安庆大学实变函数期末考试试卷论述

安庆大学实变函数期末考试试卷一．选择题1.设Q 是R 中有理数的全体，则在R 中Q 的导集Q '是 （ ） (A) Q(B) φ (C) R (D)Q R -2.设{}n F 是一列闭集， ∞==1n n F F ，则F 一定是 （ ）(A)开集 (B)闭集 (C) δG 型集 (D) σF 型集3.设E 是R 中有理数全体，则=mE （ ） (A) 0(B)1 (C)＋∞(D)-∞4.下面哪些集合的并组成整个集合的点 （ ） (A) 内点，界点，聚点 (B) 内点，界点，孤立点 (C) 孤立点，界点，外点(D) 孤立点，聚点，外点5.设P 是Cantor 集，则 （ ） (A) P 与n R 对等，且P 的测度为0 (B) P 与n R 对等，且P 的测度为1 (C) P 与n R 不对等，P 的测度为0 (D) P 与n R 不对等，P 的测度为16. 设)(x f 与)(x g 在E 上可测，则[]g f E ≥是 （ ） (A) 可测集 (B) 不可测集 (C)空集 (D) 无法判定7. 设)(x f 在可测集E 上有定义，{}n x f x f n ),(min )(=，则)(x f n 是 （ ） (A) 单调递增函数列 (B) 单调递减函数列 (C) 可积函数列(D) 连续函数列8. 设E 是任一可测集，则 （ ） (A) E 是开集 (B) E 是闭集 (C) E 是完备集 (D) 对任意0>ε，存在开集E G ⊃，使ε<-)(E G m9．设⎩⎨⎧-∈+∈=QQ]1,0[21]1,0[2sin )(x,x x,x x f ，则=⎰]10[,f(x)dx （ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 410．设{}n f 是E 上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意0>σ，有下面条件成立，则{})(x f n 依测度收敛于)(x f ． （ ）(A) []0)()(lim >≥-∞→σx f x f mE n n (B) []0)()(lim <≥-∞→σx f x f mE n n(C) []0)()(lim ==-∞→σx f x f mE n n (D) []0)()(lim =≥-∞→σx f x f mE n n二、定理叙述题 1.鲁津定理2.Fatou 引理三、判断改正题1. 若E 与它的真子集对等，则E 一定是有限集． （ ）2. 凡非负可测函数都是L 可积的． （ ）3.设A 为1R 空间中一非空集，若.a A ≤'则.a A ≤ （ ）4.设E 为可测集，则存在δG 型集F ，使得E F ⊂，且0)(=-F E m ． （ ）5.)(x f 在[]b a ,上L 可积，则)(x f 在[]b a ,R 可积且[]⎰⎰=b a badx x f R dx x f L ,)()()()( （ ）四、证明题1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集．2.n R 上全体有理数点集的外测度为零．3.设函数列}{n f 在E 上依测度收敛f ，且h f n ≤e a .于E ，则h f ≤e a .于E ．4.设)(x f 在[]εε+-b a ,上可积，则0)()(lim 0=-+⎰→dx x f t x f bat ．一．单项选择题1、1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n A A ∞∞===⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有_________________________________，则称E是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则()0Ef x >⎰四、解答题1、设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

2、求0ln()lim cos xnx n e xdx n∞-+⎰五、证明题1、证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .2、设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

3、在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4、设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则lim 0n nn me ⋅=.5、设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。

(鲁津定理的逆定理)一．单项选择题1．设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（ ） (A) M (B) N (C) M N ⋂ (D) ∅2. 下列说法不正确的是( )(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点3. 下列断言( )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。

（A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集； （C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集； 5. 若()f x 是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ⇔在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -⇔-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -⇔-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-⇒∞-在广义可积在a,+可积二. 填空题1、设11[,2],1,2,n A n n n=-=，则=∞→n n A lim _________。

2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，oP =________。

3、设{}i S 是一列可测集，则11______i i i i m S mS ∞∞==⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭∑4、鲁津定理：______________________________________________________5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________________________________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

四.解答题1、设,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

2、求极限 13220lim sin 1n nxnxdx n x→∞+⎰.五.证明题1.设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，})(|{c x f x E >= 是一开集.2. 设0,,G E ε>∃⊃开集使*()m G E ε-<，则E 是可测集。

3.在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4.设函数列()n f x (1,2,)n =在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x 。

5.设()f x 在[],E a b =上可积，则对任何0ε>，必存在E 上的连续函数()x ϕ，使|()()|bafx x d x ϕε-<⎰.一、单项选择题1、设1[,2(1)],1,2,n n A n n=+-=，则（ ）(A) lim [0,1]n n A →∞= （B ）=∞→n n A lim (0,1](C) lim (0,3]n n A →∞= （D ）lim (0,3)n n A →∞=2、设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（ ） （A ）'[0,1]E = (B) oE =∅ (C) E =[0，1] (D) 1mE = 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 若B A ⊂，则B m A m **≤ （B ） 有限个或可数个零测度集之和集仍 为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D ）凡开集、闭集皆可测 4、设}{n E 是一列可测集， ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有（ ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫⎝⎛⋃lim 1（C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫⎝⎛⋂lim 1;（D ）以上都不对5、设f(x)是],[b a 上绝对连续函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上的一致连续函数 (B) )(x f 在],[b a 上处处可导 （C ）)(x f 在],[b a 上L 可积 (D) )(x f 是有界变差函数二. 填空题1、设集合N M ⊂，则()M M N --=_________2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，oP =________。