第二十课 等腰三角形
等腰三角形的性质课件
STEP 03
平行线法
若两条平行线被第三条直 线所截，截得的对应线段 相等，则该三角形为等腰 三角形。
若三角形中线两侧的线段 相等，则该三角形为等腰 三角形。
角的证明方法
中垂线定理
等腰三角形顶角的平分线、底边 上的中线、底边上的高互相重合
。
角平分线定理
等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中垂线、底边上的高互相重合。
等腰三角形的特点
等腰三角形的两条相等边 称为“腰”，另一边称为 “底”。
等腰三角形的两腰之间的 角是相等的，这个角称为 “顶角”。
等腰三角形的底角也是相 等的，这是它与一般三角 形不同的地方。
等腰三角形的定义
等腰三角形的定义是：有两边长度相 等的三角形，这两边称为腰，另一边 称为底。
此外，等腰三角形的两腰之间的角是 相等的，这个角称为顶角。底角也是 相等的，这是它与一般三角形不同的 地方。
Part
02
等腰三角形的性质
边的性质
两边相等
等腰三角形有两条边长度 相等。
两边的夹角相等
等腰三角形两边的夹角相 等。
三边关系
等腰三角形的三边满足两 边之和大于第三边，两边 之差小于第三边。
角的性质
两个底角相等
等腰三角形的两个底角相等。
顶角与底角的度数关系
等腰三角形的顶角与底角的度数之和为180度。
Part
04
等腰三角形的应用
在几何学中的应用
证明定理
等腰三角形是几何学中重要的基本图 形之一，它的性质定理和判定定理在 证明各种几何定理和解决几何问题中 有着广泛的应用。
计算角度
证明相等
等腰三角形的两边相等，可以利用这 个性质来证明两个三角形全等，从而 解决一些几何问题。
等腰三角形课件
定义：连接等腰 三角形底边中点 与顶角的线段
性质：中线与底 边平行且等于底 边的一半
作用：用于证明 等腰三角形的性 质和判定定理
作法：先作底边 的中点，然后过 该中点作顶角的 垂线
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定义：角平分线是将一个角平分为两个相等的角的线段
定义：中垂线是一 条过等腰三角形顶 点与其底边中点的 直线
性质：中垂线是底 边的垂直平分线， 且与底边平行
作法：先确定等腰 三角形的顶点和底 边中点，然后连接 两点并延长至底边 形成垂直平分线
作用：利用中垂线 可以确定等腰三角 形的底边和顶点位 置，从而作出等腰 三角形
公式：面积 = (底 × 高) / 2 适用范围：等腰三角形 推导过程：通过等腰三角形的性质和几何知识推导得出 使用方法：根据给定的底和高代入公式计算面积
作图步骤： a. 确定等腰三角形的顶点和底边 b. 使用直角三角板， 从顶点垂直于底边画线段 c. 标记高对应的刻度，并标明高的方向
a. 确定等腰三角形的顶点和底边 b. 使用直角三角板，从顶点垂直于底边画线段 c. 标记高对应的刻度，并标明高的方向
注意事项：在作图时，要保证所画的高与底边垂直，且高对应的刻度要 准确
单击此处添加标题
作图方法：在角的顶点上作一条射线，将该射线与角的两边相交，然后分别以这两个交点为 圆心，以相同的半径作两个圆弧，两个圆弧的交点即为角平分线的中点，连接这个中点和角 的顶点即可得到角平分线
单击此处添加标题
性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等
单击此处线即为顶角的角平分线
等腰三角形在几何证明中的应用：在数学竞赛中，等腰三角形常常被用来 作为证明几何命题的重要工具之一。
等腰三角形课件ppt
边与角的相互影响
边长变化对角度的影响
当等边的长度增加或减少时，底角α的大小会发生变化。这是因为角度α与基边的长度成 反比。
角度变化对边长的影响
当底角α的大小发生变化时，基边的长度也会相应地增加或减少。这是因为角度的变化会 影响到三角形的周长，从而影响基边的长度。
Part
03
等腰三角形的判定与证明
04
等腰三角形的面积与周长
面积的计算
1 2
面积公式
等腰三角形的面积可以通过底边长度和对应的高 来计算，公式为 (S = frac{1}{2} times text{底边 长度} times text{高})。
面积与底边和高
等腰三角形的面积与底边长度和高有关，当底边 长度和高发生变化时，面积也会相应地变化。
等腰三角形与勾股定理
总结词
勾股定理是几何学中的重要定理之一 ，它可以应用于等腰三角形，特别是 等腰直角三角形。
详细描述
勾股定理表明在一个直角三角形中， 直角边的平方和等于斜边的平方。对 于等腰直角三角形，两条直角边长度 相等，因此它们的平方和等于斜边的 平方。
详细描述
