§6.3.5函数展开为幂级数11
幂级数的展开式
f ( x ) = a 0 + a1 ( x x 0 ) + + a n ( x x 0 ) +
n
逐项求导任意次,得 逐项求导任意次 得
′( x ) = a1 + 2a 2 ( x x0 ) + + na n ( x x0 ) n1 + f f ( n ) ( x ) = n! a n + ( n + 1)n 3 2a n+1 ( x x0 ) +
令 x = x0 , 即得 1 (n) an = f ( x0 ) n!
(n = 0,1,2, 泰勒系数 )
泰勒系数是唯一的, 泰勒系数是唯一的 ∴ f ( x )的展开式是唯一的 .
定义
∞
处任意阶可导, 如果 f ( x ) 在点 x0 处任意阶可导,则幂级数
f ( n ) ( x0 ) n 泰勒级数. ∑ n! ( x x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n=0 (n) ∞ f ( 0) n 麦克劳林级数. ∑0 n! x 称为 f ( x ) 在点 x0 = 0 的麦克劳林级数. n=
第四节 函数的幂级数展开式
一,泰勒级数
上节告诉我们: 上节告诉我们: 幂级数在其收敛域内有一个和函数, 幂级数在其收敛域内有一个和函数,把这句话反过来 就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数. 说,就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数. 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 1.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
n→∞
证明 必要性 设f ( x )能展开为泰勒级数 ,
简明微积分函数展开为幂级数
f (n)(0) 1
n 0f(nn)！ (0)xn n 0xnn！1
l lim| an1| lim(n1)!0 n an n 1
收敛半径 R 1 , n! l
收敛区间(为 ，)
对于任x、 何 (0有 1 限 ) 数
第五节 函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数
定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导
数，则称幂级数
f(x0)f'(x0)(xx0)f''2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)n
为f(x)在x0的泰勒级数.
(1)
当x0=0时，泰勒级数为:
得到展开式： e x 1 x x 2 x n ( x ) (6)
2 ! n !
间接展开法 利用一些已知的函数展开式、 幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积 分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级 数.
1 1qq2qn1 1q
(-1q1)
(c)利用公式(3)写出麦克劳林级数，
f(0 )f'(0 )xf"(0 )x 2 f(n )x n
2 !
n !
并求出收敛半径R;
(d如 ) 能证明在收敛 (-R区 , R间 )内，余项
Rn(x)0(n)，则 (c步 ) 骤写出的幂 就是函f (数 x)的幂级数展. 开式
例 1将函 f(x) 数 ex展开 x的成 幂级
23
n
(1 x 1)
(11)
arctanx x 1x3 1 x5 (1)n1 x2n1
35
2n 1
收敛区间为 [-1,1]
高等数学无穷级数4
所以 ex2 (1)n x2n ,
n0 n !
x (, ) .
利用变量代换
例5
展开 f (x) 1 为(x 3) 的幂级数 . x
解
1 x
1 3 (x 3)
1 3 1ຫໍສະໝຸດ 1 x33由 (1)n xn
1
,
x (1, 1) , 得
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
o((x x0 )n ) .
马克劳林公式：
f (x) f (0) f (0) x f (0) x2 f (n) (0) xn o(xn ) .
2!
n!
将函数展开为幂级数的问题是否 就是将函数展开为泰勒级数的问题?
问题
一个幂级数在其收敛区间内代
(n 1) !
(
x
x0
)
n1为拉格朗日余项
.
由级数的部分和及收敛性 质看出一点什么没有 ?
定理
设 f (x) 在 U(x0 )内具有任意阶导数, 则 f (x) 在点 x0 处的泰勒级数在U(x0 )内 收敛于 f (x) 的充要条件是
lim
n
Rn
(x)
0
其中, Rn (x) 为 f (x) 在 x0 处泰勒公式的拉
n0
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
定义
设 f (x) 在点 x0 有任意阶导数，则称
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
§6.3.5函数展开为幂级数121
2!
(2n)!
x (, ) ；
ln(1 x) x x2 (1)n1 xn ，
2
n
x （－1，1
(1 x)m 1mx 1 m(m1)x2 2!
1 m(m1)(m2)(mn1)xn ，x （－1，1） n!
此式称为二项式展开式，右端的级数称为二项式级数。 其端点的敛散性与m 有关。
例如当m 0 时，收敛区间为[－1，1]， 当 1 m 0 时，收敛区间为（－1，1]。
定义 设 f (x) 在点 x 的某邻域内具有任意阶导数，则称
幂级数
n0
f
(n) (x ) n!
(x x )n
为
f
(x)
在点
x
处的泰勒级数，
记为 f (x) ～
n0
f
(n) (x n!
)
(x
x
)n
。
f (x) 在点 x 0 处的泰勒级数，称为 f (x) 的麦克劳林级数
记为 f (x) ～
f (n) (0) x n 。
n0 n !
当函数f (x) 在 x o 的某邻域内具有任意阶导数时，其在 x o 处的泰勒级数是否收敛？若收敛，是否一定以f (x) 为 和函数？对此，有如下定理：
定理 设 f (x) 在x 的某邻域N (x ) 内具有任意阶导数， 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要 条件是 f (x) 在x 处的泰勒公式的余项 Rn (x) 满足 lim Rn (x) 0 ， xN (x ) 。
ln(1 x) x x2 x3 x4 (1)n xn1 (1 x 1) .
