等腰三角形的存在性问题
专题04 等腰三角形存在性问题-2021年中考数学二轮复习之重难点专题(解析版)
等腰三角形存在性问题例1：如图所示，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为（3，4），点P是轴正半轴上的一动点，如果是等腰三角形，求点P的坐标？【解答】、【解析】方法一、几何法①当时，以D为圆心，DO为半径画圆，与轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，此时，如图1所示；②当时，以O为圆心，OD为半径画圆，与轴的正半轴交于点，如图2所示；③当时，画OD的垂直平分线与轴的正半轴交于点P，设垂足为点E，如图3所示，；方法二：代数法设，由题意可得，①当时，，解得，当时，既不满足点P在轴的正半轴②当时，，解得，如图4所示，当P 不在轴的正半轴上，故舍去；③当时，，解得.总结：几何法只要图画的够好，就能快速找到目标，代数法不需要画图，但有时计算量会比较大，而且算出来的结果还要进行检验，这类存在性的问题，要能够把几何法与代数法相结合，才能使得解题又快又准。
例2：如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点B ，其对称轴与轴交于点D .（1）求该二次函数的解析式；（2）连接BC ，在线段BC 上是否存在点EE 的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】（1）；（2），【解析】（1）二次函数的图像与两点，，解得，二次函数的解析式为；（2）假设在线段BC上存在点E由二次函数的解析式可得对称轴为，，，由二次函数解析式可得，设BC的解析式为，将B、C两点坐标代入得，解得，BC的解析式为，设，①当时，即，解得（舍），当时，，；时，即，解得，当时，，③当时，即，解得（舍），当时，，巩固练习1.如图所示，在矩形ABCD 中，，动点P 以2个单位/秒的速度从A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动，在P 、Q 两点移动过程中，则.【解答】或，，①如图1时，有，解得；②如图2，当时，过点QM，则，，解得；③如图3，当时，过点PN，，解得，图3图2图1综上，当或.2.如图，直线与轴交于点A ，与轴交于点B ，点P 是轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB 垂直，交轴于点Q是等腰三角形时，点P 的坐标为 .【解答】 或【解析】由，，，设，则，①当时，即，解得或，此时符合条件的点P 不存在； ②当时，即，解得，点P 是轴正半轴上的一个动点，；③当时，即，解得点P 是轴正半轴上的一个动点，，综上， 或.3.如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于A 、B 两点，与轴交于点C ，直线经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A 、D.（1）求抛物线的函数表达式，并求出点B 、点E 的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点FF 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是轴负半轴上的一个动点，设其坐标为，直线PB 与直线交于点Q ，试探究：当m是等腰三角形.【解答】（1）抛物线解析式：，，；（2）；（3）或.【解析】抛物线，，解得，抛物线的解析式为，，该抛物线的对称轴为，又抛物线与轴交于A、B，，设直线的解析式为，经过，，直线的解析式为又点E为抛物线与直线的交点，；（2）假设抛物线上存在点F，此时点F的纵坐标为，解得，或；（3）①当时，过点E作直线交轴于点M，交轴于点H，如图所示：，又，设直线ME的解析式为，直线ME的解析式为，令得，解得，，，即，解得；②当时，如图所示：当时，，，，，设直线CE 交轴于点N ，解析式为，解得，直线CE解析式为，令得，解得，，解得综上，当或是等腰三角形.。
等腰三角形的存在性问题
等腰三角形的存在性问题解题策略如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．例题精讲1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 在坐标为(3，4)，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标．解析．因为D （3，4），所以OD ＝5，3cos 5DOP ∠=． ①如图1，当PD ＝PO 时，作PE ⊥OD 于E ． 在Rt △OPE 中，3cos 5OE DOP OP ∠==，52OE =，所以256OO =．此时点P 的坐标为25(,0)6． ②如图2，当OP ＝OD ＝5时，点P 的坐标为(5，0)．③如图3，当DO ＝DP 时，点D 在OP 的垂直平分线上，此时点P 的坐标为(6，0)．2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 以2个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P 、Q 两点移动过程中，当△PQC 为等腰三角形时，求t 的值．解析．在Rt △ABC 中，10862222=+=+=BC AB AC .因此4cos 5ACB ∠=. 在△PQC 中，CQ ＝t ，CP ＝10－2t .①如图1，当CP CQ =时，102t t =-，解得103t =(秒). ②如图2，当QP QC =时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM ＝152PC t ==-. 在Rt △QMC 中，45cos 5CM t QCM CQ t -∠===，解得259t =(秒). ③如图3，当PC PQ =时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则CN ＝1122QC t ==. 在Rt △PNC 中，142cos 5102tCNPCN CP t∠===-，解得8021t =(秒). 综上所述，当t 为秒秒、秒、2180925310时，△PQC 为等腰三角形.3．如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，直线PQ 与直线AB 垂直，交y 轴于点Q ，如果△APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标．解析．由y ＝2x ＋2得，A (－1，0)，B (0，2)．所以OA ＝1，OB ＝2． 如图，由△AOB ∽△QOP 得，OP ∶OQ ＝OB ∶OA ＝2∶1． 设点Q 的坐标为(0，m )，那么点P 的坐标为(2m ，0)．因此AP 2＝(2m ＋1)2，AQ 2＝m 2＋1，PQ 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2．①当AP ＝AQ 时，AP 2＝AQ 2，解方程(2m ＋1)2＝m 2＋1，得0m =或43m =-．所以符合条件的点P 不存在． ②当PA ＝PQ 时，PA 2＝PQ 2，解方程(2m ＋1)2＝5m 2，得25m =±．所以(425,0)P +．③当QA ＝QP 时，QA 2＝QP 2，解方程m 2＋1＝5m 2，得12m =±．所以(1,0)P ． 4．如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析．（1）如图，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ． 在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =所以点B 的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得3a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)y x x x x =--=-+．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-．5．如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ． （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2 解析．（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图1）．②当PA＝PD时，24m+244(2)m=+-．解得43m=（如图2）或4m=（不合题意，舍去）．③当DA＝DP时，2(4)m-244(2)m=+-．解得23m=（如图3）或2m=（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图1，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以12PC MBCM BA==．因此12PC=，32m=．②如图2，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此42m m-=．解得43m=．（3）点H所经过的路径长为54π．思路是这样的：如图4，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？解析．(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EBCE BF=，即8m x x y -=． 