【良心出品】复数的乘除运算导学案.doc
复数代数形式的乘除运算公开课导学案
课堂教学导学案 1.掌握复数代数形式乘、除法运算法则，熟练地进行复数的乘、除法运算；了解共轭复数的定义及性质；进一步提高复数代数形式的四则运算的能力。
2.学生通过“回顾－探究－巩固－小结”的过程中了解复数代数形式的四则
运算法则。
3.通过对实数的乘除法运算法则及运算律推广到复数的乘除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰的认识，同时培养学生的科学思维方法。
一、自主学习(基础知识）：
一、复习引入
1. 已知两复数12,()z a bi z c di a b c R =+=+∈、、，那么
（1）加法法则：
（2）减法法则：
即：两个复数相加（减）就是类比多项式加（减）法，按i 进行合并同类项 2. =±2
)(b a
=-+)(b a b a ）（
二、探究新知
根据以前所学知识，完成下题
()()?a bx c dx ++=
类比多项式乘法，尝试完成下题
()()?a bi c di ++=
归纳出复数乘法法则：
三、例题讲解
例1.计算：
（1）i i ）（+2 （2）
)3(2-1i i +）（ （3）(12)(34)(2)i i i -+-+
变式练习：计算(2)(32)(13)i i i ----+
例2.计算：（1）(34)(34)i i +- （2）2
(1)i +
观察：34i +和34i -有什么关系？那这样的两个复数有怎样的名称呢？
探究：类比实数除法运算，试探求复数除法法则？
复数除法定义：
复数的除法法则：。
【高中数学】复数乘除运算 学案-人教A版数学选修1-2
3.2.2 《复数代数形式的乘除运算》导学案【学习目标】1. 理解共轭复数的概念；2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算一．基础感知：阅读课本思考并完成下列问题：（一）：复数代数形式的乘法运算规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么 2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++ = 即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？ 新知：对于任意123,,z z z C ∈，有 1221z z z z ⋅=⋅123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅, 1231213())z z z z z z z +=+反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律. ※ 知识拓展i 具有周期性，即：41n i =；41n i i +=；4221n i i +==-；43n i i +=-（二）：共轭复数当两个复数的 ，虚部互为 ，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.试试：34i +的共轭复数为 问：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为：（2）12z z ⋅是一个怎样的数？（三）：复数的除法法则 2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++(0)c di +≠ 二、深入学习例1 计算：（1）(34)(34)i i +-；（2）（2）2(1)i +（3） (32)(32)i i +-+；（4）(2)(12)i i i --（5）(12)(34)i i +÷-；（6）232(12)i i -+，例2 .已知(12)43i z i +=+，求z 及zz .例3．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．2．设复数z 满足(1)2i z i -=,其中i 为虚数单位，则=z ．四、当堂检测1. 复数52i -的共轭复数是（ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i --D ．2i -2. 复数313()22i +的值是（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．13. 如果复数212bii-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b的值为（）A．B．-2 C．23-D．234. 若复数z满足11ziz-=+，则|1|z+的值为。
复数代数形式的乘除运算 导学案(教师版)
3.2.2 复数代数形式的乘除运算内容要求 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算(重点).2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(重、难点).3.理解共轭复数的概念(重点).知识点1 复数的乘法及其运算律 1.复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 2.复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3【预习评价】写出下列各题的计算结果. (1)(a ±b )2＝________；(2)(3a ＋2b )(3a －2b )＝________； (3)(3a ＋2b )(－a －3b )＝________； (4)(1＋i)(1＋2i)＝________.答案 (1)a 2±2ab ＋b 2 (2)9a 2－4b 2 (3)－3a 2－11ab －6b 2 (4)－1＋3i.知识点2 共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z －表示，即z ＝a ＋b i ，则z －＝a －b i.【预习评价】(正确的打√，错误的打×)1.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(×)提示充分条件.2.若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.(×)提示在复数中，z21＋z22＝0推不出z1＝z2＝0，如z1＝i，z2＝1，z21＋z22＝0也成立.3.两个共轭虚数的差为纯虚数.(√)4.在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.(√)知识点3复数的除法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.【预习评价】写出下列各题的计算结果.(1)1i＝________；(2)1＋i1－i＝________；(3)1－i1＋i＝________.提示(1)－I (2)I (3)－i.题型一复数乘除法的运算【例1】计算：(1)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ； (2)（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i3＋4i.解 (1)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.(2)（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ＝（1＋i －4i －4i 2）＋2＋4i 3＋4i＝5－3i ＋2＋4i3＋4i＝7＋i3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝21－28i ＋3i －4i 225＝25－25i 25＝1－i.规律方法 1.复数代数形式的四则运算法则设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ，z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ，z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0). 2.运算律加法交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；加法结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)； 乘法交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1； 乘法结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)；乘法对加法的分配律：z 1·(z 2＋z 3)＝z 1·z 2＋z 1·z 3.3.注意在求解过程中运用一些运算结论，可以简化运算过程. 【训练1】 计算：(1) 1＋2i 1－2i ； (2)（－1＋i ）（2＋i ）－i. 解 (1)1＋2i 1－2i ＝（1＋2i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－35＋45i.. (2)（－1＋i ）（2＋i ）－i＝－3＋i－i ＝（－3＋i ）·i－i·i ＝－1－3i.