2020版高考数学(理)总复习刷题小卷练(含解析)：复数
2020高考数学模拟试题(理)《复数》分类汇编(含答案)
2020高考数学模拟试题（理）《复数》分类汇编一．选择题（共40小题）1．（2020•桥东区校级模拟）若复数52z i=-，则||(z = )A ．1BC ．5D ．2．（2020•涪城区校级模拟）若复数z 满足(12)10z i +=，则复数z 在复平面内对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2020•梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于()A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．04．（2020•龙岩一模）设(1)z i i =-，则(z = ) A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+5．（2020•宜昌模拟）已知纯虚数z 满足(12)2i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．26．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则(1zi=+ ) A ．3322i -+B ．3122i -+C ．1322i -+D ．1322i + 7．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是( ) A ．2z i i =- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =D ．13122z i i =++ 8．（2020•内蒙古模拟）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若1z i =-，则(32)(z i +=)A ．25i --B ．25i -+C ．25i +D ．25i -9．（2020•南海区模拟）复数满足||48z z i +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．（2020•全国一模）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，1zi +是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A ．0a b +=B ．0a b -=C ．20a b -=D ．20a b +=11．（2020•番禺区模拟）设(2)(3)3(5)(i xi y i i +-=++为虚数单位），其中x ，y 是实数，则||x yi +等于( )A ．5B ．13C ．22D ．212．（2020•临汾模拟）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z = )A BC ．5D ．313．（2020•临汾模拟）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2(z z += ) A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+14．（2020•芮城县模拟）已知复数z 满足2z i R +∈，z 的共轭复数为z ，则(z z -= ) A ．0B ．4iC ．4i -D ．4-15．（2020•七星区校级一模）设复数2()z a i a R =+∈的共轭复数为z ，且2z z +=，则复数||2z ai-在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限16．（2020•黄冈模拟）已知i 是虚数单位，设复数112z i =+，22z i =-，则12||(z z = )A ．BC D ．117．（2020•香坊区校级模拟）若复数z 满足||1(z i i -=为虚数单位），则||z 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D 118．（2020•福清市一模）已知复数z 满足0z z -=，且9z z =，则(z = ) A ．3B ．3iC ．3±D ．3i ±19．（2020•河南模拟）设复数()(1)()z a i i a R =+-∈，则复数z 在复平面内对应的点不可能在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．（2020•长治一模）i 为虚数单位，复数1iz i=+的共轭复数z 在复平面内对应的点到点1(2-，1)2的距离为( ) A ．12B ．1C ．2 D ．221．（2020•福清市一模）已知复数z 满足(1)|13|z i i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22．（2020•肇庆二模）设复数z 满足|1|1z -=，则z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则()A ．22(1)1x y ++=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=23．（2020•邵阳一模）若复数z 满足2512z i =-，则(z = ) A ．32i +或32i -- B ．32i -或32i -+C ．12i +或12i -D ．13±24．（2020•河南模拟）设复数(,)z a bi a b R =+∈，定义b ai =+．若2ii=-，则(z = )A ．1355i -+B ．1355i -C ．3155i -+D ．3155i --25．（2020•湖南模拟）若(4)()0mi m i -+，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( ) A ．2-B ．4-C ．4D ．226．（2020•湖北模拟）已知复数z 满足4z z =且||0z z z ++=，则2019z 的值为( ) A ．1-B ．2- 2019C ．1D ．2 201927．（2020•来宾模拟）已知复数z 满足(2)|34|(z i i i -=+为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)--D ．(2,1)--28．（2020•东湖区校级模拟）已知i 为虚数单位，211z i i=--，则关于复数z 的说法正确的是( ) A ．||1z =B ．z 对应复平面内的点在第三象限C ．z 的虚部为i -D ．2z z +=29．（2020•洛阳一模）已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|1|(z -=)A ．0B ．1C D ．230．（2020•合肥一模）设复数z 满足|1|||(z z i i -=-为虚数单位），z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( )A ．y x =-B ．y x =C ．22(1)(1)1x y -+-=D ．22(1)(1)1x y +++=31．（2020•乐山模拟）已知(5,1)OA =-，(3,2)OB =，AB 对应的复数为z ，则(z = ) A ．5i -B ．32i +C ．23i -+D ．23i --32．（2020•静安区一模）设x ，y R ∈，若复数x iy i+-是纯虚数，则点(,)P x y 一定满足( ) A ．y x =B ．1y x=C ．y x =-D ．1y x=-33．（2020•德阳模拟）已知i 为虚数单位，a 、b R ∈，z a i =+，z i z b=+，则(ab = ) A ．1B ．1-C ．12D ．234．（2020•奉贤区一模）复数z 满足|3|2(z i i -=为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是( ) A ．[3，7]B ．[0，5]C ．[0，9]D ．以上都不对35．（2020•开封一模）在复平面内，复数1a ii++对应的点位于直线y x =的左上方，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞36．（2020•武侯区校级模拟）复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，则3()(1iIm i+=+ ) A ．2-B ．1-C ．1D ．237．（2020•黄冈模拟）已知复数21z i=-+，则( ) A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1C ．||2z =D ．z 的虚部为1-38．（2019•路南区校级模拟）若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()θπ-的值为() A ．34B ．43 C ．34-D ．43-39．（2020•涪城区校级模拟）虚数(2)x yi -+中x ，y 均为实数，当此虚数的模为1时，y x的取值范围是( )A ．[B ．[0)(0⋃C ．[D ．[0)(0⋃40．（2020•邵阳一模）在复平面内，复数cos3sin3(z i i =+是虚数单位）对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案解析一．选择题（共40小题）1．（2020•桥东区校级模拟）若复数52z i=-，则||(z = )A ．1B C ．5 D ．【解答】解：复数55(2)22(2)(2)i z i i i i +===+--+；||z ∴=故选：B ．2．（2020•涪城区校级模拟）若复数z 满足(12)10z i +=，则复数z 在复平面内对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(12)10z i +=得1010(12)10(12)2412(12)(12)5i i z i i i i --====-++-， 对应点的坐标为(2,4)-， 位于第四象限，故选：D ．3．（2020•梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于()A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．0【解答】解：由(1)22z i i -=+， 得22(22)(1)21(1)(1)i i i z i i i i +++===--+． 故选：B ．4．（2020•龙岩一模）设(1)z i i =-，则(z = ) A ．1i - B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【解答】解：(1)1z i i i =-=+，∴1z i =-．故选：A ．5．（2020•宜昌模拟）已知纯虚数z 满足(12)2i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：由(12)2i z ai -=+，得2(2)(12)2412(12)(12)55ai ai i a az i i i i +++-+===+--+， z 为纯虚数，∴2040a a -=⎧⎨+≠⎩，即2a =．故选：D ．6．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则(1zi=+ ) A ．3322i -+B ．3122i -+C ．1322i -+D ．1322i + 【解答】解：由题意，12z i =-+， 则12(12)(1)1311(1)(1)22z i i i i i i i i -+-+-===++++-． 故选：D ．7．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是( ) A ．2z i i =-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．||5z =D ．13122z i i =++ 【解答】解：由题意，12z i =-+， 则(12)2z i i i i =-+=--，故A 错误； 复数z 的共轭复数是12i --，故B 错误；||z =C 错误；12(12)(1)1311(1)(1)22z i i i i i i i i -+-+-===++++-，故D 正确． 故选：D ．8．（2020•内蒙古模拟）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若1z i =-，则(32)(z i +=)A ．25i --B ．25i -+C ．25i +D ．25i -【解答】解：由1z i =-，得(32)(322)(52)25z i i i i i i +=++=+=-+． 故选：B ．9．（2020•南海区模拟）复数满足||48z z i +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈，则||48z z a bi i +=+++，∴64,6888a a z ib b ⎧=-⎧⎪+=⇒∴=-+⎨⎨==⎩⎪⎩，所以复数z 在复平面内所对应的点在第二象限． 故选：B ．10．（2020•全国一模）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，1zi +是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A ．0a b +=B ．0a b -=C ．20a b -=D ．20a b +=【解答】解：由(,)z a bi a b R =+∈， 得()(1)11(1)(1)22z a bi a bi i a b b a i i i i i ++-+-===++++-， 由题意，0b a -=． 故选：B ．11．（2020•番禺区模拟）设(2)(3)3(5)(i xi y i i +-=++为虚数单位），其中x ，y 是实数，则||x yi +等于( )A ．5B ．13C ．22D ．2【解答】解：(2)(3)3(5)i xi y i +-=++， (6)(32)3(5)x x i y i ∴++-=++， ∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得：34x y =-⎧⎨=⎩，34x yi i ∴+=-+，||5x yi ∴+=，故选：A ．12．（2020•临汾模拟）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z = )A BC ．5D ．3【解答】解：201722(1)3313121(1)(1)i i i z i i i i i i i i -=-=-=+-=-++-， 则12z i =+，故2||5z z z ==． 故选：C ．13．（2020•临汾模拟）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2(z z += ) A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【解答】解：复数1z i =+，∴1z i =-，22(1)2z i i =+=，则2121z z i i i +=-+=+， 故选：A ．14．（2020•芮城县模拟）已知复数z 满足2z i R +∈，z 的共轭复数为z ，则(z z -= ) A ．0 B ．4iC ．4i -D ．4-【解答】解：2z i R +∈，设2z i a R +=∈，则2z a i =-，则2(2)4z z a i a i i -=--+=-．15．（2020•七星区校级一模）设复数2()z a i a R =+∈的共轭复数为z ，且2z z +=，则复数||2z ai-在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：221z z a a +==⇒=，|||12|22z i ai i +==--， 故选：A ．16．（2020•黄冈模拟）已知i 是虚数单位，设复数112z i =+，22z i =-，则12||(z z = ) A．BCD ．1【解答】解：112z i =+，22z i =-，∴1212(12)(2)2(2)(2)z i i i i z i i i +++===--+， 则12||1z z =． 故选：D ．17．（2020•香坊区校级模拟）若复数z满足||1(z i i -=为虚数单位），则||z 的最大值为() A ．1B ．2C ．3D1【解答】解：设z x yi =+，由||1z i =可得，22((1)1x y +-=， 即复数z在复平面上对应的点的轨迹是以1)为圆心，以1为半径的圆， 则||z13=， 故选：C ．18．（2020•福清市一模）已知复数z 满足0z z -=，且9z z =，则(z = ) A ．3B ．3iC ．3±D ．3i ±【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈，由0z z -=，且9z z =，得209b a =⎧⎨=⎩，即3a =±，0b =．3z ∴=±．19．（2020•河南模拟）设复数()(1)()z a i i a R =+-∈，则复数z 在复平面内对应的点不可能在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数()(1)()z a i i a R =+-∈，设复数z 在复平面内对应点的坐标为(,)x y ， 则11x a y a =+⎧⎨=-⎩，消去参数a ，得点P 的轨迹方程为2x y +=，∴点P 不可能在第三象限．故选：C ．20．（2020•长治一模）i 为虚数单位，复数1iz i=+的共轭复数z 在复平面内对应的点到点1(2-，1)2的距离为( )A ．12B ．1C ．2D 【解答】解：(1)111(1)(1)22i i i z i i i i -===+++-，∴1122z i =-， z 在复平面内对应的点的坐标为1(2，1)2-，到点1(2-，1)2的距离为故选：D ．21．（2020•福清市一模）已知复数z 满足(1)|1|z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：(1)|1|2z i +=，22(1)11(1)(1)i z i i i i -∴===-++-， ∴1z i =+，∴z 对应的点位于第一象限，故选：A ．22．（2020•肇庆二模）设复数z 满足|1|1z -=，则z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则()A ．22(1)1x y ++=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=【解答】解：设(,)z x yi x y R =+∈， 由|1|1z -=，得|(1)|1x yi -+=．22(1)1x y ∴-+=． 故选：B ．23．（2020•邵阳一模）若复数z 满足2512z i =-，则(z = ) A ．32i +或32i -- B ．32i -或32i -+C ．12i +或12i -D ．13±【解答】解：设复数(,)z a bi a b R =+∈，满足2512z i =-， 222512a b abi i ∴-+=-， 225a b ∴-=，212ab =-，解得3a =，2b =-，或3a =-，2b =． 32z i ∴=-，或32i -+．故选：B ．24．（2020•河南模拟）设复数(,)z a bi a b R =+∈，定义b ai =+．若2ii=-，则(z = )A ．1355i -+B ．1355i -C ．3155i -+D ．3155i --【解答】解：2ii=-， ∴22(1)(1)(2)322155i i i i ii +-++===-+-+， 则1355z i =-．故选：B ．25．（2020•湖南模拟）若(4)()0mi m i -+，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( ) A ．2-B ．4-C ．4D ．2【解答】解：2(4)()5(4)0mi m i m m i -+=+-， ∴2040m m >⎧⎨-=⎩，即2m =．故选：D ．26．（2020•湖北模拟）已知复数z 满足4z z =且||0z z z ++=，则2019z 的值为( ) A ．1-B ．2- 2019C ．1D ．2 2019【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈， 由4z z =且||0z z z ++=，得 224220a b a ⎧+=⎨+=⎩，解得1a =-，b =112()2z ∴=-=-，而32231111()3()()3()()()12822-=-+⨯-⨯+⨯-⨯+=，32231111()3()3()))12822-=-+⨯-+⨯-⨯+=． ∴20192019201920193673201913132()2[()]222z i i =-±=-±=． 故选：D ．27．