专题06 分类讨论问题研究(解析版)
专题06 分类讨论问题(解析版)
物理思维方法2020最新模拟题精练专题06 分类讨论问题一．选择题1.（2019湖南岳阳二模）如图所示，物体A、B跨过定滑轮并用轻绳连接起来，物体A放在倾角为θ的固定粗糙斜面上，滑轮左边的轻绳平行斜面。
已知物体A的质量为m，物体A与斜面的动摩擦因数为μ（μ＜tanθ＜1），不计滑轮与绳之间的摩擦，要使物体A能在斜面上滑动，物体B的质量可能为（）A. B.C. D.【参考答案】BD【名师解析】对B物体受力分析有：T=m B g．当物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图乙所示，根据平衡条件有：N-mgcosθ=0；T-f m-mgsinθ=0；由摩擦力公式知：f m=μN以上四式联立，解得：m B=m（sinθ+μcosθ）再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有N-mgcosθ=0T+f m-mgsinθ=0由摩擦力公式知：f m=μN联立解得：m B=m（sinθ-μcosθ）则物体B的质量的取值范围为m（sinθ-μcosθ）≤m B≤m（sinθ+μcosθ）。
故AC错误，BD正确。
【关键点拨】先对物体B受力分析，受重力和拉力，二力平衡，得到绳子的拉力大小；再对物体A受力分析，受拉力、重力、支持力和静摩擦力，分静摩擦力沿斜面向上和沿斜面向下两种情况列方程求出物体B 的质量的取值范围，再确定特殊值。
本题关键是找出恰好不上滑和恰好不下滑的临界状态：静摩擦力达到最大值，然后根据共点力平衡条件列式求解。
2..(2019·甘肃兰州第一中学高三质检)处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s，乙在甲前且两物体同时、同向开始运动，甲以初速度v、加速度a1做匀加速直线运动，乙做初速度为零、加速度为a2的匀加速直线运动，假设甲能从乙旁边通过，下述情况可能发生的是()A．a1＝a2时，有可能相遇两次B．a1＞a2时，只能相遇一次C．a1＜a2时，有可能相遇两次D．a1＜a2时，有可能相遇一次【参考答案】：BCD【名师解析】：甲从乙的旁边通过说明相遇时甲的速度大于乙的速度，若a1＝a2，则以后甲的速度将都大于乙的速度，故不会再次相遇，故A错误，若a1＞a2，则甲经过乙的旁边以后，甲的速度增加更快，故甲将一直在乙的前面，不会再相遇，只能相遇一次，故B正确；若a1＜a2，则此后某一时刻乙的速度一定会大于甲的速度，若甲追上乙时，两者速度恰好相等，则两者只能相遇一次；若第一次甲追上乙时，甲的速度大于乙的速度，则甲、乙还会相遇一次，故能相遇两次，故C、D正确．3.（2018海南物理）如图，用长为l的轻绳悬挂一质量为M的沙箱，沙箱静止。
分类讨论问题(含问题解析)
初三数学专题复习：分类讨论问题【学习目标】1、学会运用数学的思维方式去观察、分析数学问题，体会分类讨论思想解决数学问题的方法．2、培养学生思维的逻辑性、探究性、以及归纳的条理性、完整性．【学习重点】用分类讨论思想观察、分析数学问题【学习难点】选择恰当的标准进行分类【学习过程】一、分类讨论概述：1、分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.2、分类的要求：①分类的标准统一②分类要不重不漏.二、典型例题例1.已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为。
例2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（）A. 7㎝B. 8㎝C. 7㎝或1㎝D. 1㎝例3.如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。
当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
例4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动时间为秒。
⑴设△BPQ 的面积为S ，求S 与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？二、当堂达标1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0)2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．± 6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 63．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，44．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或85．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22 C.22D. 26．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．8．在△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．10．如图，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M 为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．中考数学专题复习分类讨论问题参考答案一、例题参考答案【例题1】解：由已知易得⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
【精选】三年高考_高考数学试题分项版解析专题06导数与函数的零点等综合问题文
专题06 导数与函数的零点等综合问题1.【2014全国1，文12】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是( )（B）（C）（D）【答案】C，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时函数单调递减;时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：，即得：，可解得：，则．考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用【名师点睛】本题主要是考查函数的零点、导数在函数性质中的运用和分类讨论思想的运用，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.2.【2014高考广东卷.文21】(本小题满分14分)已知函数. (1)求函数的单调区间；(2)当时,试讨论是否存在,使得.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【解析】(1),方程的判别式为,①当时,,则,此时在上是增函数；②当时,方程的两根分别为,,解不等式,解得或,解不等式,解得,此时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为；综上所述,当时,函数的单调递增区间为,当时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为；(2),若存在,使得,必须在上有解,,,方程的两根为,,,,依题意,,即,,即,又由得,故欲使满足题意的存在,则,所以,当时,存在唯一满足,当时,不存在满足.【考点定位】本题以三次函数为考查形式,考查利用导数求函数的单调区间,从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题,并考查了利用作差法求解不等式的问题,综合性强,属于难题.【名师点晴】本题主要考查的是函数的单调区间和函数与方程，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“单调区间”，否则很容易出现错误．利用导数求函数的单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间，令，解不等式得的范围就是递减区间．3.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数．(I)讨论的单调性；(II)若有两个零点,求的取值范围.【答案】见解析(II)【解析】试题分析：(I)先求得再根据1,0,2a 的大小进行分类确定的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a 的取值范围为.试题解析： (I)(i)设,则当时,；当时,.所以在单调递减,在单调递增.当时,,所以在单调递增,在单调递减.③若,则,故当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减.(II)(i)设,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又,取b 满足b <0且,则,所以有两个零点.(ii)设a =0,则所以有一个零点. (iii)设a <0,若,则由(I)知,在单调递增.又当时,<0,故不存在两个零点；若,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又当时<0,故不存在两个零点.综上,a 的取值范围为.考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.4.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设为实数，函数．（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数．【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，有一个零点；当时，有两个零点．由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数．试题解析：（1），因为，所以，当时，，显然成立；当，则有，所以.所以.综上所述，的取值范围是.（2）对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.综上所述，在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.(i)当时，，令，即（）.因为在上单调递减，所以而在上单调递增，，所以与在无交点.当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点.(ii)当时，，当时，，，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小因为所以结合图象不难得当时，与有两个交点.综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点.考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：①解方程法；②图象法．5. 【 2014湖南文21】已知函数.（1）求的单调区间；（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有.【答案】(1) 单调递减区间为,单调递增区间为.(2)详见解析(2)利用(1)问的结果可知函数在区间上是单调递减的,即在区间上至多一个零点,根据正余弦的函数值可得,再根据在区间上单调性和函数在区间端点处函数值异号可得函数在区间上有且只有一个零点,即,则依次讨论利用放缩法即可证明.试题解析:数求导可得,令可得,当时,.此时;当时,,此时,故函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由(1)可知函数在区间上单调递减,又,所以,当时,因为,且函数的图像是连续不断的,所以在区间内至少存在一个零点,又在区间上是单调的,故,因此,当时,;当时,;当时,,综上所述,对一切的,.【考点定位】导数单调性放缩法裂项求和【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是求导要精确；利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题．应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式．失误与防范1．研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义域．2．利用单调性求最值时不要忽视f′(x)＝0的情况．3．“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x0取到极值”的必要条件．6.【2014四川，文21】已知函数，其中，为自然对数的底数。
专题06 利用等腰三角形的性质求角的度数(解析版)
专题06 利用等腰三角形的性质求角的度数知识对接考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点补充：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.考点二、角1．对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等.2．邻补角(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.(2)性质：邻补角互补.3．同位角、内错角、同旁内角(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.专项训练1一、单选题1．（2021·江苏九年级专题练习）等腰三角形的一个外角是130°，则它的底角的度数为（ ） A ．65° B ．80°或50° C ．50° D ．65°或50°【答案】D 【分析】分该外角是底角的外角还是顶角的外角两种情况解答即可． 【详解】解：①当该外角是底角的外角时，底角为：180°-130°=50°； ①当该外角是顶角的外角时，则底角为：130°×12=65°所以底角为65°或50°． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．2．（2021·湖北黄冈·九年级模拟预测）如图，有一块含有45︒角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果120∠=︒，那么2∠的度数是（ ）A ．20︒B ．25︒C ．30D ．45︒【答案】B 【分析】依题意，由直尺边是相互平行、三角形为等腰直角三角形，可得+2=45DAC ∠∠︒，即可； 【详解】由题知，如图，ABC 为等腰直角三角形，① 45BAC BCA ∠=∠=︒； 直尺边相互平行，120∠=︒① ADCE ，①120DAC ∠=∠=︒；又+245DAC ∠∠=︒，① 225∠=︒； 故选：B ；【点睛】本题考查平行线、等腰直角三角形的性质，关键在熟练应用等腰直角三角形的角的关系； 3．（2021·福建省福州咨询有限公司九年级模拟预测）如图，在①ABC 中，①B=40°，将①ABC 绕点A 逆时针旋转，得到①ADE ，点D 恰好落在直线BC 上，则旋转角的度数为( )3A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°【答案】D 【分析】利用旋转的性质得到①ABC①①ADE ，根据全等三角形的性质可知AB=AD ，进而得到①ADB=①B=40°，再利用三角形内角和定理即可解答. 【详解】①将①ABC 绕点A 逆时针旋转，得到①ADE ①①ABC①①ADE ①AB=AD ①①ADB=①B=40° ①①ADB+①B+①BAD=180° ①①BAD=180°-40°-40°=100° 故选D 【点睛】本题考点涉及旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键.4．（2021·湖北黄石八中九年级三模）如图，在①ABC 中，①BAC ＝116°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，E ，作直线DE ，交BC 于点M ；分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点P 、Q ，作直线PQ ，交BC 于点N ；连接AM 、AN ．则①MAN 的度数为（ ）A ．52°B ．50°C ．58°D ．64°【答案】A 【分析】先根据作图可知DE 和FG 分别垂直平分AB 和AC ，再利用线段的垂直平分线的性质得到①B ＝①BAM ，①C ＝①CAN ，即可得到①MAN 的度数． 【详解】解：由作图可知，DE 和FG 分别垂直平分AB 和AC ，①MB ＝MA ，NA ＝NC ，①①B ＝①MAB ，①C ＝①NAC =116°， 在①ABC 中，BAC ∠=， ①①B ＋①C ＝180°−①BAC ＝64°， 即①MAB ＋①NAC ＝64°，则①MAN ＝①BAC −（①MAB ＋①NAC ）＝52°． 故选A ． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．5．（2021·陕西西安·交大附中分校）如图，①ABC 是①O 的内接三角形，AB ＝AC ．BO 的延长线交AC 于点D ．若①ABD ＝23°．则①A 的度数为（ ）A ．23°B ．