变量之间的关系(北师大版数学七年级下册)
七年级数学下册 第3章 变量之间的关系 3.3 用图像表示的变量间关系课件 (新版)北师大版
例1 新成药业集团研究了一种新药,在试验药效时发现,如果儿童按规 定剂量服用,那么2时时血液中的含药量最高,接着逐步衰减,每毫升血液 中的含药量y(微克)随时间x(时)的变化情况如图3-3-1所示,当儿童按规 定剂量服药后:
图3-3-1
(1)何时血液中的含药量最高?是多少微克? (2)A点表示什么意义? (3)每毫升血液中含药量为2微克以上时治疗疾病有效,那么这个有效时 间多长?
解析 (1)2时时血液中的含药量最高,为4微克. (2)A点表示体内的含药量衰减到0微克. (3)服药后达到2微克的时间是1时,衰减到2微克的时间是6时,因此有效 时间是5时.
知识点二 行程问题 “路程与时间”图象和“速度与时间”图象 (1)在路程与时间关系的图象中,通常用横轴表示时间,用纵轴表示路程, “水平线”表示停止. (2)在速度与时间关系的图象中,通常用横轴表示时间,用纵轴表示速度, “水平线”表示匀速运动. (3)在行程问题中,“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两 个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系,它们既有区别又有联 系.现将“速度与时间”图象和“路程与时间”图象各部分所表示的意 义作如下对比:
易错警示 由于不理解函数的意义,特别是不理解函数图象中平行于x 轴的线段表示“一段时间内离家的距离保持不变”,只能根据图象的形 状来选择行走的路线.
从图象中获取信息的直观想象 素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与 变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括: 借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、 分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决 问题的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形 成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础. 在直观想象核心素养的形成过程中,学生能提升数形综合的能力,发展 几何直观和空间想象能力;增强运用几何直观和空间想象思考问题的意 识;形成数学直观,在具体的情境中感悟事物的本质.
北师大版七年级数学下册第三章 变量之间的关系(考点讲解)(含解析)
第三章 变量之间的关系【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系. 3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.4．能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系,并进行简单的预测. 【考点总结】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量.特别说明：一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化过程而言的.例如,60s t =,速度60千米/时是常量,时间t 和里程s 为变量. t 是自变量,s 是因变量. 要点二、用表格表示变量间关系借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.特别说明：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值,这会对某些特定的数值带来一目了然的效果,例如火车的时刻表,平方表等. 要点三、用关系式表示变量间关系关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =）,我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系,但较抽象,不是所有的变量之间都能列出关系式. 要点四、用图象表示变量间关系图象是我们表示变量之间关系的又一种方法,它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量,用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势,而且对于一些无法用关系式表达的变量,图象可以充当重要角色. 【例题讲解】类型一、常量、自变量与因变量例1、根据心理学家研究发现,学生对一个新概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （分钟）之间有如表所示的关系：（1）上表中反映的两个变量之间的关系,哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是多少分钟时,学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系,得出答案；（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；（3）提供变化情况得出结论．【详解】解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量,其中“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是13分钟时,学生的接受能力最强达到59.9；（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系,理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．【训练】某公交车每月的支出费用为4000元,每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数x与每月利润y分别是变量和变量；（2）观察表中数据可知,每月乘客量达到人以上时,该公交车才不会亏损；（3）当每月乘车人数为4000人时,每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数,每月利润；（2）2000人；（3）4000元【分析】（1）根据函数的定义即可求解；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,即可求解；（3）有表中的数据推理即可求解．【详解】解：（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数是自变量,每月利润是因变量；故答案为：每月的乘车人数,每月利润；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,故答案为：2000；（3）有表中的数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每月的利润可增加1000元,当每月的乘车人数为2000人时,利润为0元,故每月乘车人数为4000人时,每月的利润是（4000-2000）÷500×1000=4000元．【点睛】本题考查了根据表格与函数知识,正确读懂表格,理解表格体现变化趋势是解题关键．类型二、用表格表示变量间关系例2、一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用时间t表示时间,v表示速度,那么随着t的变化,v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1秒,v的变化情况相同吗？在哪个时间段内,v增加的最快？（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限．【答案】（1）时间与速度；时间；速度；（2）0到3和4到10,v随着t的增大而增大,而3到4,v随着t的增大而减小；（3）不相同；第9秒时；（4）1秒．【分析】（1）根据表中的数据,即可得出两个变量以及自变量、因变量；（2）根据时间与速度之间的关系,即可求出v的变化趋势；（3）根据表中的数据可得出V的变化情况以及在哪1秒钟,V的增加最大；（4）根据小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,再根据时间与速度的关系式即可得出答案．【详解】解：（1）上表反映了时间与速度之间的关系,时间是自变量,速度是因变量；（2）如果用t 表示时间,v 表示速度,那么随着t 的变化,v 的变化趋势是0到3和4到10,v 随着t 的增大而增大,而3到4,v 随着t 的增大而减小；（3）当t 每增加1秒,v 的变化情况不相同,在第9秒时,v 的增加最大； （4）由题意得：120千米/小时=12010003600⨯（米/秒）,由33.328.9 4.4-=,且28.924.2 4.7 4.4-=>, 所以估计大约还需1秒．【点睛】本题主要考查函数的表示方法,常量与变量；关键是理解题意判断常量与变量,然后结合图表得到问题的答案即可．【训练】某路公交车每月有x 人次乘坐,每月的收入为y 元,每人次乘坐的票价相同,下面的表格是y 与x 的部分数据．x /人次500 1000 1500 2000 2500 3000 … y /元1000200040006000…（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）请将表格补充完整．（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元,如果该路公交车每月的利润要达到10000元,则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润=收入-支出费用）【答案】（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量；（2）表格见解析；（3）7000人次． 