（2020•来宾模拟）已知复数z 满足(2)|34|(z i i i -=+为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)--D ．(2,1)--【解答】解：由题意，(2)5z i -=， 故55(2)22(2)(2)i z i i i i +===+--+，其在复数平面内对应的点的坐标为(2,1)． 故选：B ．28．（2020•东湖区校级模拟）已知i 为虚数单位，211z i i=--，则关于复数z 的说法正确的是( ) A ．||1z =B ．z 对应复平面内的点在第三象限C ．z 的虚部为i -D ．2z z +=【解答】解：由211z i i=--，得2(1)2i z i -==-， ||1z ∴=．故选：A ．29．（2020•洛阳一模）已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|1|(z -=)A ．0B ．1C D ．2【解答】解：22(1)1x y -+=，表示以(1,0)C 为圆心，1为半径的圆． 则|1|1z -=． 故选：B ．30．（2020•合肥一模）设复数z 满足|1|||(z z i i -=-为虚数单位），z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( )A ．y x =-B ．y x =C ．22(1)(1)1x y -+-=D ．22(1)(1)1x y +++=【解答】解：由z 在复平面内对应的点为(,)x y ，且|1|||z z i -=-， 得|1||(1)|x yi x y i -+=+-，∴整理得：y x =． 故选：B ．31．（2020•乐山模拟）已知(5,1)OA =-，(3,2)OB =，AB 对应的复数为z ，则(z = ) A ．5i - B ．32i +C ．23i -+D ．23i --【解答】解：(5,1)OA =-，(3,2)OB =，∴()(2AB OA OB =--=-，3)，对应的复数为23z i =-+，则23z i =--， 故选：D ．32．（2020•静安区一模）设x ，y R ∈，若复数x iy i+-是纯虚数，则点(,)P x y 一定满足( ) A ．y x =B ．1y x=C ．y x =-D ．1y x=-【解答】解：由22()()1()()11x i x i y i xy x yi y i y i y i y y +++-+==+--+++是纯虚数， ∴100xy x y -=⎧⎨+≠⎩，得0x ≠，1y x =．故选：B ．33．（2020•德阳模拟）已知i 为虚数单位，a 、b R ∈，z a i =+，z i z b=+，则(ab = ) A ．1B ．1-C ．12D ．2【解答】解：由z a i =+，z i z b =+，得a i i a b i+=++， 1()a i a b i ∴+=-++，则11a a b =-⎧⎨+=⎩，即1a =-，2b =．1122a b -∴==． 故选：C ．34．（2020•奉贤区一模）复数z 满足|3|2(z i i -=为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是( ) A ．[3，7]B ．[0，5]C ．[0，9]D ．以上都不对【解答】解：由|3|2z i -=，可知复数z 对应点的轨迹为以(0,3)B 为圆心，以2为半径的圆上， 如图：则复数4z -模的最小值为||2523AB -=-=，最大值为||2527AB +=+=．∴复数4z -模的取值范围是[3，7]．故选：A ．35．（2020•开封一模）在复平面内，复数1a ii++对应的点位于直线y x =的左上方，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞【解答】解：()(1)111(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-，∴复数1a i i ++对应的点的坐标为11(,)22a a+-， 由复数1a ii++对应的点位于直线y x =的左上方，得 11022a a a -+-=->，即0a <． ∴实数a 的取值范围是(,0)-∞．故选：A ．36．（2020•武侯区校级模拟）复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，则3()(1iIm i+=+ ) A ．2- B ．1-C ．1D ．2【解答】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：B ．37．（2020•黄冈模拟）已知复数21z i=-+，则( ) A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1C ．||2z =D ．z 的虚部为1-【解答】解：复数22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--， 可得，复数的虚部为：1-． 故选：D ．38．（2019•路南区校级模拟）若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()θπ-的值为() A ．34B ．43 C ．34-D ．43-【解答】解：34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，3sin 05θ∴-=且4cos 05θ-≠，即3sin 5θ=且4cos 5θ≠，即4cos 5θ=-，则335tan 445θ==--，则3tan()tan 4θπθ-==-，故选：C ．39．（2020•涪城区校级模拟）虚数(2)x yi -+中x ，y 均为实数，当此虚数的模为1时，yx的取值范围是( ) A ．3[-，3] B ．3[-，0)(0⋃，3] C ．[3-，3]D ．[3-，0)(0⋃，3]【解答】解：由题意可得0y ≠，且22(2)1x y -+=，∴点(,)x y 在以(2,0)为圆心，1为半径的圆上（与x 轴交点除外），yx表示圆上的点与原点连线的斜率， 易得直线OA 与OB 的斜率分别为3，3- 数形结合可知yx的取值范围为：3[-，0)(0⋃，3]故选：B ．40．（2020•邵阳一模）在复平面内，复数cos3sin3(z i i =+是虚数单位）对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：32ππ<<sin30∴>，cos30<∴对应的点在第二象限．故选B ．。
2020年高考数学试题分类汇编：复数
2020年高考数学试题分类汇编：复数【考点阐述】复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充． 【考试要求】（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． 【考题分类】（一）选择题（共18题）1．（安徽卷理1）复数 32(1)i i +=（ ） A ．2B ．－2C ．2i D ． 2i -【标准答案】：A 。
【试题解析】：=+23)1(i i 2)2)((=-i i2．（福建卷理1）若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A.1B.2C.1或2D.-1【标准答案】B 【试题解析】由2320aa -+=得12a =或,且101a a -≠≠得2a ∴=【高考考点】虚数的有关概念及二次方程的解【易错提醒】对于纯虚数一定要使虚部不为0才可,往往很多考生就忽视了这点. 【学科网备考提示】对于书上的概念一定要熟记,特别注意易错点.3．（广东卷理1文2）已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A ．(15)，B ．(13)，C ．(1D ．【标准答案】Ｃ【解析】本题考查复数的基本概念及复数模的求法，同时考查利用函数思想求范围。
由于0＜a ＜2，故2115a<+<∴(z =4．（海南宁夏卷理2）已知复数z =1-i,则122--z zz =(A)2i(B)-2i(C)2(D)-2【标准答案】Ｂ【试题解析】将1=-z i 代入得()()221212222111i i z z i z i i i------====------，选Ｂ5．（海南宁夏卷文3）已知复数1z i =-，则21z z =-（ ） A. 2B. －2C. 2iD. －2i【标准答案】Ａ【试题解析】将1=-z i 代入得()22122111--===----i z iz i i，选Ａ6．（湖南卷理1）复数31()i i-等于( ) A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D【解析】由33412()()88ii i ii i--==-⋅=-,易知D 正确. 7．（江西卷理1）在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D .【解析】因sin 20,cos 20><所以sin 2cos2z i =+对应的点在第四象限， 8．（辽宁卷理4）复数11212i i+-+-的虚部是（ ）A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-9．（全国Ⅰ卷理4）设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D 【解析】222a 1=0(a 1+2ai)i=(a 1)i 2a, a= 1.2a>0D⎧⎨⎩本题主要考查了复数的运算。
高考数学专题《复数》习题含答案解析
专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（ ）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为 ，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（ ）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（ ）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。
2020高考数学模拟试题(理)《复数》分类汇编(含答案)
2020高考数学模拟试题（理）《复数》分类汇编一．选择题（共40小题）1．（2020•桥东区校级模拟）若复数52z i=-，则||(z = )A ．1BC ．5D ．2．（2020•涪城区校级模拟）若复数z 满足(12)10z i +=，则复数z 在复平面内对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2020•梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于()A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．04．（2020•龙岩一模）设(1)z i i =-，则(z = ) A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+5．（2020•宜昌模拟）已知纯虚数z 满足(12)2i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．26．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则(1zi=+ ) A ．3322i -+B ．3122i -+C ．1322i -+D ．1322i + 7．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是( ) A ．2z i i =-g B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =D ．13122z i i =++ 8．（2020•内蒙古模拟）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若1z i =-，则(32)(z i +=)A ．25i --B ．25i -+C ．25i +D ．25i -9．（2020•南海区模拟）复数满足||48z z i +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．（2020•全国一模）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，1zi +是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A ．0a b +=B ．0a b -=C ．20a b -=D ．20a b +=11．（2020•番禺区模拟）设(2)(3)3(5)(i xi y i i +-=++为虚数单位），其中x ，y 是实数，则||x yi +等于( )A ．5B ．13C ．22D ．212．（2020•临汾模拟）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z =g )A BC ．5D ．313．（2020•临汾模拟）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2(z z += ) A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+14．（2020•芮城县模拟）已知复数z 满足2z i R +∈，z 的共轭复数为z ，则(z z -= ) A ．0B ．4iC ．4i -D ．4-15．（2020•七星区校级一模）设复数2()z a i a R =+∈的共轭复数为z ，且2z z +=，则复数||2z ai-在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限16．（2020•黄冈模拟）已知i 是虚数单位，设复数112z i =+，22z i =-，则12||(z z = )A ．BC D ．117．（2020•香坊区校级模拟）若复数z 满足||1(z i i -=为虚数单位），则||z 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D 118．（2020•福清市一模）已知复数z 满足0z z -=，且9z z =g ，则(z = ) A ．3B ．3iC ．3±D ．3i ±19．（2020•河南模拟）设复数()(1)()z a i i a R =+-∈，则复数z 在复平面内对应的点不可能在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．（2020•长治一模）i 为虚数单位，复数1iz i=+的共轭复数z 在复平面内对应的点到点1(2-，1)2的距离为( ) A ．12B ．1C ．2 D ．221．（2020•福清市一模）已知复数z 满足(1)|13|z i i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22．（2020•肇庆二模）设复数z 满足|1|1z -=，则z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则()A ．22(1)1x y ++=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=23．（2020•邵阳一模）若复数z 满足2512z i =-，则(z = ) A ．32i +或32i -- B ．32i -或32i -+C ．12i +或12i -D ．13±24．（2020•河南模拟）设复数(,)z a bi a b R =+∈，定义b ai =+．若2ii=-，则(z = )A ．1355i -+B ．1355i -C ．3155i -+D ．3155i --25．（2020•湖南模拟）若(4)()0mi m i -+…，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( ) A ．2-B ．4-C ．4D ．226．（2020•湖北模拟）已知复数z 满足4z z =g 且||0z z z ++=，则2019z 的值为( ) A ．1-B ．2-2019C ．1D ．2201927．（2020•来宾模拟）已知复数z 满足(2)|34|(z i i i -=+为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)--D ．(2,1)--28．（2020•东湖区校级模拟）已知i 为虚数单位，211z i i=--g ，则关于复数z 的说法正确的是( ) A ．||1z =B ．z 对应复平面内的点在第三象限C ．z 的虚部为i -D ．2z z +=29．（2020•洛阳一模）已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|1|(z -=)A ．0B ．1CD ．230．（2020•合肥一模）设复数z 满足|1|||(z z i i -=-为虚数单位），z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( )A ．y x =-B ．y x =C ．22(1)(1)1x y -+-=D ．22(1)(1)1x y +++=31．（2020•乐山模拟）已知(5,1)OA =-u u u r ，(3,2)OB =u u u r ，AB u u u r 对应的复数为z ，则(z = )A ．5i -B ．32i +C ．23i -+D ．23i --32．（2020•静安区一模）设x ，y R ∈，若复数x iy i+-是纯虚数，则点(,)P x y 一定满足( ) A ．y x =B ．1y x=C ．y x =-D ．1y x =-33．（2020•德阳模拟）已知i 为虚数单位，a 、b R ∈，z a i =+，z i z b=+，则(ab = ) A ．1B ．1-C ．12D ．234．（2020•奉贤区一模）复数z 满足|3|2(z i i -=为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是( ) A ．[3，7]B ．[0，5]C ．[0，9]D ．以上都不对35．（2020•开封一模）在复平面内，复数1a ii++对应的点位于直线y x =的左上方，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞36．（2020•武侯区校级模拟）复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，则3()(1iIm i+=+ ) A ．2-B ．1-C ．1D ．237．（2020•黄冈模拟）已知复数21z i=-+，则( ) A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1C ．||2z =D ．z 的虚部为1-38．（2019•路南区校级模拟）若34sin(cos)55z iθθ=-+-是纯虚数，则tan()θπ-的值为()A．34B．43C．34-D．43-39．（2020•涪城区校级模拟）虚数(2)x yi-+中x，y均为实数，当此虚数的模为1时，y x的取值范围是()A．[B．[0)(0⋃C．[D．[0)(0⋃40．（2020•邵阳一模）在复平面内，复数cos3sin3(z i i=+是虚数单位）对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案解析一．选择题（共40小题）1．（2020•桥东区校级模拟）若复数52zi=-，则||(z=)A．1B C．5D．【解答】解：Q复数55(2)22(2)(2)iz ii i i+===+--+；||z∴=故选：B．2．（2020•涪城区校级模拟）若复数z满足(12)10z i+=，则复数z在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由(12)10z i+=得1010(12)10(12)24 12(12)(12)5i iz ii i i--====-++-，对应点的坐标为(2,4)-，位于第四象限，故选：D ．3．（2020•梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于()A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．0【解答】解：由(1)22z i i -=+， 得22(22)(1)21(1)(1)i i i z i i i i +++===--+． 故选：B ．4．（2020•龙岩一模）设(1)z i i =-，则(z = ) A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【解答】解：(1)1z i i i =-=+Q ，∴1z i =-．故选：A ．5．（2020•宜昌模拟）已知纯虚数z 满足(12)2i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：由(12)2i z ai -=+，得2(2)(12)2412(12)(12)55ai ai i a az i i i i +++-+===+--+， z Q 为纯虚数，∴2040a a -=⎧⎨+≠⎩，即2a =．