32°C ．46°D ．60°【答案】C 【分析】延长BD 交O 于点E ，连接AE ，由圆周角定理可得90BAE ∠=︒，继而解得67AEB ∠=︒，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解题即可． 【详解】解：延长BD 交O 于点E ，连接AE ，则90BAE ∠=︒23ABD ∠=︒9067AEB ABD ∴∠=︒-∠=︒67ACB AEB ∴∠=∠=︒AB AC =567ABC ACB ∴∠=∠=︒18046BAC ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒ 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与圆心、圆周角定理、直径所对的圆周角是90°、等腰三角形、三角形的内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2021·浙江）如图，直线////a b c ，等腰直角ABC 的三个顶点分别在直线a ，b ，c 上（A 为直角顶点），若120∠=︒，则①2的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】C 【分析】利用平行线的性质可以得到1320∠=∠=︒，由ABC 是等腰直角三角形可得到45ABC ∠=︒，再利用角的等量关系列式计算即可． 【详解】解：如图所示建立3∠①////a b c ①1320∠=∠=︒①ABC 是等腰直角三角形 ①45ABC ∠=︒①23452025ABC =-=︒-︒=︒∠∠∠ 故答案选：C 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，利用平行线的性质进行角度等量代换是解题的关键．7．（2021·湖北随州·九年级一模）如图，PA、PB分别是①O的切线，A、B为切点，AC是①O的直径，已知①BAC=35°，①P的度数为（）A．35°B．45°C．65°D．70°【答案】D【分析】由PA与PB都为圆的切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，可得出①OAP与①OBP都为直角，又OA=OB，根据等边对等角可得①ABO与①BAC相等，由①BAC 的度数求出①ABO的度数，进而利用三角形的内角和定理求出①AOB的度数，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出①P的度数；【详解】①PA，PB分别是圆的切线①OA①AP，OB①BP，①①OAP=①OBP=90°，① OA=OB，①BAC=35°，① ①ABO=①BAC=35°，①①AOB=180°-35°-35°=110°，在四边形APBO中，①OAP=①OBP=90°，①AOB=110°，则① P=360°-(①OAP+①OBP+①AOB)=70°，故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键；∠=︒，则①2 8．（2021·全国）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若120的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．40°【答案】C【分析】利用平行线的性质求得①3的度数，即可求得①2的度数．【详解】①AD①BC，①①3=①1=20︒，①①DEF是等腰直角三角形，①①EDF=45︒，①①2=45︒-①3=25︒，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级）如图，已知AB①CD，AD＝CD，①1＝40°，则①2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】C【分析】由等腰三角形的性质可求①ACD＝70°，由平行线的性质可求解．【详解】①AD＝CD，①1＝40°，①①ACD＝70°，①AB①CD，①①2＝①ACD＝70°，故选：C．7【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．10．（2021·河南九年级二模）如图，在①ABC中，AB＝AC，AE平分①BAC，DE垂直平分AB，连接CE，①B＝70°．则①BCE的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】B【分析】连接BE，根据等腰三角形性质求出EB＝EC，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据等边对等角求出①BAE＝①EBA、①BCE＝①EBC，即可求出答案．【详解】解：如图，连接BE，①AB＝AC，AE平分①BAC，①EB＝EC，①①EBC＝①ECB，①①ABC＝70°，AC＝AB，①①ACB＝①ABC＝70°，①①BAC＝180°﹣①ABC﹣①ACB＝40°，①AE平分①BAC，①①BAE＝20°，①DE垂直平分AB，①AE＝EB，①①ABE＝①BAE＝20°，①①BCE＝①EBC＝①ABC﹣①ABE＝70°﹣20°＝50°，故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出①BAE=①EBA和①BCE=①EBC是解此题的关键．二、填空题11．（2021·辽宁九年级）AD是等腰三角形ABC的高，BC=2AD，则①BAC的度数是_____．【答案】90°或75°或15°【分析】可以分别从若BC是底边，即AB＝AC，与若BC是腰，即BC＝BA，①点D在BC边上，①若点D在CB的延长线上去分析，根据等腰三角形的性质与直角三角形的性质，即可求得答案．【详解】解：①AD是BC边上的高线，若BC是底边，即AB＝AC，如图（1）所示，①BD＝DC，AD①BC，①BAD＝①CAD①AD＝BD①①B＝①BAD＝45°①①BAC＝2①BAD＝90°若BC是腰BC＝BA，①若点D在BC边上，如图（2）所示，则在Rt①BAD中，①BA＝2AD，①①B＝30°，①①BAC＝75°；①若点D在CB的延长线上，如图（3）所示，类似地，得：①DBA＝30°，则：①ABC＝150°，①①BAC＝15°．综上：①BAC的度数为90°，75°，15°．912．（2021·华中科技大学附属中学）如图，将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒，使顶点A 的对应点D 落在边AB 上，点B 的对应点E 与点D 的连线交BC 于点F ，则CFE ∠的度数为_______︒．【答案】105． 【分析】将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒得到Rt DEC ∆，可得旋转角=50DCA ECB ∠=∠︒，由CA =CD ，可求65A CDA ∠=∠=︒，由旋转性质①EDC =①A=65°，可求①FCD =90°-①ACD =90°-50°=40°，由外角性质=105CFE FCD CDF ∠∠+∠=︒． 【详解】解：将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒得到Rt DEC ∆， ①旋转角=50DCA ECB ∠=∠︒， ①CA =CD ， ①()1180652A CDA DCA ∠=∠=︒-∠=︒， ①①EDC =①A=65°，①①FCD =90°-①ACD =90°-50°=40°，①=4065105CFE FCD CDF ∠∠+∠=︒+︒=︒， 故答案为：105．【点睛】本题考查旋转变换，旋转角，等腰三角形的性质，三角形内角和，互余角计算，三角形外角性质，掌握旋转变换性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，互余角计算，三角形外角性11质，能从图中找到旋转角是解题关键．13．（2021·苏州高新区第二中学九年级二模）如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒点D 在BC 上，BD BA =，点E 在BC 的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠的度数为_____________．【答案】45 【分析】利用余角、等腰三角形和三角形外角的性质即可求出． 【详解】①BDA DAE AEC ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠， ①BDA DAC EAC AEC ∠=∠+∠+∠． ①90DAC BAC BAD BAD ∠=∠-∠=︒-∠， ①90BDA BAD EAC AEC ∠=︒-∠+∠+∠． 根据题意可知=BDA BAD EAC AEC ∠=∠∠∠，． ①45BDA AEC ∠-∠=︒， ①=45DAE ∠︒． 故答案为：45． 【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角．找出图形中角的等量关系是解答本题的关键．14．（2021·辽宁九年级）如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________【答案】110°或80° 【分析】根据等腰三角形的性质，先求出①BAC 的度数，然后分3种情况：①AD ＝AE 时，①AD＝ED时，①当AE＝DE时，分别求解，即可．【详解】①在①ABC中，AB＝AC，①B＝40°，①①B＝①C=40°①①BAC＝100°，①AD＝AE时，①AED＝①ADE＝40°，①①DAE＝100°，此时，点D与点B重合，不符合题意舍去，①AD＝ED时，①DAE＝①DEA，①①DAE＝12（180°−40°）＝70°，①①BAD＝①BAC−①DAE＝100°−70°＝30°，①①BDA＝180°−①B−①BAD＝110°，①当AE＝DE时，①DAE＝①ADE＝40°，①①BAD＝100°−40°＝60°，①①BDA＝180°−40°−60°＝80°，综上所述：①BDA的度数为110°或80°时，①ADE的形状是等腰三角形，故答案是：110°或80°【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理的理解和掌握，解本题的关键是分类讨论，是一道基础题目．15．（2021·四川广安市·）规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”，记作k，若2k3，则该等腰三角形的顶角为_____．【答案】45°．【分析】根据等腰三角形的性质得出①B=①C，根据三角形内角和定理和已知得出5①A=180°，求出即可．【详解】解：①①ABC中，AB=AC，①①B=①C，13①等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若k=2k 3=， ①①A ：①B ：①C =2：3：3， 即①A=180°×22+3+3=45°， ①①A=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出①A=180°×22+3+3是解题关键． 三、解答题16．（2021·厦门市松柏中学九年级）如图，在Rt ABC △中，①BAC ＝90°，将Rt ABC △绕直角顶点A 逆时针旋转一定角度后得到Rt ADE △，当点D 在边BC 上时，连接CE ． （1）若旋转角为60°，求①ACB 的度数； （2）若AB ＝3，AC ＝4，求sin①DAC 的值．【答案】（1）30°；（2）725【分析】（1）由旋转的性质得出AD AB =，60BAD ∠=︒，进而由等腰三角形的性质及三角形的内角和得出60B ADB ∠=∠=︒，最后再由直角三角形的两个锐角互余即可求得答案；（2）由勾股定理求出5BC =，过点A 作AF BC ⊥于点F ，由三角形的面积求出AF 的长，进而可求出CD ，DE 的长，则可得出答案． 【详解】解：（1）将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，旋转角为60°，AD AB ∴=，60BAD ∠=︒，60B ADB ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，9030ACB B ∴∠=︒-∠=︒，①①ACB 的度数为30°；（2）90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，5BC ∴==，如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，∴1122ABCSAB AC BC AF =⋅=⋅， 341255AB AC AF BC ⋅⨯∴===，95BF ∴，=AD AB ，AF BC ⊥，95DF BF ∴==， 75CD BC BD ∴=-=， 设AC 与DE 相交于点K ，①将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，AD AB ∴=，AE AC =，90BAC DAE ∠=∠=︒，B ADB ∴∠=∠，ACE AEC ∠=∠，90BAC DAE ∠=∠=︒，①90BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，又1902B BAD ∠=︒-∠，1902ECA CAE ∠=︒-∠，ECA B ∴∠=∠，又①旋转，15①B ADE ∠=∠，5DE BC ==，ECA B ADE ∠=∠=∠，AKD EKC ∠=∠，DAC CED ∴∠=∠，90ACB B ∠+∠=︒，ECA B ∠=∠，90ACB ECA ∴∠+∠=︒，775sin sin 525CD DAC CED DE ∴∠=∠===．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．17．（2021·湖北九年级）如图，ABC 中，点D 在BC 边上，且1902ADB CAD ∠=+∠°．（1）求证：AD AC =；（2）点E 在AB 边上，连接CE 交AD 于点F ，且CFD CAB ∠=∠，AE BD =， ①求ABC ∠的度数；①若8AB =，2DF AF =，直接写出EF 的长． 【答案】（1）见解析；（2）①60°；①23EF =． 【分析】（1）根据ADB ACB CAD ∠=∠+∠，1902ADB CAD ∠=+∠°可得C ADC ∠=∠，进而可得结论；（2）①过点D 作//DG CE 交AB 于点G ，根据“AAS”证出AEC ①DGA △，进而可得BDG 为等边三角形，可得答案；①过点D 作//DH AB 交CE 于点H ，可得FAE ①ACE ，根据比例式可得答案． 【详解】解：（1）①ADB ACB CAD ∠=∠+∠，1902ADB CAD ∠=+∠°，①1902ACB ADB CAD CAD ∠=∠-∠=-∠°，①180ADB CDA ∠+∠=°，①11180180909022CDA ADB CAD CAD ⎛⎫∠=-∠=-+∠=-∠ ⎪⎝⎭°°°°，①ACB ADC ∠=∠， ①AD AC =；（2）①过点D 作//DG CE 交AB 于点G ，①CFD CAB ∠=∠，CFD CAD ACE ∠=∠+∠，CAB CAD DAB ∠=∠+∠， ①ACE DAB ∠=∠，又①ACD ADC ∠=∠，ECB ACD ACE ∠=∠-∠，B ADC DAB ∠=∠-∠， ①ECB B ∠=∠， ①CE BE =， ①//DG CE ， ①ECB B ∠=∠， ①DG BG =，①AEC DGA ∠=∠，AC DA =，ACE DAG ∠=∠， ①AEC ①DGA △(AAS)， ①DG AE =， 又①AE BD =， ①DG BD BG ==， ①BDG 为等边三角形， ①60ABC ∠=︒； ①23EF =． 过点D 作//DH AB 交CE 于点H ，由①知EBC 和HDC △均为等边三角形，17设AE BD x ==，则8BE BC x ==-， ①82DH CD x ==-， ①//DH AB ， ①AE AF DH FD =，即182x x =-， ①2x =，①ACE DAB ∠=∠， ①FAE ①ACE ， ①EF AFAE AC=， ①3AC AD AF ==， ①13EF AE =，1233EF AE ==.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，题目难度较大，综合性较强．18．（2021·江苏南通田家炳中学九年级）如图，已知点D 、E 在ABC 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90． 【分析】（1）作AF BC ⊥于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ⊥于F ．AB AC =，AD AE =，∴BF CF =，DF EF =， ∴BF DF CF EF -=-， ∴BD CE =．（2）AD DE AE ==，∴ADE 是等边三角形， ∴60DAE ADE ∠=∠=，AD BD =，∴DAB DBA ∠=∠， ∴1302DAB ADE ∠=∠=， ∴603090BAE DAB DAE ∠=∠+∠=+=．答：BAE ∠的度数为：90． 【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键．19．（2021·福建九年级）如图，已知等腰三角形ABC 的顶角108A ∠=︒．（1）在BC 上作一点D ，使AD CD =（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．