整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图1，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况． 因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ． 将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图2）； 将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图3）．第6题图1 第6题图2 第6题图37．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，DE ＝4．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF //AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），联结DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；（2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．解析．（1）4BE t =+，5(4)8EF t =+．（2）△DEF 中，∠DEF ＝∠C 是确定的．①如图1，当DE ＝DF 时，DE EFAB BC =，即5(4)481016t +=．解得15625t =． ②如图2，当ED ＝EF 时，54(4)8t =+．解得125t =．③如图3，当FD ＝FE 时，FE AC DE BC=，即5(4)108416t +=．解得0t =，即D 与B 重合．第7题图1 第7题图2 第7题图3（3）MN 是△FDE 的中位线，MN //DE ，MN ＝2，MN 扫过的形状是平行四边形． 如图4，运动结束，N 在AC 的中点，N 到BC 的距离为3； 如图5，运动开始，D 与B 重合，M 到BC 的距离为34．所以平行四边形的高为39344-=，面积为99242⨯=．第7题图4 第7题图58．如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB ＝3，BC ＝32，直线y ＝323-x 经过点C ，交y 轴于点G ．（1）点C 、D 的坐标分别是C （ ），D （ ）；（2）求顶点在直线y ＝323-x 上且经过点C 、D 的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y ＝323-x 平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，顶点为点E （顶点在y 轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG 为等腰三角形？ 若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．解析．（1）(4,23)C ，(1,23)D ．（2）顶点E 在AB 的垂直平分线上，横坐标为52，代入直线y ＝323-x ，得3y =．设抛物线的解析式为253()2y a x =-+，代入点(4,23)C ，可得23a =．所以物线的解析式为22353()2y x =-+．（3）由顶点E 在直线y ＝323-x 上， 可知点G 的坐标为(0,23)-，直线与y 轴正半轴的夹角为30°， 即∠EGF ＝30°．设点E 的坐标为(,323)m m -，那么EG ＝2m ，平移后的抛物线为223()323y x m m =-+-．所以点F 的坐标为223(0,323)m m +-．①如图1，当GE ＝GF 时，y F －y G ＝GE ＝2m ，所以22332m m m +=．解得m ＝0或332-．m ＝0时顶点E 在y 轴上，不符合题意．此时抛物线的解析式为223373(3)32y x =-++-．②如图2，当EF ＝EG 时，FG ＝23E x ，所以2233233m m m +=．解得m ＝0或32．此时抛物线的解析式为22333()322y x =--．③当顶点E 在y 轴右侧时，∠FEG 为钝角，因此不存在FE ＝FG 的情况．第8题图1 第8题图29．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设BD 的长为x ，CE 的长为y ．（1）当D 为BC 的中点时，求CE 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）如果△ADE 为等腰三角形，求x 的值．备用图 备用图解析．（1）当D 为BC 的中点时，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，CE 83=． （2）如图1，由于∠ADC ＝∠ADE ＋∠1，∠ADC ＝∠B ＋∠2，∠ADE ＝∠B ， 所以∠1＝∠2．又因为AB ＝AC ，所以∠C ＝∠B ．所以△DCE ∽△ABD ．因此DC CEAB BD=，即86x y x -=． 整理，得21463y x x =-+．x 的取值范围是0≤x ≤8．（3）①如图1，当DA ＝DE 时，△DCE ≌△ABD ．因此DC ＝AB ，8－x ＝6．解得x ＝2． ②如图2，当AD ＝AE 时，D 与B 重合，E 与C 重合，此时x ＝0．③如图3，当EA ＝ED 时，∠DAE ＝∠ADE ＝∠B ＝∠C ，所以△DAC ∽△ABC ．因此8668x -=．解得72x =．第9题图1 第9题图2 第9题图3。
专题3 等腰三角形的存在性问题
专题3 等腰三角形的存在性问题（一）考点分析“两圆一线”模型已知线段AB ，在平面内找一点C ，使△ABC 为等腰三角形.（1） AB =AC 时，以A 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （2） BA =BC 时，以B 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （3） CA =CB 时，作AB 的垂直平分线，此直线上所有的点均满足条件.“两圆一中垂”上所有的点C 均满足△ABC 为等腰三角形，即满足“等腰”条件的点C 有无数个.因此，题目会对点C 再加上另外一个限定条件——例如还限定点C 在坐标轴上或抛物线上，这样，点C 的个数就只有几个.（二）典型例题例：已知点A (2,1),B (6,4)，若在x 轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，求满足条件的点C 的坐标. 解法1：“两圆一线”模型 由题可知：AB =5（1）如图，AB =AC 时，由勾股定理可得：DC 1=DC 2=2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2）如图， BA =BC 时，由勾股定理可得：EC 3=EC 4=3，则C 3(3,0)，C 4(9,0)（3）如图，CA =CB 时，设FC 5=x ，则HC 5=4−x ，由AC 5=BC 5得：x 2+1=(4−x)2+42图(3)图(2)图(1)图(3)图(2)图(1)解得：x =318，则C 5(478,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(478,0)如果学生掌握了中点公式和两条垂直直线k 的关系，第（3）种情况CA =CB 也可以通过代数方法解决，具体过程如下：由A (2,1),B (6,4)可知：M (4,52),k AB =34，则k MC 5=−43 ∴直线MC 5的解析式为y =−43x +476，则C 5(478,0)解法2：两点间距离公式——暴力解法设点C (x ,0)，则AB 2=(2−6)2+(1−4)2=25，AC 2=(2−x)2+(1−0)2=x 2−4x +5，BC 2=(6−x)2+(4−0)2=x 2−12x +52（1） AB =AC 时，25=x 2−4x +5解得：x 1=2−2√6,x 2=2+2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2） BA =BC 时，25=x 2−12x +52 解得：x 1=3,x 2=9，则C 3(3,0)，C 4(9,0) （3） CA =CB 时，x 2−4x +5=x 2−12x +52 解得：x =478，则C 5(478,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(478,0)小结：利用两点间距离公式解题的基本思路是：列点、列线、列式.① 列点：列出构建所求等腰三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标； ② 列线：列出构建所求等腰三角形的三条边，并用两点间距离公式表示其长度； ③ 列式：采用分类讨论思想，列出三组方程并求解.（三）巩固强化1. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,−3)，顶点为D ．(1)求此抛物线的解析式；(2)求此抛物线顶点D 的坐标和对称轴；(3)探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．2. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与直线y =x +1相交于A(−1,0)，B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0)． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上的一个动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作直线PD ⊥x 轴，交直线AB 于点E ．是否存在点P 使△BEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学培优：等腰三角形存在性问题