故选：D ．6．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则(1zi=+ ) A ．3322i -+B ．3122i -+C ．1322i -+D ．1322i + 【解答】解：由题意，12z i =-+， 则12(12)(1)1311(1)(1)22z i i i i i i i i -+-+-===++++-． 故选：D ．7．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是( ) A ．2z i i =-gB ．复数z 的共轭复数是12i -C ．||5z =D ．13122z i i =++ 【解答】解：由题意，12z i =-+， 则(12)2z i i i i =-+=--g ，故A 错误； 复数z 的共轭复数是12i --，故B 错误；||z =C 错误；12(12)(1)1311(1)(1)22z i i i i i i i i -+-+-===++++-，故D 正确． 故选：D ．8．（2020•内蒙古模拟）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若1z i =-，则(32)(z i +=)A ．25i --B ．25i -+C ．25i +D ．25i -【解答】解：由1z i =-，得(32)(322)(52)25z i i i i i i +=++=+=-+． 故选：B ．9．（2020•南海区模拟）复数满足||48z z i +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈，则||48z z a bi i +=+++，∴64,6888a a z ib b ⎧=-⎧⎪+=⇒∴=-+⎨⎨==⎩⎪⎩，所以复数z 在复平面内所对应的点在第二象限． 故选：B ．10．（2020•全国一模）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，1zi +是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A ．0a b +=B ．0a b -=C ．20a b -=D ．20a b +=【解答】解：由(,)z a bi a b R =+∈， 得()(1)11(1)(1)22z a bi a bi i a b b a i i i i i ++-+-===++++-， 由题意，0b a -=． 故选：B ．11．（2020•番禺区模拟）设(2)(3)3(5)(i xi y i i +-=++为虚数单位），其中x ，y 是实数，则||x yi +等于( )A ．5B ．13C ．22D ．2【解答】解：(2)(3)3(5)i xi y i +-=++Q ， (6)(32)3(5)x x i y i ∴++-=++， ∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得：34x y =-⎧⎨=⎩，34x yi i ∴+=-+，||5x yi ∴+=，故选：A ．12．（2020•临汾模拟）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z =g )A BC ．5D ．3【解答】解：201722(1)3313121(1)(1)i i i z i i i i i i i i -=-=-=+-=-++-， 则12z i =+，故2||5z z z ==g ． 故选：C ．13．（2020•临汾模拟）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2(z z += ) A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【解答】解：复数1z i =+，∴1z i =-，22(1)2z i i =+=，则2121z z i i i +=-+=+， 故选：A ．14．（2020•芮城县模拟）已知复数z 满足2z i R +∈，z 的共轭复数为z ，则(z z -= ) A ．0B ．4iC ．4i -D ．4-【解答】解：2z i R +∈Q ，设2z i a R +=∈， 则2z a i =-，则2(2)4z z a i a i i -=--+=-．15．（2020•七星区校级一模）设复数2()z a i a R =+∈的共轭复数为z ，且2z z +=，则复数||2z ai-在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：221z z a a +==⇒=，|||12|22z i ai i +==--， 故选：A ．16．（2020•黄冈模拟）已知i 是虚数单位，设复数112z i =+，22z i =-，则12||(z z = ) A．BCD ．1【解答】解：112z i =+，22z i =-，∴1212(12)(2)2(2)(2)z i i i i z i i i +++===--+， 则12||1z z =． 故选：D ．17．（2020•香坊区校级模拟）若复数z满足||1(z i i -=为虚数单位），则||z 的最大值为() A ．1B ．2C ．3D1【解答】解：设z x yi =+，由||1z i =可得，22((1)1x y +-=， 即复数z在复平面上对应的点的轨迹是以1)为圆心，以1为半径的圆， 则||z13=， 故选：C ．18．（2020•福清市一模）已知复数z 满足0z z -=，且9z z =g ，则(z = ) A ．3B ．3iC ．3±D ．3i ±【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈，由0z z -=，且9z z =g ，得209b a =⎧⎨=⎩，即3a =±，0b =．3z ∴=±．19．（2020•河南模拟）设复数()(1)()z a i i a R =+-∈，则复数z 在复平面内对应的点不可能在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：Q 复数()(1)()z a i i a R =+-∈，设复数z 在复平面内对应点的坐标为(,)x y ， 则11x a y a =+⎧⎨=-⎩，消去参数a ，得点P 的轨迹方程为2x y +=，∴点P 不可能在第三象限．故选：C ．20．（2020•长治一模）i 为虚数单位，复数1iz i=+的共轭复数z 在复平面内对应的点到点1(2-，1)2的距离为( )A ．12B ．1C ．2D【解答】解：(1)111(1)(1)22i i i z i i i i -===+++-Q ，∴1122z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为1(2，1)2-，到点1(2-，1)2的距离为故选：D ．21．（2020•福清市一模）已知复数z 满足(1)|1|z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(1)|1|2z i +=Q ， 22(1)11(1)(1)i z i i i i -∴===-++-， ∴1z i =+，∴z 对应的点位于第一象限，故选：A ．22．（2020•肇庆二模）设复数z 满足|1|1z -=，则z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则()A ．22(1)1x y ++=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=【解答】解：设(,)z x yi x y R =+∈， 由|1|1z -=，得|(1)|1x yi -+=．22(1)1x y ∴-+=． 故选：B ．23．（2020•邵阳一模）若复数z 满足2512z i =-，则(z = ) A ．32i +或32i -- B ．32i -或32i -+C ．12i +或12i -D ．13±【解答】解：设复数(,)z a bi a b R =+∈，满足2512z i =-， 222512a b abi i ∴-+=-， 225a b ∴-=，212ab =-，解得3a =，2b =-，或3a =-，2b =． 32z i ∴=-，或32i -+．故选：B ．24．（2020•河南模拟）设复数(,)z a bi a b R =+∈，定义b ai =+．若2ii=-，则(z = )A ．1355i -+B ．1355i -C ．3155i -+D ．3155i --【解答】解：Q2ii=-， ∴22(1)(1)(2)322155i i i i ii +-++===-+-+， 则1355z i =-．故选：B ．25．（2020•湖南模拟）若(4)()0mi m i -+…，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( ) A ．2-B ．4-C ．4D ．2【解答】解：2(4)()5(4)0mi m i m m i -+=+-Q …， ∴2040m m >⎧⎨-=⎩，即2m =．故选：D ．26．（2020•湖北模拟）已知复数z 满足4z z =g 且||0z z z ++=，则2019z 的值为( ) A ．1-B ．2-2019C ．1D ．22019【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈， 由4z z =g 且||0z z z ++=，得 224220a b a ⎧+=⎨+=⎩，解得1a =-，b =112()2z ∴=-=-，而32231111()3()()3()()()12822-=-+⨯-⨯+⨯-⨯+=，32231111()3()3()))12822-=-+⨯-+⨯-⨯+=．∴201920192019201936732019112()2[()]222z =-±=-±=g g ． 故选：D ．27．（2020•来宾模拟）已知复数z 满足(2)|34|(z i i i -=+为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)--D ．(2,1)--【解答】解：由题意，(2)5z i -=， 故55(2)22(2)(2)i z i i i i +===+--+，其在复数平面内对应的点的坐标为(2,1)． 故选：B ．28．（2020•东湖区校级模拟）已知i 为虚数单位，211z i i=--g ，则关于复数z 的说法正确的是( ) A ．||1z =B ．z 对应复平面内的点在第三象限C ．z 的虚部为i -D ．2z z +=【解答】解：由211z i i=--g ，得2(1)2i z i -==-， ||1z ∴=．故选：A ．29．（2020•洛阳一模）已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|1|(z -=)A ．0B ．1CD ．2【解答】解：22(1)1x y -+=，表示以(1,0)C 为圆心，1为半径的圆． 则|1|1z -=． 故选：B ．30．（2020•合肥一模）设复数z 满足|1|||(z z i i -=-为虚数单位），z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( )A ．y x =-B ．y x =C ．22(1)(1)1x y -+-=D ．22(1)(1)1x y +++=【解答】解：由z 在复平面内对应的点为(,)x y ，且|1|||z z i -=-， 得|1||(1)|x yi x y i -+=+-，∴整理得：y x =． 故选：B ．31．（2020•乐山模拟）已知(5,1)OA =-u u u r ，(3,2)OB =u u u r ，AB u u u r 对应的复数为z ，则(z = )A ．5i -B ．32i +C ．23i -+D ．23i --【解答】解：Q (5,1)OA =-u u u r ，(3,2)OB =u u u r，∴()(2AB OA OB =--=-u u u r u u u r u u u r，3)，对应的复数为23z i =-+，则23z i =--， 故选：D ．32．（2020•静安区一模）设x ，y R ∈，若复数x iy i+-是纯虚数，则点(,)P x y 一定满足( ) A ．y x =B ．1y x=C ．y x =-D ．1y x=-【解答】解：由22()()1()()11x i x i y i xy x yi y i y i y i y y +++-+==+--+++是纯虚数， ∴100xy x y -=⎧⎨+≠⎩，得0x ≠，1y x =．故选：B ．33．（2020•德阳模拟）已知i 为虚数单位，a 、b R ∈，z a i =+，z i z b=+，则(ab = ) A ．1B ．1-C ．12D ．2【解答】解：由z a i =+，z i z b =+，得a i i a b i+=++， 1()a i a b i ∴+=-++，则11a a b =-⎧⎨+=⎩，即1a =-，2b =．1122a b -∴==． 故选：C ．34．（2020•奉贤区一模）复数z 满足|3|2(z i i -=为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是( ) A ．[3，7]B ．[0，5]C ．[0，9]D ．以上都不对【解答】解：由|3|2z i -=，可知复数z 对应点的轨迹为以(0,3)B 为圆心，以2为半径的圆上， 如图：则复数4z -模的最小值为||2523AB -=-=，最大值为||2527AB +=+=．∴复数4z -模的取值范围是[3，7]．故选：A ．35．（2020•开封一模）在复平面内，复数1a ii++对应的点位于直线y x =的左上方，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞【解答】解：Q()(1)111(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-，∴复数1a i i ++对应的点的坐标为11(,)22a a+-， 由复数1a ii++对应的点位于直线y x =的左上方，得 11022a a a -+-=->，即0a <． ∴实数a 的取值范围是(,0)-∞．故选：A ．36．（2020•武侯区校级模拟）复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，则3()(1iIm i+=+ ) A ．2- B ．1-C ．1D ．2【解答】解：Q3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：B ．37．（2020•黄冈模拟）已知复数21z i=-+，则( ) A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1C ．||2z =D ．z 的虚部为1-【解答】解：复数22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--， 可得，复数的虚部为：1-． 故选：D ．38．（2019•路南区校级模拟）若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()θπ-的值为() A ．34B ．43 C ．34-D ．43-【解答】解：34sin (cos )55z i θθ=-+-Q 是纯虚数，3sin 05θ∴-=且4cos 05θ-≠，即3sin 5θ=且4cos 5θ≠，即4cos 5θ=-，则335tan 445θ==--，则3tan()tan 4θπθ-==-，故选：C ．39．（2020•涪城区校级模拟）虚数(2)x yi -+中x ，y 均为实数，当此虚数的模为1时，yx的取值范围是( ) A ．3[-，3] B ．3[-，0)(0⋃，3] C ．[3-，3]D ．[3-，0)(0⋃，3]【解答】解：由题意可得0y ≠，且22(2)1x y -+=，∴点(,)x y 在以(2,0)为圆心，1为半径的圆上（与x 轴交点除外），Qyx表示圆上的点与原点连线的斜率， 易得直线OA 与OB 的斜率分别为3，3- 数形结合可知yx的取值范围为：3[-，0)(0⋃，3]故选：B ．40．（2020•邵阳一模）在复平面内，复数cos3sin3(z i i =+是虚数单位）对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：Q32ππ<<sin30∴>，cos30<∴对应的点在第二象限．故选B ．。
高中数学《复数》高考真题汇总(详解)——精品文档
高中数学《复数》高考真题汇总（详解）1.对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A.2z z y -= B.222z x y =+ C.2z z x -≥ D.z x y ≤+2.复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A.34i --B.34i -+C.34i -D.34i +3.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则（ ） A.31,22a b == B.3,1a b == C.13,22a b == D.1,3a b ==5.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ） A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=26.已知21i =-，则i(1)=（ ）i i C.i D.i 7.设i 为虚数单位，则51ii-=+（ ） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3iD.2+3i8．已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 9.在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i10. i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（ ）A.－1B.1C.i -D.i11. i 是虚数单位，复数31ii+-=（ ） A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i 12．i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（ ）A.1＋iB.5＋5iC.-5-5iD.-1－i 13.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ）A ．4+2i B. 2+i C. 2+2i D.3 14. i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1D ．-115.复数3223ii+=-（ ） A.i B.i - C.12-13i D. 12+13i16.已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ） A.-1 B.1 C.2 D.3 17. i 33i=+ （ ） A.13412- B.13412+ C.1326i + D.1326- 18.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z i+的点是（ ）A.EB.FC.GD.H19.某程序框图如左图所示，若输出的S=57，则判断框内位（ ） A. k ＞4? B.k ＞5? C. k ＞6? D.k ＞7? 20.如果执行下图（左）的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于（ ）A.720B.360C.240D.12021.如果执行上图（右）的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（ ） A.1m nC - B.1m nA - C.m n C D.mn A22.某程序框图如下图（左）所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ） A.k >4? B.k >5? C. k >6? D. k >7?23.【2010·天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.3标准答案1.【答案】D【解析】可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错；B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错；C 项，y z z 2≥-，故C 错；D 项正确.本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题. 2.【答案】A【解析】本试题主要考查复数的运算.231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. 3.【答案】A【解析】本题考查复数的运算及几何意义.1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限 4.【答案】A【解析】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力. 由121ii a bi +=++可得12()()i a b a b i +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A.5.【答案】D【解析】考查复数的乘法运算.可采用展开计算的方法，得2()(1)x i x i y -+-=，没有虚部，x=1,y=2. 6.【答案】B【解析】直接乘开，用21i =-代换即可.(1)i i =，选B. 7.【答案】C【解析】本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题. 8.【答案】B 9.【答案】C 10. 【答案】A【解析】由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1. 11.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 12.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题12 复数含答案
