第二讲：行列式的性质及计算
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质考虑111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =将它的行依次变为相应的列，得称T D 为D 的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记111212122212n n T n n nnb b b b b b D b b b =则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.例如 123123086351.351086=- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即11121112212n i i i i in in n n nna a a ab a b a b a a a +++=111211212n i i in n n nna a a a a a a a a +111211212n i i in n n nna a ab b b a a a . 证: 由行列式定义性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i jr kr D D +=，即计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式解: 211231231232123223240188(1)3234086204250425r r r r r r D +↔-----=------=43324130858412321232018801880058620058621430303729r r r r r r -++------==143[1(1)58]28629=-⨯-⨯⨯=. 41212,3,4666611111111131113110200(2)66113111310020111311130002ii i r r r r i D=+-=∑===6(1222)48=⨯⨯⨯⨯=.此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式 解: (1)1112132,3,1111100000i r r ni nna a a D a a a a -=+---=221111111001001nna a a a a -=+-(箭形行列式)(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有12,3,,100[(1)]i r r i na a x a x n a x a-=-+--=1[(1)]()n x n a x a -=+--.例3: 设111111111111,kk kk k n n nkn nna a a a D c cb bc c b b =11111,kk kka a D a a =11121,nn nnb b D b b =证明:12.D D D =证: 对1D 作行运算i j r kr +, 把1D 化为下三角形行列式: 对2D 作列运算i j c kc +, 把2D 化为下三角形行列式:先对D 的前k k 行作行运算i j r kr +, 然后对D 的后n 列作列运算i j c kc +, 把D 化为下三角形行列式: 故, 111112.kk nn D p p q q D D =⋅=.思考练习 1.计算行列式2.证明1111111112222222222a bb c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++ 3. 证明4.计算行列式2324323631063a b c d a a b a b ca b c dD a a b a b ca b c da ab a bc a b c d++++++=++++++++++++答案2.左边=21111111111111222222222222c c a bb c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a -++++-++++=+-+++++-+2312121111111222222222c c c c c c a b a c b a c a b a c b a c a b a c b a c -+↔+--=+-=-=+--1112222a b c a b c a b c . 3. 证(1)左边111111111abcdef -=--213111102020r r r r abcdef ++-=23111020002r r abcdef ↔-=-4.abcdef = (2)左边12222,3,42214469214469214469214469i c c i a a a a b b b b cc c cd d d d -=++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b cc d d --++==++=右边 4. 解: 从第4行开始，后行减前行得， §2.2 行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n －1阶行列式来计算？ 一、余子式与代数余子式定义：在n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原来的顺序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ；而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.例如 三阶行列式 111213212223313232a a a a a a a a a 中元素ij a 的余子式为1112233132aa M a a =元素23a 的代数余子式为23232323(1)A M M +=-=-四阶行列式1011025112331x ---中元素x 的代数余子式为3232111(1)0515001A +-=--= 二、行列式按行（列）展开定理 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即证 （1）元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时 11212221200n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地1122j j j j nj nj D a A a A a A =++同理有.推论 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即 证 考虑辅助行列式1122).t j t j t nj nt a A a A a A j t =++≠按第列展（该行列式中有两列对应元素相等.而10D =，所以1122)0j t j t nj nt a A a A a A j t ++≠=（.关于代数余子式的重要性质在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成n 个（n －1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的. 三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例4: 计算四阶行列式123410123110125D =---.解: 31412122210031461217c c c c D-------=()22122211146217+=⨯------按第行展()()122(1)111121146217r r ÷÷--⨯⨯---=1112146217=--21311002135239c c c c ----=()113521139+=⨯⨯---按第1行展3522439==---.例5 已知4阶行列式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.304222207001111=---3407222111=--34014111002=342811=28=-. 例6: 计算n 阶行列式 解：11111212111(1)nn n D a A a A a A =++按第列展1(1)n n n x y +=+-.1110000200(1)(1)!00200001n n nn n n ++=-=---.例7: 计算四阶行列式4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.解: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a b D a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-, 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22[()()]a b a b D a b a b a b a b+-=+---+4222a b =.例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde )12111112111()(2)nn i j j i nn n n nx x x D x x n x x x ≤<≤---==-≥∏,其中1()i j j i nx x ≤<≤-∏表示所有可能的())i j x x j i -<（的乘积. 证: (用数学归纳法)2n =时,2211211,D x x x x ==-结论正确; 假设对n -11n -范得蒙行列式结论成立，以下考虑n 阶情形.112()nii x x ==-∏按第列展提取公因子2322223111nn n n nx x x x x x ---1()i j j i nx x ≤<≤=-∏.例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式解 ：对照范德蒙行列式，此处12344,3,7,5x x x x ====- 所以有(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368 =----⋅---⋅--=. 第三环节：课堂练习练习:已知4阶行列式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.iA i=的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有。
第二节 行列式性质与计算
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
a1 n ... o ... a nn
0 0 ... ... a nn a n1 ... ... ... ... ... a1 n ... a in ... a nn
... ...... 0 ... a n1
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ...... ain Ain (i 1,2,...,n)
a1 j M 1 j ) k
当i 1时, 把i行与第一行交换由上结论, 可把第一行的公因子提 , 到行列式外 然后再互换第一行和第行,即得这个性质 , i .
