“平均变化率”的教学反思
_平均变化率_教学设计说明及教学案例
α 来准确地、定量地描
图2
述陡峭的程度.
问题 2 如桥面不是直线形，不形成交角，还有
ห้องสมุดไป่ตู้
什么量也能很好地描述图 2 中的斜坡的陡峭程度？
［用 tan α= BG . ］这个量可叫做上升率. AG
问题 3 怎样描述桥面上 AB 段的平均陡峭程度？
如果以 x，y 分别表示自行车的水平位移与垂直
位移，则 y 是 x 的函数，若 xA，xB 分别表示到 A，B 处 的水平位移，yA，yB 分别表示到 A，B 处的垂直位移， 则 BG 又可怎样表示？
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中学数学月刊
2008 年第 12 期
“平均变化率”教学设计说明及教学案例
朱建平 （江苏省苏州市相城区陆慕高级中学 215131）
1 教学内容的分析 平均变化率是学生学习导数这一章的基础之一. 对于平均变化率，学生的认知困难主要在两个
方面：（1）学生首次研究非离散的、非线性的量的变 化过程，需要局部“以直代曲”的辩证思维；（2）从粗 糙的、模糊的、定性的生活语言，上升到定量的、精确 的、用符号表达的数学语言是一个困难的过程. 2 教学方法和教学手段的选择
（解答略）
总结 求函数 y=（f x）在点 x0 附近的平均变化率 的步骤：
①求函数的变化量 Δy=（f x0+Δx）-（f x0）；
②求平均变化率 Δy = f（x0+Δx）-（f x0）.
Δx
Δx
（5）回顾反思
学生交流在本节课学习中的收获，交流学习过
程中的体验和感受，师生合作，共同完成小结.
余弦定理的向量证明是怎样想到的
本节课通过创设情境，引导学生探究，师生交 流，最终形成概念. 本节课使用多媒体投影和计算机 来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学 生对问题的理解和认识. 3 教学过程的设计
高中数学_3.1.1 函数的平均变化率教学设计学情分析教材分析课后反思
函数的平均变化率本节课是普通高中课程标准实验教科书人教B版选修（文）1－1第三章导数及其应用中的内容，（理）2-2第一章中的内容，《平均变化率》。
为更好地把握这一课时内容，便于学生学习和理解，对本课时教学设计给予如下说明：一、教学内容分析：平均变化率主要通过大量的生活实例借助直观图形逐步引入“平均变化率”的概念，并在此基础上给出了它的两种应用——在生活中的应用以及在数学内部的应用。
本节课应着力渗透“局部以直代曲”思想、“数形结合”思想以及“极限（逼近）”思想，以便更好地为研究、学习后续的“瞬时变化率”乃至“导数的概念”奠定基础。
这节课是在学生在学习了函数、指、对数函数、幂函数、三角函数等知识后安排的一节内容，学生已经具备了一定的函数知识的素养。
本节课目的是在为导数的引出作必要的铺垫,在导数教学中起着承上启下的作用。
学好这一节，学生将会为以后理解导数的概念等知识打下一个良好的基础，同时学生对函数也有了更为完整的知识结构。
二、学生情况分析：同学们在物理中已经充分理解平均速度的概念，为函数的平均变化率打下了良好的基础。
且在之前的学习中，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为从数与形两方面考察函数的平均变化率提供了知识准备。
而平均变化率来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．但学生仅是比较熟悉平均速度，对于变量变化的快慢的认识以及表示比较模糊，还有，由实际问题抽象成函数表示，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。
三、教学目标：知识与技能：(1)了解平均变化变化率的概念；(2)会求函数在指定区间上的平均变化率；(3)能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题。
情感、态度与价值观：(1)以实际生活为背景，引出平均变化率的相关内容，让学生感受到事物相联系的观点；(2)通过数形结合的手段解决问题，让学生体会到“无形不直观，无数不入微”的辩证思想；(3)通过本节的学习，体会数学模型在实际生活中的应用，提高数学的应用意识。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案一、教学目标1. 让学生理解函数的平均变化率的定义及其几何意义。
2. 培养学生利用导数求函数的平均变化率的能力。
3. 引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
二、教学内容1. 函数的平均变化率的定义2. 函数的平均变化率的计算3. 函数的平均变化率的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 教学难点：函数的平均变化率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的平均变化率的定义、计算方法及其应用。
2. 利用几何图形和实例，帮助学生形象理解函数的平均变化率。
3. 开展小组讨论，引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：通过举例，如物体在直线运动中的速度变化，引入函数的平均变化率的概念。
2. 新课讲解：讲解函数的平均变化率的定义，引导学生理解函数的平均变化率的几何意义。
讲解如何利用导数求函数的平均变化率，并通过示例进行演示。
3. 案例分析：给出几个实际问题，让学生运用函数的平均变化率进行解决，巩固所学知识。
4. 课堂练习：布置一些有关函数的平均变化率的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。
提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
六、课后作业1. 复习本节课的内容，重点掌握函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考并解答拓展问题，提高运用能力。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对函数的平均变化率的理解和应用能力。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、问题解决能力等。
八、教学反思在课后对教学情况进行反思，分析学生的学习效果，针对存在的问题调整教学方法和要求，以提高教学质量。
九、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解函数的平均变化率的概念和计算方法。
平均变化率教案
高中数学选修2—21.1.1 平均变化率（教案）高中数学选修2—2 1.1.1 平均变化率（教学设计）一、教学目标知识与技能：1、理解平均变化率的概念；2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程。
过程与方法：1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。
情感、态度与价值观：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
二、教学重点、难点重点：平均变化率的概念的归纳得出；求函数在某个区间的平均变化率。
难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程。