专题十二 复数本章内容主要是复数的概念、复数的运算．引入虚数，这是中学阶段对数集的最终扩充．需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系，掌握复数代数形式的运算(包括加、减、乘、除)，了解复数的几何表示．由于向量已经单独学习，因此复数的向量形式与三角形式就不作要求，主要解决代数形式．【知识要点】1．复数的概念中，重要的是复数相等的概念．明确利用“转化”的思想，把虚数问题转化为实数问题加以解决，而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现．2．复数的代数形式：z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．应该注意到a ，b ∈R 是与z ＝a ＋bi 为一个整体，解决虚数问题实际上是通过a ，b ∈R 在实数集内解决实数问题．3．复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算．【复习要求】1．了解数系的扩充过程．理解复数的基本概念与复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法及其几何意义．3．能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．【例题分析】例1 m (m ∈R )取什么值时，复数z ＝(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零?【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决．解：(1)当m 2－5m －6＝0，即m ＝－1或m ＝6时，复数z 为实数；(2)当，即m ＝4时，复数z 为纯虚数； (3)当，即m ＝－1时，复数z 为零． 【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义，需要对复数的实部、虚部加以研究．应该注意到复数的实部、虚部都是实数，解决复数的问题时实际上是在进行实数运算．这一点大家在后面的运算中更加能够体会到．例2 判断下列命题的对错：(1)复平面内y 轴上所有点的集合与纯虚数集是一一对应的；⎪⎩⎪⎨⎧=/--=--06504322m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧=--=--06504322m m m m(2)两个复数a ＋bi ＝c ＋di 的充要条件是a ＝c ，b ＝d ；(3)任意两个确定的复数都不能比较大小；(4)若z 1＋z 2∈R ，则z 1，z 2为共轭复数．【分析】本题进一步考察数系的概念，大家在解决此类问题时一定要跳出实数这个圈子，考虑全面一些． 解：(1)错误．复平面内y 轴上的原点对应的是实数0，不是纯虚数．(2)错误．复数a ＋bi 中并没有强调a ，b ∈R 这一条件，因此a ，b 不一定是复数的实部、虚部，例如：3i ＋4i ＝5i ＋2i ，此时，a ＝3i ，b ＝4、c ＝5i ，d ＝2，a ＝c ，b ＝d 不成立．(3)错误．复数中的两个确定的实数是可以比较大小的．(4)错误．z 1＝3＋4i ，z 2＝5－4i ，z 1＋z 2＝8∈R ，z 1，z 2不是共轭复数．【评析】(4)中需要注意不能从两个复数运算的结果来判定这两个复数的范围；(3)中再次强调复数中对于实部和虚部必须加以明确；对于判断命题的正确与否的问题，错误的要能举出反例(一个即可)，正确的要能加以证明．错误的命题最好能够加以改正．例3 计算下列各式的值：(1) (2)(1＋2i )(3－4i )(2－i )；(3)|(5＋12i )(3－4i )|．【分析】这是本专题的重点，运算中要运用法则，还要观察题目本身的特点．解：(1) (2)(1＋2i )(3－4i )(2－i )＝(3－4i ＋6i ＋8)(2－i )＝(11＋2i )(2－i )＝24－7i ．(3)|(5＋12i )(3－4i )|＝|(5＋12i )||(3－4i )|＝【评析】(1)中的变号问题不容忽视；(2)中不妨再把后两个括号先算，对结果加以验证；(3)中运用复数模的运算法则要比先运算再取模方便得多．复数的计算是高考中考察复数知识的重点，运算要准确，不要图快，最好从多个角度加以验证．例4 已知复数z ＝1＋i ，表示z 的共轭复数，且az ＋2b ＝(a ＋2z )2，求实数a ，b 的值．【分析】利用复数相等的充要条件列出实数的方程或方程组是解决此类问题的一般方法．);2334()2()2131(i i i ---++.1)23121()34231()2334()2()2131(i i i i i +=+-+-+=---++.65513431252222=⨯=+⨯+z z解：∵z ＝1＋i ，∴＝1－i ，∵∴，∴(a ＋2b )＋(a －2b )i ＝(a 2＋4a )＋(4a ＋8)i ，即：(a ＋2b )＋(a －2b )i ＝(a 2＋4a )＋(4a ＋8)i ，∴ 解得 或 【评析】应注意到a ，b 是实数这一条件在本题中的作用，如果没有这个条件，那么a ，b 都要按照复数来求，问题就复杂多了．习题121．1＋i ＋i 2＋…＋i 2008的值是( )A ．0B ．－1C ．1D ．i2．复数z 1＝(a 2＋3)＋(－4a －3)i ，z 2＝(a －7)＋(a 2＋a )i ，若z 1＋z 2＝2＋i ，则实数a 的值为( )A ．－3B ．2C ．1D ．不存在 3．若复数的实部和虚部互为相反数，则b ＝( ) A ． B ． C ． D ．24．复数的共轭复数为( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ． D ． 5．若a 是实数，是纯虚数，则a ＝______． 6．复数，若，则|z 3|等于______． 7．复平面内，复数z ＝sin2＋i cos2对应的点所在的象限是______．8．虚数z ＝(x －2)＋yi (x ，y ∈R )，若虚数的模｜z |＝1，则的取值范围是______． z ,)2(22z a z b az +=+22442z az a z b az ++=+⎩⎨⎧+=-+=+842422a b a a a b a ⎩⎨⎧-=-=12b a ⎩⎨⎧=-=.24b a )R (212∈+-b i bi 232-32i215+i 31035+-i 31035--ii a +-1i z ii z 32,342321-=-+=213z z z =xy9．已知复数i (m R )，当z 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数时，分别求m 的值或取值范围．10．已知复数(3x ＋2y )＋5xi 与复数18＋(y －2)i 的共轭复数相等，求实数x ，y 的值．11．已知函数，求f (1＋i )与f (1－i )的值．专题十二 复数参考答案习题12一、选择题：1．C 2．D 3．B 4．A提示：)152(315822--+++-=m m m m m z ∈132)(2++-=x x x x f(1)解：1＋i ＋i 2＋…＋i 2008＝ (2)解：z 1＋z 2＝(a 2＋3＋a －7)＋(－4a －3＋a 2＋a )i ＝2＋i ，即：方程组无解． 二、填空题5．1； 6．； 7．第四象限； 8． 提示：(6)解： (8)解：∵，设 则k 为过圆(x －2)2＋y 2＝1上点及原点的直线斜率，作图如下，， 又∵y ≠0，∴k ≠0．∴ 三、解答题： 9．解：(1)当z 是实数时，有 .111112009=--=--i i ii &⎩⎨⎧=-==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+41231332422a a a a a a a a 或或⇒51)].33,0()0,33[(Y -,254325)34(34)32)(34()32()32)(34(23213i i i i i i i i i i i i z z z +-=+=-=---=--+==⋅==+-=+-=5125525|43||2543|||3i i z ⎩⎨⎧=/=+-01)2(22y y x ,x y k=3333≤≤-k ].33,0()0,33[Y -∈k .50301522=⇒⎩⎨⎧=/+=--m m m m(2)当z 是虚数时，有且． (3)当z 是纯虚数时，有 10．解：∵x ，y R ，∴∵11．解：∵ ∴ ⎩⎨⎧=/+=/--0301522m m m 5≠⇒m 3-≠m ⎪⎩⎪⎨⎧=⇒=++-=/--.303158015222m m m m m m ∈,)2(1818)2(i y i y --=+-.122)2(51823,5)23(18)2(⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧--==+∴++=+-y x y x y x xi y x i y ,132)(2++-=x x x x f ,5221113)1(2)1()1(2i i i i i i f -=+=++++-+=+⋅+=-=+-+---=-5221113)1(2)1()1(2i i i i i i f。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (63)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0} 2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣114．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣16808．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．189．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+] 11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．412．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0}【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，即A∩B＝，故选：B．2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，则|z|＝＝＝＝，故选：D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣11【解答】解：数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），∴0＜a＝（）α＜1，b＝＞1，c＝logα＜logα1＝0，∴c＜a＜b．故选：A．5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D．6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，则四边形OAEB为平行四边形，∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．故选：C．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣1680【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，故选：A．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，该刍薨的体积为，故选：B．9．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，f（π）＝1﹣＜0，排除B，f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，故选：A．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+]【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y 取最大值，此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，解得z的最大值为：2+，当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，同理，即z的最小值为：﹣2，所以z∈．故选：C．11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝|cos x|+cos|2x|＝|cos x|+2cos2|x|﹣1，由cos|x|＝cos x，可得f（x）＝|cos x|+2cos2x﹣1＝2|cos x|2+|cos x|﹣1，由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；可令t＝|cos x|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，由y＝|cos x|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；由y＝cos x在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n＝+4＝95．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，∴c＝＝1∴e＝＝．故答案为：．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为06．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，可得直线AF的方程为y＝1﹣x，设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，代入抛物线方程可得＝a•，可得a＝．故答案为：．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝，ED＝，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，∴S△SED＝＝，∵3x2+≥2＝36，当且仅当x＝，时，等号成立，∴＝．∴△SED面积的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得，又因为C∈（0，π），所以；（2）由，得，得﹣4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos30°＝3，∴CD＝，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），＝（0，﹣3，﹣3），＝（），则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，1），设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得，①由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，则x1+x2＝，，x1x2＝，由k QM+k QN＝0，则+＝0，即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq ＝0，∴﹣﹣+2pq＝0，化简得：2pq﹣8＝0，∴pq＝4．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A，x B，x C，x D为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A，x B，x C，x D为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究y A y B y C y D的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820 P（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，这个结果发生的可能性很小，∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），＝，由f′（x）＝0，得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，所以e a（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）e a，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）e x，则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）e x，令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，则u″（x）＝，u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．则u′（x）max＝u′（1）＜0，从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．。
2020年高考数学 复数 填空题专练(40题含答案)