【分析】（1）根据表格即可得出结论；（2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元,即可得出结论； （3）先求出每增加1人次乘坐,每月的收入就增加2元,然后求出总收入即可求出结论； 解：（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量． （2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元, 表格补充如下：÷=（元）（3）10005002()÷（人次）4000+100002=7000答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次【点睛】此题考查的是变量与常量的应用,掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．类型三、用关系式表示变量间关系例3.按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数,用y来表示可坐人数．①题中有几个变量？②你能写出两个变量之间的关系吗？【答案】①有2个变量；②能,函数关系式可以为y=4x+2．【解析】试题分析：①根据变量和常量的定义可得结果；②由图形可知,第一张餐桌上可以摆放6把椅子,进一步观察发现：多一张餐桌,多放4把椅子．x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2．试题解析：①观察图形：x=1时,y=6,x=2时,y=10；x=3时,y=14；…可见每增加一张桌子,便增加4个座位,因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2个座位．故可坐人数y=4x+2,故答案为：有2个变量；②能,由①分析可得：函数关系式可以为y=4x+2．【训练】已知,如图,在直角三角形ABC中,∠ABC＝90°,AC＝10,BC＝6,AB＝8．P是线段AC上的一个动点,当点P从点C向点A运动时,运动到点A停止,设PC＝x,△ABP的面积为y．求y与x之间的关系式．【答案】y＝﹣125x+24．【分析】过点B作BD⊥AC于D,则BD为AC边上的高．根据△ABC的面积不变即可求出BD；根据三角形的面积公式得出S△ABP＝12AP•BD,代入数值,即可求出y与x之间的关系式．【详解】如图,过点B作BD⊥AC于D．∵S△ABC＝12AC•BD＝12AB•BC,∴BD＝8624105 AB BCAC⋅⨯==；∵AC＝10,PC＝x,∴AP＝AC﹣PC＝10﹣x,∴S△ABP＝12AP•BD＝12×（10﹣x）×245＝﹣125x+24,∴y与x之间的关系式为：y＝﹣125x+24．【点睛】此题考查直角三角形的面积求法,列关系式的方法,能理解图形中三角形的面积求法得到高线BD的值是解题的关键.类型四、用图象表示变量间关系例4、巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体,到达起点后小明做了一会准备活动,朱老师先跑．当小明出发时,朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息,解答下列问题：(1)在上述变化过程中,自变量是______,因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒,小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时,求小明距起点的距离是多少米？【答案】(1)t,s；(2)2,6；(3)小明距起点的距离为300米．【分析】解析(1)观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变(2)根据速度=路程÷时间,即可分别算出朱老师以及小明的速度;(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师,列出关系式即可解答【详解】解：(1)在上述变化过程中,自变量是t,因变量是s；(2)朱老师的速度420200110＝2(米/秒),小明的速度为42070＝6(米/秒)；故答案为t,s；2,6；(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师根据题意得6t＝200+2t,解得t＝50(s),则50×6＝300(米),所以当小明第一次追上朱老师时,小明距起点的距离为300米．【点睛】此题考查一次函数的应用,解题关键在于看懂图中数据【训练】如图是甲、乙两人同一地点出发后,路程随时间变化的图象．（1）此变化过程中, 是自变量, 是因变量；（2）甲的速度乙的速度（大于、等于、小于）；（3）6时表示；（4）路程为150km,甲行驶了小时,乙行驶了小时；（5）9时甲在乙的（前面、后面、相同位置）；（6）乙比甲先走了3小时,对吗？.【答案】（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 【解析】试题分析：（1）根据自变量与因变量的含义得到时间是自变量,路程是因变量；（2）甲走6小时行驶100千米,乙走3小时走100千米,则可得到他们的速度的大小；（3）6时两图象相交,说明他们相遇；（4）观察图形得到路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）观察图象得到t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些；（6）观察图象得到甲先出发3小时后,乙才开始出发.试题解析：解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象,则t是自变量,s是因变量；（2）甲的速度是100÷6=503千米/小时,乙的速度是100÷3=1003千米/小时,所以甲的速度小于乙的速度；（3）6时表示他们相遇,即乙追赶上了甲；（4）路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些,所以9时甲在乙的后面；（6）不对,是乙比甲晚走了3小时.故答案为（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 考点：函数的图象.【训练】根据图回答下列问题.(1)图中表示哪两个变量间的关系?(2)A、B两点代表了什么?(3)你能设计一个实际事例与图中表示的情况一致吗?【答案】（1）时间与价钱；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元【解析】试题分析：认真分析表中数据再结合身边的事例即可得到结果.（1）图中表示时间与价钱的关系；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元考点：本题考查的是函数的图象点评：解答本题的关键是读懂图象,得到图象的特征及规律,再根据这个规律解决问题.。
北师大版七年级数学下册 3.2 用关系式表示的变量间的关系 %28共20张PPT%29
(C) A．y＝x2
B．y＝(12－x)2
C．y＝(12－x)·x
D．y＝2(12－x)
导引：因为长方形的周长为24 cm，其中一边长为x cm， 所以另一边长为(12－x) cm，因为面积为y cm2，
所以该长方形中y与x的关系可以写为y＝(12－x)·x.
总结
解决此类问题时，关键是要运用建模思想，先分 析题意，用两个不同的字母分别表示出两个变量，如 此题中用x表示自变量，用y表示因变量，然后根据问 题中所蕴含的等量关系列出等式，最后将等式转化为 用含自变量的代数式表示因变量的形式．
第三章 变量之间的关系
3.2 用关系式表示的变量间的关系
学习目标
一、学会课用堂关讲系式表示的变量间的关系并和表格互化 二、知道如何用关系式求值
温故知新
1.变量与常量的意义是什么？
一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变 量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．
2.什么是自变量、因变量？
因变量各是什么？ (2)如果圆锥底面半径为r(cm)，那么圆锥的体积V(cm3)
与r的关系式为________. (3)当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由
________cm3变化到________cm3.
例1 长方形的周长为24 cm，其中一边长为x cm(x＞0)， 面积为y cm2，则该长方形中y与x的关系可以写为
C．y＝0.12x，0≤x≤500
D．y＝60－0.12x，0≤x≤500
3.百货大楼进了一批花布，出售时要在进价(进货价 格)的基础上加一定的利润，其长度x与售价y如下表：
长度x/m 1
2
3
4…
售价y/元 8＋0.3 16＋0.6 24＋0.9 32＋1.2 …
数学北师大版七年级下册用关系式表示变量间的关系
400 cm3 。 3
议一议(P67)
（1）家居用电的二氧化碳排放量可以用 y = 0.785x 关系式表示为_____________ ，
其中的字母表示：
y 为家居用电的二氧化 碳排放量 ； x 为耗电量 。
（2）在上述关系式中，耗电量每增加 1 KW· h，二氧化碳排放量增加 0.785kg ___________ 。当耗电量 从1 KW· h增加到100 KW· h时，二氧化碳排 0.785kg 增加 放量从_______ 78.5kg 到_________ 。
（3）小明家本月用电大约110 KW· h、 天然气20m3、自来水5t、油耗75L，请 你计算一下小明家这几项的二氧化碳 总排放量。
0.785 110
0.19 20
2.7 75
0.91 5
ห้องสมุดไป่ตู้
297.2kg
随堂练习(P67)
1、在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）
来表示，根据这个关系式，当
面积 y y=3x表示了 三角形底边长 _ x 和_________
之间的关系，它是变量 的关系式。
y
随
x
变化
y = 3x
因变量 含自变量代数式 自变量的取值要符合实际
7 cm 当三角形的面积为21cm2时，底边长为______
自学检测一
1.将一个长为20cm，宽为10cm的长方形的四个角， 分别剪去大小相等的正方形，若被剪去正方形
B
（2）如果三角形底边BC长为x（cm）
C
那么三角形的面积y（cm2）可以表示为 （3）当底边长从12cm变化到3cm时，
y=3x
.
