2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期22.3、实际问题与二次函数教案31
人教版数学九年级上册说课稿22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册说课稿22.3《实际问题与二次函数》一. 教材分析《实际问题与二次函数》这一节是人教版数学九年级上册第22.3节的内容。
这部分教材主要让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生将能够将所学的二次函数知识应用于解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
教材中给出了几个实际问题，让学生通过解决这些问题来理解和掌握二次函数的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学过二次函数的基本知识，他们对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题可能是他们比较陌生的。
因此，在教学过程中，我需要引导学生将所学的二次函数知识与实际问题联系起来，帮助他们理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数在实际问题中的应用，并能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过解决实际问题，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够认识到数学在实际生活中的重要性，增强他们对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：学生能够将所学的二次函数知识应用于解决实际问题，并能够灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：我将以问题为导向，引导学生通过解决实际问题来理解和掌握二次函数的应用。
我会鼓励学生进行合作学习和讨论，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
2.教学手段：我将使用多媒体教学手段，如PPT和教学软件，来展示二次函数的图像和实际问题的情境，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：我会通过一个简单的实际问题引入本节课的主题，激发学生的兴趣和好奇心。
2.教学新课：我会引导学生回顾二次函数的基本知识，然后向他们介绍二次函数在实际问题中的应用。
我会通过示例和讲解，让学生理解和掌握二次函数的应用方法。
3.学生练习：我会给出几个实际问题，让学生独立解决。
人教版-数学-九年级上册-22.3 实际问题与二次函数(1) 教案
22.3.2实际问题与二次函数一、教学目标（一）学习目标1.初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题；2.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型，发展合情推理．3.能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．（二）学习重点学会用二次函数知识解决实际问题, 把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．（三）学习难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．二、教学设计（一）课前设计预习任务二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴是x= 2b a -；二次函数的图象是一条抛物线，当a ＞0时，图象开口向上，当a ＜0时，图象开口向下；2.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的最值问题：（1）若a>0，则当x=2b a -时，y 最小值=244ac b a -；（2）若a<0，则当x=2b a -时，y 最大值=244ac b a -.预习自测1.已知二次函数221y x x =-++，当x=______时，取得最_______值为_______； 【知识点】二次函数求最值【解题过程】配方，得2(1)2y x =--+，∴当x=1时，取得最大值为2.【思路点拨】将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值【答案】1、大、2.2.已知二次函数221y x x =-++，2≤x≦5，则当x=______时，取得最大值为_______；x=______时，取得最小值为_______。
【知识点】二次函数区间求最值【解题过程】配方，得2)1(2+--=x y ，∵2≤x≤5 在对称轴的右边,且抛物线开口向下，∴当2≤x≤5时，y 随x 的增大而减小，∴当x=2时，取得最大值为1；当x=5时，取得最小值为-14.【思路点拨】将二次函数的一般式转化成顶点式，再根据x 的取值范围并结合图象，求二次函数的区间最值【答案】2，1；5，-14.3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件售价应为____元．【知识点】二次函数的应用．【思路点拨】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【解题过程】解：设最大利润为w 元，则w=（x ﹣20）（30﹣x ）=2x 2525+-（﹣）， ∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，【答案】254.某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x 元(x>50)，每月销售这种篮球获利y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？【知识点】销售问题中的数量关系，二次函数求最值【解题过程】解：(1)y ＝－10x2＋1400x －40000(50<x<100)．(2)由题意得：－10x2＋1400x －40000＝8000，化简得x2－140x ＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．【思路点拨】关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答．(二)课堂设计1.知识回顾（1）营销问题的基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价． （2）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的最值问题：①若a>0，则当x=2b a -时，y 最小值=244ac b a -；②若a<0，则当x=2b a -时，y 最大值=244ac b a -.2.问题探究探究一 销售问题中的利润最大问题（★▲）●活动1 回顾旧知，回忆销售问题中常见概念和公式.师问：销售问题中一般都会涉及哪些名词？它们之间的数量关系是什么？学生抢答： 成本价；定价；售价；利润；销量；利润率；定价；利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动2 整合旧知，探究利润最大问题创设情景，激发学生学习兴趣，引入新课.师问：在讲课之前，我对咱班的学生先做一个小小的调查。
人教版-数学-九年级上册-22.3 实际问题与二次函数(3) 教案