题型二 共轭复数及其应用【例2】 若f (z )＝2z ＋z －－3i ，f (z －＋i)＝6－3i ，求f (－z ). 解 因为f (z )＝2z ＋z －－3i ， 所以f (z －＋i)＝2(z －＋i)＋(z －＋i)－3i ＝2z ＋2i ＋z －i －3i ＝2z －＋z －2i. 又f (z －＋i)＝6－3i ， 所以2z －＋z －2i ＝6－3i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ， 所以2(a －b i)＋(a ＋b i)＝6－i ， 即3a －b i ＝6－i.由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，－b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ，故f (－z )＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i ＝－6－4i. 规律方法 共轭复数有如下几个性质：(1)若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z －＝|z |2＝|z －|2＝a 2＋b 2.(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数.(3)若z ≠0，且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可以证明一个复数是纯虚数. (4)若干个复数进行加减运算后的共轭复数等于这些复数的共轭复数进行相同的加减运算.【训练2】 已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i. 解 将z ·z －－3i z －＝1＋3i ，①两边取共轭复数，得z －·z ＋3i z ＝1－3i ，②②－①得z －＝－2－z ，代入①得z 2＋(2－3i)z ＋1－3i ＝0，即(z ＋1)(z ＋1－3i)＝0，∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.题型三 复数运算的综合问题【例3】 已知z 是虚数，w ＝z ＋1z ，且－1<w <2.求|z |的值及z 的实部的取值范围. 解 方法一 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则w ＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i＋x －y ix 2＋y 2＝x ＋xx 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ；∵w 是实数且y ≠0，∴y －yx 2＋y 2＝0， ∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1，此时w ＝2x . ∵－1<w <2，∴－1<2x <2，∴－12<x <1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.方法二 ∵w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ∈R ，∴w －＝w ，即z －＋1z －＝z ＋1z ，即(z －z －)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1z － ＝0，(z －z )⎝⎛⎭⎪⎫1－1z z －＝0. ∵z 是虚数，∴z －z －≠0，∴z z －＝1，即|z |2＝1，∴|z |＝1，∴w ＝z ＋z －.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则w ＝2x . 又－1<w <2，∴－1<2x <2，即－12<x <1， ∴z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.规律方法 在有关复数运算的综合问题中，常与数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标或向量问题进行解决.【训练3】 求同时满足下列条件的所有的复数z . (1)z ＋10z ∈R ，且1<z ＋10z ≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数. 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z )，则 z ＋10z ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋10x 2＋y 2＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－10x 2＋y 2i ， 因为z ＋10z ∈R ，所以y ＝0或x 2＋y 2＝10. 又1<z ＋10z ≤6，所以，1<x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋10x 2＋y 2≤6，(1)当y ＝0时，可以化为1<x ＋10x ≤6， 当x <0时，x ＋10x <0， 当x >0时，x ＋10x ≥210>6， 故y ＝0时，无解.(2)当x 2＋y 2＝10时，可化为1<2x ≤6，即12<x ≤3，∵x ，y ∈Z ，∴x ＝1，y ＝±3或x ＝3，y ＝±1，故可得z ＝1＋3i 或1－3i 或3＋i 或3－i.课堂达标1.设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )A.12B.1C.32D.2解析 ∵a1＋i ＋1＋i 2＝a （1－i ）2＋1＋i 2＝1＋a 2＋1－a 2i ，又∵⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 1＋i ＋1＋i 2∈R ，∴1－a 2＝0，解得a ＝1. 答案 B2．(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－iB ．－3＋iC ．3－iD ．3＋i解析 (1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i. 答案 D3.设复数z 1＝2－i ，z 2＝1－3i ，则复数i z 1＋z －25的虚部等于________.解析 ∵i z 1＋z －25＝i 2－i ＋1＋3i 5＝i （2＋i ）5＋15＋35i ＝－15＋25i ＋15＋35i ＝i ，∴虚部为1. 答案 14.若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z －＝________. 解析 ∵z ＝1－i 1＋i＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－i ，∴z －＝i.答案 i5.计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 28＋(10＋i 29)－23－i 1＋23i.解 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 214＋10＋i 29－（23－i ）（1－23i ）（1＋23i ）（1－23i ）＝(－i)14＋10＋i －23－12i －i ＋23i 213＝－1＋10＋i ＋i ＝9＋2i.课堂小结1.利用复数的代数形式对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时应先转化形式.2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2，据此可将问题实数化，同时根据模的几何意义可将问题转化为平面解析几何问题，如点的轨迹问题.基础过关1.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A.－iB.iC.－1D.1解析 z ＝1i ＝－i. 答案 A2.i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( ) A.0B.2iC.－2iD.4i解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝0. 答案 A3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1＋i)2 B.i 2(1－i) C.(1＋i)2D.i(1＋i)解析 由(1＋i)2＝2i 为纯虚数知选C. 答案 C4．若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 解析 复数z ＝1＋2ii ＝(1＋2i)(－i)＝2－i 的实部是2. 答案 25.已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝________. 解析 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i＝b i ＋21－i＝（b i ＋2）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－b ＋（b ＋2）i 2＝2－b 2＋b ＋22i 是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i.