浙大四版概率论与数理统计与中南大学期末考试试题

证明 ( X 1 , X 2 , X n )是 0 1 随机变量，而
E[ ( X 1 , X 2 , X n )] 1 P ( X 1 , X 2 , , X n ) 1
a P X 1 a ， 所以统计量 ( X 1 , X 2 , X n ) a 是 的无偏估计。
故有 E ( X ik ) E ( X k ) k , i 1,2,, n.
1 n 即 E ( Ak ) E ( X ik ) k . n i 1
故 k 阶样本矩 Ak 是 k 阶总体矩 k 的无偏估计.
特别的:
不论总体 X 服从什么分布,
只要它的数学期望存在,
i 1


d ln L n ln L n ln ， 显然 0无解， d 1 从L( xi , ) n ， 可以看出只有当

max{ x1 , x2 ,, xn }时，似然函数取得最大值，
ˆ max{ X , X ,, X }。 即的极大似然估计量为 1 2 n
n n 1 1 2 2 （2）E ( S 2 ) E ( ( X X ) ) E ( ( X X ) ) i i n 1 i 1 n 1 i 1 n 2 1 2 E ( ( X i 2 X i X X )) n 1 i 1 n 2 1 2 ( E ( X i ) nE ( X )) n 1 i 1 2 1 [ n( 2 2 ) n( 2 )] n1 n 2
n
2( )
2
( ) e 2
n 2 2

2 x i 22 i 1
1
n
]
n n 1 1 ˆ2 X 2 令L( 2 ) 0 得 2 xi2 , 故 n i 1 n i 1 n n 1 1 ˆ 2 ) E ( X i2 )= E ( X 2 ) （2）E ( n i 1 n i 1
因此，E ( cX ) cE ( X ) c
得 n1 c 。 n

