高等数学历年试题分类汇总

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十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题01集合文(含解析)

专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科02】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，∴∁U A＝{1，6，7}，则B∩∁U A＝{6，7}故选：C．2．【2018年新课标1文科01】已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，2}．故选：A．3．【2017年新课标1文科01】已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B＝{x|x} B．A∩B＝∅C．A∪B＝{x|x} D．A∪B＝R【解答】解：∵集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}＝{x|x}，∴A∩B＝{x|x}，故A正确，B错误；A∪B＝{x||x＜2}，故C，D错误；故选：A．4．【2016年新课标1文科01】设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}【解答】解：集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝{3，5}．故选：B．5．【2015年新课标1文科01】已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．6．【2014年新课标1文科01】已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）【解答】解：M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝{x|﹣1＜x＜1}，故选：B．7．【2013年新课标1文科01】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝（）A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}【解答】解：根据题意得：x＝1，4，9，16，即B＝{1，4，9，16}，∵A＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，4}．故选：A．8．【2012年新课标1文科01】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A＝B D．A∩B＝∅【解答】解：由题意可得，A＝{x|﹣1＜x＜2}，∵B＝{x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x∴B⊊A．故选：B．9．【2011年新课标1文科01】已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【解答】解：∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，∴P＝M∩N＝{1，3}∴P的子集共有22＝4故选：B．10．【2010年新课标1文科01】已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：∵A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}B＝{x|4，x∈Z}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B＝{0，1，2}故选：D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题 1．若集合，，则AB =（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】解：，则，故选：A ． 2．已知集合，，则AB =（）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】，，又，所以，故本题选C.3．已知集合，，则A B =（）A ．B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}3,2--D ．【答案】B 【解析】因为，∴．4．已知全集U =R ，集合，则()U A B =ð（）A ．(1,2)B ．(]1,2 C ．(1,3) D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >，可得13x <<，所以集合,(,2]U A =-∞ð，所以()U A B =ð(]1,2，故选B.5．已知集合，集合，则集合A B ⋂的子集个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点，故A B ⋂的子集有4个. 6．已知集合，，则()R M N ⋂ð=（）A ．{-1，0，1，2，3}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，1}D ．{-1，3}【答案】D 【解析】由题意，集合，则或3}x ≥又由，所以，故选D.7．已知集合，，则()R A B I ð=( )A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B 【解析】因为，所以，又，所以.8．已知R 是实数集，集合，，则()AB =Rð（）A ．{}1,0-B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】即故选A 。

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编(附答案)

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编【2023年真题】1. （2023·新高考II 卷第6题）已知函数()ln x f x ae x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为（） A. 2eB. eC. 1e -D. 2e -2.（2023·新课标I 卷第11题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则（） A. (0)0f = B. (1)0f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点3.（2023·新课标II 卷第11题）（多选）若函数2()ln (0)b cf x a x a x x=++≠既有极大值也有极小值，则( ) A. 0bc >B. 0ab >C. 280b ac +>D. 0ac < 4. （2023·新课标I 卷第19题）已知函数(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，3()2ln a+.2f x >5.（2023·新高考II 卷第22题）(1)证明：当01x <<时，2x x sinx x -<<；(2)已知函数2()(1)f x cosax ln x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.【2022年真题】6.（2022·新高考I 卷第7题）设0.10.1a e =，19b =，ln 0.9c =-，则( ) A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. a c b <<7.（2022·新高考I 卷第10题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则( )A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线8.（2022·新高考I 卷第15题）若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是__________. 9.（2022·新高考II 卷第15题）曲线ln ||y x =经过坐标原点的两条切线方程分别为__________，__________.10.（2022·新高考I 卷第22题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值.(1)求a ；(2)证明：存在y b =直线，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.11.（2022·新高考II 卷第22题）已知函数().ax x f x xe e =-(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性;(2)当0x >时，()1f x <-，求实数a 的取值范围; (3)设*n N ∈ln(1).n ++>+【2021年真题】12.（2021·新高考I 卷第7题）若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<13.（2021·新高考I 卷第15题）函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为__________. 14.（2021·新高考II 卷第16题）已知函数，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.15.（2021·新高考I 卷第22题）已知函数()(1ln ).f x x x =-(1)讨论()f x 的单调性.(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112.e a b<+< 16.（2021·新高考II 卷第22题）已知函数2()(1).x f x x e ax b =--+(1)讨论()f x 的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点.①21,222e a b a <>…； ②10,2.2a b a <<…【2020年真题】17.（2020·新高考I 卷第21题、II 卷第22题）已知函数1()ln ln .x f x ae x a -=-+(1)当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若()1f x …，求a 的取值范围.参考答案1. （2023·新高考II 卷第6题）解：由题意，1()0xf x ae x'=-…对(1,2)x ∀∈恒成立， 1x a xe ∴…，由于1()xg x xe =在(1,2)单调递减，1()(1)g x g e∴<=，1.a e ∴…故答案选：.C2.（2023·新课标I 卷第11题）（多选）解：选项A ，令0x y ==，则(0)0(0)0(0)f f f =⨯+⨯，则(0)0f =，故A 正确; 选项B ，令1x y ==，则(1)1(1)1(1)f f f =⨯+⨯，则(1)0f =，故B 正确; 选项C ，令1x y ==-，则22(1)(1)(1)(1)(1)f f f =-⨯-+-⨯-，则(1)0f -=，再令1y =-，则22()(1)()(1)f x f x x f -=-+-，即()()f x f x -=，故C 正确; 选项D ，不妨设()0f x =为常函数，且满足原题22()()()f xy y f x x f y =+，而常函数没有极值点，故D 错误. 故选：.ABC3.（2023·新课标II 卷第11题）（多选）解：因为2()ln (0)b cf x a x a x x=++≠，所以定义域为(0,)+∞，得232()ax bx c f x x'--=，由题意知220ax bx c --=有两个不相等的正解12,.x x 则，易得0.bc <故选.BCD4. （2023·新课标I 卷第19题）解：(1)()1x f x ae '=-，当0a =时()10f x '=-<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减，当0a <时0x ae <，()0f x '<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减，当0a >时，令()0f x '=，=-ln x a ，(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减. (ln ,)x a ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，故当0a …时()f x 在(,)-∞+∞单调递减，当0a >时， () f x 在区间(,ln )a -∞-单调递减，在区间(ln ,)a -+∞单调递增.(2)由(1)知当0a >时， () f x 在区间(,ln )a -∞-单调递减，在区间(ln ,)a -+∞单调递增.故，令，221()a g a a -'=，令()0g a '=，因为0a >，故2a =，() g a 在区间(0,2单调递减，在区间(,)2+∞单调递增，，即 >?0,()?>?0a g a 时恒成立，即min 3()2ln 2f x a >+，即当0a >时，3()2ln a+.2f x > 5.（2023·新高考II 卷第22题）(1)证明：构造函数2()g x sinx x x =-+，则()12g x cosx x '=-+，令()()h x g x ='，则()20h x sinx '=-+>，所以()h x 在(0,1)上单调递增，则()(0)0g x g '>'=，所以()g x 在(0,1)上单调递增，所以()(0)0g x g >=，即2x x sinx -<；构造函数()G x x sinx =-，则()10G x cosx '=->，所以()G x 在(0,1)上单调递增，则()(0)0G x G >=，即sinx x <，综上，当01x <<时，2x x sinx x -<<；(2)解：由210x ->，得函数()f x 的定义域为(1,1).-又()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以只需考虑区间(0,1).22()1xf x asinax x'=-+-，令()()F x f x ='，则222222()(1)x F x a cosax x +'=-+-，其中，①若，记a <<时，易知存在0δ>，使得(0,)x δ∈时，，()f x ∴'在(0,)δ上递增，()(0)0f x f ∴'>'=，()f x ∴在(0,)δ上递增，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾，舍去.②若，记a <或a >存在0δ'>，使得(,)x δδ∈-''时，，()f x ∴'在(,)δδ-''上递减，注意到(0)0f '=，∴当0x δ-'<<时，当0x δ<<'时，，满足0x =是()f x 的极大值点，符合题意.③若，即a =时，由()f x 为偶函数，只需考虑a =.此时22())1xf x x '=+-，(0,1)x ∈时， 2221()22(1)011x f x x x x x'>-+=->--，()f x ∴在(0,1)上递增，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾，舍去.综上：a 的取值范围为(,).-∞⋃+∞ 6.（2022·新高考I 卷第7题）解：0.10.1a e =，0.110.1b =-，ln(10.1)c =--，①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+-，令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则1()1011x f x x x-'=-=<--，故()f x 在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即ln ln 0a b -<，所以a b <； ②0.10.1ln(10.1)a c e -=+-，令()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则1(1)(1)1()11x xxx x e g x xe e x x+--'=+-=--，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2()(12)0x k x x x e '=-->，所以()k x 在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0k x k >=，即()0g x '>，所以()g x 在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0g g >=，即0a c ->，所以.a c > 故.c a b <<7.（2022·新高考I 卷第10题）（多选）解：32()1()31f x x x f x x =-+⇒'=-，令()0f x '=得：3x =±，()03f x x '>⇒<-或3x >；()033f x x '<⇒-<<，所以()f x 在(,3-∞-上单调递增，在(,)33-上单调递减，在(,)3+∞上单调递增，所以()f x 有两个极值点(3x =为极大值点，3x =为极小值点)，故A 正确;又((1103939f -=---+=+>，(1103939f =-+=->，所以()f x 仅有1个零点(如图所示)，故B 错;又3()1()()2f x x x f x f x -=-++⇒-+=，所以()f x 关于(0,1)对称，故C 正确;对于D 选项，设切点00(,)P x y ，在P 处的切线为320000(1)(31)()y x x x x x --+=--，即2300(31)21y x x x =--+，若2y x =是其切线，则2030312210x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，方程组无解，所以D 错. 8.（2022·新高考I 卷第15题）解：(1)x y x a e '=++，设切点为00(,)x y ，故0000(1)x y x a e x =++，即0000()(1).x x x a e x a e x +=++ 由题意可得，方程(1)x a x x a +=++在(,0)(0,)-∞⋃+∞上有两个不相等的实数根.化简得，20x ax a +-=，240a a =+> ，解得4a <-或0a >，显然此时0不是根，故满足题意. 9.（2022·新高考II 卷第15题）解：当0x >时，点111(,ln )(0)x x x >上的切线为1111ln ().y x x x x -=- 若该切线经过原点，则1ln 10x -=，解得x e =，此的切线方程为.x y e=当0x <时，点222(,ln())(0)x x x -<上的切线为()()2221ln y x x x x --=-若该切线经过原点，则2ln()10x --=，解得x e =-，此时切线方程为.x y e=-10.（2022·新高考I 卷第22题）解：(1)由题知()x f x e a '=-，1()g x a x'=-， ①当0a …时，()0f x '>，，()0g x '<，则两函数均无最小值，不符题意; ②当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；()g x 在1(0,a单调递减，在1(,)a +∞单调递增；故min ()(ln )ln f x f a a a a ==-，min 11()()1ln g x g a a==-，所以1ln 1ln a a a a -=-，即1ln 01a a a --=+，令1()ln 1a p a a a -=-+，则222121()0(1)(1)a p a a a a a +'=-=>++，则()p a 在(0,)+∞单调递增，又(1)0p =，所以 1.a =(2)由(1)知，()x f x e x =-，()ln g x x x =-，且()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且min min ()() 1.f x g x ==①1b <时，此时min min ()()1f x g x b ==>，显然y b =与两条曲线()y f x =和()y g x = 共有0个交点，不符合题意；②1b =时，此时min min ()()1f x g x b ===，故y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1； ③1b >时，首先，证明y b =与曲线()y f x =有2个交点，即证明()()F x f x b =-有2个零点，()()1x F x f x e '='=-，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，又因为()0b F b e --=>，(0)10F b =-<，()20b F b e b =->，(令()2b t b e b =-，则()20b t b e '=->，()(1)20)t b t e >=->所以()()F x f x b =-在(,0)-∞上存在且只存在1个零点，设为1x ，在(0,)+∞上存在且只存在1个零点，设为2.x其次，证明y b =与曲线和()y g x =有2个交点，即证明()()G x g x b =-有2个零点，1()()1G x g x x'='=-，所以()(0,1)G x 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又因为()0b b G e e --=>，(0)10G b =-<，(2)ln 20G b b b =->，(令()ln 2b b b μ=-，则1()10b bμ'=->，()(1)1ln 20)b μμ>=-> 所以()()G x g x b =-在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为3x ，在(1,)+∞上存在且只存在1个零点，设为4.x再次，证明存在b ，使得23:x x =因为23()()0F x G x ==，所以2233ln x b e x x x =-=-，若23x x =，则2222ln x e x x x -=-，即2222ln 0x e x x -+=，所以只需证明2ln 0x e x x -+=在(0,1)上有解即可，即()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上有零点，因为313312()30e e e eϕ=--<，(1)20e ϕ=->，所以()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上存在零点，取一零点为0x ，令230x x x ==即可，此时取00x b ex =-则此时存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，最后证明1402x x x +=，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，因为120304()()()0()()()F x F x F x G x G x G x ====== 所以100()()(ln )F x G x F x ==，又因为()F x 在(,0)-∞上单调递减，10x <，001x <<即0ln 0x <，所以10ln x x =，同理，因为004()()()xF xG e G x ==，又因为()G x 在(1,)+∞上单调递增，00x >即01x e >，11x >，所以04xx e =，又因为0002ln 0xe x x -+=，所以01400ln 2x x x ex x +=+=，即直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.11.（2022·新高考II 卷第22题）解：(1)1()(1)()x x x x a f x xe e x e f x xe =⇒=-=-⇒'= 当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减; 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.(2)令()()11(0)()(0)0ax x g x f x xe e x g x g =+=-+⇒=厔对0x ∀…恒成立又()(0)0ax ax x g x e axe e g ''=+-⇒=令()()()()(2)ax ax ax x ax ax x h x g x h x ae a e axe e a e axe e ='⇒'=++-=+-，则(0)21h a '=- ①若(0)210h a '=->，即12a >，00()(0)()(0)limlim 00x x g x g g x h x x ++'→→'-''==>- 所以00,x ∃>使得当时，有()0()0()g x g x g x x'>⇒'>⇒单调递增0()(0)0g x g ⇒>=，矛盾 ②若(0)210h a '=-…，即12a …时，1111ln(1)ln(1)2222()0()x x x x ax ax x ax ax xxx g x e axe e ee eeee g x +++'++=+-=---=⇒剟在[0,)+∞上单调递减，()(0)0g x g =…，符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是1.2a …(3)求导易得12ln(1)t t tt->>令112ln ln(1tn =⇒->⇒>+111231ln(ln()ln(ln(1)12n nk kn k nnn k n==+++⇒>⇒>=⋅=+∑()ln1n++⋅⋅⋅>+，证毕.12.（2021·新高考I卷第7题）解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，易知xxe bex a-=-，整理得：000x x xe b x e ae--+=有两解，令()x x xg x e b xe ae=--+，()()xg x a x e'=-，易知()g x最大值为().g a即，解得bae>，又因为当x趋近正无穷时()0g x<，当x趋近负无穷时，()g x趋近0b-<，则0.b>综上，a0b e<<故选.D13.（2021·新高考I卷第15题）解：已知函数，易知函数定义域为(0,)+∞，①：当1(0,]2x∈时，，所以2()2f xx'=--，在1(0,]2x∈单调递减，②当1(,)2x∈+∞时，，所以22(1)()2xf xx x-'=-=，所以()f x在1(,1]2x∈单调递减，在(1,)x∈+∞单调递增，又因为12ln 2<，所以最小值为1. 故答案为1.14.（2021·新高考II 卷第16题）解：由题意，，则，所以点和点，12,xxAM BN k e k e =-=，所以12121,0xx e e x x -⋅=-+=，所以，所以，同理，所以故答案为：15.（2021·新高考I 卷第22题）(1)解：的定义域为，，由解得1x >，由解得01x <<，在上单调递增，在上单调递减；(2)证明：由ln ln b a a b a b -=-可得ln ln 11a b a b b a-=-，整理得：11lnln 11a b a a b b -=-，即，不妨设1211,x x a b==，且120x x <<，即，即证明122x x e <+<，由在上单调递增，在上单调递减，且，可得1201x x <<<，()f x ()f x先证明122x x +>，令，02x <<，，在上单调递增，又1201x x <<< ，，，即，由(1)可知在上单调递减，212x x ∴>-，即122x x +>；下面再证明12x x e +<，不妨设21,x tx = 则1t >，由可得，化简1ln ln 11t tx t =-- ，要证12x x e +<，即证，即证，即证，即证，设，1t >，，令，1t >，，，在上单调递减，，，在上单调递减，()fx，即，12x x e ∴+<，故112.e a b<+< 16.（2021·新高考II 卷第22题）解：(1)由函数的解析式可得：，当0a …时，若，则单调递减，若，则单调递增；当102a <<时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；当12a =时，在R 上单调递增；当12a >时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；(2)若选择条件①：由于2122e a <…，故212a e <…，则，又((1)0f e=<，由(1)可知函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于212a e <…，故，(0,)x ∈+∞(0,)x ∈+∞结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，()f x 有一个零点. 若选择条件②：由于102a <<，故021a <<，则，当0b …时，24,42e a ><，，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当0b <时，构造函数，则，当时，单调递减，当时，单调递增，注意到，故恒成立，从而有：1x e x +…，此时：，当x >，取01x =+，则，即：，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于102a <<，021a <<，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，()f x 有一个零点.17.（2020·新高考I 卷第21题、II 卷第22题）(0,)x ∈+∞解：(1)当a e =，()ln 1x f x e x =-+，1(),(1)1,(1)1x f x e k f e f e x'=-='=-=+，所以切线方程为：1(1)(1)y e e x --=--，即(1)2y e x =-+，所以切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21-e，所以三角形的面积1222.211S e e =⨯⨯=-- 1ln 1(2)()ln ln ln ln x a x f x ae x a e x a -+-=-+=-+，要使()1f x …，只需ln 1ln ln 1a x e x a +--+…，即ln 1ln -1ln a x e a x +-+…，即ln 1ln ln -1+ln ln a x x e a x x x e x +-++=+…，令()x g x e x =+，，()g x 单调递增，故只需(ln 1)(ln )g a x g x +-…，因为()g x 为增函数，只需证ln 1ln a x x +-…，即ln ln 1a x x +-…，设()ln 1h x x x =+-，11()1xh x x x-'=-=，所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max ()(1)0h x h ==，所以ln 0a …，1a …，即a 的取值范围为[1,).+∞。