中考数学培优：等腰三角形存在性问题【例题讲解】例题1.如图，直线l 1、12相交于点A ,点B 是直线外一点,在直线l 1、12上找一点C ，使△ABC 为一个等腰三角形.满足条件的点C 有个.【提示】①以B 为圆心,线段BA 长为半径作圆,与l 1、12交点即为满足条件点C ；②以A 为圆心,线段BA 长为半径作圆，与l 1、12交点即为满足条件点C ；③作线段AB 的垂直平分线，与l 1、12交点即为满足条件点C.(此方法简称为“两圆一线”)【巩固训练】1、一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,在坐标轴上取一点C ,使△ABC 为等腰三角形,则这样的点C 最多有个。
2、已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6,在△ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.6条B.7条C.8条D.9条例题2.一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，在y 轴上取一点C ,使得AC =BC ,求出C 点坐标？【代数法、几何法均可解】解：如图所示,直线AB 的解析式为y =43x +4,当y =0时,x =－3,则A (－3.0);当x =0时,y =4,则B (0,4)。
设C 点坐标为(x .0),在Rt △AOB 中,由勾股定理得5==,在Rt △BOC 中,由勾股定理得BC =。
①当以AB 为底时,AC =BC ,则3+x 整理得6x =7,解得x =76,则(76,0);②当以BC 为底时,可得AC =AB ,则35x --=,解得x =2或－8,则C (2,0)或(－8,0);③当以AC 为底时,可得AB =BC ,整理得x 2=9,解得x =±3,则C (3,0)或(－3,0)(舍去)。
综上所述,满足条件的点C 的坐标是(76,0)或(2,0)或(3,0)或(－8,0)例题3.如图,直线x =－4与x 轴交于点E ,一开口向上的抛物线过原点交线段OE 于点A ,交直线x =－4于点B ,过B 且平行于x 轴的直线与抛物线交于点C ,直线OC 交直线AB 于D ,且AD :BD =1：3.(1)求点A 的坐标；(2)若△OBC 是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.解:(1)如图过点D 作DF ⊥x 轴于点F .由题意可知OF =AF 则2AF +AE =4①∵DF ∥BE ,∴△ADF ∽△ABE ,∴12AF AD AE AB ==,即AE =2AF ②①与②联立解得AE =2,AF =1.∴点A 的坐标为(－2,0);(2)∵抛物线过原点(0,0),∴可设此抛物线的解析式为y =ax 2+bx∵抛物线过原点(0,0)和A 点(－2,0),∴对称轴为直线x ＝202-+＝－1∵B 、C 两点关于直线x =－1对称B 点横坐标为－4,∴C 点横坐标为2,∴BC ＝2－(－2)＝6∵抛物线开口向上,∴∠OAB >90°,OB >AB =OC .∴当△OBC 是等腰三角形时分两种情况讨论:①当OB =BC 时设B (－4,y 1),则16+y 12=36解得y 1=±(负值舍去).将A (－2,0),B (－4,)代入y =ax 2+bx得420164a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得5452a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴此抛物线的解析式为yx 2x ②当OC =BC 时设C (2,y 2),则4+y 22=36解得y 2=±负值舍去)将A (－2,0),C(2,代入y =ax 2+bx ,得42042a b a b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴此抛物线的解析式为y =22x 2x 例题4.如图甲,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =4cm,BC =3cm.如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,它们的速度均为1cm /s .连接PQ ,设运动时间为t (s )(0<t <4),解答下列问题：(1)设△APQ 的面积为S ,请写出S 关于t 的函数表达式？(2)如图乙,连接PC ,将△POC 沿QC 翻折,得到四边形PQP 'C ,当四边形PQP 'C 为菱形时,求t 的值；(3)当t 为何值时,△APQ 是等腰三角形？解:(1)如图1,过点P 作PH ⊥AC 于H ,∵∠C =90°,∴AC ⊥BC ,∴PH ∥BC ,∴△APH ∽△ABC ,∴PH AP BC AB =,∵AC =4cm ,BC =3cm ,∴AB =5cm ∴535PH t -=,∴PH ＝3－35t ，∴△AQP 的面积为:S =12×AQ ×PH =12×t ×(3－35t )=23518()1025t --+∴当t 为52秒时,S 最大值为185cm 2.(2)如图2,连接PP ',PP '交QC 于E ,当四边形PQP 'C 为菱开时,PE 垂直平分QC ,即PE ⊥AC ,QE =EC ,∴△APE ∽△ABC ,∴AE AP AC AB =,∴AE =(5)44455AP AC t t AB ⋅-⨯==-+∴QE =AE －AQ =45t -+4－t =95t -+4，QE =12QC =12(4－t )=12-t +2∴95t -+4＝12-t +2，∴解得:t ＝2013，∵0＜2013＜4.∴当四边形PQP 'C 为菱形时,t 值是2013秒;(3)由(1)知,PD =335t -+,与(2)同理得:QD =AD －AQ =945t -+∴PQ ==在△APQ 中,①当AQ =AP ,即=5－t 时,解得:t 1=52，②当PQ =AQ ,t 时,解得:t 2=2513,t 3=5.③当PQ =AP－t 时,解得:t 4=0,t 5=4013∵0<t<4,∴t 3=5,t 4=0不合题意,舍去,∴当t 为52s 或2513s 或4013s 时,△APQ 是等腰三角形.例题5.已知,如图,在Rt △ABC 中,AC =6,AB =8,D 为边AB 上一点,连接CD ,过点D 作DE ⊥DC 交BC 与E ,把△BDE 沿DE 翻折得△DE B 1,连接B 1C(1)证明:∠ADC =∠B 1DC ；(2)当B 1E /∥AC 时,求折痕DE 的长；(3)当△B 1CD 为等腰三角形时,求AD 的长.解:(1)证明由折叠的性质得:∠BDE =∠B 1DE ,∵DE ⊥DC ,∴∠ADC =180°－90°－∠BDE =90°－∠BDE ,∠B 1DC =90°－∠B 1DE ，∴∠ADC =∠B 1DC(2)解延长B 1E 交AB 于F .∵B 1E ∥AC ,∠A =90°,∴B 1F ⊥AB ,∴∠EB 1D +∠BDB 1=90°.∵∠B =∠EB 1D ,∴∠B +∠BDB 1=90°,∴∠BGD =90°,在△BDC 和△B 1FD 中,111B EB D BGD B FD BD DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDG ≌△B 1FD .∴DF =DG ,在△ADC 和△GDC 中,90ADC CDG A DGC DC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ,∴△ADC ≌△GDC ,∴DG =AD .∴DF =AD =DG ,设DF =AD =DG =x ,∴BF ＝8－2x ,∵EF ∥AC ,∴△BFE ∽△BAC ,∴EF BF AC AB =,∴EF ＝1232x -，∵△EFD ∽△ACD ,∴DF EF AC AD=,∴12326x x x -=，解得:x =3,∴BF =3,EF ＝32，∴DE.(3)解设AD =x ,则CD,BD =8－x ，∵△B 1CD 是等腰三角形,①当B 1D =B 1C 时则∠B 1DC =∠B 1CD ,∴DB 1=BD =8－x ,如图2过B 1作B 1F ⊥CD ,则DF =CF =12CD=2,∵∠ADC =∠B 1DC ,∠B 1FD =∠A =90°,∴△CDA ∽△B 1DC ,∴1B D DF CD AD =,2x =，∴3x 2－16x +36=0,此方程无实数根.∴B 1D ≠BC .②B 1D =CD 时，∴B 1D =CD =BD =8－x .∴(8－x )2=x 2+6，∴x ＝74,∴AD ＝74.③当CD =BC 时如图2过C 作CH ⊥DB ,则DH =B 1H =12DB 1=12BD =12(8－x )在△ACD 和△CHD 中，90ADC CDH A CHD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ∴△ACD ≌△CHD ,∴AD =DH =x∴x ＝12(8－x ),∴x =83,∴AD =83,综上所述:当△B 1CD 是等腰三角形时AD 的长为74或83.【巩固训练】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出不同的等腰三角形的个数最多为()A.4B.5C.6D.72.