函数3)1(--=m x m y 在每一象限内，y 随x 的增大而增大，求m 的值。
苏科版九年级数学上册1-4《用一元二次方程解决问题》 优生专题培优训练 【含答案】
苏科版九年级数学上册1.4《用一元二次方程解决问题》优生专题培优训练一、选择题1．欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．CD的长C．AD的长D．BC的长2．一个直角三角形的两条直角边的和是28cm，面积是96cm2．设这个直角三角形的一条直角边为xcm，依题意，可列出方程为（）A．x（14﹣x）＝96B．x（14﹣x）＝96C．x（28﹣x）＝96D．x（28﹣x）＝963．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（）A．32×20﹣32x﹣20x＝540B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540C．32x+20x＝540D．（32﹣x）（20﹣x）＝5404．在园林化城市建设期间，某市2018年绿化面积约为1000万平方米，2020年绿化面积约为1210万平方米．如果近几年绿化面积的年增长率相同，则2021年绿化面积约为（）A．1221万平方米B．1331万平方米C．1231万平方米D．1323万平方米5．某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，该玩具的单价每上涨1元，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元，则下列说法错误的是（）A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝37506．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，可列方程（）A．（x+6）2+x2＝102B．（x﹣6）2+x2＝102C．（x+6）2﹣x2＝102D．62+x2＝102二、填空题7．某品牌手机六月份销售400万部，七月份、八月份销售量连续增长，八月份销售量达到576万部，则该品牌手机这两个月销售量的月平均增长率为．8．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为．9．某市准备加大对雾霾的治理力度，第一季度投入资金100万元，第一季度和第三季度计划共投入资金250万元，设第二、三季度计划投入资金的平均增长率为x，可列方程为．10．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B 同时出发，经过秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．11．一个小区用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰好为21米，围成的花坛如图所示，其中∠ACB＝90°，若所修的直角三角形花坛面积是54平方米，则直角三角形的斜边AB长为米．12．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个赢利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天赢利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x元，可列方程为．（不需要化简）13．有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片（如图1），截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）．若纸盒的底面积为600cm2，则纸盒的高为．14．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为．三、解答题15．为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，口罩成了生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩．（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；（2）已知普通口罩每包进价8元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．16．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，该方程变形为x2﹣px＝﹣q，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：已知：x2﹣2x﹣1＝0，且x＞0，求x4﹣2x3﹣3x的值．17．2020年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”600吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为10元/千克，水果商贩上门收购的价格为8元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售100吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高1元/千克．设网上销售价格为20元/千克，本地自产自销的价格仍然为10元/千克．（1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？（2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为920万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？18．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．（1）求矩形花坛的宽是多少米；（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．19．据报道，安徽省2018年全省GDP约为3万亿元，虽然2019年因疫情对经济产生了巨大影响，但在全省人民的共同努力下，2020年全省GDP仍然达到约3.9万亿元．若2019年、2020年全省GDP逐年增长，请解答下列问题：（1）求2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率（≈1.14）；（2）如果2021年和2022年安徽省全省GDP仍保持相同的平均增长率，请预测2022年全省GDP能达到约多少万亿元？20．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．