等腰三角形是两边相等的三角形，根据等腰三角形的性质，两个底角相等，并且 三角形的内角和为180度，因此每个底角的大小为（180度 - 顶角度数）/ 2。
等腰三角形的外角和定理
总结词
等腰三角形的外角和定理表明等腰三角形的一个外角等于它 不相邻的两个内角之和。
详细描述
根据三角形外角定理，一个三角形的外角等于它不相邻的两 个内角之和，对于等腰三角形来说，由于两个底角相等，所 以一个底角的外角等于另一个底角。
等腰三角形课件
• 等腰三角形的定义与性质 • 等腰三角形的边与角 • 等腰三角形的判定与证明 • 等腰三角形的面积与周长 • 等腰三角形的拓展知识
等腰三角形课件PPT
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
等腰三角形课件
02
例题2
已知△ABC中，∠A=∠B+∠C， 求证：△ABC是等腰三角形。
03
例题3
已知△ABC中，AB=AC，D是BC 上一点，E是AC上一点，且
AD=AE，求证：∠BAD=∠EDC。
实际应用举例
应用1
应用2
在筑设计中，等腰三角形常被用于设 计具有对称美的建筑结构，如尖顶房屋、 桥梁等。
在几何作图中，等腰三角形可以作为基 本图形之一，用于构造其他复杂图形。
与其他特殊三角形关系
与等边三角形的关系
与相似三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，三 边都相等。
若两个等腰三角形的顶角相等，则这 两个等腰三角形相似。
与直角三角形的关系
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形， 其中一个角为90度。
02
等腰三角形性质探究
对称性
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。
THANKS
应用3
在物理学中，等腰三角形可以用于描述 某些物理现象，如光的反射、折射等。
应用4
在工程测量中，等腰三角形可以用于计 算距离、角度等参数，为工程建设提供 准确的数据支持。
04
等腰三角形在几何变换中 性质
平移、旋转和翻折变换下性质保持
01
02
03
平移变换
等腰三角形在平移过程中， 其形状、大小以及两腰之 间的夹角均保持不变。
在尺寸上有所不同。
对应角相等
相似变换下，等腰三角形的对应 角仍然相等，即两个底角和一个
顶角分别相等。
对应边成比例
相似变换后，新的等腰三角形的 对应边与原三角形的对应边成比 例。这意味着两腰之间的比例和 两底之间的比例在相似变换前后
等腰三角形ppt课件
THANKS
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工程绘图
在工程绘图中，等边三角形 可用于表示某些特定的角度 或距离关系，简化绘图过程 。
标志设计
由于等边三角形具有对称性 和稳定性，因此在标志设计 中常被用作基本图形元素， 如交通标志中的警告标志。
数学教育
在数学教育中，等边三角形 常被用作教学工具，帮助学 生理解几何形状、角度和边 长关系等基本概念。
如果一个三角形有两个角相等 ，那么这两个角所对的边也相
等。
等腰三角形性质总结
性质1
等腰三角形的两个底角相等。
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相 重合，简称“三线合一”。
性质3
等腰三角形的对称轴是底边的 垂直平分线。
性质4
等腰三角形是轴对称图形，只 有一条对称轴。
02 等腰三角形面积 与周长计算
06 课件总结与回顾
关键知识点总结
定义
两边相等的三角形称为等腰三角 形。
性质
等腰三角形的两个底角相等；底 边上的中线、高线和顶角的平分 线三线合一。
关键知识点总结
等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角 对等边）。
推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。
特点
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 底边的垂直平分线。
等腰三角形判定定理
01
02
03
04
边边边定理
如果两个三角形的三边分别相 等，则这两个三角形全等。
边角边定理
如果两个三角形有两边和夹角 分别相等，则这两个三角形全
等。
角边角定理
如果两个三角形有两个角和夹 边分别相等，则这两个三角形
等腰三角形ppt课件
02
等腰三角形的判定
定义与判定方法
定义：有两边长度相等的三角形称为等 腰三角形。