234
n1
上述展开式对x 1 也成立，这是因为上式右端的幂级
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式幂级数是一种将函数表示为无限多个幂次项相加的方法。
它在数学和工程领域中有着广泛的应用，例如在微积分、微分方程、信号处理和多项式插值等方面。
幂级数展开式将函数表示为无限多个幂次项的和，其形式通常如下：f(x)=a0+a1*(x-x0)+a2*(x-x0)^2+a3*(x-x0)^3+...其中，f(x)是要展开的函数，a0、a1、a2、a3...是待定系数，x0是展开点。
幂级数展开的思想是通过将函数用展开点处的函数值及其各阶导数表示，来逼近原函数。
根据函数的性质和需求的精确度，可以选择合适的展开点和阶次。
许多函数都可以通过幂级数展开来表示。
例如，正弦函数和余弦函数的幂级数展开为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...指数函数和对数函数的幂级数展开为：exp(x) = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + ...ln(1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...幂级数展开的优点是可以使用少量的项来近似表示复杂的函数。
通常情况下，越多的项被保留，展开后的函数越接近原函数。
通过截取适当的阶次，可以有效地求解一些无法直接求解的问题。
例如，当需要计算一个不可积的函数的定积分时，可以将该函数展开为幂级数，然后对每一项进行积分，最后得到的幂级数在展开点附近的部分进行积分，从而得到原函数的近似积分值。
幂级数还具有良好的代数性质。
可以对幂级数进行加法、乘法、求导和求积等操作，从而可以将复杂的函数运算简化为对幂级数的操作。
这使得幂级数展开成为一种重要的工具，在许多数学和工程问题的求解中起到关键作用。
总之，幂级数展开是一种将函数表示为无限多个幂次项的和的方法。
第四节 函数展开成幂级数
201第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。
这节我们讨论该问题的反问题：给定函数()x f ，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()x f 。
（如果能够找到这样的幂级数，就说()x f 在该区间内可展开成幂级数。
）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数()x f 的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数——多项式来逼近一般函数()x f 。
在第三章中我们已经学过泰勒公式：若函数()x f 在点0x 的某一邻域内具有直到()1+n 阶的导数，则在该邻域内()x f 的n 阶泰勒公式：()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()x R x x n x f n n n +-+00!(1)成立，其中()x R n 为拉格朗日型余项。
()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ（之间与在x x 0ξ）如果令00=x ，就得到马克劳林公式：()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002（2）202此时，()()()()11!1+++=n n n x n x f x R θ（10<<θ）公式说明，任一函数只要有直到()1+n 阶的导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和。
下列幂级数()()()()() +++''+'+nn x n f x f x f f !0!20002（3）我们称为马克劳林级数。
那么它是否以函数()x f 为和函数呢？ 若令马克劳林级数（3）的前1+n 项和为()x s n 1+，即()()()()()()nn n x n f x f x f f x s !0!200021++''+'+=+那么，级数（3）收敛于函数()x f 的条件为()()x f x s n n =+∞→1lim由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知()()()x R x s x f n n +=+1于是，当()0lim =∞→x R n n 时，有()()x f x s n n =+∞→1lim 。
函数幂级数展开式
函数幂级数展开式
假设我们需要展开一个函数 f(x) 的幂级数。
幂级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，其中每一项都是 x 的幂次的多项式。
我们可以使用泰勒级数展开来近似表示一个函数。
泰勒级数展开的一般形式如下：
f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...
其中 a0, a1, a2, a3, ...是待定系数，它们的值可以通过函数求导后代入来确定。
假设我们希望将函数 f(x) 在点 x = a 处展开，我们需要依次求取 f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), ... 等导数，并代入泰勒级数展开式中。
之后，我们就可以得到幂级数展开式：
在实际操作中，我们可以选择一个适当的点 a，计算出 a 处的函数值和各阶导数的值，然后代入上述展开式中即可获得函数 f(x) 的幂级数展开式。
需要注意的是，幂级数展开只能在某个范围内是有效的，展开后的级数在展开点附近收敛。
当使用幂级数展开来近似函数时，需要确保展开的范围合适，以获得较好的近似效果。
课件：函数展开成幂级数
n1
n n1 n
(1)n1 3n xn( 1 x 1 )
n1
n
3
3
22
思考：
如何将下列函数 展开成 x 的幂级数.
（1）f
(
x)
ln
1 1
x x
（2）f (x) ln(1 x x2 )
23
例10. 将f (x) arcsinx 展开x的幂级数。
解: 因为 f ( x) (arcsin x) 1
12
对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
7
例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x)
•
ln(1
x)
xln221xn211n13[x13(14 x234)n] xn
(1)n (n321
xxn132)
x (1, 1]
函数展开成幂级数
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
函数展开成幂级数11-4
§ 11.4 函数展开成幂级数一、泰勒级数1． 函数)(x f 展开成幂级数的概念给定)(x f 能否在某区间内展开成幂级数，即是否找到一幂级数，它在某区间内收敛且和等于)(x f ．若能，就称)(x f 在该区间内能展开成幂级数。
泰勒公式()()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ (1)()()()()()1100(1)!n n n f R x x x x x n ξξ++=-+在与之间()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x p x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-(2)如果()f x 在点0x 的某邻域内具有各阶导数,设想(2)的项数趋向无穷而成为幂级数()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+(3)称为)(x f 的泰勒级数定理 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域()0U x 内具有各阶导数, 则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项()n R x 当n →∞时的极限为零.即 ()()()0lim 0n x R x x U x →∞=∈.证略。
2. )(x f 的马克劳林级数()()()()()()200002!!n n f f f x f f x n '''=+++++注（1）若)(x f 能展开成x 的幂级数，则该展开式是唯一的，它与)(x f 的麦克劳林级数一致。
（2）反之，若)(x f 的麦克劳林级数在点0x =0的某邻域内收敛，却不一定收敛于)(x f .因此，若)(x f 在0x =0处具有各阶导数，则)(x f 的麦克劳林级数虽能作出来，但该级数是否能在某个区间内收敛、是否收敛于)(x f 需进一步考察。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
摘要：
一、引言
二、函数展成幂级数的定义
三、幂级数展开的公式
四、幂级数收敛性的判断
五、幂级数在数学中的应用
六、总结
正文：
一、引言
在数学中，函数展成幂级数是一种常见的数学方法。
通过这种方法，我们可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的幂级数的和，从而更好地理解和研究这个函数。
二、函数展成幂级数的定义
函数展成幂级数，即将一个函数表示为一系列幂级数的和。
幂级数是一个形式为a_nx^n 的级数，其中a_n 是级数的系数，x 是自变量，n 是正整数。
三、幂级数展开的公式
如果一个函数f(x) 在某个区间内可积或者可微，那么它就可以在该区间内展成幂级数。
展成幂级数的公式为：
f(x) = a_0/1! + a_1/2!x^2 + a_2/3!x^3 + ...+ a_n/n!x^n + ...