（1）AB＝米（用含x的代数式表示）；（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．答案1．解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．∵AC＝b，BD＝BC＝，∴b2+（）2＝（AD+）2＝AD2+aAD+（）2，∴AD2+aAD＝b2．∵AD2+aAD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且AD的长度为正数，∴AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．故选：C．2．解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（28﹣x）cm，根据题意得：x（28﹣x）＝96，故选：C．3．解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540．故选：D．4．解：设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程：1000（1+x）2＝1210．解方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．所以每年绿化面积的平均增长率为10%．1210×（1+10%）＝1331（万平方米）．故选：B．5．解：设涨价x元，根据题意可得：A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确，不符合题意；B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确，不符合题意；C、∵（300﹣10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确，不符合题意；D、∵可列方程（30+x﹣20）（300﹣10x）＝3750，故D选项错误，符合题意，故选：D．6．解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，依题意得：（x+6）2+x2＝102．故选：A．7．解：该品牌手机这两个月销售量的月平均增长率为x，根据题意，得400×（1+x）2＝576．解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．故答案是：20%．8．解：设有x个队参赛，x（x﹣1）＝90．故x（x﹣1）＝90．9．解：依题意得：100（1+x）2＝250﹣100，即100（1+x）2＝150．故100（1+x）2＝150．10．解：根据题意，知BP＝AB﹣AP＝6﹣t，BQ＝2t．根据三角形的面积公式，得PB•BQ＝××6×8，2t（6﹣t）＝18，（t﹣3）2＝0，解得t＝3．故经过3秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．故答案是：3．11．解：设直角三角形的直角边AC长为x米，则直角边BC长为（21﹣x）米，依题意得：x（21﹣x）＝54，整理得：x2﹣21x+108＝0，解得：x1＝9，x2＝12．当x＝9时，21﹣x＝12；当x＝12时，21﹣x＝9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝15（米）．故15．12．解：设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利（2﹣x）元，平均每天的销售量为（100+80×）个，依题意得：（2﹣x）（100+80×）＝270．故（2﹣x）（100+80×）＝270．13．解：设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，可列方程：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600，解得：x1＝5，x2＝30（舍去），∴纸盒的高为5cm，故5cm．14．解：设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8﹣x，根据题意得：x[x﹣（8﹣x）]＝24，解得：x＝6或x＝﹣2（舍去），故6．15．解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，依题意得：，解得：．答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，依题意得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，整理得：m2+2m﹣8＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴12﹣m＝10．答：此时普通口罩每包的售价为10元．16．解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的解为：x＝＝1±，由于x＞0．所以x＝1+．∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，x2＝2x+1．∴x4﹣2x3﹣3x＝x2（x2﹣2x）﹣3x＝x2﹣3x＝2x+1﹣3x＝1﹣x．当x＝1+时，原式＝1﹣（1+）＝﹣．17．解：（1）设每年有x吨“留香瓜”卖给了水果商贩，则每年有（600﹣x）吨“留香瓜”本地自产自销，依题意得：10（600﹣x）≤×8x，解得：x≥500．答：每年至少有500吨“留香瓜”卖给了水果商贩．（2）设每年在电商平台上销售了y吨“留香瓜”，则水果商贩的收购价为（8+）元/千克，卖给了水果商贩（500﹣y）吨，依题意得：10×1000×100+20×1000y+（8+）×1000（500﹣y）＝，整理得：y2﹣1700y+＝0，解得：y1＝300，y2＝1400，又∵y＜500，∴y＝300．答：每年在电商平台上销售了300吨“留香瓜”．18．解：（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米，依题意得：50×32﹣4x•（x+15）﹣3×（10÷2）2＝1125，整理得：x2+15x﹣100＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意，舍去）．答：矩形花坛的宽是5米．（2）设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×（5+15）﹣y]＝（400﹣y）平方米，依题意得：100y+120（400﹣y）≤42000，解得：y≥300．答：至少要安排甲队施工300平方米．19．