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编01 集合

设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时 .
若，则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
13．D
【解析】由解得，所以，
又因为，所以，故选：D.
A．（1,2）B．（1,2]C．（-2,1）D．[-2,1)
46．（2017·浙江）已知集合，那么
A．（-1,2）B．（0，1）C．（-1,0）D．（1,2）
47．（2017·全国（文））已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A B中元素的个数为
A．1B．2C．3D．4
48．（2017·全国（理））设集合，．若，则 ()
55．{3，4}．
【解析】， .
56．1
【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．
A． B． C． D．
28．（2018·全国（文））已知集合，，则
A． B． C． D．
29．（2018·北京（理））已知集合A={x|丨x丨<2)},B={−2,0,1,2},则 ()
A．{0,1}B．{−1,0,1}
C．{−2,0,1,2}D．{−1,0,1,2}
30．（2018·浙江）已知全集，，则（）
A．(–1，+∞)B．(–∞，2)
C．(–1，2)D．
25．（2019·全国（文））已知集合，则
A． B． C． D．
26．（2019·全国（理））设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B=

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编12 解析几何

A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
17．（2020·全国（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）
A．1B．2
C．3D．4
18．（2020·全国（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（）
A． B． C． D．
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
64．（2021·全国）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为 .
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
65．（2020·海南）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，
11．（2020·全国（文））设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（）
A． B．3C． D．2
12．（2020·全国（理））若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（）
A．y=2x+1B．y=2x+ C．y= x+1D．y= x+
13．（2020·全国（理））设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
5．（2021·全国（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）
A． B． C． D．
6．（2021·全国（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）

十年真题(2010-近年)高考数学真题分类汇编专题03函数概念与基本初等函数文(含解析)(最新整理)

专题03函数概念与基本初等函数1．【2019年新课标1文科03】已知a＝log20。

2，b＝20。

2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解:a＝log20。

2＜log21＝0，b＝20。

2＞20＝1，∵0＜0。

20.3＜0.20＝1，∴c＝0。

20。

3∈（0,1），∴a＜c＜b,故选：B．2．【2018年新课标1文科12】设函数f（x），则满足f（x+1）＜f(2x)的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1］B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．(﹣∞，0）【解答】解:函数f（x），的图象如图：满足f（x+1）＜f（2x），可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，解得x∈(﹣∞，0)．故选：D．3．【2016年新课标1文科08】若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bC．a c＜b c D．c a＞c b【解答】解：∵a＞b＞0,0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c,故A错误;a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误;故选:B．4．【2015年新课标1文科10】已知函数f（x)，且f（a）＝﹣3,则f （6﹣a)＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，a≤1时，2α﹣1﹣2＝﹣3，无解；a＞1时,﹣log（a+1)＝﹣3，∴α＝7，2∴f（6﹣a）＝f（﹣1)＝2﹣1﹣1﹣2．故选：A．5．【2015年新课标1文科12】设函数y＝f（x)的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2)+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【解答】解:∵与y＝2x+a的图象关于y＝x对称的图象是y＝2x+a的反函数,x﹣a（x＞0），y＝log2即g（x)＝log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，∴f（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣log2（﹣x)+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）＝1,∴﹣log22+a﹣log24+a＝1，解得，a＝2,故选：C．6．【2014年新课标1文科05】设函数f（x），g(x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是( ）A．f（x）•g（x)是偶函数B．|f(x）｜•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x)｜是奇函数D．｜f（x）•g（x）|是奇函数【解答】解：∵f(x)是奇函数，g（x）是偶函数，∴f(﹣x）＝﹣f(x）,g(﹣x）＝g（x），f（﹣x）•g（﹣x)＝﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x)|•g（﹣x）＝|f（x)｜•g（x)为偶函数，故B错误，f(﹣x）•｜g（﹣x）｜＝﹣f（x)•｜g（x)|是奇函数,故C正确．｜f（﹣x)•g（﹣x)｜＝|f（x）•g(x）|为偶函数,故D错误，故选:C．7．【2013年新课标1文科12】已知函数f（x），若|f（x）｜≥ax，则a 的取值范围是( )A．（﹣∞,0］B．（﹣∞，1] C．[﹣2,1] D．［﹣2，0］【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（x）｜的图象,和函数y＝ax的图象，由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y＝｜f(x)｜在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x，求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．8．【2012年新课标1文科11】当0＜x时,4x＜log a x，则a的取值范围是（) A．（0,）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解:∵0＜x时,1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x时恒成立∴解得a＜1故选：B．9．【2011年新课标1文科10】在下列区间中,函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（)A．(,）B．（，0）C．（0,）D．(，）【解答】解：∵函数f（x）＝e x+4x﹣3∴f′（x）＝e x+4当x＞0时，f′（x）＝e x+4＞0∴函数f（x)＝e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）＝e0﹣3＝﹣2＜0f(）1＞0f（）20∵f()•f(）＜0，∴函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（，)故选：A．10．【2011年新课标1文科12】已知函数y＝f(x）的周期为2，当x∈［﹣1，1]时f（x）＝x2,那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝｜lgx｜的图象的交点共有（)A．10个B．9个C．8个D．1个【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y＝f（x）的周期为2，在［﹣1，0］上为减函数,在［0，1]上为增函数∴函数y＝f（x）在区间［0，10]上有5次周期性变化,在[0，1］、［2，3]、［4,5］、[6，7］、[8,9］上为增函数，在[1，2]、［3,4］、［5，6］、［7,8]、[9,10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y＝|lgx｜,在区间（0,1］上为减函数,在区间[1,+∞）上为增函数，且当x＝1时y＝0；x＝10时y＝1，再结合两个函数的草图,可得两图象的交点一共有10个，故选:A．11．【2011年新课标1文科03】下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1 C．y＝﹣x2+4 D．y＝2﹣｜x|【解答】解:对于A．y＝2x3,由f（﹣x）＝﹣2x3＝﹣f(x），为奇函数,故排除A；对于B．y＝|x｜+1，由f(﹣x）＝|﹣x｜+1＝f（x),为偶函数,当x＞0时，y＝x+1，是增函数，故B正确；对于C．y＝﹣x2+4，有f（﹣x）＝f（x)，是偶函数,但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y＝2﹣|x|，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，当x＞0时，y＝2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．12．【2010年新课标1文科06】如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P(，)，角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）0A．B．C．D．【解答】解：通过分析可知当t＝0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A,D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B,故选：C．13．【2010年新课标1文科09】设偶函数f（x）满足f(x）＝2x﹣4（x≥0），则｛x｜f（x ﹣2)＞0｝＝（）A．{x｜x＜﹣2或x＞4} B．｛x｜x＜0或x＞4｝C．{x|x＜0或x＞6｝D．{x｜x＜﹣2或x＞2｝【解答】解：由偶函数f(x）满足f（x)＝2x﹣4(x≥0)，可得f（x）＝f（｜x|）＝2|x|﹣4，则f（x﹣2）＝f(｜x﹣2|)＝2｜x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2｜x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2｜＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．14．【2010年新课标1文科12】已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f(b）＝f（c）,则abc的取值范围是（)A．(1，10）B．（5，6) C．(10，12) D．（20，24）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c,则ab＝1，则abc＝c∈（10，12）．故选：C．15．【2018年新课标1文科13】已知函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，则a ＝．【解答】解：函数f（x)＝log2(x2+a），若f（3)＝1，可得:log2(9+a)＝1，可得a＝﹣7．故答案为：﹣7．16．【2014年新课标1文科15】设函数f（x），则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．【解答】解:x＜1时，e x﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，2，∴x≤8,∴1≤x≤8,综上，使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是x ≤8．故答案为:x ≤8．17．【2012年新课标1文科16】设函数f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，则M +m＝．【解答】解：函数可化为f （x )，令,则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f （x ）的最大值与最小值的和为1+1+0＝2．即M +m ＝2．故答案为:2．本专题考查的知识点为:函数，函数的单调性与最值,函数的奇偶性与周期性，幂函数与二次函数，指数函数，对数函数,分段函数，函数的图象，函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等。