其中，a_n 是幂级数的系数，由函数f(x) 在x=x_0 处的各阶导数决定。
四、幂级数收敛性的判断
幂级数的收敛性是指，当x 趋近于某个值时，幂级数的前n 项和是否趋近于某个极限。
如果幂级数是收敛的，那么它就可以用来近似表示函数。
五、幂级数在数学中的应用
幂级数在数学中有着广泛的应用，例如在解析函数、微积分、级数收敛性等领域都有着重要的作用。
六、总结
函数展成幂级数是数学中的一种重要方法，它可以帮助我们更好地理解和研究复杂的函数。
函数幂级数的展开和应用
函数幂级数的展开和应用我们称形如200102000()()()()nn nn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的级数为幂级数，它是一类最简单的函数项级数.从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，又由于函数幂级数的逐项求导和逐项可积等好的运算性质，为函数的研究和应用提供了便利的条件.1 函数幂级数展开的条件函数()f x 可以在点0x x =作幂级数展开，是指存在0x x =，使得在（r x r x +-00,）上，00()()n n n f x a x x ∞==-∑ （1） 其中()f x 是此幂级数的和函数.根据幂级数的逐项可积性，若函数()f x 能表示成幂级数()nnn a x x ∞=-∑且其收敛半径0r >，则函数()f x 在区间(,)r r -上有任意阶导数，且1'1()()n nn f x na x x -∞==-∑，'01()f x a = ，，()()00()()!,!n n n f x fx n a n ==因此自然会提出下述问题，是否每一个在区间(,)r r -上有任意阶导数的函数()f x 一定能在区间上展成形如()nnn a x x ∞=-∑的幂级数呢？回答是不一定的.例1 在),(+∞-∞上具有任意阶导数的函数21()0x e f x -⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x ≠=，易验证当0x ≠时，21'32()x f x e x -= ， 2211''4664()x x f x e e x x--=-+ ，一般来说，有21()1()()n x n fx P e x -= （0x ≠），其中1()n P x 是关于1x的某个多项式.令21t x =，易得21201lim lim 0mx m t x t te x e-→→+∞==.由此可知21()()0001lim ()lim ()lim ()0n n x n x x x fx f x P e x-+-→→→=== ),2,1,0( =n ，又因为()f x 在0x =处连续，所以有'(0)0f =.类似逐次可推得()(0)0n f = ),3,2( =n 所以()f x 在0x =的幂级数为200002!!nx x n +⨯+++显然它在),(+∞-∞上收敛，且其和函数()0s x =. 但是，()f x 只在0x =处为零值.0x ∀≠，都有 ()()f x s x ≠.上述例子告诉我们：具有任意阶导数的函数，其幂级数（泰勒级数）并不是都收敛于函数本身.那么具备什么条件的函数()f x ，它的幂级数（泰勒级数）才能收敛于()f x 本身呢？定理1 设()f x 在点0x x =具有任意阶导数，那么()f x 在区间00(,)x r x r -+内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是：对一切满足不等式0x x r -<的x ，都有lim ()0n n R x →∞=.这里()n R x 是()f x 在0x 的泰勒公式余项.应用定理1 判别一个函数是否可以展成泰勒级数常常是不方便的，我们有如下充分条件： 定理2 设()f x 在00(,)x r x r -+内有任意阶导数,若存在0M >，使得00(,)x x r x r ∀∈-+，及 ,2,1,0=∀n ， 有 ()()n n f x M ≤ (2) 则 ()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑(3) 证明 由条件(2)得，00(,)x x r x r ∀∈-+有()0()()0!!n n n nf M r x x n n ξ-≤→ ()n →∞ 即得所证. 若()f x 在0x 这一邻域内可以展开成泰勒级数，即+-++-+-+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0（4） 则（4）的右边为()f x 在0x x =处的泰勒展开式，或称幂级数展开式.在实际应用中，主要讨论函数在00x =处的展开式，这时（4）式可以写作+++++=nn x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2'''，称为麦克劳林级数，简称幂级数.2 函数幂级数的展开一般说来，可以将一个函数展成幂级数的方法分为直接展开法和间接展开法，下面就这两种方法做一一介绍.2.1 直接展开法这种方法也可以称其为余项估算法.设()f x 在0x x =处任意次可导，记()000()()()()!k nk n k f x R x f x x x k ==--∑()k N +∈，若()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑，只需0()x U x ∀∈，有lim ()0n n R x →∞=.当00x =时，()n R x 的各种表达式：()()n n R x x ο= （佩亚诺型余项）；(1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+，ξ在0与x 之间 （拉格朗日型余项）；(1)01()()()!x n n n R x x t f t dt n +=-⎰（积分型余项）； (1)1()()(1)!n n n n f x R x x n θθ++=-，01θ≤≤（柯西型余项）；佩亚诺型余项只是定性的描述了余项的性态不利于具体估算误差，所以我们常用其它三种余项形式.用直接展开法可得[1](5457)P -：201111!1!2!!n xnn x e x x x n n ∞===+++++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;213210(1)11sin (1)(21)!3!(21)!n n nn n x x x x x n n ∞++=-==-++-+++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;2220(1)11cos 1(1)(2)!2!(2)!n n nn n x x x x n n ∞=-==-++-+∑ ，(,)x ∈-∞+∞;12311(1)111ln(1)(1)23n n n nn x x x x x x n n-∞-=-+==-+-+-+∑ ，(1,1]x ∈-;2(1)(1)(1)(1)12!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++，(1,1)x ∈-;arctan x =3521210(1)(1)213521n n n nn x x x x x n n +∞+=-=-+-+-+++∑ ，[1,1]x ∈-;211(21)!!arcsin (2)!!21n n n x x x n n +∞=-=++∑ ，[1,1]x ∈-;例2 求函数23()3247f x x x x =+-+在1x =处的幂级数展开式.