三、教学方法引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率。
四、教学基本流程创设情境，引导探索分析归纳，建立概念例题讲解，尝试应用回顾反思，感悟升华五、教学过程（具体如下表）教学环节教学内容师生互动设计意图备注创设情景、问题一：速率问题汽车在启动后的0--10秒内，行驶了200米，那么它行驶的平均速率是多少？问题二：高台跳水播放郭晶晶跳水视频,让学生看高台跳水情形，然后提出问题：在高台跳水运动中,给出运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?（平均速度），然后给出平均速度的实质：平均速度实质就是运动员在某段时间内的位移对于时间的平均变化率，在物理上叫平均速度，又把这个问题引导平均变化率上。
使平均变化率再次体现变化的快慢.让学生操作验证：计算：5.00≤≤t和21≤≤t的平均速度v在5.00≤≤t这段时间里，)/(05.45.0)0()5.0(smhhv=--=；在21≤≤t这段时间里，)/(2.812)1()2(smhhv-=--=然后比较快慢，体现可以用平均速度描述运动的快慢。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明一、教学目标：1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。
2. 让学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 让学生能够应用平均变化率解决实际问题。
二、教学内容：1. 平均变化率的定义2. 平均变化率的计算方法3. 平均变化率的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 教学难点：平均变化率的计算方法及应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，增强学生对概念的理解。
3. 开展小组讨论，让学生在合作中思考、交流，提高解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引出平均变化率的概念。
2. 讲解与演示：讲解平均变化率的定义，展示相关图形，让学生直观理解。
3. 自主学习：学生自主探究平均变化率的计算方法。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的方法，互相学习。
5. 练习与应用：布置练习题，让学生巩固所学知识，并应用到实际问题中。
6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何更好地运用平均变化率解决实际问题。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
教案说明：本教案以学生为主体，注重培养学生的自主学习能力、合作意识及解决问题的能力。
在教学过程中，充分利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，有助于学生更好地理解概念。
通过生活中的实例，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
在练习与应用环节，注重让学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的数学素养。
本教案旨在让学生掌握平均变化率的知识，培养学生的数学思维能力。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对平均变化率定义的理解程度。
2. 练习题：收集学生的练习作业，评估学生对平均变化率计算方法的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作能力和问题解决能力。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解平均变化率的概念，掌握平均变化率的计算方法，并能应用于实际问题中。
通过本教案的学习，学生将能够：1. 理解平均变化率的定义和意义；2. 掌握平均变化率的计算公式；3. 应用平均变化率解决实际问题。
教案内容：一、引言1. 引入话题：讨论物体速度的变化，引导学生思考如何描述速度的变化。
2. 引入平均变化率的概念：速度的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是速度的变化量与时间的比值。
二、平均变化率的定义与计算1. 讲解平均变化率的定义：平均变化率是变化量与变化时间的比值，表示变化的快慢。
2. 给出平均变化率的计算公式：平均变化率= 变化量/ 变化时间。
3. 举例说明：假设一个物体在时间t1时的速度为v1，在时间t2时的速度为v2，速度的平均变化率为(v2 v1) / (t2 t1)。
三、平均变化率的应用1. 问题情境：给出一个物体在不间点的速度，要求学生计算平均变化率。
2. 学生分组讨论：学生分组讨论并计算给定情境下的平均变化率。
3. 集体讨论：各组汇报计算结果，集体讨论并解释结果的意义。
四、巩固练习1. 给出一些实际问题，要求学生计算平均变化率。
2. 学生独立完成练习，教师进行解答和讲解。
五、总结与反思1. 总结平均变化率的定义、计算方法和应用。
2. 学生反思学习过程中的困难和问题，提出疑问并进行解答。
教学资源：1. 教学PPT：用于展示平均变化率的定义、计算公式和应用实例。
2. 练习题：用于巩固学生对平均变化率的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。
3. 学生反馈：收集学生对教学内容的反馈和建议，以便进行教学改进。
六、实际情境分析1. 引入实际情境：讨论商品价格的变化，引导学生思考如何描述价格的变化。
2. 应用平均变化率的概念：商品价格的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是价格的变化量与时间的比值。
名师教学设计《平均变化率》完整教学教案
对教学过程的反思
课堂教学中发现，学生的反应与自己的预想相差甚远。
经了解实际情况，原因是学生还不知道两点连线的斜率公式，从而导致“思考：观察函数的图象平均变化率
表示什么”的教学设计意图不能完全展现。
这是借班上课容易出现的问题，但从另一个侧面说明了教学中关注学生的认知基础是成功地实施课堂教学的前提。
课堂实施过程中，虽然在形式上没有将知识直接抛给学生，但自己的“引导具”有明显的“牵”的味道。
在教学过程中，虽然能关注到适当的计算量，但激发学生思维的好问题不多。
整堂课学生的思维量不够，学生缺少思辩，同时留给学生判断和分析的成分、时间都不够。
例如，在分析“气球膨胀率问题”中的函数变式时，目的仅仅为了推导变式函
数，虽然有些学生也有一定的思考，但为了赶时间、赶任务，并没有进行更深入的分析。
教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率。
当然也存在很多不足：对呼之欲出的“瞬时变化率”没有及时给出，缺乏联系性，没有用发展的眼光来处理教材；有关数学思想与方法的落实有所欠缺；等。
如果对教材挖掘得更到位些，更深入地体会教材的编写意图，那么相信这堂课就会上得更成功些。
高中数学教案选修2-2《1.1.1 平均变化率》