十年真题(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题09立体几何文(含解析)

专题09立体几何历年考题细目表质17解答题2013垂直关系的判定与性质2013年北京文科17解答题2012垂直关系的判定与性质2012年北京文科16解答题2011空间角与空间距离2011年北京文科17解答题2010垂直关系的判定与性质2010年北京文科17历年高考真题汇编1．【2018年北京文科06】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解:四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC,CD，PC＝3，PD＝2,可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．2．【2017年北京文科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三视图可知:该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积10．故选：D．3．【2015年北京文科07】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB＝1，AB＝1，AD＝1，∴BD,PD．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．4．【2013年北京文科08】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有（)A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解:建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长｜AB｜＝3,则A（3,0，0），B（3，3，0），C（0,3,0），D（0,0，0），A1（3，0，3），B1（3，3,3）,C1（0,3,3）,D1（0，0,3)，∴（﹣3，﹣3，3），设P（x,y,z)，∵(﹣1，﹣1,1）,∴（2，2,1）．∴｜PA|＝｜PC|＝|PB1|，｜PD｜＝｜PA1|＝｜PC1｜，|PB｜，|PD1｜．故P到各顶点的距离的不同取值有,3,，共4个．故选：B．5．【2012年北京文科07】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4,底边长为5，如图，所以S底10，S后,S右10，S左6．几何体的表面积为：S＝S底+S后+S右+S左＝30+6．故选：B．6．【2011年北京文科05】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．16B．16+16C．32D．16+32【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为4，故底面面积为16,棱锥的高为2,故侧面的高为：2，则每个侧面的面积为：4,故棱锥的表面积为：16+16,故选：B．7．【2010年北京文科05】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧(左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为( )A．B．C．D．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选:C．8．【2010年北京文科08】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1上．点Q是CD的中点,动点P在棱AD上，若EF＝1，DP＝x，A1E＝y（x，y大于零）,则三棱锥P﹣EFQ的体积（）A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关,与x无关【解答】解：三棱锥P﹣EFQ的体积与点P到平面EFQ的距离和三角形EFQ的面积有关，由图形可知，平面EFQ与平面CDA1B1是同一平面，故点P到平面EFQ的距离是P到平面CDA1B1的距离，且该距离就是P到线段A1D 的距离,此距离只与x有关，因为EF＝1，点Q到EF的距离为线段B1C的长度，为定值，综上可知所求三棱锥的体积只与x有关，与y无关．故选：C．9．【2019年北京文科12】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l,那么该几何体的体积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V．故答案为：40．10．【2019年北京文科13】已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．【解答】解：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l⊥α,l⊥m，则m∥α．故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．11．【2016年北京文科11】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【解答】解:由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S(1+2）×1，棱柱的高为1，故棱柱的体积V，故答案为：12．【2014年北京文科11】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE ⊥AC，且AE＝CE＝1；由主视图知CD＝2，由左视图知BE＝1，在Rt△BCE中，BC，在Rt△BCD中,BD，在Rt△ACD中，AD＝2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．13．【2013年北京文科10】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．【解答】解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥，所以体积．故答案为：3．14．【2019年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°,求证:平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形,∴BD⊥PA,BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．(Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∠ABC＝60°,∴AB⊥AE，PA⊥AE,∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．解:（Ⅲ)棱PB上是存在中点F，使得CF∥平面PAE．理由如下:取AB中点G,连结GF，CG，∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∴CG∥AE，FG∥PA，∵CG∩FG＝G,AE∩PA＝A，∴平面CFG∥平面PAE，∵CF⊂平面CFG，∴CF∥平面PAE．15．【2018年北京文科18】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E,F分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；(Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）PA＝PD,E为AD的中点，可得PE⊥AD，底面ABCD为矩形，可得BC∥AD，则PE⊥BC；（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P，且AB∥CD,在平面PAB内过P作直线PG∥AB，可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD＝PG，由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD,即有AB⊥PA,PA⊥PG;同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角，由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，在三角形PCD中，FH为中位线，可得FH∥BC，FH BC,由DE∥BC，DE BC,可得DE＝FH,DE∥FH，四边形EFHD为平行四边形,EF⊄平面PCD,DH⊂平面PCD,即有EF∥平面PCD．16．【2017年北京文科18】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD;（2)求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC＝B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2)证明：由AB＝BC,D为线段AC的中点,由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE＝DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点,可得E为PC的中点，且DE PA＝1,由PA⊥平面ABC,可得DE⊥平面ABC,可得S△BDC S△ABC2×2＝1，则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC1×1．17．【2016年北京文科18】如图,在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【解答】（1）证明:∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC,∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，∴DC⊥平面PAC;（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC＝C,∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．18．【2015年北京文科18】如图，在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O,M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证:平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O,M分别为AB,VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC;（2)∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC,OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC,∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB，∵OC⊥平面VAB,∴V C﹣VAB•S△VAB，∴V V﹣ABC＝V C﹣VAB．19．【2014年北京文科17】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1,E、F分别为A1C1、BC 的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：(1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面,∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1,∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG＝EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE,EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC,∴AB，∴V E﹣ABC S△ABC•AA1（1)×2．20．【2013年北京文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F 分别是CD和PC的中点,求证：(Ⅰ）PA⊥底面ABCD;(Ⅱ)BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD ∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC 的中点，故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内,故有BE∥平面PAD．(Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．21．【2012年北京文科16】如图1，在Rt△ABC中,∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD,如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解答】解：（1）∵D,E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC,又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC,∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC,而A1F⊂平面A1DC,∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图,分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC,∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C,又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．22．【2011年北京文科17】如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC,BC,PB的中点．(Ⅰ）求证:DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形;(Ⅲ)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．【解答】证明：(Ⅰ）∵D,E分别为AP,AC的中点，∴DE∥PC,∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E,F,G分别为AP，AC，BC,PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形,∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．(Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG＝Q,且QD＝QE＝QF＝QG EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN EG，∴Q为满足条件的点．23．【2010年北京文科17】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB，CE＝EF＝1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE;(Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G．因为EF∥AG，且EF＝1,AG AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．(Ⅱ）连接FG．因为EF∥CG,EF＝CG＝1，且CE＝1，所以平行四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG．因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC,所以BD⊥平面ACEF．所以CF⊥BD．又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积,空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法(证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质,立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离)等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点三视图和直观图,空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质，立体几何中的向量方法(证明平行与垂直、求空间角和距离)等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在正方体中, 1AD与BD所成的角为( ）A．45?B．90C．60D．120【答案】C【解析】如图,连结BC1、BD和DC1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故选：C．2．在正方体中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面去截正方体,在截面边数最多时的所有多边形中,多边形截面的面积为S，周长为l，则( ）A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值【答案】C【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：与面1A BD平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，即六边形EFGHMN，其中分别为其所在棱的中点，由正方体的性质可得2EF=，2∴六边形的周长l为定值32．∴六边形的面积为，由正方体的对称性可得其余位置时也为正六边形,周长与面积不变，故S与l均为定值，故选C.3．在四面体P ABC-中，ABCPA=,4∆为等边三角形，边长为3，3PC=，PB=，5则四面体P ABC-的体积为（）A．3B．23C．11D．10【答案】C【解析】如图,延长CA至D，使得3AD=，连接,DB PD，因为，故ADB∆为等腰三角形，又，故，所以即,故CB DB⊥，因为，所以，所以CB PB⊥，因，DB⊂平面PBD,PB⊂平面PBD，所以CB⊥平面PBD,所以，因A为DC的中点，所以，因为，故PDC∆为直角三角形,所以,又，而4∆为直角三角形，PB=,故即PBD所以,所以，故选C。

历年真题分类解析(数一)

其他
合计
87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 合计
8 8
8 8
4
3
7
4 3 3 8 3 3 5 8 10 9 4 4 5
3
7 6 3 11 8 8 10 9 4 9
3
40
36
4
5
7
6
二次型考点统计二次型考点统计
84
23
28
24
多元函数积分学
年份分数 87 88 89 90 考点分析二重积分三重积分 1型线积分 ∏型线积分 1型面 ∏型面积积分分场论 91 92 93
87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
3 5 3 3 5
3
3 9 5 8 6 8
10 5 9 8 8 6 6 6 6 3
13
64
6
9
31
数理统计的基本概念考点统计数理统计的基本概念考点统计
总体、总体、样 X、t、F分本（均值布、分位数方差）、方差）、正态总体等基本概下的抽样分布念
参数估计考点统计参数估计考点统计
估计量的矩估计、矩估计、好坏标准无偏、最大似然（无偏、有效、一有效、估计致）
合计
3+3 3 5 5 5 5 3+3 5 3 3 3+6 3+6 3 3 3 5 3 6 6 7 10 4 4 4 11 10 7
6 3 3 6 3
6 3 12 5 14 13 3 8 12 15 12 9 6 10 20 8 15

高等数学历年真题汇总

高等数学一、判断题（在每题的括号内填上是或否，每题5分，共分）1. 建立数学模型主要是将问题转化为物理问题。

（否）2. 单调函数就是函数值随自变量的增大而增大,或随自变量的增大而减小。

（是）3. 导数为零的点为函数的极值点。

（否）4. 数学的发展主要表现在从单变量到多变量，从线性到非线性,从局部到整体，从连续到间断，从精确到模糊。

（是）5. 函数y= arctanx 的导数为。

（否） 6. 导数是逐点定义的，它研究的是函数在某一点的局部性质。

（是） 7. 极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态。

（是）8. 积分学的基本问题是均匀变化量的求积问题，它的数学模型是。

（否）9. 所谓原函数就是函数f(x ）与F(x ）定义在同一区间（a,b ）,并且处处都有F （x ）=f （x), 则称F(x ）是f （x ）的一个原函数。