36 2变化到____cm 2 9 三角形的面积从______cm
第三章 变量之间的关系(单元小结)七年级数学下册(北师大版)
知识专题
用表格表示变量之间关系的“三个一” 一个优点：根据表格中已列出的自变量的值，可以直接查 到与其对应的因变量的值，使用起来比较方便. 一个不足：表格中所列出的对应值一般都是有限的，由表 格不容易看出两个变量之间的对应规律，不能直观、形象 地反映变量之间的变化趋势. 一个注意：用表格表示变量之间关系时,要先表示自变量,再 表示因变量,在表示自变量和因变量时,第一列要写单位名称.
小兰前20分的速度为6千米/时，最后10分的速度为18千米/时. （3）小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？
小红的平均速度为6千米/时，小兰的平均速度为5千米/时.
考点专练
例4：一辆汽车以每时 50 千米的速度行驶了 t 时，行驶路 程为 s 千米. （1）这个情境中，有哪些变量？其中自变量是什么？因
缓——速度越慢
知识专题
三种表示变量之间关系的方法和优缺点：
方法
优点
缺点
表格法
对于表中自变量的每一个值，可以 只能列出部分自变量与因变量
不通过计算，直接把因变量的值找 的对应值，难以反映变量间变
到，查询时很方便，于是一些数学 化的全貌，而且从表中看不出
用表应运而生
变量间的对应规律
关系式法 关系式简明扼要，规范准确
程＝时间×速度”，销售问题中“销售额＝单价× 数量”等； (3)根据表格与图象中的信息列关系式(这种方法以后 会学习)等．
知识专题
4.用关系式表示变量之间的关系的优缺点：
优点：简单明了，能准确反映整个变化过程中自 变量与因变量的相互关系. 缺点：求对应值时有时要经过比较复杂的计算， 而且实际问题中，有的变量之间的关系不一定能 用关系式表示出来.
s/千米
实线—小兰 虚线—小红
北师大版七年级下册：《第四章 变量之间的关系》回顾与思考
第四章变量之间的关系第4章知识整合与解题指导一、知识导航1、主要概念：变量是；自变量是；因变量是。
2、变量之间关系的三种表示方法：。
其特点是：列表：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把的值找到，查询方便；但是欠，不能反映变化的全貌，不易看出变量间的对应规律。
关系式：简明扼要、规范准确；但有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示。
图像：形象直观。
可以形象地反映出事物变化的过程、变化的趋势和某些特征；但图像是近似的、局部的，由图像确定因变量的值欠准确。
3、主要数学思想方法：类比和比较的方法（举例说明）；数形结合和数学建模思想（举例说明）。
二、学习导航1、有关概念应用例1下列各题中，那些量在发生变化？其中自变量和因变量各是什么？①用总长为60的篱笆围成一边长为L（m），面积为S（m2）的矩形场地；②正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加为y.2、利用表格寻找变化规律例2研究表明，固定钾肥和磷肥的施用量，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：施肥量0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 （千克/公顷）土豆产量15.18 21.36 25.72 32.29 30.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75(吨/公顷)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？根据表格中的数据，你认为氮肥的使用量是多少时比较适宜？变式（湖南）一辆小汽车在高速公路上从静止到起动10秒后的速度经测量如下表：时间/秒0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10速度/米/秒0 0.3 1.3 2.8 4.9 7.6 11.0 14.1 18.4 24.2 28.9①上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是因变量？②如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？③当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒中，v的增加最大？④若高速公路上小汽车行驶的速度的上限为120千米/时，试估计大约还需要几秒小汽车速度就将达到这个上限？3、用关系式表示两变量的关系例3.、①设一长方体盒子高为10，底面积为正方形，求这个长方形的体积v与底面边长a 的关系。
北师大版七年级数学下册第三章 变量之间的关系1 用表格表示的变量间关系
时间发生了变化，木板的长度没变化.
归纳总结
变量
支撑物的高度 h t 随 h 的变 h 是自变量 小车下滑的时间 t 化而变化 t 是因变量
数值发生变化的量
常量
木板的长度
像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量.
议一议
4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35
1.23 0.55 0.32 0.24 0.18 0.12 0.09 0.09 0.06
（2）如果用 h 表示支撑物高度，t 表示小车下滑时间， 随着 h 逐渐变大，t 的变化趋势是什么？ 变小
（3）h 每增加 10 cm，t 的变化情况相同吗？ 不同
是怎样变化的？ 从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口增加 1.5 亿左右，但最后10年的增加量大约只有0.76亿，
典例精析 例1 父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低”， 并且出示了下面的表格：
父亲给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答：
(1) 如果用 h 表示距离地面的高度，用 t 表示温度， 那么 随着 h 的变化，t 如何变化？
支撑物高度
/cm
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
小车下滑
时间/s
4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35
（4）估计当 h =110 cm 时，t 的值是多少. 你是怎样估 计的？ 估计是 1.30 s，因为时间越来越少.
变量之间 的关系
新知一览
用表格表示的变 量间关系
北师大版七年级数学下册第三章知识点：变量之间的关系
（封面）北师大版七年级数学下册第三章知识点：变量之间的关系授课学科：授课年级：授课教师：授课时间：XX学校一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
3、自变量与因变量的确定：（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。
二、表格1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；（3）结合实际情境理解它们之间的关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。
三、关系式1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径：（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。
（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用：（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。
北师大版七年级下册数学第四章变量之间的关系(学生、家长、教师必备)
第四章变量之间的关系■通关口诀：变化过程是前提；变与不变两量分。
自变因变要弄清；两个变量关系明。
两量关系表式图；三法优劣要弄通。
变量互求需关系；一设一表要初懂。
列出关系方程法；此为函数基础篇。
■正奇数学学堂【知识点一】变量与常量。
1．变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量。
如果两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，另一个变量有唯一确定的数值与其对应，那么通常前一个变量叫做自变量，后一个变量叫做自变量的因变量。
2．常量：某一变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量。
一个变化过程中有一个或几个常量。
3．表现形式：变量只能是字母或含有字母的代数式；常量可以是数，也可以是字母。
4．两种变量的辨识：关键看谁主动，谁被动。
一个变化过程中：一定要有变量，且不可能只有一个变量。
〖母题示例〗在某一变化过程中不断变化的量，叫做；如果一个变量y随另一个变量x 的变化而变化，则把x叫做，y叫做。
即先发生变化的量叫做，后发生变化或者随自变量的变化而变化的量叫做。
2．常量：。
【知识点二】表格法表示两个变量之间的关系。
1．表格法：借助常用的表格，可以表示因变量随自变量变化而变化的情况（含规律）。
表格中，一般第一栏表示自变量；第二栏表示因变量。
2．学会看表：查对应值；看变化趋势；看增减情况；找变化规律；预测“未来”。