教学目标：1．通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；2．通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养；3．培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．教学过程：一、问题情境1．问题情境．法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快．赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s．某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题：问题1 从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？2．学生活动．案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？（1）由点B 上升到C 点必须考察C B y y －的大小，但仅注意到C B y y －的大小 能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？（2）还必须考察什么量？在考察C B y y －的同时必须考察C B x x －．（3）曲线上BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程 度？二、建构数学（1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为()()2121f x f x x x －－注意：平均变化率不能脱离区间而言（2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．思考：（1） 若设21∆x x x ＝－，即将x ∆看作是对于1x 的一个增量21()()∆y f x f x ＝－， 则)(x f 在[]12x x ，平均变化率为211121()()()()∆∆∆∆f x f x f x x f x y x x x x－＋－＝＝－（2）)(x f 在[]12x x ，平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线的 斜率．三、数学运用例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到 第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题（1） 如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1 （kg /月）？问题（2） 本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？ 讲评 在不同的区间上平均变化率可能不同．例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s 后容器甲中的水的体积0.1()52t V t －＝×（单位：cm 3），试计算第一个10s 内V 的平均变化率．问题（1） 例2中解出的平均变化率实际意义是什么？问题（2） 25.0-（cm 3/s ）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积V 减少的速度？问题（3） 第一个10秒内，甲容器中水的体积的平均变化率为25.0-（cm 3/s ），那么乙容器中的水的体积的平均变化率呢？ 讲评：平均变化率可能正可能负也可能为零．例3 已知函数()21()2f x x g x x ＝＋，＝－，分别计算在区间[31]－，－，[05] ，上函数)(x f 及)(x g 的平均变化率．问题（1） 你在解本题的过程中有没有发现什么？讲评 一次函数y kx b ＝＋在区间[]m n ，上的平均变化率等于它的斜率k ． 例4 已知函数2()f x x ＝，分别计算在下列区间上的平均变化率： ① ⑤ ② ⑥ ③ ⑦④⑧问题（4） 例4中八个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？四、当堂训练乙练习1 回答问题情境中提出的问题：平均速度的数学意义是什么？ 练习2 在寓言龟兔赛跑中，从比赛开始到结束的这一段时间(规定有一方到达终点则比赛结束)，是乌龟的位移平均变化率大还是兔子的位移平均变化率大？为什么？练习3 下图中白线是一天内某个股票的走势图，试从平均变化率的角度分析这支股票在下列时间段的涨跌情况．①09:30至11:00 ②11:00至11:30 ③14:00至14:07 ④14:07至15:00五、回顾反思（1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为()()2121f x f x x x －－．（2）平均变化率近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？六、布置作业1．预习第1.1.2节瞬时变化率——导数．2．课本P7练习2；P16 习题1.1 第1题．3．下图中记载着刘翔在雅典奥运会110米栏中的比赛数据，试通过计算各个阶段刘翔位移的平均变化率．。
沪科版数学八年级下册 平均变化率与利润问题教案与反思
17.5一元二次方程的应用投我以桃，报之以李。
《诗经·大雅·抑》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！第1课时平均变化率与利润问题【知识与技能】使学生会用列一元二次方程的方法解决有关面积问题和增长率问题.【过程与方法】进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识.【情感态度】进一步使学生深刻体会转化及设未知数列方程的思想方法.【教学重点】学会用列方程的方法解决有关增长率问题.【教学难点】有关增长率之间的数量关系．下列词语的异同：增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了.一、创设情境，导入新课1.如图，长方形的长为20m，宽为15m，面积为多少？如果在其中修一条宽2m的小路，剩下的面积是多少？如果小路的宽是xm，那么剩下的面积是多少？2.某工厂一月份的产值是100万元，二月份比一月份增长10％，那么二月份的产值是多少？如果三月份保持这个增长率，那么三月份的产值是多少？如果增长率为x，那么，二月份的产值和三月份的产值分别是多少？【教学说明】通过两个问题，使学生对面积问题和增长率问题有一个初步的认识，为后面的探究做好准备.二、示例讲解，合作探究1.前面我们研究了17.1节的问题2，请同学们思考，若果设小路的宽为xm，还可以怎样列方程？【分析】通过平移，剩下的图形是一个长方形，长是（32-2x）m，宽是（20-x）m，则可列方程：（32-2x）（20-x）=5702.小结：修筑小路的图形问题，可以通过平移构建新的长方形来列方程.【教学说明】学生可能会用总面积去减小路的面积，这样重叠部分的面积就容易忽略，教师引导学生进行平移，构成新的长方形，重点观察怎样平移，平移后的长方形的长和宽分别是多少，然后列出方程.最后教师进行总结，形成方法.3.请同学们思考下列问题，发现规律.例1原来每盒27元的一种药品，经过两次降价后每盒售价为9元，求该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到1％）【分析】如果设两次降价的平均降价率是x，那么第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，由“两次降价后每盒售价为9元”可列方程为.