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连接BP、PC,使得△BPC是一个等腰三角形.(1)用尺规作图画出符合要求的点P.(保留作图痕迹,不要求写做法)(2)求出PA的长.3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)4.如图,一长度为10的线段AC的两个端点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上滑动,以A为直角顶点,AC为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,连接BO.(1)求OB的最大值；(2)在AC滑动过程中,△OBC能否恰好为等腰三角形？若能,求出此时点A的坐标;若不能,请说明理由.5、如图,抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1，0),B(5,0)两点，直线y=－2x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D,点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x.轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若△PCE为等腰三角形,求m的值.6.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(12,－8),点B、C在x轴上，tan∠ABC=43，AB=AC，AH⊥BC 于H,D为AC的中点,BD交AH于点M.(1)求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；(2)过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G,若将(2)中的抛物线沿直线1平移，平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为E'(点E'在y轴右侧).是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形？若存在,请求出此时顶点E'的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中点B坐标为(6,0),点A在第一象限,△AOB为等边三角形,OH⊥AB于点H,动点P、Q分别从B、O两点同时出发,分别沿BO、OA方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点O时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),PQ交OH于点M,设四边形AQPB的面积为y.(1)求y与t之间的函数关系式；(2)设PQ的长为x(cm)试确定y与x之间的函数关系式；(3)当t为何值时,△OPM为等腰三角形；(4)线段OM有最大值吗？如果有,请求出来;如果没有,请说明理由.8.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=20.E为矩形外一点,且△EBA∽△ABD.3(1)求AE和BE的长；(2)将△ABE绕点B顺时针旋转一个角a(0°<α<180°),记旋转中的△ABE为△A'BE',在旋转过程中,设A'E'所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形？若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.9.如图(1),∠AOB=45°,点P、Q分别是边OA,OB上的两点,且OP=2cm.将∠O沿PQ折叠,点O落在平面内点C处。
初中数学等腰三角形存在性问题(含答案)
等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点 A坐标为（ 1,1），点 B坐标为（ 4,3），在 x轴上取点 C使得△ ABC是等腰三角形．几何法】“两圆一线”得坐标1）以点 A 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有AB=AC；2）以点 B 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有BA=BC；3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 CA=CB ．y【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．AC1=AB= (4-1)2+(3-1)2= 13 作AH x轴于 H点， AH=1 C1H=C2H= 13-1=2 3C1(1-2 3,0) C2(1+2 3,0)C3、C4 同理可求，下求 C5．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A、B 均往下移一个单位，当点为（ 1,0），点 B坐标为（ 4,2）时，可构造直角三角形勾股解：AH =3， BH=2设AC5= x，则 BC5=x，C5H=3-x13解得： x=619故 C5坐标为（ ,0）而对于本题的 C5 ，或许代数法更好用一些．A 坐标222(3-代数法】表示线段构相等1）表示点：设点 C 5坐标为（ m ， 0），又 A 点坐标（ 1,1 ）、 B 点坐标（ 4,3），2)表示线段： AC 5 (m 1) (0 1) ， BC 5 (m 4) (0 3) 3）分类讨论：根据 AC 5 BC 5 ，可得： （m 1）2 12（m 4）2 32 ，【小结】 几何法：（ 1）“两圆一线 ”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标 A 、 B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段： AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取① AB=AC 、②AB=BC 、③ AC=BC ； （4）列出方程求解．问题总结：1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； 3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 2018 泰安 中考】4）求解得答案：解得： 23 6故 C 5 坐标为23,0如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c交x轴于点 A( 4,0) 、 B(2,0) ，交y轴于点 C(0,6) ，在y轴上有一点 E(0, 2) ，连接AE ．1)求二次函数的表达式；2)若点D为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值；3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．分析】 1) y3x 2 3x 6； 422) 可用铅垂法，当点 D 坐标为 ( 2,6 )时，△ ADE 面积最大，最大值为 14； 3) 这个问题只涉及到 A 、 E 两点及直线 x=-1(对称轴)① 当 AE=AP 时，以 A 为圆心， AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点．∵AE=2 5 ，∴ AP 1=2 5，又 AH=3，∴ P 1H故P 1( 1, 11)、 P 2 ( 1, 11)．② 当 EA=EP 时，以 E 点为圆心， EA 为半径画圆，故 P 5 ( 1,1) ． P 5 ( 1,1)．补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．P 1HP 4Bx11，与对称轴交点即为所求 P 点．过点 E 作EM 垂直对称轴于 M 点，则 EM=1， 1, 2 19)故P 3( 1, 2 19)、 P 4( 作 AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求 ③当 PA=PE 时，P 点．设 P 5 ( 1,m )，P 5A 2 2 2 2 ( 1 4)2 (m 0)2， P 5E 2=( 1 0)2(m 2)2 ∴ m 2 9 (m2)2 1，解得： m=1 ．综上所述， P 点坐标为 P 1( 1, 11)、P 2( 1, 11 )、P 3( 1,19 )、P 4 ( 1, 2 19)、19 ，P 3M P4 M【 2019 白银中考（删减）】如图，抛物线 y ax2 bx 4交x轴于 A（ 3,0）， B（4,0）两点，与y轴交于点 C ，连接AC ，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作 PM x轴，垂足为点M ，PM 交 BC 于点 Q ．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点 Q，使得以A， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；yCP分析】1) y1x2 1x 4 ；332)①当 CA=CQ 时，∵ CA=5，∴ CQ=5，考虑到 CB 与 y 轴夹角为 45°，故过点 Q作 y 轴的垂线，垂足记为 H ，则 CH QH 5 2，故 Q 点坐标为5 2,4 5 2．2 2 2②当 AC=AQ 时，考虑直线 BC 解析式为 y=-x+4，可设 Q 点坐标为( m， -m+4)，AQ (m 3)2( m 4 0)2，即(m 3) ( m 4 0) 5 ，解得： m=1 或 0(舍)，故 Q 点坐标为( 1， 3)．