甘肃省民乐县2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题理
2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版) (11)
上学期期末考试高二理科数学试题一、选择题1．准线方程为1=x 的抛物线的标准方程是（ ）A ．22y x =-B ．24y x =-C ．x y 22=D ．24y x = 【答案】B【解析】试题分析：根据抛物线的定义及标准方程可知，抛物线24y x =-的准线方程为1=x ，所以准线方程为1=x 的抛物线的标准方程是24y x =-，故选B ．【考点】抛物线的标准方程及简单的几何性质．2．已知()()1,0,2,6,21,2,//,a b a b λλμ=+=-则,λμ的值分别为（ ）A ．11,52B ．5，2C ．11,52-- D ．5,2--【答案】A【解析】试题分析：由题意得，//a b ，所以a xb =，即()()1,0,26,21,2x λλμ+=-，解得11,52u λ==，故选A ．【考点】空间向量的运算．3．26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：若方程22126x y m m +=--表示椭圆，则206026m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．【考点】椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16．8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，8 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据中位数的概念，中间的数字为数据的中位数，所以5x =；根据平均数的概念可知2418(10)15916.85y +++++=，解得8y =，故选C ．【考点】茎叶图的中位数与平均数．5．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75° 【答案】B【解析】试题分析：不妨设11,BB AB ==，则11111()()AB C B AB BB C C CB AB C C AB CB ⋅=+⋅+=⋅+⋅111BB C C BB CB +⋅+⋅20100=-+= ，所以直线1AB 与1C B 所成的角为90 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；异面直线所成的角．6．下列结论中，正确的是（ ）①命题“如果222p q +=，则2p q +≤”的逆否命题是“如果2p q +>，则222p q +≠”；②已知 ，，a b c 为非零的平面向量．甲：= a b a c ··，乙：=b c ，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③:(01)=>≠，且x p y a a a 是周期函数，:sin q y x =是周期函数，则p q ∧是真命题；④命题2:320p x x x ∃∈-+≥R ，的否定是：2:320p x x x ⌝∀∈-+<R ，． A ．①② B ．①④ C ．①②④ D ．①③④【答案】C【解析】试题分析：①中，根据命题的逆否关系，可知命题“如果222p q +=，则2p q +≤”的逆否命题是“如果2p q +>，则222p q +≠”；，所以是正确的；②中，乙：= b c ，根据向量的数量积公式，能推出甲：=··ab bc 的等价条件是()()0⋅=⇒⊥--a c b a c b ，反之推不出，所以是正确的；③中，:(01)=>≠，且x p y a a a 不是周期函数， 所以p q ∧是假命题；④中，根据存在性命题的否定可知：命题2:320p x x x ∃∈-+≥R ，的否定是：2:320p x x x ⌝∀∈-+<R ，，所以是正确的．【考点】全称命题与存在命题；命题的否定．7．如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使点M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，CD 是线段F M 的垂直平分线，所以MP PF =，所以PF PO PM PO +=+MO = （定值），显然MO FO >，所以根据椭圆的定义可推断点P 的轨迹是以,F O 为焦点的椭圆，故选B ． 【考点】椭圆的定义．8．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是（ ）A ．43 B ．75C ．85D ．3【答案】A【解析】试题分析：先对2y x =-，求导得2y x '=-，令423y x '=-=-，解得23x =，所以点P 的坐标为24(,)39-，利用点到直线的距离公式得2443()843953d ⨯+⨯--==．【考点】抛物线的几何形式；点到直线的距离公式．9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（ ）A ．－1B ．23C ．32D ．4【答案】D【解析】试题分析：由题意得，第1次判断后循环1,2S i =-=；第2次判断后循环2,33S i ==；第3次判断后循环3,42S i ==；第4次判断后循环4,5S i ==；第5次判断后循环1,6S i =-=；第6次判断后循环2,73S i ==；第7次判断后循环3,82S i ==；第8次判断后循环4,9S i ==；第9次判断不满足98<，终止循环，输出4．故选D ． 【考点】循环结构的计算与输出．10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 【答案】D【解析】试题分析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，因为线段AB 的中点坐标为(1,1)-，所以212212y y b x x a -=-，因为直线的斜率为011312+=-，所以2212b a =，因为右焦点为(3,0)F ，所以229a b -=，所以2218,9a b ==，所以椭圆的方程221189x y +=． 【考点】椭圆的标准方程；中点弦的应用．11．已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点且4||=MN , 则此双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．355 C ．553 D ．5 【答案】C【解析】试题分析：依据题意可知双曲线的一条渐近线为2y x a=，即20x ay -=，因为4||=MN ，圆的半径为所以圆心到渐近线的距离为2，即2=，解得a =，所以3c ==，所以双曲线的离心率为c e a ===B ． 【考点】双曲线的简单几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的简单的几何性质，属于基础试题，解题的关键是利用数形结合的方法球的圆心到渐近线的距离，本题的解答中利用圆半径和圆的弦长公式，根据4||=MN ，求得圆心到渐近线的距离为2，再利用原先到直线的距离公式，求解a 的值，则可求解双曲线中c 的值，根据圆锥曲线的离心率可求解双曲线的离心率，其中准确的运算也是重要的一环．12．已知点A （1，2）在抛物线22y px Γ=：上．若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为123,,k k k ，则123111k k k -+的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】A【解析】试题分析：因为点()1,2A 在抛物线22y px Γ=：上，所以2221p =⨯，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x Γ=：，设211(,)4y B y ，222(,)4y C y ，所以1121124214y k y y -==+-，122221212444y y k y y y y -==+-， 2322224214y k y y -==+-，所以1122123221111444y y y y k k k +++-+=-+=．【考点】直线的斜率；直线与圆锥曲线的关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系及直线的斜率公式的综合应用，属于中档试题，解答本题的关键在于把点A 的代入抛物线的方程，确定P 的值，从而得到抛物线的标准方程，再设出点,B C 的坐标，利用直线的斜率公式分别表示出123,,k k k ，通过化简，可计算123111k k k -+的值，其中用斜率公式表示斜率、准确计算、认真化简是解答的一个易错点．二、填空题13．将二进制数110 101（2）转为七进制数，结果为________． 【答案】104（7）【解析】试题分析：245(2)110101112121253=+⨯+⨯+⨯=，把十进制的53化为七进制，则53774÷= ，7710÷= ，1701÷= ，所以结果为(7)104． 【考点】进位制．14．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号 ， ， ， ． （下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54【答案】785，567，199，810【解析】试题分析：由题意及表知，从随机数表中第8行第7列的数7开始向右读取，所得三位数的编号依次是718,916,955,567,199,810, ，由于850颗种子是按001，002，…，850，所以最先检测的4颗种子的编号依次是785，567，199，810．【考点】数据的收集；随机数表法．15．用计算机随机产生一个有序二元数组x y （，）,满足11,11x y -<<-<<,记事件“1<+y x ”为A ，则P （A ）=______________． 【答案】12【解析】试题分析：在区间11,11x y -<<-<<内任取两个数字,x y 组成有序数对(,)x y ，围成的区域的面积为4；事件“1<+y x ”所成的区域的面积为2，所以事件A 的概率为1()2P A =． 【考点】几何概型．【方法点晴】本题主要考查了利用几何概型求解概率，属于基础试题，解答的关键是确定所对应图形的面积，利用面积比求解几何概型的概率，其中几何概型是一种概率模型，随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状和位置无关，只与该区域的大小有关，通常几何概型分为：长度比的几何概型、面积的几何概型、体积比、角度比等几何概型，认真审题、准确计算是解答的关键．16．已知12,B B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴上的两个端点，O 为坐标原点，点A 是椭圆长轴上的一个端点，点P 是椭圆上异于12,B B 的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，给出以下命题，其中所有正确命题的序号是 ．①当P 点的坐标为233a a （-,）时，椭圆的离心率为； ②直线12,PB PB 的斜率之积为定值22a b-；③120PB PB <；④212sin PB PB B ∠的最大值为22a b a +；⑤直线12,PB QB 的交点M 在双曲线22221y x b a-=上．【答案】①④⑤【解析】试题分析：①把点P 的坐标代入椭圆的方程22221x y a b+=，可得225a b =，所以c e a ===，所以是正确的；②设00(,)P x y ，则2200221x y a b +=，所以12200200PB PB y b y b b k k x x a+-⋅=⋅=-，所以不正确；③因为点P 在圆222x y b +=外，所以2220x y b +->，所以120000(,)(,)PB PB x b y x b y =-----222000x y b =+->，所以不正确；④当点P 在长轴的顶点上时，12B PB ∠最小且为锐角，设12B PB ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：222212122222222sin sin sin 2bb b b a b ab r B PB B AB OAB a b a+=≤===∠∠∠+，所以正确；⑤直线1PB 的方程为：00y b y b x x ++=，直线2QB 的方程为00y by b x x --=，两式相乘可得：2222202y b y b x x --=-，化为22221y x b a -=，由于点P 不与12,B B 重合，所以M 的轨迹为双曲线的一部分，所以正确．【考点】椭圆的简单的性质．【方法点晴】本题综合考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、斜率计算公式、正弦定理、三角形的外接圆的半径、直线相交问题、双曲线的标准方程等综合应用，试题难度较大，属于难题，解答关键在于牢记圆锥曲线的几何性质及斜率的计算公式、解三角形的正、余弦定理等知识，做到熟练运用，同时注意圆锥曲线总的最值与范围问题的考查，也是一个圆锥曲线的难点．三、解答题 17．已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x∈R 恒成立；命题q ：函数f （x ）＝－（5－2a ）x是减函数，若p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（－∞，－2]． 【解析】试题分析：由关于x 的不等式2240x ax ++>对一切R x ∈恒成立，可得24160a ∆=-<，可解得p ；由函数()()52xf x a =--是减函数，可得521a ->，解得q ，再根据p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 、q 中一个为真命题，一个为假命题，分情况讨论求解a 的范围．试题解析：设g （x ）＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g （x ）的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0 所以－2<a<2，所以命题p ：－2<a<2；又f （x ）＝－（5－2a ）x 是减函数，则有5－2a>1，即a<2．所以命题q ：a<2∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 和q 一真一假 （1）若p 为真命题，q 为假命题，则222a a -<<⎧⎨≥⎩，此不等式组无解 （2）若p 为假命题，q 为真命题，则222a a a ≤-≥⎧⎨<⎩或，解得2a ≤-．综上，实数a 的取值范围是（－∞，－2]【考点】复合命题的真假判定及应用．18．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率．【答案】（1）19；（2）34．【解析】试题分析：（1）将一颗骰子先后抛掷2次，含有36种等可能事件，而满足两数之和为5的事件通过列举是4个，所以根据古典概型求得结果；（2）两数中至少一个奇数包含两个数有一个奇数，两个数都是奇数两种情况，这样做起来比较繁琐，可以选用它的对立事件，对立事件是两数均为偶数，通过列举得到结论．试题解析：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以P（A）=41 369=；答：两数之和为5的概率为1 9（2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P（B）=931364-=；答：两数中至少有一个奇数的概率3 4【考点】古典概型及其概率的计算公式．19．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，【答案】（1）0．005；（2）73分；（3）10．【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的性质可列出方程，通过解方程即可得到a的值；（2）由平均数的公式可得平均数为55×0．005×10＋65×0．04×10＋75×0．03×10＋85×0．02×10＋95×0．005×10，从而计算出结果即可；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总体中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50,90）之外的人数．试题解析：（1）由频率分布直方图知（2a＋0．02＋0．03＋0．04）×10＝1，解得a＝0．005（2）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0．005×10＋65×0．04×10＋75×0．03×10＋85×0．02×10＋95×0．005×10＝73（分）（3）由频率分布直方图知语文成绩在[50,60），[60,70），[70,80），[80,90）各分数段的人数依次为0．005×10×100＝5,0．04×10×100＝40,0．03×10×100＝30,0．02×10×100＝20．由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25．故数学成绩在[50,90）之外的人数为100－（5＋20＋40＋25）＝10【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数的计算．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，其中2PA PD AD ===，60BAD ∠= ．（1）求证：AD PB ⊥（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角P AB D --的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）取AD 的中点O ，连接,OP OB ，证明AD ⊥平面PQB ，即可证明：AD PB ⊥；（2）方法1、利用AB POQ AB OP ⊥⇒⊥平面，根据二面角的定义得POQ ∠即为二面角P AB D -- 的平面角，在Rt POQ ∆中，求解二面角P AB D --的正切值．方法2、建立空间直角坐标系，求解平面PAB 与平面ABD 的法向量，利用法向量求解二面角的余弦值，从而求解二面角的正切值．试题解析：（1）,PA PD = 取Q 为AD 的中点，AD PQ ∴⊥ 连接DB ,在ABD ∆中，,60AD AB BAD =∠= ,ABD ∴∆为等边三角形，Q 为AD 的中点，AD BQ ∴⊥,PQ BQ Q PQ =⊂ 平面PQB ,BQ ⊂平面PQB ， AD ∴⊥平面PQB又PB ⊂ 平面PBQ , AD PB ∴⊥（2）方法（一）解： 平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD 由（1）知AD PQ ⊥，PQ PAD ⊆平面 ∴PQ ⊥平面ABCD ,过Q 作QO AB ⊥于O ，连接OPAB PQ ⊥，PQ QO Q = ∴AB POQ AB OP ⊥∴⊥平面, POQ ∴∠即为二面角P AB D --的平面角在Rt PQB ∆中，PQ OQ ==tan 2POQ ∴∠= 故二面角P AB D --的正切值为2 方法（二）解：建系如图Q （0，0，0） P （0，0A （1，0，0）B （00）AB =-（）10AP =-（． 易知平面ABD 的法向量001n =（，，）．设平面APB 的法向量m x y z =（，，）∴00AB m AP m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴00x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩∴3m = （．cos ,5n m n m n m ⋅<>===⋅故二面角P AB D --的正切值为2．x【考点】点、线、面的位置关系的判定与证明；二面角的求解．【方法点晴】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明及二面角的求解，属于基础题，解答此类问题的关键在于（1）中，把线线垂直转化为证明线面垂直，从而得到线线垂直，即要证AD PB ⊥，转为求证AD ⊥平面PQB ；（2）中可根据二面角的定义，确定POQ ∠即为二面角P AB D --的平面角，利用直角三角形求解角的正切值或建立空间直角坐标系，转化为空间向量的运算求解二面角的大小．21．如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P （1，2），A （x y 11,），B （x y 22,）均在抛物线上．（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y y 12+的值及直线AB 的斜率．【答案】（1）y x 24=，x =-1；（2）1-．