推论3：若行列式中有两行（列）的元素对 应成比例，则此行列式等于零。 证:由性质4与推论2易得.
性质5：若把行列式的某一行（列）的各元素 乘以同一个数k，然后加到另一行（列）的对 应元素上，则行列式不变.
a11 ... ai1 ... a n1
a12 ... 0 ... an 2 a11
... ... ... ... ... a12 ... 0 ... an2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
a1 n ...
a11 ...
a12 ... ai 2 ... an2
a
bc
ca
b
bc
ca
证： 左边 a1 b1 c1 c1 a1 b1 b1 c1 c1 a1
a2 b2 c2 c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2
a
bc
c
a
bc
a
a1 b1 c1 c1 a1 b1 c1 a1 a2 b2 c2 c2 a2 b2 c2 a 2 b b ca b c ca b1 b1 c1 a1 b1 c1 c1 a1 b2 b2 c2 a2 b2 c2 c2 a2
第2讲 1.3行列式的性质 1.4行列式按行(列)展开
7 15 6 6 2. 5 38
记 交换 i、j 两行： ri rj ；交换i、j两列： ci c j
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行
列式为零
证明 把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D=0
性质3 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等
于用数 k 乘此行列式
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n
即 kas1 kas2
kasn k as1 as 2
asn
an1
an2
ann
an1 an2
ann
记 第 i 行乘以 k：kri；第j列乘以 k: kcj 推论1 若行列式D中某一行（列）的所有元素均为零，
则D=0.
推论2 行列式的某一行（列）中所有元素的公 因子 可以提到行列式符号的外面．
a 3a b 6a 3b c
d abcd 4a 3b 2c d 10a 6b 3c d
解 从第 4 行开始，后行减前行得，
r4 r3 a b
c
d
r3 r2 0 a a b a b c
r2 r1
D
0
a
2a b
3a 2b c
0 a 3a b 6a 3b c
r4 r3 a b c
a11 a12 a1n
s ai1 ai2 ain
s ai1 ai2 ain
t
k
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
0.