（2）直接写出BAD ∠的度数． 【答案】（1）见解析；（2）72° 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可在BC 上作一点D ，使AD=CD ； （2）结合（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质求出C ∠及DAC ∠，所以BAD BAC DAC ∠=∠-∠问题得解．【详解】19解：（1）如图，点D 即为所求；（2）连接AD ，①AB AC =，108A ∠=︒， ①36B C ∠==︒， 由（1）得：AD CD =， ①36DAC C ∠=∠=︒，1083672BAD BAC DAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据图形正确找到角之间的关系是解题的关键．20．（2021·湖南湘西·）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，CB CD =，将边CA 绕点C 旋转到CE 的位置，使得ECA DCB ∠=∠，连接DE 与AC 交于点F ，且70B ∠=︒，10A ∠=︒． （1）求证：AB ED =； （2）求AFE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）50AFE ∠=︒ 【分析】（1）由题意易得ECD ACB ∠=∠，AC EC =，则有≌ACB ECD △△，然后问题可求证； （2）由（1）可得10E A ∠=∠=︒，然后可得40ECA DCB ∠=∠=︒，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：①ECA DCB ∠=∠，①ECA ACD DCB ACD ∠+∠=∠+∠，即ECD ACB ∠=∠，①AC EC =，CB CD =， ①()ACB ECD SAS ≌， ①AB ED =；（2）解：①CB CD =，70B ∠=︒， ①70CDB B ∠=∠=︒，①根据三角形内角和可得180240BCD B ∠=︒-∠=︒， ①40ECA DCB ∠=∠=︒，由（1）可得≌ACB ECD △△， ①10A ∠=︒， ①10E A ∠=∠=︒，①50AFE E ACE ∠=∠+∠=︒． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2021·江苏九年级）如图，在四边形ABCD 中，①B ＝90°，AC 平分①DAB ，DE ①AC ，垂足为E ，且AE ＝AB ． （1）求证：BC ＝DE ；（2）若①DAC ＝40°，求①CDE 的度数．【答案】（1）见解析；（2）20° 【分析】（1）根据ASA 证明①ABC ①①AED ，由全等三角形的性质即可求证；（2）根据①ABC ①①AED 可得AC =AD ，根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：①DE ①AC ，①B =90°， ①①B =①AED =90°， ①AC 平分①DAB ， ①①BAC =①EAD ，21 在①ABC 和①AED 中，BAC EADAB AE B AED∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，①①ABC ①①AED （ASA ），①BC =DE ；（2）①①ABC ①①AED ，①AC =AD ，①①ACD =①ADC ，①①DAC =40°，DE ①AC ，①①ACD =①ADC =70°，①ADE =50°，①①CDE =20°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．22．（2021·浙江九年级二模）已知：如图，在五边形ABCDE 中，AB AE =，B E ∠=∠，BC ED =．（1）求证：ABC AED ≌△△．（2）当//AC DE ，40ADE ∠=︒时，求ACD ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）70︒【分析】（1）利用SAS 即可证明结论；（2）结合（1）可得AC =AD ，根据等腰三角形的性质即可求出①ACD 的度数．【详解】（1）证明：①AB AE =①B E ∠=∠①BC ED =①()ABC AED SAS ≌△△（2）①//AC DE ，40ADE ∠=︒①40CAD ADE ∠=∠=︒①ABC AED ≌△△①AC AD = ①()1180702ACD CAD ∠=︒-∠=︒ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用边角边证明①ABC ①①AED ． 23．（2021·温州市第十二中学九年级）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//FB EA 交EC 于H 点，EA FB =，AB CD =．（1）求证：ACE BDF ≌；（2）若CH BC =，50A ∠=︒，求D ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）80°【分析】（1）由//EA FB ，利用同位角相等可得EAC FBD ∠=∠．由AB CD =，利用等式性质可得AC BD =，可证()ACE BDF SAS ≌；（2）由//FB EA 可得=50EAC FBD ∠=∠︒，由CH BC =利用等角对等边，可求50HBC BHC ∠=∠=︒．利用三角形内角和可得80ECA ∠=︒．利用ACE BDF ≌性质，可得80ECA D ∠=∠=︒．【详解】（1）证明：①//EA FB ，①EAC FBD ∠=∠．①AB CD =，①AB BC CD BC +=+，即AC BD =，在ACE 和BDF 中，①AC BD EAC FBD EA FB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ACE BDF SAS ≌．23 （2）解：//FB EA ，①=50EAC FBD ∠=∠︒，①CH BC =，①50HBC BHC ∠=∠=︒．①180505080ECA ∠=︒-︒-︒=︒．①ACE BDF ≌，①80ECA D ∠=∠=︒．【点睛】本题考查平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键．。
(天津版)高考数学分项版解析 专题06 数列 理-天津版高三全册数学试题
第六章 数列一．基础题组1.【2005某某，理13】在数列{}n a 中，11a =，22a =且()()*211nn n a a n N +-=+-∈则100S =__________。
【答案】2600【解析】当n 为奇数时，20n n a a +-=；当n 为偶数时，22n n a a +-= 因此，数列{}n a 的奇数各项都是1，偶数项成公差为2的等差数列()()()210010011505021005050260022a a S a a ++=+=+=本题答案填写：26002.【2006某某，理7】已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．100 【答案】C3.【2006某某，理16】设函数()11+=x x f ，点0A 表示坐标原点，点()()()*,N n n f n A n ∈，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++，n θ是n a 与i 的夹角，（其中()0,1=i），设n n S θθθtan tan tan 21+++= ，则n n S ∞→lim =．【答案】1【解析】设函数()11+=x x f ，点0A 表示坐标原点，点()()()*,N n n f n A n ∈，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++=0n A A ，n θ是n a 与i 的夹角，111tan (1)n n n n n θ+==+（其中()0,1=i ），设n n S θθθtan tan tan 21+++= 111111223(1)1n n n +++=-⋅⋅++，则nn S ∞→lim =1．4.【2007某某，理8】设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ( )A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】k a 是1a 与2k a 的等比中项可得12k k a a a =⨯(*)，由{}n a 为等差数列可得121(1),(21)k k a a k d a a k d =+-=+-及19a d =代入(*)式可得4k =.故选B5.【2007某某，理13】设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为,n S 则22lim n n na n S →∞-=__________. 【答案】3 【解析】根据题意知11(1)222n a a n n a =+-⨯=+-21,(1)n S n n a =+-代入极限式得22112134(2)(2)lim 3(1)n n a n a n n a →∞+-+-=+- 6.【2008某某，理15】已知数列{}n a 中，()*31,1111N n a a a n n n ∈=-=++，则=∞→nn a lim .【答案】767.【2009某某，理6】设a ＞0,b ＞0.若3是3a与3b的等比中项,则ba 11+的最小值为（ ） A.8 B.4 C.1 D.41【答案】B【解析】3是3a 与3b 的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a+b ＝3⇒a+b ＝1,∵a＞0,b ＞0,∴41212≤⇒=+≤ab b a ab .∴4411111=≥=+=+ab ab b a b a . 8.【2010某某，理6】已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158【答案】C法二：∵S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋S3·q3， ∴9S3＝S3＋S3·q3得q3＝8，解得q ＝2. ∴{1n a }是首项为1，公比为12的等比数列． ∴其前5项和为511[1()]31211612-=-9.【2011某某，理4】已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．110 【答案】D.【解析】∵2,9327-=•=d a a a ，∴)16)(4()12(1121--=-a a a ，解之得201=a ，∴110)2(2910201010=-⨯+⨯=s . 10.【2014某某，理11】设n a 是首项为1a ，公差为1的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________．【答案】12-． 【解析】试题分析：依题意得2214S S S ，∴21112146a a a ，解得112a ． 考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式．二．能力题组1.【2005某某，理18】已知：()1221*,0,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++++∈>>。
专题06 一次二次方程(解析版)-备战2024年中考数学真题题源解密(全国通用)
方程与不等式形如2x p+=（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的nx m p()=或2方法解一元二次方程．如果方程化成2x p=的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成2+=（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．()nx m p注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．1.把x ＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的求根公式．2.用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．3.用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a ，b ，c 的值（注意符号）；②求出24b ac -的值（若240b ac -<，方程无实数根）；③在240b ac -≥的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②240b ac -≥．1.因式分解法解一元二次方程的意义②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（24b ac ∆=-）判断方程的根的情况．一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的根与24b ac ∆=-有如下关系：①当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的两个实数根；③当0∆<时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．一元二次方程根的情况与判别式的关系 1.当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；2.当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；3.当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．根与系数关系 1.若二次项系数为1，常用以下关系：12，x x 是方程20x px q ++=的两根时，12x x p +=-，12x x q =，反过来可得12()p x x =-+，12q x x =，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．2.若二次项系数不为1，则常用以下关系：12，x x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=，反过来也成立，即12()b x x a =-+，12c x x a=．3.常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，2212x x +等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．利用一元二次方程解决实际列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．1.类型1：如图1所示的矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为()(--．a xb x22)2.类型2：如图2所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为()()--．a xb x3.类型3：如图3所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和可转化为()()--．a xb x图1 图2 图31.重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场1）支球队比赛，∴1支球队需要比（的一元二次方程的一个根，．＜＜．＜＜解得，＝．＜＜＜＜，＜．①若，则＝，＝，时，（×9（x∴或或，∴或或，当时，当时，当时，6+6+2+，﹣，然后计算代数式＝或﹣，2+，﹣，2+，﹣，4+2+2﹣＝6+．►考向三解一元二次方程-配方法6．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1【思路点拨】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【规范解答】解：x2﹣6x+8＝0，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+9＝﹣8+9，（x﹣3）2＝1，故选：D．【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．7．（2022•无锡）（1）解方程：x2+6x﹣1＝0；（2）解不等式组：．【思路点拨】（1）用配方法解方程即可；（2）求出每个不等式的解集，再找公共解集即可．【规范解答】解：（1）∵x2+6x﹣1＝0，∴（x+3）2＝10，∴x+3＝或x+3＝﹣，∴x1＝﹣3，x2＝﹣﹣3；（2）解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．【真题剖析】本题考查解一元二次方程和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握配方法和求公共解集的方法．8．（2022•徐州）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；（2）解不等式组：．