离散数学—图论(12.8版)

第8章 图论
例2 (a)、(b)两图是同构的。因为可作映 射:g(1)=v3,g(2)=v1,g(3)=v4,g(4)=v2。在这映射下,边〈1,3〉, 〈1,2〉,〈2,4〉和〈3,4〉分别映射到〈v3,v4〉,〈v3,v1〉,〈v1,v2〉 和〈v4,v2〉,而后面这些边又是(b)中仅有的边。
第8章 图论
8.1.2 结点的次数 定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点 的边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为结点 v的次数 次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点v的次数 次数 是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。孤立结点 的次数为零。
第8章 图论
第8章 图论
定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是无序的。 若边e所对应的偶对〈a,b〉是有序的,则称e是有向边 有向边。 有向边 有向边简称弧,a叫弧e的始点,b叫弧e的终点,统称为e的 端点。称e是关联于结点a和b的,结点a和结点b是邻接的 邻接的。 邻接的 若边e所对应的偶对(a,b)是无序的,则称e是无向边 无向边。无 无向边 向边简称棱,除无始点和终点的术语外,其它术语与有向 边相同。 每一条边都是有向边的图称为有向图 第三章中的 有向图, 有向图 关系图都是有向图的例子。每一条边都是无向边的图 称为无向图 无向图；如果在图中一些边是有向边,而另一些边 无向图 是无向边,则称这个图是混合图 混合图。我们仅讨论有向图和 混合图 无向图,且V(G)和E(G)限于有限集合。
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如果路径的始点v0和终点vn相重合,即v0=vn,则此路 径称为回路 回路,没有相同边的回路称为简单回路,通过各 回路 顶点不超过一次的回路称为基本回路。
(a)P1=(v1e1v2e7v5) 是一条基本路径。 (b)P2=(v2e2v3e3v3e4v1e1v2) 是一简单回路 非基本回路。
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在无向图上,以上各术语的定义完全类似,故不重复。 路径和回路可仅用边的序列表示,在非多重图时也可用 顶点序列表示。
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定义8.2―2 路径P中所含边的条数称为路径P的 长度。长度为0的路径定义为单独一个顶点。(但注意 习惯上不定义长度为0的回路。) 定理8.2―1在一个具有n个结点的简单图G=〈V,E〉 中,如果从v1到v2有一条路径,则从v1到v2有一条长度不大 于n-1的基本路径。 n-1 简证 假定从v1到v2存在一条路径,(v1,…,vi,…,v2)是所 经的结点,如果其中有相同的结点vk,例 (v1,…,vi,…,vk,…,vk,…,v2),则 删去从vk到vk的这些边,它仍是从v1到v2的路径,如此反复地进行 直至(v1,…,vi,…,v2)中没有重复结点为止。此时,所得的就是基本 路径。基本路径的长度比所经结点数少1,图中共n个结点,故基 本路径长度不超过n-1。
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定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为 V={v1,v2,…,vn},则
n
∑
i =1
deg(υi ) = 2m
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数 之和为m条边所提供,所以上式成立。 在有向图中,上式也可写成:
∑
i =1
n
deg + (υi ) + ∑ deg − (υi ) = 2m
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8.1.4 图的运算 图的常见运算有并、交、差、环和等,现分别定义于下: 定义8.1―7设图G1=〈V1,E1〉和图G2=〈V2,E2〉 (1)G1与G2的并,定义为图G3＝〈V3,E3〉, 其中V3=V1∪V2,E3=E1∪E2,记为G3=G1∪G2。 (2)G1与G2的交,定义为图G3＝〈V3,E3〉, 其中V3=V1∩V2,E3=E1∩E2,记为G3=G1∩G2。 (3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。 其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。 (4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉, G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1G2。 ⊕
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定理8.2―2在一个具有n个结点的简单图G=〈V,E〉 中,如果经v1有一条简单回路,则经v1有一条长度不超过n 的基本回路。 定义8.2―3在图G=〈V,E〉中,从结点vi 到vj 最短路径 的长度叫从vi 到vj 的距离,记为d(vi,vj)。若从vi 到vj 不存在 路径,则d(vi,vj)=∞。 注意,在有向图中,d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi),但一般地 满足以下性质: (1) d(vi,vj)≥0; (2) d(vi,vi)=0; (3) d(vi,vj)+d(vj,vk)≥d(vi,vk)。
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除以上4种运算外,还有以下两种操作: (1) 删去图G的一条边e; (2)删去图G的一个结点v。它的实际 意义是删去结点v和与v关联的所有边。
