电工学第二章

–
U m U m0 RI m 0 R I m
电压电流同频率，同相位；数量关系满足欧姆定律； 复阻抗：无源二端元件上电压相量与电流相量之比
Z Um Im


U m u Um ( u i ) Z I m i Im
i I m sin t
u
t
有功功率
p + + – –
0
t
无功功率：瞬时功率的最大值
2 UC QC U C I I 2 X C XC
(var)
电容不消耗功率，它是储能元件。
［例］有一只47µF耐压值220V的电容器，将它接到50Hz电压有 效值110V 的交流电源上，电路电流和无功功率各是多少？；若电 压值不变，电源频率为 1000Hz ，此时电流为多少？能否直接接到 220V的交流电源上？
［解］ I 1m 80 A


I 2m 690 A j 6 A

I m I 1m I 2 m 8 j 6 1036.9 A
总电流的瞬时值为： i 10sin(314t 36.9) A 相量图为：
P.59(2.1.1)
I 2m

Im

36.9°
2.1 正弦交流电的基本概念
直流电路在稳定状态下电流、电压的 大小和方向是不随时间变化的，如右上图 所示。 U/I
正弦电压和电流是按正弦规律周期性 变化的，其波形如右下图所示。
i + u – i + u –
O u i
+ O
t
R
R
t
正半周
负半周
1．正弦电量的三要素
u U m sin(t u ) e Em sin(t e ) i I m sin(t i )
u i
同相： 0
180 反相：
u 0
i
i
i
超前、滞后
t
注意
i ,u , e
2．正弦电量的相量表示
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除用三角 函数式和正弦波形表示外，还可以用相量来表示。 正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。 设平面有一复数 A +j 模 A
Im 2 0.707I m

T
0
i 2 dt
1 T

T
0
( I m sin(t i ))2 dt
周期 T：正弦量变化一周所需要的时间； 频率 f：正弦量每秒内变化的次数； 角频率 :
2 2f T
1 f T
［例］我国和大多数国家的电力标准频率是 50 Hz，试求其 周期和角频率。
2 2
j arctan
–
C U
–
Z e j
阻抗模 Z R2 ( X L X C )2 R 2 ( L
阻抗角 arct an
XL XC R
1 2 ) C
设电流 i = Imsint 为参考正弦量 则电压 u = Umsin( t + ) 当 XL > XC ， 为正，电路中电压超前电流，电路呈电感性；
感抗
X L L 2fL 2 3.14 50 0.4 126
U L 220 1.75 A X L 126
电流有效值 I
无功功率 QL U L I L 220 1.75 var 385 var
线圈直接接到直流电源上，由于频率为零，相当于短 路元件。 P.63(2.2.1)
2.2 单一元件正弦交流电路
1．电阻元件
设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。
i + u R
根据欧姆定律 设
u iR i I m sin t

I m I m0
U m U m0


u Ri RIm sin t U m sin t
U m RI m

u U m sin(t 90)


U m U m 90 X L I m 90
U m 90 Um 90 jX L I m 0 Im

u
波 形 图
+j
i
U 相量图
•
O
t
O
I
•
+1
电压超前电流 90； 电压与电流大小关系 电压与电流相量式
U IX L
当 XL < XC ， 为负，则电压滞后电流，电路呈电容性； 当 XL = XC ， = 0，则电流与电压同相，电路呈电阻性。 的大小和正负由 • • UL • UL 电路参数决定。 U
P=UI O
t
2．电感元件的正弦交流电路
设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。
i
设
L
+ u
– XL
由
i I m sin t di uL 得 dt
u LI m cost U m sin(90 t ) U m sin(180 (90 t )) U m sin(t 90)
u U m sin t
i CU m cost I m sin(t 90)
i
瞬时功率 p ui
波 形 U m I m sin t sin(t 90) 图 2UI sin t cost O UI sin 2t
1 T P pdt T 0 1 T UI sin 2tdt T 0 0
I 1m

正弦电量 (时间函数)
变换 相 量 结 果
相量 (复数)
所求 正弦量
反变换
相量 运算 (复数运算)
注意
只有正弦周期量才能用相量表示； 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上； 相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是 时间的函数，两者之间并不相等。 为什么还用相量表示？
复数在进行加减运算时应采用代数式，实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减。 复数进行乘除运算时应采用指数式或极坐标式，模与模相 乘除，辐角与辐角相加减。
［解］电源频率为50Hz，所以有
容抗 XC 1 1 1 68 6 C 2fC 2 2.34 50 47 10
电流有效值 I
U C 110 1.62 A XC 68
QC U C I 1101.62 var 178 var
电源频率为1000Hz时，
P.65(2.2.2)
作业：（P.104） 1、 2、3
2.3 正弦交流电路的分析
1．RLC串联的交流电路
i
在 R、L、C 串联交流电路中，电流电压参考方向如图所示。
+ + uR – + u u L – + u – C –
R L C
KVL相量表示式为 U U U U R L C
容抗
XC
1 1 C 2fC
容抗与频率 f，电容 C 成反比。因 此，电容元件对高频电流所呈现的容抗 很小，而对直流所呈现的容抗趋于无穷 大，故可视为开路。
u U m sin t
U m U m 0
ZC Um Im

i CU m cost I m sin(t 90)
u Ri RIm sin t U m sin t
p ui U m I m sin 2 t 2UI sin 2 t UI (1 cos2t )
u
平均功率是指瞬时功率在一个 周期内的平均值
O p i
t
1 T P pdt T 0 1 T UI (1 cos 2t )dt T 0 2 U UI RI 2 R
a r cos
r a b
2 2
b
b r sin
b arctan a
r
O
辐角

a
+1
复数 A 可有几种式子表示 A = a + jb 代数式 三角式 指数式 极坐标式
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即 为正弦量的幅值或有效值，复数的辐角即为正弦量的初相位角。 为与复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并在大 写字母上打一“•”。
U jIXL
i I m sin t
u U m sin(t 90)
瞬时功率
p ui U m I m sin t sin(t 90) 2UI sin t cost UI sin 2t
波 形 图
u
i
有功功率
1 T P pdt T 0 1 T UI sin 2tdt T 0 0
u U m sin(t u )


的相量式为
U m U m (cos j sin ) U m e j U m
U U (cos j sin ) Ue j U
［例］已知 i1 8 sin 314tA ， i2 6 sin( 314t 90) A 。试写出电 流幅值的相量式；求 i i1 i2 ；画出向量图。
［解］
= 2f = 2 3.14 50 rad/s = 314 rad/s
1 T 0.02 s f
t i 称为正弦量的相位角或相位。它表明交流电流变化 的进程。
t = 0 时的相位角称为初相位角或初相位。 同频率正弦量的相位之差或初相角之差，称为相位差，用 表示。即 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
第 2章
正弦交流电路
• 本章将介绍交流电路的一些基本概念、基 本理论和基本分析方法，为后面学习交流 电机、电器及电子技术打下基础。 • 本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期 电压和电流。