解：（1）设2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率为x，依题意得：3（1+x）2＝3.9，解得：x1≈0.14＝14%，x2≈﹣2.14（不合题意，舍去）．答：2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率约为14%．（2）根据题意知，3.9×（1+14%）2＝5.07（万亿元）．答：预测2022年全省GDP能达到约5.07万亿元．20．解：（1）设栅栏BC长为x米，∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），故（51﹣3x）；（2）依题意，得：（51﹣3x）x＝210，整理，得：x2﹣17x+70＝0，解得：x1＝7，x2＝10．当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合题意，舍去，当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，答：栅栏BC的长为10米；（3）不可能，理由如下：依题意，得：（51﹣3x）x＝240，整理得：x2﹣17x+80＝0，∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，∴方程没有实数根，∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米。
湘教版数学九年级上册_课时作业：第1课时_仰角、俯角相关问题
4.4第1课时仰角、俯角相关问题一、选择题1．如图1，某工程队沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，且BD＝500米，∠D＝55°，为了使点A，C，E 在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是()A．500sin55°米B．500cos35°米C．500cos55°米D．500tan55°米图1图22.如图2，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米.2≈1.414)() A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米3．如图3，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是()A．60° B．45° C．15° D．90°图3图44.如图4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度(E，C′，A在同一水平线上)，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是()A．20 3 B．30 m C．30 3 m D．40 m二、填空题5．如图5，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米．(结果保留根号)图5图66.如图6，为了测量出一垂直于水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得顶端A的仰角为30°，则建筑物AB的高度约为________米．(注：测量人员的身高忽略不计，结果按四舍五入保留整数．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)三、解答题7．小亮在某桥附近试飞无人机，如图7，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为60°，30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，求无人机飞行的高度AD约为多少．(精确到0.01米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图78．如图8，小明在教学楼A处分别测得对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一水平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15 m，求实验楼的垂直高度即CD的长约为多少．(精确到1 m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图89．如图9，某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A 距甲楼的距离AB是31 m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.(1)求甲楼的高度BE及彩旗的长度AE(精确到0.01 m)；(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离(精确到0.01 m)．(参考数据：cos31°≈0.857，tan31°≈0.601，cos19°≈0.946，tan19°≈0.344，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839)图910．图10是某小区入口实景图，图②是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的点O处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM＝60°.(1)求点M到地面的距离；(2)某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD 保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．(参考数据：3≈1.732.结果精确到0.01米)图10一题多解在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图11，△ABC是表盘，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒旋转15°，到达AC后立即以相同的旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为(20 3－20)cm.(1)求AB的长；(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2030秒，交点又在什么位置？请说明理由．图11详解详析[课堂达标]1．[解析] C∵∠ABD＝145°，∴∠EBD＝35°.∵∠D＝55°，∴∠E＝90°.在Rt△BED中，BD＝500米，∠D＝55°，∴ED＝500cos55°米．故选C.2．[解析] C过点B作BF⊥CD于点F，过点B′作B′E⊥BD于点E.