答案 －2i6.计算（1＋i ）3－（1－i ）3（1＋i ）2－（1－i ）2.解 原式＝（1＋i ）2（1＋i ）－（1－i ）2（1－i ）2i ＋2i＝2i （1＋i ）＋2i （1－i ）4i＝4i 4i＝1.7.已知复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i(a ，b ∈R )，求a ＋b 的值.解 由z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，得z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i ，又z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， ∴(a ＋b )＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴a ＋b ＝1.能力提升8．在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，故选D.答案 D9.复数z ＝－21＋3i，则1＋z ＋z 2＝________.解析 z ＝－21＋3i ＝－2（1－3i ）（1＋3i ）（1－3i ）＝－1－3i 2＝－12＋32i.∴1＋z ＋z 2＝1－12＋32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－12＋32i ＋－1－3i 2＝0.答案 010. 已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________．解析 由已知(a ＋b i)2＝3＋4i.即a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i.从而有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 答案 5 211.已知z 是复数，且|z |＝1，则|z －3＋4i|的最大值是________.解析 |z |＝1，在复平面中表示的是单位圆，|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示z 对应的点到3－4i 对应点的距离，结合图象(图略)可知最大值为32＋（－4）2＋1＝6.答案 612.已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z －.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z －＝45－35i 或z ＝－45＋35i.创新突破13.已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围.解 (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应向量为(－2，4＋a )，其模为4＋（4＋a）2＝20＋8a＋a2.又复数z所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数w对应向量的模不大于复数z对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，－8≤a≤0 所以，实数a的取值范围是[－8，0].。
八年级数学下册《复数的代数形式的乘除法》导学案 新人教版
八年级数学下册《复数的代数形式的乘除法》导学案新人教版3、2、2复数代数形式的乘除运算导学案一、学习目标：1 理解复数代数形式的乘法，除法运算法则2 能运用运算律进行复数的四则运算3、理解共轭复数的概念二、教学重点：复数的乘法，除法难点复数的除法三、学法指导：可用待定系数法以及分子分母同乘共轭复数来求复数的商四、知识链接：问题（1）：复数的加法，减法，和乘法法则分别是什么？五、知识导读问题（2：两个复数的积怎样运算？复数的除法能作为复数乘法的逆运算吗？问题（3）类比复数的和，差，积，复数的商仍然是复数吗？六、学习过程：1、复数的乘法法则：则两个复数的积依然是一个复数，它的实部是，它的虚部是2、复数的乘法满足交换律、、对任何即有：=________;=_________ ______（自主学习）A、例1、计算（1）（2）A、例2：（1）（2）（3）3共轭复数：练习：出下列复数的共轭复数。
4、复数的除法：（自主学习）例3 计算（1）（2）(3已知，求满足的复数z六、达标训练：A1、复数的虚部为（）A、3B、―3C、2D、―2A2、数（）A、2B、－2C、D、A3=（）A、B、C、D、A4、 a是实数，且是实数，则a=（）A、B、1C、D、2A5、在复平面内，复数对应的点位于( )A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限B6、a＞1，复数z满足(1+ai)z=i+a，则z在复平面上对应的点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限B7、 z的共轭复数是，,，则＝___________、 B8、知，其中是虚数单位，那么实数___________、B9、设 (其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是，则z2的虚部为___________、C9 计、算：七、学习小结：八、【自我评价】你完成本学案的情况为( )A、很好B、较好C、一般D、较差。
《3.2.2复数代数形式的乘除运算》导学案(新部编)6
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.2.2复数代数形式的乘除运算》导学案6问题导学一、复数的乘法与除法运算 活动与探究1 计算下列各题：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ； (3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i ；(4)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ； (5)(－1＋3i)3(1＋i)6－－2＋i 1＋2i． 迁移与应用1．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为__________． 2．计算：⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i．(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算顺序一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等．(2)对于复数的除法运算，要熟练掌握“分母实数化”的方法． (3)对于复数的高次乘方运算，可利用公式(z m )n ＝z mn进行转化运算． 二、i n 及ωn的性质 活动与探究2 求下列各式的值： (1)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 014；(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 014；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12． 迁移与应用1．复数z ＝1－i 1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 2．计算i2 015－⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 50＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 10．(1)计算复数的乘积常用到虚数单位i 的乘方，i n有如下性质：i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，对任意n ∈N 都有i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＝1．(2)由方程x 3－1＝0，得x 1＝1，x 2,3＝－12±32i ．取ω1＝－12＋32i ，ω2＝－12－32i ，则有ω31＝ω32＝1；ω21＝ω2，ω22＝ω1；1＋ω1＋ω2＝0；ω1·ω2＝1；ω3n＝1，ω3n ＋1＝ω，ω3n ＋2＝ω2等性质．解题时适当变形，运用ω的性质可达到事半功倍的效果．三、共轭复数 活动与探究3(1)已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z ＝(a ＋2z )2； (2)若f (z )＝2z ＋z －3i ，f (z ＋i)＝6－3i ，求复数z ． 迁移与应用1．若|z |＝3，z ＋z ＝0，则复数z ＝________．2．已知x －1＋y i 与i －3x 是共轭复数，求实数x 与y 的值．(1)求一个复数的共轭复数时，必须先将这个复数化为标准的代数形式，得到其实部与虚部后再据定义求得其共轭复数．