③当 QA=QC 时，作 AC 的垂直平分线，显然与线段 BC 无交点，故不存在．综上所述， Q点坐标为5 2 ,4 5 2或( 1， 3)．22记直线 x=2 与 x 轴交点为 H 点， ∵ OH =2，∴ BH=1，故 B 点坐标为（ 2，1）或（ 2，-1），k=-1 或 -3． ②当 AO=AB 时，易知 B 点坐标为（ 2，0），k=-2． 综上所述， k 的值为 -1或-2 或-3． 【 2018 贵港中考(删减) 】2019 盐城中考删减 】如图所示， 二次函数 y k （x 1）2 2 的图像与一次函数 y kx k 2 的图像交于 A 、B 两点， 点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x 、 y 轴交于 C 、 D 两点，其中 k 0 ． 1）求 A 、 B 两点的横坐标；2）若 OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值．分析】1）A 、B 两点横坐标分别为 1、 2；B 点横坐标始终为 2 ，故点 B 可以看成是直线 x=2 上的一个动点， 满足△ OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形， 又 A 点坐标为（ 1， 2），故 OA 5 ① 当 OA=OB 时，即 OB 5 ，如图，已知二次函数 y ax2 bx c 的图像与x 轴相交于 A( 1,0) ， B(3,0) 两点，与y 轴相交于点 C(0, 3) ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，P H x轴于点H ，与线段 BC 交于点M ，连接 PC ．当 PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．y② 当 MP =MC 时，（表示线段列方程）设 P 点坐标为 （m,m 22m 3），则 M 点坐标为 （m, m 3）， 故线段 PM （m 3） （m 2 2m 3） m 2 3m 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为 N ，则 MN =m ，考虑△ MCN 是等腰直角三角形，故 MC 2m ，m 2 3m 2m ，解得 m 32 或 0（舍），故 P 点坐标为 (3 2,2 综上所述， P点坐标为（ 2， -3）或 （3 2,2 分析】1） y x 2 2 x 3 ；2）①当 PM=PC 时，（特殊角分析） 考虑∠ PMC =45°，∴∠ PCM=45°， 即△ PCM 是等腰直角三角形， P 点坐标为（ 2，-3）；4 2 )．【2019 眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 4 x2 bx c经过点 A（ 5,0）和点 B（1,0）．9（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A 、B重合），作 DMN DBA，MN 交线段AD 于点 N ，是否存在这样点M ，使得 DMN 为等腰三角形？若存在，求出 AN 的长；若不存在，请说明理由．x分析】1) y 4 x2 16 x 20，顶点 D 坐标为( 2,4 )；9 9 92)考虑到∠ DAB=∠DBA=∠DMN，即有△ BMD ∽△ ANM(一线三等角)①当 MD=MN 时，有△ BMD≌△ ANM，可得 AM=BD =5，故 AN=BM=1；②当 NM=ND 时，则∠ NDM =∠ NMD =∠DAB，③当 DM=DN时，∠ DNM =∠DMN =∠DAB，显然不成立，故不存在这样的点M．△ MAD ∽△ DAB ，可得AM=25，6BM116ANBMAM，即BDAN116256，5解得： AN5536AN 的值为 1 或55．综上，36【2019 葫芦岛中考（删减）】如图，直线 y x 4与x轴交于点B，与y轴交于点 C，抛物线 y x2 bx c经过B，C 两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒 2个单位长度的速度在线段 BC上由点B向点 C 运动（点P 不与点B 和点 C 重合），设运动时间为 t 秒，过点P 作x 轴垂线交x轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交 BC 于点D ，当PDM 是等腰三角形时，直接写出 t 的值．y分析】1） y x2 3x 4 ；2）①考虑到∠ DPM =45°，当 DP=DM 时，即∠ DMP =45°，直线 AM ：y=x+1，联立方程：x 3 x 4 x 1，解得： x1 3 ， x2 1 （舍）．此时 t=1 ．②当 PD=PM 时，∠ PMD =∠ PDM =67.5°，∠ MAB=22.5°，考虑 tan∠ 22.5 °= 2 1 ，直线 AM ：综上所述， t 的值为附： tan22.5 =° 2 1 ．总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，联立方程：x2 3 x 4 ( 2 1)x 21解得：x1 5 2 ， x2 1 （舍）．此时 t= 2 1．222.5 °tan 22.5 1 2 121可减轻计算量．。
等腰三角形存在性问题(带标准答案)
等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB=．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，若△BPQ 是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P 有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( B )个．A.8B.9C.10D.113、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于15．【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，∵网格中的每个小正方形的边长为1，∴S△ABC=×4×3=6，S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，S△ABC″=2.5，∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．故答案分别为：3；15．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画4个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画2个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB= 90°．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有5个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；【结论】当AOB ∠为锐角，AOB ∠ο60≠，有三个点，当AOB ∠=ο60，只有一个点；当AOB ∠为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2个B.3个C.4个D.5个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( C )A.1个B.3个C.5个D.无数多个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。
等腰三角形存在性问题
y
设A（x，0）则
B
P
OP 2 8,,OA2 x2,, PA2 x2 4x 8
若OP OA 则x2 8
oA
x 若OP PA
若OA PA
则x2 4x 8 8 则x2 4x 8 x2
【例】已知抛物线
的顶点坐标为P（﹣4， ),与x轴交于A、B两
点，与y轴交于点C，其中B点坐标为（1，0）． （1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的 点Q使得△ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标； 若不存在，请说明理由．
y
A
o
x
“两圆一线”解决等腰三角形存在性问题的方法
1、“两圆”：以已知两点为圆心，这两点连线段长为半径，画两个圆， 这两个圆上除共线点外的所有点均满足。
2、“一线”画已知线段的垂直平分线，垂直平分线上除了与线段交点的 所有点，均满足。
例： 如图,在平面直角坐标系xOy中,三角板的直角顶点P的坐标为 （2,2）,一条直角边与x轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于 点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中,当△POA为等腰三角 形时,请写出所有满足条件的点A的坐标。
y
（1）若OP为底
先求AC的解析式，再求点A的坐标。
BPBiblioteka （2）若OP为腰C
①以点O为圆心，则OP=OA，可求点A坐标。
D
o A A x ②以点P为圆心，则OP=AP。
作PD┴OA，则OA=2OD=4。
例： 如图,在平面直角坐标系xOy中,三角板的直角顶点P的坐标为 （2,2）,一条直角边与x轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于 点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中,当△POA为等腰三角 形时,请写出所有满足条件的点B的坐标。