【思路点拨】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【规范解答】解：（1）方程移项得：x2﹣2x＝1，配方得：x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（2），由①得：x≥1，由②得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2．【真题剖析】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握不等式组的解法及方程的解法是解本题的关键．►考向四解一元二次方程-公式法9．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（ ）A．B．C．D．【思路点拨】利用公式法即可求解．【规范解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，∴x＝＝，∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，∴a的值为．故选：D．【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．10．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2【思路点拨】根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．【规范解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，则x＝＝＝﹣2±2，∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，故选：D．【真题剖析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解时，＝时，＝＝ ．＝．＝．【思路点拨】（1）先根据数轴确定（2）根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．＝＝＝1±．1+，﹣；±2．2+2，2；＝（2x ﹣y ）2+4x ﹣2y +x 2+4x +3＝（2x ﹣y ）2+2（2x ﹣y ）+1﹣1+x 2+4x +4﹣4+3＝[（2x ﹣y ）2+2（2x ﹣y ）+1]+（x 2+4x +4）﹣2＝（2x ﹣y +1）2+（x +2）2﹣2，∵x ，y 均为实数，∴（2x ﹣y +1）2≥0，（x +2）2≥0，∴原式W ≥﹣2，即原式的W 的最小值为：﹣2，解法二：由题意5x 2+（8﹣4y ）x +（y 2﹣2y +3﹣W ）＝0，∵x 为实数，∴（8﹣4y ）2﹣20（y 2﹣2y +3﹣W ）≥0，即5W ≥（y +3）2﹣10≥﹣10，∴W ≥﹣2，∴W 的最小值为：﹣2，故答案为：﹣2．【真题剖析】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键．15．（2022•乐山）已知m 2+n 2+10＝6m ﹣2n ，则m ﹣n ＝ 4 ．【思路点拨】根据完全平方公式得出m 和n 的值即可得出结论．【规范解答】解：∵m 2+n 2+10＝6m ﹣2n ，∴m 2﹣6m +9+n 2+2n +1＝0，即（m ﹣3）2+（n +1）2＝0，∴m ＝3，n ＝﹣1，∴m ﹣n ＝4，故答案为：4．【真题剖析】本题主要考查完全平方公式，根据完全平方公式得出m 和n 的值是解题的关键．►考向七 根的判别式解题技巧/易错易混/特别提醒1.当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；2.当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；3.当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．16．（2023•眉山）关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）．﹣ ．﹣．﹣．＜≤＜且≤且≤，≤且是方程的两个实数根，且+＝﹣，求，由+＝﹣进行变形直接代入得到∵+＝＝＝﹣，∴，整理得＝．﹣，＝．也考查了根的判别式．【思路点拨】设每月盈利的平均增长率是x，利用5月份盈利＝3月份盈利×（1+每月盈利的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【规范解答】解：设每月盈利的平均增长率是x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），∴每月盈利的平均增长率是20%．故答案为：20%．【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（2023•东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【思路点拨】（1）根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用矩形面积公式即可求出；（2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．【规范解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根据题意，得x（72﹣2x）＝640，化简，得x2﹣36x+320＝0，解得x1＝16，x2＝20，当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈；（2）答：不能，理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，化简，得x2﹣36x+325＝0，Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2．【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．1．（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17【思路点拨】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．【规范解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5．故选：C．【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．2．（2023•福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）A．43903.89（1+x）＝53109.85B．43903.89（1+x）2＝53109.85C．43903.89x2＝53109.85D．43903.89（1+x2）＝53109.85【思路点拨】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元，据此列方程．【规范解答】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意得，43903.89（1+x）2＝53109.85，故选：B．【真题剖析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．3．（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）A．3.2（1﹣x）2＝3.7B．3.2（1+x）2＝3.7C．3.7（1﹣x）2＝3.2D．3.7（1+x）2＝3.2【思路点拨】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【规范解答】解：由题意得：3.2（1+x）2＝3.7，故选：B．【真题剖析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．A．5m B．70m【思路点拨】设小路的宽是x m根据花圃的面积是3600m2，可列出关于【规范解答】解：设小路的宽是﹣|+（）（））求不等式组的解集．）先化简，再求值（+÷，其中﹣|+（）（）2﹣4×+22﹣2+2）（+÷＝∴x＝3，∴原式＝3+1＝4．【真题剖析】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键．9．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【思路点拨】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．【规范解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【真题剖析】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．10．（2023•无锡）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；（2）解不等式组：．【思路点拨】（1）方程利用公式法求解即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【规范解答】解：（1）2x2+x﹣2＝0，∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17，∴x＝＝，∴，；（2），解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜3．【真题剖析】本题考查的是解一元二次方程以及解一元一次不等式组，掌握公式法和解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．11．（2023•青海）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：（1）解不等式组：；（2）当m取（1）的一个整数解时，解方程x2﹣2x﹣m＝0．【思路点拨】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；＝＝＝1±，1+，﹣（答案不唯一）．＝，＝，试比较）比较大小： ＜ ．（填（2）根据“作差法”即可得到结论．【规范解答】解：（1）M﹣N＝﹣＝＝＝，∵3a＞b＞0，∴3a﹣b＞0，b（b+1）＞0，∴＞0，∴M＞N；（2）﹣＝＝﹣＜0，∴＜．故答案为：＜．【真题剖析】本题考查了配方法的应用，有理数大小的比较，熟练掌握“作差法”是解题的关键．14．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．【思路点拨】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；（2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）2+ab ＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．【规范解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2（a2+2ab+b2）+ab＝2（a+b）2+ab，∴2（a+b）2+ab＝20，∴2（2m+1）2+m2+m＝20，整理得：m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1，∴m的值为﹣2或1．）的两根时，，．﹣，＝．﹣ ﹣ ．，求的值．﹣，﹣，将其代入﹣，﹣，结合（的值，再将其代入＝中，即可求出结论．﹣，﹣；﹣，﹣；∴m+n＝﹣，mn＝﹣，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴s+t＝﹣，st＝﹣，∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，∴t﹣s＝±，∴＝＝＝±．【真题剖析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．16．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【思路点拨】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．【规范解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去），答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），解得：a≤0.1，答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键。
专题06 做情绪情感的主人- 2024年中考道德与法治真题分类汇编(全国通用)(原卷版+答案解析版)
专题06 做情绪情感的主人考点揭开情绪的面纱1．（2024·四川宜宾·中考真题）“宁可肌肉在深夜里燃烧，不让情绪在失败中沉沦。
哪吒，就是要脱胎换骨；蝶后，一定是蝶变之后。
探索运动的极限，收割青春的金牌，冠军是胜者，更是逆境中崛起的人。
”感动中国2023年度人物张雨霏的成长密码是（）①善于将负面的情感转变为成长的助力②发扬自强不息的精神，敢于战胜自己③学会合理调节情绪，成为情绪的主人④正确对待挫折，发掘自身的生命力量A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④2．（2024·重庆·中考真题）情绪，是每个人与生俱来的本能，它如同一把双刃剑，既能激励我们追求更好的生活，也可能使我们陷入困境。
学会管理情绪，是我们每个人的必修课。
下列情景中，我的情绪管理合理的是（）①几个活动的时间冲突了，我很抓狂，选择去散散步、缓一缓②朋友总是抱怨，让我也很不开心，我拒绝再当他的“情绪垃圾桶”③上课迟到被老师批评，我惴惴不安，主动找到老师说明原因并承诺改正④排了很久的队，有人突然挤了进来，我冲过去把他揪出来狠狠地吼了一顿A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．（2024·陕西·中考真题）非洲草原上有一种蝙蝠喜欢在野马身上叮咬吸血，有的野马因此被折磨致死。
动物学家研究发现，蝙蝠所吸的血量非常少，野马的死因并非蝙蝠的叮咬，而是被叮咬后的暴怒与狂奔。
这启示我们（）①人的情绪是短暂的、不稳定的、复杂的②情绪会相互感染，要用恰当方式表达③不要因为一些微小的事情而大动肝火④暴怒不能解决问题，要学会调节情绪A．①②B．①③C．②④D．③④4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）每年的5月8日是世界微笑日，各地学校举办丰富多彩的主题活动。
这（）A．有助于学会消除情绪对自己的影响B．说明青春期的情绪具有细腻性的特点C．启示我们要善于激发正面的情绪感受D．表明应该时刻保持快乐喜悦的积极情绪5．（2024·甘肃临夏·中考真题）“宁可肌肉在深夜里燃烧，不让情绪在失败中沉沦。
专题六 分类讨论问题
分类讨论问题是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干 不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.分类讨 论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难度较大，在各地中考 试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性.目前， 深圳中考试卷中，常见的需分类讨论的知识点有三大类: （1）代数类：有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点(坐标 未给定)所在象限等. （2）几何类：有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似 的可能对应情况等. （3）综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
●考点解析
题型三 综合类
类代数与几何类分类情况的综合运用.
【例题 5】（2016·齐齐哈尔市）如图所示，在平面直角坐 标系中，过点 A( 3, 0) 的两条直线分别交y轴于B，C两点， 且B，C两点的纵坐标分别是一元二次方程 x2 2x 3 0 的两 个根． （1）求线段BC的长度． （2）试问直线AC与直线AB是否垂直？
思路分析：直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质 进而得出x2=4，y2-5y+6=0，再利用分类讨论得出即可， 故答案为 2 2或 13或. 5.
●考点解析
题型二 几何题
几何类常涉及各种图形的位置关系，未明确对应关系 的全等或相似的可能对应情况，函数的定义以及点(坐标 未给定)所在象限等；函数自变量的取值变化、函数图象 未给出、函数对称性(反比例函数、二次函数的图象)等， 分类讨论问题也常通过数形结合的方法来解答.
【例题 3】在半径为5 cm的⊙O中，弦AB=6 cm，弦CD=8 cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离.
思路分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两 弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧.