(2)进行复数除法运算时，主要采用分母实数化方法，其实质就是将分式的分子、分母同乘以分母的共轭复数，根据公式z ·z ＝|z |2＝|z |2进行化简并计算．四、复数的综合应用 活动与探究4设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数；(3)求ω－u 2的最小值． 迁移与应用1．已知(1＋i)2n1－i ＋(1－i)2n1＋i ＝2n，则最小正整数n 为__________．2．设等比数列{z n }中，z 1＝1，z 2＝a ＋b i ，z 3＝b ＋a i(a ，b ∈R 且a ＞0)．(1)求a ，b 的值；(2)试求使z 1＋z 2＋…＋z n ＝0的最小正整数n ； (3)对(2)中的正整数n ，求z 1·z 2·z 3·…·z n 的值．在有关复数运算的综合问题中，常与数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)(ac －bd )＋(ad ＋bc )i (2)z 2·z 1 (z 1·z 2)·z 3 z 1·z 2＋z 1·z 3预习交流1 (1)提示：①成立．复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i 2时就将其换为－1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立，即若z 1，z 2∈C ，则有(z 1＋z 2)2＝z 21＋2z 1z 2＋z 22，z 21－z 22＝(z 1＋z 2)(z 1－z 2)等．②不成立．例如当x ＝1＋i ，y ＝1－i 时，x 2＋y 2＝(1＋i )2＋(1－i )2＝0，但这时并没有x ＝y ＝0．(2)提示：①i 6＝i 2＝－1；②i 29＝i 1＝i ；③i 15＝i 3＝－i ；④i 7＋i 8＋i 9＋i 10＝－i ＋1＋i －1＝0．2．(1)实部 虚部 共轭虚数 z a －bi预习交流2 提示：(1)当z ∈R 时，z ＝z ，即一个实数的共轭复数是它自身． (2)当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数．事实上，若z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，那么z ·z ＝(a ＋bi )·(a －bi )＝a 2＋b 2，且有z ·z ＝|z |2＝|z |2．3．ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i 预习交流3 (1)提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．(2)提示：①1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i ；②13－4i ＝3＋4i (3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 25＝325＋425i ． 课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：根据复数乘法和除法的运算法则，运算律进行计算，对于除法运算要特别注意分母实数化方法的应用．解：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i ； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i ； (3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i＝(1＋i －4i －4i 2)＋2＋4i 3＋4i＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i＝(7＋i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝21－28i ＋3i －4i 225 ＝25－25i25＝1－i ； (4)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i ＝1－3i －2＋i ＝(1－3i)(－2－i)(－2＋i)(－2－i)＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5＝－1＋i ；(5)原式＝(－1＋3i)2(－1＋3i)[(1＋i)2]3－(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i) ＝(－2－23i)(－1＋3i)8i 3－－2＋4i ＋i －2i25 ＝2－23i ＋23i －6i 2－8i －i ＝－1i －i ＝0．迁移与应用 1．2 解析：∵z (2－3i)＝6＋4i ， ∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i13＝2i ，∴|z |＝2．2．解法1：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)226＋(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i ．解法2：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)226＋(2＋3i)i (3－2i)i ＝i 6＋(2＋3i)i 2＋3i＝－1＋i ． 活动与探究2 思路分析：将所求值式先进行适当化简变形，使之出现i n及⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i n的形式，再根据i n及⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i n 的周期性进行计算．解：(1)∵i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝1＋i －1－i ＝0，∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 014＝(1＋i ＋i 2＋i 3)＋(i 4＋i 5＋i 6＋i 7)＋…＋(i2 008＋i2 009＋i2 010＋i2 011)＋i2 012＋i2 013＋i2 014＝0＋i 4×503＋i4×503＋1＋i4×503＋2＝i ；(2)原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 007＝i ＋⎝⎛⎭⎪⎫2－2i 1 007＝i ＋i 1 007＝i ＋i 4×251＋3＝i －i ＝0；(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 8＋(－i)12⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12 ＝(1＋i)8⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＝[(1＋i)2]4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 33＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 34＝－8＋83i ＋1 ＝－7＋83i ．迁移与应用 1．B 解析：因为z ＝1－i 1＋i ＝－i ，所以有ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10＝(－i)2＋(－i)4＋(－i)6＋(－i)8＋(－i)10＝－1＋1－1＋1－1＝－1．2．解：原式＝i 4×503＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 225＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 10 ＝i 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 25＋(1＋i)10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 10＝－i －i 25＋[(1＋i)2]5⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝－i －i ＋(2i)5－12＋32i＝－2i ＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝－2i ＋163－16i ＝163－18i ．活动与探究 3 思路分析：利用共轭复数的定义及两复数相等的充要条件列方程组求解．解：(1)∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝a (1＋i)＋2b (1－i)＝a ＋2b ＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2＋2i)2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ． ∵a ，b 都是实数，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝(a ＋2)2－4，a －2b ＝4(a ＋2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a ＝2b ，3a ＋8＝－2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2.