3．优缺点：优点：一目了然、方便快捷；缺点：不全面，变化规律也不易看出。
〖母题示例〗1．某年某地前半年大米的平均价格如下表表示：(1)表中列出的是哪两个变量之间的关系?哪个是自变量,哪个是因变量?(2)自变量是什么值时,因变量的值最小?自变量是什么值时,因变量的值最大?(3)该地哪一段时间大米平均价格在上涨?哪一段时间大米平均价格在下落?(4)从表中可以得到该地大米平均价格变化方面的哪些信息?平均比年初降低了,还是涨价？2．小强通过卖报存够了钱,买了一辆新的自行车,小强马上告诉了两个朋友,10min后,他们又各自告诉了另外两个朋友,再过10min,这些朋友又各自告诉了两个朋友,如果消息按这样的速度传下去,80min•后将有多少人知道小强买了一辆新自行车的消息?3．某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置：月份 1 2 3 4 5 6平均价格(元/kg)2.3 2.4 2.4 2.5 2.4 2.272686460座位数4321排数(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)第5排、第6排各有多少个座位？(3)第n排有多少个座位？请说明你的理由。
七年级数学下册第三章变量之间的关系3.2用关系式表示变量间的关系教学设计新版北师大版
七年级数学下册第三章变量之间的关系3.2用关系式表示变量间的关系教学设计新版北师大版一. 教材分析北师大版七年级数学下册第三章“变量之间的关系”是学生在学习了二元一次方程组的基础上，进一步探讨变量之间的关系。
本节内容通过用关系式表示变量间的关系，让学生体会数学与实际生活的紧密联系，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了二元一次方程组的知识，对于用关系式表示变量间的关系并不陌生。
但如何将现实生活中的问题转化为数学问题，用数学语言描述和解决问题，仍是学生需要提高的地方。
此外，部分学生可能对数学与实际生活的联系缺乏认识，需要教师在教学中加以引导。
三. 教学目标1.理解函数的概念，掌握用关系式表示变量间的关系。
2.能够将现实生活中的问题转化为数学问题，并用数学语言描述和解决问题。
3.培养学生的动手操作能力、合作交流能力和数学思维能力。
4.体会数学与实际生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解函数的概念，掌握用关系式表示变量间的关系。
2.难点：如何将现实生活中的问题转化为数学问题，并用数学语言描述和解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过现实生活中的实例，引导学生发现数学问题，体会数学与生活的联系。
2.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和交流能力。
3.动手操作法：让学生亲自动手操作，提高学生的动手能力和实践能力。
4.引导发现法：教师引导学生发现规律，培养学生独立思考和发现问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示现实生活中的实例和数学问题。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、投影仪等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示现实生活中的实例，如购物时发现商品打折，原价和折后价之间的关系。
引导学生发现这是一个数学问题，进而引入本节课的内容。
2.呈现（10分钟）教师讲解函数的概念，并用关系式表示变量间的关系。
北师大版七年级数学下册教学设计(含解析)：第三章变量之间的关系章末复习
北师大版七年级数学下册教学设计（含解析）：第三章变量之间的关系章末复习一. 教材分析北师大版七年级数学下册第三章《变量之间的关系》是学生在掌握了函数概念和一次函数、二次函数的基础上，进一步探究变量之间的关系。
本章内容主要包括线性相关关系、函数的性质以及实际问题中的变量关系等。
通过本章的学习，学生能够理解变量之间的相互关系，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数、二次函数的知识，具备一定的数学思维能力。
但学生在解决实际问题时，往往难以将数学知识与生活实际相结合，对变量之间的关系理解不够深入。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生将理论知识应用于实际问题，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.理解变量之间的线性相关关系，掌握函数的性质。
2.能够运用函数解决实际问题，提高数学应用能力。
3.培养学生的团队合作精神，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：理解变量之间的线性相关关系，掌握函数的性质。
2.难点：将函数知识应用于实际问题，解决生活中的数学问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解变量之间的关系。
2.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的数学思维能力。
3.实践操作法：让学生在实际问题中运用函数知识，提高解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示生活中的实际问题。
2.练习题：准备相关练习题，巩固学生对函数知识的理解。
3.小组讨论材料：为学生提供小组讨论的问题和材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如购物时商品打折问题，引导学生思考价格与数量之间的关系。
让学生意识到变量之间存在某种联系，从而引出本章内容。
2.呈现（10分钟）展示一组实际问题，如身高与体重的关系。
让学生观察数据，发现变量之间的规律。
通过引导学生分析数据，呈现变量之间的线性相关关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析生活中的其他实例，如学习成绩与学习时间的关系。
七年级数学下册 第3章 变量之间的关系 3.2 用关系式表示的变量的关系课件
பைடு நூலகம்
x(人次)
500
1 000
1 500
2 000
2 500
3 000
3 500
…
y(元)
…
(2)根据(1)中表格的数据,请写出y与x之间的关系式,并直接回答:当每月 的乘客量达到多少人次以上时,该公交车才不会亏损?
(3)如果公交车每月的收入与支出的差额(chā é)要达到8 000元,则乘坐该公交
2
2
∴y=- 1 -1=- 3 .
2
2
2.(2017广东河源正德(zhènɡ dé)中学段考,16,★☆☆)某电器进价为250元,按标价的9
折出售,则此电器的利润y(元)与标价x(元)之间的关系式是
.
答案 y=0.9x-250
解析 根据“利润=售价-进价”得y=0.9x-250.
2021/12/11
值,也可以根据已知的因变量的值通过解方程求自变量的值.
3.两个变量之间关系式的特征. (1)关系式是等量,其中等式左边是因变量,右边是含自变量的代数式.
(2)关系式中只含有(hán yǒu)自变量和因变量这两个变量,其他的量都是常量.
(3)自变量可以在允许的范围内任意取值.
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第二页，共三十七页。
岁.
答案(dáàn) 72
解析 设所求的年龄为x岁,因为“老人系数”为0.6,所以60<x<80,则有
x =600.6,解得x=72,所以“老人系数”为0.6的人的年龄是72岁. 20
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第十四页，共三十七页。
3.某移动通信公司开设了两种通信业务,“全球通”:使用时首先缴50元
月租费,然后每通话1分钟,付话费0.4元;“动感地带”:不缴月租费,每通 话1分钟,付话费0.6元,若一个月通话x分钟,两种方式的费用分别为y1元
七年级数学北师大版下册教学课件 3.2用关系式表示的变量间关系
三、情境导入
活动1 旧知回顾
1.什么是常量？什么是变量？ 答：在一个变化过程中,数值始终不变的量叫常量.数值发生变化的量叫变 量.
2.汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶里程为s km,行驶时间为t h.先填写
下表：
t/h
1
2
3
4
5
…
s/km 60
120
180
240
300
…
(4)当圆柱的高每增加1 cm时,它的体积增加____cm3.
（家1用）自梯做来形水一面的积做二S氧与化上碳底：长a之间的关系式是什么？
5（出__x2租＋_）_车5_用_0的1小_0表_、起0_格到_步_表如价_大示_为_图当变_1.2a，从元化1(圆5时0公变锥里，到D以1的圆.5内时高均锥（为度每的1次2是元体增)4加,积超厘1过）也米5，公随S，里的之的当相路应发圆程值生每锥；公了的里变另的收化底2元。面,则半路程径为由x公里(x＞4米5厘)时收费y元,y与x的关系式是
练习
9.如图，圆柱的底面直径是2 cm，当圆柱的高h cm由大到小变化时，圆柱的体积 V(cm3)随之发生变化. (1)在这个变化中，自变量和因变量各
是什么？
自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积. (2)写出圆柱的体积V与高h之间的关系式.