2020年高考数学 复数 填空题专练1、复数z=a 2-1＋(a ＋1)i(a ∈R)是纯虚数，则|z|=______.2、若（其中i 是虚数单位），则实数a=_____. 3、若复数满足（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为______.4、设复数z 满足i(z+1)=-3+2i,则_________. 5、i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1=-20＋18i ， 则z 2= ．6、设复数z=a+i （a ∈R ，i 为虚数单位），若（1+i ）•z 为纯虚数，则a 的值为_____．7、.在复平面内,复数1+i 与-1+3i 分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则|AB |= .8、若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b ∈R,i 是虚数单位,则|a+bi|=. 9、已知复数z=i12-i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ． 10、若复数z=(1+i)(1-ai) (i 为虚数单位，a ∈R)满足｜z ｜=2，则a= ．11、设复数z 满足(2-i)z=1+i （i 为虚数单位），则复数z= ．12、复数z 满足zi=4＋3i(i 是虚数单位)，则|z|=________．13、若复数z 满足i ·z=3+4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为 ．14、已知复数z=m ＋(m 2-1)i(m ∈R)满足z<0，则m=________.15、已知复数z=x ＋yi ，且|z-2|=，则的最大值为 ．16、已知复数z 满足zi=1+2i ，则|z|= ．17、已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1=3＋4i ，z 2=t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于________．18、若关于x 的方程x 2＋(2-i)x ＋(2m-4)i=0有实数根，则纯虚数m=________.19、．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)=bi ，则a ＋bi=________.20、若关于x 的方程x 2＋(2-i)x ＋(2m-4)i=0有实数根，则纯虚数m=________.21、已知复数z=(2-i)2(i为虚数单位)，则z的共轭复数为________．22、如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2，则 .23、若z1=a+2i,z2=3-4i，且为纯虚数，则实数a= ．24、设复数z满足z(1＋i)=2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为_________．25、设为虚数单位，a,b为实数），则a+b= .26、已知b为实数，i为虚数单位，若为实数，则b= ．27、已知复数(为虚数单位)，则|z|= ．28、已知i为虚数单位，复数z满足iz+2=z-2i，则|z|=__________．29、复数z=(m-1)＋(m＋2)i对应的点在直线y=2x上，则实数m的值是________．30、i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2=__________.31、已知复数z=(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为__________．32、z=m2-2+(2m-1)i(m∈R)，其共轭复数对应复平面内的点在第二象限，则实数m的范围是 .33、已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)=bi，则a＋bi=__________.34、已知虚数z=cosa+isina是方程3x2-2x+a=0的一个根,则实数a= ．35、复数z=(a2-8a+15)+(a2-5a-14)i在复平面上的对应点Z在第四象限，则a的取值范围是___________36、已知i为虚数单位，复数z1=3+yi(y∈R)，z2=2-i，且，则y= ．37、已知复数z=(m2-2)+(m-1)i对应的点位于第二象限,则实数m的范围为 .38、设x、y为实数，且，则x+y= .39、定义运算，复数z满足,则复数z在复平面对应点为 .40、设，，是虚数单位，复数，观察：，，…，得出一般性结论为：z n= .参考答案1、答案为：2.2、答案为：-3.3、答案为：-24、答案为：1-3i.5、答案为：20-18i.6、答案为：1.7、答案为：22.8、答案为：35. 9、答案为：． 10、答案为：±1．11、答案为：.12、答案为：5.13、答案为：4.14、答案为：-1.15、答案为：16、答案为： 17、答案为：-0.75.18、答案为：4i19、答案为：1＋2i20、答案为：4i21、答案为：3＋4i ．22、答案为：-1-2i.23、答案为：．24、答案为：3-i.25、答案为：2；26、答案为：-2.27、答案为：28、答案为：2.29、答案为：430、答案为：-2＋3i31、答案为：2132、答案为：.33、答案为：1＋2i.34、答案为：3.35、答案为：(-2,3)∪(5,7).36、答案为：1.37、答案为：.38、答案为：4.39、答案为：(2,-1).40、答案为：.。
高考数学(理)刷题小卷练： 复数
9．[2020·重庆调研]已知i为虚数单位，复数z＝ ，复数|z|＝________.
答案：
解析：通解因为z＝ ＝ ＝ ＝1＋i，所以|z|＝ ＝ .
优解|z|＝ ＝ ＝ ＝ .
10．[2020·天津月考]若复数 (b∈R，i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，则b＝________.
答案：－
刷题课时增分练 综合提能力 课时练 赢高分
一、选择题
1．[2020·全国卷Ⅲ](1＋i)(2－i)＝()
A．－3－iB．－3＋i
C．3－iD．3＋i
答案：D
解析：(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.故选D.
2．[2020·广东七校联考]如果复数 是纯虚数，那么实数m等于()
A．－1B．0
5．若复数 (a∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，则a的值为()
A．－1B．0
C．1D．2
答案：B
解析： ＝ ＝ ＝ ＋ i，在复平面内对应的点为 ，因此 ＋ ＝0，得a＝0，故选B.
6．若复数z满足iz＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点的坐标为()
A．(－4，－2) B．(－4,2)
A．(－∞，－1) B．(4，＋∞)
C．(－1,4)D．(－4，－1)
答案：C
解析：复数z＝(2＋i)(a＋2i3)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i，其在复平面内对应的点(2a＋2，a－4)在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－1<a<4，则实数a的取值范围是(－1,4)．故选C.
解析： ＝ ＝ ，
∴2－2b＝b＋4，∴b＝－ .
11．在复平面内，复数 对应的点到坐标原点的距离为________．
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》全集汇编附答案
【高中数学】数学高考《复数》试题含答案一、选择题1．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是A ．12R z z ∈B ．12R z z ∈C ．12R z z +∈D ．12R z z ∈ 【答案】D【解析】利用排除法：当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误， 1211z i i R z i+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误，本题选择D 选项.2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v向左平移一个单位后得到00O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i 【答案】D【解析】【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1，所以P 0对应的复数，即0OP u u u v对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．1i -A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i 【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，由于33124121112i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．4．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii +=，则a=（ ）A ．2B CD ．1 【答案】B【解析】【分析】【详解】||220,a ia a a i +==∴=>∴=Q ，选B.5．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( )A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i -- 【答案】B【解析】【分析】化简复数得到答案.【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i i i -----===-++故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.1i +A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i --【答案】B【解析】【分析】 利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有：13(13)(1)422(1)(11)2i i i i i i i i ++-+===++-+. 故选B .【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.7．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R），且2z +=1y x -的最大值为（ ） ABC．2+D．2【答案】C【解析】【分析】根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1y x -表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.【详解】∵复数i z x y =+（x ，y ∈R），且2z +==()2223x y ++=. 设圆的切线l ：1y kx =+=化为2420k k --=，解得2k =∴1y x-的最大值为2 故选:C.【点睛】 本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.8．若复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）A B ．13 C ．10 D【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可．【详解】由复数的运算法则有： 2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩，即2,|3|a ai =--=本题选择A 选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.9．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b abi =-+，2z 为纯虚数220020a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=.【点睛】本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.10．复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 .【详解】，的共轭复数为，对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11．设i是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为734ii++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i iii i+--==-+-，所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.12．若202031i izi+=+，则z在复平面内对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.13．复数11i+的共轭复数是 （ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1i - D ．1i +【答案】A【解析】【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数11i+，进而可得结果.【详解】 因为()()111121211i i i i i -+--==+， 所以11i+的共轭复数是1122i +， 故选：A.【点睛】 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.14．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．(0,1)(1,)⋃+∞D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2a x a y b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U .故选：C【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.15．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B【解析】【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】 由题意，复数12i i a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】 本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】 因为22222a i ai i ai b i i i +--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.17．下列命题中，正确命题的个数是( )①若，，则的充要条件是；②若，且，则； ③若，则． A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.考点：复数的有关概念.18．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解. 【详解】因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C.本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.19．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.20．在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 ∵()112z i i +=-，∴()()()()221211212213131111222i i i i i i i z i i i i i -----+--=====--++--，∴1322z i =-+，故对应的点在第二象限．故选B ．。
完整版)高中数学复数练习题
完整版)高中数学复数练习题高中数学《复数》练题一、基本知识：复数的基本概念1.形如a+bi的数叫做复数（其中a，b∈R）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=－1.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部。
2.实数：当b=0时复数a+bi为实数；虚数：当b≠0时的复数a+bi为虚数；纯虚数：当a=0且b≠0时的复数a+bi为纯虚数。
3.两个复数相等的定义：a+bi=c+di⟺a=c且b=d（其中，a，b，c，d，∈R）。
特别地a+bi=0⟺a=b=0.4.共轭复数：z=a+bi的共轭记作z=a-bi；5.复平面：z=a+bi，对应点坐标为p(a,b)；（象限的复）6.复数的模：对于复数z=a+bi，把z²=a²+b²叫做复数z的模；二、复数的基本运算：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i1.加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；2.减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i；3.乘法：z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a2b1+a1b2)i。
特别z·z=a²+b²。
4.幂运算：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，i⁶=-1……以此类推。
三、复数的化简把c+di（a,b是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：z=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i/(c²+d²)四、例题分析例1】已知z=a+1+(b-4)i，求1) 当a,b为何值时z为实数2) 当a,b为何值时z为纯虚数3) 当a,b为何值时z为虚数4) 当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。
变式1】若复数z=(x²-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为A。
-1 B。
1 C。
0 D。
-1或1例2】已知z1=3+4i，z2=(a-3)+(b-4)i，求当a,b为何值时z1=z2例3】已知z=1-i，求z，z·z；变式1】复数z满足z=(2-i)/(1-i)，则求z的共轭z变式2】已知复数z=3+i，则z·z=？例4】已知z1=2-i，z2=-3+2i1) 求z1+z22) 求z1·z22.已知复数 $z$ 满足 $(z-2)i=1+i$，求 $|z|$。
2020届高考复数汇编专题数学(理)Word版含解析
专题02 复数复数小题：10年10考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．一般涉及考查概念：实部、虚部、共轭复数、实数、纯虚数、复数相等、复数的模、对应复平面的点的坐标等．3．（2017年）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）4．（2016年）设（1+2i ）（a +i ）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a 等于（）A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．35．（2015年）已知复数z 满足（z﹣1）i ＝1+i ，则z ＝（ ）A ．﹣2﹣iB ．﹣2+iC ．2﹣iD ．2+iA ．2+iB ．2﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣iA ．2﹣iB ．1﹣2iC ．﹣2+iD ．﹣1+2i专题02 复数详细解析复数小题：10年10考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．一般涉及考查概念：实部、虚部、共轭复数、实数、纯虚数、复数相等、复数的模、对应复平面的点的坐标等．【答案】C【答案】C3．（2017年）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【答案】C【解析】A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数；B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数；C．（1+i）2＝2i为纯虚数；D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选C．4．（2016年）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【答案】A【解析】（1+2i）（a+i）＝a﹣2+（2a+1）i，∵（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，∴a﹣2＝2a+1，解得a ＝﹣3．故选A．5．（2015年）已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则z＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【答案】C【答案】B【答案】BA ．2+iB ．2﹣iC ．﹣1+i D ．﹣1﹣i 【答案】DA ．2﹣iB ．1﹣2iC ．﹣2+iD ．﹣1+2i 【答案】C【答案】B。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》真题汇编及答案解析