(2)∵f (z )＝2z ＋z －3i ，∴f (z ＋i)＝2(z ＋i)＋(z ＋i)－3i ＝2z ＋2i ＋z －i －3i ＝2z ＋z －2i ．又f (z ＋i)＝6－3i ，∴2z ＋z －2i ＝6－3i ， 即2z ＋z ＝6－i ．设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则z ＝x －yi ． ∴2(x －y i)＋x ＋y i ＝3x －y i ＝6－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝6，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴z ＝2＋i ．迁移与应用 1．3i 或－3i 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则有z ＝x －y i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x ＋y i ＋x －y i ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3，即z ＝3i 或－3i ．2．解：∵x ，y 为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.活动与探究4 思路分析：(1)按常规解法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，化简ω＝z ＋1z，找出实部、虚部可以列出等量关系式求解；(2)证明u 为纯虚数，可按定义证明实部为零，虚部不为零，或证明u ＋u ＝0，且u ≠0；(3)要求ω－u 2的最小值，由(1)，(2)知ω与u 2均为实数，所以可先建立ω－u 2的函数关系，再设法求出最小值．(1)解：∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0．∴ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ．∵ω是实数且y ≠0，∴y －yx 2＋y 2＝0，∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1．此时ω＝2x ．∵－1＜ω＜2，∴－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1． (2)证明：u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i)1＋(x ＋y i)＝(1－x －y i)(1＋x －y i)(1＋x )2＋y2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋xi ． ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0， ∴y1＋x≠0，∴u 为纯虚数． (3)解：ω－u 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x＝2(x ＋1)＋21＋x－3．∵－12＜x ＜1，∴1＋x ＞0．于是ω－u 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1．当且仅当2(x ＋1)＝21＋x，即x ＝0时等号成立． ∴ω－u 2的最小值为1，此时z ＝±i．迁移与应用 1．3 解析：原等式可化为(1＋i)2n·(1＋i)2＋(1－i)2n·(1－i)2＝2n，即[(1＋i)2]n·(1＋i)＋[(1－i)2]n·(1－i)＝2·2n， (2i)n (1＋i)＋(－2i)n (1－i)＝2·2n， 2n ·i n (1＋i)＋2n (－i)n (1－i)＝2·2n， ∴i n [(1＋i)＋(－1)n(1－i)]＝2．若n ＝2k (k ∈N *)，则i 2k[(1＋i)＋(1－i)]＝2， ∴i 2k＝1，∴km in ＝2，从而有n min ＝4； 若n ＝2k －1(k ∈N *)，则i 2k －1[(1＋i)－(1－i)]＝2，故2i 2k＝2，∴i 2k＝1， ∴km in ＝2，从而有n min ＝3． ∴对于n ∈N *时，最小正整数为3． 2．解：(1)∵z 1，z 2，z 3成等比数列， ∴z 22＝z 1z 3，即(a ＋b i)2＝b ＋a i ． ∴a 2－b 2＋2ab i ＝b ＋a i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝b ，2ab ＝a(a ＞0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12.(2)∵z 1＝1，z 2＝32＋12i ， ∴公比q ＝32＋12i ． 欲使z 1＋z 2＋…＋z n ＝1－q n1－q ＝0，只需q n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i n ＝(－i)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i n ＝1．当n 既是3的倍数又是4的倍数时，满足q n＝1， ∴n 的最小值为12．(3)由(2)知n ＝12，则z 1·z 2·z 3·…·z 12＝1·⎝⎛⎭⎪⎫32＋12i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 11＝⎝⎛⎭⎪⎫32＋12i 1＋2＋…＋11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 66＝(－i)66·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 66＝－1． 当堂检测1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( ) A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋i D ．1＋i答案：A 解析：由z i ＝1－i ，得221i (1i)i i i i+1=1i i i 11z ---====----． 2．复数2(12i)1iz +=-对应的点在复数平面的第( )象限．A ．四B ．三C ．二D ．一答案：C 解析：2(1+2i)3+4i (3+4i)(1+i)7+i 71=i 1i 1i (1i)(1+i)222z ---====-+---， 故z 对应的点在复平面的第二象限． 3．若复数z 满足||i=3i 2z z -，则z ＝__________． 答案：- 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，|z |∵(a －b i)·i＝2－3i ，∴b ＋a i ＝2－3i ，∴3,b a ⎧⎪=⎨⎪=-⎩解得a ＝－3，b =即z ＝－3． 4．设x ，y 为实数，且51i 12i 13ix y +=---，则x ＋y ＝__________．答案：4 解析：51i 12i 13ix y +=--- (1i)(12i)5(13i)(1i)(1i)(12i)(12i)(13i)(13i)x y +++⇒+=-++--+ ⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i) ⇒111,252123,252x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得1,5.x y =-⎧⎨=⎩∴x ＋y ＝4． 5．满足5z z+是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由． 答案：解：设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5i x y +＝222255i x y x y x y x y ⎛⎫++- ⎪++⎝⎭，z ＋3＝x ＋3＋y i ， 由已知得2250,3.y y x y x y ⎧-=⎪+⎨⎪+=-⎩又∵y ≠0，∴225,3,x y x y ⎧+=⎨+=-⎩解得1,2,x y =-⎧⎨=-⎩或2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足题设条件．。
§2.2复数的乘法与除法导学案