【解析】试题分析：（1）设出抛物线的方程，把点P 代入抛物线的方程求解p ，则可得抛物线的方程，进而求得抛物线的准线方程；（2）设直线PA 斜率为PA k ，直线PB 斜率为PB k ，则可分别表示PA k 和PB k ，根据倾斜角互补可知PA PB k k =-，进而求得12y y +的值，把,A B 代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB 的斜率．试题解析：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y px 22=点P （1，2）在抛物线上∴=⨯2212p ，得p =2故所求抛物线的方程是y x 24= 准线方程是x =-1（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 则k y x x PA =--≠111221()，k y x x PB =--≠222211() PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴=-k k PA PB由A （x y 11,），B （x y 22,）在抛物线上，得y x 1214=y x 2224= （2）1212122212222(2)4111144y y y y y y y y --∴=-∴+=-+∴+=---，，由（1）—（2）得直线AB 的斜率k y y x x y y x x AB =--=+=-=-≠212112124441()【考点】抛物线简单的几何性质及其应用．【方法点晴】本题主要考查了直线方程、抛物线标准方程及简单的几何性质的应用，着重考查了运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，以及运算、推理能力，属于中档试题，本题的解答中，设出直线,PA PB 的斜率PA k 、PB k ，表示PA k 和PB k ，根据倾斜角互补可知PA PB k k =-，求得12y y +的值，把,A B 代入抛物线方程两式相减，是解答本题的一个难点和技巧，认真审题、仔细解答是解答的关键．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,过左焦点1(1,0)F -的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，且2F MN ∆的周长为8；过点(4,0)P 且不与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求OA OB ⋅的取值范围；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．【答案】（1）22143y x +=；（2）13[4)4-，；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由题意得可得1c =，由椭圆的定义可求得2a =，再由,,a b c 的关系，可得到椭圆的标准方程；（2）设直线PB 的方程为(4)y k x =-，代入椭圆的方程，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示、化简整理，由不等式的性质，即可得所求范围；（3）求得E 的坐标，以及直线AE 的方程，令0y =，运用韦达定理，即可得到所求定点．试题解析：（1）椭圆的方程为22143y x +=（2）由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-由22(4)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得： 2222(43)3264120k x k x k +-+-=由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->得：214k <设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则221212223264124343k k x x x x k k -+==++， ① ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++∴22222121222264123287(1)41625434343k k OA OB x x y y k k k k k k -⋅=+=+⋅-⋅+=-+++∵2104k <≤，∴28787873443k --<-+≤，∴13[4)4OA OB ⋅∈- ， ∴OA OB ⋅ 的取值范围是13[4)4-，．（3）证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E （x 2，－y 2）直线AE 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令y = 0得：112112()y x x x x y y -=-+ 又1122(4)(4)y k x y k x =-=-，，∴12121224()8x x x x x x x -+=+-由将①代入得：x = 1，∴直线AE 与x 轴交于定点（1，0）．【考点】椭圆的简单几何性质及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单的几何性质及其应用，直线与圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线方程和椭圆联立，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档性试题，本题的解答中，把直线方程(4)y k x =-代入椭圆的方程，得二次方程2222(43)3264120k x k x k +-+-=，把向量OA OB ⋅的运算转化为二次方程韦达定理的应用，是解答此类问题的关键，同时此类问题的运算量较大，需要认真审题、细致计算也是解答的一个易错点．。
甘肃省兰州2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题_word版有答案AKHKnq
兰州一中2016-2017-1学期期末考试试题高二数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．.） 1. 命题p : 对∀ x ∈R ，x 3-x 2+1≤0，则⌝p 是（ ） A.不存在x ∈R ，x 3-x 2+1≤0 B. ∃ x ∈R ，x 3-x 2+1≥0C. ∃ x ∈R ，x 3-x 2+1>0D.对∀ x ∈R ，x 3-x 2+1>02. 抛物线y 2=2px 上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是（ ）A.4B.8C.16D.323. 若a 、b 为实数, 且a +b =2, 则3a +3b 的最小值为（ ） A ．6B ． 18C ．23D ．2434. 椭圆24x +y 2=1的焦点为F 1、F 2，经过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为P ，则|2PF uuu r |等于（ ）A.B. C.72D.4 5．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ） A ．－21＜x ＜3 B ．－21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜21 D ．－1＜x ＜66． 过双曲线221169x y -=左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF D （F 2为右焦点）的周长是（ ）A ．28B ．22C ．14D ．127．已知空间四边形ABCD 中，OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，，，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC 中点，则MN u u u u r =（ ）A ．213221+- B ．212132++- C ．212121-+ D ．213232-+ 8．已知双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）A. 2233125100x y -=B. 221205x y -=C. 221520x y -=D. 2233110025x y -=9．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E , F 分别是 BC , AD 的中点，则AE CF ⋅u u u r u u u r=（ ）A ．0B ．21C ．43-D ．21-10. 椭圆上22221(0)x y a b a b+=>>一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]124ππα∈，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A．B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 11. 已知a ＝(1,2，-y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a -b )，则x +y = ．12. 已知y x ,满足43035251x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z =2x -y 的最小值为 .13. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，直线l 的方程为 ． 14．设双曲线2222b y a x -=1（0＜b ＜a ）的半焦距为c ，直线l 经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 .兰州一中2016-2017-1学期期末考试答题卡高二数学（理）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题（每小题4分，共16分）11．；12．；13．；14．.三、解答题（本大题共5 小题，共44分）15.（本小题8分）己知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列.求证：a2+b2+c2>(a-b+c)2.已知命题p :函数y =x 2+mx +1在(-1，+∞）上单调递增，命题q ：对函数y =-4x 2+4(2- m )x -1, y ≤0恒成立．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．17．（本小题8分）如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1B 1中，AA 1=2AB =2AD =4，点E 在CC 1上且C 1E =3EC ．利用空间向量解决下列问题：（1）证明：A 1C ⊥平面BED ； （2）求锐二面角A 1-DE -B的余弦值．A BC DEA 1B 1C 1D 1已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若平行于OA(O为坐标原点)的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且|MN|=3.求∆AMN的面积．如图所示，O 为坐标原点， A 、B 、C 是椭圆上的三点，点A (2,0)是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且AC BC ⋅u u u r u u u r=0，|BC |=2|AC |． (1)求椭圆方程；(2)如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO .证明：存在实数λ，使PQ AB λ=u u u r u u u r．A BCyx兰州一中2016-2017-1学期期末考试参考答案高二数学（理）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分）11．-72； 12．-125； 13．082=-+y x ； 14三、解答题（本大题共5 小题，共44分） 15.（8分）证明：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac∵a ，b ，c 都是正数，c a ca acb +<+≤=<∴20 ∴a +c >b , ……………………………4分∴a 2+b 2+c 2-(a -b +c )2=2(ab +bc -ca ）=2(ab +bc - b 2）=2b (a +c -b )>0 ∴ a 2+b 2+c 2>(a -b +c )2. ……………………………8分 16．（8分）解：若函数y =x 2+mx ∴m ≥2，即p ：m ≥2 ……………………………2分 若函数y =-4x 2+4（2- m ）x -1≤0恒成立，则△=16（m -2）2-16≤0， 解得1≤m ≤3，即q ：1≤m ≤3 ……………………………4分 ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假当p 真q 假时，由213m m m ≥⎧⎨<>⎩或 解得：m >3 ……………………………6分当p 假q 真时，由213m m <⎧⎨≤≤⎩解得：1≤m <2综上，m 的取值范围是{m |m >3或1≤m <2} …………………………8分 17．（8分）解：（Ⅰ）证明：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，． (021)(220)DE DB ==u u u r u u u r ，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=u u u r u u u u r，，，，，． 因为10AC DB =u u u r u u u r g ，10AC DE =u u u r u u u r g，故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥． 又DB DE D =I ，所以1A C ⊥平面DBE ．……………………………4分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥u u u r n ，1DA ⊥u u u u rn ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ．……………………………6分4214==．所以二面角1A DE B --．……………………………8分 18．（10分）解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故抛物线方程为y 2＝4x ，准线为x ＝-1. ……………………………3分 (2)设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋ty 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0. ∴y 1+y 2=-2, y 1y 2=-2t, ……………………………5分 ∵直线l 与抛物线C 有公共点，∴Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由|MN |得t =4， ……………………………8分 又A 到直线l 的距离为d……………………………9分∴∆AMN 的面积为S =12|MN |﹒d=6. ……………………………10分 19. (10分221y b=(0)a b >>，则a =2由AC BC ⋅u u u r u u u r =0， |BC |=2|AC |得∆AOC 为等腰直角三角形，∴C (1，1)，代入得b,2314y +=. ……………………………4分 （2）证明：设PC 斜率为k ,则QC 斜率为-k ，、∴直线PC 的方程为y =k (x -1)+1, 直线Q C 的方程为y=-k (x -1)+1, 由221)13=4y k x x y =-+⎧⎨+⎩( 得（1+3k 2）x 2-6k (k -1)x +3k 2-6k -1=0. ……………………5分又x C =1, 且x C x P =2236131k k k --+，∴x P =2236131k k k --+, 同理x Q =223+6131k k k -+ (7)分2222(31)2()213112331P Q P Q k k k k x x k k k x x k ----+===--+.…………9分,所以//PQ AB λu u u r u u u r ，即一定存在实数λ，使PQ AB λ=u u u r u u u r．……………………10分。
(完整版)2017年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
高二（上）数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，均为单项选择题，每题5 分，共 60 分）1．抛物线 y2=4x 上一点 M 到准线的距离为3，则点 M 的横坐标 x 为（）A．1B．2C．3D．42．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣ 2 D．﹣ 63．在正项等比数列 { a n} 中， a1和 a19为方程 x2﹣10x+16=0 的两根，则 a8?a10?a12等于（）A．16 B．32 C．64D．2564．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C． x=D．y=5．已知一个四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3C．2D．16．为了获得函数y=3cos2x 的图象，只要将函数的图象上每一点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度7．履行以下图的程序框图，若输入n=10，则输出的 S=（）A．B．C．D．8．投掷一枚均匀的硬币 4 次，出现正面次数剩余反面次数的概率是（）A．B．C．D．9．已知 l 是双曲线的一条渐近线， P 是 l 上的一点， F1，F2是 C 的两个焦点，若 PF1⊥PF2，则△ PF1F2的面积为（）A．12B．C．D．10．已知直线 y=﹣2x 1与椭圆+=1（ a＞ b＞ 0）订交于 A，B 两点，且线段+AB 的中点在直线 x﹣4y=0 上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．．已知直线l 过点（﹣，），与圆C：（x﹣1）2+y2订交于，两点，则11 1 0l=3 A B弦长的概率为（）A．B．C．D．12．设 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若| AF1| =212）| BF | ，AF ⊥ x 轴，则椭圆 E 的方程为（A．B．C．D．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．已知椭圆+=1 的长轴在 x 轴上，若焦距为4，则 m 等于．14．函数 f（x），x∈ R，知足以下性质： f（x）+f（﹣ x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则 f（2）=．15．函数给出以下说法，此中正确命题的序号为．（ 1）命题“若α=，则cosα= ”的逆否命题；（2）命题 p： ? x0∈R，使 sinx0＞ 1，则￢ p：? x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（ 4）命题 p：“，使”，命题q：“在△ ABC中，若使sinA＞sinB，则 A＞B”，那么命题（?p）∧ q为真命题．16．抛物线 C：y2=4x 的交点为 F，准线为 l，p 为抛物线 C 上一点，且 P 在第一象限， PM⊥l 交 C 于点 M ，线段 MF 为抛物线 C 交于点 N，若 PF的斜率为，则=．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17．已知数列 { a n } 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为 S n，a1=1，且 3a2，S3， a5成等比数列．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）设，求数列{b n n} 的前 n 项和 T ．18．