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8.1.5 子图与补图 定义8.1―8设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图。 ⊆ (1) 如果V′ ⊆ V和E′ E,则称G′是G的子图 子图。如果V′ V 子图 ⊆ ⊆ 和E′ E,则称G′ G的真子图 真子图。(注意:“G′是图”已隐含着 真子图 ≠ “E′中的边仅关联V′中的结点”的意义。) (2) 如果V′=V和E′ E,则称G′为G的生成子图 生成子图。 生成子图 ⊆ (3) 若子图G′中没有孤立结点,G′由E′唯一确定,则称 G′为由边集E′导出的子图 导出的子图。 导出的子图 (4)若在子图G′中,对V′中的任意二结点u、v,当 ［u,v］∈E时有［u,v］∈E′,则G′由V′唯一确定, 此时称G′为由结点集V′导出的子图。
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8.2 路径和回路
8.2.1 路径和回路 定义8.2―1在有向图中,从顶点v0到顶点vn的一 条路径 路径是图的一个点边交替序列（v0e1v1e2v2…envn）,其 路径 中vi-1和vi分别是边ei的始点和终点,i=1,2,…,n。在序列中, 如果同一条边不出现两次,则称此路径是简单路径 简单路径,如果 简单路径 同一顶点不出现两次,则称此路径是基本路径 基本路径(或叫链)。 基本路径 基本路径也一定是简单路径。
A
C
B
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8.1 图的基本概念
8.1.1 图 定义8.1―1 一个图G是一个三重组〈V(G),E(G),ΦG〉,其中 图
V(G)是一个非空的结点 结点(或叫顶点)集合,E(G)是边的集合,ΦG是从 结点 边 边集E到结点偶对集合上的函数。一个图可以用一个图形表示。 例1设G=〈V(G),E(G),ΦG〉,其中V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4, e5,e6,e7},ΦG(e1)=(a,b),ΦG(e2)=(a,c),ΦG(e3)=(b,d), ΦG(e4)=(b,c),ΦG(e5)=(d,c),ΦG(e6)=(a,d),ΦG(e7)=(b,b) 则图G可用图8.1―1表示。
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定义8.1―9在n个结点的有向图G=〈V,E〉中, 如果E=V×V,则称G为有向完全图 有向完全图;在n个结点的无向图 有向完全图 G=〈V,E〉中,如果任何两个不同结点间都恰有一条边, 则称G为无向完全图 无向完全图,记为Kn。 无向完全图 图8.1―11是4个结点的有向完全图和无向完全图的 图示。 定义8.1―10 设线图G=〈V,E〉有n个顶点,线图H= 〈V,E′〉也有同样的顶点,而E′是由n个顶点的完全图的 边删去E所得,则图H称为图G的补图 补图,记为 补图 然, 。 G=G ,显 H =G
i =1 i =1 i =1
n
n1
n2
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以 前一项次数为偶数;若n2为奇数,则第二项为奇数,两项 之和将为奇数,但这与上式矛盾。故n2必为偶数。证毕。
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图 8.1―5
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定义8.1―5各结点的次数均相同的图称为正则图, 各结点的次数均为k时称为k―正则图。 下图所示的称为彼得森(Petersen)图,是3―正则图。
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8.1.3 图的同构 定义8.1.6设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图,若 存在从V到V′的双射函数Φ,使对任意a、b∈V,［a,b∈E 当且仅当［Φ(a),Φ(b)］∈E′,并且［a,b］和［Φ(a),Φ(b)］ 有相同的重数,则称G和G′是同构的 同构的。 同构的 上述定义说明,两个图的各结点之间,如果存在一一 , , 对应关系,而且这种对应关系保持了结点间的邻接关系 (在有向图时还保持边的方向)和边的重数,则这两个图 是同构的,两个同构的图除了顶点和边的名称不同外实 际上代表同样的组合结构。
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图 8.1―3
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定义 8.1―3赋权图 赋权图G是一个三重组 赋权图 〈V,E,g〉或四重组〈V,E,f,g〉,其中V是结点集合, E是边 的集合,f是定义在V上的函数,g是定义在E上的函数。 右图给出一个赋权图。 V={v1,v2,v3} E={e1,e2}={(v1,v2),(v2,v3)} f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11 g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
i =.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。 次数为奇数的结点有n2个,记为 υOi (i=1,2,…,n2)。由上一 定理得 证 设次数为偶数的结点有n1个,记为 υ Ei (i=1,2,…,n1)。
2m = ∑ deg(υi ) = ∑ deg(υ Ei ) + ∑ deg(υOi )
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在有向图中,两结点间(包括结点自身间)若同始点 和同终点的边多于一条,则这几条边称为平行边 平行边。在无 平行边 向图中,两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称 这几条边为平行边。两结点a、b间互相平行的边的条 数称为边［a,b］的重数 边 的重数。仅有一条时重数为1,无边时 的重数 重数为0。 定义8.1―2含有平行边的图称为多重图 多重图。 多重图 非多重图称为线图 线图。无自回路的线图称为简单图 简单图。 线图 简单图 在图8.1―3中,(a)、(b)是多重图,(c)是线图,(d)是简 单图,关系图都是线图。