n
0

n
x
n1
cn dx ， n1
六、(本题10分)设分别从总体N ( 1 , 2 )和N ( 2 , 2 ) 中抽取容量为n1 , n2的两独立样本，其样本方差分别 为S , S ,
2 （1）证明对于任意常数a , b( a b 1), Z aS12 bS 2 2 1 2 2
都是 2的无偏估计； （2）确定常数a, b，使方差D( Z )达到最小。 （2009级考题）
2 2 证明 (1) E ( Z ) E ( aS12 bS2 ) aE ( S12 ) bE ( S2 )
( a b) 2 2
2 2 （2）D( Z ) D( aS12 bS2 ) a 2 D( S12 ) b2 D( S2 ) n1 1 2 n2 1 2 a 2 4 b 2 4 D( 2 S1 ) D( 2 S1 ) 2 2 ( n1 1) ( n2 1) 4 4 2a 2 4 2b 2 4 2 2 a2 (1 a ) 2 n1 1 n2 1 n1 1 n2 1 n1 1 2 2 4 2 4 2 4 ( )( a ) n1 1 n2 1 n1 n2 2 n1 n2 2 n1 1 n2 1 于是，当a ,b 时，D( Z )达到最小。 n1 n2 2 n1 n2 2
=E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 2 0 2 ˆ 2是 2的无偏估计量. 所以
五、(本题10分)设总体X N ( , 8), 为未知参数， X 1 , X 2 , , X 36为取自总体X的一个样本，X 是样本均 值，如果以区间( X 1, X 1)作为的置信区间，那 （2011级考题） 么置信水平是多少？ 2 X 解 X N ( , ), 标准化 N ( 0, 1)， 9 2 3 由P X 1 X 1 1 ， X 3 3 得：P 1 X 1 P 2 2 3 2
（2）F ( x ) P (max{ X 1 , X 2 , , X n } x ) [ F ( x )]n
x n , 0 x ， 0, 其他 n n 1 n x , 0 x 于是，f ( x ) [ F ( x )] ， 其他 0,
X 总是总体 X 的数学期望 1 E ( X ) 的无偏
n 1 2 估计量.但样本二阶中心矩Sn ( X i X )2 n i 1
不是总体方差 2的无偏估计量，而为渐近无偏 估计。请看下面例子。
例2 对于均值 , 方差 0 都存在的总体, 若 ,
2 n 1 2 ˆ 2 ( X i X )2 Sn 均为未知, 则 2 的估计量 n i 1 是有偏的(即不是无偏估计). n 1 证 ˆ 2 X i2 X 2 A2 X 2 , n i 1 因为 E ( A2 ) 2 2 2 ,
(这种方法称为无偏化).
n n n 2 2 ˆ ˆ 2 ) 2. E Sn E E( n1 n1 n1 n 1 n 2 2 2 ( X X ), 因为 ˆ S i n 1 i 1 n 1
即 S 2是 2 的无偏估计,故通常取S 2作 2的估计量.
二、选择题(本题15分,每题3分) 2007级
5、某人自测每分钟脉搏次数，得到数据n 16, x 69.81, s 6.75, 假设每分钟脉搏次数服从正态 分布( t0.025 (15) 2.13), 则此人平均脉搏次数的置信 区间为( A ). ( A) ( 66.2, 73.4) ( B) ( 64.2, 71.4) ( C ) ( 67.2, 74.4) ( D) ( 65.2, 72.4)
2
又因为 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2
2
n
2,
2 ˆ 2 ) E ( A2 X 2 ) E ( A2 ) E ( X 2 ) 所以 E ( Sn ) E(
n 1 2 2 2 所以 是有偏的. ˆ , n n 若以 乘 ˆ 2 , 所得到的估计量就是无偏的. n 1
一、填空题（28分，每小题4分） 2006级
7、设总体X 服从正态分布N ( , 2 ),X 1 , , X n是来自 1 / 2( n 1) 时， 总体X的一个样本，则当常数C ___________ C ( X i 1 X i ) 2为 2的无偏估计。
i 1 n 1
九、(本题7分)设X1 , X 2 , , X n是来自总体X的样本，
1 n 证明（1）样本均值 X X i是总体均值的无偏估计； n i 1
n 1 2 2 （2）样本方差S 2 ( X X ) 是总体方差 的无偏 i n 1 i 1 估计。（2007级考题）
1 n 1 n 1 n 证明（1）E ( X) E ( X i )= E ( X i )= n i 1 n i 1 n i 1 所以X是总体均值的无偏估计；
例1
设总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k ) ( k 1)存在,
又设 X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样本，试证明不论 1 n k 总体服从什么分布, k 阶样本矩 Ak X i 是 k n i 1 阶总体矩 k 的无偏估计.
证
因为 X 1 , X 2 ,, X n 与 X 同分布，
所以S 2是总体方差 2的无偏估计。
八、(本题6分)设X 1 , X 2， , X n取自总体X ~N ( , 2 ), 证明对任意固定的a，统计量 （2010级考题） 1, X 1 a a ( X 1 , X 2， , X n ) 是( )的无偏估计， 0, X 1 a 其中(z )是标准正态随机变量的分布函数。
2( 2.121) 1 0.966 1 ， 故所求置信水平为96.6%。 ?
一、填空题(本题16分,每小题4分) 2010级
3、设X 1 , X 2 , , X 9为取自总体X ~N ( , 2 )的一个样本, 测得x 100, s 1.5, 则的置信水平为0.95的置信区间 ( 98.847, 101.153) 为 _____________________ .
2
1 2 1
e

x2 22
1 2
) e
n

1 22

i 1
n
xi2
(
2
) ( ) e
n
n 2 2

1 22

i 1
n
xi2
n L( Biblioteka ( ) [ ( ) 2 22 n
1
n 1 2 2 2 2
1
e
xi2
i 1
n

2 x i i 1
2 2
四、(本题14分)设总体X 服从区间[0, ]上的均匀分布， 其中 0是未知参数，X 1 , X 2 , , X n为取自总体X的 一个样本, (1)求的极大似然估计量； ˆ为的无偏估计。 ( 2)试确定c, 使得c
（2011级考题）
1 , 0 x ， 解 1 f ( x ) 其他 0, n 1 1 似然函数为L( xi , ) n ， 0 xi , i 1, 2, , n，
七、(10分)设总体X N ( 0, 2 ),X1 , X 2 , , X n为X的 简单随机样本。（2003级考题） ˆ 2； （1）求 2的极大似然估计量 ˆ 2 ), 并回答 ˆ 2是否是 2的无偏估计量。 （2）求E (