由题意，得∠DB′F＝67.5°，∠DBF＝45°，∴∠BDC＝45°，∠BDB′＝∠B′DC＝22.5°，∴B′E＝B′F.∵∠EBB′＝45°，∠BEB′＝90°，∴B′E＝B′F＝22BB′＝10 2米，∴DF＝BB′＋B′F＝(20＋10 2)米，∴DC＝DF＋FC＝20＋10 2＋1.6≈35.7(米)．故选C.3．[解析] C在Rt△ACB中，∵sin∠CAB＝BCAC＝3 26＝22，∴∠CAB＝45°.在Rt△AC′B′中，∵sin∠C′AB′＝B′C′AC＝3 36＝32，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，∴鱼竿转过的角度是15°.故选C.4．[答案] B5．[答案] 100 2[解析] 连接AN.由题意知，BM⊥AA′，BA＝BA′，∴AN＝A′N，∴∠ANB＝∠A′NB＝45°.∵∠AMB＝22.5°，∴∠MAN＝∠ANB－∠AMB＝22.5°＝∠AMN，∴AN＝MN＝200米．在Rt△ABN中，∠ANB＝45°，∴AB＝22AN＝100 2(米)．故答案为100 2.6．[答案] 137[解析] 设AB ＝x 米．在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x 米，则BD ＝ BC ＋CD ＝(x ＋100)米．在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝30°，∴tan ∠ADB ＝AB BD ＝33，即xx ＋100＝33，解得x ＝50＋50 3≈137，即建筑物AB 的高度约为137米．故答案为137. 7．解：由题意，得AE ∥CD ，∴∠ACD ＝∠EAC ＝30°，∠ABD ＝∠EAB ＝60°. 设AD ＝x 米．在Rt △ACD 中，tan ∠ACD ＝ADCD，∴CD ＝3x 米． 在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ，∴BD ＝33x 米． ∵CD －BD ＝BC ，BC ＝30米，∴3x －33x ＝30，解得x ＝15 3≈25.98(米)． 答：无人机飞行的高度AD 约为25.98米．8．解：过点A 作AE ⊥CD 于点E.∵AB ＝15 m ，∴DE ＝AB ＝15 m ．∵∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE ＝15 m ．在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CEAE ，则CE ＝AE·tan 37°≈15×0.75≈11(m )，∴CD ＝CE ＋DE≈11＋15＝26(m )．答：实验楼的垂直高度即CD 的长约为26 m .9．解：(1)在Rt △ABE 中，BE ＝AB·tan 31°＝31·tan 31°≈18.63(m )，AE ＝AB cos 31°＝31cos 31°≈36.17(m )，则甲楼的高度BE 约为18.63 m ，彩旗的长度AE 约为36.17 m .(2)过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于点M.在Rt △GMF 中，GM ＝FM·tan 19°.在Rt △GDC 中，DG ＝CD·tan 40°.设甲、乙两楼之间的距离为x m ，则FM ＝CD ＝x m ，根据题意，得x tan 40°－x tan 19°≈18.63，解得x≈37.64，则DG≈37.64·tan 40°≈31.58(m )．答：乙楼的高度约为31.58 m ，甲、乙两楼之间的距离约为37.64 m . 10．解：(1)过点M 作MN ⊥AB 交BA 的延长线于点N. ∵OM ＝1.2米，∠MON ＝60°， ∴ON ＝OM·cos 60°＝0.6米，∴点M 到地面的距离＝ON ＋OB ＝0.6＋3.3＝3.9(米)．(2)能．根据题意可得货车的右端应该在图中点E 处，过点E 作EF ⊥BC ，交OM 于点F ，过点O 作OG ⊥EF 于点G.此时BE ＝3.9－(2.55＋0.65)＝0.7(米)，∴EF ＝GE ＋FG ＝3.3＋0.7·tan 30°≈3.704(米)，∵3.704＞3.5， ∴该货车能安全通过．[素养提升]解：(1)如图①，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D. ∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝30°.令AB ＝2t cm .在Rt △ABD 中，AD ＝12AB ＝t cm ，BD ＝32AB ＝3t cm .在Rt △AMD 中，∵∠AMD ＝∠ABC ＋∠BAM ＝45°，∴MD ＝AD ＝t cm . ∵BM ＝BD －MD ，即3t －t ＝20 3－20，解得t ＝20，∴AB ＝2×20＝40(cm )． 答：AB 的长为40 cm .(2)如图②，当光线旋转6秒时，设AP 交BC 于点N ，此时∠BAN ＝15°×6＝90°. 在Rt △ABN 中，BN ＝AB cos 30°＝4032＝80 33(cm )，∴光线AP 旋转6秒，与BC 的交点N距点B 80 33 cm .如图③，设光线AP 旋转2030秒后光线与BC 的交点为Q.由题意可知，光线从边AB 开始旋转到第一次回到AB 处需120÷15×2＝16(秒)，而2030＝126×16＋14，即AP 旋转2030秒与旋转14秒时和BC 边的交点是同一个点Q.旋转14 s 的过程是B→C ：8 s ，C→Q ：6 s ，∴CQ ＝BN ＝80 33 cm .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴BC ＝2·AB·cos 30°＝2×40×32＝40 3(cm )，∴BQ ＝BC －CQ ＝40 3－80 33＝40 33(cm )，∴光线AP 旋转2030秒，与BC 的交点Q 在距点B 40 33cm 处．。
JJ冀教版 初三九年级数学 上册第一学期 同步课堂补习练习题作业 第24章专题练习10 一元二次方程综合6