t
an1 an2 ann
an1 an2 ann
例1 设
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
a21 a22 a23 1, 求 3a21 a22
线性代数行列式的性质与计算
线性代数行列式的性质与计算线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在各个领域的数学和物理问题中都具有广泛的应用和重要性。
行列式是一个数，它与矩阵的元素有关，在许多情况下可以通过一些算法进行计算。
一、行列式的性质1.行列式有可加性：若A为n阶方阵，有两列完全相同，则行列式的值为0；若A为n阶方阵，交换两列，行列式的值变号。
2.行列式有因子约束：若A的其中一行或其中一列的元素是两个数之和，则A的行列式等于这两个数的和的行列式之和。
3.行列式有数乘的性质：若将A的其中一行或其中一列的元素都乘以k，则A的行列式等于k乘以这个行列式。
4.行列式对其中一行与另一行的代换变号，对其中一列与另一列的代换变号，换行、换列对行列式无影响。
5.方阵A与其转置矩阵A'行列式相等，即，A，=，A'。
6.若A为可逆的方阵，则，A，≠0；若A的其中一行全为0，则，A，=0。
二、行列式的计算1.二阶行列式的计算：设A为二阶方阵。
2.三阶行列式的计算：设A为三阶方阵a11a12a1A=，a21a22a23a31a32a33.高阶行列式的计算：a)拉普拉斯展开法：以行或列为基准进行展开，逐步减小行列式的阶数，直至计算到二阶行列式。
b)三角形矩阵法：若A为上（下）三角矩阵，则A的行列式等于对角元素的乘积。
c)伴随矩阵法：设A为n阶方阵，A的伴随矩阵的转置矩阵为A*，则，A，=，A*，=A*A^-1d)特征值法：设A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则，A，=λ1λ2…λn.e)克拉默法则：若Ax=b为线性方程组，其中A为n阶方阵，且，A，≠0，则方程组有唯一解x=A^-1b.总之，行列式作为一种数学工具，在线性代数中具有重要的地位和作用。
它不仅可以帮助我们判断矩阵的可逆性，还可以求解线性方程组、计算矩阵的秩、判断矩阵的相似性等。
行列式的性质和计算方法可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的相关知识。
行列式的性质与运算法则
行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。
行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。
一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。
2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。
3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。
二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。
1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。
3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。
4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。
三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。
1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。
利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。
2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
2.2 行列式的性质与计算
a n1
an 2 ann
a n1
an 2 ann
10
a11
a12 an 2 a12 a1n bi 2
a1n
性质5 bi 1 ci 1
an1 a11 bi 1 an1
bi 2 ci 2 bin cin a11 an1 ann a12 a1n ci 2 cin
例9 证明范德蒙行列式(n≥2).
1 x1
2 Vn x1
1 x2
2 x2
1 x3
2 x3
1 xn
2 xn ( xi x j ),
n x1 1
n x 2 1
1 j i n
n n x 3 1 x n 1
证 n = 2:
1 x1
1 x2
x2 x1 , 结论成立.
2r1 r2 r1 r3
1
2
3
0 2 3 0 1 2
1 r2 r3 2
1
2
3 3 1 1 2
0 2 0 0
21
x
y x y
y y x
y x y
y y x
例7 计算 Dn
y y
.
x ( n 1) y
y y x
9
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，
则此行列式为零．
a11 ai 1
a12 a1n ai 2 ain
a11 ai 1
a12 a1 n ai 2 ain
k 0 ai 1 ai 2 ain kai 1 kai 2 kain
2.行列式的性质与计算_32180587
a11 M + ci1 M an1
a12 L a1n M M ci 2 L cin M M an 2 L ann
4
对换: 对换: 在一个排列中互换两个数的位置 对换改变排列奇偶性. 对换改变排列奇偶性. 性质4 性质4 若行列式第 s 列(或行)与第 i 列(或行)对换, 则行列式 或行) 或行)对换, 反号. 反号. a11 a12 L a1n 证明 M M M
a21 a22 L a2n M M M an1 an2 L ann
=
∑
j1 j2Ljn
(−1)τ ( j1 j2Ljn ) a1j1a2 j2 Lanjn
为 n! 项代数和 每项为选自不同行列 n 个数之积 当行下标排列为自然排列时, 当行下标排列为自然排列时, 每项符号由列下标排列奇 偶性决定
1
性质1 行列互换行列式值不变. 性质1 行列互换行列式值不变.
8
例1 计算下面的四阶行列式 D = 0 1 2 −1 ri↔rj 表示第 i 行与第 j 行互换; 2 3 −3 10 行互换; ci↔cj 表示第 i 列与第 j 列互换; 列互换; kri + rj 表示把第 i 行的 k 倍加到第 j 行; kci + cj 表示把第 i 列的 k 倍加到第 j 列; 解 通过行变换将 D 化为上三角行列式
c3 −a3 −b3
再提取第2, 列的公因数− 做两次列对换, 等式即得证. 再提取第2, 3 列的公因数−1, 做两次列对换, 等式即得证.