22.3 实际问题与二次函数（3）一、教学目标（一）学习目标1.初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题；2.建立适当的直角坐标系，在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会；3.利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解；4.通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用.（二）学习重点建立适当的直角坐标系，在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会；利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解.（三）学习难点建立适当的直角坐标系，建立二次函数数学模型二、教学设计（一）课前设计预习任务二次函数2(0)y ax a =≠的图象是一条抛物线,对称轴是_y 轴_,顶点坐标是_（0,0）,当a _<__0时，开口向下；当a __>___0时，开口向上. 抛物线214y x =的顶点坐标是（0,0）,对称轴是y 轴__,开口向上;抛物线23y x =-的顶点坐标是（0,0）,对称轴是y 轴,开口向下.已知抛物线的顶点坐标是（-1，-5），与y 轴的交点坐标是（0， 5），则这条抛物线的解析式是210205y x x =++ 预习自测1．二次函数223y x x =--与y 轴的交点坐标为_______，与x 轴的交点坐标为_______.【知识点】求二次函数与两轴的交点【解题过程】解：因为223y x x =--，所以令0y =，2230x x --=解得123,1x x ==-.故223y x x =--与x 轴的交点为(3,0),(1,0)-；与y 轴交点(0,3)-【思路点拨】求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与x 轴交点即为(0,)c【答案】(0,3)-；(3,0),(1,0)-【设计意图】复习任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠与两轴的交点,为解决实际问题准备计算工具.2．已知二次函数223y x x =--，①当22x -<<时，y 的取值范围为__________；②当30x -<<时，y 的取值范围为__________；③当24x <<时，y 的取值范围为__________.【知识点】求区间最值．【思路点拨】由上面可知对称轴是1x =，需要判断区间和对称轴的位置关系，结合图象判断.【解题过程】解：∵223y x x =--开口向上，对称轴是1x = ①当22x -<<，可知当1x =时min 4y =-，当2x =-时max 5y =，∴45y -≤<②当30x -<<，可知此时对称轴1x =在区间的右侧，此时y 此随x 的增大而减小，因此当max 3,12x y =-=，min 0,3x y ==-.所以当30x -<<时，312y -<<③当24x <<，可知此时对称轴1x =在区间的左侧，此时y 此随x 的增大而增大，因此当min 2,3x y ==-，max 4,5x y ==.所以当24x <<时，35y -<<.【答案】①45y -≤<；②312y -<<；③35y -<<【设计意图】复习给定区间求最值，有时区间包含对称轴，有时区间不包含对称轴, 从学生已有的知识储备出发，为解决实际问题准备计算工具.3.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为() x －y 24121=-3，由此可知铅球推出的距离是_________m.【知识点】抛物线的实际应用【思路点拨】要求铅球推出的距离实际是求当y ＝0时x 的值， 【解题过程】令21(4)3012x --=，解得10x =．【答案】10【设计意图】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．4.隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为211384y x =-+,一辆车高3 m, 宽4 m ，该车___________(填“能”或“不能”)通过该隧道.【知识点】通过函数值来求自变量的取值范围【解题过程】在211384y x =-+中令3y =，解得x =因为4<，因此不能通过.【思路点拨】结合实际问题，把3y =代入解析式计算对应的自变量，两个自变量之间的距离和4比较即可.【答案】不能【设计意图】设计具有一定的挑战性目的是激发学生的探究欲望教师引导学生将实际问题转化成数学问题.（二）课堂设计1.知识回顾（1）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c 求其解析式；当已知顶点坐标为(k ，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式2()y a x h k =-+求其解析式；当已知抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为1(,0)x 、(2(,0)x 时，可用交点式12()()y a x x x x =--求其解析式；（2）对于任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠，可以利用配方把它化为顶点式，进而写出顶点坐标和对称轴；（3）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与y 轴交点即为(0,)c ；（4）将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值.2.问题探究探究一 利用二次函数解决抛物线形拱桥问题（★）●活动1 情景导入 明确目标师问：现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧？学生回答：见过.教师ppt 展示：教师引导：生活中有很多各种各样美丽、实用的桥梁，它们无不给我们以抛物线的形象感受，我们在本节课就来主要研究与桥有关的抛物线问题.●活动2 自学互研 生成能力阅读教材P51探究3，完成下列填空：以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为________．生答：2y ax =2．一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为__________，当水位线在AB 位置时，水面宽4 m ，这时水面离桥顶的高度为______m ；当桥拱顶点到水面距离为2 m 时，水面宽为______m ，A 点坐标为________，B 点坐标为_______，则函数解析式为__________． 生答：2y ax =；2；4；()2,2--；()2,2-；212y x =-． 师问：如何根据图建立平面直角坐标系？不同的建立方式，求得抛物线解析式是否一样？各小组分别建立不同的平面直角坐标系求解后展示．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【设计意图】本题中建立平面直角坐标系的方法有多种，但以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系的方法较为简单， A 点坐标为（-2，-2）代入解析式即可计算出横坐标．老师带领学生提问总结：用二次函数知识解决抛物线形建筑问题的一般步骤是怎样的？ 生答：首先是审题，弄清已知和未知，再建立适当的平面直角坐标系后，合理的设出二次函数的解析式并求解出解析式，最后利用解析式求解得出实际问题的答案．（教师随时引导）探究二 建立二次函数模型，解决其它实际问题例、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是多少？【知识点】实际问题与函数关系——投球问题【数学思想】数形结合【思路点拨】将y=3.05代入可得出x 的值，继而得出L【解题过程】解：当y=3.05时，215x -+3.5=3.05，解得：121.5, 1.5x x ==-所以L=3+1.5=4.5【答案】4.5m【设计意图】本题考查了二次函数的应用，涉及了将实际问题转化为数学模型，难度一般．探究三 利用二次函数解决实际问题的训练●活动① 基础性例题例1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（26﹣4）m D．（6﹣2）m【知识点】利用二次函数解决拱桥问题【数学思想】数形结合【解题过程】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点.抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），代入到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，6，解得：x=±6米，比原先的宽度当然是增加了（26﹣4）米．