V= （ 2 ）2 h =πh.
2
练习
9.如图，圆柱的底面直径是2 cm，当圆柱的高h cm由大到小变化时，圆柱的体积 V(cm3)随之发生变化. (3)当h由10 cm变化到5 cm时，V是怎样变化的？
a
50 n
D.以上书写均不规范
2.张老师带领 x 名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票 每张5元，设门票的总费用为y元，则 y = 5x+10 .
北师大版七年级下册数学-变量之间的关系
第三章变量之间的关系1．理解有关变量的基本概念、变量的表示方法2．熟悉在速度-时间变化、温度-时间变化、高度/深度-时间变化图像题的解题方法3．第二章相交线平行线提高题知识点一：有关变量的基本概念1、变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。
2、自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；3、因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于” 自变量的改变。
4、常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.知识点二：变量的表示方法1.列表法采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。
列表时一般第一行代表自变量，第二行代表因变量，选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出对应的因变量的值。
优点：直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，缺点：具有局限性，只能表示因变量的一部分。
2.图象法对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。
它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法。
特点：非常直观。
不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。
表示的步骤是：①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。
一般给出的数越多，画出的图象越精确。
②描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴或x轴）上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴（纵轴或y轴）上的点来表示因变量。
③连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。
注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；3.关系式法（解析法）关系式（即解析式）是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。
北师大数学七年级下册第四章-变量之间的关系
第01讲_变量之间的关系知识图谱变量之间的关系（北师版）知识精讲变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量常量在一个变化过程中，有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量关系一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且y随着x的变化而变化，x是自变量，y是因变量二．变量关系的三种表示方法表格法；关系式法；图像法．步骤列表表中给出一些自变量的值及其对应的因变量的值描点在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，因变量为纵坐标，描出表格中数值对应的各点连线按照横坐标由小道大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来注意事项1．表示两个变量的对应关系的点有无数个．但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置2．用实心点表示在曲线的点，用空心圈表示不在曲线的点四．易错点1．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．2．解决图象有关的问题，一定要注意理解横、纵坐标所表示的实际含义，然后根据图象求出函数解析式来解题．3．不能认为式子中出现的字母都是变量，如π不是变量而是常量．三点剖析一．考点：1．用表格表示的变量间关系； 2．用关系式表示的变量间关系； 3．用图象表示的变量间关系．二．重难点：用图象表示的变量之间的关系三．易错点：1．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．2．解决图象有关的问题，一定要注意理解横、纵坐标所表示的实际含义，然后根据图象求出函数解析式来解题．用表格表示的变量间关系例题1、 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂的物体的质量x （kg ）间有下面的关系： 下列说法不正确的是（ ）A.x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量B.所挂物体质量为4kg 时，弹簧长度为12cmC.弹簧不挂重物时的长度为0cmD.物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm 【答案】 C【解析】 根据给出的表格中数据分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案．例题2、 已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当易拉罐底面半径为2.4cm 时，易拉罐需要的用铝量是多少？（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由． （4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．【答案】 （1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量； （2）当底面半径为2.4cm 时，易拉罐的用铝量为356.cm ．（3）易拉罐底面半径为2.8cm 时比较合适，因为此时用铝较少，成本低．（4）当易拉罐底面半径在1.6～2.8cm 变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8～4.0cm 间变化时，用铝量随半径的增大而增大．【解析】 本题考查函数的自变量与函数变量，根据表格理解：随底面半径的增大，用铝量的变化情况是关键． 例题3、 某校组织学生到距学校6km 的光明科技馆参观，准备乘出租车去科技馆，出租车的收费标准如表：则收费y （元）与出租车行驶里程数x （km ）（x ≥3）之间的关系式为（ ）x 0 1 2 3 4 5y 10 10.5 11 11.5 12 12.5底面 半径 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 用铝量 6.96.05.65.55.76.06.5里程数收费/元 3km 以下（含3km ） 8.00 3km 以上每增加1km1.80A.y=8xB.y=1.8xC.y=8+1.8xD.y=2.6+1.8x【答案】 D【解析】 由题意得，所付车费为：y=1.8（x ﹣3）+8=1.8x+2.6（x ≥3）． 故选：D ．随练1、 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间有如下关系：（其中030x ≤≤）（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟后，学生的接受能力最强；（4）从表中可知，当时间x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？【答案】 见解析【解析】 （1）提出概念所用的时间x 和对概念接受能力y 两个变量； （2）当10x =时，59y =，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59；（3）当13x =时，y 的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强； （4）由表中数据可知：当213x <<时，y 值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当1320x <<时，y 值逐渐减下，学生的接受能力逐步降低．用关系式表示的变量间关系例题1、 写出下列各问题中的关系式，指出其中的常量、自变量、因变量及自变量取值范围． （1）直角三角形中一锐角的度数y 与另一锐角的度数x 之间的函数关系．（2）如果水的流速量是a m/min (一个定量)，那么每分钟的进水量3Q()m 与所选择的水管直径D (m )之间的函数关系． 【答案】 （1）90y x =-，90是常量，x 是自变量，y 是因变量，自变量x 的取值范围是090x <<；（2）24aD Q π=，常量为4aπ，自变量为D ，Q 为因变量，自变量0D >【解析】 （1）直角三角形两锐角互余，所以90y x =-，其中90是常量，x 是自变量，y 是因变量，自变量x 的取值范围是090x <<；（2）由水管直径为D 可知，水管的截面积为24D π，所以24aD Q π=，其中常量为4aπ，自变量为D ，Q 为因变量，自变量0D >；例题2、 等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ，则x 与y 之间的关系式为_________． 【答案】 y=8﹣12x （0＜x ＜8） 【解析】 ∵等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ． ∴x+2y=16， ∴y=8﹣12x （0＜x ＜8）． 例题3、 等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ，则x 与y 之间的关系式为 ．【答案】 y=8﹣12x （0＜x ＜8）．【解析】 ∵等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ．提出概念所用时间（x ） 257101213141720对概念的接受能力（y ）47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55∴x+2y=16，∴y=8﹣12x（0＜x＜8）．故答案为：y=8﹣12x（0＜x＜8）．随练1、等腰三角形的周长为30，则腰长y关于底边长x的函数关系式为__________，其中自变量x的取值范围是__________．【答案】1152y x=-+；015x<<【解析】230y x+=，整理得，1152y x=-+，根据三角形三边关系定理，02x y<<，∴102152x x⎛⎫<<-+⎪⎝⎭，∴015x<<．随练2、以直角三角形中的一个锐角的度数为自变量x，另一个锐角的度数y为因变量，则它们的关系式是．