如图是某市相关部门依据对某地干部的月收入状况检查后画出的样本频次分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请依据该图供给的信息解答以下问题：（图中每组包含左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在[ 1000，1500）（1）求样本中月收入在 [ 2500， 3500）的人数；（2）为了剖析干部的收入与年纪、职业等方面的关系，一定从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步剖析，则月收入在 [ 1500， 2000）的这段应抽多少人？（3）试预计样本数据的中位数．19．如图，直棱柱 ABC﹣A1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点， AA1 =AC=CB= AB．（Ⅰ）证明： BC1∥平面 A1CD（Ⅱ）求二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值．20．已知向量，，此中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数 f（ x）的表达式及单一减区间；（2）在△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 为其面积，若 f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点 M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点， | F1F2| =2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）若点 P 在第一象限，且?≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）能否存在过定点 N（ 0，2）的直线 l 交椭圆 C 交于不一样的两点 A，B，使∠ AOB=90°（此中 O 为坐标原点）？若存在，求出直线 l 的斜率 k；若不存在，请说明原因．22．已知圆 E：（x+1）2+y2=16，点 F（1，0）， P 是圆 E 上随意一点，线段PF的垂直均分线和半径PE订交于 Q（1）求动点 Q 的轨迹Γ的方程；（2）若直线 y=k（x﹣ 1）与（ 1）中的轨迹Γ交于 R，S 两点，问能否在 x 轴上存在一点 T，使适当 k 改动时，总有∠ OTS=∠OTR？说明原因．高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，均为单项选择题，每题5 分，共 60 分）1．抛物线 y2=4x 上一点 M 到准线的距离为3，则点 M 的横坐标 x 为（）A．1B．2C．3D．4【考点】抛物线的简单性质．【剖析】第一求出 p，准线方程，而后依据，直接求出结果．【解答】解：设 M （x，y）则 2P=4， P=2，准线方程为 x= =﹣1，解得 x=2．选 B．2．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣ 2 D．﹣ 6【考点】平行向量与共线向量．【剖析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（﹣ 3，3+2m），∵与平行，∴ 3+2m+9=0，解得m=﹣6．应选： D．3．在正项等比数列 { a n} 中， a1和 a19为方程 x2﹣10x+16=0 的两根，则 a8?a10?a12等于（）A．16 B．32 C．64D．256【考点】等比数列的性质．【剖析】由 a1和19为方程x 2﹣ 10x+16=0 的两根，依据韦达定理即可求出 a1和a12，由数列为正项数列a19的积，而依据等比数列的性质获得 a 和 a19的积等于 a10获得 a10的值，而后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为对于10 的式子，a把 a10的值代入即可求出值．【解答】解：由于 a1和 a19为方程 x2﹣10x+16=0 的两根，因此 a1?a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得： a10=4，则 a8?a10?a12=（a8?a12）?a10=a103=43=64．应选 C4．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C． x=D．y=【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【剖析】先依据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令两者相等即可求得m 和n的关系，从而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴ 3m2﹣5n2=2m2 +3n2，整理得 m2=8n2，∴ =2双曲线的渐近线方程为y=±=±x应选 D5．已知一个四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4B．3C．2D．1【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图．【剖析】画出知足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形 ABCD，从而可得可得△ PAB 和△ PAD 都是直角三角形，再由由线面垂直的判断定理可得CB⊥平面 PAB，CD⊥平面 PAD，又获得了两个直角三角形△ PCB 和△ PCD，由此可得直角三角形的个数．【解答】解：知足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出知足条件的直观图如图四棱锥 P﹣ABCD所示，不如令 PA⊥矩形 ABCD，∴ PA⊥AB，PA⊥ AD， PA⊥CB，PA⊥ CD，故△ PAB 和△ PAD都是直角三角形．又矩形中 CB⊥AB， CD⊥ AD．这样 CB垂直于平面 PAB内的两条订交直线 PA、 AB，CD垂直于平面 PAD内的两条订交直线PA、AD，由线面垂直的判断定理可得CB⊥平面 PAB，CD⊥平面 PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4 个．应选 A．6．为了获得函数 y=3cos2x的图象，只要将函数的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωxφ）的图象变换．+【剖析】利用 y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数=3cos2（ x）的图象上每一个点横坐标+向右平移个单位长度，可得函数 y=3cos2x的图象，应选： B．7．履行以下图的程序框图，若输入n=10，则输出的 S=（）A．B．C．D．【考点】循环构造．【剖析】框图第一给累加变量S 和循环变量 i 分别赋值 0 和 2，在输入 n 的值为10 后，对 i 的值域 n 的值大小加以判断，知足i≤ n，履行，i=i+2，不知足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入 n 的值为 10，框图第一给累加变量S 和循环变量 i 分别赋值 0和 2，判断 2≤10 成立，履行，i=2+2=4；判断 4≤10 成立，履行= ，i=4 2=6；+判断 6≤10 成立，履行，i=6 2=8；+判断 8≤10 成立，履行，i=8+2=10；判断 10≤10 成立，履行，i=10+2=12；判断 12≤10 不可立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．应选 A．8．投掷一枚均匀的硬币 4 次，出现正面次数剩余反面次数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【剖析】投掷一枚均匀的硬币 4 次，相当于进行 4 次独立重复试验，利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰巧发生 k 次的概率计算公式能求出出现正面次数剩余反面次数的概率．【解答】解：投掷一枚均匀的硬币 4 次，相当于进行 4 次独立重复试验，∴出现正面次数剩余反面次数的概率：p==．应选： D．9．已知 l 是双曲线的一条渐近线， P 是 l 上的一点， F1，F2是 C的两个焦点，若PF12 1 2⊥PF，则△ PF F 的面积为（）A．12 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】设 P 的坐标，利用PF1⊥ PF2，成立方程，求出P 的坐标，则△ PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意，设 P（y， y），∵PF1⊥PF2，∴（﹣y，﹣ y）?（y，﹣ y） =0，∴2y2﹣ 6 y2y =，+ =0，∴| |∴△ PF的面积为=2．1F2应选 D．10．已知直线 y=﹣2x+1 与椭圆+=1（ a＞ b＞ 0）订交于 A，B 两点，且线段AB 的中点在直线 x﹣4y=0 上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的地点关系．【剖析】将直线 y=﹣2x+1 与直线 x﹣4y=0 联立，求得中点坐标，由A，B 在椭圆上，两式相减可知=﹣×=﹣，则=2，求得 a2=2b2，椭圆的离心率 e= ==．【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：，解得：，则线段 AB 的中点（，），则 x1+x2= ， y1 +y2= ，由 A，B 在椭圆上，+=1，+ =1，两式相减，得+=0，=﹣×=﹣，∴=2，即 a2=2b2，椭圆的离心率 e= ==，应选 D．．已知直线l 过点（﹣ 1，0），l 与圆C：（x﹣1）2+y2订交于，B两点，则11=3A弦长的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【剖析】先找出使弦长 | AB| =2时的状况，再求直线与圆相切时的情况，依据几何概型的概率公式求解即可【解答】解：圆心 C 是（ 1， 0）半径是，可知（﹣ 1， 0）在圆外要使得弦长| AB|≥ 2，设过圆心垂直于AB 的直线垂足为 D，由半径是，可得出圆心到 AB 的距离是 1，此时直线的斜率为，倾斜角为30°，当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与 x 轴成 60°，斜率为，因此使得弦长的概率为：P==，应选： C．12．设 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若| AF11， 2⊥x 轴，则椭圆E的方程为（）| =2| BF|AF A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】利用椭圆的性质求出 A，B 的坐标，代入椭圆方程，联合 1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意椭圆，a=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x 轴，∴ | AF2| =b2，∴A 点坐标为（c，b2），设 B（x， y），则∵| AF1| =2| F1B| ，∴（﹣ c﹣c，﹣ b2） =2（x+c，y）∴ B（﹣ 2c，﹣b2），代入椭圆方程可得： 4c2+b2=1，∵1=b2+c2，∴ b2= ，∴x2+=1．应选： C．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．已知椭圆+=1 的长轴在 x 轴上，若焦距为4，则 m 等于4．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】依据椭圆+=1 的长轴在x 轴上，焦距为4，可得 10﹣m﹣m+2=4，即可求出 m 的值．【解答】解：∵椭圆+=1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，∴10﹣m﹣ m+2=4，解得 m=4故答案为： 4．14．函数 f（x），x∈ R，知足以下性质： f（x）+f（﹣ x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则 f（2）=﹣3．【考点】函数的值．【剖析】推导出 f（ x+3） =﹣ f（x+）=f（x），由f（1）=3，得f（2）=f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数 f（x），x∈R，知足以下性质： f （x）+f（﹣ x）=0，f（+x）=f（﹣x），∴f（x+3） =﹣f （x+ ） =f（x）∵f（1）=3，f（2）=f（﹣ 1） =﹣ f（1）=﹣3．故答案为：﹣ 3．15．函数给出以下说法，此中正确命题的序号为①②④．（ 1）命题“若α=，则cosα= ”的逆否命题；（2）命题 p： ? x0∈R，使 sinx0＞ 1，则￢ p：? x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（ 4）命题 p：“，使”，命题q：“在△ ABC中，若使sinA＞sinB，则 A＞B”，那么命题（?p）∧ q为真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】（1），原命题为真，逆否命题为真命题；（2），命题 p：? x0∈R，使 sinx0＞1，则￢ p：? x∈R，sinx≤1，；（3），“φ= +2kπ（k∈Z）”是“函数若 y=sin（ 2x+φ）为偶函数”的充足不用要条件；（ 4），判断命题 p、命题 q 的真假即可【解答】解：对于（ 1），∵ cos=，∴原命题为真，故逆否命题为真命题；对于（ 2），命题 p：? x0∈R，使 sinx0＞ 1，则￢ p：? x∈ R，sinx≤1，为真命题；对于（ 3），“φ= +2kπ（ k∈Z）”是“函数若 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充足不用要条件，故为假命题；对于（ 4），x∈（ 0，）时，sinx+cosx=，故命题p为假命题；在△ ABC中，若 sinA＞sinB? 2RsinA＞ 2RsinB? a＞ b? A＞ B，故命题 q 为真命题那么命题（?p）∧ q为真命题，正确．故答案为：①②④16．抛物线 C：y2=4x 的交点为 F，准线为 l，p 为抛物线 C 上一点，且 P 在第一象限， PM⊥l 交 C 于点 M ，线段 MF 为抛物线 C 交于点 N，若 PF的斜率为，则=．【考点】抛物线的简单性质．【剖析】过 N 作 l 的垂线，垂足为Q，则 | NF| =| NQ| ，| PF| =| PM| ，求出 P 的坐标，可得 cos∠MNQ=，即可获得．【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），过 N 作 l 的垂线，垂足为 Q，则 | NF| =| NQ| ，∵ PF的斜率为，∴可得 P（4，4）．∴ M（﹣ 1，4），∴ cos∠MFO=∴cos∠ MNQ=∴=故答案为：．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17．已知数列 { a n } 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为 S n，a1=1，且 3a2，S3， a5成等比数列．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设，求数列{ b n}的前n项和T n．【考点】数列的乞降；数列递推式．【剖析】（1）设出等差数列的公差，由 3a2，S3， a5成等比数列列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（ 2）求出等差数列的前n 项和，代入，利用裂项相消法求数列{ b n}的前 n 项和 T n．【解答】解：（1）设数列 { a n} 的公差为 d（d＞0），则 a2=1+d，S3=3+3d，a5=1+4d，∵ 3a2， S3，a5成等比数列，∴，即（ 3+3d）2=（3+3d）?（1+4d），解得 d=2．∴a n=1+2（ n﹣ 1） =2n﹣1；（ 2）由（ 1）得：，∴=，∴=．18．如图是某市相关部门依据对某地干部的月收入状况检查后画出的样本频次分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请依据该图供给的信息解答以下问题：（图中每组包含左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在[ 1000，1500）（1）求样本中月收入在 [ 2500， 3500）的人数；（2）为了剖析干部的收入与年纪、职业等方面的关系，一定从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100 人作进一步剖析，则月收入在[ 1500， 2000）的这段应抽多少人？（ 3）试预计样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、均匀数；频次散布直方图．【剖析】（1）依据频次散布直方图，求出各段的频次，而后再求 [ 2500， 3500）的人数；（2）依据抽样方法，选用抽样的人数，（3）依据求中位数的方法即可．【解答】解：（1）∵月收入在 [ 1000，1500] 的频次为 0.0008× 500=0.4，且有4000 人，∴样本的容量 n=，月收入在 [ 1500，2000）的频次为 0.0004× 500=0.2，月收入在 [ 2000，2500）的频次为 0.0003× 500=0.15，月收入在 [ 3500，4000）的频次为 0.0001× 500=0.05，∴月收入在 [ 2500，3500）的频次为； 1﹣（ 0.4+0.2+0.15+0.05） =0.2，∴样本中月收入在 [ 2500，3500）的人数为： 0.2×10000=2000．（2）∵月收入在 [ 1500， 2000）的人数为： 0.2×10000=2000，∴再从 10000 人用分层抽样方法抽出100 人，则月收入在 [ 1500， 2000）的这段应抽取（人）．（3）由（ 1）知月收入在 [ 1000，2000）的频次为： 0.4+0.2=0.6＞0.5，∴样本数据的中位数为：=1500+250=1750（元）．19．如图，直棱柱 ABC﹣A1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点， AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明： BC1∥平面 A1CD（Ⅱ）求二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判断．【剖析】（Ⅰ ）经过证明 BC1平行平面 A1CD 内的直线 DF，利用直线与平面平行的判断定理证明 BC1∥平面 A1CD（Ⅱ）证明 DE⊥平面 A1DC，作出二面角 D﹣ A1C﹣E 的平面角，而后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点，又 D 是 AB 中点，连接 DF，则 BC1∥DF，由于 DF? 平面 A1CD，BC1?平面 A1 CD，因此 BC1∥平面 A1CD．（Ⅱ）由于直棱柱 ABC﹣ A1 B1C1，因此 AA1⊥ CD，由已知 AC=CB，D 为 AB 的中点，因此 CD⊥AB，又 AA1∩AB=A，于是， CD⊥平面 ABB1 A1，设 AB=2 ，则 AA1=AC=CB=2，得∠ ACB=90°，CD= ，A1D=，DE=，A1E=3故 A1D2+DE2=A1E2，即 DE⊥ A1D，因此 DE⊥平面 A1DC，又 A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠ DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△ A1DC中， DF==，EF==，因此二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值． sin∠DFE=．20．已知向量，，此中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数 f（ x）的表达式及单一减区间；（2）在△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 为其面积，若 f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．【考点】余弦定理；平面向量数目积的运算．【剖析】（1）利用两个向量的数目积公式，三角恒等变换化简函数的分析式，再利用正弦函数的周期性和单一性，得出结论．（ 2）由 f（）=1，求得 A=，依据 S△ABC =，求得 c=4，再利用余弦定理求得 a=的值．【解答】解：（1）函数=cos2ωxsin ωxcosωx﹣+= cos2 ωx+ sin2 ω x=sin（ 2ωx+），其最小正周期为=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+）．