请同学们列出方程，求解.4.小结：（1）方程求得的解有两个，要根据实际情况舍去不符合实际情况的；（2）若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=A，其中增长取“+”,降低取“－”【教学说明】这是一个增长率的问题，关键是让学生明白谁是单位“1”，两次的单位“1”是不同的，可以引导学生逐步列出相应的式子，最后再列出方程.教师在学生解答后及时进行总结，让学生掌握解决此类问题的一般方法.5.请同学们思考下列问题，思考列一元二次方程解应用题的一般步骤.例2一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出率为50％（即每100kg 生可加工出花生油50kg).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的50%.求新品种花生产量的增长率.【分析】如果设新品花生产量增长率为x，那么花生出油率的增长率是，花生原来每公顷产量为3000kg，那么新品种花生每公顷的产量为，原来的出油率为50％，则现在的出油率为，那么现在每公顷可产花生油用含有x式子表示为，根据“现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg”可以列方程.请同学们列出方程解.6.小结：（1）求得的两个解要根据实际情况舍去不符合实际的解（2）花生油产量=花生产量×出油率7.列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）根据题意，设出适当的未知数（2）根据数量关系，用含未知数的式子表示相关的数量（3）根据相等关系列出方程（）解出方程，根据实际况舍去不符合实际的解（5）作答【教学说明】例2的讲解设计到两个“率”的理解，一个是增长率，一个是出油率，学生理解起来有一定的困难，教师要将问题进行分解，让学生明确计算的方法.最后教师引导学生总结列一元二次方程解应用题的一般步骤，给学生提供解题的思路和方法三、练习反馈，巩固提高1.某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二的产量为kg，第三年的产量为kg，三年总产量为kg.2.某糖厂2012年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2014年的产量将是.3.我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是.4.某电脑公司2014年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率.【答案】二、1.6（1+x）6（1+x）26+6（1+x）+6（1+x）22.a（1+x）2t100a3.394.解：设平均增长率为x则200+200（1+x）+200（1+x）2=950,整理，得：x2+3x-1.75=0,解得：x=50%,答：所求的增长率为50%.【教学说明】第1、2题是对增长率公式的直接应用，第3、4题是需要列方程求解，让学生在练习中得到巩固和提高.四、师生互动，课堂小结1.修筑小路的图形问题，可以通过平移构建新的长方形来列方程.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=A，其中增长取“+”,降低取“－”2.在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题.3.我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率.3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程.【教学说明】通过总结，让学生进一步掌握两类问题的特征和一般解题思路，形成一定的方法，教师在对教学中容易出现的问题进行强调和总结.完成同步练习册中本课时的练习.利用一元二次方程解应用题是数学教学中的一个重点，而对于学生来说却是学习的一个难点.学生分析问题、寻找数量关系的能力较差，在学习一元二次方程的应用的这节课中，应该始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误.如数量之间的相等关系找得不清；列方程忽视了解设的步骤等.对于增长率问题中的单位“1”的理解不够透彻.需要通过进一步的训练，以加深学生的理解.【素材积累】岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。
高中数学 平均变化率教案教案 新人教A版选修2-2
平均变化率一、教学目标1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
二、教学重点、难点重点：平均变化率的实际意义和数学意义难点：平均变化率的实际意义和数学意义三、教学过程一、问题情境观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为： （理解图中A 、B 、C 点的坐标的含义）问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？二、学生活动1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。
2、由点B 上升到C 点，必须考察y C —y B 的大小，但仅仅注意y C —y B的大小能否精确量化BC 段陡峭程度，为什么？3、在考察y C —y B 的同时必须考察x C —x B ，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。
(d)20三、建构数学1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。
2.一般地,给出函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121()()f x f x x x --。
3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。
4。
平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x 2—x 1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。
四、数学运用例1、 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？变：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？小结：仅考虑一个变量的变化是不形的。
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯ （单位：3cm ）， 计算第一个10s 内V 的平均变化率。
高中数学_3.1.1 函数的平均变化率教学设计学情分析教材分析课后反思
函数的平均变化率本节课是普通高中课程标准实验教科书人教B版选修（文）1－1第三章导数及其应用中的内容，（理）2-2第一章中的内容，《平均变化率》。