等腰三角形存在性问题(带答案)
( 带答等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、. 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C 点有（）个．3、如图，A、B 是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ ABC为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB 上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在AB上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）2）若∠ DOB=6°0 ，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB= ．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段AB和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l 上恰好只有个 1 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 2 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 3 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 4 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 5 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 6 点P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB, 当AOB为30 ，60 ，120 时，请在射线OA上找点P，使POB为等腰三角形，并分析出当AOB发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△ BPQ是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( ) 个12、如图，边长为 6 的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ 4 ）2、. 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的 C 点3、如图， A 、B 是网格中的两个格点，点 C 也是网格中的一个格点，连接 AB 、BC 、AC ，当△ ABC 为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有 3 处，设网格中的每个小正方形的边长 为 1，则所有满足题意的等腰三角形 ABC 的面积之和等于 15 ．∵网格中的每个小正方形的边长为 1， ∴ S △ABC= ×4×3=6，S△ABC ′=20﹣2×3﹣ =6.5 ，故答案分别为： 3；15．格点 C 的不同位置分别是： C 、C ′、C ″，S△A BC ″=2.54、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在AB 上，这样的等腰三角形能画 4 个（在图中作出点P）（2）若∠ DOB=6°0 ，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画 2 个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠ DOB= 907、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段AB和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有5 个直线l 上恰好只有个1点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个2点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个3点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个4点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个5点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB, 当AOB为30 ，60 ，120 时，请在射线OA上找点P，使POB为等腰三角形，并分析出当AOB发生变化时，点P 个数的情况；结论】当AOB为锐角，AOB 60 ，有三个点，当AOB= 60 ，只有一个点；当AOB 为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△ BPQ是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有( C ) A.1 个 B.3 个 C.5 个 D. 无数多个12、如图，边长为 6 的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。
初二暑假专题一等腰三角形的存在性问题
OyPx 专题一：等腰三角形的存在性问题【专题攻略】如果△ABC 是等腰三角形，那么存在 、 、 三种情况。
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线。
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。
几何法一般分为三步： 、 、 。
代数法一般也分为三步： 、 、 。
【引题】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点D 的坐标为 （3,4），点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标。
【例题精析】例1 已知△ABC 的三边长分别为3、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）A. 6条B. 7条C. 8条D. 9条例2 如图2，在直角梯形ABCD 中，AD//BC,∠C=90°，BC=12,AD=18,AB=10.动点P ,Q 分别从点D 、B 同时出发，动点P 沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 在线段BC 上以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点Q 运动到点C 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．射线PQ 与射线AB 相交于点E ，△AEP 能否为等腰三角形？如果能，请求t 的值；如果不能，请说明理由．B Oxy AyCxB AlO 例3（14年金华中考）如图，直角梯形ABCO 的两边OA 、OC 在坐标轴的正半轴上，BC//x 轴，OA=OC=4，点B 坐标为（2,4）；直线l:y=x-3与x 轴交于点G ，在梯形ABCO 的一边上取一点P 。
过点P 作x 轴、直线l 的垂线，垂足分别为E 、F 。
是否存在这样的点P ，使以P 、E 、F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
【题组训练】1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三角形．．．．．， 则点C 的个数是（ ）A ．6B ．7 C.8D ．92.已知点A 的坐标为（3,1），O 为坐标原点，在坐标轴上找一点B,使△ABO 是等腰三角形，则满足条件的点B 有 个， 坐标为3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (0，3)， 点C 在坐标平面内．若以A 、B 、C 为顶点构成的三角形是等腰 三角形，且底角为30º，则满足条件的点C 有 个4．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.B AOCAxyB（1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.6、如图，一次函数b kx +=y 图象与x 轴、y 轴于B 、C 两点，且直线上一点A 点坐标为（3,2），△AOC 的面积为6。
初中数学等腰三角形的存在性问题(word版+详解答案)
等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是 ；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段PA 最长？并求出此时PA 的长． （3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值； （2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
八年级数学人教版(上册)小专题(八)等腰三角形存在性问题
(2)若点 P 在 x 轴上，则使得△OPA 是以∠O 为顶角的等腰三角 形的点 P 有 2 个.