【答案】y=90°﹣x．【解析】根据题意得y=90°﹣x．故答案为y=90°﹣x．用图象表示的变量间关系例题1、小华同学利用假期时间乘坐一大巴去看望在外打工的妈妈，出发时，大巴的油箱装满了油，匀速行驶一段时间后，油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油，接着按原速度行驶，到目的地时油箱中还剩有13箱汽油，设油箱中所剩汽油量为V升，时间为t（分钟），则V与t的大致图象是（）A.AB.BC.CD.D【答案】D【解析】A、从图象可知最后纵坐标为0，即油箱是空的，与题意不符，故本选项错误；B、图象没有显示油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油的过程，与题意不符，故本选项错误；C、图象显示油箱的油用完以后又加满，与题意不符，故本选项错误；D、当t为0时，大巴油箱是满的，然后匀速减少至一半，又加满，到目的地是油箱中还剩有13箱汽油，故本选项正确．故选D．例题2、如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A.乙前4秒行驶的路程为48米B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C.两车到第3秒时行驶的路程相同D.在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度【答案】C【解析】A、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4=48米，故A正确；B、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加32 8=4米秒/，故B正确；C 、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，所以可得v=4t （v 、t 分别表示速度、时间），将v=12m/s 代入v=4t 得t=3s ，则t=3s 前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故C 错误；D 、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D 正确．随练1、 一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过_____分钟，容器中的水恰好放完．【答案】 8【解析】 由04-分钟的函数图象可知进水管的速度，根据412-分钟的函数图象求出水管的速度，再求关停进水管后，出水经过的时间．进水管的速度为：2045÷=（升/分），出水管的速度为：()()53020124 3.75--÷-=（升/分），∴关停进水管后，出水经过的时间为：30 3.758÷=分钟．随练2、 上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y 与时间t 之间的函数关系的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】 B【解析】 根据题意得，函数图象是距离先变短，再变长，在教室内没变化，最后迅速变短，B 符合题意随练3、 在20km 越野赛中，甲乙两选手的行程y （单位：km ）随时间x （单位：h ）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度； ②出发后1小时，两人行程均为10km ； ③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km ； ④甲比乙先到达终点． 其中正确的有_______个．【答案】 1【解析】 在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度，0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km ，故②正确；甲的图象的解析式为y=10x ，乙AB 段图象的解析式为y=4x+6，因此出发1.5小时后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，甲的行程比乙少3千米，故③错误；乙到达终点所用的时间较少，因此乙比甲先到达终点，故④错误．拓展1、 如图所示，某计算装置有一个数据输入口A 和一个运算结果输入口B ，下表给出的是小红输入的数字及所得的运算结果（1）若小红输入的数为x ，输出的结果为y ，你能用x 表示y 么？请写出来．（不需要写出x 的取值范围）（2）若输出结果为8，求小红输入的数字 【答案】 （1）1y x =-（2）81【解析】 （1）由表中数据可观察到，每个B 中数据都是在A 中数据开方后减一所得，101-=-，011=-，141=-，∴可得到函数1y x =-．（2）当8y =时，()211y x x y =-⇒=+，∴2981x ==．2、 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度()y cm 与所挂的物体的质量()x kg 间有下面的关系：下列说法不正确的是（ ）A.x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量B.所挂物体质量为4kg 时，弹簧长度为12cmC.弹簧不挂重物时的长度为0cmD.物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm 【答案】 C【解析】 弹簧不挂重物时的长度为10cm3、 在某次实验中，测得两个变量m 和v 之间的4组对应数据如下表：则m 与v 之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）A.22v m =-B.21v m =-C.33v m =-D.1v m =+【答案】 B【解析】 分别代入当4m =时，算出v 即可．4、 购买单价为每支1.2元的铅笔，总金额y （元）与铅笔数n （支）的关系式可表示为y =__________，其中，__________是常量，__________是变量． 【答案】 1.2n ，单价，铅笔数【解析】 总金额等于每支铅笔的价格乘以铅笔的支数，故 1.2y n =，铅笔的单价是常量，铅笔数是变量． 5、 乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于或等于3千米时，乘车费用都是10元（即起步价10元），当行驶路程大于3千米时，超过3千米的部分每千米收费2元，若一次乘坐这种出租车行驶4千米，则应付车费__________元；若一次乘坐这种出租车付费20元，则乘车路程是__________千米． 【答案】 12,8【解析】 本题考查函数的应用。
北师大初中数学七下变量之间的关系(附答案)
北师大初中数学七下变量之间的关系（带解析）1.甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：（1）他们都行驶了18千米；（2）甲在途中停留了0.5小时；（3）乙比甲晚出发了0.5小时；（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；（5）甲、乙两人同时到达目的地．其中，符合图象描述的说法有（）A．2个B．4个C．3个D．5个2.甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点O代表的是学校，x表示的是行走时间（单位：分），y表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；②甲先到达的目的地；③甲在停留10分钟之后提高了行走速度；④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．所有正确推断的序号是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②④3.已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②两分钟后乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B地；④当x＝2或6时，甲乙两人相距100米．正确的有（在横线上填写正确的序号）．4.重庆实验外国语学校运动会期间，小明和小欢两人打算匀速从教室跑到600米外的操场参加入场式，出发时小明发现鞋带松了，停下来系鞋带，小欢继续跑往操场，小明系好鞋带后立即沿同一路线开始追赶小欢小明在途中追上小欢后继续前行，小明到达操场时入场式还没有开始，于是小明站在操场等待，小欢继续前往操场．设小明和小欢两人相距s （米），小欢行走的时间为t（分钟），s关于t的函数图象如图所示，则在整个运动过程中，小明和小欢第一次相距80米后，再过分钟两人再次相距80米．5.在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从A市送到B市，到达B市放下志愿者后立即按原路原速返回A市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从B市向A市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同一条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为x（h），两人相距y（km），如图表示y随x变化而变化的情况，根据图象解决以下问题：（1）A、B两市之间的路程为km；点M表示的实际意义是；（2）小张开车的速度是km/h；小李骑摩托车的速度是km/h．（3）试求出发多长时间后，两人相距60km．6.一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为_____米．7.赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y（米）与时间x（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）起点A与终点B之间相距多远？（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？8.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，中途与乙相遇后休息了一会儿，然后以原来的速度继续行驶直到A地．设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，则乙车到达A地时甲车距B地的路程为___________千米．10.“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是多少米；（2）小明在书店停留了多少分钟；（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？11.某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题：(1)洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升．①求排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)与之间的关系式；②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．