第24章专题练习10 一元二次方程综合6一、选择题1．（2015•滨州）用配方法解一元二次方程x 2-6x-10=0时，下列变形正确的为（ ） A ．（x+3）2=1 B ．（x-3）2=1 C ．（x+3）2=19 D ．（x-3）2=19 2．（2015•重庆）一元二次方程2x 2x 0-=的根是（ ）A ．x 1=0，x 2=-2B ．x 1=1，x 2=2C ．x 1=1，x 2=-2D ．x 1=0，x 2=23．（2015•烟台）如果20x x 1x 1--=+（），那么x 的值为（ ） A ．2或-1B ．0或1C ．2D ．-14．（2015•济宁）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x 13x 360-+=的两根，则该三角形的周长为（ ）A ．13B ．15C ．18D ．13或185．（2015•衡阳）若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-3 6．（2015•广西）已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2-7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2+7x-12=0D ．x 2-7x-12=0 7．（2015•锦州）一元二次方程2x 2x 10-+=的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根8．（2015•温州）若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是（ ） A ．-1B ．1C ．-4D ．49．（2015•德州）若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．a≥2B ．a≤2C ．a ＞2D ．a ＜211．（2015•黔东南州）设x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两根，则x 12+x 22=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1212．（2015•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为（ ）A ．x （x-10）=900B ．x （x+10）=900C ．10（x+10）=900D ．2[x+（x+10）]=90013．（2015•安徽）我省2013年的快递业务量为 1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．1.4（1+x ）=4.5 B ．1.4（1+2x ）=4.5C ．1.4（1+x ）2=4.5D ．1.4（1+x ）+1.4（1+x ）2=4.514．（2015•泸州）若关于x 的一元二次方程x 2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b 的大致图象可能是（ ）15．（2015•济南）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm 3，则原铁皮的边长为（ ） A ．10cm B ．13cm C ．14cm D ．16cm16．（2015•日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ） A ．20% B ．40% C ．-220% D ．30%二、填空题18．（2015•丽水）解一元二次方程2x 2x 30+-=时，可转化为解两个一元一次方x x，求k1240m，宽32m 建一条等宽34．（2015•淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？参考答案一、选择题1．D．2．D3．C4．A5．A6．A7．A8．B9．C10．C11．C12．B13．C14．B15．D解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，（x-3×2）（x-3×2）×3=300，解得x1=16，x2=-4（不合题意，舍去）；答：正方形铁皮的边长应是16厘米．故选：D．16．A解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2，解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（舍去）， 故每年投资的增长率为为20%． 故选：A． 二、填空题 17．-318．x 10x 30-=+=或 20．12x 0x 2==，21．8 22．25 23．-3 24．m≤1 25．m ＜-426．k ＜2且k≠127．8100×（1-x ）2=7600 28．（40-x ）（20+2x ）=1200。
苏科版-数学-九年级上册-1.4 用一元二次方程解决问题第1课时 作业
用一元二次方程解决问题第1课时一、选一选.（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）1．用22cm 的铁丝，折成一个面积为30cm 2的矩形，则这个矩形的两边长为( ).(A)5cm 和6cm (B)6cm 和7cm (C)4cm 和7cm (D)4cm 和5cm2.一个多边形的对角线有9条，则这个多边形的边数是（）.(A)6 (B)7 (C) 8 (D) 93. 某超市一月份的营业额为100万元，一、二、三月份的营业额共500万元，若平均每月的增长率为x ，则依题意列方程为( ).(A)2100(1)500x += (B) 1001002500x +⨯= (C)1001003500x +⨯= (D) 2100[1(1)(1)]500x x ++++= 4．从一块长30cm ，宽12cm 的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm 2，则截去小正方形的边长为（）.(A)1cm (B)2cm (C) 3cm (D) 4cm5．某公司向银行贷款20万元，约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的12%， 该公司用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金、利息外，还盈利6.4万元，若经营期间的资金增长率的百分数相同，则这个百分数是（）(A) 22% (B)10% (C)20% (D)15%6.2005年《武汉市政府工作报告》预计今年我市农民人均纯收入将比上年增长6%；又 据武汉统计信息网资料表明2004年我市农民人均纯收入为3955元，比上年增长13.1%．则下列说法：①2003年我市农民人均纯收入为3955113.1%+元；②预计2005年我市农民人均纯收入将达到3955×（1+6%）元；③预计2005年我市农民人均纯收入比2003年增长19.1%．其中正确的是（）.(A)①②③ (B)①② (C)①③ (D)②③二、填一填7.某市政府为了申办2010年冬奥会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划两年时间绿地面积增加44%，这两年平均绿地面积的增长率为.8.小明的父亲到银行存入20000元人民币，存期1年，年利率为1.98%，到期后应缴纳所得利息的20%的利息税，则小明父亲的存款到期交利息税后共得款.三、做一做9. 如图，用长6m的铝合金条制成“日“字形窗框，请问宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5m2（铝合金条的宽度不计）？10. 随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？参考答案一、1.A2.A3.D4.D5.C6.B二、7.20％8.20316.8元三、9. 解：设宽为x m，则高为6-32x m，由题意得：x×6-32x=1.5，解得：x1=x2=1，高是=1.5（米）．答：宽为1米，高为1.5米．10. 解：设乙店销售额月平均增长率为x，由题意得：10（1+2x）2﹣15（1+x）2=10，解得x1=60%，x2=﹣1（舍去）．2x=120%．答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．。
