数理复习 总结

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三，应用留数理论计算实变函数定积分
实变函数积分复变函数的回路积分 基本思想: 将在区间 l1=[a, b] 的实变函数积分与 复平面上的回路积分联系起来,
I f ( x ) dx
a
b
可以看做复变函数线积分的特例, 即是复变函 数在实轴上的线积分。因此，可把上述实数 积分与复变函数积分联系起来。
四，幂级数 一、定义
k 2 a ( z z ) a a ( z z ) a ( z z ) , (3.2.1) k 0 0 1 0 2 0 k 0
其中 z0，a0，a1，a2， 为复常数。 这样的 级数叫作以z0为中心的幂级数。 二、幂级数敛散性 1、比值判别法（达朗贝尔判别法）
z z0
P( z ) f ( z) , Q( z )
z0是Q( z )的一价零点 , P( z ) 0.
P( z ) P( z0 ) Res f ( z0 ) lim( z z0 ) z z0 Q( z ) Q' ( z0 )
例1：求 f ( z ) 1 在 ( z n 1) 解：
例题：求积分 I
imz

0
imz
cos mx dx, ( a 0). 2 2 x a
e e 解: 2 2 z a ( z ia )( z ia ) z ia是上半平面内的一价奇 点， e e e lim ( z a i) 2 lim 2 z ai z a zai z a i 2a i
1 1 t t t 1 t
k
(| t | 1).
例 求 1 z2 z4 z6 的收敛圆。z 为复数. 解： C
R
z t
2
CR1 z0
1 t t t
2 3
R1
收敛
R
发散
ak 1 Rt lim lim 1 k a k 1 k 1
k 2 | a || ( z z ) | | a | | a || ( z z ) | | a || ( z z ) | k 0 0 1 0 2 0 k 0
(3.2.2)
按比值判别法（达朗贝尔判别法） 若
| ak 1 || z z0 | lim k | a || z z |k k 0
l
l
l l k k d ak l cos d bk l sin l l k 1 2la0 0 0
1 l a0 f ( ) d 2l l
l n n an : l f ( ) cos l d a0 l cos l d 0 l l k n k n cos d bk sin cos d ak l cos l l l l l k 1 l
z 2i 在其奇点的留数。 f ( z) 5 3 z 4z
例3：求 解：
z 2i z 2i 1 f ( z) 3 2 3 3 z ( z 4) z z 2 i z 2 i z z 2 i
例4：求积分
dz 2 z 2z | z |1

l
l
l n n n f ( ) cos d an cos cos d l l l l l 1 2n an 1 cos d lan l 2 l
1 l n an f ( ) cos d l l l
同理得：
k 1
ak 1 lim | z z0 | 1, k a k
则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。
引入记号 R lim ak
k
ak 1
则即：若
ak ，则（3.2.1) | z z0 | lim R k a 绝对收敛。 k 1
三、例题 例 求 1 t t 2 t k 的收敛圆。 t 为复数
一, 复数及复变函数的运算
二，计算留数的公式：
一、一阶极点留数的计算：设 z0 是 f (z) 的一阶 极点， f ( z ) a1 a a ( z z ) 因此 .... 0 1 0 z z0
特殊情形：
Res f ( z0 ) a 1 lim( z z0 ) f ( z ) 非零的有限值
R2 | z z0 | R1称为级数的收敛环。若
R2 R1,
级数发散。
二、洛朗展开定理
R1 设 f(z) 在环形区域 R2 | z z0 | 的内部单值解析， 则对环域上任一点 z, f (z)可展为幂级数
1 f ( ) 其中 k ak d f ( z ) ak ( z z0 ) k 1 C ( z ) 2 i 0 k

1 (1 )(1 )

另外 1 1 2 1 Re s f lim 2 z z ( z 2 z )' 1 1 lim 2 z z 2 z 2 1 1 2 ( 2)1 1 1 lim n lim n1 z1 ( z 1)' z 1 n z n
1 例2：求 f ( z ) 在其奇点 sin z
z0 n的留数。
解： 一价极点 z=n
z n lim ( z n ) f ( z ) lim z n z n sin z ( z n )' 1 n lim lim ( 1) z n (sin z )' z n cos z
z0 1 处的留数。
m?
1 1 f ( z) n n 1 n 2 ( z 1) ( z 1)( z z z 1)
z 1是一价极点 , 1 Re s f (1) lim( z 1) n 1 n 2 z 1 ( z 1 )( z z z 1 ) 1 1 lim n 1 n 2 z 1 z z z 1 n
2 2
R：收敛半径 CR: 收敛圆
| z 0 || z | Rt 1, | z 0 | Rt Rz 1
1 1 z z z 2 1 z
2 4 6
(| z | 1)
五，解析函数的洛朗（Laurent）展开
一、双边幂级数
a2 ( z z0 )2 a1( z z0 )1 a0 a1( z z0 ) a2 ( z z0 )2
1 z z z f ( z) 1! 3! 5! 7!
2
4
6
(| z | )
1 例 、在 1 | z | 的环域上将 f ( z ) 2 z 1
展开 解：
1 1 1 1 1 f ( z) 2 2 2 2 z 1 z 1 1 z k 0 z 2 z 1 1 1 2 4 6 z z z
类型三：
I1 F ( x ) cosm x dx
0

I 2 G( x ) sin m x dx
0

其中: （1）积分区间 [0, ] ； (2) 偶函数 F(z) 和奇函数 G(z)在实轴上无奇点， 在上半平面除有限个奇点（b1, b2…bn) 外解析； (3) 当 z 在上半平面和实轴上 时，一致地 F(z), G(z) 0；
1 l n bn f ( ) sin d l l l
l 1 k Fourier 系数 a f ( ) cos d k k l l l 1 l k d bk f ( ) sin l l l 2 (k 0) 1 ( k 1)

(0 1)
2
1 1 解： z 2 z 0 z
2
| z |
| z |
1 1 2




1 1 2


1

1

1
1 1 2
1 1 2 1 (1 )
1 (1 )(1 )

路径C 是位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的 任一闭合曲线。
例 、在 z0 0 的邻域将 (sin z ) / z展开
z z z z sin z 1! 3! 5! 7!
3
5
7
(| z | )
sin z 1 z 2 z 4 z 6 (0 | z | ) z 1! 3! 5! 7! sin z (z 0) z 重新定义 f ( z) sin z lim 1 (z 0) z 0 z
正幂部分有收敛半径 R1 , 引入新变量 1 , z z0 负幂部分成为
a1 a2 a3
2 3
1 1 有收敛半径， , 其在 | | 内部收敛， R2 R2
R2 R1,级数 即在 | z z0 | R的外部收敛。若 2
在 R2 | z z0 | R1 内绝对且一致收敛。
imz imz ma
e ma I i e 2ai 2a
ma
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例题：求积分
imz
I

0
x
imz
x sin mx
2
a
2 2

dx,
ze ze 解: 2 ， 2 2 2 2 [ z (ia ) ] z ia z ia z ia是被积分函数的二阶奇 点。
z=0 并非 f (z) 奇点

k
六， Fourier 级数展开 k
k f ( x ) a0 (ak cos x bk sin x) l l k 1 (5.1.3) 其中 Fourier 展开系数 为：