3. 角平分线法：若一个三角形一个角的 平分线等于其对应边的高线，则该三角 形为等腰三角形。
2. 中线法：若一个三角形中线等于其一 半长度，则该三角形为等腰三角形。
判定方法
1. 定义法：根据等腰三角形的定义，只 需判断一个三角形有两边长度相等即可 。
等腰三角形性质定理的推广与拓展主要涉及以下几个方面：一是推广到更复杂的几何图形中，如平行四边形、菱 形等；二是拓展到三角函数中，用于研究三角函数的对称性和周期性等问题；三是拓展到物理学中，用于研究力 矩平衡等问题。
04
等腰三角形的实际应用
建筑中的等腰三角形
总结词
建筑美学与等腰三角形的完美结合
详细描述
性质定理的应用举例
总结词
等腰三角形性质定理的应用场景及实例
详细描述
等腰三角形性质定理的应用场景广泛，例如在几何、三角函数、建筑等领域都有 应用。以几何为例，通过等腰三角形的性质定理可以证明一些重要的几何定理， 如勾股定理、余弦定理等。
性质定理的推广与拓展
总结词
等腰三角形性质定理的推广及拓展方向
详细描述
等腰三角形在实际VS
详细描述
等腰三角形在实际问题中有着广泛的应用 ，它是解决问题的重要工具。例如，在物 理学中，等腰三角形可以用来解决力臂平 衡的问题；在生物学中，可以用来解释 DNA分子的结构；在经济学中，可以用 来分析股票市场的波动等。
05
等腰三角形的相关练习题及 解析
边角关系在判定中的应用
等边对等角
在等腰三角形中，相等的两边所对的角也相等。
三角形内角和定理
等腰三角形的PPT课件
在力学中，等腰三角形结构可以提供稳定的支撑，如在建筑和桥梁设计中利用等腰三角形来提高结构 的稳定性。在电磁学中，等腰三角形可以用来设计天线和微波暗室等设施，实现电磁波的定向传播和 聚焦。
感谢您的观看
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判定定理三
如果一个三角形中，有一 个角是另一个角的相等邻 补角，则这个三角形是等 腰三角形。
证明方法
方法一
利用等腰三角形的性质，证明两 腰相等。
方法二
利用全等三角形的性质，证明两 腰相等。
方法三
利用角的性质，证明两腰相等。
应用举例
应用一
在几何图形中，判断哪些图形是等腰三角形。
应用二
在解决实际问题中，利用等腰三角形的性质进行 计算或证明。
等腰三角形在数学中的运用
总结词
等腰三角形是数学中一个重要的基本 图形，具有许多重要的性质和定理。
详细描述
在几何学中，等腰三角形是研究对称 性、全等三角形和三角函数等知识的 重要载体。通过对等腰三角形的研究， 可以推导出许多重要的数学定理和性 质。
等腰三角形在物理学中的应用
总结词
等腰三角形在物理学中也有广泛的应用，特别是在力学和电磁学领域。
元素的值。
边角互换的证明
可以通过三角形的全等定理或相似 定理来证明边角互换定理的正确性。
边角互换的应用
在实际应用中，可以利用边角互换 定理来解决一些几何问题，如计算 角度、长度等。
03
等腰三角形的判定与证明
判定定理
判定定理一
如果一个三角形中，有两 边相等，则这个三角形是 等腰三角形。
判定定理二
如果一个三角形中，有一 个角对应的两边相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
中考数学复习方案第四单元三角形第20课时等腰三角形
[解析(jiě xī)]由AB=AC可得△ABC是等腰
) 三角形,根据等腰三角形的“三线合一”
A.BC
B.CE
性质可知点B与点C关于直线AD对称,因
C.AD
D.AC
此连接CP,则BP=CP,所以BP+EP的最小
值为CE,故选B.
图20-8
第十七页，共三十三页。
基
础
知
识
巩
固
3.[2018·娄底]如图20-9,△ABC中,AB=AC,
60°
;
性质 (2)等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合;
(3)等边三角形是轴对称图形,有⑥
3
条对称轴
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义);
判定 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
面积 S=
3
4
a2,a是等边三角形的边长
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC=36°,∴∠ABD=∠EDB=∠A,
∴AD=BD,EB=ED,即△ ABD 和△ EBD 是等腰三角形.
∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,
即△ BCD 是等腰三角形.
∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC,∠ADE=∠C,∴∠AED=∠ADE,∴AE=AD,
[答案(dáàn)] A
△ABC中,BO和CO分别(fēnbié)平分∠ABC和∠ACB, [解析]∵BO平分∠ABC,
过O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若
∴∠DBO=∠OBC.∵DE∥BC,
BD+CE=5,则线段DE的长为(
∴∠DOB=∠OBC,
七年级数学等腰三角形有关概念
详细描述
首先，找到等腰三角形的一个顶点以 及该顶点所对的底边中点的位置。然 后，使用这两个点作为圆心，以它们 的距离作为半径，画出一个圆，即为 等腰三角形的外接圆。
如何作一个等腰三角形的内切圆
总结词
通过等腰三角形的一个顶点和该顶点所对的底边上的垂足，可以作一个等腰三角形的内 切圆。
05 等腰三角形的作图
如何作一个等腰三角形
总结词
通过给定底边和底边上的高，可以作一个等腰三角形。
详细描述
首先，确定底边的两个端点和底边上的高的位置。然后，使 用底边的两个端点和高的位置，通过“底不变，高不变”的 原则，画出两条相等的腰，从而形成一个等腰三角形。
如何作一个等腰三角形的外接圆
总结词
02 等腰三角形的边与角
等腰三角形的边
等腰三角形的两腰相等
在等腰三角形中，有两边长度相等，这两边称为等腰三角形的腰。
等腰三角形的底边与两腰的关系
等腰三角形的底边与两腰之间存在特定的关系，如底边与两腰之间的夹角相等。
等腰三角形的角
等腰三角形的底角相等
在等腰三角形中，两个底角是相等的。
等腰三角形的顶角与底角的关系
概念
有一个角为$90^circ$的等腰三角形 称为等腰直角三角形。
性质
等腰直角三角形的两腰相等，且斜边 上的中线等于斜边的一半。此外，等 腰直角三角形中的锐角都为$45^circ$ 。
等腰三角形的外角和性质
性质
等腰三角形的外角和等于$360^circ$。
应用
这一性质在解决与等腰三角形相关的几何问题时非常有用，可以帮助确定未知角的大小或证明某些几 何关系。
等腰三角形的知识点
等腰三角形的知识点等腰三角形是初中几何学中的一个重要概念，指的是具有两边长度相等的三角形。
在本文中，将介绍等腰三角形的定义、性质以及一些相关的定理和应用。
通过学习等腰三角形，我们可以更好地理解和解决与之相关的几何问题。
定义：等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
根据定义，一个三角形有两个边长相等，那么这两个边所对应的角也必然相等。
性质：1. 两个底角（底边对应的两个角）相等，记为∠A = ∠C。
2. 顶角（顶点对应的角）为等腰三角形的独角，记为∠B。
3. 等腰三角形的底边中垂线（从顶点到底边中点的直线）也被称为高线，记为h。
定理及证明：1. 等腰三角形的高线与底边垂直。
证明：连接高线h和底边两个端点，得到两个直角三角形。
根据直角三角形的性质，可知高线与底边垂直。
2. 等腰三角形的高线是边中点连线的中线。
证明：连接高线h和底边两边的中点，得到两个边长相等的三角形。
根据边中点连线的性质，可知高线是边中点连线的中线。
3. 等腰三角形的高线长度为底边长度的一半。
证明：根据对称性，可知高线将底边分成两个相等的部分。
而高线是边中点连线的中线，所以高线长度等于底边长度的一半。
应用：等腰三角形在几何学中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 判断等腰三角形：当给定一个三角形的边长时，可以通过判断边长是否相等来判断是否为等腰三角形。
2. 求等腰三角形的高线长度：已知等腰三角形的底边长度时，可以通过高线长度等于底边长度的一半的公式来求解高线的长度。
3. 利用等腰三角形性质解决几何问题：等腰三角形的性质可以应用于解决与之相关的几何问题，如求解角度、边长、面积等问题。
总结：等腰三角形是具有两边长度相等的三角形，其性质包括底角相等、顶角是等腰三角形的独角，以及高线与底边垂直、高线是边中点连线的中线等。
通过学习等腰三角形的定义、性质及相关定理，我们可以更好地理解和运用等腰三角形的知识来解决几何问题。
同时，等腰三角形的应用也使得我们对几何学有了更深入的了解。
人教版《等腰三角形》课件pptx
定义及特点
定义
有两边长度相等的三角形 称为等腰三角形。
2024/1/28
两腰相等
等腰三角形的两腰（即相 等的两边）长度相等。
顶角与底角关系
等腰三角形的两个底角相 等，且顶角的角平分线、 底边的中线、底边的高线
三线合一。
4
等腰三角形与等边三角形关系
1 2
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三 角形的定义。
测量三角形的三个内角大小 ；
9
综合应用举例
题目
已知三角形ABC中，AB=AC， ∠B=50°，求∠A的度数。
解答
∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，又 ∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°50°-50°=80°。
分析
根据等腰三角形的性质，若两边相等 ，则对应的两个内角也相等。因此， ∠B=∠C=50°，再利用三角形内角和 为180°的性质，可求出∠A的度数。
2024/1/28
学习成果自我评价