【最新】数学《复数》试卷含答案(1)一、选择题1．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2C D 【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.2．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25- B ．25C ．7-D ．7【答案】A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.4．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( ) A ．3 B ．5C ．3D ．5【答案】B 【解析】22(2)22(1)5z i i i i =-=-=+-=，故选B ．5．在复平面内复数83i +、45i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，z 为复数z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ） A ．61 B ．13 C ．20 D ．10【答案】C 【解析】由题意知点、的坐标为、，则点的坐标为，则，从而,选C.6．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.7．若1z i =+，则31izz =+（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】B 【解析】因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1izz i i i zz =+-==+，故选B.8．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D 【解析】 【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题9．已知复数z，则|z |＝( ) A ．14 B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：因为===，因此|z |＝1210．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -【答案】A 【解析】 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .12．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.13．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是（ ）A ．1 BC ．2D 【答案】A 【解析】分析：先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹，再利用数形结合求1z i ++的最小值.详解：设复数z 对应的点Z(x,y),6=，它表示点Z 到A （0，-3）和B （0,3）的距离和为6， 所以点Z 的轨迹为线段AB,因为1z i ++Z 到点C （-1,-1）的距离， 所以当点Z 在点D(0，-1)时，它和点C （-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi ++表示复数z 对应的点到（-a,-b ）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.14．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3【解析】 【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.15．已知复数z 满足(1)2i z i -=，i 为虚数单位，则z 等于 A ．1i - B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得21z i=-，根据复数的除法运算即可. 【详解】由()12i z i -=，可得22(1)112i z i i +===+-， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模，属于中档题.16．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解.∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r.故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．复数321i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ）A ．2155i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133i - 【答案】C 【解析】试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-，则共轭复数为：2155i --． 考点：复数的运算及共轭复数的概念.18．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( ) A ．恒等于1B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为1，无最大值D ．无最大值，也无最小值【答案】C 【解析】 【分析】设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值． 【详解】解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈， 由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++，2222(1)(3)x y x y ∴+-=++， 解得1y =-；||1z ∴=，即||z 有最小值为1，没有最大值．【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．19．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案. 【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.20．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.。
2020年高考数学试题分类汇编 专题复数 理 精品
2020年高考试题数学（理科）复数一、选择题:1. (2020年高考山东卷理科2)复数z=22i i -+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【答案】D 【解析】因为22(2)34255i i i z i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D. 2. (2020年高考天津卷理科1)i 是虚数单位，复数131i i--= A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i --【答案】A.【解析】13(13)(1)4221(1)(1)2i i i i i i i i --+-===---+. 3. (2020年高考安徽卷理科1) (1) 设 i 是虚数单位，复数12ai i+-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 12 【命题意图】本题考查了复数的运算和纯虚数的概念，是容易题，是常考题型.【解析】ai i 1+2-=(1)(2)(2)(2)ai i i i ++-+=2(21)5a a i -++，∵12ai i +-为纯虚数，∴20210a a -=⎧⎨+≠⎩， ∴a =2，故选A.4.(2020年高考浙江卷理科2)把复数z 的共轭复数记作z ，若1z i =+，i 为虚数单位，则(1)z z +=（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i +（D ）36.(2020年高考辽宁卷理科1)a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i +=，则a=（ ）（A ）2 （B (D)1答案： B解析：|1|2a iai i +=-==Q ,a>0,故7. (2020年高考全国新课标卷理科1)复数i i212-+的共轭复数是（ ） A i 53- B i 53C i -D i ;解析：C ，因为i i212-+=i i i i =--21)21(，所以，共轭复数为i -，选C点评：本题考查复数的概念和运算，先化简后写出共轭复数即可。
2020高考数学模拟试题(理)《复数》分类汇编(含答案)
一．选择题（共40小题）1．（2020•桥东区校级模拟）若复数52z i=-，则||(z = )A ．1BC ．5D ．2．（2020•涪城区校级模拟）若复数z 满足(12)10z i +=，则复数z 在复平面内对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2020•梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于() A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．04．（2020•龙岩一模）设(1)z i i =-，则(z = ) A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+5．（2020•宜昌模拟）已知纯虚数z 满足(12)2i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．26．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则(1zi =+ ) A ．3322i -+B ．3122i -+C ．1322i -+D ．1322i + 7．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是( ) A ．2z i i =- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =D ．13122z i i =++ 8．（2020•内蒙古模拟）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若1z i =-，则(32)(z i +=)A ．25i --B ．25i -+C ．25i +D ．25i -9．（2020•南海区模拟）复数满足||48z z i +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．（2020•全国一模）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，1zi +是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A ．0a b +=B ．0a b -=C ．20a b -=D ．20a b +=11．（2020•番禺区模拟）设(2)(3)3(5)(i xi y i i +-=++为虚数单位），其中x ，y 是实数，则||x yi +等于( )A ．5B ．13C ．22D ．212．（2020•临汾模拟）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z = )A BC ．5D ．313．（2020•临汾模拟）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2(z z += ) A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+14．（2020•芮城县模拟）已知复数z 满足2z i R +∈，z 的共轭复数为z ，则(z z -= ) A ．0B ．4iC ．4i -D ．4-15．（2020•七星区校级一模）设复数2()z a i a R =+∈的共轭复数为z ，且2z z +=，则复数||2z ai-在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限16．（2020•黄冈模拟）已知i 是虚数单位，设复数112z i =+，22z i =-，则12||(z z = )A ．BC D ．117．（2020•香坊区校级模拟）若复数z 满足||1(z i i -=为虚数单位），则||z 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D 1+18．（2020•福清市一模）已知复数z 满足0z z -=，且9z z =，则(z = ) A ．3B ．3iC ．3±D ．3i ±19．（2020•河南模拟）设复数()(1)()z a i i a R =+-∈，则复数z 在复平面内对应的点不可能在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．（2020•长治一模）i 为虚数单位，复数1iz i=+的共轭复数z 在复平面内对应的点到点1(2-，1)2的距离为( )A ．12B ．1C ．2D21．（2020•福清市一模）已知复数z 满足(1)|13|z i i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22．（2020•肇庆二模）设复数z 满足|1|1z -=，则z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则()A ．22(1)1x y ++=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=23．（2020•邵阳一模）若复数z 满足2512z i =-，则(z = ) A ．32i +或32i --B ．32i -或32i -+C ．12i +或12i -D ．13±24．（2020•河南模拟）设复数(,)z a bi a b R =+∈，定义b ai =+．若2ii=-，则(z = )A ．1355i -+B ．1355i -C ．3155i -+D ．3155i --25．（2020•湖南模拟）若(4)()0mi m i -+，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( ) A ．2-B ．4-C ．4D ．226．（2020•湖北模拟）已知复数z 满足4z z =且||0z z z ++=，则2019z 的值为( ) A ．1-B ．2-2019C ．1D ．2201927．（2020•来宾模拟）已知复数z 满足(2)|34|(z i i i -=+为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)--D ．(2,1)--28．（2020•东湖区校级模拟）已知i 为虚数单位，211z i i=--，则关于复数z 的说法正确的是( ) A ．||1z =B ．z 对应复平面内的点在第三象限C ．z 的虚部为i -D ．2z z +=29．（2020•洛阳一模）已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|1|(z -=)A ．0B ．1CD ．230．（2020•合肥一模）设复数z 满足|1|||(z z i i -=-为虚数单位），z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( )A ．y x =-B ．y x =C ．22(1)(1)1x y -+-=D ．22(1)(1)1x y +++=31．（2020•乐山模拟）已知(5,1)OA =-，(3,2)OB =，AB 对应的复数为z ，则(z = ) A ．5i -B ．32i +C ．23i -+D ．23i --32．（2020•静安区一模）设x ，y R ∈，若复数x iy i+-是纯虚数，则点(,)P x y 一定满足( ) A ．y x =B ．1y x=C ．y x =-D ．1y x=-33．（2020•德阳模拟）已知i 为虚数单位，a 、b R ∈，z a i =+，z i z b=+，则(ab = ) A ．1B ．1-C ．12D ．234．（2020•奉贤区一模）复数z 满足|3|2(z i i -=为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是( ) A ．[3，7]B ．[0，5]C ．[0，9]D ．以上都不对35．（2020•开封一模）在复平面内，复数1a ii++对应的点位于直线y x =的左上方，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞36．（2020•武侯区校级模拟）复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，则3()(1iIm i+=+ ) A ．2-B ．1-C ．1D ．237．（2020•黄冈模拟）已知复数21z i=-+，则( ) A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1C ．||2z =D ．z 的虚部为1-38．（2019•路南区校级模拟）若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()θπ-的值为()A．34B．43C．34-D．43-39．（2020•涪城区校级模拟）虚数(2)x yi-+中x，y均为实数，当此虚数的模为1时，y x的取值范围是()A．[B．[0)(0⋃C．[D．[0)(0⋃40．（2020•邵阳一模）在复平面内，复数cos3sin3(z i i=+是虚数单位）对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案解析一．选择题（共40小题）1．（2020•桥东区校级模拟）若复数52zi=-，则||(z=)A．1 B C．5 D．【解答】解：复数55(2)22(2)(2)iz ii i i+===+--+；||z∴=故选：B．2．（2020•涪城区校级模拟）若复数z满足(12)10z i+=，则复数z在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由(12)10z i+=得1010(12)10(12)24 12(12)(12)5i iz ii i i--====-++-，对应点的坐标为(2,4)-，位于第四象限，故选：D．3．（2020•梅河口市校级模拟）设i为虚数单位，若复数(1)22z i i-=+，则复数z等于( )A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．0【解答】解：由(1)22z i i -=+， 得22(22)(1)21(1)(1)i i i z i i i i +++===--+． 故选：B ．4．（2020•龙岩一模）设(1)z i i =-，则(z = ) A ．1i - B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【解答】解：(1)1z i i i =-=+，∴1z i =-．故选：A ．5．（2020•宜昌模拟）已知纯虚数z 满足(12)2i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：由(12)2i z ai -=+，得2(2)(12)2412(12)(12)55ai ai i a az i i i i +++-+===+--+， z 为纯虚数，∴2040a a -=⎧⎨+≠⎩，即2a =．故选：D ．6．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则(1zi =+ ) A ．3322i -+B ．3122i -+C ．1322i -+D ．1322i + 【解答】解：由题意，12z i =-+， 则12(12)(1)1311(1)(1)22z i i i i i i i i -+-+-===++++-． 故选：D ．7．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是( ) A ．2z i i =- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =D ．13122z i i =++ 【解答】解：由题意，12z i =-+， 则(12)2z i i i i =-+=--，故A 错误； 复数z 的共轭复数是12i --，故B 错误；||z =C 错误；12(12)(1)1311(1)(1)22z i i i i i i i i -+-+-===++++-，故D 正确． 故选：D ．8．（2020•内蒙古模拟）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若1z i =-，则(32)(z i +=)A ．25i --B ．25i -+C ．25i +D ．25i -【解答】解：由1z i =-，得(32)(322)(52)25z i i i i i i +=++=+=-+． 故选：B ．9．