令 2kπ2x≤2kπ，求得kπ≤x≤ kπ，+≤ ++++故函数的减区间为 [ kπ+，kπ+] ， k∈ Z．（ 2）在△ ABC中，∵ f（） =sin（A+） =1，∴A= ，又 b=1，S△ABC= bc?sinA= ?1?c? = ，∴ c=4，∴ a===．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点 M（1，），F1，F2是椭圆C 的两个焦点， | F1F2| =2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）若点 P 在第一象限，且?≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）能否存在过定点N（ 0，2）的直线 l 交椭圆 C 交于不一样的两点A，B，使∠AOB=90°（此中 O 为坐标原点）？若存在，求出直线l 的斜率 k；若不存在，请说明原因．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【剖析】（Ⅰ ）由椭圆经过点 M （1，），| F1F2| =2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆 C 的标准方程．（Ⅱ）设 P（x， y），则=（3x2﹣8），由此能求出点P 的横坐标的取值范围．（Ⅲ）设直线 l 的方程为 y=kx 2，联立，得（ 1 4k2）x2 16kx 12=0，++++由此利用根的鉴别式、韦达定理、向量的数目积，联合已知条件能求出直线的斜率．【解答】 解：（Ⅰ）∵椭圆 C ：+ =1（a ＞b ＞0）经过点 M （1， ）， F 1，F 2 是椭圆 C 的两个焦点， | F 1F 2| =2 ，∴，解得 a=2， b=1，∴椭圆 C 的标准方程为．（ Ⅱ）∵ c= ，F 1（﹣，），2（），设 （，），0 FP x y则=（﹣ ） ?（）=x 2 +y 2﹣ 3，∵，∴=x 2+y 2 ﹣3== （ 3x 2﹣8），解得﹣，∵点 P 在第一象限，∴ x ＞0，∴ 0＜ x ＜，∴点 P 的横坐标的取值范围是（ 0， ] ．（ Ⅲ）当直线 l 的斜率不存在时，直线l 即为 y 轴，A 、B 、O 三点共线，不切合题意，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx 2 ，+联立，得（ 1+4k 2） x 2+16kx+12=0，由△ =（16k ）2﹣48（ 1+4k 2）＞ 0，解得，，，∵∠ AOB=90°，∴=0，∵=x 1x 2 y 1y 2 =x 1x 2 （kx 1 2）（kx 2 2） ==0，+ ++ +解得 k 2=4，知足 k 2＞ ，解得 k=2 或 k=﹣ 2，∴直线 l 的斜率 k 的值为﹣ 2 或 2．22．已知圆 E：（x+1）2+y2=16，点 F（1，0）， P 是圆 E 上随意一点，线段PF的垂直均分线和半径PE订交于 Q（1）求动点 Q 的轨迹Γ的方程；（2）若直线 y=k（x﹣ 1）与（ 1）中的轨迹Γ交于 R，S 两点，问能否在 x 轴上存在一点 T，使适当 k 改动时，总有∠ OTS=∠OTR？说明原因．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】（1）连接 QF，运用垂直均分线定理可得，|QP|=|QF| ，可得| QE|+| QF| =| QE|+| QP| =4＞| EF| =2，由椭圆的定义即可获得所求轨迹方程；（2）假定存在T（t ，0）知足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和鉴别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可获得存在 T（4，0）．【解答】解：（1）连接 QF，依据题意， | QP| =| QF| ，则 | QE|+| QF| =| QE|+| QP| =4＞ | EF| =2，故动点 Q 的轨迹Γ是以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆．设其方程为，可知 a=2， c=1，∴，因此点 Q 的轨迹Γ的方程为；（ 2）假定存在 T（t ，0）知足∠ OTS=∠OTR．设 R（x1，y1），S（x2， y2）联立，得（ 3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，此中△＞ 0 恒成立，由∠ OTS=∠OTR（明显 TS，TR 的斜率存在），故 k TS k TR=0即②，+由 R，S 两点在直线 y=k（x﹣ 1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有 2x1x2﹣（ t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与 k 的取值没关，当且仅当“t=4时“成立，综上所述存在 T（4，0），使适当 k 变化时，总有∠ OTS=∠OTR．2017年 2月 24日。
2016—2017学年度上学期期末考试高二试题
2016—2017学年度上学期期末考试高二试题物理考试时间:90分钟分数:100分一、选择题(本题共10小题每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，第1~6题只有项符合题目要求,7~10题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1.让下列各电流通过同一定值电阻相同时间(远大于交流电周期)，发热量最大的是( )2.如图，直线a为某电源的路端电压随干路电流强度的变化图线，直线b为来电阻R两端的电压随电流变化图线，把该电源和该电阻组成闭合电路，电源的输出功率和电源的效率分别为( )A.4W,33.3%B.4W,66.7%C.2W,66.7%D.2W,33.3%3.如图所示，甲图中由均匀金属丝焊接而成的等边三角形框架，两个底角与一电源相连接，垂直于框架平面有磁感应强度为B的匀强磁场，则三角形框架受到的安培力的合力大小为F1；乙图中和电源相连的是和甲图中三角形的一边相同的直金属丝，该金属丝和磁感应强度为B的匀强磁场垂直，受到的安培力大小为F2。
两电源相同，内阻不计，且连接电源与金属丝的导线电阻不计，则()A.F1>F2B .F1=F2C.F1< F2D.无法判断4.如图所示，单匝闭合导线框的质量可以忽略不计，将它从如图所示的位置向右匀速拉出匀强磁场。
若第一次用速度v匀速拉出，外力做功的平均功率为P1，通过导线截面的电荷量为q1；第二次用速度2v匀速拉出，外力做功的平均功率为P2，通过导线截面的电荷量为q2，则()A.P1：P2=1:1,q1:q2=1:4B.P1:P2=1:4,q1:q2=1:2C.P1:P2=1:2,q:q2=1:1D.P1:P2=1:4,q1:q2=1:15.如图所示，光滑平行金属导轨固定于水平面上，左端与电阻R相连接，匀强磁场方向竖直向下，导体棒MN与导轨良好接触。
现对导体棒MN施加水平向右的拉力F，使其由静止加速到v，不计导轨和导体棒电阻，下列说法正确的是()A.导体棒中的电流由M流向NB.导体棒MN受到的安培力方向和拉力F的方向相同C.拉力F做的功等于棒克服安培力做的功和棒动能增加量之和D.拉力F做的功等于棒克服安培力做的功与电阻R产生的电热以及棒动能增加量之和6.航母上飞机弹射起飞是利用电磁驱动来实现的。
甘肃省民乐县2016_2017学年高二化学上学期期末考试试题
2016-2017学年第一学期高二年级期终考试化学试卷可能用到的相对原子量： C-12 H-1 O-16 Cu-64Ⅰ卷一、选择题(共18小题，每小题3分,共54分,每小题只有一个选项符合题意)。
1．新能源的特点是资源丰富，在使用时对环境无污染或污染很小，且可以再生。
下列属于新能源的是的( )①煤 ②石油 ③太阳能 ④生物质能 ⑤氢能 A ．①②③ B ．①②⑤ C ．②③⑤ D ．③④⑤2．某化学反应的能量变化如下图所示。
下列有关叙述正确的是( )A ．该反应的反应热ΔH ＝E 2－E 1B ．a 、b 分别对应有催化剂和无催化剂的能量变化C ．催化剂能降低反应的活化能D ．催化剂能改变反应的焓变3．已知热化学方程式：H ＋(aq)＋OH －(aq)===H 2O(l) ΔH 1＝－57.3 mol·L －1；12H 2SO 4(浓)＋NaOH(aq)===12Na 2SO 4(aq)＋H 2O(l) ΔH 2＝m ，下列说法正确的是( )A ．上述热化学方程式中的计量数表示分子数B ．ΔH 1>ΔH 2C ．ΔH 2＝－57.3 kJ·mol －1D ．|ΔH 1|>|ΔH 2| 4．反应4CO(g)＋2NO 2(g)N 2(g)＋4CO 2(g)开始进行时，CO 的浓度为4 mol/L ，N 2的浓度为0，2 min 后测得N 2的浓度为0.6 mol/L ，则此段时间内，反应速率表示正确的是( )A ．v(CO)＝1.2 mol/(L·s)B ．v(NO 2)＝0.3 mol/(L·min)C ．v(N 2)＝0.6 mol/(L·min)D ．v(CO 2)＝1.2 mol/(L·min) 5．在一定条件下，对于反应m(A)g ＋nB(g) cC(g)＋dD(g)，C 物质的浓度(C%)与温度、压强的关系如图所示，下列判断正确的是( )A ．ΔH<0 ΔS>0B ．ΔH>0 ΔS<0C ．ΔH>0 ΔS>0D ．ΔH<0 ΔS<06．将①H ＋、②Cl －、③Al 3＋、④K ＋、⑤S 2－、⑥OH －、⑦NO －3、⑧NH ＋4分别加入H 2O 中，基本上不影响水的电离平衡的是( )A ．①③⑤⑦⑧B ．②④⑦C ．①⑥D ．②④⑥⑧7．下列叙述正确的是( )A ．100 ℃纯水的pH ＝6，所以水在100 ℃时呈酸性B ．pH ＝3的盐酸溶液，稀释至10倍后pH>4C ．0.2 mol·L －1的醋酸，与等体积水混合后pH ＝1D ．常温时，pH ＝3的盐酸与pH ＝11的氢氧化钠等体积混合后pH ＝7 8．对于常温下pH ＝2的醋酸溶液，下列叙述正确的是( )A ．c(H ＋)＝c(CH 3COO －) B ．加水稀释时H 3COO－3增大C ．与pH ＝12的NaOH 溶液等体积混合后，溶液呈中性D ．加入醋酸钠固体可抑制醋酸的电离，电离常数K a 变小 9．下列关于0.10 mol·L －1NaHCO 3溶液的说法正确的是( )A ．溶质的电离方程式为NaHCO 3===Na ＋＋H ＋＋CO 2－3 B ．25 ℃时，加水稀释后，n(H ＋)与n(OH －)的乘积变大C ．离子浓度关系：c(Na ＋)＋c(H ＋)＝c(OH －)＋c(HCO －3)＋c(CO 2－3) D ．温度升高，c(HCO －3)增大10．向盛有10滴AgNO 3溶液的试管中滴加0.1 mol/L NaCl 溶液，至不再有白色沉淀生成；继续向试管中滴加0.1 mol/L KI 溶液并振荡，沉淀变为黄色；再向试管中滴入0.1 mol/L Na 2S 溶液并振荡，沉淀又变成黑色。
2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于 ．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1． （ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值； （2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？ 并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞） 故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件， 故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1， 故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中， 由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1， 故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1， 由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12， 故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。
2016-2017学年甘肃省张掖市民乐一中高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)
2016-2017学年甘肃省张掖市民乐一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，）.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x﹣1≥0 B．∃x∈R，x2+2x﹣1＜0C．∃x∈R，x2+2x﹣1≥0 D．∃x∈R，x2+2x﹣1＞02．（5分）在等比数列{a n}中，a7•a12=5，则a8•a9•a10•a11=（）A．10 B．25 C．50 D．753．（5分）（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n等于（）A．8 B．7 C．6 D．55．（5分）若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线6．（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，从n=k到n=k+1，左边需增添的代数式是（）A．2k+2 B．2k+3 C．2k+1 D．（2k+2）+（2k+3）7．（5分）若椭圆过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，问第100项为（）A．10 B．14 C．13 D．1009．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．1810．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f （x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．11．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，使（+）（﹣）=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（）A．B．+1 C．+1 D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知其中i为虚数单位，a是实数，则a=．14．（5分）已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．15．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线﹣=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为．三、解答题（本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分，解答请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x+4，求函数f（x）的单调区间和极值．18．（12分）已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：“不等式组所表示的区域是三角形”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．19．（12分）已知等差数列{a n}中，a1+a4=10，a3=6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求二面角F﹣DE﹣B的正弦值．21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．22．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；（3）若x≥1时，有不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年甘肃省张掖市民乐一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，）.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x﹣1≥0 B．∃x∈R，x2+2x﹣1＜0C．∃x∈R，x2+2x﹣1≥0 D．∃x∈R，x2+2x﹣1＞0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知：∀x∈R，x2+2x﹣1＜0的否定为∃x∈R，x2+2x﹣1≥0，故选：C．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．2．（5分）在等比数列{a n}中，a7•a12=5，则a8•a9•a10•a11=（）A．10 B．25 C．50 D．75【分析】根据等比数列的性质得到a7•a12=a8•a11=a9•a10=5，即可得到结论．【解答】解：在等比数列中，a7•a12=a8•a11=a9•a10，∵a7•a12=5，∴a7•a12=a8•a11=a9•a10=5，即a8•a9•a10•a11=5×5=25，故选：B．【点评】本题主要考查等比数列的性质，要求熟练掌握等比数列的性质的应用，比较基础．3．（5分）（）A．B．C．D．【分析】根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一即可．【解答】解：表示的几何意义是：以（0，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积=π×1=故选A【点评】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．4．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n等于（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（2，﹣1），此时最大值z=2×2﹣1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（﹣1，﹣1），最小值为z=﹣2﹣1=﹣3，故最大值m=3，最小值为n=﹣3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．5．（5分）若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线【分析】由共面向量基本定理即可得出．【解答】解：：由=++，可得=1，又A，B，C不共线，∴P，A，B，C四点共面．故选：B．【点评】本题考查了共面向量基本定理，属于基础题．6．（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，从n=k到n=k+1，左边需增添的代数式是（）A．2k+2 B．2k+3 C．2k+1 D．（2k+2）+（2k+3）【分析】从式子1+2+22+…+25n﹣1是观察当n=1时的值以及当从n=k到n=k+1的变化情况，从而解决问题．【解答】解：当n=1时，原式的值为1+2+22+23+24=31，1+2+3=（1+1）（2+1）当n=k时，原式左侧：1+2+3+…+（2k+1），∴从k到k+1时需增添的项是（2k+2）+（2k+3）故选：D．【点评】本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立（奠基）2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立．7．（5分）若椭圆过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的基本性质得到a与b的关系，设出关于b 的椭圆方程，把抛物线的焦点坐标代入即可求出b的值，得到椭圆方程．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线x2﹣y2=1的焦点坐标为（，0），（﹣，0），所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c=2 ，即c=，则a2﹣b2=c2=2，即a2=b2+2，所以设椭圆的方程为：+=1，把（2，0）代入得：=1即b2=2，则该椭圆的方程是：．故选A【点评】此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题．8．（5分）观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，问第100项为（）A．