解 由于'21(1)8,(1)(2821)15,x f f x x ===-+=''1(1)(842)34x f x ==-+=，'''()(1)42,,(1)0n f f ==，（3n >），从而总有 lim ()0n n R x →∞=（其中(1)1()(),(1)!n n n f R x x n ξ++=+ξ在0与x 之间），所以23233442()815(1)(1)(1)815(1)17(1)7(1)2!3!f x x x x x x x =+-+-+-=+-+-+- 例3 求2()sin f x x =的幂级数展式.解 由于'''00(0)0,(0)(sin 2)0,(0)(2cos 2)2,x x f f x f x ======='''(4)00(0)(4sin 2)0,()(8cos 2)8x x f x f x x ===-==-=-,,(21)(2)121(0)0,(0)(1)2,n n n n f f ---==- ，因此2122412282sin (1)(,)2!4!(2)!n n nx x x x n --=-++-+-∞+∞;x ∀，级数的拉格朗日余项2212()(21)!n n n R x x n +≤+,显然有lim ()0n n R x →∞=. 所以上述展式成立.2.2 间接展开法上面讨论的几个函数展开都是采用直接展开法.一般说来，求函数的各阶导数比较麻烦，尤其要检验余项是否趋向于零，往往不是一件容易的事.因此，在可能的情况下，我们总是尽可能不用直接方法，而采用间接方法把已给函数展成幂级数，所谓间接展开法指的是，利用已知的函数展开式作为出发点，把给定函数展开成幂级数.由于函数展成幂级数的唯一性，用这种方法展开的结果应与直接方法展开的结果完全一致.在实际的练习中，将初等函数展开为幂级数，要用到多种方法，现将其常用的方法归结如下： 2.2.1通过变形，利用已知的展开式例4 将下列函数展成x 的幂级数.1）241()(1)(1)(1)f x x x x =+++ 解 241()(1)(1)(1)f x x x x =+++811x x -==- 8898810(1)1n n n n x x x x x x x ∞+=-=-+-++-+∑ ,(11)x -<<.2）3()sin x x ϕ=解 2121300313(1)1(1)(3)sin sin sin 3444(21)!4(21)!n n n n n n x x x x x n n ++∞∞==--=-=-++∑∑34=2210(1)(13)(21)!nn n n x n ∞+=--+∑ , (,)x ∈-∞+∞. 例5 设0x >，求证：㏑x =2[ ++-++-++-53)11(51)11(3111x x x x x x ] 证明 令11x t x -=+即11tx t+=-，从而 121111ln ln ln(1)ln(1)(1)(1)1n n n n n n t t t x t t t n n ∞∞--==+==+--=----∑∑ 1211211111[(1)(1)][(1)(1)]()1nn n n n n n n t x n n x ∞∞----==-=---=---+∑∑ 35111112[()()]13151x x x x x x ---=++++++例6 求函数2()(1)(1)xf x x x =--的麦克劳林展式. 解 设222(1)(1)(1)(1)11(1)x x A B C x x x x x x x ==++--+-+--得111,,,442A B C =-=-=又221(1)(1)(1)n n x n x x ∞-==-=+-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑，011nn x x ∞==-∑ （11x -<<） 所以20011(1)11(1)((1))()(1)(1)2222n n n nn n x n x n x x x ∞∞==+---=+-=+--∑∑，（11x -<<） 2.2.2 利用逐项积分或逐项微分法 例7 求2()xt F x e dt -=⎰的幂级数展开式.解 将2x -代替xe 展式中的x ，得+-+++-=-nn x x n x x e242!)1(!21!1112，()x -∞<<+∞.再逐项求积分就得到()F x 在（,-∞+∞）展开式2357210111(1)()1!32!53!7!21n n xt x x x x F x e dt x n n +--==-+-++++⎰ .例8 试求22()arctan2xf x x =-的幂级数展开式. 解 2''22000221()()(arctan )(1)221()2xxx t t f x f x dt dt dt t t ===+-+⎰⎰⎰ =2400(1)(1)()24nxn n t t dt ∞=+-∑⎰ (t < 2222222234500[1()()()()](1)()222222n xx nn t t t t tt dt dt ⎡⎤∞⎢⎥⎣⎦==+--++-=-∑⎰⎰2120(1)2(21)n n n n x n⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦==-+∑，(t <当x =2122011111(1)(1))2(21)21357911n n nnn n n n ⎡⎤⎡⎤+∞∞⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==-=-=+--++-++∑∑001111111(1)()()2((1)(1))3579114143n nn n n n ∞∞==⎤=+-+++-=-+-⎥++⎦∑∑可见x=x =22()arctan2xf x x=-在x =所以上面展式在⎡⎣上成立.2.2.3 利用待定系数法 例9 求2sin 12cos x x xαα-+ (1)x <的幂级数展式. 解 设2sin 12cos n n n x a x x x αα∞==-+∑,则20sin (12cos )nn n x x x a x αα∞==-+∑232323012301201(2cos )(2cos )(2cos )a a x a x a x a x a x a x a x a x ααα=++++---++++比较等式两边同次幂的系数，得0120,sin ,sin 2,,sin n a a a a n ααα====，这里用到三角恒等式sin(1)2sin cos sin(1)n n n αααα+=⋅-- (2,3,)n =，所以 原式= ++++nx n x x αααsin 2sin sin 22.2.4 利用级数的运算（加，减，乘，复合） 例10 求2()ln (1)f x x =-的幂级数展开式.解 由于10ln(1)1n n x x n +∞=-=-+∑在[1,1)-上内闭一致收敛，故[1,1)-上可用级数乘法2321111111111()()23121321n n x x f x x x n n n n ∞+=⎡⎤=----=++++⎢⎥--⎣⎦∑ =()()111111111()()(1)11nn n n n k n k k n k x x k n k n k n k ∞∞++====++-⎡⎤⎣⎦=+-++-∑∑∑∑ 111111111112111n n n n n k n k x x n n k k n k ∞∞++====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎢⎥++-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 1111121231n n x n n +∞=⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭∑ 上面的展式在[1,1)-内成立.例11 求()()111x f x x e =+按x 的幂的展开式至三次项.