所以水面宽度增加到2【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系,根据题意找出已知点的坐标；求出抛物线解析式，直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题．【答案】C【设计意图】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．练习.有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为_________【知识点】建立坐标系，根据图象利用交点式求二次函数解析式【数学思想】数形结合【思路点拨】由图象可先设出二次函数的解析式，然后带值计算【解题过程】因为抛物线过点（0，0）和（40，0），∴y=ax（x-40）①又∵函数过点（20，16）代入①得20a（20-40）=16，解得125a=-∴抛物线的解析式为218255y x x=-+【答案】218255y x x=-+【设计意图】建立适当的平面直角坐标系,根据题意找出已知点的坐标；求出抛物线解析式；直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题．例2.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？【知识点】利用二次函数解决拱桥问题【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．（2）先求x=3米时y的值，用拱桥最大高度减去｜y｜，然后与3.6相比较即可得出答案．【解题过程】（1）设抛物线解析式为y=ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，即100325n an a=⎧⎨+=⎩，解得4125na=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴2125y x =-.（2）∵货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，∴当x=3时，1925y=-⨯∵925-﹣（﹣4）＞3.6∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．【答案】（1）2125y x=-（2）此船能顺利通过这座拱桥【设计意图】此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值．练习.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.(1)建立如图的坐标系，求抛物线的函数解析式；(2)若洪水到来时水位以0.2 m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？【知识点】求二次函数解析式，利用二次函数解决拱桥问题.【数学思想】数形结合【思路点拨】根据题目的已知条件设出二次函数的解析式，进而进行求解.【解题过程】解：(1)由题意知点D 的横坐标为5，点B 的横坐标为10，EF ＝3，设OE ＝h ，则OF ＝h －3，则点B(10，－h)，D(5，3－h)．设抛物线的函数解析式为y=ax2，则⎩⎪⎨⎪⎧100a ＝－h ，25a ＝3－h ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，h ＝4，∴抛物线的函数解析式为y ＝－125x2(2) ∵B(10，﹣4)，∴拱桥顶O 到CD 的距离为4， ∴4200.2=小时．所以再过20 h 就能到达桥面【答案】（1）2125y x =-（2）再过20h 能到达桥面【设计意图】此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值．●活动2 提升型例题例3．在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面43米的P 点处发球，球的运动轨迹PAN 看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O 的水平距离为5米，球网BC 离点O 的水平距离为6米，以点O 为原点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M 的坐标为（m ，0）（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）求羽毛球落地点N 离球网的水平距离（即NC 的长）；（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．【知识点】实际问题与函数关系——投球问题【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0，43）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式；（2）令y=0，可得出ON的长度，由NC=ON﹣OC即可得出答案．（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m 的取值范围．【解题过程】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0，43）代入可得：43=a（0﹣5）2+3，解得：a=﹣1 15，故抛物线的解析式为：y=﹣115（x﹣5）2+3．（2）当y=0时，﹣115（x﹣5）2+3=0，解得：x1=5﹣5（舍去），5即5∵OC=6，∴51米．（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时﹣115（m﹣5）2+3=2.4，解得：m1=2，m2=8，∵运动员接球高度不够，∴2＜m＜8，∵OC=6，乙运动员接球时不能触网（接不到），∴m的取值范围为：6＜m＜8．【答案】（1）y=﹣115（x﹣5）2+3；（2）﹣1；（3）6＜m＜8.【设计意图】本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．练习. 火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式2515010y t t=-++表示．经过_______s，火箭达到它的最高点．【知识点】利用二次函数解决火箭发射的问题【数学思想】数形结合【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；【解题过程】解：配方可得225150105(15)1135 y t t t=-++=--+因此当t=15秒时火箭达到最高点.【答案】15【设计意图】本题考查了二次函数的应用，涉及了将一个二次函数的一般式转化为顶点式，将实际问题转化为数学模型，难度一般．例4．某桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2m（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱），CO=1m，FG=2m（1）求经过A、B、C三点的抛物线相应的二次函数关系式；（2）求柱子AD的高度．【知识点】利用图象求函数解析式，已知自变量x的值求函数值y【数学思想】数形结合【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；【解题过程】解：(1)由题意可知：点C坐标为(0，1)，点F坐标为(－4，2)，设抛物线解析式为y＝ax2＋c，把这两个点代入函数解析式可以解得抛物线解析式y＝116x2＋1.(2)因为点A的横坐标为－8，当x=－8时，y＝5. 所以柱子AD的高度为5米．【答案】(1) y＝116x2＋1；(2) 柱子AD的高度为5米【设计意图】本题考查了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般．练习.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，求校门的高．(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)【知识点】建立坐标系，求二次函数解析式【数学思想】数形结合【思路点拨】先建立坐标系，然后根据线段的长度写出点的坐标，再设出函数的解析式，利用点的坐标求出解析式【解题过程】解：以大门的地面为x轴，大门的正中间为y轴建立直角坐标系，由题意可知抛物线过(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三点．