【2023中考道法真题分类汇编】专题06 做情绪情感的主人(解析版)
专题06 做情绪情感的主人考点1 揭开情绪的面纱1．（2023年湖南省郴州市）“月有阴晴圆缺，人有悲欢离合”，人生有起有落，我们要学会调控情绪，做情绪的主人。
小明与同学产生矛盾后，自己到操场跑了几圈，感觉心情好多了。
小明调节情绪的方法是（）A．合理宣泄B．改变认知评价C．转移注意力D．放松训练【答案】A【详解】本题考查调节情绪的方法。
A：依据题文中的描述，小明发生消极情绪时选择自己到操场跑了几圈的做法，可以看出是通过合理宣泄的方法调节情绪，A说法正确；BCD：也是调节情绪的方法，但题文中没有体现，BCD说法与题不符；故本题选A。
2．（2023年山东省泰安市）5月8日是世界微笑日，某社区文化活动中心开展了“微笑心理和谐社会”世界微笑日主题活动。
活动设置了新奇的“情绪回收站”，居民们将自己的“坏情绪”写在卡片上，丢进“回收站”，有人兑换了“微笑向阳花”造型的气球，有人则动笔在微笑墙上画出自己认为最灿烂的笑脸，并把它留在现场温暖更多人，大家沉浸在欢乐的氛围中。
这告诉我们（）①情绪是可以进行调节的②要杜绝负面情绪产生③情绪能够相互感染④要学会接纳与调适自己的情绪A．②③④B．①②③④C．①③④D．①②③【答案】C【详解】本题考查情绪的相关知识。
①③④：“情绪回收站”告诉我们情绪可以调节，要学会接纳与调适自己的情绪，人与人之间的情绪会相互感染，故①③④符合题意；②：“杜绝”说法绝对，故②不符合题意；故本题选C。
3．（2023年湖北省宜昌市）“在小小的花园里面挖呀挖呀挖，种小小的种子开小小的花。
”最近，这段儿歌视频被众多辛苦工作的人们改编，迅速走红网络。
有人上传自己满脸炭黑的工作照，留言“在深深的矿井里面挖呀挖呀挖，挖多多的煤炭照亮千万家”。
这体现出A．情绪复杂多样，防止情绪变化B．情绪相互感染，都能激励人生C．激发正面情绪，创造美好生活D．学会调节情绪，及时转移注意【答案】C【详解】本题考查对情绪的认识。
2022年中考道德与法治试卷分类汇编专题06 做情绪情感的主人 七下试题真题(全国通用)(解析版)
专题06 做情绪情感的主人考点1揭开情绪的面纱1．（2022年湖北武汉）下列对几名初中学生行为表现的点评,正确而中肯的是A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】C【解析】本题考查情绪,正确认识友谊,挫折的知识点。
①：题干中小航紧张的时候做深呼吸让心情平静下来,他用了放松训练来调节情绪,①选项错误；②：题干中我和小俊在球场上是对手,在球场外是好朋友,说明竞争并不必然伤害友谊,②选项正确；③：谈得来的朋友不一定是益友,对我们的成长有益的朋友才是益友,③选项错误；④：题干中,在两次参加校足球队队员选拔落选后,这次终于选上了,说明生活难免有挫折,挫折是生命成长的一部分,④选项正确；故本题选C。
2．（2022年山东烟台）“青年者,人生之王,人生之春,人生之华也。
”青春是生命旅途中一个崭新的起点,是人生画卷中最华美的篇章。
面对青春的邀约,我们应A．悦纳生理变化,直面心理矛盾,消除批判精神B．正确对待情感,减少男女交往,理智对待爱情C．合理调节情绪,保持积极心态,拒绝负面情绪D．规划青春路径,坚持自信自强,坚守青春有格【答案】D【解析】本题考查正确对待青春。
A：我们要悦纳生理变化,直面心理矛盾,培养批判精神,A说法错误；B：正确对待情感,进行恰当的男女交往,面对生活中出现的朦胧的情感,我们应理智处理,B说法错误；C：适度的负面情感,可以帮助我们适应突发事件,持续的负面情绪可能危害我们的身心健康,C说法错误；D：面对青春的邀约,我们应规划青春路径,坚持自信自强,坚守青春有格,D说法正确；故选D。
3．（2022年江苏苏州）有人问冬奥会冠军苏翊鸣成功的原因,他说：“没有别的,我只是专注做我的事,不管每天训练有多长时间或者有多么困难,我都把它当成享受、当成热爱。
”这说明①正确对待挫折,能够增强生命的韧性②面对不同挫折,会有不同的情绪感受③合理调节情绪,有助于保持乐观心境④情绪复杂多样,要善于掩饰负面情绪A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】B【解析】本题考查正确对待挫折。
专题06 课内阅读理解(解析版)
专题06 课内阅读理解（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1.（2021·江苏连云港·六年级期末）课文选段。
选段①在法庭上，我们跟父亲见了面。
父亲仍旧穿着他那件灰布旧棉袍，可是没戴眼镜。
我看到了他那乱蓬蓬的长头发下面的平静而慈祥的脸。
“爹！”我忍不住喊出声来。
母亲哭了，妹妹也跟着哭起来了“不许乱喊！”法官拿起惊堂木重重地在桌子上拍了一下。
父亲瞅了瞅我们，没对我们说一句话。
他脸上的表情非常安定，非常沉着。
他的心被一种伟大的力量占据着。
这个力量就是他平日对我们讲的——他对于革命事业的信心。
选段②这段时光不好挨。
我踏着一块块方砖跳，跳房子，等母亲回来。
我看着天看着云彩走，等母亲回来，焦急又兴奋。
我蹲在院子的地上，用树枝拨弄着一个蚁穴，爬着去找更多的蚁穴。
院子里就我一个孩子，没人跟我玩，我坐在草丛里翻看一本画报，那是一本看了多少回的电影画报。
那上面有一群比我大的女孩子，一个个都非常漂亮。
我坐在草丛里看她们，想象她们的家，想象她们此刻在干什么，想象她们的兄弟姐妹和她们的父母，想象她们的声音。
去年的荒草丛里又有了绿色，院子很大，空空落落。
选段③在逃去如飞的日子里，在千门万户的世界里的我能做些什么呢？只有徘徊罢了，只有匆匆罢了；在八千多日的匆匆里，除徘徊外，又剩些什么呢？过去的日子如轻烟，被微风吹散了，如薄雾，被初阳蒸融了；我留着些什么痕迹呢？我何曾留着像游丝样的痕迹呢？我赤裸裸来到这世界，转眼间也将赤裸裸地回去吧？但不能平的，为什么偏要白白走这一遭啊？1．选段①中，父亲“没戴眼镜”“乱蓬蓬的长头发”，说明，“一种伟大的力量”指的是。
父亲的神情“非常安定，非常沉着”说明___________________________________。
2．选段②中，“我”做了四件事，用简洁的语言填写在下面的横线上①________________ ②看云彩走③________________ ④________________3．请写出你对“但不能平的，为什么偏要白白走这一遭啊？”这句话的理解：4．选段②、选段③都表达作者的真情实感，方式却截然不同：选段②中作者将焦虑的心情融于____________________进行描述，选段③则运用了____________________，把感情直接表达出来。
分类讨论问题
分类讨论问题
地位与作用：
在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性，下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
课堂检测
(1)如果圆的一条弦长与半径相等,那么此弦所对的圆周角的度数是_____
(2)一个等腰三角形的一个外角等于100°,则这个三角形的三个角应该是________
(3)直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝x2－x－6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.如果点M在抛物线上，S△AOC＝S△OBM，那么点M的坐标是。
(二)引起分类讨论的主要原因是:
(1)某些公式、定理、性质和法则有范围或条件限制;(2)概本身是分类定义的;
(3)图形的位置或形状不确定;(4)题目的条件或结论不唯一;(5)解含字母系数的题目时,必须根据字母系数不同取值范围进行讨论.
分类讨论一般解题步骤：
（1）认真审题，确定分类对象；（2）进行合理分类；（3）逐类讨论解决
学习目标:
1.理解分类讨论的数学思想方法.
2．了解引起分类讨论的主要原因.
3.掌握解分类讨论问题的一般步骤.
教学重点：
引起分类讨论的主要原因。
教学难点：
运用分类讨论思想进行观察、分析和解决问题。
专题06 一次函数图像的五种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)
专题06一次函数图像的五种考法类型一、图像的位置关系问题例．直线y kx k =-与直线y kx =-在同一坐标系中的大致图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据直线y kx k =-与直线y kx =-图像的位置确定k 的正负，若不存在矛盾则符合题意，据此即可解答．【详解】解：A 、y kx =-过第二、四象限，则0k >，所以y kx k =-过第一、三、四象限，所以A 选项符合题意；B 、y kx =-过第二、四象限，则0k >，所以y kx k =-过第一、三、四象限，所以B 选项不符合题意；C 、y kx =-过第一、三象限，则0k <，所以y kx k =-过第二、一、四象限，所以C 选项不符合题意；D 、y kx =-过第一、三象限，则0k <，所以y kx k =-过第二、一、四象限，所以D 选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像：一次函数0y kx b k =+≠（）的图像为一条直线，当0k >，图像过第一、三象限；当0k <，图像过第二、四象限；直线与y 轴的交点坐标为()0b ，．【变式训练1】在同一坐标系中，直线1l ：()3y k x k =-+和2l ：y kx =-的位置可能是()A ．B ．．．【答案】B【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质，对平面直角坐标系中两函数图像进行讨论即可得出答案．k>，故由一次函数图像与【详解】A、由正比例函数图像可知0，即0点的上方，故选项A不符合题意；．．．．【答案】B【分析】先根据直线1l，得出k然后再判断直线2l的k和b的符号是否与直线．B．．．【答案】C【分析】根据一次函数的图象性质判断即可；ab>，【详解】∵0同号，A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m 和n 的符号，即可进行解答．【详解】解：A 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn <，符合题意；B 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；C 、由一次函数图象得：0,0m n >>，由正比例函数图象得：0mn <，不符合题意；D 、由一次函数图象得：0,0m n ><，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．类型二、图像与系数的关系则13k≥或3k≤-，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键．类型三、图像的平移问题例．将直线y kx b =+向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线2y x =，则（）A ．2k =，8b =-B ．2k =-，2b =C ．1k =，4b =-D ．2k =，4b =【答案】A【分析】根据直线y kx b =+向左平移2个单位，变为()2y k x b =++，再向上平移4个单位，变为()24y k x b =+++，然后结合得到直线2y x =，即可解出k 和b 的值．【详解】解：直线y kx b =+向左平移2个单位，变为()2y k x b =++，再向上平移4个单位，变为()24y k x b =+++，得到直线2y x =，2k ∴=，240k b ++=，2k ∴=，8b =-，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图像平移变换，熟练掌握图象左加右减，上加下减的变换规律是解答本题的关键．【变式训练1】对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是（）．A ．函数的图象与x 轴的交点坐标是(0,4)B ．函数的图象不经过第三象限C ．函数的图象向下平移4个单位长度得2y x =-的图象D ．函数值随自变量的增大而减小【答案】A【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．【详解】A 选项：当0y =时，2x =，所以函数的图象与x 轴的交点坐标是(2,0)，故A 选项错误；B 选项：函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B 选项正确；C 选项：函数的图象向下平移4个单位长度，得到函数244y x =-+-，即2y x =-的图象，故C 选项正确；D 选项：由于20k =-<，所以函数值随x 的增大而减小，故D 选项正确．故选：C【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，函数图象平移的法则，熟练运用一次函数的图象及性质进行判断是解题的关键．【变式训练2】把直线3y x =-先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x 轴的交点为()0m ,，则m 的值为（）A ．3B ．1C ．1-D ．3-【答案】B【分析】由题意知，平移后的直线解析式为()32333y x x =---=-+，将()0m ,代入得033m =-+，计算求解即可．【详解】解：由题意知，平移后的直线解析式为()32333y x x =---=-+，将()0m ,代入得033m =-+，解得1m =，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点．解题的关键在于熟练掌握图象平移：左加右减，上加下减．类型四、规律性问题例．在平面直角坐标系中，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111A B C O ，正方形2221A B C C ，…，正方形1n n n n A B C C -，使得点1A ，2A ，3A ，…．在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，…，在y 轴正半轴上，则点2023B 的坐标为（）A ．()202220232,21-B ．()202320232,2C ．()202320242,21-D ．()202220232,21+【答案】A【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点11A B 、的坐标，同理可得出2A 、3A 、4A 、5A …及2B 、3B 、4B 、5B …的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律()12,21n n n B --（n 为正整数），依此规律即可得出结论．【详解】解：当0y =时，由10x -=，解得：1x =，∴点1A 的坐标为()1,0，111A B C O 为正方形，()11,1B ∴，同理可得：()22,1A ，()34,3A ，()48,7A ，()516,15A ，…，∴()22,3B ，()34,7B ，()48,15B ，()516,31B ，…，【答案】20222022(21,2)-【分析】先求出1A 、2A 、3A 、4A 的坐标，找出规律，即可得出答案．【详解】解： 直线1y x =+和y 轴交于1A ，1A ∴的坐标()0,1，即11OA =，四边形111C OA B 是正方形，111OC OA ∴==，【答案】()20222,0【分析】根据1A 的坐标和函数解析式，即可求出点34,A A 探究规律利用规律即可解决问题．【详解】∵直线3y x =，点1A 的坐标为∴()11,3B 在11Rt OA B △中，11131,OA A B ==，类型五、增减性问题．B．．．A ．()15,53B ．()15,63C ．()17,53D 【答案】D【答案】40432【分析】根据已知先求出2OA ，3OA ，33A B ，44A B ，然后分别计算出1S ，2S 【详解】解：∵11OA =，212OA OA =，∴22OA =，∵322O A O A =，∴34OA =，∵432OA OA =，。
