高中数学课时分层作业10双曲线的简单性质含解析北师大版选修1

高中数学课时分层作业10双曲线的简单性质含解析北师
大版选修1
课时分层作业(十) 双曲线的简单性质
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.
y 218－x 2
18
＝1 B.
x 218－y 2
18
＝1 C.x 28－y 2
8
＝1 D.y 28－x 2
8
＝1 B [设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2
a
2＝1(a ＞0)．
∴a 2
＋a 2
＝62
，∴a 2
＝18. 故双曲线方程为x 218－y 2
18
＝1.]
2．若双曲线x 2
＋ky 2
＝1的离心率是2，则实数k 的值是( ) A ．－3 B.13 C ．3
D ．－13
D [双曲线x 2＋ky 2
＝1可化为x 2
1－y
2
－
1
k
＝1，故离心率e ＝
1－
1k
1
＝2，解得k ＝－1
3
.]
3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.x 24－y 24＝1
B.y 24－x 24＝1
C.y 24－x 2
8
＝1 D.x 28－y 2
4
＝1 B [由顶点在y 轴上得该双曲线焦点位于y 轴，排除A 、D ，B 项，a ＝2，b ＝2，c ＝22，∴2a ＋2b ＝2·2c 符合题意．]
4．双曲线x 26－y 2
3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2
(r ＞0)相切，则r ＝( )
A. 3 B ．2 C ．3 D ．6
A [双曲线的渐近线方程为y ＝±
2
2
x ，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式及渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r ，且r ＝|32＋0|
2＋4
＝ 3.]
5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2
b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、
m 为边长的三角形是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
B [双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m
，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m
2
－b 2
)＝a 2m 2
，故a 2
＋b 2
＝m 2
，因此三角形为直角三角形．]
二、填空题
6．双曲线mx 2
＋y 2
＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________. [解析] ∵2a ＝2,2b ＝2－1
m
，∴
－1
m
＝2，
∴m ＝－1
4.
[答案] －1
4
7．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝13
5，则其渐近线方程为________．
[解析] 由于焦点在y 轴，则渐近线方程为y ＝±a b
x .
而e ＝c a ＝135，则b 2a 2＝c 2a 2－1＝14425，b a ＝125
，
∴渐近线方程为y ＝±512x .
[答案] y ＝±5
12
x
8．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作等边△MF 1F 2.若双
曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．
[解析] 如图，点N 为MF 2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．
|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c . 又∵|NF 1|－|NF 2|＝2a ， 即3c －c ＝2a .∴e ＝c a
＝23－1
＝3＋1.
[答案]
3＋1
三、解答题
9．求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±3
2
x ；
(2)求与双曲线x 2
－2y 2
＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程． [解] (1)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 2
4－y
2
9＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a 2
＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；
当λ<0时，a 2
＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814
＝1和y 29－x 2
4
＝1.
(2)设与双曲线x 2
2－y 2
＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 2
2－y 2
＝λ(λ≠0)，
将点(2，－2)代入双曲线方程， 得λ＝22
2－(－2)2
＝－2.
∴双曲线的标准方程为y 22－x 2
4
＝1.
10．已知椭圆D ：x 250＋y 2
25＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2
＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它
的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．
[解] 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.
设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
∴渐近线方程为bx ±ay ＝0，且a 2
＋b 2
＝25，
又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴
|5a |
b 2＋a 2
＝3，得a ＝3，b ＝4，
∴双曲线G 的方程为x 29－y 2
16
＝1.
[能力提升练]
1．设a ，b 是关于t 的方程t 2
cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2
)，B (b ，
b 2
)两点的直线与双曲线
x 2cos 2
θ－y 2
sin 2 θ
＝1的公共点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
A [由根与系数的关系，得a ＋b ＝－tan θ，ab ＝0，则a ，b 中必有一个为0，另一个为－tan θ.不妨设A (0,0)，
B (－tan θ，tan 2
θ)，则直线AB 的方程为y ＝－x tan θ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y ＝±x tan θ，显然直线AB 是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．]
2．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.
3＋12 D.5＋1
2
D [设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y
＝b
a x ，而k BF ＝－
b c
，
∴b a ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b c
＝－1，整理得b 2
＝ac .
∴c 2
－a 2
－ac ＝0，两边同除以a 2
，得e 2
－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－5
2
(舍去)，故选D.]
3．设双曲线x 29－y 2
16＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 面积为________．
[解析] A (3,0)，F (5,0)，取过F 平行于渐近线y ＝43x 的直线，则方程为y ＝4
3
(x －5)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝4
3(x －5)，x 2
9－y 2
16＝1，
得B ⎝
⎛⎭⎪⎫175
，－3215.
∴△AFB 的面积S ＝12(5－3)×3215＝32
15.
[答案]
32
15
4．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形
的三个顶点，则双曲线的离心率为________．
[解析] 由题设条件可得，
2b
c
＝3，
所以b 2c 2＝34，
所以c 2－a 2c 2＝34，
所以c 2
a
2＝4，
所以e ＝2. [答案] 2
5．已知双曲线3x 2
－y 2
＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．
[解] 双曲线方程可化为x 21－y 2
3
＝1，
c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2.
∴F 2(2,0)，又l 的斜率为1. ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 代入双曲线方程，得2x 2
＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∵x 1·x 2＝－7
2
<0，
∴A 、B 两点不位于双曲线的同一支上． ∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－7
2，
∴|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝1＋k
2
(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2
＝2·(－2)2
－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫－72＝6.。