11
证法二 将左式表示成 23 个行列式之和, 其中有6个行列式各 个行列式之和, 其中有6 有两列相等而等于零: 有两列相等而等于零:
a1 + b b + c1 c1 + a1 a1 b + c1 c1 + a1 b b + c1 c1 + a1 1 1 1 1 1 ∴ a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 = a2 b2 + c2 c2 + a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 a3 b3 + c3 c3 + a3 b3 b3 + c3 c3 + a3
§2 行列式的性质与计算
j (1) ( j j j ) a1 j (aij j j
1 2 n 1 1 2 n
i
biji ) anjn
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ( 1) ( j j j ) a1 j aij anj j j j ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin ( j j j ) ( 1) a1 j bij anj j j j an1 an 2 ann an1 an 2 ann
a1 p1 aip j a jpi anpn
p p (1) p p
( p1 p j pi pn )
D
§2 行列式的性质与计算
推论1 如果行列式中有两行（列）相同，那么
该行列式为零． 比如：
1 2 3 1 2 3 4 5 6
r1 r2
1 2 3 1 2 3 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 6
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下 的低一阶行列式； 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式， 这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
§2 行列式的性质与计算
二、应用举例
例1. 计算行列式
0 1 D 1 2 2 2 0 0
1 1 2 1
1 0 1 1
2 2 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 2 2 2 4
§2 行列式的性质与计算
a b c d a ab abc abcd r3 r2 ( 1) 0 a 2a b 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c
a 0 r2 r1 ( 1) 0 0
a r4 r3 ( 1) 0 0 0
2.2 行列式的性质
2
1
2
0
0 1
1 1 2
0 1 1
2 2 0
×1 ×(-2)
2 1 10
2 1 10
1 1 0 2
1 1 1 2
0 1 1 2
×1
×3
0 1 1 2
0 1 1 2
0 0 2 4 ×(-1)
0 3 1 4
0 0 2 2
二、行列式的计算举例
第2章 方阵的行列式 18
如 a1 b1 c1 2 1
a2 b2 c2 3 0
a3 b3 c3 1 5
a1 2 1
b1 2 1
a2 3 0 b2 3 0
a 3 1 5
b31 5
c1 2 1 c2 3 0
c3 1 5
一、行列式的性质
第2章 方阵的行列式 15
性 质5 行列式某一行(列)的所有元素乘以同一数，加到 另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变．
一、行列式的性质
第2章 方阵的行列式 16
证明
a11
L
ai1 kas1 L
as1 L
an1
a11 a12 LL
ai1 ai2
L L
as1 as 2 LL
an1 an 2
a12
L
a1n
LLL
ai2 kas2 L ain kasn LLL
as 2
L
asn
LLL
an 2
L
ann
L a1n LL
对列也成立
a1 b1 2 1 a2 b2 3 0 a3 b3 1 5
a1 2 1 b1 2 1 a2 3 0 b2 3 0
行列式的性质与计算
行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个非常重要的工具，在数学和许多其他领域中都有广泛的应用。
行列式的性质和计算是学习线性代数的基础之一。
一、行列式的定义行列式是由n个数字aij(i=1,2,n;j=1,2,n)组成的矩形表格，通常用大写字母D表示。
这些数字按照一定的规则排列，形成一个n阶方阵。
行列式D的值是一个与方阵有关的唯一的数，它反映了方阵线性变换的性质。
二、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的地位，因此行列式的性质可以按照行或列来描述。
2.交换两行或两列的位置，行列式的值不变。
即，如果i≠j，那么Dij=Dji。
3.行列式的某一行或某一列中所有元素的公因子可以提取出来，提取后剩余的元素按照原来的相对位置排列组成的行列式与原来的行列式相等。