为更好地把握这一课时内容，便于学生学习和理解，对本课时教学设计给予如下说明：一、教学内容分析：平均变化率主要通过大量的生活实例借助直观图形逐步引入“平均变化率”的概念，并在此基础上给出了它的两种应用——在生活中的应用以及在数学内部的应用。
本节课应着力渗透“局部以直代曲”思想、“数形结合”思想以及“极限（逼近）”思想，以便更好地为研究、学习后续的“瞬时变化率”乃至“导数的概念”奠定基础。
这节课是在学生在学习了函数、指、对数函数、幂函数、三角函数等知识后安排的一节内容，学生已经具备了一定的函数知识的素养。
本节课目的是在为导数的引出作必要的铺垫,在导数教学中起着承上启下的作用。
学好这一节，学生将会为以后理解导数的概念等知识打下一个良好的基础，同时学生对函数也有了更为完整的知识结构。
二、学生情况分析：同学们在物理中已经充分理解平均速度的概念，为函数的平均变化率打下了良好的基础。
且在之前的学习中，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为从数与形两方面考察函数的平均变化率提供了知识准备。
而平均变化率来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．但学生仅是比较熟悉平均速度，对于变量变化的快慢的认识以及表示比较模糊，还有，由实际问题抽象成函数表示，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。
三、教学目标：知识与技能：(1)了解平均变化变化率的概念；(2)会求函数在指定区间上的平均变化率；(3)能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题。
情感、态度与价值观：(1)以实际生活为背景，引出平均变化率的相关内容，让学生感受到事物相联系的观点；(2)通过数形结合的手段解决问题，让学生体会到“无形不直观，无数不入微”的辩证思想；(3)通过本节的学习，体会数学模型在实际生活中的应用，提高数学的应用意识。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明一、教学目标1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。
2. 引导学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 培养学生运用平均变化率解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 平均变化率的定义2. 平均变化率的计算方法3. 平均变化率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 教学难点：平均变化率的计算方法。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究平均变化率的定义和计算方法。
2. 利用几何图示法，帮助学生理解平均变化率的意义。
3. 运用实例分析法，让学生学会运用平均变化率解决实际问题。
五、教学准备1. 教学课件：平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 练习题：包括不同类型的题目，以便巩固所学知识。
教案说明：本教案以学生理解为出发点，通过问题驱动、几何图示和实例分析等教学方法，让学生掌握平均变化率的定义、计算方法及其应用。
在教学过程中，注意引导学生主动参与、积极思考，培养学生的数学思维能力。
教学过程分为三个部分：1. 引入：通过实例引导学生关注变化率的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解平均变化率的定义、计算方法，并结合几何图示帮助学生理解。
3. 应用：运用实例分析，让学生学会运用平均变化率解决实际问题。
在教学过程中，关注学生的学习情况，及时进行反馈和调整教学方法，以确保教学效果。
布置练习题，让学生在课后巩固所学知识。
六、教学步骤1. 引入：通过一个实际问题，如物体运动的速度与时间的关系，引导学生关注变化率的概念。
2. 讲解：讲解平均变化率的定义，即物体在某段时间内的位移与时间的比值。
通过几何图示，如直线、曲线，帮助学生理解平均变化率的几何意义。
3. 计算：讲解平均变化率的计算方法，即求解位移关于时间的导数。
给出具体的计算示例，让学生跟随步骤进行计算。
4. 应用：运用实例分析，让学生学会运用平均变化率解决实际问题。
例如，分析物体在不间段的平均速度，或者计算物体在某段时间内的平均加速度。
高中数学_变化率问题教学设计学情分析教材分析课后反思
变化率问题教学设计一.内容和内容解析；内容：平均变化率的概念及其求法；内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导；教学重点：函数平均变化率的概念；二.目标和目标解析；新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化；目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率；1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变；§1.1.1 变化率问题一. 内容和内容解析内容：平均变化率的概念及其求法。
内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。
本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。
平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。
在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。
教学重点：函数平均变化率的概念。
二.目标和目标解析新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。
平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。
目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。
目标解析：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。
3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。
平均变化率的教学设计及反思