【高考数学二轮复习】分类讨论是一种重要的解题策略与运用分类讨论法解含参数函数、方程、不等式问题-解析
第59讲分类讨论是一种重要的解题策略分类讨论是数学中一种重要的思想方法,也是一种重要的解题策略,特别是对于含参数字母的问题,由于这类问题的结论大多数是随参数的变化而变化的,故问题的解答不唯一,因此,当解题进行到某一步后不能再以同一方式处理或统一的形式叙述,这时就必须根据参数字母不同的取值范围区别对待,即必须在参数字母总的取值范围(全集)内正确划分成若干个分区域(子集),在各个分区域内方能继续进行解题,有些含参数讨论题,由于所含的参数不止一个,故这类问题要通过多级分类逐级讨论,即在每一个类中还可以继续划分更小的类,直到每一类中能使问题得到解决为止.当然,分类讨论不局限于字母参数,也有对具体问题可能出现的不同情况进行分类.数学之美在于简捷,分类要力求简捷.分类讨论的解题步骤如下:（1）确定讨论的对象；（2）确定讨论对象的取值范围（全集）（3）划分子区域(子集)；(4)对于参数字母多于一个的问题则要进行逐级分类,解题时要特别注意讨论的层次,避免重复讨论或讨论不全等现象;（5）对每个子区域讨论的结果整合起来作出结论.其中第(5)步非常重要,分类是把整体化为部分,整合是把各部分加以归纳总结,有“分”必有“合”,因为我们研究的是问题的全体,所以必须做到有“分”有“合”,先“分”后“合”,这不仅是分类与整合的思想解决数学问题的主要过程,也是分类与整合思想的本质属性,数学思维应当注重过程的严谨性与周密性.使用分类讨论思想解题时应当注意以下几点:（1）要有明确的分类标准,所选择的分类标准不同就会有不同的分类方向,尽量合理（2）一旦选定一种分类标准,就必须从同一标准出发,对讨论对象分类层次分明,不重（3）当讨论的对象不止一种时,应分层次进行,分大类时有一个统一的标准,每一大类中再分几小类另有统一的标准.（4）注意把握问题发展的本质趋向,根据解题形势发展的需要,选择分类讨论的时机.（5）在重视分类讨论思想应用的基础上,应防止“逢参就论”的倾向,能整体处理,可避免讨论的则尽量避开,才是解题的上策.本讲就从近年来的高考真题来看分类讨论思想方法在解题中的重要作用.典型例题【例1】已知函数()2()2ln(1)2f x x ax x x =+++-.(1)若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2)若0x =是()f x 的极大值点,求a .【分析】 第(1)问通过求导研究函数的单调性即可证明；第((2)问,根据函数取得极值的条件,建立关于a 的式子求解.在求解过程中,两问都需要实施分类讨论,第(1)问需要对自变量的取值范围进行分类讨论,第(2)问必须对参数a 的取值范围进行分类讨论. 【解析】(1)证明当0a =时,'()(2)ln(1)2,()ln(1)1x f x x x x f x x x=++-=+-+. 设函数'()()ln(1)1x g x f x x x==+-+,则'2()(1)x g x x =+. 当10x -<<时,'()0g x <;当0x >时'()0g x >. 故当1x >-时,()(0)0g x g =,且仅当0x =时,()0g x =,从而'()0f x ,且仅当0x =时,'()0f x =,()f x ∴在(1,)∞-+单调递增.又(0)0f =,故当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >.(2)①若0a ,由(1)知,当0x >时,()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ++->=,这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.②若0a <,设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++.由于当||min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时,220x ax ++>,故()h x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0h f ==,故0x =是()f x 的极大值点.当且仅当0x =是()h x 的极大值点,()()2'22222(12)1()12x ax x ax h x x x ax++-+=-+++()()22222461(1)2x a x ax a x ax x +++=+++如果610a +>,则当6104a x a -+<<,且||min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时,'()0h x >,故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +<,则224610a x ax a +++=存在根10x <,故当()1,0x x ∈,且||min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时,'()0h x <,故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +=,则()3'22(24)()(1)612x x h x x x x -=+--,则当(1,0)x ∈-时,'()0h x >;当(0,1)x ∈时,'()0,0h x x <∴=是()h x 的极大值点,从而0x =是()f x 的极大值点.综上,16a =-. 【例2】已知{}n a 是首项为2,公比为12的等比数列,n S 为它的前n 项和. （1）用n S 表示1n S +; (2)是否存在正整数c 和k ,使得12k k S cS c+->-成立.【分析】本例第(2)问属于探索性问题,解题时需要灵活运用分类讨论的思想,由于题中含有双参数,k c ,必须轮流分类讨论,应注意思路清晰、讨论到位. 【解析】（1）由1412n nS ⎛⎫=-⎪⎝⎭,得()*111141222n n n S S n ++⎛⎫=-=+∈ ⎪⎝⎭N . （2）要使12k k S c S c +->-，只要3220k kc S c S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<-，()*131414,220.222k kk k k S S S S k ⎛⎫⎛⎫=-∴--=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N故只要()*322k k S c S k -<<∈N ①， ()*1133,221,22k k k S S k S S +>∈∴--=N又4k S <故要使①式成立，c 只能取2或3. 当2c =时，12,S =∴当1k =时，k c S <不成立，从而①式不成立.当2k 时，2352,22S c -=>由()*1k k S S k +<∈N 得13322,22k k S S +-<- 故当2k 时，32,2k S c ->从而①式不成立. 当3c =时，122, 3.S S ==∴当1,2k k ==时，不成立，从而①式不成立.33132,24S c -=>又13322,22k k S S +-<-∴当3k 时，32,2k S c ->从而①式不成立.综上所述，不存在正整数c 和k ，使12k k S cS c+->-成立.【例3】设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(),1a mx y =+,向量(),1b x y =-,a b ⊥,动点(),M x y 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知14m =,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点,A B ,且(OA OB O ⊥为坐标原点),并求出该圆的方程； (3)已知14m =,设直线l 与圆222:(12)C x y R R +=<<相切于1A ,且l 与轨迹E 只有一个公共点1B ,当R 为何值时,11A B 取得最大值?并求出最大值.【分析】 第(1)问,在求得的轨迹方程中显然含有参数m ,必须对m 的取值分类讨论确定其轨迹;第(2)问,由于是任意一条切线,必定要对其斜率存在与否进行分类讨论;第(3)问,引入直线必然含有双参数,且圆C 中尚有参数R ,由于解题得法,反而避免了分类讨论. 【解析】(1)()(),,1,,1a b a mx y b x y ⊥=+=-，2210,a b mx y ∴⋅=+-=即22 1.mx y +=当0m =时，方程表示两直线方程，方程为1y =±； 当1m =时，方程表示的是圆；当0m >且1m ≠时，方程表示的是椭圆； 当0m <时，方程表示的是双曲线.(2)当14m =时,轨迹E 的方程为2214x y +=,设圆心在原点的圆的一条切线为y =,kx t +解方程组22,1,4y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得224()4x kx t ++=.()222148440.k x ktx t +++-=即要使切线与轨迹E 恒有两个交点,A B ,则()()()222222Δ641614116410,k t k t k t =-+-=-+>即22410,k t -+>亦即2t 241,k <+且12221228,144414kt x x kt x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩2121212()()y y kx t kx t k x x =++=+()()22222222122224484.141414k t k t t k kt x x t t k k k --++=-+=+++要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=.即222222224445440,141414t t k t k k k k ----+==+++ 225440,t k ∴--=即22544t k =+且2241,t k <+亦即2244205k k +<+恒成立.又直线y kx t =+为圆心在原点的圆的一条切线,∴圆的半径为()222224145,115k t r r k k +====++所求的圆为224.5x y +=当切线的斜率不存在时，切线为x =与2214x y +=交于点或⎛ ⎝,也满足OA OB ⊥.综上所述,存在圆心在原点的圆2245x y +=,使得该圆的任意一条切线与轨迹E ,,.A B OA OB ⊥恒有两个交点且(3)当14m =时,轨迹E 的方程为2214x y +=,设直线l 的方程为y kx t =+. 直线l 与圆222:(12)C x y R R +=<<相切于1,A 由()2知R =,即()2221t R k =+①l 与轨迹E 只有一个公共点1B ,由()2知2214y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得224()4,x kx t ++= 即()222148440k x ktx t +++-=有唯一解，则()()()222222Δ641614116410,k t k t k t =-+-=-+=即22410k t -+=②由①②得2222223,41.4R t RR k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩此时，,A B 重合为111(,)B x y .12221228,144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩中22212122441616,.143t R x x x k R --=∴==+ 点()111,B x y 在椭圆上,22211214143R y x R -∴=-=,故222111245.OB x y R =+=-在直角三角形11OA B 中，222221111224455.A B OB OA R R R R ⎛⎫=-=--=-+ ⎪⎝⎭()2211244,21,2,54 1.R R A B R +=∈∴-=当且仅当时取等号 即当()1,2R =时,11A B 取得最大值,最大值为1.第60讲 运用分类讨论法解含参数函数、方程、不等式问题在求解函数、方程、不等式问题中,由于含有参数,而参数取不同值时会导致不同的结果,因而需要对参数进行分类讨论,即选择一个标准,依次分成几个能用不同形式去解决的小问题,从而使问题获得解决,体现了化整为零、各个击破、积零为整――即分类与整合的思想.典型例题【例1】设a 为实数,函数()21,f x x x a x =+-+∈R .（1）讨论()f x 的奇偶性; (2)求()f x 的最小值.【分析】讨论函数的奇偶性必须对0a =和0a ≠进行分类讨论,去掉绝对值符号必须对x a 和x a 进行分类讨论,求函数的最值又必须进一步对a 的取值与二次函数对称轴的关系进行分类讨论,三次讨论层层深入.【解析】()1当0a =时,()()2()1f x x x f x -=-+-+=,此时()f x 为偶函数,当0a ≠时,()21f a a =+,而()221f a a a -=++,()()()(),.f a f a f a f a ∴-≠-≠-∴此时函数()f x 既不是奇函数,也不是偶函数.(2)对x a -去掉绝对值号进行讨论:①当x a 时,()2213124f x x x a x a ⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭,若12a ,则()f x 在(],a ∞-上单调递减,()(]()2, 1.f x a f a a ∞∴-=+在上最小值为若12a >,则()f x 在(],a ∞-上的最小值为1324f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,且()12f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭. ②当x a 时，()22131.24f x x x a x a ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭若12a -,则()f x 在[),a ∞+上的最小值为1324f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,且12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭().f a若12a >-,则()f x 在[),a ∞+上单调递增,()[)()2, 1.f x a f a a ∞∴+=+在上的最小值为综上所述,当12a -时,()f x 的最小值为3;4a -当1122a -<时,()f x 的最小值为21a +;当12a >时,()f x 的最小值为34a +. 【例2】 (1)若()()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实数根,那么k 的取值范围是__________;（2）函数()2212log 21(0,0)xx x x y aa b b a b =+-+>>,求使y 为负值的x 的取值范围.【分析】 第()1问是含参数的对数方程仅有一个实根,求参数的取值范围,首先转化为方程与不等式的混合组,而所得的是含参数的一元二次方程.由判别式结合混合组中两个不等式进行分类讨论,从而获解.第(2)问,当原问题转化为指数不等式时,必须对底数的取值在()0,1还是()1,∞+进行分类讨论,别忘了特殊情况0a b =>的讨论.【解析】()1由题意知20,10,(1)kx x kx x ⎧>⎪+>⎨⎪=+⎩即()20,10,210kx x x k x ⎧>⎪+>⎨⎪+-+=⎩①②③，对③式由求根公式得((12112,222x k x k =-=-④2Δ4004(0,).k k k k k =-⇒=或不合题意应舍去 ①当0k <时,由(3)式得12121220,,10,x x k x x x x +=-<⎧∴⎨=>⎩同为负根.