学生应能对自己的学习成果进行客观评价，总结在《等腰三角形 》这一章节中的学习收获和不足。
学习方法自我评价
学生应对自己的学习方法进行反思和评价，找出适合自己的学习方 法和策略，以便更好地掌握数学知识。
合作与交流能力自我评价
学生应评价自己在小组合作学习和交流中的表现，提高合作意识和 沟通能力。
边长
等边三角形的三边都相等，而等腰三角形只有两 边相等。
3
角
等边三角形的三个内角都是60°，而等腰三角形 的两个底角相等，但不一定都是60°。
2024/1/28
5
性质总结
对称性
角平分线性质
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边 的垂直平分线。
2024年《等腰三角形课件》
《等腰三角形课件》一、引言三角形是几何学中最基本的图形之一，而等腰三角形则是三角形中一个特殊而重要的类别。
等腰三角形具有两条边相等的性质，因此在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍等腰三角形的性质、判定方法以及相关应用，帮助读者更好地理解和掌握等腰三角形的知识。
二、等腰三角形的定义和性质1.定义：等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
这两条相等的边被称为腰，而第三条边被称为底边。
等腰三角形的两个底角相等，即两个底角的角度相等。
两边相等：等腰三角形的两条腰相等。
两角相等：等腰三角形的两个底角相等。
高、中线、角平分线重合：等腰三角形的高、中线、角平分线都经过顶点，并且相互重合。
对称性：等腰三角形具有一条对称轴，即底边的中垂线，对称轴将等腰三角形分为两个全等的部分。
三、等腰三角形的判定方法1.边长相等：如果一个三角形的两边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2.角度相等：如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
3.对称性：如果一个三角形具有对称轴，即底边的中垂线，那么这个三角形就是等腰三角形。
四、等腰三角形的应用1.几何学：等腰三角形在几何学中有着广泛的应用，如求三角形的面积、周长、角度等。
2.物理学：等腰三角形在物理学中也有着重要的应用，如力的平衡、杠杆原理等。
3.工程学：等腰三角形在工程学中也有着广泛的应用，如建筑设计、桥梁建设等。
五、结论等腰三角形是三角形中一个特殊而重要的类别，具有两条边相等的性质。
通过本文的介绍，读者应该能够更好地理解和掌握等腰三角形的定义、性质、判定方法以及相关应用。
希望本文能够帮助读者提高对等腰三角形的认识和运用能力。
六、参考文献[1],.等腰三角形的研究[J].数学学报,2010,50(2):100-110.[2],赵六.等腰三角形的性质与应用[J].物理学报,2015,64(3):200-210.[3]孙七,周八.等腰三角形在工程中的应用[J].工程学报,2018,40(4):300-310.在上述文档中，等腰三角形的性质是需要重点关注的细节，因为这些性质不仅是等腰三角形区别于其他三角形的关键特征，也是解决与等腰三角形相关问题时的重要工具。
人教版八年级上册数学《等腰三角形课件PPT》
你发现了什么？
结论：等腰三角形的两底角相等
A
性质1、等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
已知： △ABC 中，AB＝AC
求证：∠B＝∠C 。
证明：作底边BC边上的中线AD。 在△ABD与△ACD中： AB＝AC（已知） BD＝DC（作图） AD＝AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
AB＝AC（已知）
C
AD＝AD（公共边） B
∴ Rt△ABD ≌Rt △ACD
（HL）
DC
∴ ∠B＝∠C
∴ ∠B＝∠C
性质1的运用格式:
∵AB＝AC（已知） ∴∠B＝∠C（等边对等角）
议一议：说说为什么在添加辅助时，作顶角平分线，
底边中线，底边高都能使分成的两个三角形全等？
性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边
应用格式：∵AB＝AC
BD＝DC （已知）
∴AD⊥BC
∠1＝∠2 （等腰三角形三线合B一） D
C
3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。
应用格式：∵AB＝AC ∴BD＝DC
AD⊥BC （已知） ∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一）
1、练一练（基础训练）。
（1）已知等腰三角形的一个角为40°，则其它两个角 分别为 70° 、70° 或40° 、100° 。
方法二：连AD 。
∴BD＝DC ∵AB＝AC（已知） ∴∠B＝∠C（等边对等角） 在△DBE与△DCF中 ∠DEB＝∠DFC（已证） ∠B＝∠C（已证） BD＝DC（已证） ∴ △BDE ≌ △CDF（AAS）
∵AB＝AC，BD＝DC（已知） ∴AD是∠BAC的平分线。
等腰三角形PPT课件
例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E 分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.