∵抛物线关于y 轴对称，可设解析式为y ＝ax2＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋c ＝0，9a ＋c ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－47，c ＝647，∴解析式为y ＝－47x2＋647，∴顶点坐标为(0，647)，则校门的高为647≈9.1(米)【答案】9.1米【设计意图】本题考查了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般．●活动3 探究型例题例5．如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB ＝20米，顶点M 距水面6米(即MO ＝6米)，小孔顶点N 距水面4.5米(NC ＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.图1 图2【知识点】求二次函数解析式，【数学思想】数形结合【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF 的宽度.【解题过程】解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为26y ax =+依题意，得B(10，0)．∴a×10²＋6＝0.解得a＝－0.06.即20.066 y x=-+当y＝4.5时，20.066 4.5x-+=，解得5x=±∴DF＝5，EF＝10.即水面宽度为10米．【答案】水面宽度为10米【设计意图】本题考查了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般．练习.某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．【知识点】求二次函数解析式，【数学思想】数形结合【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出相应的宽度.【解题过程】解：（1）设抛物线对应的函数关系式为2 y ax =因为抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m，所以抛物线过点A（-3，-3），代入得-3=9a，解得13a=-所以函数关系式为213y x=-（2）如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，将x=1.5代入抛物线方程，得y=-0.75，此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25＜4.5．从而此车不能通过此隧道．【答案】此车不能通过此隧道【设计意图】：本题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.例6．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式．(不要求写自变量x的取值范围)(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)【知识点】求二次函数解析式，求自变量的取值范围；判断函数值的范围【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给的已知条件可以求出函数解析式，再根据解析式分别来计算自变量和函数值得取值范围.【解题过程】解：(1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7，3.2)，设抛物线解析式为y＝a(x－7)2＋3.2将点C(0，1.8)代入得49a＋3.2＝1.8，解得a＝－135，∴y＝－135(x－7)2＋165(2)由题意当x＝9.5时，y＝－135(9.5－7)2＋165≈3.02<3.1，故这次她可以拦网成功．(3)设抛物线解析式为y＝a(x－7)2＋h，将点C(0，1.8)代入得49a＋h＝1.8，∴a＝1.849h-，∴此时抛物线解析式为y＝1.8－h49(x－7)2＋h，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧4（1.8－h）49＋h>2.43，121（1.8－h）49＋h≤0，解得h≥3.025，则排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．【答案】（1）y＝－135(x－7)2＋165；（2）故这次她可以拦网成功；(3)排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025.【设计意图】：本题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.练习.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x=-++的一部分．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由【知识点】求二次函数解析式，求自变量的取值范围；判断函数值的范围【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给的已知条件可以求出函数解析式，再根据解析式分别来计算自变量和函数值得取值范围.【解题过程】解：(1)配方得y ＝－35(x －52)2＋194，当x ＝52时，y 有最大值194，∴演员弹跳离地面的最大高度是4.75米.(2)表演成功．理由：把x ＝4代入解析式得y ＝3.4，即点B(4，3.4)在抛物线23315y x x =-++上，∴表演成功.【答案】（1）演员弹跳离地面的最大高度是4.75米；（2）表演成功；【设计意图】：本题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.3. 课堂总结：本节课是将实际问题抽象成二次函数模型，通过建立适当的坐标系，求解二次函数的解析式，再利用二次函数的知识解决相关的问题知识梳理1.解拱桥问题、投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题时，一般分为以下五个步骤：（1）建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；（2）确定解析式的类型，若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为2y ax =；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为2y ax k =+；(3)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；(4)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：当已知三个点的坐标时，可用一般式2(0)y ax bx c a =++≠求其解析式； 当已知顶点坐标为(k ，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式2()y a x h k =-+求其解析式；当已知抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为1(,0)x 、(2(,0)x ，时，可用交点式12()()y a x x x x =--求其解析式；(5)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解.2.建立坐标系之后，根据线段的长度写出点的坐标，把点的坐标代入到相关的解析式中求出解析式，利用解析式求解相关问题.重难点归纳1.根据实际问题，建立适当的直角坐标系.2.根据给定的条件,确定二次函数的解析式，求出与问题相关的点的坐标.3.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.。
【推荐精选】2017年秋九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数(第3课时)教案 (新版)新人教版