（是）10. 规定原点和方向与长度单位的直线称为数轴。

（否） 11. 在数学中必须考虑的运算有两类：加法运算与减法运算。

（否） 12. 任何两个以上的函数都可以构成一个复合函数。

（否） 13. 积分学包含定积分和不定积分两大部分，不定积分的目的是提供思想方法。

（否） 14. 对应于加法运算的逆运算是减法运算，对应于乘法运算的逆运算是除法运算，对应于正整数乘方运算的逆运算是开方运算，对应于微分运算的逆运算是积分运算。

（是）15. 函数的对称性表现在函数的奇偶性和函数的周期性上。

（是） 16. 极限 lim ln ?（x>0）的值为 1。

（否）17. 函数f （x ） = lo ga x 的二阶导数为。

（是）18. 的微分为dy=-x ³dx 。

（是）19. 函数y=21-x +1x +的定义域是D=[l ，2）U （2,+∞）。

（是） 20. 不定积分 tanxdx = — In | cosa: | ( 否 ) 21. 奇函数图像的特点是图像对称原点，偶函数图像的特点是图像对称了轴。

全国高考文科数学历年试题分类汇编

A．1
B． 1
C． i
(D) i
z2
（ 2014 卷 1 ）已知复数 z 1 i ，则
（）
z1
A. 2
B. － 2 C. 2i D. － 2i
（ 2016 卷 1）设 (1 2i)( a i) 的实部与虚部相等，其中
（ A ）－ 3（ B）－ 2（C） 2（D ） 3
a为实数，则 a=
（ 2016 卷 2 ）设复数 z 满足 z i 3 i ，则 z =
A.(-1 ， 3)
B.(-1 ， 0 ) C.(0 ，2) D.(2 ， 3)
（ 2019 卷 1 ）已知集合 M x | 1 x 3 , B x | 2 x 1 ，则 M I B （）
A. ( 2,1)
B. ( 1,1) C. (1,3)
D. ( 2,3)
2
（ 2019 卷 2）已知集合 A=﹛-2,0,2 ﹜, B=﹛ x | x - x - 2 0 ﹜，则 A B （）
r
r
uuur
0 ，| a | 1，|b | 2 ，则 AD
1r 1r ab
（A） 3 3
2r 2r ab
（B） 3 3
3r 3r ab
（C） 5 5
4r 4r ab
（D） 5 5
（
2017
卷
1
）
已知 a与 b为两个不共线的单位向量， k为实数，若向量 a+b与向量 ka-b垂直，则 k=_____________ ．
D ．i(1+i)
3. 向量
uuur
uuur
（ 2019 卷 1 ）已知点 A(0,1), B(3,2) ，向量 AC ( 4, 3) ，则向量 BC ( )

十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题04 导数及其应用(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

专题04导数及其应用历年考题细目表5解答题2014 导数综合问题2014年新课标1文科21解答题2013 导数综合问题2013年新课标1文科20解答题2012 导数综合问题2012年新课标1文科21解答题2011 导数综合问题2011年新课标1文科21解答题2010 导数综合问题2010年新课标1文科21历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科05】函数f（）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．2．【2018年新课标1文科06】设函数f（）＝3+（a﹣1）2+a．若f（）为奇函数，则曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣C．y＝2 D．y＝3．【2017年新课标1文科08】函数y的部分图象大致为（）A．B．C．D．4．【2017年新课标1文科09】已知函数f（）＝ln+ln（2﹣），则（）A．f（）在（0，2）单调递增B．f（）在（0，2）单调递减C．y＝f（）的图象关于直线＝1对称D．y＝f（）的图象关于点（1，0）对称5．【2016年新课标1文科09】函数y＝22﹣e||在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．6．【2016年新课标1文科12】若函数f（）＝sin2+a sin在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[，] D．[﹣1，]7．【2014年新课标1文科12】已知函数f（）＝a3﹣32+1，若f（）存在唯一的零点0，且0＞0，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）8．【2013年新课标1文科09】函数f（）＝（1﹣cos）sin在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．9．【2010年新课标1文科04】曲线y＝3﹣2+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣1 B．y＝﹣+1 C．y＝2﹣2 D．y＝﹣2+210．【2019年新课标1文科13】曲线y＝3（2+）e在点（0，0）处的切线方程为．11．【2017年新课标1文科14】曲线y＝2在点（1，2）处的切线方程为．12．【2015年新课标1文科14】已知函数f（）＝a3++1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．13．【2012年新课标1文科13】曲线y＝（3ln+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．【2019年新课标1文科20】已知函数f（）＝2sin﹣cos﹣，f′（）为f（）的导数．（1）证明：f′（）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若∈[0，π]时，f（）≥a，求a的取值范围．15．【2018年新课标1文科21】已知函数f（）＝ae﹣ln﹣1．（1）设＝2是f（）的极值点，求a，并求f（）的单调区间；（2）证明：当a时，f（）≥0．16．【2017年新课标1文科21】已知函数f（）＝e（e﹣a）﹣a2．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）≥0，求a的取值范围．17．【2016年新课标1文科21】已知函数f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（）的单调性；（Ⅱ）若f（）有两个零点，求a的取值范围．18．【2015年新课标1文科21】设函数f（）＝e2﹣aln．（Ⅰ）讨论f（）的导函数f′（）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（）≥2a+aln．19．【2014年新课标1文科21】设函数f（）＝aln2﹣b（a≠1），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在0≥1，使得f（0），求a的取值范围．20．【2013年新课标1文科20】已知函数f（）＝e（a+b）﹣2﹣4，曲线y＝f（）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（）的单调性，并求f（）的极大值．21．【2012年新课标1文科21】设函数f（）＝e﹣a﹣2．（Ⅰ）求f（）的单调区间；（Ⅱ）若a＝1，为整数，且当＞0时，（﹣）f′（）++1＞0，求的最大值．22．【2011年新课标1文科21】已知函数f（），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线方程为+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当＞0，且≠1时，f（）．23．【2010年新课标1文科21】设函数f（）＝（e﹣1）﹣a2（Ⅰ）若a，求f（）的单调区间；（Ⅱ）若当≥0时f（）≥0，求a的取值范围．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( )A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e) 2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A ．5B ．6C ．7D ．84．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a cb d +-==+-，则22()()ac bd -+-的最小值为（） A ．8 B ．4C ．2D5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．已知函数1()2x a f x e ax x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．3,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦ B ．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕 D ．)é-+?êë7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( ) A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（） A ．-3B ．-2C ．-1D ．09．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____．10．函数()2xf x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．11．已知函数()1xf x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.12．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．13．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,xf x xg x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______.17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值；（Ⅱ）若1()e f x e +…对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程；（2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围． 21．已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 22．已知函数1()x f x xe alnx -=-（无理数 2.718e =…）．（1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求实数a 的取值范围：（2）当0a =时，设2()()eg x f x x x x=⋅--，证明：当0x >时，ln 2ln 2()122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题11 平面解析几何选择填空题(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题11平面解析几何选择填空题历年考题细目表填空题2015 圆的方程2015年新课标1理科14填空题2011 椭圆2011年新课标1理科14填空题2010 圆的方程2010年新课标1理科15历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科10】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．y2＝1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|，∴|AF2|＝a，|BF1|a，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得0，解得a2＝3，∴a．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为：1．故选：B．2．【2018年新课标1理科08】设抛物线C：y2＝4的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：抛物线C：y2＝4的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y＝2+4，联立直线与抛物线C：y2＝4，消去可得：y2﹣6y+8＝0，解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），，．则•（0，2）•（3，4）＝8．故选：D．3．【2018年新课标1理科11】已知双曲线C：y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3 C．2D．4【解答】解：双曲线C：y2＝1的渐近线方程为：y，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|3．故选：B．4．【2017年新课标1理科10】已知F为抛物线C：y2＝4的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y＝﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，∴|DE|•|y1﹣y2|8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为θ，根据焦点弦长公式可得|AB||DE|∴|AB|+|DE|，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．5．【2016年新课标1理科05】已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c＝2，当焦点在轴上时，可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，∵方程1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝﹣1，无解．故选：A．6．【2016年新课标1理科10】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：设抛物线为y2＝2p，如图：|AB|＝4，|AM|＝2，|DE|＝2，|DN|，|ON|，A，|OD|＝|OA|，5，解得：p＝4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．7．【2015年新课标1理科05】已知M（0，y0）是双曲线C：1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，（0，﹣y0）•（0，﹣y0）＝02﹣3+y02＝3y02﹣1＜0，所以y0．故选：A．8．【2014年新课标1理科04】已知F为双曲线C：2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【解答】解：双曲线C：2﹣my2＝3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为0，∴点F到C的一条渐近线的距离为．故选：A．9．【2014年新课标1理科10】已知抛物线C：y2＝8的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|＝（）A．B．3 C．D．2【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|＝d，∵4，∴|PQ|＝3d，∴不妨设直线PF的斜率为2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y＝﹣2（﹣2），与y2＝8联立可得＝1，∴|QF|＝d＝1+2＝3，故选：B．10．【2013年新课标1理科04】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y B．y C．y＝±D．y【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e，即4b2＝a2，故渐近线方程为y＝±，故选：D．11．【2013年新课标1理科10】已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设A（1，y1），B（2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵1+2＝2，y1+y2＝﹣2，．∴，化为a2＝2b2，又c＝3，解得a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为．故选：D．12．【2012年新课标1理科04】设F1、F2是椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|＝|F2F1|∵P为直线上一点∴∴故选：C．13．【2012年新课标1理科08】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线y2＝16的准线交于点A和点B，|AB|＝4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【解答】解：设等轴双曲线C：2﹣y2＝a2（a＞0），y2＝16的准线l：＝﹣4，∵C与抛物线y2＝16的准线l：＝﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得4，∴a＝2，2a＝4．故选：C．14．【2011年新课标1理科07】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y＝0，由题设知，，∴，b2＝2a2，c2﹣a2＝2a2，c2＝3a2，∴e．故选：B．15．【2010年新课标1理科12】已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E 相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为＝PN＝1，设双曲线方程为，A（1，y1），B（2，y2），则有，两式相减并结合1+2＝﹣24，y1+y2＝﹣30得，从而 1即4b2＝5a2，又a2+b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选：B．16．【2019年新课标1理科16】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，•0，则C的离心率为．【解答】解：如图，∵，且•0，∴OA⊥F1B，则F1B：y，联立，解得B（，），则，，∴4c2，整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，∴，e．故答案为：2．17．【2017年新课标1理科15】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b 为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，可得A到渐近线b+ay＝0的距离为：b cos30°，可得：，即，可得离心率为：e．故答案为：．18．【2015年新课标1理科14】一个圆经过椭圆1的三个顶点．且圆心在轴的正半轴上．则该圆标准方程为．【解答】解：一个圆经过椭圆1的三个顶点．且圆心在轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a，圆的半径为：，所求圆的方程为：（）2+y2．故答案为：（）2+y2．19．【2011年新课标1理科14】在平面直角坐标系Oy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在轴上，离心率为．过F1的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1＝16；根据椭圆的性质，有4a＝16，即a＝4；椭圆的离心率为，即，则a c，将a c，代入可得，c＝2，则b2＝a2﹣c2＝8；则椭圆的方程为1；故答案为：1．20．【2010年新课标1理科15】过点A（4，1）的圆C与直线﹣y＝1相切于点B（2，1），则圆C的方程为．【解答】解：设圆的方程为（﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，则（4﹣a）2+（1﹣b）2＝r2，（2﹣a）2+（1﹣b）2＝r2，1，解得a＝3，b＝0，r，故所求圆的方程为（﹣3）2+y2＝2．故答案为：（﹣3）2+y2＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若3AF FB =u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】由题意得直线l 的方程为b x y c a=+，不妨取1a =，则x by c =+，且221b c =-. 将x by c =+代入2221y x b -=，得()4234120b y b cy b -++=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则312421b c y y b +=--，41241b y y b =-. 由3AF FB u u u r u u u r =，得123y y =-，所以324422422131bc y b by b ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩，得22431b c b =-，解得214b =，所以2c ===c e a ==，故选A 。