12.小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系.（1)小亮行走的总路程是_________米，他途中休息了___________分；（2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度；（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？1.甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：（1）他们都行驶了18千米；（2）甲在途中停留了0.5小时；（3）乙比甲晚出发了0.5小时；（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；（5）甲、乙两人同时到达目的地．其中，符合图象描述的说法有（）A．2个B．4个C．3个D．5个【分析】通过观察图象可得到甲出发0.5小时后停留了0.5小时，然后再用1.5小时到达离出发地18千米的目的地；乙比甲晚0.5小时出发，用1.5小时到达离出发地18千米的目的地，根据此信息分别对5种说法分别进行判断．【解答】解：观察图象，甲、乙到达目的地时离出发地的距离，所以（1）正确；都为18千米，甲在0.5小时至1小时之间，S没有变化，说明甲在途中停留了0.5小时，所以（2）正确；甲出发0.5小时后乙开始出发，说明（3）正确；两图象相交后乙的图象在甲的上方，说明甲的速度小于乙的速度，所以（4）不正确；甲出发2.5小时后到达目的地，而乙在甲出发2小时后到达目的地，所以（5）不正确．故选：C．【点评】本题考查了函数图象：学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．2.甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点O代表的是学校，x表示的是行走时间（单位：分），y表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；②甲先到达的目的地；③甲在停留10分钟之后提高了行走速度；④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．所有正确推断的序号是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②④【分析】根据函数图象中的数据得出路程、时间与速度，进而解答即可．【解答】解：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了20﹣10＝10分钟，说法正确；②甲在35分时到达，乙在40分时到达，所以甲先到达的目的地，说法正确；⑧甲在停留10分钟之后减慢了行走速度，说法错误；④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，说法正确；故选：D．【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．3.已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②两分钟后乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B地；④当x＝2或6时，甲乙两人相距100米．正确的有（在横线上填写正确的序号）．【分析】①根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断该小题是否正确；②根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是500﹣300＝200米，从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断该小题是否正确；③根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断该小题是否正确；④根据图象，可以分别计算出x＝2和x＝6时，甲乙两人的距离，从而可以判断该小题是否正确．【解答】解：由图象可得，甲每分钟走：600÷6＝100（米），故①正确；两分钟后乙每分钟走：（500﹣300）÷（6﹣2）＝200÷4＝50（米），故②正确；乙到达B地用的时间为：2+（600﹣300）÷50＝2+300÷50＝2+6＝8（分钟），则甲比乙提前8﹣6＝2分钟达到B地，故③错误；当x＝2时，甲乙相距300﹣100×2＝300﹣200＝100（米），当x＝6时，甲乙相距600﹣500＝100米，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．4.重庆实验外国语学校运动会期间，小明和小欢两人打算匀速从教室跑到600米外的操场参加入场式，出发时小明发现鞋带松了，停下来系鞋带，小欢继续跑往操场，小明系好鞋带后立即沿同一路线开始追赶小欢小明在途中追上小欢后继续前行，小明到达操场时入场式还没有开始，于是小明站在操场等待，小欢继续前往操场．设小明和小欢两人相距s （米），小欢行走的时间为t（分钟），s关于t的函数图象如图所示，则在整个运动过程中，小明和小欢第一次相距80米后，再过分钟两人再次相距80米．【分析】由题意小欢的速度为40米/分钟，小明的速度为80米/分钟，设小明在途中追上小欢后需要x分钟两人相距80米，则：80x﹣40x＝80，解得x＝2分钟，推出小欢一共走了40×（2+2）＝160（米），由此即可解决问题．【解答】解：由题意小欢的速度为40米/分钟，小明的速度为80米/分钟，设小明在途中追上小欢后需要x分钟两人相距80米，则有：80x﹣40x＝80，∴x＝2，此时小欢一共走了40×（2+2）＝160（米），（600﹣160﹣80）÷40＝9（分）．即小明和小欢第一次相距80米后，再过9分钟两人再次相距80米．故答案为：9【点评】本题考查一次函数的应用，路程，速度，时间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．5.在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从A市送到B市，到达B市放下志愿者后立即按原路原速返回A市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从B市向A市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同一条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为x（h），两人相距y（km），如图表示y随x变化而变化的情况，根据图象解决以下问题：（1）A、B两市之间的路程为240km；点M表示的实际意义是出发2小时小张与小李相遇；（2）小张开车的速度是80km/h；小李骑摩托车的速度是40km/h．（3）试求出发多长时间后，两人相距60km．【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据解答即可；（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得小张开车的速度和小李骑摩托车的速度；（3）由（2）的结论分情况列方程解答即可．【答案】解：（1）根据函数图象中的数据可得A、B两市之间的路程为240km，M表示的实际意义是出发2小时小张与小李相遇；故答案为：240；出发2小时小张与小李相遇；（2）小张开车的速度为：240÷3＝80（km/h），小李骑摩托车的速度为：240÷2﹣80＝40（km/h）．故答案为：80；40；（3）设出发x小时两人相距60km．有三种情况：相遇前：80x+40x+60＝240，解得x＝1.5；相遇后小张未到达B市前：80x+40x﹣60＝240，解得x＝2.5；小张返回途中：40x﹣80（x﹣3）＝60，解得x＝4.5；答：出发1.5，2.5，4.5小时，两人相距60km．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．6.一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为_____米．【答案】200【详解】由图象得：小玲步行速度：1200÷30=40（米/分），由函数图象得出，妈妈在小玲10分后出发，15分时追上小玲，设妈妈去时的速度为v米/分，（15-10）v=15×40，v=120，则妈妈回家的时间：154060⨯=10，（30-15-10）×40=200．故答案为200．7.赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y（米）与时间x（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）起点A与终点B之间相距多远？（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？【答案】（1）3000米；（2）甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点；（3）y=200x﹣1000（5≤x≤20）；（4）甲龙舟队出发53或10或15或703分钟时，两支龙舟队相距200米解：（1）由图可得，起点A与终点B之间相距3000米；（2）由图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点；（3）设甲龙舟队的y与x函数关系式为y=kx，把（25，3000）代入，可得3000=25k，解得k=120，∴甲龙舟队的y与x函数关系式为y=120x（0≤x≤25），设乙龙舟队的y与x函数关系式为y=ax+b，把（5，0），（20，3000）代入，可得：05300020a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得：2001000ab=⎧⎨=-⎩，∴乙龙舟队的y与x函数关系式为y=200x﹣1000（5≤x≤20）；（4）令120x=200x﹣1000，可得x=12.5，即当x=12.5时，两龙舟队相遇，当x＜5时，令120x=200，则x=53（符合题意）；当5≤x＜12.5时，令120x﹣（200x﹣1000）=200，则x=10（符合题意）；当12.5＜x≤20时，令200x﹣1000﹣120x=200，则x=15（符合题意）；当20＜x≤25时，令3000﹣120x=200，则x=703（符合题意）；综上所述，甲龙舟队出发53或10或15或703分钟时，两支龙舟队相距200米．8.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【详解】由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，故选A．9.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，中途与乙相遇后休息了一会儿，然后以原来的速度继续行驶直到A地．设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，则乙车到达A地时甲车距B地的路程为___________千米．【答案】150180÷1.5=120（千米/时），300÷120=2.5（小时），300÷（5.5-2.5）=100（千米/时），（300-180）÷1.5=80（千米/时），300÷80+（1.75-1.5）=3.75+0.25=4（小时），（4-2.5）×100=1.5×100=150（千米）．