实际问题与二次函数教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y ＝ax 2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m ，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？ 因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21x 2．当水面下降1m 时，水面宽度就增加26－4 m ．三、巩固练习 一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？分析：根据已知条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度．在如右图的直角坐标系中，即只要求出D 点的横坐标．因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．2．让学生完成解答，教师巡视指导．3．教师分析存在的问题，书写解答过程．解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系． 这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 (a ＜0) ①因为AB 与y 轴相交于C 点，所以CB ＝AB 2＝0.8（m ），又OC ＝2.4 m ，所以点B 的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人①，得－2.4＝a ×0.82所以a ＝－154因此，函数关系式是 y ＝－154x 2 ②∵OC ＝2.4 m ，FC ＝1.5 m ，∴OF ＝2.4―1.5＝0.9（m ）．将y ＝－0.9代入②式得－0.9＝－154x 2 解得 x 1＝56，x 2＝―56． 涵洞宽ED ＝256≈0.98＜1．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第6、7题．。
人教版九年级上册数学教案设计：22.3 实际问题与二次函数
22.3实际问题与二次函数学情分析：二次函数的教学对象是九年级学生，在此之前他们学习了正比例函数，一次函数和反比例函数。
二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型，它既是其他学科研究时所采用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章中所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数的图像抛物线，既是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥，抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基础的函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数，体会函数的思想奠定基础和积累经验。
为高中阶段继续学习函数做好铺垫。
学好二次函数十分重要，对学生来说熟练掌握二次函数和解决有关二次函数的问题也是有一定的难度的。
从学生学习情况中反映学生在以下方面，有所欠缺；1、在二次函数的图像与性质中，学生对于a、b、c与二次函数的图像的关系是他们的难点，2、对于如何确定二次函数的表达式较为灵活也是学生学得不好的地方。
教学目标：知识与技能：能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题。
过程与方法：再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.教学重难点：教学重点：用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.教学难点：根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.教法：引导发现学法：合作探究课时安排：1课时教具准备：多媒体课件教学过程：一、复习导入1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立坐标系时，可设这条抛物线的关系式为______________________________ 2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y＝－x2，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为12m，这时水面离桥拱顶端的高度h是（） A．36m B．2m C．4m D．9m3、如图所示，交通运输业的不断发展使得人们的日常生活越来越便利，隧道的开凿也让许多天堑变通途.一般情况下，隧道都有一定高度，超过高度的车辆无法通过，因此，在隧道入口处常常会设有提醒司机的限高标志.同学们，这个隧道的外形轮廓是不是很像我们学过的二次函数图形？如果已知一辆车的高度和隧道设计的相关数据，你能判断出该车是否能安全通过隧道吗？【教学说明】教师演示一些图片：拱桥等，创设一些学生熟悉的情境，提高学生的学习兴趣，引入新知.二、思考探究【设计说明】要解决上述问题，我们往往要通过建立合理的平面直角坐标系后，建立二次函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应，将实际语言转化为数学语言.问题（教材第51页探究3）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？【教学说明】教学时，为了便于学生探究，教师可设置如下问题予以引导：（1）求宽度增加多少需要什么数据？（2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？（3）如何求这组数据？需要先求什么？（4）怎样求抛物线对应的函数的解析式？（设置疑问，激发学生的求知欲望。
2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期22.3、实际问题与二次函数学案2
课
堂
练
习
1.某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的 面积最大。
2.窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周于6cm，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？(计算麻烦)
3、如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，BE=DF。四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y随BE的长x的变化而变化，y与x之间可以用怎样的函数来表示？
3.二次函数y=ax +bx+c的图象的一部分如图所示，已知它的顶 点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC的倍时，求a的值。
4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从 y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方)。
态度与情感
通过用二次函数解决实际生活中的问题，体验函数知 识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系。
重点
应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题。
难点
函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得。
教学手段方法
多媒体课件教学
教学过程
教师活动
学生活动说明或ຫໍສະໝຸດ 设计意图情境导
入
教师出示课件：
复习旧知
例2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始向B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始向C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，设△PBQ的面积为S(cm2)，移动时间为t(s)。