高数常见题目分类

高数常见题目分类一、导数与微分1. 函数极限与连续性a. 极限的定义与性质b. 无穷小量与无穷大量c. 一元函数的连续性d. 引理与定理应用2. 导数与微分基础知识a. 导数的定义b. 导数的运算法则c. 反函数与隐函数求导d. 高阶导数与隐式函数求导3. 线性与泰勒公式a. 函数的线性逼近b. 泰勒展开式c. 拉格朗日余项与泰勒公式的应用4. 变化率与微分中值定理a. 中值定理与罗尔定理b. 拉格朗日中值定理c. 函数值与导数关系的应用二、微分中的应用1. 一元函数的极值与最值a. 极大值与极小值的定义b. 开区间与闭区间的极值判断c. 极值判定的充分条件d. 最值问题的应用2. 函数的凸凹性与拐点a. 凸函数与凹函数的定义b. 函数的凸凹性判定条件c. 拐点的定义与判定条件d. 啄点与弯曲性3. 简单微分方程a. 微分方程的概念与解法b. 初值问题与特解c. 可分离变量的微分方程d. 非线性微分方程的求解4. 特殊曲线与曲面的切线与法线a. 曲线的切线与法线的定义b. 曲线方程的导数求法c. 曲面的切线与法线的定义d. 曲面方程的偏导数求法三、积分与其应用1. 定积分的概念与性质a. 定积分的定义b. 定积分的性质与运算法则c. 积分区间的变换与区域分割d. 牛顿-莱布尼茨公式2. 不定积分与基本积分公式a. 不定积分的概念与性质b. 基本积分公式的推导与应用c. 函数的积分与导数的关系d. 特殊函数的积分求解3. 面积与曲线的长度a. 曲线长度的定义与计算方法b. 平面曲线与极坐标曲线的长度计算c. 曲线间的面积计算d. 旋转曲面的体积计算4. 广义积分与级数a. 广义积分的概念与收敛性b. 广义积分的计算方法c. 收敛级数的定义与判定条件d. 常见级数的求和计算四、空间解析几何1. 点、直线与平面a. 三维空间与坐标系b. 点的坐标与距离c. 直线的参数方程与位置关系d. 平面的法线方程与位置关系2. 空间曲线的方程与位置关系a. 二次曲线的方程b. 平面与空间曲线的位置关系c. 曲线的切向量与法向量d. 曲线与曲面的位置关系3. 空间曲面的方程与位置关系a. 二次曲面的方程b. 曲面的截痕与投影c. 曲面的曲率与法线方程d. 平面与空间曲面的位置关系5. 曲线积分与曲面积分a. 曲线积分与参数曲线的关系b. 曲线积分的计算方法c. 曲面积分的定义与类型d. 曲面积分的计算方法以上是高数中常见的题目分类，希望对你的学习有所帮助。

高等数学往年经典试题总结及答案

高等数学经典试题总结及答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e，则f(x)=（） 2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<= 8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy. 17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编11 立体几何

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十一、立体几何一、多选题1．（2021·全国高考真题）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P二、单选题2．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体1111ABCD A BC D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDDB C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDDB 3．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．32B ．3C ．2D ．4．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A ．12BC ．4D 5．（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A ．B ．C ．D ．6．（2021·全国高考真题（理））在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π67．（2021·全国高考真题）圆锥的母线长为（）A ．2B ．C ．4D ．8．（2020·天津高考真题）若棱长为面积为（）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π 9．（2020·北京高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A ．6B ．6+C ．12D ．12+10．（2020·浙江高考真题）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）A ．73B ．143C ．3D ．611．（2020·海南高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°12．（2020·全国高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A ．B ．C ．D ．13．（2020·全国高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π 14．（2020·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A ．14B ．12C ．14D ．1215．（2020·全国高考真题（理））已知△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A B ．32 C ．1 D ．216．（2020·全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A ．EB ．FC ．GD ．H 17．（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是A ．158B ．162C ．182D ．32418．（2019·全国高考真题（理））如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线19．（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．3220．（2019·浙江高考真题）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<21．（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D 22．（2019·全国高考真题（文））设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面23．（2019·上海高考真题）已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面 24．（2018·浙江高考真题）已知直线,m n 和平面α，n ⊂α，则“//m n ”是“//m α”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件25．（2018·上海高考真题）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A ．4B ．8C ．12D ．1626．（2018·浙江高考真题）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤ 27．（2018·全国高考真题（文））在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为A ．8B ．C ．D ．28．（2018·北京高考真题（理））某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A．1 B．2C．3 D．429．（2018·全国高考真题（文））某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．B．C．3D．2，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，30．（2018·全国高考真题（理））设A B C D体积的最大值为ABC为等边三角形且其面积为D ABCA．B．C．D．31．（2018·全国高考真题（理））中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．32．（2018·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．2B ．4C ．6D ．8 33．（2018·全国高考真题（文））在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．2BCD ．2 34．（2018·全国高考真题（文））已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．B ．12πC ．D ．10π35．（2018·全国高考真题（理））在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15BCD ．2 36．（2018·全国高考真题（理））已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D 37．（2017·全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面 MNQ 不平行的是（）A ．B ．C ．D ．未命名未命名三、解答题38．（2021·全国高考真题）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.39．（2021·全国高考真题（文））如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．40．（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.41．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.42．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小? 43．（2021·全国高考真题（理））如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值．44．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB PB 与平面QCD 所成角的正弦值．45．（2020·天津高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．46．（2020·北京高考真题）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．47．（2020·浙江高考真题）如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．48．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．49．（2020·江苏高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD BD=2，O为BD 的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．50．（2020·江苏高考真题）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F 分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．51．（2020·全国高考真题（理））如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A--的正弦值． 52．（2020·全国高考真题（文））如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．53．（2020·全国高考真题（文））如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面P AB⊥平面P AC；（2）设DO，求三棱锥P−ABC的体积. 54．（2020·全国高考真题（理））如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为=．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=．底面直径，AE AD（1）证明：PA⊥平面PBC；--的余弦值．（2）求二面角B PC E55．（2020·全国高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=π3，求四棱锥B–EB1C1F的体积．56．（2020·全国高考真题（理））如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.57．（2019·江苏高考真题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC 的中点，AB=BC．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．58．（2019·天津高考真题（理））如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 59．（2019·全国高考真题（理））图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的二面角B−CG−A 的大小.60．（2019·全国高考真题（文））如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．61．（2019·全国高考真题（理））如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.62．（2019·上海高考真题）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC ======（1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角；（2）求P ABC -的体积.63．（2018·上海高考真题）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．64．（2018·江苏高考真题）在平行六面体1111ABCD A BC D -中，1AA AB =,111AB B C ⊥．求证：（1）11//AB A B C 平面；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．65．（2018·江苏高考真题）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．66．（2018·全国高考真题（文））如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．67．（2018·北京高考真题（理））如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11AC ，1BB 的中点，AB=BC AC =1AA =2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角B−CD −C 1的余弦值；（3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．68．（2018·北京高考真题（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .69．（2018·全国高考真题（理））如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.70．（2018·全国高考真题（理））如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．71．（2018·浙江高考真题）如图，已知多面体ABC-A 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC=120°，A 1A=4，C 1C=1，AB=BC=B 1B=2．（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．72．（2018·全国高考真题（文））如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．73．（2018·全国高考真题（文））如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．74．（2017·山东高考真题（文））由四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1−B 1CD 1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD .（1）证明：1AO ∥平面B 1CD 1；（2）设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.四、填空题75．（2021·全国高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．76．（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30 则该圆锥的侧面积为________.77．（2020·海南高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________78．（2020·海南高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D BCC1B1的交线长为________．179．（2020·江苏高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.80．（2020·全国高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．81．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝82．（2019·江苏高考真题）如图，长方体1111ABCD A BC D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.83．（2019·北京高考真题（理））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．84．（2019·北京高考真题（理））已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．85．（2019·全国高考真题（理））学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A BC D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB=BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .86．（2019·天津高考真题（文）若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.87．（2019·全国高考真题（文））已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P到∠ACB 两边AC ，BC P 到平面ABC 的距离为___________． 88．（2018·江苏高考真题）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．89．（2018·全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30，若SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为__________．90．（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB 的面积为面积为__________．91．（2018·天津高考真题（理））已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为__________.五、双空题92．（2019·全国高考真题（文））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十一、立体几何（答案解析）1．BD【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【解析】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A 错误；对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB BC λλ=++，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1A ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0P μ,，10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()110A P BP μμ⋅=-=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以01,22AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11,122A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ．【小结】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．2．A【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证1//,MN AB A D ⊥平面1ABD ，即可得出结论.【解析】连1AD ，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊄平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；在正方体1111ABCD A BC D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项B 错误，选项A 正确.故选：A.【小结】关键点小结：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系. 3．A【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【解析】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A BC D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ，1=，故111113122ABCD A B C D V -=⨯=，故选：A.4．A【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【解析】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，AB ∴=则ABC ，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d ==所以11111332212O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：A.【小结】关键小结：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.5．D【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【解析】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D6．D【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【解析】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ，所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥，设正方体棱长为2，则111112BC PC D B ===1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D7．B【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【解析】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=l =故选：B.8．C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【小结】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.9．D【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D.【小结】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10．A【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为： 11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【小结】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.11．B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故选：B【小结】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.12．C【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴该几何体的表面积是：632=⨯++故选：C.【小结】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.13．A【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin60AB r =︒=1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【小结】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 14．C【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.。

数学历年真题分类版

22
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校 14、设函数
y
=
y(x)
由参数方程
⎧x
⎨ ⎩
y
= t − sin t = 1− cos t
(t
≠
2nπ
,n∈
z)
所确定，求
dy dx
，
d2y dx 2
18、设函数 z = f (x + y, y ) ，其中 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，求 ∂2 z
x
∂x∂y
网【2009 年】
ex
B.
dx 1+ e2x
C. 1 dx 1+ e2x
D.
本ex dx 1+ e2x
转 7、已知 f (x) 在 (−∞, +∞) 内是可导函数，则 ( f (x) − f (−x))′ 一定是（ A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 不能确定奇偶性的函数
）
11、设函数 y = y(x) 由方程 ex − ey = sin(xy) 确定，则 y′ x=0 =
。
14、设函数
y
=
y(x)
由参数方程
⎧x ⎨⎩e y
= +
t2 +t y = t2
所确定，求
dy dx
。
18、设 z = xf ( y , y) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 ∂2 z 。
x
∂x∂y
校
【2012】
4、函数 z = ln(2x) + 3 在点（1,1）处的全微分为 y
网
A、 dx − 3dy B、 dx + 3dy
本
转
专

十年真题(-2019)高考数学真题分类汇编专题04 导数及其应用理(含解析)