解 ()()111x f x x e=+()()111111ln 11nn n x x x nxee∞-=--+-∑== (1)x <= +-+-43232x x x e23232323111()()()23422346234x x x x x x x x x =+-+-++-+-++-+-+)11(,167241121132<<-+-+-=x x x x 2.2.5 其它方法举例例 12 求函数()sin xf x e x =的麦克劳林级数的前四项. 解23521111111sin (1)((1))1!2!!3!5!(21)!x nnn e x x x x x x x x n n +=+++++-+++-++233441111()()3!2!3!3!x x x x x x =++-++-++ 2313x x x =+++3 幂级数的应用3.1 计算积分 例13 计算积分120ln 1xdx x -⎰ 解 11112222220000ln 1ln ln ln 111x x x x dx xdx xdx xdx x x x -+==+---⎰⎰⎰⎰ 因为10ln 1xdx =-⎰，及2221ln ln 1nn x x x x x ∞==-∑，故 原式=12101ln n n x xdx ∞=-+∑⎰. 又知级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0，1]上不一致收敛，但仍可在(0，1]上逐项积分①，因此原式12011ln nn x xdx ∞==-+∑⎰()()2211112121n n n n ∞∞===--=-++∑∑()()22220111111()2212n n n n n n ∞∞∞====-+++∑∑∑2222221111126248n n nnπππ∞∞===-+=-+=-∑∑ 例14 计算22cos(sin )x x d πθπ⎰解 因()()21(sin )cos sin 11(2)!k kk x x k θθ∞==+-∑ ()()221sin 112!k k kk x k θ∞==+-∑ ， (,)x ∈-∞+∞故2222222001122(1)(1)cos(sin )sin 12(2)!(!)2k k k k kk k k xx x d d k k πππθθθθππ∞∞==⎡⎤--=+=+⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ 3.2 证明不等式幂级数是表达函数的重要工具，因此也可应用于证明函数不等式. 例15 证明不等式222,(,)x x x e e e x -+≤∈-∞+∞ 证明 因2022(2)!n xxn x e echx n ∞-=+==∑,222022(2)!!x nn x e n ∞==∑,而22(2)!(2)!!n n x x n n ≤,故222,xx xe e e -+≤ 例16 确定λ的值，使得22,(,)x x x e e e x λ-+≤∈-∞+∞解1）若上述不等式成立，则有222220001110()()2!2!2!2!x x n n n n n x n nn n n n n n n e e x x x x e n n n n λλλλ-∞∞∞∞====+≤-=-=-=-∑∑∑∑ 两端除以2x ，再令0x =，可得12λ≥.2）若12λ≥ ，则有22222002(2)!2!x x x n nx n n n e e x x e e n n λ-∞∞==+===≤∑∑3.3 近似计算幂级数常常用于近似计算. 例17 求下列各值的近似值： （1）e ，使误差小于0.001；解 在xe 的展开式中令1x =，得111112!3!!e n =++++++ 若取上述级数的前(1)n +项作为e 的近似值，即设111112!3!!e n ≈+++++则误差11(1)!(2)!n R n n =++++ 111[1](1)!2(2)(3)n n n n =+++++++2111111[1]1(1)!1(1)(1)!!11n n n n n nn <+++==++++-+ 所以要使0.001n R <，只要!1000n n >，可算出当6n =时就满足要求.因而可取前七位即可，即11111 2.7182!3!6!e ≈+++++= （2）6π，使误差小于0.001；解 在arcsin x 的展开式中令12x =，得3521111131(21)!!1622322452(2)!!(21)2n n n n π+⨯-≈+++++⨯⨯⨯+若取前(1)n +项作为6π的近似值，误差2325(21)!!1(23)!!1(22)!!(23)2(24)!!(25)2n n n n n R n n n n ++++=++++++2324(21)!!111(1)(22)!!(23)222n n n n ++<+++++234(21)!!13(22)!!(23)2n n n n ++=++要使0.001n R <，只要使上式右端小于0.001即可，不难算出当2n =时即满足要求，因而取前三项即可，即45111310.52362322452π⨯≈++=⨯⨯⨯ 3.4 应用幂级数性质求下列级数的和 例18()11!n nn ∞=+∑ 分析 ()11!n n n ∞=+∑是幂级数()111!n n nx n ∞+=+∑的和函数在1x =处的值.解 设()()111!n n nf x x n ∞+==+∑ ()x -∞<<+∞， 则()1110'()1!(1)!!n n nx n n n x x x f x x x xe n n n -∞∞∞=======--∑∑∑ ()x -∞<<+∞，所以0()(0)'()1xxtxxf x f f t dt te dt xe e =+==-+⎰⎰，从而()1(1)11!n nf n ∞===+∑.3.5 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限 例19 21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 因为23311111ln 123o x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 原式223311111111lim lim 23232x x x x x x x x x x x x οο→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++=-+-+=⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 例20 3arcsin limsin x x x x→∞-解 因为()()331arcsin ,sin 6x x x o x x x o x =++=+，所以原式=()()()()()333333311166lim lim 6x x x x x o x x o x x o x x o x →∞→∞⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭==-++ 3.6 求幂级数的和函数例21 +++++++12531253n x x x x n 解 设2121n n x n μ+=+，因21lim n x nu x u +→∞=，故原级数的收敛半径1R =，又当1x =±时，原级数可化为0121n n ∞=⎛⎫± ⎪+⎝⎭∑发散，从而得收敛域为(1,1)-. 设()()21021n n x S x n +∞==+∑ ()()1,1x ∈-，在()1,1x ∈-内逐项求导，得()2201'1nn S x x x ∞===-∑， 故和函数()()()2011'0ln 121xxdt xS x S t dt S t x +==+=--⎰⎰ ()1,1x ∈-. 例22 求幂级数()()211nn n x n n ∞=--∑的和函数. 解 易知原级数的收敛域为[1,1]-.