平均变化率的教学设计及反思作者：朱捷来源：《数学教学通讯·中等教育》2013年第12期摘要：导数概念是微积分的核心概念之一，而平均变化率是学生学习导数这一章的基础，因此显得尤为重要. 本节课的主要教学目的是通过实例直观感知，理性构建平均变化率的概念，从而进一步理解“以直代曲”的辩证思维.关键词：变化率；平均变化率；以直代曲■教学目标1. 通过对一些实例直观感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率；2. 渗透“以直代曲”的数形结合思想方法，培养学生分析问题和解决问题的能力；3. 理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景；4. 通过本节课的学习，使学生领悟到数学研究的一般方法：背景→数学→应用.■教学重点平均变化率的实际意义与数学意义.■教学难点平均变化率的理解和运用■教学过程（一）创设情境，引出研究问题教师：同学们，相信大家一定爬过很多的楼梯，那么，爬楼梯遇到下图的两种不同的楼梯时你们有什么不同的感受啊？？摇（教师在投影仪上展示两段“陡峭程度不同”的楼梯）学生：爬“的楼梯”要累些，爬“图2的楼梯”要轻松些.教师：那是什么原因呢？学生：图1的楼梯要陡峭些，图2的楼梯要平缓些.教师：那能用我们熟悉的数学概念衡量楼梯的陡峭程度吗？学生：可以！用坡度来衡量楼梯的陡峭，用直线斜率的知识来说明.设计意图：一个好的问题情境应该能吸引人并具有明确的指向性. 本节课由学生熟悉的生活背景入手导出教学内容，能一下子吸引学生，调动学生，并且将学生的思考直接引向陡峭程度，为后面的教学埋下伏笔.（二）案例分析，学生活动与师生互动教师：下面我们来看这样一段阅读材料.苏州市2007年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为 15.1℃，甚至超过了14.8℃. 而人们却不会发出上述感叹. 这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”.教师：在上面的材料中，我们能否从数学角度来刻画“气温陡峭”程度呢？为了弄清这个问题，我们先来观察下面的气温曲线图，■图3容易看出B、C之间的曲线较A、B之间的曲线更加“陡峭”，陡峭的程度反映了气温变化的快与慢.教师：如何量化陡峭程度呢？学生：可以用直线的斜率来刻画曲线的陡峭程度.教师：可是上述曲线图中并没有直线啊？学生：分别将图中的A、B与B、C连结起来，用这样的直线来近似地量化两段曲线的陡峭程度.教师：为了进一步量化曲线的陡峭程度，我们先来计算直线AB、BC的斜率：■=■≈0.5，■=■=7.4.从这两个计算结果来看，虽然点A、B之间的温差与B、C之间的温差几乎相同，但是它们的比值却相差很大. 因此，我们可以用直线斜率这个数学模型来量化曲线的陡峭程度.我们称上述两个比值为气温分别在区间[1，32]、[32，34]上的平均变化率.注意学生活动的方向可能有：1. 曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想到如何量化直线的倾斜程度.2. 由点B上升到C点，必须考察yC-yB的大小，但仅仅注意到yC-yB的大小能否精确量化BC段陡峭的程度？为什么？3. 在考察yC-yB的同时必须考察xC- xB，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于（参照于）另一个量的改变.（三）建构平均变化率的概念1. 通过比较气温在区间[1，32]上的平均变化率0.5与气温在区间[32，34]上的平均变化率7.4，感知曲线陡悄程度的量化.2. 一般地，函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率为：■.3. 以上从“数”的角度得到了平均变化率的概念，我们再从“形”的角度看看平均变化率. 从下图中，我们可以感受到：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者反过来说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.■图4说明：平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2-x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”.（四）实例讲解，初步应用并加深理解平均变化率例1 婴儿从出生到第24个月的体重变化（如图5），试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率.引导提问：根据图象，说出婴儿体重在哪一年变化要快些，能判断在哪一年婴儿体重的平均变化率要大.解：从出生到第12个月，婴儿体重平均变化率为■=1.25（斤/月）从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为■=0.5（斤/月）引申拓展：1. 上述结果说明了什么？其两个平均变化率的数值不同的实际意义又是什么呢？2. 如何解释例1中第一年婴儿体重平均变化率为1.25（斤/月）？例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙（如图6），t s后容器甲中的水的体积V（t）=5e-0.1t（单位：cm3），试计算第一个10 s内V的平均变化率.■图6解：在区间[0，10]上，体积的V的平均变化率为■≈■=-0.3161（cm3/s）即第一个10 s内容器甲中水的体积的平均变化率为-0.3161 cm3/s.引申拓展：①计算第二个10 s内的平均变化率；②试比较两个平均变化率的大小；③观察函数图象，比较曲线在区间[0，10]、[10，20]上的陡峭程度；④结论反映的实际意义是什么？⑤例2中V（t）=5e-0.1t是一个随时间变化而变化的量. -0.3161（cm3/s）是否表示10 s内每一时刻容器甲中水的体积V减少的速度？设计意图：以上两例让学生经历一个从“形”到“数”、从“数”到“形”的过程，通过教师追问、学生探究，让学生感受数形结合思想，从数值、图象和代数三个方面呈现获得知识的过程与结果，强调各方面意义之间的转化，在相互解释中进一步加深接下来要学习的导数概念的认识和理解.例3 已知函数f（x）=x2，分别计算函数f（x）在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].解：函数f（x）在[1，3]上的平均变化率为■=■=4，函数f（x）在[1，2]上的平均变化率为■=■=3，函数f（x）在[1，1.1]上的平均变化率为■=■=2.1，函数f（x）在[1，1.001]上的平均变化率为■=■=2.001.引申拓展：四个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？①本例研究区间长度缩短时，平均变化率的变化情况；②当区间右端点靠近1时，平均变化率靠近2.教学反思：让学生得到一个平均变化率逼近2的结论即可，不必急于进行几何解释（即从割线逐渐变化到切线）.设计意图：拓展问题旨在培养学生的探究与归纳能力，让学生直观感知平均变化率的变化趋势，同时为下一节课经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程教学打下伏笔.例4 已知函数f（x）=2x+1，g（x）= -2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f（x）及g（x）的平均变化率.解：函数f（x）在[-3，-1]上的平均变化率为■=■=2；函数f（x）在[0，5]上的平均变化率为■=2.函数g（x）在[-3，-1]上的平均变化率为■=-2；函数g（x）在[0，5]上的平均变化率为■=-2.引申拓展：从例4的求解中，你能发现一次函数y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点吗？设计反思：例4讲完后应让学生当堂回答课本中的思考. 这种回答可能出现多样性，但能活跃课堂气氛.（五）课堂练习*课本第7页练习1、2、3. （看时间决定是否练习）（六）回顾小结请学生回顾本节课的教学过程，概括出教学流程图（教师可做适当提示与补充）：生活感受→数学图形→量化→构建数学模型→应用→提出新问题.（1）由平均变化率的实际意义到数学意义，体现了实际问题数学化的过程，建立数学模型具有抽象的特征，也蕴涵着数学应用的广阔性.（2）由于平均变化率只是一种粗略的刻画，从而有待进一步精确化. 随之而来的便是新的数学模型的建立.（七）课外作业1. 课本第55页练习4.2. 课本第63页习题3.1第1题.■教后反思本节课以学生亲身感受的生活经验入手，并将其数学化，让学生初步体会可以用已学的直线斜率知识来刻画楼梯的陡峭程度，引导学生进行联想类比，采用“以直代曲”的思想方法来量化气温曲线的陡峭程度，从而“水到渠成”地构建平均变化率这一概念. 在解决问题、探索概念的形成过程中，让学生感受数学思想方法，包括：以直代曲、数形结合、形式化思想等. 课例中结合具体例子，从直线的倾斜程度到曲线的陡峭程度，构建平均变化率概念，将抽象的辩证法直观地、潜移默化地展现了出来，化解了难点（如何量化曲线的陡峭程度）.。