证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C= 60°.
∵∠EAD=∠BAC= 60°，
又 AD =AE， ∴△ADE是等边三角形
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分 线重合（简称“三线合一”）.
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对 等角”）.
我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来， 两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么 AB与AC之间有什么关系吗？
3cm
3cm
我测量后发现AB与AC相等.
有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简称“等角对等边”).
由此并且结合三角形内角和定理， 还可以得到等边三角形的判定定理：
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
由于等边三角形是特殊的等腰三角形， 因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对 称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.
例1 已知：如图，在△ABC 中,AB=AC， 点D、E在BC上，且AD=AE。 求证：BD=CE. 证明：作AF⊥BC，垂足为F， 则AF是等腰三角形ABC和 等腰三角形ADE底边上的高， 也是底边上的中线. ∵ BF=CF,DF=EF, ∴BF-DF=CF-EF, 即BD=CE.
1、定义判定：两条边相等的三角形是等腰三角形. 2、定理判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形. （简称“等角对等边”）
1、定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形. 2、定理判定：①三个角都是60度的三角形是等边三角形. ②有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.
第20课 等腰三角形
第20课等腰三角形〖知识点〗等腰三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形、等边三角形的性质和判定、轴对称、轴对称图形〖大纲要求〗1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简单的证明和计算；2．理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的各角都是60°等性质，掌握三个角都相等的三角形或一个角是60°的等腰三角形都是等边三角形等判定，能运用它们进行简单的证明和计算；3．了解轴对称及轴对称图形的概念，会判断轴对称图形。
〖考查重点与常见题型〗等腰三角形和等边三角形的性质和判定的应用，证明线段、角相等，求线段的长度、角的度数，中考题中多以选择题、填空题为主，有时也考中档解答题，如：（1）如果，等腰三角形的一个外角是125°，则底角为度；（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形〖预习练习〗1．一个正三角形的边长为a，它的高是（）（A） 3 （B）32（C）12（D）342．如果等腰三角形一腰长为8，底边长为10，那么连结这个三角形各边的中点所成的三角形各边的中点形成的三角形的周长为（）（A）26 （B）14 （C）13 （D）93．等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则斜边上的高为4．若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰上的高为5．已知等腰三角形的一边等于4cm，一边等于9cm，那么它的周长等于cm 6．等腰三角形的底边长为3，周长为11，则一腰长为7．等腰三角形的周长为2＋ 3 ，腰长为1，底角等于度8．已知如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC的中点，求证：△DEM是等腰三角形考点训练1．等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（）（A）15 （B）15或7 （C）7 （D）112．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为（）（A）30°（B）40°（C）45 °（D）60°3．等腰△ABC的顶角∠A＝15°，P是△ABC内部的一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC的度数为（）（A）100°（B）130°（C）115 °（D）140°4．等腰三角形的对称轴有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）1条或3条5．在△ABC中，AB＝AC，用∠A表示∠B，则∠B＝6．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，则图中的等腰三角形有个，它们是7．如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则∠C＝，∠BDE＝，AE＝；若△BDC周长为24，CD＝4，则BC＝，△ABD的周长为，△ABC的周长为8．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为9．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。
等腰三角形课件
证明
等腰三角形的两个底角相等
A
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=C.
B
C
如何证明两个 角相等呢？
可以运用全等三 角形的性质“对 应角
证明
方法一：作顶角的角平分线
已知： 在△ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明：过点A作顶角的角平分线AD， 则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中
B
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形对应角相等).
DC
证明
方法二：作底边上的中线
已知： 在△ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明： 过点A作底边的中线AD， 则BD=CD.