记()()21()1nn n F x x n n ∞=-=-∑，则()()()()()1222111'()()'()'111nnnn nn n n n F x x x x n n n n n ∞∞∞-===---===---∑∑∑，()()()()21122222111''()()'()'1111nnn n n n n n n n F x xxnxx n n x ∞∞∞∞----====--===-==--+∑∑∑∑故()001'()''()ln 11xxF x F t dt dt x t ===++⎰⎰， ()()()0()'()ln 11ln 1xxF x F t dt t dt x x x ==+=++-⎰⎰，所以()()()()211ln 11n n x x x x n n ∞=-=++--∑ ,(1,1)-.注释： ① 求证级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0,1]上不一致收敛，但仍可以在(0,1]上逐项积分证 1当1x =时级数通项()211ln |0nn x u x x ===．当01x <<，21nn xlnx ∞=∑为等比级数，所以和22ln ()10x x S x x⎧⎪=-⎨⎪⎩， 011x x <<= 时，可见211(10)lim ln(1(1))(1).(1)(1)2x x S x S x x -→-=--=≠+- 故 该级数非一致收敛（根据和函数连续定理）.2（证明能逐项积分）因22222221ln ()ln ln ,11n kn n k n x x x R x x x x x x x +∞=+===⋅--∑其中220ln lim 1x x xx +→-及221ln lim 1x x x x -→-都有有限极限，且22ln 1x x x -在(0,1)内连续，所以22ln 1x x x -在(0,1)内有界，即0M ∃>，使得22ln ||1x xM x ≤-，故 2|()|n n R x M x ≤⋅, 11120|()||()|0().21n n n MR x dx R x dx M x dx n n ≤≤=→→∞+⎰⎰⎰ 此即表明1lim ()0.n n R x dx →∞=⎰级数可以逐项取积分.。
函数展开成幂级数公式
函数展开成幂级数公式在数学中，幂级数是一种以自变量的幂次递增的项构成的级数。
它的一般形式可以表示为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀、a₁、a₂、a₃等为系数，它们可以是实数或复数，而x则是自变量。
为了展开一个函数成幂级数公式，我们通常需要计算系数a₀、a₁、a₂、a₃等的值。
这可以通过不同的数学方法来实现，比如泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是一种常用的函数展开方法，它可以将一个光滑函数在一些点(x=c)的附近展开成幂级数。
泰勒级数的一般形式可以表示为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+f'''(c)(x-c)³/3!+...其中，f(c)、f'(c)、f''(c)、f'''(c)等为函数在点c处的各阶导数值。
麦克劳林级数展开是一种特殊的泰勒级数展开，它将一个函数在原点x=0处展开成幂级数。
f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x²/2!+f'''(0)x³/3!+...与泰勒级数展开类似，麦克劳林级数的各阶导数值需要在点x=0处计算。
通过以上两种展开方法，我们可以将各种函数表达式转化为幂级数形式，从而更好地理解和分析函数的性质。
这种转化不仅可以简化函数的计算，还可以为进一步的数学推导和应用提供基础。
需要注意的是，幂级数展开并不适用于所有函数。
一些函数可能无法用幂级数的形式来表示，或者幂级数展开在一些点上不收敛。
因此，在进行幂级数展开时，要注意函数的条件和适用范围，以免产生错误的结果。
总结起来，函数展开成幂级数公式是一种重要的数学方法，可以将复杂的函数表达式转化为一组无穷和的形式。
它为数学、物理和工程领域的问题提供了一种有效的分析和处理工具，有助于进一步研究和应用各种函数。
函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
事实上，若函数f(x)可以展开成x的幂级数
函数展开成幂级数
第三章中我们已给出了几个常用的初等函数的麦克劳林公式， 在此不再赘述.
函数展开成幂级数
【例35】
函数展开成幂级数
【例36】
【例37】
函数展开成幂级数
【例38】
函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
【例39】
函数展开成幂级数
【例40】
函数展开成幂级数
【例41】
函数展开成幂级数
【例42】
函数展开成幂级数
【例43】
谢谢聆听
函数展开成幂级数
我们先看n阶泰勒公式.若函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到 n+1阶导数，则在该邻域内函数f(x)的n阶泰勒公式为
函数展开成幂级数
来近似表示，并且其误差等于余项的绝对值Rn(x).显然， Rn(x)随着n的增大而减小，那么，我们就可以用增加
多项式项数的办法来提高精度. 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数
函数展开成幂级数
【例33】
【例34】
函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
以上两例是直接利用公式，将给定的函数展开为幂级 数.这种方法称为直接展开法.用直接展开法把函数展开成幂 级数，一方面需要计算高阶导数，另一方面要讨论余项 Rn(x)是否趋于零.一般来说，这两方面做起来是不容易的. 因此，我们常以一些函数的已知展开式为基础，利用幂级 数的一些性质，将函数展开为幂级数，从而避免了高阶导 数的计算和余项的讨论.这种方法称为间接展开法.由于函数 的幂级数展开式具有唯一性，同一函数用直接展开法或用 间接法求出的幂级数是一样的.
函数展开成幂级数题目
6.3 函数展开成幂级数一、填空题：1.函数xe xf =)(的Maclaurin 级数为xe ＝ .解： +++++=!!212n x x x e nx， ),(+∞-∞∈x . 2.函数x x f +=11)(在00=x 处的幂级数为x+11＝ . 解：+-++-+-=+n n x x x x x)1(11132， )1,1(-∈x . 3.函数x x f arctan )(=展成x 的幂级数为=x arctan .解： ++-+++-=+12)1(5131arctan 1253n x x x x x n n ]1,1[-∈x . 二、求xx f -=41)(在20=x 处的幂级数展开式. 解：因为∑∞=-=--=--=-=0)22(21221121)2(2141)(n nx x x x x f ， 且122<-x ，得40<<x ，而当40==x x 或时，上面级数都发散. 所以，n n n x x f )2(21)(01-=∑∞=+，40<<x .三、将22)(x x xx f --=在00=x 处展开成幂级数，并求其收敛域. 解：21131_1131)2211(31)2)(1(2)(2x x x x x x x xx x x f +⋅-⋅=+--=+-=--=， 因为∑∞==-011n n x x ， 11<<-x ； ∑∞=-=+02)1(211n n n nx x ， 121<<-x，即22<<-x ； 根据幂级数运算性质有∑∑∑∞=∞=∞=--=-⋅-⋅=+⋅--⋅=000]2)1(1[312)1(3131211311131)(n n n n n n nn n n x x x x x x f ，所以，∑∞=--=--02]2)1(1[312n nn n x x x x ，11<<-x . 