平均变化率反思修改版
“平均变更率”一课的教授教养反思李金蔚新课改在把“以学生为本”作为一个根本目标,教授教养不是“教”教材,也不是“教”教案,而是要办事于学生,要把教室时空还给学生,让学生“动”起来,“活”起来,尽可能地让学生亲自去体验.新课改培训请求以“平均变更率”上公开课,经由过程这节课,学生都能较好地控制“平均变更率”这一概念,但细想之下仍认为有几个问题值得反思.筹划案例1：过山车问题起首播放日本最陡过山车视频,然后从视频中截出三幅图片,图片3是垂直的降低,图片2是平缓的轨道上进步,进行问题商量.1.乘坐过山车时,这三种情境中,哪种情景会认为刺激,惊险？2.从这3张图片中,相对而言哪种情景不会让我们认为畏惧？为什么？转变前提：1.假如用1分钟从图片3的高度下来,还会和之前那样惊险刺激吗？为什么？2.图片2中假如用0.01s跑完这段轨道,你的感到还会和之前一样吗？为什么？3.问题1）和问题3）转变前提前后同样的高度,为什么感到不一样？（高度雷同,时光转变）4.图片2和图片3中所示的轨道假如用雷同的时光跑完,那种情景要刺激惊险一些,这是为什么？（时光雷同,高度不一样）结论：在单位时光内高度变更大小决议了我们的感触感染.起首经由过程播放日本最陡过山车视频,目标是引起学生进修兴致,再联合学生本身亲自阅历谈谈他们的感触感染,经由过程转变前提,由深挖过山车的问题,引出了变更率问题,从而让学生的在有兴致情形下进修了常识.案例2：美国康乃大学做过一个著名的“青蛙实验问题”实验人员把一只青蛙投入90℃的热水盆中,这只青蛙受到高温刺激,敏捷做出反响,“嗖”的一声蹦出了水盆,安然无事.实验人员又把该青蛙投入30℃的冷水盆中然后开端慢慢加热,当水温还没有达到70℃时,这只青蛙被烫逝世了.问题：让学生解释为什么90°C水没烫逝世青蛙,而不到70°C的水反而把青蛙烫逝世了？结论：“突变”和“渐变”,由时光和温差两个量决议.反思：对于平均变更率,最开端的设法主意是采纳的是吹气球这个切入点引入,即：吹气球时会认为越吹越难吹.其实,气球膨胀是学生异常熟习的生涯现象,只是若何从数学上解释这个问题是比较艰苦的.所以最后改用了一段日本最陡的过山车视频引入,目标在于经由过程惊险刺激的过山车视频很快吸引起学生的留意力,在后面的解释可能更轻易一些.在剖析这几张图片剖析中采取了提问方法,提问主如果激发学生的求知欲,将一个大的问题肢解成若干小问题,经由过程小问题引领学生步步深刻而得出结论,提问似乎较合理,后果也还不错.这种“师问生答”,教室上不竭地提出问题,学生也在亦步亦趋地答复问题.但是上完课一想,有些问题恰好就恰是无疑而问,有点“小儿科”的感到,这貌似合理有序的提问在本质上刚好相反,晦气于学生自立思维才能的成长.在处理这个教授教养义务时,在引诱学生依据现象的刺激惊险的感触感染的不合做得不敷到位,在这个研讨进程中应当是要引诱学生本身得出为什么有不一样的感触感染,而不是直接告知学生,让学生自由地去思虑原因安在？为何惊险刺激？在教室上没有供给足够时光创造机遇以充分施展学生的自立进修才能,合作商量的才能;假如前面临于过山车的问题本质懂得清晰了第二个温水煮青蛙就完整应当交给学生本身得出结论,应当完整撒手给学生本身剖析问题得出结论.在这里从现实问题抽象到数学问题,有四个层次：（1）假如从物理上解释,“感到很刺激”是一个活动变更的进程,这种变更涉及到单位时光内高度的变更;（2）“当到达最顶端向下走时,越来越惊险刺激”现实上就是当阅历了雷同的高度,上去的时光和下来的时光不一样,上去用的时光更长,下来的时光更短;（3）假如从数学上解释,那就是写出高度和阅历的时光的关系式,然后算一下,看是否如斯;（4）选择（2）中解释,写出降低的高度h 和阅历的时光t 的关系比值t h ∆∆,事实上,这里的th ∆∆就是平均变更率.别的合时引诱学生从图象上不雅察：取雷同的轨道长度不雅察时光的变更情形,取雷同的时光不雅察在竖直偏向上变更是否雷同,哪段轨道上竖直偏向上变更得快？我们把这一思绪延长到函数上,可否归纳出函数的平均变更率？在现实操纵中也可以将学生分为几个小组,让学生经由自立进修,合作商量和展现,通干预干与题的引诱本身得出结论,进行归纳综合总结,再经教师的点拨,最终明白要研讨的问题是什么,可以经由过程如何的办法去研讨,从而使学生明白思虑的偏向,如许不单对常识的懂得加深了,更重要的是学生的进修会变自动,教室上学生会加倍生动.积极思虑.教室教授教养是一门精深的艺术,只有经由过程不竭地实践.反思.再创造,才干有所得.有所为.教授教养反思是一种有益的思维和再进修活动,教师可经由过程教授教养反思不竭地丰硕和完美自我.正如叶澜传授所说：“一个教师写一辈子教案不一定成为名师,假如一个教师写三年反思可能成为名师.”在往后的教授教养中且行且思,让教授教养工作更有筹划性.针对性和规范性,不竭完美教授教养进程,构建高效教室.。
由“平均变化率”教学引发的思考ppt 苏教版
四、怎么才能将“平均变化率”上得更好？
改进课堂小结 1. 梳理知识点 ——着眼于学生知识的增长 2. 总结解题规律 ——着眼于学生技能的提高 3. 提练思想方法 ——着眼于学生能力的发展 4. 回顾问题串，重温解决问题的过程，感受数学创造。 ——着眼于学生探索未知能力和创造能力的发展
一堂好课要非常注意学生自主、合作、探究能力的培养： 时间上要多一些，空间上要大一些，环境上要宽松一些。 一堂好课要在该解决的问题都解决这样一个层面上再高一层：
微积分创立的历程
1632年
1637年
1671年/ 1684年 1736年
1734年
1821年～ 20世纪初
伽利略
笛卡尔 （费尔马）
莱布尼茨
牛顿
贝克莱
柯西
科学发展的需要
要有一种全新的思想
需要巨人并且产生巨人
对比一下老教材、老教学、别人的教学
老教材、老教学、别人的教学
微积分几种不同的讲授方法 1. 首先介绍实数理论，再形成极限理论，再形成连续理论，基本 等函数的连续性证明，形成导数的概念导数的理论，形成研究 积分的工具，形成微分多项式，形成不定积分和定积分，微积 基本定理，应用。 2. 不讲实数理论，直接从极限理论开始讲。 3. 直观微积分（先学会计算导数）到严格微积分。 4. 哈佛大学的“微积分”，应用性很强，通过大量的实例让我们 解变化率，直观的理解微积分。这种讲法被目前的工科院校采 5. “问题微积分”，分解为问题，一个问题一个问题的解答。在 决问题中，学习微积分，但是进度不好把握。
对比一下老教材、老教学、别人的教学
课题 章节 课程标准 原数学教学大纲 平均变化率 导数的背景 导数的概念 选修 22/11 第一 第三册（选修Ⅰ）第二 第三册(选修Ⅱ)第三章第一节 节 章第一节 通过对一些实例直 通过瞬时速度、 切线的 了解导数概念的某些实际背景 （例 观感知、构建平均 斜率、 边际成本三个模 如瞬时速度，加速度，光滑曲线的 变化率的概念，并 型， 理解函数的增量与 切线的斜率等）；掌握函数在一点 初步运用和加深理 自变量的增量的比的 处的导数的定义和导数的几何意 解平均变化率. 极限的具体意义. 义；理解导函数的概念.