§2.2复数的乘法与除法导学案高二数学 编写人 赵荣 审核人 编号 34 班级_____ 姓名__________ 时间__________ 组号_________1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算法则.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.重点：复数代数形式的乘法和除法运算.难点：复数代数形式的乘法和除法运算.知识回顾：复数的加法、减法法则?阅读课本104页—107页，完成下列问题：1.复数的乘法和除法法则?2.复数乘法的运算律？3.什么是共轭复数？共轭复数有什么性质？4.计算8765,,,i i i i 的值，你能推测 )(+∈N n i n 的值有什么规律？（要有必要的解题过程）探究一：复数的乘法和除法运算计算（1）)32(2)12i i i i +--+∙-（；（2）2)2123()1()41(2143i i i i i ---+-∙--+-+*课堂检测：计算（1）ii i i 32132432+++--；（2）i i i ++-∙+25)23()2(； （3）)34()7()26()4(1175i i i i -∙+++∙-探究二：共轭复数的应用 已知z C z ,∈为z 的共轭复数，若i z i z z 313+=∙-∙，求z .*课堂检测：已知z C z ,∈为z 的共轭复数，若,310iz i z z +=∙+∙求z .1.=∙i i 2)-1（（ ） A.2-2i B.2+2i C.-2 D.22.在复平面内，复数iz +=21对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.若i x yi x -+-32和互为共轭复数，则x = ,y = .4.(1)设i i a R a ∙+∈2)(,且为正实数，则a = ; (2)2)13i -（= ; (3)已知,21iz +=则100501z z ++= ; (4)211,i i a R a +++∈是实数，则a = . 5.复数),,(1R b a bi a z ∈+=且21222,43,25z z i z b a ∙+==+是纯虚数，求1z .6.已知复数,1i z +=求实数b a ,使7.已知23i -是关于x 的方程220x px q ++=的2)2(2z a z b az +=+ 一个根，求实数,p q 的值．1.计算（1）100321ii i i +⋅⋅⋅++++；（2）ii i i i i i 34)22)(43(1)1(1)1(377++----+-+2.复数z 满足11=--i z ，求i z ++1的最小值.我的收获是什么：学后反思：。
(完整word版)复数代数形式的乘除运算导学案
(完整word 版)复数代数形式的乘除运算导学案§3.2.2复数代数形式的四则运算 课时数：2课时主编：高燕燕 审核：刘洪福 班级：__________ 姓名：_____________ 【学习目标】 1、会用复数的代数形式的四则运算法则及运算律2、理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题； 【学习重点】 1、复数加四则运算及复数加减法运算的几何意义； 2、复数代数形式的除法运算.【学习难点】 1、复数加减法运算的运算律及复数加减法运算的几何意义. 2、对复数除法法则的运用.一、自主学习：预习P56—57，完成下列问题： （一）、复数代数形式的加减运算1、复数1z 与2z 的和的定义，设bi a z +=1，di c z +=2，则 =+21z z2、复数z 1与z 2的差的定义，设bi a z +=1，di c z +=2，则 =-21z z 容易得到：复数的加法运算满足交换律:_________________________ 复数的加法运算满足结合律: ________________________ (二)、复数加减运算的几何意义引导:设复数bi a z +=1，di c z +=2，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标分别为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )，以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ .由复数的几何意义知，向量OZ 对应的复数即为复数 .这就是复数加法的几何意义. 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）思考：复数减法的几何意义？预习P58—60，完成下列问题：1.复数乘法运算法则：z 1=a +bi ，z 2=c +di (a ，b ，c ，d ∈R )，z 1·z 2=2.乘法运算律：(1) (2) (3) 3、共轭复数：_______________________________________________试试：34i +的共轭复数为 a bi +的共轭复数为 bi 的共轭复数为问：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为： （2）12z z ⋅是一个怎样的数？ 4、复数的除法运算 （1）复数除法定义：(完整word 版)复数代数形式的乘除运算导学案满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者dic bi a ++()0≠+di c .（2）复数除法法则：di c bia ++= (3) 特殊结论：=i1 ，=+-i i 11 ，=-+i i 11 5、复数积与商的模的性质：（1）z z = （2）z z z z ⋅==22(3)|z 1·z 2|= (4)=2z z 1( z 2≠0) （5）212121_______z z z z z z +±-（用≥≤或填空）（三）练一练1、已知1234,2z i z i =+=--，则_______________,2121=-=+z z z z2、已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求： （1）AO 表示的复数；（2）CA 表示的复数；（3）B 点对应的复数.变式： ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数.3、计算： （1）(34)(34)i i +-； （2）2(1)i + （3）)2)(43)(21(i i i +-+-.（4）(1+2i )÷(3-4i ) （5）232(12)ii -+， （6i43+4、已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z .二、我的疑问三、学习探究：探究一：计算20135432i i i i i i ++++++ （你能得到i 的什么性质？）变：1、如果i 2321+-=ω，计算2013432ωωωωω+++++ （你又能得到ω的什么性质？） 2、计算（1）10099)3()3(i i -+ （2） 2008)11(3443i i i i +-++-（3）设_____1,1119921992=+-=+xx x x 则探究二：设z 为复数，且,11=+=z z 求1-z变1、复数z 满足1=z ，且i z 432-+=ω，求复数ω在复平面内对应的图形？变2、若,122,=-+∈i z C z 且求i z 22--的取值范围探究三:设复数z 满足iz z 2110-=-，求复数z变1、若复数z 满足_____,1)1(=-=+z i i z 则其共轭复数变2、设复数z 满足1=z ，且z i ⋅+)43(是纯虚数，求z探究四：在复数范围内解下列方程（1）13=z （2）i z 2472--= （3）i z z 422+=+（4）0322=++x x （5）0)22()5()2(2=-++-+i x i x i四、检测反馈：1、0a =是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 2、 设O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ） A ．55i -+ B ．55i -- C ．55i + D ．55i - 3、复数52i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -- D ．2i - 4、设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i -D ．2i +5、若1z =+，则22z z -的值为 6、若复数z 满足11zi z-=+，则|1|z +的值为 7、 2i i +在复平面内表示的点在第 象限.8、计算：（1）1()(1)2i -+； （2）11)()22--（3）274ii +++25(4)(2)i i i ++ ）（Z k ii i i i i k k k k ∈-++++++++143)4(3219、已知R b a i z ∈+=,,1（1）若,432-+=z z ω求ω （2）若i z z baz z -=+-++1122，求b a ,的值。
复数代数形式的乘除运算导学案
复数代数形式的乘除运算导学案一、引言复数是数学中一个重要的概念，它是由实数和虚数组成的。
复数的乘除运算是复数运算中最基本也是最重要的操作之一、本导学案将重点介绍复数的乘除运算的基本方法和性质。
二、复数的乘法复数乘法的表达式为：(a+bi)(c+di)，其中a、b、c、d为实数。
如何做复数的乘法呢？我们可以采用分配率的方法，即将每一个实数与另一个复数的实部和虚部相乘，然后再整合实部和虚部。
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²由于i²=-1，所以得到：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci - bd将表达式简化为：(ac-bd) + (ad+bc)i这就是复数乘法的最终结果。