BS北师版 初三九年级数学 上册第一学期 同步课堂补习练习题作业 第一章 1.3 第1课时 正方形的性质2
BS北师版初三九年级数学上册第一学期同步课堂补习练习题作业第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质一、填空题1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°.2、如图，四边形ABDC是正方形，延长CD到点E，使CE=CB，则∠AEC＝°.3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：①∠E=22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有个.4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.5、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°.6、如图，四边形ABCD 是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED重合，则θ值为°第6题图第7题图第8题图第9题图7、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________.8、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为 .9、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应点为A'，且CB'=3，则CN= ；AM的长是 .10、正方形的面积是31，则其对角线长是________.11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .第1题图第2题图第3题图第4题O2O1第11题图第12题图第13题图第14题图12、如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 .13、边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示重叠部分），则这个风筝的面积是 .14、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形AB ′C ′D ′，边B ′C ′与DC 交于点O ，则四边形AB ′OD 的周长是 .15、如右图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确的结论是 .（填序号）16、如右图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作等边△ABE ，CE 与DB 相交于点F ，则= 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学上册作业1
1.下列计算正确的是（ ）．
A
B ．20=102
C ．224=
- D
3=- 2.方程的解是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到了580元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A ．21185580x =
B ．()211851580x -=
C ．()211851580x -=
D ．()258011185x += 4.如图，已知∠ACB ＝∠CBD ＝90°，AC ＝8，CB ＝2， 当BD=（ ）时，图中的两个直角三角形相似。
A.
cm 21 B.8cm C.2cm D.cm 8cm 21或 5、当x_______时，二次根式3-x 有意义．
6、不解方程，判断一元二次方程x 2-2x-1=0根的情况____________________.
7、已知关于x 的方程x 2
-px+q=0的两个根是0和-3，则p+q=_________. 8、若32=b a ，则=+b
b a ． 9、小明的身高是1.5米，他的影长为2米，同一时刻旗杆的影长是36米，则旗杆的高是米.
10、三角形的周长为56cm ，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm ．
11.如图，将矩形纸片ABCD (AD DC >)的一角沿着过点D 的直线折叠，使点A 落在BC
边上，落点为E ,折痕交AB 边交于点F .;若::BE EC m n =，则:A
F F B =_________(用
含有m 、n 的代数式表示) 12、计算：（） ①2752034-+- ②-
-+)2)(2(a a b b a 12⋅
13、解方程（每题4分，共8分）
①x 2－6x ＋1＝0. ②0)1()1(2
=-+-x x x 216x =4x =±4x =4x =-16x =第２题
14(6分)如图所示，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是DC 的中点，N 是AB 的中点．请判断△PMN 的形状，并说明理由．
15、(8分)如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的高
（1）求证：CD 2=AD .BD
（2）如果AC=23，AB=6，求AD 的长
16．（12分)如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标为（6,0），（6,8）。
动点M 、N 分别从O 、B 同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于点P ，连接MP ，已知动点运动了x 秒。
（1）用含x 的代数式表示P 的坐标（直接写出答案）
（2）设O MPC s y 四边形 ，求y 的最小值，并求此时x 的值。
（3）是否存在x 的值，使以P 、A 、M 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，请求x 的值，若不存在，请说明理由；。