又由④式知1210,10,x x +>⎧∴⎨+<⎩原方程有一个解1.x②当4k =时,原方程有一个解112kx =-=. ③当4k >时,由(3)式得12121220,,10,x x k x x x x +=->⎧∴⎨=>⎩同为正根且12x x ≠,不合题意,舍去.综上可得,0k <或4k =为所求. (2)()222212log 210(0,0),211x x x x x x x x a a b b a b a ab b +-+<>>∴+-+>,即2220.x x x x a a b b +->两边同除以2xb ,得2210,1x x x a a ab b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+->∴>-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1xa b ⎛⎫<-- ⎪⎝⎭(舍去).(0,1,log 1;a baa b x b >>>∴>-若则若0a b =>,则1,1xa ab b ⎛⎫== ⎪⎝⎭,而1 1.x -+<∴∈R ;若0a b <<,则(01,log 1bax b α<<∴<-+. 综上所述,当a b>时,(log 1;a ax a b >-+=时,;x a b ∈<R 时,log a bx <(-1).【例3】(1)已知函数()y f x =的图像与函数(0xy a a =>且1a ≠)的图像关于直线()()()()()1,21,,22y x g x f x f x f y g x ⎡⎤⎡⎤==+-=⎣⎦⎢⎥⎣⎦对称记若在区间上是增函数,则实数a 的取值范围是( ）. A.[)2,∞+B.()()0,11,2⋃C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)关于x 的方程()222110x x k ---+=,给出下列4个命题:①存在实数k .,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k ,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k ,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是（ ） A.0B.1C.2D.3【分析】第(1)问,由于底数a 末确定,必须对a 的值在()0,1还是()1,∞+进行分类讨论,若采用换元法,则必须在a 的不同范围内结合对数函数单调性确定新元的范围;第(2)问,若考虑去掉绝对值符号,则必须对x 的取值范围分类讨论,在进一步解答过程中又必须对参数k 的取值分类讨论.【解析】(1）已知函数()y f x =的图像与函数(0xy a a =>且1a ≠)的图像关于直线y x=对称,则()log a f x x =.记()()()()()()221log log 21log a a a g x f x f x f x x ⎡⎤=+-=+-⎣⎦.①当1a >时,()y g x =.在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,log a y x =为增函数,令t =1log ,log ,log 22a a a x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,要求对称轴log 211log 22a a --,矛盾;②当01a <<时,()y g x =在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,log a y x =为减函数,令t1log ,log 2,log 2a a a x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,要求对称轴log 211log 22a a --,解得1,2a ∴实数a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦,故选D . (2)解法一 关于x 的方程()222110x x k ---+=可化为()()222110(1xx k x ---+=或1x -）①或2221)(1)+0(11)x x k x -+-=-<<（②①当2k =-时,方程①的解为方程②无解,原方程恰有2个不同的实根;②当14k =时,方程①有两个不同的实根±方程②有两个不同的实根±即原方程恰有4个不同的实根;③当0k ＝时,方程①的解为1,±方程②的解为0x =,原方程恰有5个不同的实根;④当29k =时,方程①的解为方程②的解为,即原方程恰有8个不同的实根,故选A.解法二 根据题意,可令()210x t t -=,则原方程化为20t t k -+=①，作出函数21t x =-的图像,结合函数的图像可知,当0t =或1t >时原方程有两个不同的根;当01t <<时,原方程有4个根;当1t =时,原方程有3个根,于是:①当2k =-时,方程①有一个正根2t =,相应的原方程的解有2个; ②当14k =时,方程①有两个相等的正根12t =,相应的原方程的解有4个; ③当0k =时,方程①有两个不等根0t =或1t =,故此时原方程有5个根; ④当104k <<时,方程①有两个不等正根,且此时方程①有两个正根且均小于1,故相应满足原方程的解有8个,故选A . 【例4】已知函数()()()e2e e 2.72xx a f x x x --=+-≈.(1)当2a =时,证明:函数()f x 在R 上是增函数; (2)若2a >时,当1x 时,()221exx x f x -+恒成立,求实数a 的取值范围. 【分析】本例是含参数的函数的单调性问题与含参数不等式恒成立问题.第（1）问,在证明单调性过程中对x 的取值分类讨论;第(2)问,为了解决含参数不等式恒成立问题,必须研究新构造的函数的单调性和极值,必须对参数a 的取值范围分类讨论,分类要合理,不重不漏,符合最简原则.总之,分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”,思维策略与操作过程是:明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集,并集为全集). 【解析】(1)证明当2a =时,()()()2e2e ,xx f x x x f x --=+-的定义域为R .()()()()222e e e 2e 1e e x x x x x x f x x x x ------'=-++-=--()()()11e 1e 1e 1x x x x ---=--+.()11,10,e 10,0;x x x f x ---'∴当时()11,10,e 10,0.x x x f x -<-<-<'∴当时()(),0,.x f x f x ∴∴'R 对任意实数在上是增函数(2)当1x 时,()221exx x f x -+恒成立,即()222e 310x ax x x ---+-恒成立. ()()()()()()2222e 311,23e 1.x a x a h x x x x x h x x --=--+-=--'设则 ()()212323e 10,,.22x a ax x x ---===令解得①当3122a <<,即23a <<时,有∴要使结论成立,则()232331551e 10,e 0,e 1,e .2242a a a a h h ----⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭即552,3ln ,3ln 322a a a -∴-<解得；②当3,22a =即3a =时(),0h x '恒成立，()h x ∴是增函数，又()11e 10h -=-+>,故结论成立; ③当322a >,即3a >时,有∴要使结论成立,则()221e10,23024aa a h h a -⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭,即22e 1,8120.a a a --+解得2,26,36a a a ∴<. 综上所述,若2a >时,当1x 时,()221e xx x f x -+恒成立,实数a 的取值范围是53ln62a -.。
2020高考物理二轮专题复习 专题06 探究电流与电压、电阻的关系(解析版)
专题6 探究电流与电压、电阻的关系探究电流与电压、电阻的关系欧姆定律一章中的重要实验，是得出欧姆定律的必做实验，也是中考电学最常考的电学实验之一。
通过实验的探究有助于对欧姆定律的正确理解，为学好欧姆定律这一章打下良好的基础。
一、探究电流与电压、电阻的关系实验过程 1、实验方法：影响电流大小的因素有电压、电阻，因此实验采用控制变量法。
2、实验器材（七种）及电路图：电流用电流表测量，电压用电压表测量， 还必须有电源、开关、导线另外还有电阻、滑动变阻器，共七种。
电路图如右图：3、实验设计及记录表格：（一）探究电流与电压的关系（1）应保持电阻不变，通过移动滑动变阻 器的滑片改变电阻两端的电压，测量通过 电阻的电流。
（2）实验表格（表一）4、进行实验，将数据入表格中：（1）连接电路时，开关应断开，滑动变阻器的滑片应处于阻值最大处。
（2）电流表、电压表接线柱接入电路时应为“正入负出”。
（3）电路连接完毕，经检查无误后，闭合开关前应先试触。
（4）读数后，立即断开电路，以免电阻通电时间过长而发热，影响实验。
5、分析论证及数据处理：通过表一可知：在导体电阻一定时，导体中的电流与导体两端的电压成正比。
将表一中的数据用图像处理，得到如下图像：6、得出结论：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，这个结论就是欧姆定律。
7、交流讨论：（1）在“探究电流与电压的关系”的实验中，滑动变阻器的主要作用是：改变导体两端的电压，从而改变电路中的电流；“探究电流与电阻的关系”的实验中，滑动变阻器的主要作用是：控制电阻两端的电压相等。
（2）得出结论时，我们不可以说“电压与电流成正比”，也不可以说“电阻与电流成反比”，因为这里有个因果关系。
（3）在“探究电流与电阻的关系”的实验中，用10Ω的电阻替换5Ω的电阻时，为保持电压表示数不变，应将滑动变阻器阻值调大，即“换大调大”；反之用5Ω的电阻替换10Ω的电阻时，为保持电压表示数不变，应将滑动变阻器阻值调小，即“换小调小”。
2020年中考数学总复习(解析版)-分类讨论性问题
2020年中考数学总复习巅峰冲刺专题06 分类谈论问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；1．分类讨论是重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决．分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破．2．一般分类讨论的几种情况：(1)由分类定义的概念必须引起的讨论；(2)计算化简法则或定理、原理的限制，必须引起的讨论；(3)相对位置不确定，必须分类讨论；(4)含有多种不定因素，且直接影响完整结论的取得，必须分类讨论．3．分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法，分类时要做到不遗漏、不重复，善于观察，善于根据事物的特性与规律，把握分类标准，正确分类．应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一、不重复、不遗漏，并力求最简．运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．分类讨论应当遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清层次应逐级进行，不越级讨论，其中最重要的一条是“不漏不重”．分类讨论的基本方法是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】阅读下列解方程的过程，并完成（1）、（2）小题的解答．解方程：|x﹣2|=3解：当x﹣2＜0，即x＜2时，原方程可化为：﹣（x﹣2）=3，解得x=﹣1；当x﹣2≥0，即x≥2时，原方程可化为：x﹣2=3，解得x=5；综上所述，方程|x﹣2|=3的解为x=﹣1或x=5．（1）解方程：|2x+1|=5．（2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1．【原创2】已知点P 为线段CB 上方一点，CA ⊥CB ，PA ⊥PB ，且PA ＝PB ，PM ⊥BC 于M ，若CA ＝1，PM ＝4.求CB 的长是 ．此题分以下两种情况：①如图1，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠BMP ∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB，∴△PMB ≌△PNA ，∴PM ＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝3，∴BC ＝7；②如图2，过P 作PN⊥CA 于N ，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NPA＝∠BPM，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠N＝∠BMP ∠NPA＝∠BPM PA ＝PB，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝5，可得BC＝9.学！科网综上所述，CB＝7或9【原创3】如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q 从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A． B． C． D．【原创4】如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b的图像和正比例函数y=3x相交于点A（1,m），且与y轴的交点为C为（0,5），在一次函数y=kx+b图像上存在点B，点B到x轴的的距离为6.（1）求A点的坐标和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积.分析：（1）因为点A的坐标在正比例函数上，利用正比例函数关系求得m的值，又根据一次函数经过点C （0,5），则列二元一次方程组可以解得k、b的值，从而得到一次函数的解析式；（2）点B 到x 轴的的距离为6. 故存有这样的B 点有两种情况，一种在x 轴的上方，一种在x 轴的下方，故连接OB 之后分别得到如图2所示的两种情况，根据三角形面积公式计算即可得到答案.（2）∵一次函数的解析式为y=-2x+5，故与x 轴的交点为（52，0），则OD=52， 第一种情况：当点B 在x 轴上方时，点B 到x 轴的的距离为6.则点B 在第二象限，如图所示，三角形AOB 的面积=三角形OBD 的面积-三角形OAD 的面积，即AOB S =15622⨯⨯-15322⨯⨯=154.第二种情况：当点B 在x 轴下方时，点B 到x 轴的的距离为6，则点B 在第四象限，如图所示，三角形AOB 的面积=三角形OBD 的面积+三角形OAD 的面积，即AOB S =15622⨯⨯+15322⨯⨯=454.故△AOB 的面积为154或454. 【原创5】如图所示，平面直角坐标中一边长为4的等边△AOB ，抛物线L 经过点A 、O 、B 三点。
三年高考(2021-2021)(理)真题分类解析：专题06-导数的几何意义
专题06 导数的几何意义考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.导数的概念与几何意义1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义Ⅱ选择题、填空题★★★2.导数的运算1.能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数Ⅲ选择题、解答题本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.2022年高考全景展示1.【2022年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.2．【2022年全国卷Ⅲ理】曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。
