辽宁省营口市开发区第一高级中学2018届高三上学期第一次月考数学(理)试卷+Word版含答案

2017—2018学年度上学期第一次月考高 三 数 学 试 卷（理）满分150分 考试时间120分钟第1卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <2，B ＝{x |lg x >0}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |－1<x <1} C ．∅ D ．{x |－1<x <1或x >1} 2．如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ”是真命题，那么( )A ．命题p 一定是真命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 一定是假命题D ．命题q 可以是真命题也可以是假命题 3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(14)x ，x ∈[－1，0)，4x ， x ∈[0，1]，则f (log 43)等于( )A.13 B ．3 C.14 D ．4 4．下面结论中，正确结论的个数为( )①命题p ：“∃x ∈R ，x 2－3x ＋2≥0”的否定为¬p ：“∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＜0”； ②命题：“∀x ∈M ，P (x )”的否定为：“∃x ∈M ，P (x )”； ③若¬p 是q 的必要条件，则p 是¬q 的充分条件； ④“M ＞N ”是“log 2M ＞log 2N ”的充分不必要条件． A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)6．条件p ：|x |＞1，条件q ：x ＜－2，则¬p 是¬q 的( )A ．充分条件但非必要条件B ．必要条件但非充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图象如下图所示，则( )A ．函数f (x )的有极小值a ＋b ＋cB ．函数f (x )的有极小值cC ．函数f (x )的有最大值a ＋b ＋cD ．函数f (x )的有最大值c8．f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且满足f (3－2x )＋f (1－x )>0，当f (x )是增函数时，x 的范围为( )A ．[12，43)B ．[－2，43)C ．[－1，52]D ．(－∞，43)9．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．410．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)11．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．4.00分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟12． 设方程10x＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( )A ．0<x 1x 2<1B ．x 1x 2＝1C ．x 1x 2>1D ．x 1x 2<0第Ⅱ卷【非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．13．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为________．14．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (12)＝0，则不等式f (log 4x )>0的解集为________________15．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________________16．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对于任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )<e x的解集为_______________三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(0,0)，(2,0)．(1)求a ，b 的值；(2)求x 0及函数f (x )的表达式．18． 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(0,1)和(1,4)，且对于任意的实数x ，不等式f (x )≥4x 恒成立．(1)求函数f (x )的表达式；(2)设g (x )＝kx ＋1，若F (x )＝log 2[g (x )－f (x )]在区间[1,2]上是增函数，求实数k 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1是奇函数(a >0，且a ≠1)．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明； (3)当a >1时，f (x )在[2，＋∞)上取得最大值4，求a 的值．20．在1999年10月12日“世界60亿人口日”提出了“人类对生育的选择决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前．(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？21．已知函数f (x )＝x 2＋a (x ＋ln x )，a ∈R . (1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )>12(e ＋1)a ，求a 的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．(本小题满分l0分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 圆C 的极坐标方程为ρ=4sin θ．从极点作圆C 的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线C 1． (I)求C 1的极坐标方程；(II)已知曲线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，(0≤α<π，t 为参数，且t ≠0)，1与C 交于点A ，l 与C 1交于点B ，且α的值．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知a ，b ，c 均为正实数，且2221111a b c++=．(I)证明：111a b c++ (Ⅱ)求证：222222a b c b c a++≥1．高三理科数学 参考答案1D 2D 3B 4B 5C 6A 7B 8A 9D 10D 11C 12A11解析：由实验数据和函数模型知，二次函数p ＝at 2＋bt ＋c 的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.8125， 所以当t ＝3.75分钟时，可食用率p 最大，故选B. 13 314 {x |0<x <12或x >2}15 [1,5) 16 (0，＋∞)解析 因为y ＝f (x )－1为奇函数，且定义域R ，所以0＝f (0)－1，所以f (0)＝1.