人教版数学九年级上册教案22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册教案22.3《实际问题与二次函数》一. 教材分析《实际问题与二次函数》这一节是人教版数学九年级上册第22章第三节的内容。
本节课主要让学生学习如何将实际问题转化为二次函数模型，并通过解决实际问题来巩固和提高对二次函数的理解和应用能力。
教材通过引入一些实际问题，让学生学会用二次函数的知识去解决这些问题，从而培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题，对学生来说可能还是有一定的难度。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数知识联系起来，让学生在解决实际问题的过程中，加深对二次函数的理解。
三. 教学目标1.理解实际问题与二次函数之间的关系，学会将实际问题转化为二次函数模型。
2.掌握二次函数在实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生的数学应用意识，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：实际问题与二次函数之间的转化，二次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为二次函数模型，如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学法，通过引入一些实际问题，引导学生运用二次函数的知识去解决这些问题。
在解决问题的过程中，教师引导学生总结实际问题与二次函数之间的关系，从而达到巩固知识，提高应用能力的目的。
六. 教学准备1.准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数的知识去解决。
2.准备教学PPT，用于展示和讲解实际问题与二次函数之间的关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何运用二次函数的知识去解决这些问题。
2.呈现（15分钟）教师呈现一些实际问题，让学生独立思考，尝试将实际问题转化为二次函数模型。
教师在这个过程中，给予学生适当的引导和帮助。
2017年秋九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数教案 (新版)新人教版
22.3 实际问题与二次函数第1课时用二次函数解决利润等代数问题能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．重点把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．一、复习旧知，引入新课1．二次函数常见的形式有哪几种？二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a＞0时，图象开口向________，当a＜0时，图象开口向________．2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？二、教学活动活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？2．如果你是老板，你会怎样定价？3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．活动3：达标检测某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w最大为1 600元．三、课堂小结与作业布置课堂小结通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？作业布置教材第51～52页习题第1～3题，第8题．第2课时二次函数与几何综合运用能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．一、引入新课上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用．二、教学过程问题1：教材第49页探究1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S最大？分析：提问1：矩形面积公式是什么？提问2：如何用l表示另一边？提问3：面积S的函数关系式是什么？问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：提问1：问题2与问题1有什么不同？提问2：我们可以设面积为S ，如何设自变量？ 提问3：面积S 的函数关系式是什么？答案：设垂直于墙的边长为x 米，S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.提问4：如何求解自变量x 的取值范围？墙长32 m 对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 提问5：如何求最值？答案：x ＝－b 2a ＝－602×（－2）＝15时，S max ＝450.问题3：将问题2中“墙长为32 m ”改为“墙长为18 m ”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？提问1：问题3与问题2有什么异同？提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？提问3：可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为S m 2，与墙平行的一边为x 米，则S ＝60－x 2·x＝－x22＋30x.提问4：当x ＝30时，S 取最大值．此结论是否正确？提问5：如何求自变量的取值范围？ 答案：0＜x≤18.提问6：如何求最值？答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x ＝18时，S max ＝378. 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．三、回归教材阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？四、基础练习1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题． 2．阅读教材第52～54页． 五、课堂小结与作业布置 课堂小结1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．作业布置教材第52页 习题第4～7题，第9题．。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-掌握二次函数的标准形式及其图像特点，如y=ax²+bx+c；
-理解二次函数的对称轴、顶点、开口方向等核心概念；
-学会运用二次函数解决实际问题的方法，特别是最值问题；
-掌握通过配方法、顶点公式等方法求解二次函数的最值；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次函数解决实际问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
课堂上的小组讨论和成果展示环节，让我看到了学生们的团队合作精神和沟通能力。他们在讨论中相互启发，共同解决问题，这不仅有助于加深对知识的理解，还培养了他们的团队合作意识。但同时，我也注意到，部分学生在讨论中过于依赖同伴，缺乏独立思考。因此，我需要在接下来的教学中，引导学生独立思考，鼓励他们提出自己的观点。
1.注重培养学生的抽象思维能力，帮助他们将实际问题转化为数学模型；
2.针对二次函数的难点，设计更具针对性的讲解和练习，帮助学生突破难点；
3.引导学生独立思考，培养他们的创新意识；
4.加强实践活动中的指导，提高学生的操作技能和结果解释能力；
5.持续探索将生活案例融入数学教学的方法，提高学生的学习兴趣和积极性。
五、教学反思
在今天的课堂中，我尝试通过实际问题引入二次函数的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系。我发现，当学生能够将抽象的数学知识应用到具体情境中时，他们的学习兴趣和积极性明显提高。这一点让我深感欣慰，也让我意识到，作为教师，我们需要不断探索如何将生活案例融入数学教学，以增强学生的学习体验。