即，如果k为常数，那么Dk=kD。
4.行列式中两行或两列对应元素相同，行列式的值为零。
即，如果i=j，那么Dij=0。
5.行列式可以按照某一行或某一列展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
6.行列式可以按照主对角线进行展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
7.行列式可以按照某一行或某一列进行递推展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
8.行列式可以按照某一行或某一列进行递归展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
三、行列式的计算行列式的计算是线性代数中的基本技能之一，也是解决许多问题的关键步骤。
下面介绍几种常见的计算方法：1.利用定义计算根据行列式的定义，我们可以直接计算行列式的值。
对于n阶方阵A，其行列式的定义为D=a11A11+a12A12+.+anAn，其中Aii是元素aij的代数余子式。
利用这个公式，我们可以直接计算任意一个n阶方阵的行列式。
2.利用性质计算利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。
例如，根据行列式的交换律，我们可以将两行或两列交换位置；根据行列式的倍数律，我们可以将一行或一列乘以一个常数；根据行列式的零律，我们可以将一行或一列中所有元素设置为零；根据行列式的展开律，我们可以将行列式按照某一行或某一列展开等等。
行列式的性质和计算
i+ j
4 0 0 1 4 0 0 2 1 3 1 = 22 1 3 = 2×4 1 3 D= 4 3 0 0 0 2 7 4 3 7 4 3 2
= 2×4 ×(15)
例 计算 解
a11 a12 a1n a22 a2n Dn = 0 a1,n1 a2,n1 ann
Dn = ann
证
不可逆时： 当A不可逆时 设 不可逆时
初等行变换 A R(最后一行的元全为零) →
即存在初等矩阵 E1, E2, ..., Et， A = E1E2 Et R
det R = 0 det A = (det E1 )(det Et )(det R) = 0.
不可逆 又A不可逆 AT不可逆 不可逆 所以 det AT = 0.
2 A ≠ 2A
k An×n = k A ≠ k A .
n
初等矩阵与任一方阵A乘积的行列式： 初等矩阵与任一方阵 乘积的行列式： 乘积的行列式
det(Eij A) = det A = (det Eij )(det A), det(Ei (c) A) = c(det A) = (det Ei (c))(det A),
det(Eij (c) A) =det A = (det Eij (c))(det A).
对任一初等矩阵 E , det( EA ) = (det E )(det A )
设E1 , E2 ,, Et为初等矩阵，则 为初等矩阵， det( E1 E2 Et A) = (det E1 )(det Et )(det A)
1 7 5 r3 + ( 3 )r1 0 10 3 0 15 5 1 7 5 r3 + 3 r3 0 5 2 0 0 1
1 r2 r3 0
第二节 行列式的基本性质与计算
a j1
a j1 a jn
ai1
an1 ann
an1
注: 换行: ri rj; 换列: ci c j .
a1n a jn . ain ann
例如:
x1 y1 z1
z1
x2 y2 z2 c1 c3 z2
x3 y3 z3
z3
y1 x1 y2 x2 . y3 x3
4
返回
又如:
1 0 0 0 1
1 4 1 1 1 1 1
a i1 xi a x1 a x2 a x3 a x4 a
0
1000
a(x1 a)(x2 a)(x3 a)(x4 a) 0
0100
0
0010
028
0 0 0 1返回
1 4 1
a( x1
a)(x2
a)(x3
a)(x4
a)( a
i 1
j 1
n
n
(1)1 jb1 j M1 j (1)1 jc1 j M1 j
j 1
j 1
9
返回
b11 b12 b1n c11 c12 c1n
a21
a22
a2n a21
a22
a2n
an1 an2 ann an1 an2 ann
当i>1时，把第i行与第一行i 互换，再按上面的方法 把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行 列式的第i行与第一行互换即可．
bi 2
bin
ci1
ci 2
an1 an2 ann
an1 an2
8
a1n a2n cin ann
返回
证明:当 i=1时，由行列式的定义知
b11 c11 b12 c12 b1n c1n
行列式的性质与计算行列式的性质有哪些行列式的计算方法
一、行列式的性质有哪些
(1) 行列式行列互换,其值不变；
(2) 互换两行(列),行列式的值变号;
(3) 某行(列)有公因子,可将公因子提出;
(4) 某行(列)的每个元素为两数之和,可以将行列式拆为两个行列式之和;
(5) 某行(列)的k倍加另一行(列),其值不变.