设h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝e x (f ′(x )－f (x ))(e x )2，因为f (x )>f ′(x )，所以函数h (x )是R 上的减函数，所以不等式f (x )<e x 等价于f (x )e x <1＝f (0)e 0，即h (x )<h (0)，所以x >0，故(0，＋∞)17解 (1)由题设可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ……………….2分 ∵f ′(x )的图象过点(0,0)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，12＋4a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝0. ……………….6分(2)由f ′(x )＝3x 2－6x >0，得x >2或x <0. ……………….8分∴在(－∞，0)上f ′(x )>0，在(0,2)上f ′(x )<0，在(2，＋∞)上f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f (x )在x ＝2处取得极小值，所以x 0＝2，由f (2)＝－5，得c ＝－1.∴f (x )＝x 3－3x 2－1. ……………….12分18解 (1)f (0)＝c ＝1，f (1)＝a ＋b ＋c ＝4，. ……………….2分∴f (x )＝ax 2＋(3－a )x ＋1.f (x )≥4x 即ax 2－(a ＋1)x ＋1≥0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a ＋1)2－4a ≤0，解得a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1. . ……………….6分 (2)F (x )＝log 2[g (x )－f (x )]＝log 2[－x 2＋(k －2)x ]． 由F (x )在区间[1,2]上是增函数，得h (x )＝－x 2＋(k －2)x 在区间[1,2]上为增函数且恒为正实数，. ……………….8分 ∴⎩⎨⎧k －22≥2，h (1)＝－1＋k －2>0，解得k ≥6.∴实数k 的取值范围为[6，＋∞)．. ……………….12分 19【解析】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )在其定义域内恒成立，即log a 1＋mx －x －1＝－log a 1－mx x －1恒成立，. ……………….2分∴1－m 2x 2＝1－x 2恒成立，∴m ＝－1，或m ＝1(舍去)，∴m ＝－1. . ……………….4分(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)，任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1，∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，∵1<x 1<x 2，∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1，∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)>f (x 2)，f (x )在(1，＋∞)上是减函数；当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．. ……………….8分(3)由(2)知f (x )在[2，＋∞)上单调递减， 故当x ＝2时，f (x )取到最大值． 即f (x )max ＝f (2)＝4，∴log a 2＋12－1＝4，log a 3＝4，即a 4＝3，∴a ＝43.. ……………….12分20【解析】 (1)设每年人口平均增长率为x ，n 年前的人口数为y ， 即y ·(1＋x )n ＝60，则当n ＝40时，y ＝30，.. ……………….3分 即30(1＋x )40＝60，∴(1＋x )40＝2， 两边取对数，则40lg(1＋x )＝lg2， 则lg(1＋x )＝lg240＝0.007525，∴1＋x ≈1.017，得x ＝1.7%... ……………….6分 (2)依题意，y ≤12.48(1＋1%)10，得lg y ≤lg12.48＋10lg1.01＝1.1392，.. ……………….8分 ∴y ≤13.78，故人口至多有13.78亿．答：每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有13.78亿．.. ……………….12分21解 (1)由题意得x ∈(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝x 2－x －ln x ， ∴f ′(x )＝2x 2－x －1x.令f ′(x )<0，则0<x <1；令f ′(x )≥0，则x ≥1，∴f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是[1，＋∞)．.. ……………….4分(2)①当a ＝0时，f (x )＝x 2，显然符合题意； ②当a >0时，当0<x <e －1－1a<1时，f (x )<1＋a ＋a ln x <1＋a ＋a ⎝⎛⎭⎫－1－1a ＝0<12(e ＋1)a ，不符合题意；.. ……………….6分③当a <0时，则f ′(x )＝2x 2＋ax ＋ax ，令f ′(x )＝0，则存在x 0∈(0，＋∞)，使得2x 20＋ax 0＋a ＝0，即f ′(x 0)＝0，令f ′(x )<0，则0<x <x 0；令f ′(x )>0，则x >x 0， ∴f (x )min ＝f (x 0)＝x 20＋a (x 0＋ln x 0)＝12a [(x 0－1)＋2ln x 0]， ∵f (x )>12(e ＋1)a ，∴x 0＋2ln x 0－(e ＋2)<0，∴0<x 0<e ，∵2x 20＋ax 0＋a ＝0，∴a ＝－2x 20x 0＋1. 设y ＝－2x 20x 0＋1，则y ′＝－2x 20＋4x 0(x 0＋1)2<0，∴函数y ＝－2x 20x 0＋1在(0，e)上单调递减，∴y ＝－2x 20x 0＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2e 2e ＋1，0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2e 2e ＋1，0. 综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2e 2e ＋1，0... ……………….12分22.解：（Ⅰ）设1C 上任意一点的极坐标为()θρ， 则点()θρ，2在圆C 上，故θρsin 42=，所以1C 的极坐标方程为)0(sin 2≠=ρθρ..................................................................................4分（Ⅱ）B A ,两点的极坐标分别为),sin 2(),,sin 4(ααααB A ， 又因为πα<≤0，所以ααααsin 2sin 2sin 2sin 4==-=AB =3，故23sin =α，所以323ππα或=...............................................................................10分23.证明：(Ⅰ)acbc ab c b a 222)111(2222++≥++ ac bc ab c b a 111111222++≥++∴ 又acbc ab c b a c b a 222111)111(2222+++++=++）（2221113c b a ++≤ 由题中条件知1111222=++cb a ，3)111(2≤++∴c b a即3111≤++cb a ...................................................................................................................5分（Ⅱ）22422422121ba b a a b a =⋅≥+同理：224221c b c b ≥+，224221ac a c ≥+)111(2111222222424242cb ac b a a c c b b a ++≥+++++∴ 21424242≥+++∴ac c b b a 1424242≥++∴ac c b b a .............................................................................................................10分。