专题04导数及其应用历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科05】函数f（x）在［﹣π，π］的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x），x∈[﹣π，π］，∴f（﹣x)f(x），∴f（x）为[﹣π，π］上的奇函数，因此排除A；又f（），因此排除B,C；故选:D．2．【2018年新课标1理科05】设函数f（x）＝x3+(a﹣1)x2+ax．若f（x)为奇函数，则曲线y＝f（x)在点(0，0)处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax,若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f(x)＝x3+x，可得f′(x)＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0)处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f(x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．3．【2016年新课标1理科07】函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝y＝2x2﹣e|x|，∴f(﹣x）＝2（﹣x）2﹣e｜﹣x|＝2x2﹣e｜x|，故函数为偶函数，当x＝±2时,y＝8﹣e2∈（0，1)，故排除A,B;当x∈[0,2]时，f（x）＝y＝2x2﹣e x,∴f′（x）＝4x﹣e x＝0有解，故函数y＝2x2﹣e｜x|在[0，2］不是单调的，故排除C，故选：D．4．【2015年新课标1理科12】设函数f(x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a,其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f （x0）＜0，则a的取值范围是（）A．［）B．[) C．[) D．[）【解答】解：设g（x)＝e x（2x﹣1),y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x(2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1)，∴当x时,g′（x）＜0，当x时，g′（x）＞0，∴当x时，g（x)取最小值﹣2,当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时,g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得a＜1故选：D．5．【2014年新课标1理科11】已知函数f（x)＝ax3﹣3x2+1，若f（x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是( ）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．(﹣∞,﹣2）【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x)＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2）,f（0）＝1；①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f(x）＝ax3﹣3x2+1在(﹣∞，0）上有零点,故不成立；③当a＜0时,f（x）＝ax3﹣3x2+1在(0，+∞）上有且只有一个零点;故f（x）＝ax3﹣3x2+1在(﹣∞，0）上没有零点；而当x时,f(x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f(）3•1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是(﹣∞，﹣2)；故选：D．6．【2012年新课标1理科10】已知函数f(x)，则y＝f（x)的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：设则g′(x）∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在(0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）＝0∴f（x）0得:x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x)＜0排除A，C，又f(x）中，，能排除D．故选：B．7．【2012年新课标1理科12】设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【解答】解:∵函数与函数y＝ln(2x）互为反函数，图象关于y＝x对称，函数上的点到直线y＝x的距离为，设g（x）(x＞0)，则g′(x），由g′(x）0可得x≥ln2,由g′（x）0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2)单调递减，在［ln2,+∞）单调递增，∴当x＝ln2时，函数g(x）min＝1﹣ln2，，由图象关于y＝x对称得:｜PQ｜最小值为．故选：B．8．【2011年新课标1理科09】由曲线y,直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解:联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S．故选C．9．【2010年新课标1理科03】曲线y在点（﹣1,﹣1)处的切线方程为（）A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣2【解答】解:∵y,∴y′，所以k＝y′｜x＝﹣1＝2，得切线的斜率为2，所以k＝2；所以曲线y＝f（x）在点（﹣1,﹣1)处的切线方程为：y+1＝2×（x+1），即y＝2x+1．故选:A．10．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点(0,0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝3（x2+x)e x，∴y'＝3e x（x2+3x+1)，∴当x＝0时，y'＝3,∴y＝3（x2+x)e x在点（0，0)处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．11．【2013年新课标1理科16】若函数f（x）＝(1﹣x2）(x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，则f（x）的最大值为．【解答】解：∵函数f（x）＝（1﹣x2）(x2+ax+b)的图象关于直线x＝﹣2对称，∴f（﹣1)＝f(﹣3）＝0且f（1)＝f(﹣5）＝0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b］＝0且[1﹣(﹣5)2］［（﹣5）2+a•(﹣5）+b］＝0,解之得，因此，f（x）＝(1﹣x2）（x2+8x+15）＝﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）＝﹣4x3﹣24x2﹣28x+8,令f′(x）＝0，得x1＝﹣2，x2＝﹣2,x3＝﹣2，当x∈(﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈(﹣2，﹣2）时，f′(x）＜0;当x∈(﹣2，﹣2）时，f′(x）＞0；当x∈（﹣2,+∞）时,f′(x）＜0∴f（x)在区间（﹣∞,﹣2）、（﹣2，﹣2）上是增函数，在区间（﹣2，﹣2)、(﹣2,+∞）上是减函数．又∵f(﹣2）＝f（﹣2）＝16,∴f（x）的最大值为16．故答案为:16．12．【2010年新课标1理科13】设y＝f（x）为区间［0，1］上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1,x2,…x N 和y1,y2,…y N,由此得到N个点（x i，y i）(i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i＝1,2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．13．【2019年新课标1理科20】已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1,)存在唯一极大值点；（2）f(x）有且仅有2个零点．【解答】证明:（1)f（x)的定义域为（﹣1，+∞),f′（x）＝cos x，f″（x）＝﹣sin x，令g（x）＝﹣sin x，则g′(x）＝﹣cos x0在（﹣1，）恒成立，∴f″(x)在(﹣1，）上为减函数，又∵f″（0）＝1,f″()＝﹣11+1＝0,由零点存在定理可知，函数f″（x)在(﹣1,）上存在唯一的零点x0,结合单调性可得,f′(x）在（﹣1，x0）上单调递增，在(x0，）上单调递减，可得f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2)由(1）知,当x∈(﹣1，0）时,f′（x）单调递增,f′(x）＜f′（0）＝0，f（x）单调递减；当x∈（0,x0）时，f′（x)单调递增，f′（x）＞f′（0）＝0，f（x）单调递增；由于f′（x)在(x0，）上单调递减，且f′（x0)＞0，f′()0，由零点存在定理可知，函数f′(x）在（x0，）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，当x∈(x0,x1）时，f′（x）单调递减，f′（x)＞f′（x1）＝0，f（x)单调递增；当x∈(）时，f′(x）单调递减，f′（x）＜f′（x1）＝0，f（x)单调递减．当x ∈（，π)时，cos x＜0，0，于是f′（x)＝cos x0，f（x)单调递减,其中f （）＝1﹣ln（1)＞1﹣ln (1)＝1﹣ln2。

大学高等数学历年考题

大学高等数学历年考题一、解析几何1. 设点 $P$ 在抛物线 $y = x^2$ 上移动，若直线 $y = 2x - 1$ 与切线相交于点 $M$，求直线 $PM$ 斜率的范围。

解析：设点 $P$ 的坐标为 $(t, t^2)$，则抛物线上任意点的切线斜率为 $2t$，与直线 $y = 2x - 1$ 相交，得到方程：$$t^2 = 2t - 1$$化简得：$t^2 - 2t + 1 = 0$，解得 $t = 1$。

此时，直线 $PM$ 斜率为 $2t = 2$。

因此，直线 $PM$ 斜率的范围是 $(2, +\infty)$。

2. 设两直线分别为 $L_1: ax + by = 1$ 和 $L_2: bx + cy = 1$，其中$a, b, c$ 为实数，求 $\frac{|a-c|}{a+b+c}$ 的取值范围。

解析：由直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的方程，得到：$$a = \frac{1-by}{x}, \quad c = \frac{1-bx}{y}$$将 $a$ 和 $c$ 代入 $\frac{|a-c|}{a+b+c}$，得到：$$\frac{|a-c|}{a+b+c} = \frac{\left|\frac{1-by}{x} - \frac{1-bx}{y}\right|}{\left(\frac{1-by}{x}\right) + \left(\frac{1-bx}{y}\right)+b}$$化简后，得到：$$\frac{|a-c|}{a+b+c} = \frac{|xy - (bx^2 + by^2)|}{xy(1+b)}$$根据绝对值的性质，$|xy - (bx^2 + by^2)| \leq |xy| + |bx^2 + by^2|$，则有：$$\frac{|a-c|}{a+b+c} \leq \frac{|xy| + |bx^2 + by^2|}{xy(1+b)}$$又因为 $|xy| \leq \frac{x^2+y^2}{2}$ 和 $|bx^2 + by^2| \leq|b|\frac{x^2+y^2}{2}$，所以：$$\frac{|a-c|}{a+b+c} \leq \frac{x^2+y^2 + |b|(x^2+y^2)}{2xy(1+b)}$$进一步化简，得到：$$\frac{|a-c|}{a+b+c} \leq \frac{1 + |b|}{2\sqrt{b(1+b)}}$$因此，$\frac{|a-c|}{a+b+c}$ 的取值范围是 $\left[0,\frac{1+|b|}{2\sqrt{b(1+b)}}\right]$。