(6) 两行(列)成比例,其值为零;
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
二、行列式的计算方法是什么
1.若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
2.化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
3.原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。
但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。
因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
行列式性质及其计算方法
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1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算 。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展 开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所 构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工 具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时 ，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的 符号变化。 以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获 取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于 用数k乘此行列式。 行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些 性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计 算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时， 需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法
工程数学II第二节 行列式的性质和计算
a1n
ai1
ai 2
ain
ai1 ai2
ain
a j1 kai1 a j2 ．kai2
a jn kain a j1 a j2
a jn
an1
an 2
ann
an1 an2
ann
为叙述方便，引进以下记号：
（1）交换行列式的 i, j 两行（列），记
为 ri rj (ci c j；)
i （2）第 行（列）乘以 k ，记作 ri k (ci k )， 第 i行（列）提出公因子 k ，记作ri k (ci k)； i （3）将行列式的第 行（列）乘k 加到第 j 行
（列）上，记为 rj kri (c j kci )．
．
例1 计算
1201
1350 D
置行列式，即 （DT）T D
性质1 行列式与其转置行列式相等，即 DT D
性质2 行列式的两行（列）互换，行列式变号． 推论 行列式有两行（列）相同，则此行列式为 零． 性质3 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以
k k 同一数 ，等于用数 乘此行列式．
推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面．
推论2 行列式的某一行（列）中所有元素为零，则 此行列式为零．
性质4 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则 此行列式为零．
性质5 将行列式某一行（列）的各元素乘以同一数 后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不
变．即第 k 行乘i 加到第 j 行上，有
a11
a12
a1n
a11 a12
babb D
bbab
解
bbba
第2讲 行列式性质
… ………
… ………
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann
性质4 如果行列式有两行(列)的对应元素成
比例，则此行列式的值为零
15 6
例1 D= 2 3 8 =0
4 6 16
例2 设
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
a21 a22 a23 =1，求 3a21 a22 5a23 。
123
例2 计算行列式的值 D= ○3 1 2 ○2 ○3 1
化成上三角式
解
123
123
D= 0 5 7 =- 0 1 5 =-
123
0 1 5
=18
0 1 5
0 5 7
0 0 18
r2 3r1 r3 2r1
r2 r3
120 1 例3 计算行列式的值 D= 1 3 5 0
r2 r1 r4 r1
a31 a32 a33
3a31 a32 5a33
解：
6a11 2a12 10a13 3a21 a22 5a23 3a31 a32 5a33
3a11 a12 5a13 2 3a21 a22 5a23
3a31 a32 5a33
a11 a12 a13 2(3)5 a21 a22 a23
a31 a32 a33
第二讲 行列式的性质
一 行列式的性质（6条） 二 一些特殊的行列式
行列式的转置：
第1行变为第1列， 第2行变为第2列,
… 第n行变为第n列
将行列式D的同号数的行换为同号数的列得到
的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D
a11 a12 … a1n
D=
a21 …
a22 …
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§2 n 阶行列式的性质及计算复习：定义 D=nnn n n n a a a a a a a a a212212111211=k nk k A a 111∑=定理（Laplace ） D=ik nk ik A a ∑=1=),,2,1,(1n j i A a kj nk kj =∑=拉新授：一、 行列式的性质记D=nnn n n n a a a a a a a a a212212111211D T=nnnnn n a a a a a a a a a212221212111 (D ')行列式D T 称为行列式D 的转置行列式（依次将行换成列） 性质1 D=D T由此知，行与列具有同等地位。
关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然。
如: D=dcb a D T=dbc a D=D T性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D=dcb a =ad-bc ,bad c =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