（2020•南海区模拟）复数满足||48z z i +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈，则||48z z a bi i +=+++，∴64,6888a a z ib b ⎧=-⎧⎪+=⇒∴=-+⎨⎨==⎩⎪⎩，所以复数z 在复平面内所对应的点在第二象限． 故选：B ．10．（2020•全国一模）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，1zi +是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A ．0a b +=B ．0a b -=C ．20a b -=D ．20a b +=【解答】解：由(,)z a bi a b R =+∈， 得()(1)11(1)(1)22z a bi a bi i a b b a i i i i i ++-+-===++++-， 由题意，0b a -=． 故选：B ．11．（2020•番禺区模拟）设(2)(3)3(5)(i xi y i i +-=++为虚数单位），其中x ，y 是实数，则||x yi +等于( )A ．5B ．13C ．22D ．2【解答】解：(2)(3)3(5)i xi y i +-=++， (6)(32)3(5)x x i y i ∴++-=++，∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得：34x y =-⎧⎨=⎩，34x yi i ∴+=-+，||5x yi ∴+=，故选：A ．12．（2020•临汾模拟）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z = )A BC ．5D ．3【解答】解：201722(1)3313121(1)(1)i i i z i i i i i i i i -=-=-=+-=-++-， 则12z i =+，故2||5z z z ==． 故选：C ．13．（2020•临汾模拟）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2(z z += ) A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【解答】解：复数1z i =+，∴1z i =-，22(1)2z i i =+=，则2121z z i i i +=-+=+， 故选：A ．14．（2020•芮城县模拟）已知复数z 满足2z i R +∈，z 的共轭复数为z ，则(z z -= ) A ．0 B ．4iC ．4i -D ．4-【解答】解：2z i R +∈，设2z i a R +=∈，则2z a i =-，则2(2)4z z a i a i i -=--+=-． 故选：C ．15．（2020•七星区校级一模）设复数2()z a i a R =+∈的共轭复数为z ，且2z z +=，则复数||2z ai-在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：221z z a a +==⇒=，|||12|22z i ai i +==--， 故选：A ．16．（2020•黄冈模拟）已知i 是虚数单位，设复数112z i =+，22z i =-，则12||(z z = ) A．BCD ．1【解答】解：112z i =+，22z i =-，∴1212(12)(2)2(2)(2)z i i i i z i i i +++===--+， 则12||1z z =． 故选：D ．17．（2020•香坊区校级模拟）若复数z满足||1(z i i -=为虚数单位），则||z 的最大值为() A ．1B ．2C ．3D1+【解答】解：设z x yi =+，由||1z i =可得，22((1)1x y +-=， 即复数z在复平面上对应的点的轨迹是以1)为圆心，以1为半径的圆， 则||z13=， 故选：C ．18．（2020•福清市一模）已知复数z 满足0z z -=，且9z z =，则(z = ) A ．3B ．3iC ．3±D ．3i ±【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈，由0z z -=，且9z z =，得209b a =⎧⎨=⎩，即3a =±，0b =．3z ∴=±．故选：C ．19．（2020•河南模拟）设复数()(1)()z a i i a R =+-∈，则复数z 在复平面内对应的点不可能在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数()(1)()z a i i a R =+-∈，设复数z 在复平面内对应点的坐标为(,)x y ，则11x a y a =+⎧⎨=-⎩，消去参数a ，得点P 的轨迹方程为2x y +=，∴点P 不可能在第三象限．故选：C ．20．（2020•长治一模）i 为虚数单位，复数1iz i=+的共轭复数z 在复平面内对应的点到点1(2-，1)2的距离为( )A ．12B ．1CD 【解答】解：(1)111(1)(1)22i i i z i i i i -===+++-，∴1122z i =-， z 在复平面内对应的点的坐标为1(2，1)2-，到点1(2-，1)2的距离为故选：D ．21．（2020•福清市一模）已知复数z 满足(1)|1|z i +=，其中i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：(1)|1|2z i +=，22(1)11(1)(1)i z i i i i -∴===-++-， ∴1z i =+，∴z 对应的点位于第一象限，故选：A ．22．（2020•肇庆二模）设复数z 满足|1|1z -=，则z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则()A ．22(1)1x y ++=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=【解答】解：设(,)z x yi x y R =+∈， 由|1|1z -=，得|(1)|1x yi -+=．22(1)1x y ∴-+=． 故选：B ．23．（2020•邵阳一模）若复数z 满足2512z i =-，则(z = ) A ．32i +或32i --B ．32i -或32i -+C ．12i +或12i -D ．13±【解答】解：设复数(,)z a bi a b R =+∈，满足2512z i =-， 222512a b abi i ∴-+=-， 225a b ∴-=，212ab =-，解得3a =，2b =-，或3a =-，2b =． 32z i ∴=-，或32i -+．故选：B ．24．（2020•河南模拟）设复数(,)z a bi a b R =+∈，定义b ai =+．若2ii=-，则(z = )A ．1355i -+B ．1355i -C ．3155i -+D ．3155i --【解答】解：2ii=-， ∴22(1)(1)(2)322155i i i i ii +-++===-+-+， 则1355z i =-．故选：B ．25．（2020•湖南模拟）若(4)()0mi m i -+，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( ) A ．2-B ．4-C ．4D ．2【解答】解：2(4)()5(4)0mi m i m m i -+=+-， ∴2040m m >⎧⎨-=⎩，即2m =． 故选：D ．26．（2020•湖北模拟）已知复数z 满足4z z =且||0z z z ++=，则2019z 的值为( ) A ．1-B ．2-2019C ．1D ．22019【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈， 由4z z =且||0z z z ++=，得224220a b a ⎧+=⎨+=⎩，解得1a =-，b =112()2z ∴=-=-，而32231111()3()()3()()()12822-=-+⨯-⨯+⨯-⨯+=，32231111()3()3()))12822-=-+⨯-+⨯-⨯+=． ∴20192019201920193673201913132()2[()]222z i i =-±=-±=． 故选：D ．27．（2020•来宾模拟）已知复数z 满足(2)|34|(z i i i -=+为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)--D ．(2,1)--【解答】解：由题意，(2)5z i -=， 故55(2)22(2)(2)i z i i i i +===+--+，其在复数平面内对应的点的坐标为(2,1)． 故选：B ．28．（2020•东湖区校级模拟）已知i 为虚数单位，211z i i=--，则关于复数z 的说法正确的是( ) A ．||1z =B ．z 对应复平面内的点在第三象限C ．z 的虚部为i -D ．2z z +=【解答】解：由211z i i=--，得2(1)2i z i -==-， ||1z ∴=．故选：A ．29．（2020•洛阳一模）已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|1|(z -=)A ．0B ．1CD ．2【解答】解：22(1)1x y -+=，表示以(1,0)C 为圆心，1为半径的圆．则|1|1z -=． 故选：B ．30．（2020•合肥一模）设复数z 满足|1|||(z z i i -=-为虚数单位），z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( )A ．y x =-B ．y x =C ．22(1)(1)1x y -+-=D ．22(1)(1)1x y +++=【解答】解：由z 在复平面内对应的点为(,)x y ，且|1|||z z i -=-， 得|1||(1)|x yi x y i -+=+-，∴整理得：y x =． 故选：B ．31．（2020•乐山模拟）已知(5,1)OA =-，(3,2)OB =，AB 对应的复数为z ，则(z = ) A ．5i - B ．32i +C ．23i -+D ．23i --【解答】解：(5,1)OA =-，(3,2)OB =，∴()(2AB OA OB =--=-，3)，对应的复数为23z i =-+，则23z i =--， 故选：D ．32．（2020•静安区一模）设x ，y R ∈，若复数x iy i+-是纯虚数，则点(,)P x y 一定满足( ) A ．y x =B ．1y x=C ．y x =-D ．1y x=-【解答】解：由22()()1()()11x i x i y i xy x yi y i y i y i y y +++-+==+--+++是纯虚数，∴100xy x y -=⎧⎨+≠⎩，得0x ≠，1y x =．故选：B ．33．（2020•德阳模拟）已知i 为虚数单位，a 、b R ∈，z a i =+，z i z b=+，则(ab = ) A ．1B ．1-C ．12D ．2【解答】解：由z a i =+，z i z b =+，得a i i a b i+=++，1()a i a b i ∴+=-++，则11a a b =-⎧⎨+=⎩，即1a =-，2b =．1122a b -∴==． 故选：C ．34．（2020•奉贤区一模）复数z 满足|3|2(z i i -=为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是( ) A ．[3，7]B ．[0，5]C ．[0，9]D ．以上都不对【解答】解：由|3|2z i -=，可知复数z 对应点的轨迹为以(0,3)B 为圆心，以2为半径的圆上， 如图：则复数4z -模的最小值为||2523AB -=-=，最大值为||2527AB +=+=．∴复数4z -模的取值范围是[3，7]．故选：A ．35．（2020•开封一模）在复平面内，复数1a ii++对应的点位于直线y x =的左上方，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞ C ．(0,)+∞ D ．(1,)+∞【解答】解：()(1)111(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-， ∴复数1a i i ++对应的点的坐标为11(,)22a a +-， 由复数1a ii++对应的点位于直线y x =的左上方，得 11022a a a -+-=->，即0a <． ∴实数a 的取值范围是(,0)-∞．故选：A ．36．（2020•武侯区校级模拟）复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，则3()(1iIm i+=+ ) A ．2- B ．1-C ．1D ．2【解答】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：B ．37．（2020•黄冈模拟）已知复数21z i=-+，则( ) A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1C ．||2z =D ．z 的虚部为1-【解答】解：复数22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--， 可得，复数的虚部为：1-． 故选：D ．38．（2019•路南区校级模拟）若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()θπ-的值为() A ．34B ．43 C ．34-D ．43-【解答】解：34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，3sin 05θ∴-=且4cos 05θ-≠，即3sin 5θ=且4cos 5θ≠，即4cos 5θ=-，则335tan 445θ==--，则3tan()tan 4θπθ-==-，故选：C ．39．（2020•涪城区校级模拟）虚数(2)x yi -+中x ，y 均为实数，当此虚数的模为1时，yx的取值范围是( ) A ．3[-，3] B ．3[-，0)(0⋃，3] C ．[3-，3]D ．[3-，0)(0⋃，3]【解答】解：由题意可得0y ≠，且22(2)1x y -+=，∴点(,)x y 在以(2,0)为圆心，1为半径的圆上（与x 轴交点除外），yx表示圆上的点与原点连线的斜率， 易得直线OA 与OB 的斜率分别为3，3- 数形结合可知yx的取值范围为：3[-，0)(0⋃，3]故选：B ．40．（2020•邵阳一模）在复平面内，复数cos3sin3(z i i =+是虚数单位）对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：32ππ<<sin30∴>，cos30<∴对应的点在第二象限．故选B ．。
2020版高考数学(理)一轮总复习作业：32复数 Word版含解析.doc
专题层级快练(三十二)1．设a ，b 是非零向量，若函数f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图像是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．|a |＝|b | D ．|a |≠|b |答案 A解析 f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图像是一条直线，即f(x)的表达式是关于x 的一次函数或常函数．而(x a ＋b )·(a －x b )＝－x 2a ·b ＋(a 2－b 2)x ＋a ·b ，故a ·b ＝0，即a ⊥b ，故应选A. 2．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则当(a ＋b )2＝(a －b )2时，该平行四边形为( ) A ．菱形 B ．矩形C ．正方形D ．以上都不正确 答案 B解析 在平行四边形中，a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →，a －b ＝AB →－AD →＝DB →，∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC →|＝|DB →|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.3．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 ∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)． ∴|a －b |＝02＋（sin θ－cos θ）2＝1－sin2θ. ∴|a －b |最大值为 2.故选B.4．已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( ) A ．－52B.52 C ．0 D.532答案 A解析 由于弦长|AB|＝5与半径相同，则∠ACB ＝60°⇒AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →|·|CB →|·cos ∠ACB ＝－5·5·cos60°＝－52.5．(2017·保定模拟)若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|⇒|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2⇒AB →·AC →＝0， ∴三角形为直角三角形，故选B.6．(2015·山东，理)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 答案 D解析 在菱形ABCD 中，BA →＝CD →，BD →＝BA →＋BC →，所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·CD →＝BA →·CD →＋BC →·CD →＝a 2＋a ×a ×cos60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.7．(2017·课标全国Ⅱ，理)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－1 答案 B解析 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x ，y)，则PA →＝(－x ，3－y)，PB →＝(－1－x ，－y)，PC →＝(1－x ，－y)，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y)·(－2x ，－2y)＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选B. 8．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a·b ＝b·c ＝c·a ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形答案 D解析 因a ，b ，c 均为非零向量，且a·b ＝b·c ，得b·(a －c )＝0⇒b ⊥(a －c )． 又a ＋b ＋c ＝0⇒b ＝－(a ＋c )，∴[－(a ＋c )]·(a －c )＝0⇒a 2＝c 2，得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|. 故△ABC 为等边三角形．9．(2018·天津模拟)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58B.18 C.14 D.118答案 B解析 如图以直线AC 为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，C(1，0)，B(12，32)，F(1，34)，∴AF →＝(1，34)，BC →＝(12，－32)．∴AF →·BC →＝12－38＝18，选B.10．(2018·安徽师大附中月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA →与OB →关于y 轴对称，向量a ＝(1，0)，则满足不等式OA →2＋a ·AB →≤0的点A(x ，y)的集合用阴影表示为( )答案 B解析 ∵A(x ，y)，向量OA →与OB →关于y 轴对称，∴B(－x ，y)，AB →＝(－2x ，0)．∵OA →2＋a ·AB →≤0，∴x 2＋y 2－2x ＝(x －1)2＋y 2－1≤0，故满足要求的点在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．故选B.11．(2016·四川)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37＋634D.37＋2334答案 B解析 由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心．由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →知，D 为△ABC 的垂心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE|＋12＝72，则|BM →|max 2＝494，选B.12．