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数(1)》教学设计
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》这一节主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。
通过前面的学习，学生已经掌握了二次函数的基本概念、图像和性质。
本节内容将引导学生将二次函数知识应用于解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的解题思路和方法。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的知识点有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题解决的能力还有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识掌握情况，引导学生将理论应用于实践，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的运用，提高学生的数学应用能力。
2.学会将实际问题转化为二次函数问题，掌握解决实际问题的方法。
3.培养学生的团队协作能力和思维敏捷性。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.难点：将实际问题转化为二次函数问题，并求解。
五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体的实际问题，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
2.讨论法：分组讨论，引导学生共同探讨解决实际问题的方法。
3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对二次函数在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何利用二次函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）讲解教材中的案例，让学生直观地了解二次函数在实际问题中的应用。
引导学生分析案例中的关键信息，找出二次函数的关系式。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些类似的实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时主要介绍了二次函数在实际问题中的应用。
这部分内容是对前面学习的二次函数知识的巩固和拓展，通过实际问题引导学生将理论知识和实际应用相结合，提高解决问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的运用方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题对学生来说还是一个挑战。
因此，在教学过程中，需要关注学生对知识的掌握程度，以及他们在解决实际问题时的思维方式和方法。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。
2.能够将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.掌握二次函数在实际问题中的应用。
2.将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
同时，运用讨论法、案例分析法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。
例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积一定的条件下，如何安排两种作物的种植面积，使得总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现实际问题，引导学生认识到实际问题可以通过二次函数来解决。
通过PPT展示实际问题的图像，让学生观察和分析图像，理解二次函数在实际问题中的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题。
每组选择一个实际问题，分析问题中的变量关系，列出二次函数的表达式。
九年级数学上册第二十二章22.3实际问题与二次函数22.3.1实际问题与二次函数(一)备课资料教案
九年级数学上册第二十二章22.3 实际问题与二次函数22.3.1 实际问题与二次函数（一）备课资料教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十二章22.3 实际问题与二次函数22.3.1 实际问题与二次函数（一）备课资料教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第二十二章 22。
3.1实际问题与二次函数（一）知识点1:利润最大问题1.在现实生活中常常遇到一类求最大(小)值的问题。
如在产品的营销过程中何时获得最大利润；在生产中如何获得最大的产值以及怎样获得最好的效果等。
这些问题都可以转化为二次函数问题,利用二次函数的性质加以解决.2.解销售中最大利润问题的步骤:（1）利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;（2）把等量关系转化为二次函数的解析式；(3)求二次函数的最大值或最小值.知识点2:面积最大问题1.几何图形中的二次函数问题常见的有:几何图形中面积的最值、用料的最佳方案等.2.利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函数解析式，并利用二次函数的图象和性质确定最大或最小面积.3。
求几何图形面积的常见方法有：利用几何图形的面积公式求出几何图形的面积；利用几何图形面积的和或差求几何图形的面积；利用相似比求几何图形的面积等.4.解决面积问题的一般步骤：(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;（2)把等量关系转化为二次函数的解析式;(3）求二次函数的最大值或最小值。
2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期22.3、实际问题与二次函数教案13
生
教学流程安排
决问题通过建模，解决实际问题，体会数形结合思想，激发探索精神．
回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高．
教学过程设计
展示问题
学生自主分析，得出结论：
）利润随着价格的变化而变化；
分析问题
一种数学模型，可以解决现实问题；
讨论是让学生更实际问题中抽象出数学问题；
教学设计说明
本节课是在学习了二次函数的概念、图象、性质后，进一步应用函数知识解决实际问题的一节应用课．主要内容包括：生活中利润问题转化为数学问题进行解决；掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值．
二次函数与现实生活联系紧密，运用函数知识解决生活实际问题是数学的实际应用价值的体现．本节课的设计就是从现实生活入手，通过对图形的理解和分析，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，让学生在解题的过程中体会数学的应用价值，培养学生的数学实践能力．
教学从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，让学生体会解决现实生活问题的快乐．。
最新人教版初中数学九年级上册 22.3 实际问题与二次函数教案2
实际问题与二次函数教学目标：1．能根据实际问题列出函数关系式、2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x 的取值范围。
3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
重点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，应用函数的性质解答数学问题难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，教学过程：一、复习旧知 导入新课1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y ＝6x 2＋12x ； (2)y ＝－4x 2＋8x －10以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? 有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。