证：把这两行互换，有D ＝-D 故D ＝0性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k ，等于用数k乘此行列式（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论2 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4 若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和（例如 第i 列）D=()()nnninin n n i i n i i a a a a a a a a a a a a a a a'+'+'+2122222211111211)(则D=nnnin n n i n i a a a a a a a a a a a a21222221111211+nnnin n n i n i a a a a a a a a a a a a'''21222221111211性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变（例如，以数k 乘第j 列，加到第i 列上，可记做j i kC C + ）nn njnin n n j i n j i a a a a a a a a a a a a a a a2122222211111211ji kC C +)()()nnnjnjnin n n j j in j j i a a ka aa a a a ka a a a a a ka a a a+++212222222111111211性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按行：()j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++02211 按列：()j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++02211将性质7 与Laplace 定理合并为下列结论：⎩⎨⎧≠==∑=j i j i DA a nk jk k i 01 （1）和⎩⎨⎧≠==∑=ji j i D A ank kjki1（2）这些性质证明从略，利用这些性质可以简化行列式的计算。
例1 1111111111111111--=D 14,3,2r r i i -==2020*********---8-=例22164729541732152-----=D 31c c ↔==2461759243712251------1214132r r r r r r +--=21311061202251----42432r r r r ++=21330063002251---42r r ↔==93030002102251-=--例3a bbbb a b b b b a b b b b a D =4321r r r r +++=a b bbb a b b b b a b b a b a b a b a 3333++++ba r 311+⨯=()abbbb a b b b b a b b a 11113+14,3,2br r i i -==()ba b a b a b a ---+000000011113))(3(b a b a -+=例4 证明 222222111111p r r q q p p r r q q p p r r q q p +++++++++2221112r q p r q p r q p =证：左端22222111115p r r q p p r r q p p r r q p ++++++=第一列性质2222211111p r r q q p r r q q p r r q q +++++++22221111r r q p r r q p r r q p +++=22221111p r r q p r r q pr r q ++++222111r q p r q p rq p=222111p r q p r q pr q+2221112r q p r q p r q p=§3克莱姆法则含有n 个未知数n x x x ,...,,21的n 个线性方程的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++n n nn n n n n n bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a221122222************ （1）与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n 阶行列式表示，即定理（Cramer 法则） 如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即nnn na a a a D1111=0≠，则方程组(1)有且仅有一组解： DD x 11=，DD x 22=，…，DD x n n =(2)其中()n j D j ,...,2,1=是把系数行列式D 中的第j 列的元素用方程组右端的常数代替后所得到的n 阶行列式nnj n nj n n n j j n j j j a a b a a a a b a a a a b a a D1,1,121,221,22111,111,111+-+-+-=证明思路： 1 （1）如果有解，其解必为（2）唯一。
2 再验证（2）确为（1）的解。
证略 例1 求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--+=--+-=+-020346223523143214321421x x x x x x x x x x x x x解： 系数行列式102113421232011------=D 01021032202120114243----=--r r r r 132221211---=按第三列展开13204301221322---=+-r r r r 054312≠=---=同样可以计算101001130212620151=-------=D ，1501022104216320512-=------=D ，20021034262325113=----=D ，251020134612350114-=-----=D所以211==DD x ，322-==DD x ，433==DD x ， 544-==DD x注意 1. 克莱姆法则的条件：n 个未知数，n 个方程，且0≠D2. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++000221122221*********n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a（3）称为n 元齐次线性方程组。
当（1）的常数项不全为零时，（1）称为n 元非齐次线性方程组。
显然当(),...2,10==i x i 是（3）的解。
推论 若（3）的系数行列式0≠D ，则它只有零解。
即若（3）有非零解，则必有0=D 。
3. 克莱姆法则的关键是行列式的计算，加强之。
例2 证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n n n n x x x x x x x x x D()∏≥≥≥-=1j i n j ix x（4）其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积。
证： 用归纳法 ，因为=-==1221211x x x x D ()∏≥≥≥-12j i j ix x所以，当n=2时，（4）式成立，现设（4）式对n-1时成立，要证对n 时也成立。
为此，设法把n D 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()1213231222113312************01x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n n nn n n n n n ------------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）()()()223223211312111------=n nn n n n x x x x x x x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式由假设=()()()()∏≥≥≥----211312j i n j in x xx x x x x x =()∏≥≥≥-1j i n j ix x证毕例30000a baa ab b a a a b a D =0022224321abaa ab b a a b a b a b a ba r r r r ++++=+++()0011112211a ba a ab b a a b a ba r +=+⨯()b a aab b a b b a a b a r r br r ar r +-------=---200001111121314()aab b a b ba ab ab a -------+=002()()aab a b a b b a -----+=2()()()[]2242242ba ba b a b b a -=---+=作业习题 1-3 1. （2）、（4）、（5）2. （1） 3（1）1-4 2. 3. 4. 1-5 1. （1） 4.。