提示：以点 O 为圆心，OA 的长为半径画圆，与 x 轴的交点即 为点 P.
(3)若点 P 在坐标轴上，则使得△OPA 是以∠A 为顶角的等腰三 角形的点 P 有 2 个；
提示：以点 A 为圆心，OA 的长为半径画圆，与坐标轴的交点 即为点 P.
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
方法：在△ABC 中，A，B 为定点，AB 为定长，分别以定点为圆心， 定长为半径画出两个圆；另外作定长线段的垂直平分线.
①当 AB＝AC 时，点 C 在以点 A 为圆心，AB 为半径的圆上(不与点 B 重合)；
②当 AB＝BC 时，点 C 在以点 B 为圆心， AB 为半径的圆上(不与点 A 重合)；
③当 AC＝BC 时，点 C 在线段 AB 的垂直平分线上(不在线段 AB 上). 【温馨提示】解决此类问题可以借助圆规和直尺.
【例】 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A(3，1). (1)若点 P 在 y 轴上，则使得△OPA 是以 OA 为底的等腰三角形 的点 P 有 1 个. 提示：作 OA 的垂直平分线，与 y 轴的交点即为点 P.
第十三章 轴对称
小专题(八) 等腰三角形存在性问题
已知线段 AB，在平面内找一点 C，使得△ABC 为等腰三角形. 分析：只有 AB 一条边来构造等腰三角形，需要从 AB 为腰和 AB 为底的两个方面来讨论：①当 AB 为腰时，点 C 在以点 A，B 为 圆心，AB 的长为半径的两个圆上；②当 AB 为底时，点 C 在线段 AB 的垂直平分线上.
A．4 B．5 C．6 D．7
2.如图，在平面直角坐标系中，A(3，3)，B(0，5).若在坐标轴上 取点 C，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是( D )
等腰三角形存在性问题
x等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题（坐标系）模型一例1：在平面直角坐标系中，已知A （3，4），设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标；分析：（1） 定方向：构造类。
无现成的三角形（2） 定分类：可以分为如下三类：x（OA=OP ） （OA=AP ） （OP=AP ） （3）定解法：（1）几何法：无角相似；（2）代数法：勾股定理表示三角形的三边长，建立等腰三角形三边相等建立方程求解；（4）定结果：将OP 的长度转为为坐标。
解法1：∵)4,3(A ，∴5 OA 情形一：OA=OP ；则点P （5，0） 情形二：OA=AP ； 过Ａ点作AB ⊥OP 。
∴OP=2OB=6(三线合一)等腰三角形存在性问题分析思xxx点P （6，0） 情形三：OP=AP作PC ⊥OA ，AB ⊥OP 易得△AB O ∽△PCOOBOCAO OP = 3255=OP OP=625P 25(0)6，综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． 解法2：△AOP 三边分别表示如下： OA=5；OP=x ；在Rt △ABP 中，AB=4,PB= x-3， 则222)3(4-+=x AP （罗列三边） 情形一：OA=OP ；则x=5，∴点P （5，0） 情形二：22AP OA =；则222)3(45-+=x ； 解得：x=6 ∴点P （6，0） 情形三：22AP OP =222)3(4)3(-+=-x x解得：x=625P 25(0)6，综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． 点睛：（1）解法1：几何法的关键就是利用直角三角形构造相似或者解直角三角形。
而坐标可以构造直角，三线合一也可以构造直角。
（2）解法2：解析法的关键是利用x 表示出三条边，然后利用边长相等建立方程。
（3）两种方法各有利弊，几何法计算简单，但寻找相似有难度。
而解析法分析问题简单，但计算复杂。
专题一--等腰三角形的存在性问题
等腰三角形的存在性问题1.在平面直角坐标系xoy中，已知点D的坐标为()4,3，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果DOP∆是等腰三角形，求点P的坐标。
2.如图，在矩形ABCD中，8AB，，动点P以2个单位/秒的速度从点A=BC6=出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB 向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时停止运动。
在P、Q两点移动过程中，当PQC∆为等腰三角形时，求时间t的值。
3.如图，直线2y与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上=x2+的一个动点，直线PQ与直线点AB垂直，交y轴于点Q，如果APQ∆是等腰三角形，求点P的坐标。
4.如图，在ABCBCAC，.动线段DE（端点D从点AB，=DE=∆中，41610==B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止。
过点E作ACEF与重合），EF//交AB于点F（当点E与点C重合时，CA连结DF设运动的时间为t秒()0≥t。
（1）直接写出线段EFBE、的长（用含t的代数式表示）；（2）在整个运动过程中，DEF∆能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由。
5.如图，已知抛物线c bx ax y ++=2经过()()()300402，，，，，C B A -三点。
（1）求该抛物线的解析式；（2）在y 轴上是否存在点M ，使A CM ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点()0，t P 为线段AB AB 上的一动点()重合、不与B A ，过点P 作y 轴的平行线，记该直线右侧与ABC ∆围成的图形面积为S ，试确定S 与t 的函数关系式。
6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线3332312++-=x x y 与x 轴交于B A 、两点（点B A 在点左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为E 。
（1）判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）经过C B 、两点的直线交抛物线的对称轴于点D ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，当PCD ∆的面积最大时，点Q 从点P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上的点M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y 轴上的点N 处，最后沿适当的路径运动到点点A 处停止。
专题一：二次函数中等腰三角形存在性问题
专题：二次函数中等腰三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题以(,)A A A x y 、(,)B B B x y 为三角形的边，在x 轴上找一点P 使得△PAB 为等腰三角形（二定一动）一.找法：画圆和作垂直平分线①以A 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为1P 、2P 点；（AB=AP ）②以B 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为3P 、4P 点；（AB=BP ）③作线段AB 的垂直平分线，与x 轴交点即为5P 点；（AP=BP ）二、算法：利用两点距离公式进行计算 公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- ，设(,)p p P x y ，分三种情况：①AB=AP 时 2222()()()()A B A B A P A P x x y y x x y y -+-=-+-可得1P 、2P ，（特殊情况可能是一个点，例如2P 与B 重合）②AB=BP 时2222()()()()A B A B B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得3P 、4P ，（特殊情况可能是一个点，例如3P 与A 重合）③AP=BP 时2222()()()()A P A P B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得5P 、例题1、如图，已知二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0），与y 轴交于点C ，点D （-2，-3）在抛物线上.