10 B．14 C．13 D．100【分析】根据数列项的值，寻找规律即可得到结论．【解答】解：设n∈N*，则数字n共有n个所以由≤100，即n（n+1）≤200，又因为n∈N*，所以n=13，到第13个13时共有=91项，从第92项开始为14，故第100项为14．故选：B．【点评】本题主要考查数列的简单表示，根据条件寻找规律是解决本题的关键．9．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴S n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选：B．【点评】求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．10．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f （x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．11．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．【点评】本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是基础题．12．（5分）已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，使（+）（﹣）=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（）A．B．+1 C．+1 D．【分析】根据双曲线的定义可知和||=||，可得|PF2|=（+1）a，再根据（+）（﹣）=0，得到△OPF2为等边三角形，即可得到c=（+1）a，即可求出离心率．【解答】解：|PF1|﹣|PF2|=2a，||=||，∴|PF2|=（+1）a，∵（+）（﹣）=0，∴||=||，设Q为PF2的中点，∴+=2，﹣=，∴⊥，∴△OPF2为等边三角形，∴c=（+1）a，∴e==+1，故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知其中i为虚数单位，a是实数，则a=1．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的条件列式求得a值．【解答】解：由，得2=（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i，∴，即a=1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y﹣4=0．【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．【解答】解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4=0故答案为：3x+y﹣4=0【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．15．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，则实数a的取值范围是{a|a≤﹣6，或a≥2} ．【分析】不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，即b2﹣4ac≥0即可，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3，∴x2﹣ax﹣a+3≤0；∴a2﹣4（﹣a+3）≥0，即a2+4a﹣12≥0；解得a≤﹣6，或a≥2，此时原不等式的解集不是空集，∴a的取值范围是{a|a≤﹣6，或a≥2}；故答案为：{a|a≤﹣6，或a≥2}．【点评】本题考查了二次函数与不等式的解法与应用问题，是基础题．16．（5分）已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线﹣=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为32．【分析】由双曲线﹣=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，可得p．进而得到抛物线的方程和其准线方程，可得K坐标．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．可得|AK|=|AM|．可得|KF|=|AF|．进而得到面积．【解答】解：由双曲线﹣=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，∴=4，解得p=8．∴抛物线的方程为y2=16x．其准线方程为x=﹣4，∴K（﹣4，0）．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．∴|AK|=|AM|．∴∠MAK=45°．∴|KF|=|AF|．∴△AFK 的面积为|KF|2=32．故答案为：32．【点评】熟练掌握双曲线、抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．三、解答题（本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分，解答请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x+4，求函数f（x）的单调区间和极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．【解答】解：由题可知，函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）…（1分）f′（x）=3x2﹣3…（3分）令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=1…（4分）列出x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：…（8分）由上表，得函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；单调递减区间为（﹣1，1）…（10分）函数f（x）的极大值为f（﹣1）=6；极小值为f（1）=2…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．18．（12分）已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：“不等式组所表示的区域是三角形”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【分析】求出命题P是真命题时，m的范围，利用线性规划求出命题q是真命题时，m的范围，然后求解即可．【解答】解：（理科）如果p为真命题，则有m＞m﹣1＞0，即1＜m＜2；…（3分）若果q为真命题，不等式组所表示的区域是三角形，则由图可得或m≥2．…（7分）因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，所以实数m的取值范围为…（12分）【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，椭圆的简单性质以及线性规划的简单应用，考查数形结合，转化思想的应用．19．（12分）已知等差数列{a n}中，a1+a4=10，a3=6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出．（II）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，∵a1+a4=10，a3=6．∴，解得，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求二面角F﹣DE﹣B的正弦值．【分析】（Ⅰ）以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，由此能证明PA∥平面EDB．（Ⅱ）求出平面EFD的一个法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣DE﹣B的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1．…..…（1分）连结AC，AC交BD于点G，连结EG．依题意得．因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为，且．所以，即PA∥EG，而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，因此PA∥平面EDB．…（5分）（Ⅱ）解：，又，故，所以PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．…（7分）所以平面EFD的一个法向量为．，设平面DEB的法向量为则不妨取x=1则y=﹣1，z=1，即…（10分）设求二面角F﹣DE﹣B的平面角为θ，因为θ∈[0，π]，所以．二面角F﹣DE﹣B的正弦值大小为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得 又，所以a=2 ，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．22．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；（3）若x≥1时，有不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，求出极值点，判断导函数符号，然后求解单调区间．（2）求出，x∈（0，e]，通过①若m≥0，②若m＜0，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后求m．（3）利用x≥1时，恒成立，分离变量，构造函数，利用函数的导数，求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（2）∵g（x）=1+lnx+mx，，x∈（0，e]，①若m≥0，则g'（x）≥0，从而g（x）在（0，e]上是增函数，∴g（x）max=g （e）=me+2≥0，不合题意．②若m＜0，则由g'（x）＞0，即，若，g（x）在（0，e]上是增函数，由①知不合题意．由g'（x）＜0，即．从而g（x）在上是增函数，在为减函数，∴，令ln（）=﹣3，所以m=﹣e3，∵，∴所求的m=﹣e3．（3）∵x≥1时，恒成立，∴k≤（x+1）f（x）=lnx+++1，令，∴恒大于0，∴h（x）在[1，+∞）为增函数，∴h（x）min=h（1）=2，∴k≤2．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及函数的单调性的判断，构造法的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．。
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末考试题及答案
2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。
2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(解析版)20
高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（ ）A ．x 2=8yB ．x 2=﹣8yC ．y 2=﹣8xD ．y 2=8x2．已知直线l 1：x ﹣y+1=0和l 2：x ﹣y+3=0，则l 1与l 2之间距离是（ ）A ．B ．C ．D ．23．设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积为V ，E ，F ，G 分别是AA 1，AB ，AC 的中点，则三棱锥E ﹣AFG 体积是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则m 的值是（ ）A ．0或2B ．2C ．D ．或25．在四面体ABCD 中（ ）命题①：AD ⊥BC 且AC ⊥BD 则AB ⊥CD 命题②：AC=AD 且BC=BD 则AB ⊥CD ． A ．命题①②都正确 B ．命题①②都不正确C ．命题①正确，命题②不正确D ．命题①不正确，命题②正确6．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥βB ．α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nC ．α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nD ．α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ⇒n ⊥β 7．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，二面角A ﹣BD 1﹣B 1的大小是（ ）A ．B ．C ．D ．8．过点（0，﹣2）的直线交抛物线y 2=16x 于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且y 12﹣y 22=1，则△OAB （O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且 B．且C．且D．且10．如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：x2﹣4y2=1的渐近线方程是，双曲线C的离心率是．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V= cm3，表面积S= cm2．13．已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足= ．14．（6分）已知直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是．16．过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为．17．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．21．（15分）已知点C （x 0，y 0）是椭圆+y 2=1上的动点，以C 为圆心的圆过点F （1，0）．（Ⅰ）若圆C 与y 轴相切，求实数x 0的值；（Ⅱ）若圆C 与y 轴交于A ，B 两点，求|FA|•|FB|的取值范围．22．（15分）已知椭圆C 的方程是，直线l ：y=kx+m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，若F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l ，M ，N 分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（ ） A ．x 2=8y B ．x 2=﹣8y C ．y 2=﹣8x D ．y 2=8x 【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据准线方程为y=﹣2，可知抛物线的焦点在y 轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为x 2=2py （p ＞0），根据准线方程求出p 的值，代入即可得到答案．【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y 轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：x 2=2py （p ＞0）， ∵抛物线的准线方程为y=﹣2， ∴=2， ∴p=4，∴抛物线的标准方程为：x 2=8y ． 故选A ．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．2．已知直线l 1：x ﹣y+1=0和l 2：x ﹣y+3=0，则l 1与l 2之间距离是（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式，运算求得结果． 【解答】解：∵已知平行直线l 1：x ﹣y+1=0与l 2：x ﹣y+3=0，∴l 1与l 2间的距离 d==，故选C ．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．3．设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积为V ，E ，F ，G 分别是AA 1，AB ，AC 的中点，则三棱锥E ﹣AFG 体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由E ，F ，G 分别是AA 1，AB ，AC 的中点，知S △AFG =，，由此能求出三棱锥E ﹣AFG 体积．【解答】解：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积为V ， ∴V=S △ABC •AA 1，∵E ，F ，G 分别是AA 1，AB ，AC 的中点，∴S △AFG =，，∴三棱锥E ﹣AFG 体积：V E ﹣AFG ===S △ABC •AA 1=．故选：D ．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则m 的值是（ ）A ．0或2B ．2C ．D ．或2【考点】圆的切线方程．【分析】算出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离公式列式得到关于m的方程，解之即可得到实数m的值．【解答】解：∵圆x2+y2=m的圆心为原点，半径r=∴若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d==，解之得m=2（舍去0）故选B．【点评】本题给出直线与圆相切，求参数m的值．考查了直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于基础题．5．在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确 D．命题①不正确，命题②正确【考点】棱锥的结构特征．【分析】对于①作AE⊥面BCD于E，证得E是垂心，可得结论；对于②，取CD 的中点O，证明CD⊥面ABO，即可得出结论．【解答】解：对于①作AE⊥面BCD于E，连接DE，可得AE⊥BC，同理可得AE ⊥BD，证得E是垂心，则可得出AE⊥CD，进而可证得CD⊥面AEB，即可证出AB ⊥CD，故①正确；对于②，取CD的中点O，连接AO，BO，则CD⊥AO，CD⊥BO，∵AO∩BO=O，∴CD⊥面ABO，∵AB⊂面ABO，∴CD⊥AB，故②正确．故选A．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间位置关系的判定，我们要根据空间中线面关系的判定及性质定理对四个结论逐一进行判断．若m⊥α，n ⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直；若α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，α⊥β，α∩β=m时，与线面垂直的判定定理比较缺少条件n⊂α，则n⊥β不一定成立．【解答】解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a ⊂α，b ⊄α，a ∥b ⇒b ∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a ⊂α⇒a ∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a ⊄α，a ⊄，a ∥α⇒ a ∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．7．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，二面角A ﹣BD 1﹣B 1的大小是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣BD 1﹣B 1的大小．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，则A （1，0，0），B （1，1，0），B 1（1，1，1），D 1（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，1），设平面ABD 1的法向量=（x ，y ，z ），则，取y=1，得，设平面BB 1D 1的法向量=（a ，b ，c ），则，取a=1，得=（1，﹣1，0），设二面角A ﹣BD 1﹣B 1的大小为θ，则cos θ===﹣，∴θ=．