高数考研真题分类

高数考研真题分类在高等数学考研中，真题分类是备考的重要环节之一。

通过对历年真题的分类整理，我们可以更好地理解题型特点和命题规律，从而有针对性地进行复习和训练。

本文将对高数考研真题进行分类，帮助考生更好地备考。

一、解析几何解析几何是高等数学中的重要分支，也是考研中经常出现的题型。

在解析几何中，可以将真题按照不同的图形进行分类，如直线、平面、圆等。

在每个图形分类下，可以进一步分为几何性质、参数方程、交点问题、切线和法线等题型。

通过分析真题，了解各个题型的考点和解题思路，对备考有很大的帮助。

二、极限与连续极限与连续是高等数学中的基础概念，也是考研中必考的内容。

在极限与连续的题型分类中，可以按照函数极限、数列极限、连续性、间断点等方面进行分类。

对于每个分类下的题型，可以进一步分析其性质、判定方法和常见的解法，以便加深对知识点的理解和掌握。

三、导数与微分导数与微分也是高等数学中的重要内容，考研中经常出现相关题型。

在导数与微分的题型分类中，可以按照函数的导数、微分中值定理、泰勒公式、利用导数进行证明等方面进行分类。

通过对真题的分类整理，可以更好地理解各个题型的特点和解题思路，提高解题的效率和准确性。

四、积分与定积分积分与定积分是高等数学中的重要内容，也是考研中常遇到的题型。

在积分与定积分的题型分类中，可以按照原函数与不定积分、定积分的计算、定积分的应用等方面进行分类。

在分析每个分类下的题型时，可以进一步总结常见的计算方法和解题技巧，以便备考时更加得心应手。

五、微分方程微分方程是高等数学中比较难理解和掌握的内容，也是考研中较为重要的题型之一。

在微分方程的题型分类中，可以按照一阶微分方程、二阶线性常系数齐次方程、二阶非齐次方程等进行分类。

对于每个分类下的题型，可以总结常见的解法和特点，以便备考时更好地应对各种复杂情况。

六、级数级数是高等数学中的重要内容，考研中也经常出现相关题型。

在级数的题型分类中，可以按照数项级数、幂级数、函数项级数等进行分类。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题12 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题12平面解析几何解答题历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 抛物线2019年新课标1理科19解答题2018 椭圆2018年新课标1理科19解答题2017 椭圆2017年新课标1理科20解答题2016 圆的方程2016年新课标1理科20解答题2015 抛物线2015年新课标1理科20解答题2014 椭圆2014年新课标1理科20解答题2013 圆的方程2013年新课标1理科20解答题2012 抛物线2012年新课标1理科20解答题2011 抛物线2011年新课标1理科20解答题2011 圆的方程2011年新课标1理科22解答题2010 椭圆2010年新课标1理科20历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科19】已知抛物线C：y2＝3的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若3，求|AB|．【解答】解：（1）设直线l的方程为y（﹣t），将其代入抛物线y2＝3得：2﹣（t+3）t2＝0，设A（1，y1），B（2，y2），则1+22t，①，12＝t2②，由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝1+2+p＝2t4，解得t，直线l的方程为y．（2）若3，则y1＝﹣3y2，∴（1﹣t）＝﹣3（2﹣t），化简得1＝﹣32+4t，③由①②③解得t＝1，1＝3，2，∴|AB|．2．【2018年新课标1理科19】设椭圆C：y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．【解答】解：（1）c1，∴F（1，0），∵l与轴垂直，∴＝1，由，解得或，∴A（1.），或（1，），∴直线AM的方程为y，y，证明：（2）当l与轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，当l与轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，当l与轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝（﹣1），≠0，A（1，y1），B（2，y2），则1，2，直线MA，MB的斜率之和为MA，MB之和为MA+MB，由y1＝1﹣，y2＝2﹣得MA+MB，将y＝（﹣1）代入y2＝1可得（22+1）2﹣42+22﹣2＝0，∴1+2，12，∴212﹣3（1+2）+4（43﹣4﹣123+83+4）＝0从而MA+MB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，∴∠OMA＝∠OMB，综上∠OMA＝∠OMB．3．【2017年新课标1理科20】已知椭圆C：1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2＝4，b2＝1，∴椭圆C的方程为1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：＝m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴1，解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y＝+t，（t≠1），A（1，y1），B（2，y2），联立，整理，得（1+42）2+8t+4t2﹣4＝0，，12，则1，又t≠1，∴t＝﹣2﹣1，此时△＝﹣64，存在，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y＝﹣2﹣1，当＝2时，y＝﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．4．【2016年新课标1理科20】设圆2+y2+2﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆2+y2+2﹣15＝0即为（+1）2+y2＝16，可得圆心A（﹣1，0），半径r＝4，由BE∥AC，可得∠C＝∠EBD，由AC＝AD，可得∠D＝∠C，即为∠D＝∠EBD，即有EB＝ED，则|EA|+|EB|＝|EA|+|ED|＝|AD|＝4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a＝4，即a＝2，c＝1，b，则点E的轨迹方程为1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：1，设直线l：＝my+1，由PQ⊥l，设PQ：y＝﹣m（﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设M（1，y1），N（2，y2），可得y1+y2，y1y2，则|MN|•|y1﹣y2|••12•，A到PQ的距离为d，|PQ|＝22，则四边形MPNQ面积为S|PQ|•|MN|••12•＝24•24，当m＝0时，S取得最小值12，又0，可得S＜24•8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．5．【2015年新课标1理科20】在直角坐标系Oy中，曲线C：y与直线l：y＝+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当＝0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当变动时，总有∠OPM＝∠OPN？（说明理由）【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y可得：y′，∴曲线C在M点处的切线斜率为，其切线方程为：y﹣a，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM＝∠OPN．M（1，y1），N（2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：1，2．联立，化为2﹣4﹣4a＝0，∴1+2＝4，12＝﹣4a．∴1+2．当b＝﹣a时，1+2＝0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM＝∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．6．【2014年新课标1理科20】已知点A（0，﹣2），椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥轴不合题意，故设直线l：y＝﹣2，设P（1，y1），Q（2，y2）将y＝﹣2代入，得（1+42）2﹣16+12＝0，当△＝16（42﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积，设，则t＞0，，当且仅当t＝2，＝±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y﹣2或y﹣2．…7．【2013年新课标1理科20】已知圆M：（+1）2+y2＝1，圆N：（﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【解答】解：（I）由圆M：（+1）2+y2＝1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（﹣1）2+y2＝9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝R+1+（3﹣R）＝4，而|NM|＝2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．∴曲线C的方程为（≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（，y），由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤3﹣1＝2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R＝2时，其半径最大，其方程为（﹣2）2+y2＝4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与轴不平行，设l与轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y＝（+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到72+8﹣8＝0．∴，．∴|AB|由于对称性可知：当时，也有|AB|．综上可知：|AB|或．8．【2012年新课标1理科20】设抛物线C：2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD，∴，解得p＝2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为2+（y﹣1）2＝8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．9．【2011年新课标1理科20】在平面直角坐标系Oy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y＝﹣3上，M 点满足∥，•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（，y），由已知得B（，﹣3），A（0，﹣1）．所（﹣，﹣1﹣y），（0，﹣3﹣y），（，﹣2）．再由题意可知（）•0，即（﹣，﹣4﹣2y）•（，﹣2）＝0．所以曲线C的方程式为y2．（Ⅱ）设P（0，y0）为曲线C：y2上一点，因为y′，所以l的斜率为0，因此直线l的方程为y﹣y00（﹣0），即0﹣2y+2y0﹣02＝0．则o点到l的距离d．又y02，所以d2，所以02＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．10．【2011年新课标1理科22】如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于的方程2﹣14+mn＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程2﹣14+mn＝0的两根为1＝2，2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为511．【2010年新课标1理科20】设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|P A|＝|PB|，求E的方程．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y＝+c，其中．设A（1，y1），B（2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）2+2a2c+a2（c2﹣b2）＝0则因为直线AB斜率为1，|AB||1﹣2|，得，故a2＝2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（0，y0），由（I）知，．由|P A|＝|PB|，得PN＝﹣1，即得c＝3，从而故椭圆E的方程为．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.【答案】（1）22113y x +=；（2）见解析. 【解析】（1）解：因为1C，所以22619b a=-，解得223a b =.①将点22⎛ ⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =，故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310kxkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程，得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+，所以AB =2313k m==+. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=u u u v u u u u v，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=，所以ON =u u u vu u u v，从而)1NM OM =. 又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N到直线l 的距离为)11m d ⋅=所以()()221126131312231NABmk S d AB m k∆+=+⋅=+⋅⋅+ 62=+，综上，NAB ∆的面积为定值62+. 2．如图，在平面直角坐标系Oy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，3-)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±-=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意；当直线l 与轴不重合时，设直线l 的方程为＝my+1，M （1，y 1），N （2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③，联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++，代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得m 5=±20y ±-=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （0，y 0），则PM•PN＝|（0﹣2）（0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴0﹣2，0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =．当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++，10200PM y ,PN y ,PF =-=-=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号，∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点．【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-，此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=，整理得12122(2)()0my y b y y +++=，即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ，而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k--=+，以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ，∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，||PQ =u u ur =≤ 当2219k k =时，即3k =±时取等号，max ||PQ =u u u r ，又||AB =u u u r，maxλ==，∴λ取得最大值时的PQ5．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值；（2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-，由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+，又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =，所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ），令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x-+'=+-=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增，所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r，过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22105x y y +=≠；. 【解析】（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+==由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()22105x y y +=≠.（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O 相切，1=，∴221m k =+，由221,5,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2221510550k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理知：()1212122210221515km mx x y y k x x m k k +=-+=++=++，. 所以PQ 中点N 的坐标为225,1515kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，所以弦PQ 的垂直平分线方程为22151515m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即 24015kmx ky k ++=+.所以MN =将m =MN =得2441155||||k MN k k k ====++…（当且仅当k =，即m =取等号）.所以三角形MON的面积为11122S OM MN =⨯⨯⨯≤，综上所述，三角形MON. 7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的斜率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程．【答案】（1）22182x y +=；（2）22y x =±+【解析】（1）由题意，可得223cac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则222=2b a c =-，故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）当l 的斜率不存在时，=2AB MN AB MN ≠=，，，不合题意，故l 的斜率存在．设l 的方程为2y kx =+，联立221822x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)1680k x kx +++＝，设1122(()A x y B x y ，)，，，则12122216k 8,14k 14kx x x x +=-=++， ()222(16)3214128320k k k ∆=-+=->即214k >，设00()N x y ，，则12028214x x kx k+==-+，120||||,0AB MN x =-=-Q则0x =，即28||14k k =+ 整理得21124k =>．故k =，l 的方程为22y x =±+．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b+=，又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r. ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-u u u u r ，(2,3)QN m =--u u u r，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--u u u u r，(4,0)QN m =-u u u r，由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ，解得114m =-或114m =.由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630kxk x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-•-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫•=-•-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立. 9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.【答案】（1）240x y +-=（2）见证明【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.(2)设(4,)M t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y+=，因为(4,)M t 在两条切线上，114143x y t ⨯∴+=，224143x y t⨯+=，所以A ，B 两点均在直线4143x yt +=上，即直线AB 的方程为13tyx +=，当0t ≠时，3AB k t=-，又(1,0)F ，0413MFt t k -==-，313AB MF t k k t ⋅=-⨯=-，所以MF AB ⊥，若0t =，点(4,0)M 在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意，当P 在上或下顶点时，12PF F ∆的面积取值最大值，即最大值为bc = 又12c a =，且222a c b =+，解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）易知()11,0F -，设直线l 的方程为1x my =-，()()()11220,,,,,0A x y B x y Q x ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(34)690m y my +--=，则122634my y m +=+，122934y y m =-+， ()()()()10120200212,,y QA QB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u r()212001212x x x x x x y y =+-++，∵111x my =-，221x my =-，∴()()()2212121212215111134m x x my my m y y m y y m =--=+-+=-+，()()()212122226112234m x x my my m y y m +=-+-=+-=-+， ∴222000222156912343434m m QA QB x x x m m m ⋅=-+-+-+++u u u r u u u r 2202281253434m x x m m +=+-++()222000231248534x m x x m -++-=+，要使QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值，则2200031248534x x x -+-=，解得0118x =-，所以在x 轴上存在点11,08Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值． 11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】(1) 24y x = (2)见解析【解析】（1）设(,)P x y ，则(1,)Q y -，QP QF FP FQ •=•u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y ∴+•-=-•-，即22(1)2(1)x x y +=--+，即24y x =，所以动点P 的轨迹的方程24y x =.（2）联立方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440ky y b -+=，依题意，0k ≠，且124y y k+=，124b y y k =，由12y y a -=得()2212124y y y y a +-=，即221616b a k k-=，整理得：221616kb a k -=，所以2216(1)a k kb =-，① 因为AB 的中点222,bk M k k -⎛⎫⎪⎝⎭，所以点212,D k k ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意， 122111||22BD bkS DM y y a k ∆∆-=-=，由方程2440ky y b -+=中的判别式16160kb ∆=->，得10kb ->，所以2112ABD bkS a k∆-=••，由①知22116a k kb -=，所以23121632MBDa a S a ∆=••=，又a 为常数，故ABD S ∆的面积为定值. 12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．【答案】(1) 24x y = (2)4 【解析】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+，点P 到准线的距离为22p d p =+，∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =，∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，；设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-，又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=，即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ；（2）证明存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】（1）因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Q y x x y x ⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩，则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P -，易得2()2a d P PF =-=，不妨设()1,P P y -，0P y >，直线:1PF x my =+，则2P my =-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my --=，2Q y m ==+2()||2P P Q y d P PF y m -=-=+2=-=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++222131344242y y y y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =++++因为()222213134416y y y y ⎡⎤++-++⎣⎦22131224428y y y y =++-，又因()()()()2222213131313444480yy y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积.【答案】(1)2(2) 2ABC S b ∆=【解析】解：（1）根据题意可知2p =所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ，准线为1y =-；记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ，故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=，等号成立当且仅当PE 垂直于准线，故||||PE PF +的最小值为2 （2）设()11,A x y ，()22,B x y由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：y kx b =+ 将y kx b =+与24x y =联立得2440x kx b --=，由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-，由()0,2M 到直线l的距离为12d ==得：2244b b k -=，又||AB ==点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆=== 15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：=12的距离与到点F （102，）的距离相等．（1）求曲线C 的方程；（2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为1，直线BQ 的斜率为2，直线AB 的斜率为，证明：22212112k k k +-为定值．【答案】（1）y 2=2；（2）见解析【解析】（1）由条件可知，此曲线是焦点为F 的抛物线，p 122=，p=1． ∴抛物线的方程为y 2=2；（2）根据已知，设直线AB 的方程为y=（1）（≠0），由()2y k x 1y 2x ⎧=-⎨=⎩，可得y 22y2=0．设A （211y y 2，），B （222y y 2，），则122y y k +=，y 1y 2=2． ∵1112211y 2y k y y 212==++，2222222y 2y k y y 212==++． ∴22221222221212(y 2)(y 2)11k k 4y 4y +++=+=22222212212212(y 2)y (y 2)y 4y y +++ =()42422222122112122212y y y y 8y y 4y y 4y y ++++=()2221212128y y 32(y y )2y y 4162+++-+= =22482k 42k+=+．∴222121124k k k +-=．。