在△BAD和△CAD中
A
D
代数的方法 方程思想 几何问题
B
C
1.知识方面
等腰三角形 的主要特征
①从边看----- 两边相等
②从角看------- 两个底角相等
顶角的平分线
③从“三线”看---- 底边上的中线
底边上的高相互重合 （三线合一）
④从整体看------- 轴对称图形
2.方法方面----- ①分类思想 方程思想
1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
A
D
C
折叠
AB=AC AD=AD ∠B =∠C
C
D
B
结论1:等腰三角形的两个底角相等。
∠BAD =∠CAD
AD是顶角平分线
BD=CD
AD是底边上的中线
等腰三角形教学课件
等腰三角形教学课件一、什么是等腰三角形1. 定义等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
2. 特点•两边长度相等•两边夹角相等•底边两个角相等二、等腰三角形的性质1. 夹角相等性质在等腰三角形中，底边两个角相等，即角A = 角B。
2. 边相等性质在等腰三角形中，两边长度相等，即边AB = 边AC。
3. 对称性质等腰三角形具有对称性质，即等腰三角形的两边能够互换位置，并且形状不变。
三、如何判断一个三角形是等腰三角形要判断一个三角形是否是等腰三角形，可以通过以下几个方法：1. 观察法观察三角形的边长和角度是否满足等腰三角形的定义和特点。
2. 测量法使用直尺测量三角形的边长和角度，通过比较边长和角度是否相等来判断是否是等腰三角形。
3. 配准法将两个三角形进行配准，重合部分的边和角是否相等来判断是否是等腰三角形。
四、等腰三角形的性质应用1. 画等腰三角形可以利用等腰三角形的性质来画等腰三角形，如下所示：A/\\/ \\/____\\B C•第一步：画出底边BC。
•第二步：以B为圆心，BC为半径，画一个圆。
•第三步：在圆上选择另一个点A，使得角BAC = 角BCA。
•连接点A和点C，即可得到一个等腰三角形ABC。
2. 利用等腰三角形求解问题等腰三角形的特点可以帮助我们求解一些相关问题，例如： - 求等腰三角形的周长和面积 - 求等腰三角形的高度和底边中线的长度 - 求等腰三角形顶角的度数等五、总结等腰三角形是一种较为常见的三角形，具有一些独特的性质和特点。
通过本课件的学习，我们了解到了等腰三角形的定义、特点、判断方法以及应用。
希望能够帮助大家更好地理解和掌握等腰三角形的知识。
等腰三角形课件
等腰三角形课件等腰三角形是初中数学中的基础知识之一，它具有许多有趣的性质和应用。
本文将介绍等腰三角形的定义、性质以及它在几何学和实际生活中的应用。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下几个性质。
首先，等腰三角形的底角（即两边不等的角）相等。
这是因为等腰三角形的两边长度相等，根据三角形内角和定理，两个底角的和等于180度，因此它们的度数相等。
其次，等腰三角形的高线（从顶点到底边上某一点的垂直线段）是底边的中线和角平分线。
这是因为等腰三角形的两边相等，所以高线也是底边的中线；同时，由于两个底角相等，所以高线也是底边的角平分线。
再次，等腰三角形的顶角（即两边相等的角）是一个锐角。
这是因为等腰三角形的两边相等，如果顶角是直角或钝角，那么两边就不可能相等。
最后，等腰三角形具有对称性。
如果我们以等腰三角形的顶点为中心，将它旋转180度，那么它仍然是等腰三角形。
这是因为旋转不会改变三角形的两边长度和角度。
二、等腰三角形的应用等腰三角形在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
下面我们将介绍其中的一些应用。
首先，等腰三角形在建筑设计中常常被使用。
例如，许多教堂的尖顶采用等腰三角形的形状，因为它能够给人一种稳定和高大的感觉。
此外，一些建筑物的屋顶也采用等腰三角形的设计，这样可以减少材料的使用量，同时保持结构的稳定性。
其次，等腰三角形在航海和导航中也有应用。
当船只或飞机需要确定自己的位置时，可以利用等腰三角形的性质来进行测量。
通过测量两个远离的地标的角度和距离，可以计算出自己的位置。
再次，等腰三角形在摄影中也有一定的应用。
在摄影中，我们常常需要将景物放在画面的特定位置，以达到艺术效果或者满足构图要求。
等腰三角形的对称性和稳定性使得它成为一种常用的构图工具。
摄影师可以利用等腰三角形的形状和性质来安排景物的位置，以达到美观和平衡的效果。
最后，等腰三角形在数学证明中也有重要的作用。
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第20课等腰三角形
〖知识点〗
等腰三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形、等边三角形的性质
和判定、轴对称、轴对称图形
〖大纲要求〗
1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简单的
证明和计算；
2．理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的各角都是60°等性质，掌握三个角都相等的三角形或一个角是60°的等腰三角形都是等边三角形等判定，能运用它们进行简单的证明和计算；
3．了解轴对称及轴对称图形的概念，会判断轴对称图形。
〖考查重点与常见题型〗
等腰三角形和等边三角形的性质和判定的应用，证明线段、角相等，求线
段的长度、角的度数，中考题中多以选择题、填空题为主，有时也考中档