∴二面角A ﹣BD 1﹣B 1的大小为．故选：C ．【点评】本题考查二面角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8．过点（0，﹣2）的直线交抛物线y 2=16x 于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且y 12﹣y 22=1，则△OAB （O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线方程为x=my+2m ，代入y 2=16x 可得y 2﹣16my ﹣32m=0，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，即可得出结论．【解答】解：设直线方程为x=my+2m ，代入y 2=16x 可得y 2﹣16my ﹣32m=0， ∴y 1+y 2=16m ，y 1y 2=﹣32m ， ∴（y 1﹣y 2）2=256m 2+128m ， ∵y 12﹣y 22=1，∴256m 2（256m 2+128m ）=1，∴△OAB （O 为坐标原点）的面积为|y 1﹣y 2|=．故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质、直线和抛物线的位置关系的综合运用，注意抛物线性质的灵活运用，是中档题．9．已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且【考点】二面角的平面角及求法．【分析】可设BC=a ，可得AB=PB=2a ，AC=CP=a ，过C 作CH ⊥平面PAB ，连接HB ，则PC 与平面PAB 所成角为β=∠CPH ，由CH ＜CB ，可得sin β的范围；由二面角的定义，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP ，设P 到平面ABC 的距离为d ，根据等积法和正弦函数的定义和性质，即可得到PB 与平面ABC 所成角α的范围．【解答】解：在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，可设BC=a ，可得AB=PB=2a ，AC=CP=a ，过C 作CH ⊥平面PAB ，连接HB ， 则PC 与平面PAB 所成角为β=∠CPH ， 且CH ＜CB=a ，sin β=＜=；由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP ， 设P 到平面ABC 的距离为d ， 由BC ⊥平面PAC ，且V B ﹣ACP =V P ﹣ABC ，即有BC •S △ACP =d •S △ABC ，即a ••a •a •sin θ=d ••a •a ，解得d=sin θ，则sin α==≤，即有α≤．故选：B ．【点评】本题考查空间的二面角和线面角的求法，注意运用定义和转化思想，以及等积法，考查运算能力，属于中档题．10．如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2的公共点．设C 1，C 2的离心率分别是e 1，e 2，∠F 1AF 2=2θ，则（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的几何性质可得， =b 12tan θ，根据双曲线的几何性质可得，=，以及离心率以及a ，b ，c 的关系即可求出答案．【解答】解：根据椭圆的几何性质可得， =b 12tan θ，∵e 1=，∴a 1=，∴b 12=a 12﹣c 2=﹣c 2，∴=c 2（）tan θ根据双曲线的几何性质可得， =，∵a 2=，∴b 22=c 2﹣a 22=c 2﹣=c 2（）∴=c 2（）•，∴c 2（）tan θ=c 2（）•，∴（）sin 2θ=（）•cos 2θ，∴，故选：B【点评】本题考查了圆锥曲线的几何性质，以及椭圆和双曲线的简单性质，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．双曲线C ：x 2﹣4y 2=1的渐近线方程是 y=±x ，双曲线C 的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a ，b ，c ，即可得到所求渐近线方程和离心率．【解答】解：双曲线C ：x 2﹣4y 2=1，即为﹣=1，可得a=1，b=，c==，可得渐近线方程为y=±x；离心率e==．故答案为：y=±x；．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．12．某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S= cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积、表面积公式可得答案．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．13．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，则满足=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义可得d=|NF|，由题意得 cos ∠NMF=把已知条件代入可得cos ∠NMF ，进而求得∠NMF ．【解答】解：设N 到准线的距离等于d ，由抛物线的定义可得d=|NF|，由题意得 cos ∠NMF===∴∠NMF=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义、以及简单性质的应用．利用抛物线的定义是解题的突破口．14．已知直线l 1：y=mx+1和l 2：x=﹣my+1相交于点P ，O 为坐标原点，则P 点横坐标是（用m 表示），的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两条直线方程组成方程组，求出交点P 的坐标，再计算向量以及的最大值．【解答】解：直线l1：y=mx+1和l 2：x=﹣my+1相交于点P ，∴，∴x=﹣m （mx+1）+1，解得x=，y=m ×+1=，∴P 点横坐标是；∴=（﹣，﹣），∴=+=≤2，且m=0时“=”成立；∴的最大值是．故答案为：，．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，是基础题目．15．四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是+1 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大；当AC⊥CD，AB⊥BD时，该四面体表面积取最大值．【解答】解：∵四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，∴当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D作DE⊥平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE==，∴该四面体体积的最大值：==．Smax∵△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S==，∴要使表面积最大需△ABD，△ACD面积最大，∴当AC⊥CD，AB⊥BD时，表面积取最大值，此时=，==1+．四面体表面积最大值Smax故答案为：，．【点评】本题考查四面体的体积的最大值和表面积最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为或．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据条件求出直线l的方程，联立直线方程与渐近线方程分别求出点B，C的横坐标，结合条件得出C为AB的中点求出b，a间的关系，进而求出双曲线的离心率．【解答】解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）所以所作斜率为1的直线l：y=x﹣a，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2）．联立其中一条渐近线y=﹣x，则，解得x2=①；同理联立，解得x1=②；又因为|AB|=2|AC|，（i ）当C 是AB 的中点时，则x 2=⇒2x 2=x 1+a ，把①②代入整理得：b=3a ，∴e===；（ii ）当A 为BC 的中点时，则根据三角形相似可以得到，∴x 1+2x 2=3a ，把①②代入整理得：a=3b ，∴e===．综上所述，双曲线G 的离心率为或．故答案为：或．【点评】本题考题双曲线性质的综合运用，解题过程中要注意由|AC|=|BC|得到C 是A ，B 的中点这以结论的运用．17．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m ，若满足|PB|+|PD 1|=m 的点P 的个数为n ，则n 的最大值是 12 ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】P 应是椭圆与正方体与棱的交点，满足条件的点应该在棱B 1C 1，C 1D 1，CC 1，AA 1，AB ，AD 上各有一点满足条件，由此能求出结果． 【解答】解：∵正方体的棱长为1，∴BD 1=，∵点P 是正方体棱上的一点（不包括棱的端点）， 满足|PB|+|PD 1|=m ，∴点P 是以2c=为焦距，以2a=m 为长半轴的椭圆，∵P 在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．∴满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数n的最大值是12，故答案为12．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2016秋•温州期末）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b 与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b得y2+4y﹣4b=0，利用|AB|=8，即可求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求出M的坐标，即可求该圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b得y2+4y﹣4b=0﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|AB|=|y 1﹣y 2|===8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）以AB 为直径的圆与x 轴相切，设AB 中点为M |AB|=|y 1+y 2|又y 1+y 2=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴4=解得b=﹣，则M （，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴圆方程为（x ﹣）2+（y+2）2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查韦达定理的运用，属于中档题．19．（15分）（2014•齐齐哈尔三模）在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点． （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥AE ；（Ⅲ）若AB=CE ，在线段EO 上是否存在点G ，使CG ⊥平面BDE ？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理证明DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理先证明BD ⊥平面ACE ，然后利用线面垂直的性质证明BD ⊥AE ；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，先假设CG ⊥平面BDE ，然后利用线面垂直的性质，确定G 的位置即可．【解答】解：（I ）连接OF ．由ABCD 是正方形可知，点O 为BD 中点．又F为BE的中点，所以OF∥DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE∥平面ACF…．（II）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（9分）（III）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，∴CG⊥EO．由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得．…（14分）【点评】本题主要考查了空间直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用，要求熟练掌握相应的定理，综合性较强，难度较大．20．（15分）（2015•绍兴县校级模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由E，F分别是PC，PD的中点，得EF∥CD，由此能证明EF∥平面PAB．（Ⅱ）取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小，由此能求出AC与平面ABEF所成的角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为CD∥AB，所以EF∥AB，又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．（Ⅱ）解：取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．作MH⊥AF，垂足为H，连结EH．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD．因为MH⊂平面PAD，所以EF⊥MH，所以MH⊥平面ABEF，所以∠MEH是ME与面ABEF所成的角．在直角△EHM中，EM=AC=，MH=，得sin ∠MEH=．所以AC 与平面ABEF 所成的角的正弦值是．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．21．（15分）（2016•湖州模拟）已知点C （x 0，y 0）是椭圆+y 2=1上的动点，以C 为圆心的圆过点F （1，0）．（Ⅰ）若圆C 与y 轴相切，求实数x 0的值；（Ⅱ）若圆C 与y 轴交于A ，B 两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）当圆C 与y 轴相切时，|x 0|=，再由点C 在椭圆上，得，由此能求出实数x 0的值．（Ⅱ）圆C 的方程是（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=（x 0﹣1）2+，令x=0，得y 2﹣2y 0y+2x 0﹣1=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出|FA|•|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C 与y 轴相切时，|x 0|=，（2分）又因为点C 在椭圆上，所以，解得，因为﹣，所以．（6分）（Ⅱ）圆C 的方程是（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=（x 0﹣1）2+，令x=0，得y 2﹣2y 0y+2x 0﹣1=0，设A （0，y 1），B （0，y 2），则y 1+y 2=2y 0，y 1y 2=2x 0﹣1，（8分）由，及得﹣2﹣2＜x 0＜﹣2+2，又由P 点在椭圆上，﹣2≤x 0≤2，所以﹣2≤，（10分）|FA|•|FB|=•=（12分）===，（14分）所以|FA|•|FB|的取值范围是（4，4]．（15分）【点评】本题考查实数值的求法，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、圆、椭圆性质的合理运用．22．（15分）（2016秋•温州期末）已知椭圆C 的方程是，直线l ：y=kx+m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，若F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l ，M ，N 分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线的方程y=kx+m 代入椭圆C 的方程中，得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0．由直线与椭圆C 仅有一个公共点知，△=0，化简得：m 2=4k 2+3．利用点到直线的距离公式可得：d 1=|F 1M ，d 2=|F 2M|，代入d 1d 2，化简利用重要不等式的性质即可得出．（Ⅱ）当k ≠0时，设直线的倾斜角为θ，则|d 1﹣d 2|=|MN||tan θ|，代入S=|MN|•（d 1+d 2）==，由于m 2=4k 2+3，对k 分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）证明：将直线的方程y=kx+m 代入椭圆C 的方程3x 2+4y 2=12中，得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0．由直线与椭圆C 仅有一个公共点知， △=64k 2m 2﹣4（4k 2+3）（4m 2﹣12）=0， 化简得：m 2=4k 2+3．设d 1=|F 1M=，d 2=|F 2M|=，d 1d 2=•===3，|F 1M|+|F 2M|=d 1+d 2≥=2．（Ⅱ）当k ≠0时，设直线的倾斜角为θ，则|d 1﹣d 2|=|MN||tan θ|，∴|MN|=，S=|MN|•（d 1+d 2）====，∵m 2=4k 2+3，∴当k ≠0时，|m|，∴＞+=，∴S．当k=0时，四边形F 1MNF 2是矩形，．所以四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案2016-2017学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1.答题前，请填写姓名和准考证号码。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字迹清楚。
3.请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效。
4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.某中学有3500名高中生和1500名初中生。
为了解学生的研究情况，从该校学生中采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本。
已知从高中生中抽取了70人，则n的值为（）。
A。
100B。
150C。
200D。
2502.如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（）。
无法提供图像）3.设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦点为F，点F到渐近线的距离等于2a，则该双曲线的离心率等于（）。
A。
2B。
3C。
5D。
3/44.已知两条直线a,b，两个平面$\alpha,\beta$，下面四个命题中不正确的是（）。
A。
$a\perp\alpha,\alpha//\beta,b\parallel\beta\iff a\perp b$B。
$\alpha//\beta,a//b,a\perp\alpha\implies b\perp\beta$C。
$m//\alpha,m\perp\beta\implies\alpha\perp\beta$D。
$a//b,a//\alpha\implies b//\alpha$5.下列命题中，说法正确的是（）。
2016-2017学年高二上学期期末考试 数学(理)6