答：乙车到达A地时甲车距B地的路程为150千米．故答案为：150．10.“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是多少米；（2）小明在书店停留了多少分钟；（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？【答案】（1）1500米；（2）4分钟;(3)2700米；共用14分钟．(1)根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米；(2)根据题意,小明在书店停留的时间为从(8分)到(12分)，故小明在书店停留了4分钟.(3)一共行驶的总路程=1200+(1200−600)+(1500−600)=1200+600+900=2700米；共用了14分钟.11.某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题：(1)洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升．①求排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)与之间的关系式；②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．【答案】（1）洗衣机的进水时间是4分钟；清洗时洗衣机中水量为40升．（2）排水时间为2分钟，排水结束时洗衣机中剩下的水量为2升．【解析】解：（1）依题意得洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量是40升；（2）①∵洗衣机的排水速度为每分钟19升，从第15分钟开始排水，排水量为40升，∴y=40-19（x-15）=-19x+325，②∵排水时间为2分钟，∴y=-19×（15+2）+325=2升．∴排水结束时洗衣机中剩下的水量2升．（1）根据函数图象可以确定洗衣机的进水时间，清洗时洗衣机中的水量；（2）①由于洗衣机的排水速度为每分钟19升，并且从第15分钟开始排水，排水量为40升，由此即可确定排水时y与x之间的关系式；②根据①中的结论代入已知数值即可求解．12.小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系.（1)小亮行走的总路程是_________米，他途中休息了___________分；（2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度；（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？【答案】（1）3600，20；（2）65（米/分），55（米/分）；（3）1100（米）.【详解】(1)根据图象可知：小亮行驶的总路程为3600m ，中途休息时间为：50﹣30=20min ，故答案为；3600，20；(2)观察图象可知小亮休息前走了30分钟，1950米，所以小亮休息前的速度为：19506530=(米/分)，小亮休息后的速度为：36001950558050-=-(米/分)，答：小亮休息前的速度为65米/分，休息后的速度为55米/分；(3)缆车到山顶的线路长为3600÷2=1800米，缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟，小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟，80－60＝20(分)，∴小颖到达终点时，小亮离缆车终点的路程为：20⨯55=1100(米)，答：当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是1100米.。
(完整版)北师大版七年级下册数学第三章《变量间的关系》知识点梳理及典型例题
第三章变量之间的关系知识点梳理及典型例题知识回顾一一复习路程、速度、时间之间的关系： _________________ ,, ; 知识点一常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为________ .数值始终不变的量在某一变化过程中，如果有两个变量x和y,当其中一个变量x在一定范围内取一个数值时，另一个变量y也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变量x叫做_________ ，后一个变量y叫做自变量的 __________注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对知识点二用表格表示变量之间的关系表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数轴（纵轴）上的点表示 ________ ，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置；【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的•【方法技巧】（1 ）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值•（2 ）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变知识点五变量之间的关系的表示方法比较表示变量之间的关系，可以用 _____________ 、___________ 和__________ ；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值；据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键知识点三用关系式表示两个变量之间的关系例如，正方形的边长为X，面积为y，则y= x2这个关系式就是表示两个变量之间的对应关系，其中x是_______________________ , y是 _______ ; 一般地，含有两个未知数（变量）的等式就是表示这两个变量的关系式；【温馨提示】（1）写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式.（2）自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义•（3）实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来•【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系•根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程知识点四用图象表示两个变量间的关系图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示，用竖直方向的数专题一能从表格中获取两个变量之间关系的信息（1）在这个注水过程中，反映的是两个变量与之间的关系, 其中变量是自变量，变量是因变量；（2）这个水箱原有水L；（3）min时水箱注满水；（4）由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水L.2 .一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系：某个变化过程而言的是_________ ，s是—例如：s=60t，速度60千米/时是。
北师大版七年级数学下册第三章 变量之间的关系3 第1课时 曲线型图象
温度在下降?
3 时到 15 时；
0 时到 3 时、15 时到 24 时.
(5) 图中的 A 点表示什么?
B 点呢? 21 时的温度是 31°C；
0 时的温度是 26°C.
E
(6) 你能预测次日凌晨 1 时
的温度吗? 说说你的理由. 大约是 24°C 左右.
归纳总结 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方 向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方 向的数轴（称为纵轴） 上的点表示因变量． 纵轴
2. 曲线型图象能够反映出数据的变化趋势，通过结合 横、纵轴表示的意义，我们能够很直观的感受到数 据的含义.
1. 某市一周平均气温 (℃) 12 气温/℃
如图所示，下列说法不正
10 8
确的是（ C ）
6 4
2
星期
A. 星期二的平均气温最高 0 一 二 三 四 五 六 日
B. 星期四到星期日天气逐渐转暖
（4）你能看出第二天 8 时骆 驼的体温与第一天 8 时 有什么关系吗？其他时 刻呢？ 体温一样
（5）A 点表示的是什么？还为 39°C 20，36，44 时 （6）你还知道哪些关于骆驼的趣事？与同伴进行
交流．
1. 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的 特点是非常直观．
变量之间 的关系
新知一览
用表格表示的变 量间关系
用关系式表示的 变量间关系
用图象表示的变 量间关系
曲线型图象 折线型图象
第三章 变量之间的关系
3.3 用图象表示的变量间关系
第1课时 曲线型图象
招聘启事 亲爱的同学们：
学校广播站要招聘一名 天气预报节目主持人，为 了公平竞争，特地用下题 考查同学们的基本素质.请 将分析报告于本周内交到 学校广播站，欢迎大家积 极参与，希望你能成为我 校首位天气预报节目主持 人！
北师大版七年级数学下册 第3章 第25课时 用关系式表示的变量间关系
李冰买了一张 30 元的租碟卡，每租一张碟后卡中剩余金额 y(单
位：元)与租碟张数 x(单位：张)之间的关系式为 yy＝＝3300－－
00..8x ．
租碟数/张 卡中余额/元
1
30－0.8
2
30－1.6
3
30－2.4
…
…
三、解答题 一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量 Q(L) 与行驶的时间 t(h)的关系如下表所示： 行驶时间 t(h) 0 1 2 3 4 … 油箱中剩余 54 46.5 3ຫໍສະໝຸດ 31.5 24 … 油量 Q(L)
解：汽车行驶 5h 后，油箱中的剩余油量是 70L；
(3)该品牌汽车的油箱加满 100L，若以 100km/h 的速度匀速行 驶，该车最多能行驶多远？
解：该车最多能行驶50300 km.
★【高分突破】
►答案见：D10
图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设 y 为第 n 层(n
为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是( B )
(2)写出座位数 y 与排数 x 之间的关系式．
解：由题意可得：y＝50＋3(x－1)＝3x＋47；
(3)按照上表所示的规律，某一排可能有 90 个座位吗？说说你 的理由．
解：某一排不可能有 90 个座位， 理由：由题意可得：y＝3x＋47＝90， 解得：x＝433.因为 x 不是整数，则某一排不可能有 90 个座位．
单位为℃，海拔单位为千米)，则该地区海拔为 2000 米的山顶
上的温度为( B )
A．15℃
B．9℃
C．3℃
D．－11979℃
油箱中存油 20 升，油从油箱中均匀流出，流速为 0.2 升/min，