解答题，如：
（1）如果，等腰三角形的一个外角是125°，则底角为度；
（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
〖预习练习〗
1．一个正三角形的边长为a，它的高是（）
（A） 3 （B）
3
2（C）
1
2（D）
3
4
2．如果等腰三角形一腰长为8，底边长为10，那么连结这个三角形各边的
中点所成的三角形各边的中点形成的三角形的周长为（）
（A）26 （B）14 （C）13 （D）9
3．等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则斜边上的高为
4．若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰上的高为
5．已知等腰三角形的一边等于4cm，一边等于9cm，那么它的周长等于cm
6．等腰三角形的底边长为3，周长为11，则一腰长为
7．等腰三角形的周长为2＋ 3 ，腰长为1，底角等于度
8．已知如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，
M是AC的中点，求证：△DEM是等腰三角形
考点训练
1．等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（）（A）15 （B）15或7 （C）7 （D）11
2．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为（）（A）30°（B）40°（C）45 °（D）60°
3．等腰△ABC的顶角∠A＝15°，P是△ABC内部的一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC的度数为（）
（A）100°（B）130°（C）115 °（D）140°
4．等腰三角形的对称轴有（）
（A）1条（B）2条（C）3条（D）1条或3条
5．在△ABC中，AB＝AC，用∠A表示∠B，则∠B＝
6．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，
则图中的等腰三角形有个，它们是
7．如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，
DE⊥AB于E，则∠C＝，∠BDE＝，
AE＝；若△BDC周长为24，CD＝4，则BC＝，
△ABD的周长为，△ABC的周长为
8．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和
11厘米两部分，则此三角形的底边长为
9．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。
10．等边三角形ABC中，D是AC中点，E为BC延长线一点，且DB＝DE，求证：△DCE是等腰三角形。
解题指导
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥A B于D，AF平分∠BAC交CD于E，交BC
于F，EG∥AB交BC于G，求证：BG＝CF。
2.已知如图△ABC是边长为a的等边三角形，△BCD的顶角∠BDC＝120°，DB＝DC以D为顶点作一个60°的角，角的两边DM、DN分别交AB于M，交AC于N，
连结MN，求△ABD的周长。
3.如图在△ABC中，AE平分∠BAC，∠DCB＝∠B－∠ACB，
求证：△DCE是等腰三角形。
4.如图在△ABC中，CD⊥A B于D，且E、F、G分别是AC、BC、AB的中点，
求证：∠DEF＝∠BGF
独立训练
1． 在△ABC 中，∠B ＝36°，D 、E 在BC 边上，且AD 和AE 把∠BAC 三等分，则图
中等腰三角形的个数（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=EB ，
则∠A 等于（ ）
（A ）30° （B ）36° （C ）45 ° （D ）54°
3．等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的
角的度数是（ ）
（A ）35° （B ）20° （C ）35 °或 20°（D ）无法确定
4．等腰三角形的顶角等于一个底角的3倍，则顶角的度数为 ，底角的度数为
2． 等腰三角形三个内角与顶角的外角之和等于260°，则它的底角度数为
3． 等腰△ABC 中，AB=AC ，BC=6cm ，则△ABC 的周长的取值范围是
7．如图，等边△ABC 中，O 点是∠ABC 及∠ACB 的角平分线的交点，OM ∥AB
交BC 于M ，ON ∥AC 交BC 于N ，求证：M 、N 是BC 的三等分点。
8．已知△ABC 中，AB=AC ，D 、M 分别为AC 、BC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE=12
BC ，求证：（1）∠DMC=∠DCM ；（2）DB=DE
9．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，且AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于F ，过C 作BE 的垂线交BE 于E ，求证：BF=2CE
10.如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，AE=BD ，
连结EC 、ED ，求证：CE=DE。