可以看出，复数乘法的结果仍然是一个复数。
实例：计算(2+3i)(4-5i)。
解：按照乘法的表达式，我们有：(2+3i)(4-5i)=(2×4)+(2×(-5i))+(3i×4)+(3i×(-5i))计算得：8-10i+12i-15i²由于i²=-1，所以进一步简化得到：8-10i+12i+15整理得：23+2i所以，(2+3i)(4-5i)的结果是23+2i。
三、复数的除法复数除法是指将一个复数除以另一个复数的运算。
对于复数的除法，我们需要引入一个特殊的技巧，即将被除数和除数同时乘以除数的共轭复数。
复数的共轭复数，是指只改变虚部的正负号的复数。
例如，对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。
因为共轭复数的乘积满足以下性质：(a+bi)(a-bi) = a² - abi + abi - bi²由于i²=-1，所以我们有：(a+bi)(a-bi) = a² - b²i² = a² + b²这样，我们就可以得到复数的除法公式：(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)]再利用乘法法则进行计算，得到：(a+bi)/(c+di) = (ac + bd) / (c² + d²) + [(bc - ad)i] / (c² + d²)这就是复数的除法结果。
3.2.2复数代数形式的乘除运算导学案4
§ 322复数代数形式的乘除运算【学习目标】1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则, 深刻理解它是乘法运算的逆运算;2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化;3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系.【重点难点】重点：复数代数形式的除法运算.难点：对复数除法法则的运用.【学法指导】复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将i2换成T ；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.【知识链接】1、复数Z,与72 的和的定义：Z i+Z2 =(a+bi )+(c + di )=(a+c 片(b + d )；Z i 〒Z22、复数Z,与22 的差的定义：Zi -Z2 =(a+bi )-(c + di )=(a-c)+(b-d )；3、复数的加法运算满足交换律：Z i +Z2 = Z2 +Z i ；4、复数的加法运算满足结合律：(乙+Z2 )+ Z3 =乙+(Z2 +Z3 )；5、复数z=a+bi(a,b 北)的共轭复数为z=a —bi .【问题探究】探究一、复数的乘法运算引导1：乘法运算规则设Z i =a +bi 、Z 2 =c + di (a,b,c,d 亡R )是任意两个复数，规定复数的乘 法按照以下的法则进行:Z l Z 2 = 类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i 2换成-1,并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数 引导2:试验证复数乘法运算律(1) Z i ^2 = Z 2 Z(2)⑵ Z2)z , (Z 2 Z3 ) (3) Z 1 吃2 +Z 3 )=乙 ”Z 2 +Z 1 込点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i 2换 成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究二、复数的除法运算引导1:复数除法定义：满足(c + di K x +yi )=(a +bi 的复数x + yi(x,y 迂R )叫复数a +bi 除以复引导2:除法运算规则:(ac +bd)+(bc-ad)iac + bd ,bc-ad. ---------- ---------------------------------- L ------------ ------------------------------------ — -------- 十 ----- i2 + j2 2 + J 2 I ■ c +d c +d 数c+di 的商，记为:(a +bi F(c + di 或者 c + di (c + di HO ).利用(c +di I c -di )=c 2 +d 2.于是将 a + bi c + di的分母有理化得: 原式=^£di)(c —di)(a+ bi)(c-di) [ac +bi (-di)] +(bc-ad)i 2+)2 c +d2 +J 2 c+d./ —、/ -■ X ac + bd bc-ad.■■(a+bi)*(c+d')=F+E.【典例分析】例 1 计算（1 -2i ）（3+4i I_2+i ）引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘点拨：在复数的乘法运算过程中注意将i2换成-1.例 2 计算：（1）（3+4订3—4i）；（2）（1 + 汀.引导：按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.例 3 计算（1+2i）+ （3-4）引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用 先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注 意体会总结，寻求最佳方法.例4计算OrW+i""4】 引导：可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确 点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确 【目标检测】‘竺］等于（） l 1+i 丿2.设复数Z 满足工空"，则Z3*.复数（2刍的值是（4.已知复数Z 与（z +2 2-8i 都是纯虚数，求Z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设z=bi （bHO ），再代入求解即可.5.(1)试求 i 1,i 2,i 3,i 4, i 5,i 6,i 7,i 8 的值.(2)由(1)推测i n(n ^N *)的值有什么规律？并把这个规律用式子表 示出来. 提示：通过计算，观察计算结果，发现规律. 3 + 4i 1.复数 A . 4iB. -4iC. 2iD. -2i A . -2+i B.-2-i C. 2—i D. 2 + iA. -iB. iC. -1D.1【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把i2换成-1,在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.【总结反思】知识重点 _______少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强，少年独立则国独立，少年自由则国自由，少年进步则国进步，少年胜于欧洲，则国胜于欧洲，少年雄于地球，则国雄于地球。
高中数学《复数代数形式的乘除运算》导学案
3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、学习目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3理解共轭复数的概念．【重点、难点】重点熟练掌握复数的代数形式的乘法和除法运算法则，难点是复数的除法运算。
二、学习过程1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)=(ac －bd )+(bc +ad )i .类似多项式乘法运算2．复数乘法的运算律对任意z 1、z 2、z 3∈C ，有3.共轭复数设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则z ＝a —b i 叫z 的共轭复数．若b ≠0，则z 叫虚数z 的共轭虚数，且z ＋z ＝2a ，z －z ＝2b i ，两共轭复数在复平面内所对应点关于x 轴对称．4．复数的除法 a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)． 5．i 的乘方设i 为虚数单位，则i 1＝i ， i 2＝-1 i 3＝-i ， i 4＝1例1若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，求z 1·z 2解：z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2 ＝3＋2i ＋1＝4＋2i.例2计算(1+2i ）÷（3+4i ）22(12)(34)1234(12)(34)3864(34)(34)3451012.2 555 i i i ii i i i i i i i +÷-+=-++-++==-++-+==-+解例3计算：3＋4i 4－3i＋9＋2i. 