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多元微分学1. 设),()(x yf y x z -=其中)(u f 有连续的一阶导函数，求yz yxz x∂∂+∂∂.(02级《数分》期末（A 卷）) 2. 设),(22y x xyf z +=其中)(u f 有连续的二阶导函数，求xz ∂∂和.2yx z ∂∂∂(02级《高数》期末（A 卷）)3.设0ln 2=-+⎰-dt ez z x yt，求.dz （01级《高数》期末（A 卷）） 4.设k y x x x y x f ,cos )1(ln ),(+-=是任意整数.试判别点)2,1(πk 和点))12(,(2π--k e是否为),(y x f 的极值点. （02级《高数》期末（A 卷））5．求由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周所得的旋转曲面在点)2,3,0(0P 处的指向外侧的单位法向量. (01级《高数》期中（A 卷）)6.已知曲面22:y x z +=∑上),,(0000z y x P 点处的切平面与直线⎩⎨⎧=++=-+Γ02123:z y x z y x 垂直，求0P 点的坐标及曲面∑在0P 点的切平面方程.（02级《高数》期末（A 卷））7..求曲面x y z =在)4,2,2(点处的切平面方程. (02级《高数》期中卷) 8.设),(y x z z =是由方程z x e xyz +=确定的隐函数，求.xz ∂∂(02级《高数》期中卷)9.设),(v u ϕ有连续的一阶偏导数，且,1)1,2()1,2(='='v uϕϕ又设),(),(y x xy y x f z -==ϕ求),(y x f 在)1,2(点处沿从)1,2(到)0,0(方向的方向导数. (02级《高数》期中卷) 10.试在椭圆面)0,0,0(1:222222≥≥≥=++∑z y x cz by ax 上找一点),,(0000z y x P ，使x y zz y x f =),,(在0P 点取得最大值，并求函数),,(z y x f 在0P 点的梯度向量与∑在点0P 的法向量. (02级《高数》期中卷)重积分1. 计算积分⎰⎰+1310.1ydx x dy （02级《高数》期末（A 卷）） 2. 利用二重积分计算由平面1,0,0,0=+===y x z y x 及yx y x f z -==),(所围空间几何体Ω的体积.（02级《高数》期中卷））3. 设Ω是由曲面22y x z +=与平面1=z 围成的实心体，其质量分布是均匀的，求Ω的体积V 和质心坐标),,(z y x . （02级《高数》期末（A 卷）） 4. 计算,)2(⎰⎰⎰Ω++=d x d y d z z y x I ，其中积分区域Ω由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成. （02级《高数》期中卷）5. 设Ω是由曲面22yxz +=和曲面2211y x z --+=围成的密度为1的均匀几何体.试计算Ω关于z 轴的转动惯量. （02级《高数》期中卷） 6. 设⎰⎰⎰≤+++++=2222)1ln()(222tz y x dxdydzz yxt g ，其中.0>t 试求极限.)(lim 4tt g t +→ (02级《高数》期中卷)曲线积分与曲面积分1. 计算第一类曲面积分⎰⎰∑+=dSy xI )(22，其中∑为球面2222.R z y x =++（02级《高数》期末（A 卷））2. 设曲线积分dyy kx ydx x xyI q Lp)4()34(243-++=⎰与路径L 无关，求常数kq p 、、的值. （02级《高数》期末（A 卷））3. 已知dy y xx dx yxy y x x ))(()32)((2232++++μμ是某二元函数的全微分，其中)(x μ有连续的一阶导数且1)0(=μ，求)(x μ的表达式.(02级《数分》期末（A 卷）)4. 设22ln),,(yxz z y x f u ++==，求gradu 并验证.0)(=gradu div（02级《高数》期末（A 卷））5.设S 是锥面22yxz +=包含在圆柱面x y x 222=+内部的部分，其上任一点的面密度为z y x )(22+，求曲面S 的质量. （00级《高数》期末（A 卷）） 6.计算dyye x dx y xI yL)3()2(2++-=⎰，其中L 是由直线22=+y x 上从)0,2(A 到)1,0(B 上的一段及圆弧21y x --=上从)1,0(B 到)0,1(-C 的一段连接而成的有向曲线. （00级《高数》期末（A 卷））7.计算第二类曲面积分,)3()2()1(333⎰⎰∑+++++dxdy z dzdx y dydz x 其中∑为半球面221y x z --=，积分沿∑的上侧. （02级《高数》期末（A 卷）） 8.计算y z d x d yd z d x y x d y d z y I S4)1(2)18(2--++=⎰⎰，其中S 是由曲线⎩⎨⎧≤≤=-=)31(01y x y z 绕y 轴旋转一周所生成的曲面，它的法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π（99级《高数》期末（B 卷）） 9.已知函数)(x f 具有连续的导数，曲线积分⎰-+=Ldy x f ydx x f xI )()](11[与路径无关，且21)1(=f ，试求).(x f （99级《高数》期末（B 卷））10.设函数)(x f 在),(+∞-∞内具有一阶连续偏导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，终点为).,(d c 记,]1)([)](1[1222dy xy f y yx dx xy f y yI L-++=⎰（1）证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当cd ab =时，求I 的值. (02年《考研》（卷一）)11．计算曲面积分⎰⎰+++Szyxdxdy z xdydz 2222，其中S 是由曲面222R y x =+及两平面)0(,>-==R R z R z 所围成立体表面的外侧. （94年《考研》（卷一））12．设+C 是闭区域{}1),(22≤+=y x y x D 的正向边界曲线，求证：.2cos cos π≥-⎰+-Cxydx yedy xe（02级《高数》期末（A 卷））13. 设有曲线积分⎰++-=Lyxxdyydx I 224，试在以下两种情况下求积分I 的值：（1）L 为椭圆2224a y x =+的逆时针方向，其中a 为任意正实数；（2）L 为圆2)1(22=+-y x 的逆时针方向. （02级《高数》期末（B 卷））级数1．试判别数项级数nn n n πsin)1(1∑∞=-+的敛散性. （02级《高数》期末（A 卷））2．试判别数项级数]3)!1(1)1([1nn nn n +++-∑∞=的敛散性. (00级《高数》期末（A 卷）） 3．求幂级数nn nx nn )1(ln )1(1-+-∑∞=的收敛半径及收敛区间，并研究其在收敛区间端点处的敛散性. （02级《高数》期末（A 卷）） 4．将)2ln()(2x x x f -=展成x 的幂级数，并求)0()5(f的值.（02级《高数》期末（A 卷））5．求幂级数∑∞=+02!)12(n nn xn 的收敛域及和函数. (02级《数分》期末（A 卷）)6．求幂级数∑∞=--1212)12(2n nn n x 的收敛半径及和函数. （02级《高数》期末（B 卷））7．设,,2,1,0,cos sin40==⎰n dx x x I nn π求.0∑∞=n n I （01级《高数》期末（B 卷））8．求级数∑∞=+--122)1()1(n nn n n的和. （93年《考研》（卷一））9．将函数xx x f 2121arctan)(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.（03年《考研》（卷一））10. 设)(x f 是以π2为周期的函数.当],(ππ-∈x 时.2)(2x x x f -=已知)(x f 的Fourier级数展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，记其和函数为)(x S ，求)(),2(πS S 和)23(πS 的值，并证明:.,3,2,1, ==n nb a n n(02级《数分》期末（A 卷）)11.设)(x f 是以π2为周期的函数.当],(ππ-∈x 时.2)(2x x x f +=已知)(x f 的Fourier级数展开式为∑∞=++10)s i n c o s (2n n nnx b nx aa ，求2b 的值及和数.)1(210∑∞=-+n n na a（02级《高数》期末（A 卷））12.设.tan40dx x a nn ⎰=π（1）求∑∞=++12)(1n n n a a n的值；（2）试证：对任意常数0>λ，级数∑∞=1n n na λ收敛. (01级《高数》期末（B 卷）)13.设),2,1)(1(21,211 =+==+n a a a a nn n ，证明：（1） n n a ∞→lim 存在；（2）级数)1(11-∑∞=+n n n a a 收敛. （97年《考研》（卷一）14.设)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数，且0)(lim 0=→xx f x ，证明级数)1(1∑∞=n nf 绝对收敛. （94年《考研》（卷一））15.设有方程01=-+nx x n ，其中n 为正整数.证明此方程存在唯一正实根n x ,并证明当1>α时,级数∑∞=1n nx α收敛. （04年《考研》（卷一）答案多元微分学： 1..)()(z xy f y x yz yxz x=-=∂∂+∂∂ 2.);(2)(22222y x f y x y xyf xz +'++=∂∂)(4)()(2)(22222222222y x f y x y x f y xy xf yx z +''++'+++=∂∂∂3..1122dy z zedx z zedz yx+-++=--4. 点)2,1(πk 和点))12(,(2π--k e 均是),(y x f 的驻点. 点)2,1(πk 是极小值点；点))12(,(2π--k e 不是极值点.5.{}3,2,0516..524=--z y x 7. .042ln 84)2ln 4(=---+z y x8.zx zx exy yzexz ++--=∂∂(或))1()1(z x x z xz --=∂∂ 9..5-=∂∂lf10.),,(z y x f 在)3,3,3(0c b a P 点取得最大值，.33)(0abc P f =,3,3,3)(0⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ab ac bc P gradf 在点0P 的法向量.32,32,32⎭⎬⎫⎩⎨⎧=c ban 重积分 1.)122(921231-=+=⎰⎰dy x dx Ix.2. .61=-=⎰⎰Ddxdy y x V D 为直线0,0==y x 及1=+y x 围成的三角形区域.3．.32,0,2====z y x V π4..61)2(10101=++=⎰⎰⎰---yx xdz z y x dy dx I5..3011sin sin )(cos 2022242022πϕϕϕθϕππ=⋅=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdr r r d d dxdydz y xJ z6. dr r r dr r r d d t g tt2222020)1ln(4sin )1ln()(⋅+=⋅+=⎰⎰⎰⎰πϕϕθππ)1ln(4)(22t tt g +='π, .)(lim4π=+→tt g t曲线积分与曲面积分1..384R π 2.6,2,3-===k q p . 3. .)(x e x =μ4..1,,2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=y x y y x xgradu 5.275512)(22=+=⎰⎰SzdS y xM6..452π+7..521π 8. .34π 9．.12)(xx x f +-=10.(1);)](1[1)(1)(]1)([2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∂∂='+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∂∂xy f y y y xy f xy y xy f xy f y y x x （2）.ba dc I -=11. .212R π (注意：本题不能用Gauss 将其化为三重积分计算)12. 证由Green 公式 dxdyeeI Dxy)(cos cos ⎰⎰+=-,再由区域D 的对称性（关于直线xy =）， .22)1()(cos cos cos cos π=≥+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-DxDxDxxdxdy dxdy eedxd eeI13．(1) π==+-=⎰⎰⎰≤+224221)(1ay x Ldxdyaxdy ydx aI .a) 取a 充分小，使椭圆2224:a y x L a =+位于圆周2)1(:22=+-y x L 的内部，以Ω表示介于L 与a L 之间的平面有界闭区域，由Green 公式，⎰⎰⎰+Ω∂++-=++--++-222222444yxxdyydx y xxdyydx y xxdyydx aL L0)])4()4([2222=+-∂∂-+∂∂=⎰⎰Ωdxdy y xyy yxxx ，.422π=++-∴⎰Lyxxdyydx级数1．,21lim,023π=≥∞→n a a n n n ∑∞=∴1n na 收敛.2. 由∑∞=+-11)1(n nn 收敛，∑∞=+13)!1(n nn 发散，故原级数发散.3. 收敛半径1=R ；收敛区间为)2,0(；0=x 时级数发散，2=x 时级数收敛.4.)]21ln(2[ln )(2x x x f -+=nn n x nxx)2()1()2(ln 1122--+=∑∞=-∑∞=+⋅-=1222)2(ln n nn n xx).22(<≤-x.5)0(241!5)0()5()5(-=⇒-=ff5. 收敛域为),(+∞-∞；和函数).21()(22x e x S x += 6. 收敛半径,2=R 和函数.22ln41)(xx x S -+=7．;)21(111++=n n n I)22ln(0+=∑∞=n n I 8.27229．).21,21(,124)1(24)(012-∈+--=∑∞=+x xn x f n n nn π4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n10．;0)2()2(==f S ;4)2()2()23(2πππππ--=-=-=f S S.)]0()0([21)(2ππππ-=-++-=f f S证 ⎰--=πππnxdx x x a n cos )2(12⎰--=πππnxdx xcos 12⎰⎰--=-=ππππππnxdx x nxdx x x b n sin 21sin )2(12.1n n b na =∴⎰⎰----=--=ππππππππnxdxx n nxdxx nnxnxsin 21)sin 2sin (1211． ;12sin )2(122-=+=⎰-πππxdx xx b.2)()1(2210ππ==-+∑∞=S a a n n n12．(1),112+=++n a a n n1)(121=++∞=∑n n n a a n(2),1111,02+≤⇒+=+≥+n a n a a a n n n n 于是11)1(1+≤+≤λλλnn n na n ，收敛。