二、学习新知1、应用二次函数的性质解决生活中的实际问题出示例1、要用总长为60m 的篱笆围成一个矩形的场地，矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化，当L 是多少时，围成的矩形面积S 最大?解：设矩形的一边为Lm ，则矩形的另一边为(30－L)m ，由于L ＞0，且30－L ＞O ，所以O ＜L ＜30。
围成的矩形面积S 与L 的函数关系式是S ＝L(30－L)即S ＝－L 2＋30L(有学生自己完成，老师点评)2、引导学生自学P23页例2 质疑 点评3、练一练：（1）、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?请同学们完成解答； 教师巡视、指导； 师生共同完成解答过程：解：设每件商品降价x 元(0≤x ≤2)，该商品每天的利润为y 元。
商品每天的利润y 与x 的函数关系式是： y ＝(10－x －8)(100＋1OOx)即y ＝－1OO x 2＋1OOx ＋200 配方得y ＝－100(x －12)2＋225 因为x ＝12时，满足0≤x ≤2。
人教版九年级上册 22、3 实际问题与二次函数 教案
22.3实际问题与二次函数教学目标：1.能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决面积最大值问题；2.能根据实际意义求出自变量的取值范围；3.在探究二次函数的实际意义中学会分析问题，体会数学建模思想以及数学与生活的紧密联系性。
教学重点：将实际问题转化为二次函数问题，并能用配方法或公式法求出顶点坐标。
教学难点：准确求出自变量的取值范围。
教学准备：多媒体教学过程设计：一、设计问题，创设情境师：八年级我们学习了一次函数，同学们回顾一下：我们都是从哪些方面研究一次函数？学生回答师：类比一次函数的学习过程，我们已经学习了二次函数的定义、图像与性质，本节课我们将要学习实际问题与二次函数．在正式学习新课之前，请大家看下面问题：出示问题1：用总长为40m的篱笆围成矩形场地，（1）怎样围成一个面积是75m²的矩形场地？（2）能否围成一个面积是150m²的矩形场地，若能，说出围法；若不能，说明理由。
学生独立完成，教师巡视指导，完成后，学生讲解做法，教师适当引导，若存在问题，其他学生补充．（3）设矩形一边的长度为xm，面积为ym²，求矩形的最大面积。
师生活动：引导学生写出函数关系式，教师出示函数图像，学生结合图像求出矩形的最大面积．追问：能否围成面积为130m²，80m²的矩形，你能马上判断出来吗？学生判断．设计说明：学生在接触实际问题与二次函数之前，已经学习了实际问题与一元二次方程，从一元二次方程实际问题引入，学生比较容易接受，另一方面也让学生体会到一元二次方程与二次函数之间的联系．同时，通过解决此问题，能使学生初步体会运用二次函数的知识解决实际问题的一般步骤．二、信息交流，例题讲解在现实生活中，人们为了节省材料，常常借助墙作为花圃的一边，此时你能解决这个问题吗？问题2：欲用长为60m的篱笆，围成一个矩形的花圃，花圃一面靠墙，怎样围才能使花圃的面积最大？最大面积是多少？师生活动：１．学生尝试，教师巡视指导，若做题过程中存在困难，小组讨论；2．学生尝试解答题目，初步形成做题思路．如果存在不足或者错误的地方，其他同学给予补充或者改正，教师适当引导，如果展示学生没有错误但巡视过程中存在共性的错误，注意及时纠正；3．师生规范做题过程，教师板书过程；4．学生修改完善做题．教学预设：１．学生设AD的长度为xm；2.学生设AB的长度为xm；3.学生用公式法求顶点坐标；4．学生用配方法求顶点坐标．以上预设，无论出现哪种情况都应该给予学生肯定，并鼓励学生根据具体问题以及自己对知识的掌握情况，灵活选择．学生在探求最大面积时部分学生可能会不易理解顶点的意义，此时教师要注意结合图形进一步引导学生体会顶点的意义．追问：通过刚才的题目，你能概括用二次函数求面积最大问题的一般步骤吗？学生总结，要存在不足，教师引导。
初中数学人教版九年级上册《22.3 实际问题与二次函数(1)》教案
教学时间
课题22.3 实际问题与二次函数1）课型新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。
2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
过 程
和
方 法
让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。
情 感
态 度
教学重点
已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式
教学难点
已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
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实际问题与二次函数
教学内容
22.3 实际问题与二次函数（3）．
教学目标
1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．
2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．
教学重点
1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．
2．将实际问题转化成二次函数问题．
教学难点
将实际问题转化成二次函数问题．
教学过程
一、导入新课
复习二次函数y ＝ax 2的性质和特点，导入新课的教学．
二、新课教学
探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m ，水面宽度增加多少？
教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？
因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系． 教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．
设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得这条抛物线表示的
二次函数为y ＝－2
1x 2． 当水面下降1m 时，水面宽度就增加26－4 m ．
三、巩固练习
一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？ 分析：根据已知条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度．在
如右图的直角坐标系中，即只要求出D 点的横坐标．因为点D
在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，
所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．
2．让学生完成解答，教师巡视指导．
3．教师分析存在的问题，书写解答过程．
解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x
轴，建立直角坐标系．
这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为
y ＝ax 2 (a ＜0) ①
因为AB 与y 轴相交于C 点，所以CB ＝AB 2
＝0.8（m ），又OC ＝2.4 m ，所以点B 的坐标是(0.8，－2.4)．
因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人①，得－2.4＝a ×0.82 所以
a ＝－154
因此，函数关系式是
y ＝－154x 2
② ∵OC ＝2.4 m ，FC ＝1.5 m ，∴OF ＝2.4―1.5＝0.9（m ）．
将y ＝－0.9代入②式得
－0.9＝－154x 2
解得 x 1＝56
，x 2＝―56
．
涵洞宽ED ＝256
≈0.98＜1．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题22.3 第6、7题．。