(2015·山东，文)过点P(1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________． 答案 32解析 在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线PA ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，|PA →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则PA →，PB →的夹角为π3，所以PA →·PB →＝|PA→|·|PB →|·cos π3＝32.13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →， BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(－12AB →＋AD →)＝－12|AB →|2＋|AD →|2＋12AB →·AD →＝－12|AB →|2＋14|AB →|＋1＝1，解方程得|AB →|＝12(舍去|AB →|＝0)，所以线段AB 的长为12.14．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________． 答案 6解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，又F(1，0)，所以FA →＋FB →＋FC →＝(x 1＋x 2＋x 3－3，y 1＋y 2＋y 3)＝0，得x 1＋x 2＋x 3＝3.又由抛物线定义可得|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝6.15.如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB ︵的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________． 答案 26解析 连接OC 、OD 、MC 、ND ，则MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋NO →·OC →＋OC →·OD →＝－4＋6＋6＋18＝26.16．(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 答案 (1)22 (2)1解析 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)．∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n. 两式相减，得m －n ＝y －x.令m －n ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.17．(2017·江西上饶中学调研)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sinA ，sinB)，n ＝(cosB ，cosA)，m ·n ＝sin2C. (1)求角C 的大小；(2)若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c 边的长． 答案 (1)π3(2)6解析 (1)m ·n ＝sinA ·cosB ＋sinB ·cosA ＝sin(A ＋B)， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C ，0<C<π， ∴sin(A ＋B)＝sinC ，∴m ·n ＝sinC ，又m ·n ＝sin2C ， ∴sin2C ＝sinC ，cosC ＝12，C ＝π3.(2)由sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，可得2sinC ＝sinA ＋sinB ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b.∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18， 即abcosC ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， ∴c ＝6.1．(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O.记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( ) A ．I 1<I 2<I 3 B ．I 1<I 3<I 2 C ．I 3<I 1<I 2 D ．I 2<I 1<I 3 答案 C解析 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO<AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角．所以I 1<0，I 3<0，I 2>0，只需再比较I 1与I 3的大小．作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB<BG ＝GD<OD ，而OA<AF ＝FC<OC ，∴|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD<0，∴OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3，∴I 3<I 1<I 2，故选C.。
北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷复数
北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷复数 创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31 审核人： 北堂本一 创作单位： 雅礼明智德学校一．基础题组1.（北京市东城区高三5月综合练习（二）文2）若复数2()i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为（ ）（A ）1- （B ）0（C ）1 （D ）22.（北京市朝阳区高三第二次综合练习文9）设i 为虚数单位，则i(1i)． 3.（北京市朝阳区高三第一次综合练习文9）i 为虚数单位，计算1i 1i +-=． 4.（北京市丰台区-度第二学期统一练习（一）文9）复数312i i ++=． 5.（北京市西城区高三二模文9）复数=+i i 310________.二．能力题组1.（北京市昌平区高三二模文1）4||1i -等于（ ） A.1 B. 2C. 2 D. 222.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）文1）复数()1i i ⋅-对应的点在（ ）(A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3.（北京市西城区高三一模考试文2）复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4.（北京市延庆县—度高二第二学期期末考试文2）在复平面内，复数1312i z i-=+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C.第三象限 D ．第四象限 5.（北京市房山区高三第一次模拟文9）若复数(1)(2)z m m i =-+-，（ ）m ∈R 是纯虚数，复数z 在复平面内对应的点的坐标为_____．6.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）文10）若复数i ia z +=，且z ∈R ,则实数a =______．7.（北京市延庆县高三3月模拟文9）复数(1)(1)2i i z i+-=在复平面上对应的点的坐标为. 创作人：百里严守创作日期：202B.03.31 审核人： 北堂本一 创作单位： 雅礼明智德学校。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》真题汇编附答案解析
【高中数学】数学高考《复数》复习资料一、选择题1．复数的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】， 的共轭复数为， 对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)=-+，则z (= ) A ．10B 10C ．5D 5【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】 4244z 3i 3i 13i (1i)(2i)=-=-=--+Q ，22z (1)(3)10∴=-+-= 故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．设i 为虚数单位，321i z i =+-，则||z =（ ） A ．1 B ．10 C ．2 D ．102【答案】D【解析】【分析】 计算出z ，进而计算z 即可.【详解】()()()3133313222,111222i i i i i z i i i ⋅+-=+=+=+=+--+ 221310222z ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力．4．已知复数21i z =-+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i +【答案】C【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--， 则2z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误；z 的虚部为1-，选项C 正确；z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．在复平面内复数83i +、45i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，z 为复数z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ）A ．61B ．13C ．20D ．10【答案】C【解析】 由题意知点、的坐标为、，则点的坐标为， 则，从而,选C.6．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9 【答案】B【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.【详解】 因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离， 故该距离的最大值为()()22231412412AB +=--+--=，最小值为2412AB -=，故4M m -=.故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.7．若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D【解析】【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b 的方程组102220b c b -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意12+是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题8．已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2 CD【答案】D【解析】【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z .【详解】 21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.9．已知复数12z =-，则z z +=（ ） A．122i -- B．122-+ C．122i + D．122- 【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得12z z +=+，从而求得结果.详解：根据122z =--，可得12z =-+，且1z ==，所以有1112222z z +=-++=+，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.10．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -【答案】B【解析】【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.11．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】 因为734i i ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.12．若复数()234sin12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则： 234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数【答案】C【解析】【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】 ()2222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.14．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）A ．5B ．15C ．25D ．5【答案】D【解析】【分析】 化简得到1355z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】(2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++===-，∴1355z i =+，∴||z =. 故选：D .【点睛】本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.15．设2i 2i 1i z =++-，则复数z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i +D ．2i - 【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．【详解】 由题意，可得复数()()()2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．16．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.17．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】 因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.18．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且2z +=1y x-的最大值为（ ）A BC ．2+D ．2【答案】C【解析】【分析】根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1y x -表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.【详解】∵复数i z x y =+（x ，y ∈R），且2z +==()2223x y ++=. 设圆的切线l ：1y kx =+=化为2420k k --=，解得2k =∴1yx-的最大值为2 故选:C.【点睛】 本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.19．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】 【分析】 直接利用复数的基本概念得选项.【详解】 1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425- ， z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.20．已知i 是虚数单位，则2331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭（ ） A ．32i --B ．33i --C ．24i -+D ．22i -- 【答案】B【解析】【分析】根据虚数单位i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．【详解】()()()22231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i 2轾--骣-÷犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+臌 故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．。
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刷题增分练 42 复数
刷题增分练○
42 小题基础练提分快 一、选择题
1．[2018·全国卷Ⅱ]i(2＋3i)＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．－3－2i D ．－3＋2i 答案：D
解析：i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i.故选D.
2．[2019·河南联考]已知i 是虚数单位，则复数4＋2i
1－2i
－(1－i)2－
4i ＝( )
A ．0
B ．2
C ．－4i
D ．4i 答案：A
解析：4＋2i 1－2i －(1－i)2
－4i ＝(4＋2i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )
－(1－2i －1)－4i ＝2i ＋
2i －4i ＝0，故选A.
3．已知i 是虚数单位，z ＝4－3i
2＋i
，则|z |＝( )
A. 3 B ．2 C. 5 D ．3 答案：C
解析：∵z ＝4－3i 2＋i ＝(4－3i )(2－i )(2＋i )(2－i )
＝5－10i
5＝1－2i ，
∴|z |＝ 5.
4．已知i 为虚数单位，如图，网格纸中小正方形的边长是1，复
平面内点Z 对应的复数为z ，则复数z
1－2i
的共轭复数是( )
A ．－i
B ．1－i
C ．i
D ．1＋i 答案：A
C．p∧(綈q) D．p∧q
答案：C
解析：由已知可得，复数z满足(z－i)(－i)＝5，所以z＝
5
－i
＋i ＝6i，所以命题p为真命题；复数
1＋i
1＋2i
＝
(1＋i)(1－2i)
(1＋2i)(1－2i)
＝
3－i
5，其虚部为－
1
5，故命题q为假命题，命题綈q为真命题．所以p∧(綈q)为真命题，故选C.
二、非选择题
9．[2019·天津实验中学模拟]已知复数z＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
cosθ－
4
5＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
sinθ－
3
5i
是纯虚数(i为虚数单位)，则tan
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
θ－
π
4＝________.
答案：－7
解析：因为cosθ－
4
5＝0，sinθ－
3
5≠0⇒cosθ＝
4
5，sinθ＝－
3
5⇒tanθ＝－
3
4，所以tan⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
θ－
π
4＝
－
3
4－1
1－
3
4
＝－7.
10．已知复数z＝x＋y i，|z－2|＝3，则
y
x的最大值为________．答案： 3
解析：
∵|z－2|＝(x－2)2＋y2＝3，∴(x－2)2＋y2＝3.
如图所示，点(x，y)在以3为半径，(2,0)为圆心的圆上，数形结
合可知
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫y
x max＝
3
1＝ 3.
11．复数z＝()
1－i a2－3a＋2＋i(a∈R)，
(1)若z＝z，求|z|；
(2)若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．
解析：(1)z＝a2－3a＋2＋()
1－a2i，。