详解：，则，所以，故答案为-3.点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。
3．【2022年理数全国卷II】曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.详解：点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.4.【2022年理数天津卷】已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】分析：（I）由题意可得.令，解得x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立.详解：（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得. ③因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得，因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．5．【2022年理北京卷】设函数=[]．（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．【答案】(1) a的值为1 (2) a的取值范围是（，+∞）（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］e x=（ax–1）(x–2)e x．若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．所以f (x)<0在x=2处取得极小值．若a ≤，则当x ∈(0，2)时，x –2<0，ax –1≤x –1<0，所以f ′(x )>0．所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是（，+∞）．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.2021年高考全景展示1.【2021山东，理20】已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中2.71828e =是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.试题解析：（Ⅰ）由题意()22f ππ=-又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=， 因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-， 即 222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+， 因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--， 令()sin m x x x =-则()1cos 0m x x '=-≥所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m = 所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <(1)当0a ≤时，x e a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x a h x e e x x '=--由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =， 所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增； 当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增；所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.【名师点睛】1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P的切线的不同． 2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.2.【2021北京，理19】已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-.【解析】（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-. 当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减. 所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减. 因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为()f x '不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x '= ，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()h x '恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，根据单调性求最值，从而判断()y f x =的单调性，求得最值. 2021年高考全景展示1. 【2021高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y = （D ）3y x = 【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A. 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.2. 【2021年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)【答案】A【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，11x >，21122112111211PAB A B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．3.【2021高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x = 在点(1,3)-处的切线方程是_______________．【答案】21y x =--考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．4.【2021年高考北京理数】设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞.【解析】试题分析：（1）根据题意求出()f x '，根据(2)22f e =+，(2)1f e '=-，求a ，b 的值；（2）由题意知判断)(x f '，即判断11)(-+-=x e x x g 的单调性，知()0g x >，即()0f x '>，由此求得()f x 的单调区间.所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增.故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值，从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．。
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专题六.分类讨论问题研究
＆.综合评述：
在观察、分析、研究问题时，当被研究的问题、图形出现多种可能情形时，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准分类并进行讨论，用分类讨论解决问题的方法涉及知识点多，所以要根据不同对象进行分类，或者对涉及的范围进行划分，然后对各类情况逐一讨论，最终解决问题，这种解决数学问题的方法就是分类讨论法。
分类讨论法可分为三个步骤：
1.确定分类对象；
2.实施分类讨论；
3.归纳综合结论.
分类讨论常用到的知识有：一元方程或二元一次方程（组）、平面直角坐标系、一次函数与二次函数的图象及性质、三角形、圆、四边形等相关知识。
＆.专题选讲：
§.例1、解答下列各题：
（1）（2019年贺州市）若一个等腰三角形的两边长是方程0862=+-x x 的两根，则此三角形的周长是 . （2）（2019年内江市）已知BC 是半径为cm 2的圆内一条弦，点A 为圆上除点B 、C 外任意一点，若cm BC 32=，则BAC ∠的度数为 .
（3）（2019年成都市）在平面直角坐标系xoy 中，已知一次函数b kx y +=的图象过点P （1，1），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且3tan =∠ABO ，那么点A 的坐标是 .
解析：（1）由题意得，该方程有相异两正实数解2和4，由三角形三边关系只有4为腰；（2）BC 为非直径的弦，由于没有给出点A 的具体位置，故应分为图1（点在优弧⌒BAC 上）和图2（点在劣弧⌒
BC 上）两种情况求解；（3）根据图象相对位置不同，有图3和图4两种情况。
解答：（1）10；（2）过点C 作直径CD ，利用CDB Rt ∆可求得ο60=∠BAC 或ο120；（3）把（1，1）代入b kx y +=，得1=+b k ，再利用3tan =∠ABO 可求出点A 的坐标为（2-，0）或（4，0）。
§.例2、解答下列各题：
（1）（2019年广安市）若⊙A 和⊙B 相切，它们的半径为cm 8和cm 2，则圆心距AB 为（ ） A 、cm 10 B 、cm 6 C 、cm 10或cm 6 D 、以上都不对
（2）（2019年重庆市）一个等腰三角形两内角的度数之比为4:1，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A 、ο20
B 、ο120
C 、ο20或ο120
D 、ο36
（3）若直角三角形的三边分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
解析：（1）已知两圆相切，故应分内切与外切两种情况讨论；（2）由于等腰三角形两底角相等，题中两角之比应为顶角与一个底角之比，由此得出三个角之比为4:4:1或4:1:1两种情况；（3）在直角三角形中，由于第三边不确定，故x 可为直角边或斜边.当x 为直角边时，则有22242=+x ，当x 为斜边时，则有22242x =+.
解：（1）C ；（2）C ；（3）B .
§.例3、（2008年福州市）如图5，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知3=OA ，2=OC ，
点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将BDA ∆沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处。
（1）直接写出点E 、F 的坐标；
（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由。
解析：（1）由轴对称性质及中点坐标的求法可得出E 、F 的坐标；（2）由于没有明确哪一个点为等腰三角形的顶点，故应分三类讨论：①PF EF =；②PF EP =；③EP EF =.
解：（1）E (3，1)；F (1，2)；
（2）在EBF Rt ∆中，ο90=∠B ∴所以5212222=+=+=BF EB EF
设点P 的坐标为(0，n )，其中0φn
∵顶点F (1，2)
∴设抛物线的解析式为()()0212
≠+-=a x a y ． 如图15-，当PF EF =时，22PF EF =
∵5=EF ，()2211n PF -+=
∴()5212
2=-+n ，解得01=n (舍去)，42=n ∴P (0，4)
∴()21042
+-=a 解得2=a ∴抛物线的解析式为()2122
+-=x y . ②如图25-，当PF EP =时，22PF EP =
又∵()2
213n EP -+= ∴()()911222+-=+-n n ，解得2
5-=n (舍去) ③当EP EF =时，35π=EP ，这种情况不存在。
综上所述，符合条件的抛物线为()2122
+-=x y ． （3）存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小。
如图35-，作点E 关于x 轴的对称点'E ，作点F 关于y 轴的对称点'F ，连接''F E ，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求。
∴'E (3，1-)、'F (1-，2)，'NF NF =，'ME ME =
∴4'=BF ，3'=BE ∴54322=+=''='++'=++E F E M NM N F ME NM FN 又∵5=EF ∴55+=+++EF ME NM FN ，此时四边形MNFE 的周长最小值为55+.
§.例4、（2018年哈尔滨）青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。
（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价-进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；
（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额
优惠措施 不超过300元
不优惠 超过300元且不超过400元
售价打九折 超过400元 售价打八折
按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）
解析：（1）根据题意可知：甲种商品＋乙种商品100=，甲种商品费用＋乙种商品费用2700=；（2）显然，≤750甲种商品利润＋乙种商品利润760≤；（3）很明显，小王第一天的购买甲种商品不优惠。
由表可知：打九折优惠范围：π270实付金额360≤；打八折优惠范围是实付金额320≥，所以小王第二天购买乙种商品享受优惠措施分两种情况：①售价打九折；②售价打八折。
解：（1）设该商场能购进甲种商品x 件，乙种商品y 件，由题意得：
⎩⎨⎧=+=+27003515100y x y x ，解得：⎩
⎨⎧==6040y x 答：该商场能购进甲种商品40件，乙种商品60件.
（2）设该商场购进甲种商品a 件，则购进乙种商品（a -100）件，由题意得：
()()()()⎩
⎨⎧≤-+-≥-+-7603545152075035451520a a a a 解不等式组得：5048≤≤a
根据题意得：a 的值应为整数
∴48=a 或49=a 或50=a
∴该商场共有三种进货方案
方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件；
方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件；
方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件；
（3）第一天只购买甲种商品不享受优惠条件：
∴1020200=÷（件）
第二天只购买乙种商品有以下两种情况：
情况一：购买乙种商品打九折：90324÷％845=÷（件）
情况二：购买乙种商品打八折：80324÷％945=÷（件）
∴一共可购买甲、乙两种商品18810=+（件）或19910=+（件）
答：这两条他在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件。
＆.课内小结
通过本节课的学习，要求同学们掌握分类讨论问题的解题方法和步骤，能根据具体情况进行合理灵活地分类解答。
＆.课外作业选择性练习＆.教学反思。