高二第一学期期末考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若集合{}2|20A x x x =--<，且A B A = ，则集合B 可能是A. {}0,1B. {}|2x x <C. {}|21x x -<<D.R2.如果0a b <<，则下列不等式成立的是 A. 11a b < B. 22ac bc < C. 22a b < D. 33a b <3.命题2000",0"x R x x ∃∈->的否定是A. 2,0x R x x ∀∈->B.2000,0x R x x ∃∈-≤C. 2,0x R x x ∀∈-≤D.2000,0x R x x ∃∈-<4.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若334,7a S ==，则6S 的值为A. 31B. 32C. 63D. 645.抛物线214y x =-的准线方程是 A. 116y = B. 1y = C. 116y =- D.1y =-6.在下列函数中，最小值是2的函数是A.()1f x x x =+ B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C. ()2233x f x x ++ D.()42x x f x e e =+-7.“5,4m n ==”时“椭圆22221x y m n +=的离心率为35e =”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件8.在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60DAB ∠= ,对角线AC 与BD 相交于点O,PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为45 ，若E 是PB 的中点，则异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为 A. 31020 B. 1020 C. 255 D. 559.已知双曲线C 的中心为坐标原点，()3,0F 是C 的一个焦点，过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，且AB 的中点为()12,15E --，则C 的方程为 A. 22136x y -= B. 22145x y -= C. 22163x y -= D. 22154x y -= 10.在ABC ∆中，,,a b c 分别是A,B,C 的对边，23,22a b ==，且()12cos 0B C ++=，则BC 边上的高等于 A. ()231+ B. ()231- C. 31+ D.31- 11.设数列{}n a 的通项公式cos3n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2016S = A. 2016 B.1680 C. 1344 D.1008 12.过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条相互垂直的射线分别与抛物线相交于点M,N ，过弦MN 的中点P 作抛物线准线的垂线PQ,垂足为Q ，则PQ MN 的最大值为 A. 1 B.12 C. 22 D.33 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知命题“若{}n a 是常数列，则{}n a 是等差数列”，在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数是 .14.若实数,x y 满足不等式0,0,220,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则12y x -+的取值范围为 .15.在长方体1111ABCD A BC D -中，11,2AD AA AB ===,若E 为AB 的中点，则点E 到面1ACD 的距离是 .16. 设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以线段12,F F 为直径的圆O 与双曲线的一个交点为P,与y 轴交于B,D 两点，且与双曲线的一条渐近线交于M,N 两点，则下列命题正确的是 .（写出所有正确的命题编号）①线段BD 是双曲线的虚轴；②12PF F ∆的面积为2b ；③若120MAN ∠= ，则双曲线C 的离心率为213；④12PF F ∆的内切圆的圆心到y 轴的距离为a .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）设命题2:",2"p x R x x m ∀∈+>；命题:q “0x R ∃∈，使200220x mx m ++-≤”.如果命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，点()2,M m 在抛物线E 上，且 3.MF =（1）求抛物线E 的方程；（2）过x 轴正半轴上一点(),0N a 的直线与抛物线E 交于A,B 两点，若OA OB ⊥，求a 的值.19.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且()()2sin 2sin 23sin .c C b a B a b A =++-（1）求角C 的大小；（2）若4c =，求a b +的取值范围.20.（本题满分12分）各项均为正数的数列{}n a 中，11,n a S =是数列{}n a 的前n 项和，对任意2,63 2.n n n n N S a a *∈=++（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2231n n n S b n =⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面ABCD ⊥平面SAB ，侧面SAB 为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//,,12, 6.AB CD AB BC AB CD BC ⊥===（1）求证：;AB DS ⊥（2）求平面SAD 与平面SBC 所成锐二面角的余弦值.22.（本题满分12分）已知()0,1P -是椭圆C 的下顶点，F 是椭圆C 的右焦点，直线PF 与椭圆C 的另一个交点为Q,满足7.PF FQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过左顶点A 作斜率为()0k k >的直线l 交椭圆C 于点D,交y 轴于点B.已知M 为AD 的中点，是否存在定点N ，使得对于任意的()0k k >都有OM BN ⊥，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.。
高二数学上学期期末考试试题理(13)word版本
甘肃省金昌市永昌县2016-2017 学年高二数学上学期期末考试一试题理第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
并填涂在答题卡上，不然不得分）1．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则以下命题中为真的是()A．p且q B．p或q C．非p D．非p且非q2．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，假如同意生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是()1111A. 2B.3C. 4D. 53．以下命题中正确的选项是()A．“＝1”是“直线 (＋ 2)x ＋ 3＋1＝0与直线 ( －2)x＋ (＋2)y－ 3＝ 0 相互平行”的m2m my m m充足不用要条件B．“直线l垂直平面α 内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充足条件C．已知a、b、c为非零向量，则“a·b＝a·c”是“ b＝ c”的充要条件D．p：存在x∈ R，x2＋ 2x＋ 2 016 ≤ 0. 则p：随意x∈ R，x2＋2x＋ 2 016>0.4．与抛物线x2＝ 4y对于直线x＋y＝ 0对称的抛物线的焦点坐标是 ()11A． (1,0)B． ( 16，0)C． ( －1,0)D．(0 ，－16)125．已知椭圆的中心在原点，离心率 e＝2，且它的一个焦点与抛物线y＝－ 4x的焦点重合，则此椭圆方程为 ()x2y2x2y2x22x22A. 4＋3＝1B.8＋6＝1C.2＋ y ＝1D.4＋ y＝ 16．在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的极点在鱼缸的缸底上，此刻向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A. πB.π412ππC ． 1－ 4D ． 1－12x2y2 x2 y2k 应知足的条件是 ()7．椭圆 9 ＋ k2 ＝ 1 与双曲线 k － 3 ＝ 1 有同样的焦点，则 A ． k >3 B ． 2<k <3C ． k ＝ 2 D ． 0<k <28. 设会合 U ＝ {( x ，y )| x ∈ R ，y ∈R} ，若 A ＝ {( x ，y )|2 x － y ＋ m >0} ，B ＝{( x ，y )| x ＋ y － n ≤ 0} ，则点 P (2,3) ∈ A ∩ ( ?U B ) 的充要条件是 ()A ． m >－ 1， n <5B ．m <－ 1， n <5C ． m >－ 1， n >5D ．m <－ 1， n >59．直线 y ＝ x ＋ 3 与曲线y2 x|x|＝ 1()－49A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点10. 如图， 1，2是椭圆1： x2 ＋ y 2＝ 1 与双曲线2的公共焦点，，F F C 4CA B分别是 C ， C 在第二、四象限的公共点．若四边形 AFBF 为矩形，则12122的离心率是 ()C3 6A. 2B. 3C. 2D. 2x2 y211．F 1、F 2 是椭圆 a2＋ b2＝ 1( a >b >0) 的两焦点， Q 是椭圆上任一点，过一焦点引∠ F 1QF 2的外角均分线的垂线，则垂足M 的轨迹为 ()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线x2y222212．从双曲线 a2－b2＝ 1( a >0，b >0) 的左焦点 F 1 引圆 x ＋y ＝ a 的切线，切点为 T . 延伸 F 1T交双曲线右支于 P 点，若 M 为线段 F 1P 的中点， O 为坐标原点，则 | MO |－|MT | 与 b － a 的大 小关系为 ()A ． | MO |－| MT |> b － aB ． | MO |－ | MT | ＝b － aC ． | MO |－| MT |< b － aD ． | MO |－ | MT | b － a二．填空题（本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分）13．若命题 p ：常数列是等差数列，则p ： ____________________________________.x2 y212P ，，则三角14．椭圆 16+ 9 ＝ 1 的左右焦点分别是 F ，F ，椭圆上有一点 形 F 1PF 2 的面积为 ________．15．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为 a ，再由乙猜甲方才想的数字，把乙猜的数字b，且 a、b∈{0,1,2，⋯，9}．若|随意找两人玩个游，二人“心有灵犀”的概率a－b|=1，称甲乙“心有灵犀”．________．三、解答17．(10x2 y2分) 双曲 a2－ b2＝1( a>0，b>0) ，焦点F1的弦AB( A，B 在双曲的同支上)m，另一焦点F2，求△ABF2的周．18． (12 分) 甲乙两人玩一种游，每次由甲、乙各出 1 到 5 根手指，若和偶数算甲，否算乙．(1)若以 A 表示和6的事件，求 P( A)；(2)玩三次，若以 B 表示甲起码一次的事件， C表示乙起码两次的事件，B 与 C能否互斥事件？什么？(3)种游公正？明原因．19．(12 分 ) p：对于x的不等式a x >1 ( a>0 且a≠ 1) 的解集 { x| x<0} ，q：函数y＝ lg( ax2－ x＋ a)的定域R.假如 p 和 q 有且有一个正确，求 a 的取范．20． (12分 ) 有7 位歌手(1至 7 号 ) 参加一歌唱比，由500 名大众委投票决定歌手名次，依据年将大众委分五，各的人数以下：A B C D E人数5010015015050(1)了委 7 位歌手的支持状况，用分抽方法从各中抽取若干委，此中从 B 中抽取了6人．将其他各抽取的人数填入下表．A B C D E人数5010015015050抽取人数6(2) 在 (1)中，若 A，B两被抽到的委中各有 2 人支持 1 号歌手，从两被抽到的委中分任 1 人，求 2 人都支持 1 号歌手的概率．21． (12 分) 已知，命题，命题椭圆的离心率知足．（1）假如真命题，务实数取值范围；（2）假如的充足条件，且不是的必需条件，务实数的值．22． (12分) 如图，点P（ 0，﹣ 1）是椭圆C1：+=1（ a＞b＞ 0）的一个极点， C1的长轴是圆 C2：x2 +y2=4 的直径， l 1， l 2是过点 P 且相互垂直的两条直线，此中 l 1交圆 C2于 A、B 两点， l 2交椭圆 C1于另一点 D．（ 1）求椭圆 C1的方程；（ 2）求△ ABD面积的最大值时直线l 1的方程．高二期末数学（理科答案）一、选择题123456789101112B C D C A C C A D D A B二、填空题13. 存在一个常数列，它不是等差数列14.15.16.三、解答题17.解∵ | AF2| － | AF1| ＝ 2a， | BF2| － | BF1| ＝ 2a，∴ (| AF2| －| AF1|) ＋ (| BF2| － | BF1|) ＝4a，又 | AF1| ＋ | BF1| ＝ | AB| ＝m，∴ | AF2| ＋ | BF2| ＝ 4a＋ (| AF1| ＋ | BF1|) ＝ 4a＋m.∴△ ABF 2 的周长等于 | AF 2| ＋ | BF 2| ＋| AB | ＝ 4a ＋ 2m .18. 解 (1) 甲、乙出手指都有 5 种可能，所以基本领件的总数为 5× 5＝ 25，事件 A 包含甲、乙出的手指的状况有 (1,5)、 (5,1) 、 (2,4) 、 (4,2) 、 (3,3) 共 5 种状况，5 1∴P ( A ) ＝25＝5.(2) B 与 C 不是互斥事件．由于事件 B 与 C 能够同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即切合题意．(3) 这类游戏规则不公正．由 (1) 知和为偶数的基本领件数为 13 个．(1,1) ，(1,3) ，(1,5) ，(2,2) ，(2,4) ，(3,1) ，(3,3) ，(3,5) ，(4,2) ，(4,4) ，(5,1)，(5,3) ， (5,5) ．1312所以甲赢的概率为25，乙赢的概率为 25.所以这类游戏规则不公正．19. 解 当 p 真时， 0<a <1，a>0， 1当 q 真时， 1－ 4a2<0，即 a >2，∴ p 假时， a >1， q 假时， a ≤ 1.2又 p 和 q 有且仅有一个正确．当 p 真 q 假时， 0<a ≤ 1，当 p 假 q 真时， a >1.21综上得， a ∈ 0， 2 ∪ (1 ，＋∞ ) ．20. 解 (1) 由题设知，分层抽样的抽取比率为 6%，所以各组抽取的人数以下表：组别 ABCDE人数 50 100 150 150 50抽取人数36993(2) 记从A 组抽到的 3 个评委为 a 1， 2，3，此中1， 2 支持 1 号歌手；从 B 组抽到的a a a a6 个评委为 b 1， b 2，b 3， b 4， b 5， b 6，此中 b 1， b 2 支持 1 号歌手．从 { a 1， a 2， a 3} 和 { b 1，b 2， b 3，b 4，b 5， b 6} 中各抽取 1 人的全部结果为：由以上树状图知全部结果共18 种，此中 2 人都支持 1 号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b24 2共 4 种，故所求概率P＝18＝9.21.（ 1）注意分类议论22.【解答】解：（ 1）由题意可得 b=1， 2a=4，即 a=2．∴椭圆 C1的方程为；（ 2）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， D（ x0， y0）．由题意可知：直线l 1的斜率存在，设为k，则直线l 1的方程为y=kx ﹣ 1．又圆的圆心 O（ 0，0）到直线l 1的距离 d=．∴ |AB|==．又 l 2⊥ l 1，故直线 l 2的方程为x+ky+k=0 ，联立，消去y获得（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴ |PD|=．∴三角形ABD的面积 S△ ==，（也能够两边平方求解）令 4+k2=t ＞ 4，则 k2=t ﹣4，f （ t ） ===，∴ S△=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l 1的方程为．。
甘肃省兰州市2016-2017学年高二第一学期期末考试数学试卷理
兰州2016一2017学年第一学期期末试卷高二 数学(理科)一、选择题 （每小题5分共60分）1．设P 是椭圆2169x ＋2144y ＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( ) A ．22 B ．21 C ．20 D ．132．设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的( )A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3．抛物线24y x =-的焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．（1，0）C ．（0，－116）D ．（－116，0） 4.已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为( ) A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 5．已知命题p ：存在实数x 使2sin π=x 成立，命题023:2<+-x x q 的解集区间为 （1，2）.给出下列四个结论：①“p 且q ”真，②“p 且q ⌝”假，③""q p 且⌝真，④“q p ⌝⌝或”假，其中正确的结论是（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②③`D ．②④ 6．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,2)P m -到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2 命题人：唐山8．椭圆12322=+y x 上一点P 到左焦点的距离为23，则P 到右准线的距离为（ ） A ．33 B ．1059 C ．29 D ．239．已知点12,F F 为双曲线C: 221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=， 则12PF PF ⋅=（ ）A.2B.4C. 6D. 810．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） A.3 B.11 C.22 D.1011.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．3(0,]4 C． D ．3[,1)4 12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若111,||||2AF BF -=则直线l 的倾斜角(0)2πθθ<<等于（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π二、填空题 （每小题5分共20分）13.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= ． 14．若过椭圆22164x y +＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是______ 15．若命题“错误！未找到引用源。
甘肃省民乐县2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题文