（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.1、（2021·云南九年级一模）如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？（3）试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2、（八中2020级初三第三次月考）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于A （-4,0），B （1,0），交y 轴于C （0,3）（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P 为直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，再过点Q 作QR//AC 交y 轴于点R ，求PQ+QR 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，点E 在抛物线上，横坐标为-3，连接AE ，将线段AE 沿直线AC 平移，得到线段''A E ，连接'CE ，当△''A E C 为等腰三角形时，只写写出点'A 的坐标。
等腰三角形存在性问题技巧讲义
等腰三角形存在性问题技巧讲义等腰三角形是一种有两条边相等的三角形，其中也包括一种特殊情况，即等边三角形，即三条边均相等的三角形。
存在性问题指的是给定一些条件，判断是否存在符合条件的等腰三角形。
下面将介绍一些解决等腰三角形存在性问题的技巧。
1.通过边长关系判断：等腰三角形的存在性与边长的关系密切相关。
设三角形的三个边长分别为a、b和c，如果a=b，则存在等腰三角形；如果a=c，则存在等腰三角形；如果b=c，则存在等腰三角形。
因此，可以通过比较三个边长的大小关系，来判断是否存在等腰三角形。
2.使用三角形内角和定理：三角形的内角和为180度。
对于等腰三角形而言，设其两个等边的边长为a，非等边的边长为b，那么根据三角形的内角和定理可得2a+b=180。
通过这个方程，可以求得非等边的边长b的值，如果b大于0，则存在等腰三角形。
3.使用三角形的高和底边关系：等腰三角形的高是从等腰边的顶点到底边的垂直距离。
如果一条边是等腰边，那么从该边对应的顶点到底边的垂直距离一定是这条边的高。
因此，可以通过计算等腰边顶点到底边的垂直距离，与底边的关系来判断是否存在等腰三角形。
4.利用等腰三角形的旋转对称性：等腰三角形具有旋转对称性，即一个等腰三角形可以绕其顶点旋转一定角度后得到另一个等腰三角形。
因此，当给定一个等腰三角形的一些条件时，可以通过旋转该等腰三角形来判断是否存在满足条件的等腰三角形。
5.利用等腰三角形的镜像对称性：等腰三角形也具有镜像对称性，即通过等腰边作为对称轴，可以得到两个镜像对称的等腰三角形。
因此，当给定一个等腰三角形的一些条件时，可以通过对称该等腰三角形来判断是否存在满足条件的等腰三角形。
以上是一些解决等腰三角形存在性问题的技巧。
通过比较边长关系、使用三角形内角和定理、考虑高和底边关系、利用等腰三角形的旋转对称性和镜像对称性等方法，我们可以有效地判断等腰三角形是否存在。
实际应用中，可以结合以上方法，根据具体条件进行判断。
最新一次问题--等腰三角形存在性问题
最新一次问题--等腰三角形存在性问题
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
本文将讨论等腰三
角形的存在性问题。
在几何学中，我们知道要构成一个等腰三角形，至少需要两条
边相等。
因此，我们需要分两种情况来讨论等腰三角形的存在性。
- 第一种情况是已知两条边的长度是否相等。
如果两条边的长
度相等，那么根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：存在一
个等腰三角形。
- 第二种情况是已知两个角是否相等。
如果两个角的大小相等，那么根据等腰三角形的性质，我们可以推出结论：存在一个等腰三
角形。
上述两种情况都能保证等腰三角形的存在性。
然而，若只给出
了其中一种条件（即两条边的长度相等或两个角的大小相等），我
们不能确定是否存在一个等腰三角形。
因此，同时满足两个条件才
能推断等腰三角形的存在。
综上所述，等腰三角形的存在性取决于两个条件的同时满足。
当两条边的长度相等且两个角的大小相等时，我们可以确定存在一个等腰三角形。
若只满足其中一个条件，我们不能确保等腰三角形的存在。
请注意，以上讨论基于几何学的基本定义和性质，准确性得到确认。
等腰三角形的存在性问题
探索等腰三角形存在性问题如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．分类讨论思想1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．已知正方形ABCD ，试在该平面内找一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 都是等腰三角形．．．．．．这样的点P 共有几个位置？请画出图形．3．已知正三角形AB Ｃ，试在该平面内找一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形．这样的点P 共有几个位置？请画出图形．A D CB AC B1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．4.如图,点A的坐标为（1,1）在坐标轴上．．．．是否存在点P，使△AOP为等腰三角形，若存在，请分别写出它们的坐标.若不存在，请说明理由.2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC 向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝24，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MN∥AB时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．C M8.阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点()()1122P x y Q x y ，、，的对称中心的坐标为1212.22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点()()120123P P -、，的对称中心是点A ，则点A 的坐标为_________；（2）另取两点()()1.62.110.B C --，、，有一电子青蛙从点1P 处开始依次关于点A B C 、、作循环对称跳动，即第一次跳到点1P 关于点A 的对称点2P 处，接着跳到点2P 关于点B 的对称点3P 处，第三次再跳到点3P 关于点C 的对称点4P 处，第四次再跳到点4P 关于点A 的对称点5P 处，…则点38P P 、的坐标分别为_________、_________.拓展延伸：（3）求出点2012P 的坐标，并直接写出在x 轴上与点2012P 、点C 构成等腰三角形的点的坐标.。
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等腰三角形的存在性问题
如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB=AC ②BA=BC ③CA=CB 三种情况。
已知腰长用圆规画圆，已知底边用刻度尺画底边的垂直平分线。
等腰三角形的存在性问题：几何法、代数法。
几何与代数相结合是最完美的----数形结合 几何法：分类，画图，计算
代数法：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验。
例1：如图，在直角坐标系xoy 中，已知点D 的坐标为（3，4），点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标.
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例2：如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，动点P 以2个单位/秒的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1单位/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时停止运动，在P 、Q 两点移动过程中，当△PQC 为等腰三角形时，求时间t 的值.
/ x y D。