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“平均变化率”的教学反思
浙江衢州高级中学舒燕芳
在本次课题组的研讨会中我承担了“变化率问题”的教学任务，会前根据“中学数学核心概念、思想方法教学设计框架结构（试行稿）”进行了教学设计，并在高二年级进行教学实践，课题组以教学设计及实施过程为载体，分析和评价教学过程，尤其是对核心概念与数学思想方法的教学进行了深入的讨论，提出了许多指导性意见。
经过课题组的点评与讨论后，对本堂课教学设计中的某些环节有了更深入的理解，下面结合教学实践，对教学过程各环节进行反思。
1.对教学设计的反思
（1）对“平均变化率”概念在整章中的地位的认识
在教学设计时，我把“平均变化率”当成本节课的核心概念。
经过课后研讨，综合课题组成员的点评意见，经过自己的不断反思，发现“平均变化率”仅仅是个辅助性概念，它是为“导数”这个核心概念作铺垫的，当然这其中过渡性概念是“瞬时变化率”。
课堂教学中忽视了“平均变化率”与“导数”的联系，定位不准确导致这一概念的教学目的不明确。
为此，修改教学设计时必须突出“从平均变化率到瞬时变化率”的过程，引入“瞬时变化率”概念，同时指出“瞬时变化率”就是本章研究的“导数”。
（2）问题1的科学性
在教学设计时，我设计了如下问题作为整节课的引入：
问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?
设计意图是：这是学生熟悉的问题，能较快地解决，同时也有利于引出本节课的核心概念“平均变化率”。
从上课效果看也确实达到了我预想的目标，但课后点评后才发现，这一问题缺乏科学性，有待修改。
经反复思考，觉得改为：“甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元,假设资本在单位时间的扩张速度保持不变，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?”可能效果会更好。
（3）问题2与问题3的教学顺序
在教学设计时，按照课本的顺序，把“气球膨胀率问题”和“高台跳水问题”分别作为问题2和问题3。
当时觉得问题2（即气球膨胀率）的背景是学生比较熟悉的，有生活体验，从此处入手更加贴近生活，况且教材也是这样安排的。
但从教学实践看，问题2并没有起到应有的效果。
经过研讨和反思，觉得“高台跳水”是运动问题，函数模型是二次函数，比问题2的幂函数模型更简单、熟悉。
因此将问题2与问题3教学顺序交换后，教学效果会更好。
2.对教学过程的反思
（1）对学生认知基础的关注问题
课堂教学中发现，学生的反应与自己的预想相差甚远。
经了解实际情况，原因是学生还不知道两点连
线的斜率公式，从而导致“思考：观察函数的图象平均变化率表示什么?”的教学设计意图不能完全展现。
这是借班上课容易出现的问题，但从另一个侧面说明了教学中关注学生的认知基础是成功地实施课堂教学的前提。
（2）教学语言问题
从理论上讲，数学老师的语言应该做到严谨而简洁，体现理性美，这是自己知道的。
但在课堂教学中真正实施起来却又是另一种状况。
例如在分析例题“求函数的平均变化率”时，自己很随意地说：“此时的处是指默认的处”，缺乏逻辑性，词不达意，使学生不知所云。
出现这种现象的原因在于教学设计时不精细，没有在语言准确性上下功夫。
（3）学生思维量的“度”的把握
课堂实施过程中，虽然在形式上没有将知识直接抛给学生，但自己的“引导具”有明显的“牵”的味道。
在教学过程中，虽然能关注到适当的计算量，但激发学生思维的好问题不多。
整堂课学生的思维量不够，学生缺少思辩，同时留给学生判断和分析的成分、时间都不够。
例如，在分析“气球膨胀率问题”中
的函数变式时，目的仅仅为了推导变式函数，虽然有些学生也有一定的思考，但为了赶时间、赶任务，并没有进行更深入的分析。
3.对教学效果的反思
教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率。
当然也存在很多不足：对呼之欲出的“瞬时变化率”没有及时给出，缺乏联系性，没有用发展的眼光来处理教材；有关数学思想与方法的落实有所欠缺；等。
如果对教材挖掘得更到位些，更深入地体会教材的编写意图，那么相信这堂课就会上得更成功些。
面对自己精心准备的课被专家们评得一无是处，心里觉得很难过，同时也很想写些什么或说些什么来……。
经过这么长时间的反思，现在重新再看专家们的点评，想法又变了，觉得他们所说的有道理，有些确实是自己缺乏考虑，所以才有了上面的教学反思。
总之，课堂教学是一门高深的艺术，只有通过不断的实践，并在实践中反思，进行再创造，才能有所得，有所为。
通过这次活动，我觉得自己确实在成长。
参考文献：
《数学教学反思的内容与方法》（指导意见）本课题组第五次研讨会后形成的成果。
2008-10-06 人教网。