四、将x x f cos )(=展开成3π+x 的幂级数.解： 因为)3sin(23)3cos(21]3)3cos[()(ππππ+++=-+=x x x x f ∑∑∞=+∞=++-++-=1202)!12()3()1(23)!2()3()1(21n n n n nn n x n x ππ，)(+∞<<-∞x .所以，)(,)!12()3()1(23)!2()3()1(21cos 0122+∞<<-∞++-++-=∑∑∞=∞=+x n x n x x n n n n nn ππ.五、将函数)21ln(2x x y --=展开成x 的幂级数，并指出其收敛区间. 解：)21ln()1ln()21)(1ln()21ln(2x x x x x x y -++=-+=--=∑∑∑∑∞=∞=-∞=-∞=---=--+-=11111112)1()2()1()1(n n n n n n n nn n n n x n x n x n x n)21,21[ ,2)1(11-∈--=∑∞=-x x n n n n n .六、将幂级数∑∞=-----1122212)!12()1(n n n n x n 的和函数展开为1-x 的幂级数. 解：2sin 2)2()!12()1(22)!12()1(1121112221x x n x n n n n n n n n =--=--∑∑∞=--∞=---， 所以，和函数为),(,2sin2)(+∞-∞∈=x xx S ； 21sin 21cos 21cos 21sin ]21)1(21sin[2sin ⋅-+⋅-=+-=x x x x∑∑∞=∞=+--+-+-=02012)21()!2()1(21sin )21()!12()1(21cos n n n n n n x n x n ，所以，∑∑∞=∞=-+--+-+-=00212122)1()!2(2)1(21sin )1()!12(2)1(21cos 2sin 2n n n n n n n n x n x n x ,)(+∞<<-∞x .。
函数展开为幂级数
函数展开为幂级数
在数学中，通过展开函数为幂级数是一种常见的技术。
幂
级数能够实现函数的有效减少，进而求得它的极限值，并开展
多个分析。
比如，可以在给定温度条件下对函数进行展开，由
此求得温度变化对函数的影响。
在网络空间，函数展开为幂级数也可以用于处理实时数据。
数据处理系统中，实时数据处理能够通过将收集到的数据展开
为幂级数来提高效率。
如此一来，服务器及其硬件资源的利用
率大大提升，而且可以快速进行多种分析，从而更快的满足用
户的需求。
此外，函数的展开为幂级数技术还可用于改善网络界面的
可用性。
游戏开发者可以将游戏界面展开为幂级数，从而实现
更高的时间效率，同时还可以提高游戏的可用性，使玩家们拥
有更好的游戏体验。
函数展开为幂级数是一项复杂的技术，因而需要投入大量
研发资源和时间进行研发。
然而，若能够完成开发，应用前景
广阔，能够给互联网行业带来重大变革。
函数展开成幂级数
思考题 1. 将下列函数展开成 x 的幂级数
f (x) arctan1 x 1 x
解:
f (x)
1 1 x2
(1)n x2n ,
n0
x (1,1)
f (x) f (0)
(1)n
x x2n d x
(1)n x2n1
0 n0
n0 2n 1
x 1 时, 此级数条件收敛, f (0) π , 因此 4
1 2
1
(x
π) 4
1 (x 2!
π)2 4
1 (x 3!
π)3 4
( x )
第17页，本讲稿共25页
例7. 将
1
展成 x－1 的幂级数.
x2 4x 3
解:
x2
1 4x
3
(
x
1 1)(
x
3)
11 2(1 x) 2(3 x)
4 1
1
x1 2
811Fra bibliotekx1 4
(
x 1
xx211
4
12 1
)
1 4
1
x 1 2
(x 1)2 22
( 1) n
(x 1)n 2n
1 8
1
x 1 4
(x 1)2 42
( 1) n
(x
1)n 4n
(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
(1 x 3 )
第18页，本讲稿共25页
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;
fx的n阶泰勒公式若函数的某邻域内具有n1阶导数该邻域内有为fx的泰勒级数则称当x00时泰勒级数又称为麦克劳林级数1对此级数它的收敛域是什么2在收敛域上和函数是否为fx待解决的问题若函数的某邻域内具有任意阶导数定理1各阶导数则fx在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是fx
11函数展开成幂级数解读
0
x
x s ( x ) dx dx , 0 1 x s( x )
得 ln s( x ) ln s(0) ln(1 x ),
即
ln s( x ) ln(1 x ) ,
s( x ) (1 x ) , x ( 1,1)
(1 x ) ( 1) 2 ( 1)( n 1) n 1 x x x 2! n! 牛顿二项式展开式 注意: 在x 1处收敛性与的取值有关. 1 收敛区间为 (1,1); 1 1 收敛区间为 (1,1]; 1 收敛区间为 [1,1].
xs( x ) x ( 1) x
2
( 1)( n 1)
( n 1)!
xn
利用
( m 1)( m n 1) ( m 1)( m n) m ( m 1)( m n 1) ( n 1)! n! n!
x x0 lim 0, 故 lim Rn ( x ) 0, n ( n 1)! n x ( x 0 R, x 0 R )
可展成点x0的泰勒级数.
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤: (1) 求a n
f
(n)
( x0 ) ; n!
( 2) 讨论 lim Rn 0 或 f ( n ) ( x ) M ,
1 1 1 3 2 1 3 5 3 n ( 2n 1)!! n 1 x x x ( 1) x 1 x 2 2 4 2 4 6 ( 2n)!! [1,1]
双阶乘
2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分,复合 等方法,求展开式. 例如 cos x (sin x )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例 5.将函数 f ( x ) = arctan x 展开成 x 的幂级数。
例 6．将函数 f ( x) = x
2 2
2 x x
展开成 x 的幂级数。
例 7．将 f ( x ) = ln x 展开成 x 2 的幂级数。
例 8．将函数 f ( x ) = sin 2 x 展开成 x 的幂级数。
四、几个常用函数的幂级数展开式 几个常用函数的幂级数展开式
n→∞ n→∞
∴定理成立。
f (x ) n f (x ) = ∑ ( x x ) ， x∈ N ( x ) n! n=0
∞
n
称为 f (x) 在 x 处的泰勒展开式 泰勒展开式。 泰勒展开式
当 x = 0 时，得 f (x) 的麦克劳林展开式 麦克劳林展开式： 麦克劳林展开式
f ′′(0) 2 f ( n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0) x + x ++ x + ， x∈ N (0) 。 2! n!
x 2 x3 xn x e =1+ x + + ++ + ， x∈(∞, + ∞) ； 2! 3! n!
x n1 x sin x = x ++ (1) + ， x∈(∞, + ∞) ； 3! (2n 1)!
x2 x 2n cos x =1 ++ (1) n + ， 2! (2n)!