2016-2017学年第一学期高二年级期终考试文科数学试卷一.选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1．已知复数11z i i=++，则z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．在等差数列{}n a 中，如果34a =，则15a a 的最大值为（ ）A.2B.4C.8D.16 3．设命题p ：“1,12<<∀x x ”,p ⌝为（ ）A ．1,12<≥∀x xB ．1,12≥<∃x xC ．1,12≥<∀x xD ．1,12≥≥∃x x 4．等比数列{}n a 中，11a =，99a =，则5a =（ ）A ．3B ．3±C ．5D ．5±5．若变量x ，y 满足约束条件则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－7B ．－1C ．1D ．26．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60度 B ．假设三内角都大于60度 C ．假设三内角至多有一个大于60度 D ．假设三内角至多有两个大于60度 7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S 为2425，则判断框中填写的内容可以是（ ）A ．6n =B ．6n <C ．6n ≤D ．8n ≤ 8．已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）3m B. 3m 39．已知点A 的坐标为(5，2)，F 为抛物线2y x =的焦点，若点P 在抛物线上移动，当PA PF +取得最小值时，则点P 的坐标是( ) A.(1，2) B.()2,2 C.()2,2- D.()4,210．如果函数y ＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f(x)在区间内单调递增； ②函数y ＝f(x)在区间内单调递减；③函数y ＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f(x)有极小值； ⑤当x ＝－时，函数y ＝f(x)有极大值． 则上述判断中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④⑤D ．③ 11．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以0x =是函数3()f x x =的极值点。
甘肃省兰州市2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题理
兰州2016一2017学年第一学期期末试卷高二 数学(理科)一、选择题 （每小题5分共60分）1．设P 是椭圆2169x ＋2144y ＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．132．设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的( ) A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3．抛物线24y x =-的焦点坐标为（ ） A ．(1,0)- B ．（1，0） C ．（0，－116） D ．（－116，0） 4.已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为( )A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 5．已知命题p ：存在实数x 使2sin π=x 成立，命题023:2<+-x x q 的解集区间为（1，2）.给出下列四个结论：①“p 且q ”真，②“p 且q ⌝”假，③""q p 且⌝真，④“q p ⌝⌝或”假，其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．②③`D ．②④6．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ） A ．),0(+∞ B ．（0，2） C ．（1，+∞）D ．（0，1）7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,2)P m -到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2 命题人：唐山8．椭圆12322=+y x 上一点P 到左焦点的距离为23，则P 到右准线的距离为（ ）A ．33B ．1059C ．29D ．239．已知点12,F F 为双曲线C: 221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=o，则12PF PF ⋅=（ ）A.2B.4C. 6D. 810．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） A.3 B.11 C.22 D.1011.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)412．过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若111,||||2AF BF -=则直线l 的倾斜角(0)2πθθ<<等于（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π二、填空题 （每小题5分共20分）13.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= ．14．若过椭圆22164x y +＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是______ 15．若命题“[]1,1,1240x x x a ∀∈-++⋅<”是假命题，则实数a 的最小值为16.平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .三、解答题 （本大题共6小题，第17题10分，第18—22题每题12分）17．设直线y x b =+与椭圆2212x y +=相交于A B ,两个不同的点. （1）求实数b 的取值范围；（2）当1b =时，求AB u u u r.18. 给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为Φ，命题乙：函数y ＝(2a 2－a)x为增函数． 分别求出符合下列条件的实数a 的范围． (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙中有且只有一个是真命题．19. 在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ,抛物线C 的方程为y x 42=,线段AB 是抛物线C 的一条动弦．(1)求抛物线C 的准线方程和焦点坐标F ; (2)若4-=⋅,求证：直线AB 恒过定点；20. 如图，已知双曲线)0(1:222>=-a y ax C 的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥//OA (O 为坐标原点）.求双曲线C 的方程.21. 已知)0,2(),0,2(B A -，点D C ,依次满足,2=AC ).(AC AB AD +=21(1)求点D 的轨迹；(2)过点A 作直线l 交以B A ,为焦点的椭圆于N M ,两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为54，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；22. 已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点(0,2），且离心率为2．(Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设直线)(,R m my x ∈-=1交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．2016---2017学年第一学期期末试卷高二 数学（理科答案）一、 选择题：二、 填空题：13. 14. x ＋2y －4＝0 ； 15. 6- ； 16.23； 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.答案：(1)将y x b =+代入2212x y +=，消去y ，整理得2234220x bx b ++-=．① 因为直线y x b =+与椭圆2212x y +=相交于A B ,两个不同的点，所以2221612(22)2480b b b ∆=--=->，解得b <<b 的取值范围为(．（2）设11()A x y ，，22()B x y ，，当1b =时，方程①为2340x x +=．解得1240,3x x ==-．相应地1211,3y y ==-．所以AB ==u u u r (利用弦长公式也可以)18．答案（１）{a|a<－12或a>13}；（2）{a|13<a ≤1或－1≤a<－12}。
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2016-2017学年第一学期高二年级期终考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分，）. 1．命题“ 2,210x x R x ∀∈+-<” 的否定是（ ）A ．2,210x x R x ∀∈+-≥B ．2,210x x R x ∃∈+-<C ．2,210x x R x ∃∈+-≥D ．2,210x x R x ∃∈+-> 2．在等比数列{}n a 中，已知5127=⋅a a ，则=⋅⋅⋅111098a a a a （ ） A.10 B. 25 C.50 D.75 3．1201x dx -=⎰（ ）A ．π4B ．π2 C. πD ．0 4．若变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，且y x z +=2的最大值与最小值分别为m 和n ，则=-n m （ ）A.8B.7C.6D.55．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311488OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则P ，A ，B ，C四点（ ）A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线6．用数学归纳法证明()()()12321121n n n +++++=++L 时，从n k =到1n k =+，左边需增添的代数式是（ ）A ．22k +B ．23k +C ．21k +D ．()()2223k k +++7．若椭圆22221x y a b+=过抛物线28y x =的焦点， 且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ）A ．2213y x += B ．22124x y += C ．2213x y += D ．22142x y +=8．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，的特点，按此规律，则第100项为( )A ．10B ．13C ．14D ．1009．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和， 则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．1810．设'()f x 是函数()y f x =的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）11．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于（ ） A.64 B.104C.22D.32 12．已知点P 为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的右支上一点，12,F F 为双曲线的左、右焦点，使()22()0OP OF OP OF +-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r（O 为坐标原点），且123PF PF =u u u r u u u u r ，则双曲线离心率为 （ ）31+613131+二、填空题（每小题5分，共20分） 13．已知21i a i=-+其中i 为虚数单位，a 是实数，则a = ． 14．已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________. 15．若关于x 的不等式23x ax a --≤-解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．16．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为Κ，点Α在抛物线上，且||2||ΑΚΑF =，则ΑF Κ△的面积为 .三、解答题（本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分，解答请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．（10分）已知函数()334f x x x =-+,求函数()f x 的单调区间和极值.18．（12分）已知命题:p “11222=-+m y m x 是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程”，命题:q “不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-≤+-≤≤≥mx y x y x y y 210所表示的区域是四边形”.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数m 的取值范围.19．（12分）已知等差数列{}n a 中，1410a a +=，36a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若14n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方 形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点， 作PB EF ⊥交PB 于点F ． （1）求证：PA //平面EDB ； （2）求二面角B DE F --的正弦值．21．（12分）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的 ，F 是椭圆的焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.22．（12分）已知函数1ln ()xf x x+=． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()g x xf x mx =+在区间(0,]e 上的最大值为3-，求m 的值； （3）若1x ≥，有不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．2016-2017学年第一学期高二年级期终考试理科数学答题卡Array二、填空题（每小题5分，共20分）13、14、15、16、三、解答题（本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分，解答请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.17、（10分）18、（12分）19、（12分）20、（12分）21、（12分）22、（12分）2016-2017学年第一学期高二年级期终考试理科数学参考答案一、 选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C BACBDDCBCAC二、 填空题13、 1 14、340x y +-= 15、(][),62,-∞-+∞U 16、 32 三、解答题17、试题解析：（1） 由题可知，函数)(x f 的定义域为∞+∞（-，）2()=33f x x '-令()=0f x ',得121,1x x =-=列出,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示： x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，＋∞） f ′（x ） + 0 － 0 ＋f （x ）↗极大值6↘极小值2↗ 由上表，得函数()f x 的单调递增区间为（-∞，-1），（1，＋∞）；单调递减区间为（-1，1） 函数()f x 的极大值为(-1)=6f ；极小值为(1)=2f18、解析：如果p 为真命题，则有102mm >->，即21<<m ；若果q 为真命题，则由图可得223<<m . 因为q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，所以p 和q 一真一假， 所以实数m 的取值范围为]23,1(. 19、（Ⅰ）设公差为d ，根据题意得11231026a d a d +=⎧⎨+=⎩， …2分解得122a d =⎧⎨=⎩，…………4分∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知422(1)n b n n =⋅+，从而111(1)1n b n n n n ==-++ ， ……………9分 ∴11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，……………12分 20、【解析】如图，建立空间直角坐标系，点D 为坐标原点，设1=DC . （1）证明：连接,AC AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得(1,0,0),(0,0,1),A P11(0,,)22E .因为底面ABCD 是正方形，所以点G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,21,21(，则)21,0,21(),1,0,1(-=-=EG PA ，所以EG PA 2=，即EG PA //,而⊂EG 平面EDB ，且⊄PA 平面EDB ，因此PA //平面EDB ．（2）(1,1,0),(1,1,1)B PB =-u u u r ，因为)21,21,0(=DE ，故0=⋅DE PB ，所以DE PB ⊥.由已知得PB EF ⊥，且E DE EF =I ，所以⊥PB 平面EFD ， 所以平面EFD 的一个法向量为)1,1,1(-=PB .)0,1,1(),21,21,0(==DB DE ，设平面DEB 的法向量为),,(z y x a =，则1()0,20,a DE y z a DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩r u u u r r u u u r 取1=x ，则1,1=-=z y ，即)1,1,1(-=a ， 则1cos ,3||||a PB a PB a PB ⋅==-r u u u r r u u u r r u u u r ， 设二面角B DE F --的平面角为θ，因为[0,π]θ∈，所以322sin =θ． 二面角B DE F --的正弦值大小为322． 21、试题解析：(Ⅰ) 设(),0F c ，由条件知2233c =，得3c = 又32c a =， 所以a=2，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. ………4分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，21,22824314k k x k ±-=+ 从而2221224143114k k PQ k x x k +-=+-=+g …………………………7分又点O 到直线PQ 的距离21d k =+，…………………………8分所以∆OPQ 的面积2214432OPQ k S d PQ ∆-==，…………………………9分 设243k t -=，则0t >，244144OPQ t S t t t ∆==≤++， 当且仅当2t =，72k =±等号成立，且满足0∆>，所以当∆O PQ 的面积最大时，l 的方程为：72y x =- 或72y x =-. …………………………12分22、试题解析： （1）易知()f x 定义域为(0,)+∞， 2ln '()x f x x =-，令'()0f x =，得1x =， 当01x <<时，'()0f x >；当1x >时，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数．（2）因为()1ln g x x mx =++，1'()g x m x =+，(0,]x e ∈， ①若0m ≥，则'()0g x ≥，从而()g x 在(0,]e 上是增函数，∴max ()()2g x g e me ==+0≥，不合题意；②若0m <，则由'()0g x >，即10x m <<-，若1e m-≥，()g x 在(0,]e 上是增函数，由①知不合题意， 由'()0g x <，即1x e m-<≤． 从而()g x 在1(0,)m -上是增函数，在1(,]e m-上为减函数， ∴max 11()()ln()g x g m m=-=-， 令1ln()3m -=-，所以3m e =-，因为311e m e-=<，所以所求的3m e =-． （3）因为1x ≥时()1k f x x ≥+恒成立，所以ln 1(1)()ln 1x k x f x x x x≤+=+++， 令()h x ln 1ln 1x x x x =+++，∴2ln '()x x h x x -=恒大于0，所以()h x 在[1,)+∞为增函数， ∴min ()(1)2h x h ==，∴2k ≤．。