x ∈ (∞, + ∞) ；
x
2
3
n
例 2.将函数 f ( x) = sin x 展开成 x 的 幂级数。
解： （1）∵ f
(n)
π ( x) = sin( x + n ) ,(n =1, 2,) ， 2
∴ f (0) = 0 , f ′(0) =1, f ′′(0) = 0 ,
′′′(0) = 1, f ( 4) (0) = 0 , f
上述展开式对 x =1 也成立，这是因为上式右端的幂级 数当 x =1 时收敛，而 ln(1+ x) 在 x =1 处有定义且连续。 1 1 1 n 1 当 x =1 时，有 ln 2 =1 + ++ (1) + 。 2 3 4 n +1
例 5.将函数 f ( x ) = arctan x 展开成 x 的幂级数。 1 解：∵ (arctan x) ′ = 2 1+ x
则 f ( x ) = S n+1 ( x ) + Rn ( x ) 。
x∈ N ( x )
∵ f (x) 在 x 处的泰勒级数在 x∈ N ( x ) 内收敛于 f (x)
lim S n+1 ( x) = f ( x)
n→∞
lim Rn ( x) = lim [ f ( x) S n+1 ( x)] = 0 .
特殊情况： 特殊情况：
1 当 m = 时， 2 1 1 2 13 3 135 4 1+ x =1+ x x + x x + (1≤ x ≤1) 2 2 4 2 46 2 468
1 当 m = 时， 2 1 1 13 2 135 3 1357 4 =1 x + x x + x + 2 2 4 2 4 6 2 468 1+ x
f ( n+1) (ξ) n +1 其中 Rn ( x) = 。 ( x x ) （ ξ介于x 与x 之间） (n +1) !
2.麦克劳林( Maclaurin )公式 麦克劳林(
在上式中令 x = 0 ，得：
f ′′(0) 2 f ( x) = f (0) + f ′(0) x + x 2!
f ( n ) (0) n ++ x + Rn ( x ) ， n!
x o 处的泰勒级数是否收敛？若收敛，是否一定以 f ( x ) 为
和函数？对此，有如下定理：
lim Rn ( x) = 0 ， x∈ N ( x ) 。
证明:设 f (x) 在 x 处的某邻域 N ( x ) 内能展开成泰勒级数，即
f (n) ( x ) n f ( x) = ∑ ( x x ) ， x∈ N ( x ) n! n=0
2 4 6 2n
3
5
7
2 n+1
1 2 3 n n 而 = 1 x + x x ++ (1) x + ， (1< x <1) . 1＋x
将上式从 0 到 x 逐项积分，得
x x x nx ln(1+x) = x + ++(1) + (1< x≤1) . 2 3 4 n+1
2 3 4 n+ 1
例 4．将函数 f ( x) = ln(1+ x) 展开成 x 的 幂级数。 1 解：∵ f ′( x) = ， 1+ x
x
又∵级数 ∑
∴ lim
x
∞ x n+1
n=1
(n +1)!
收敛，
n+1
n→∞ ( n +1)!
=0 ，
∴ lim Rn ( x) = 0 ， 从而 lim Rn ( x) = 0 ， x∈(∞, + ∞) .
n→∞
n→∞
（4）∴
x x x e = 1+ x + + + + + ， x ∈( ∞ , + ∞ ) . 2! 3! n!
并求出其收敛半径 R 和收敛域 B；
f ( n+1) (ξ) n+1 （3）求出 Rn ( x) = ， x （ ξ在0与x 之间） x∈ B ； (n +1)!
（4）若 lim Rn ( x) = 0 ，则
n→∞
f ′′(0) 2 f ( n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0) x + x ++ x + ， x∈ B 。 2! n!
（2） sin x 的 Maclaurin 级数为
x x x n1 x x + ++ ( 1) + ， x∈( ∞, + ∞) . 3! 5! 7! ( 2n 1)!
3 5 7 2 n1
π sin[ ξ + ( 2n +1) ] 2 x 2 n+1 （ξ 在 0 与 x 之间） （3） R2 n ( x ) = 。 ( 2n +1)!
复 习
1．泰勒 (Taylor ) 公式 ．
设 f (x) 在点 x 的某一邻域内具有直到 ( n +1) 阶的导数，则在该邻域内有
f ′′( x ) f ( x) = f ( x ) + f ′( x )( x x ) + (x x )2 2!
f (n) ( x ) ++ ( x x ) n + Rn ( x ) n!
=1 x + x x ++ (1)
2
4
6
n1 2n2
x
+ ， x ∈(1, 1 ) .
∴ arctan x = arctan 0 + ∫
x 0
1 1+ t
2
dt
x3 x5 x 7 x 2n1 = x + ++ (1) n1 + ， x ∈[1, 1] . 3 5 7 2n 1 x x x n1 x arctan x = x + ++ (1) + ， x ∈[1, 1] . 3 5 7 2n 1
2
π 例 12．将函数 f ( x) = sin x 展开成 ( x ) 的幂级数。 4
例 3．将函数 f ( x) = cos x 展开成幂级数
x x x n x 解： sin x = x + ++ (1) + ， 3! 5! 7! (2n +1)! x∈(∞, + ∞) .
逐项求导得：
x x x n x cos x =1 + + + ( 1) + ， 2! 4! 6! ( 2 n )! x∈( ∞ , + ∞ ) .
x 2 x3 xn 1+ x + + ++ + , x∈(∞, + ∞) . n! 2! 3!
e （3） Rn ( x ) = （ 。 x n+1 ， ξ 在 0 与 x 之间） ( n +1)!
e x n+1 ∵ Rn ( x) = ， <e x (n +1)! (n +1)!
ξ
ξ
x
n+1
e 相对于 n 是一个常数，
∵ R2n ( x) ≤
x
2n+1
(2n +1)!
x
，
收敛，∴ lim
x
2 n+1
而级数 ∑
n→∞
∞
2n+1
n=1
(2n +1)!
n→∞ ( 2n +1)!
=0 ，
∴ lim R2n ( x) = 0 ，从而 lim R2n ( x) = 0 ， x∈(∞, + ∞) .
n→∞
7
x x x n1 x （4）∴ sin x = x + + + ( 1) + 3! 5! 7! ( 2 n 1)! x∈(∞, + ∞) .