解:3＋4i 4－3i ＋9＋2i ＝(3＋4i)i 4i －3i 2＋9＋2i ＝(3＋4i)i 3＋4i＋9＋2i ＝9＋3i例4设z ＝3＋i ，求1z 解：1z＝13－i ＝3＋i 10＝310＋i 10 变式拓展例5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，求实数t 解∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i. z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34. 三、学习总结 1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．四、随堂检测1．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2z z －1等于( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－21选A解析： z 2－2z z －1＝(1＋i)2－2(1＋i)1＋i －1＝2i －2－2i i ＝－2i ＝－2i i 2＝2i 2．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 2选B解析：∵a 1＋i ＋1＋i 2＝a －a i 2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i 为实数，∴1－a 2＝0，∴a ＝1. 3．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i＝1＋i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3 3选A解析：∵1＋2i a ＋b i＝1＋i ， ∴a ＋b i ＝1＋2i 1＋i ＝(1＋2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3＋i 2， ∴a ＝32，b ＝12. 4.复数z ＝i 1＋i在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象 C ．第三象限 D ．第四象限4选A解析：∵z ＝i 1＋i ＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．5已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________5填．1解析∵a ＋2i i ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.6．设x 、y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝ __________________________________________________________.6填4解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ⇒x (1＋i)(1－i)(1＋i)＋y (1＋2i)(1＋2i)(1－2i) ＝5(1＋3i)(1－3i)(1＋3i) ⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i) ＝(12x ＋15y )＋(12x ＋25y )i ＝12(1＋3i) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋15y ＝1212x ＋25y ＝32⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝5， ∴x ＋y ＝4.7. 若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy ＝______.7填1解析 ：由(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，得(x ＋y )＋(x －y )i ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.∴xy ＝1. 8．已知复数z 1＝i(1－i)3，(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解： (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2－2i ，∴|z 1|＝22＋(－2)2＝2 2.(2)∵|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ，|z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|＝(cos θ－2)2＋(sin θ＋2)2＝9＋42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1时，|z －z 1|2取得最大值9＋42，从而得到|z－z1|的最大值为22＋1.。
学案1：3.2.2复数的乘除运算
3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法运算导学案【学习目标】1. 掌握复数代数形式的乘、除运算；2. 复数的除法运算.【自主学习】（认真自学课本）任务1：阅读教材，理解下列问题：1. 复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积是一个确定的复数．复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律?复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1 ∙ z2＝z2 ∙ z1，z1∙z2 ∙z3＝z1∙(z2 ∙ z3)，z1∙ (z2＋z3)＝z1∙ z2＋z1∙ z3．2. 计算(1－2i)(3＋4i)(－2＋i).3. 计算：(1)(3＋4i)(3－4i)；(2)(1＋i)2.任务2：完成下列问题：1. 类比实数的除法是乘法的逆运算，规定复数的除法是乘法的逆运算.复数除法的法则是(a ＋b i)÷(c ＋d i) )0i (i 2222≠++-+++=d c d c ad bc d c bd ac 两个复数相除，（除数不为0），所得到的商是一个确定的复数．2. 计算 (1＋2i)÷(3－4i).【合作探究】例1：若z 1，z 2是两个共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（2）z 1. z 2是一个怎样的数？【目标检测】1. 复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4 的值是 ( )A. －1B. 0C. 1D. i2. 已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝ ( )A ．－3＋iB ．－1＋3iC ．－3＋3iD ．－1＋i3. 在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 若复数iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是 ( )A ．(2，4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4，2)5. 设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．-3 B. -1C. 1D. 3 6. 复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 ( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i7. 复数z ＝1i －1的模为 ( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 8.设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．【作业布置】学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？。
探究式导学案3：3.2.2 复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除法运算【学习目标】1. 掌握复数代数形式的乘、除运算；2. 复数的除法运算.【自主学习】（认真自学课本）任务1：阅读教材，理解下列问题：1. 复数的乘法设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2=-++()()ac bd ad bc i 两个复数的积是一个确定的复数．复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1 ∙ z2＝z2 ∙ z1，z1∙z2 ∙z3＝z1∙(z2 ∙ z3)，z1∙ (z2＋z3)＝z1∙ z2＋z1∙ z3．例1. 计算(1) (a＋bi)(a−bi).(2) (1－2i)(3＋4i)(－2＋i).例2. 计算：(1) (3＋4i)(3－4i)；(2) (1＋i)2.定义：_________________________________的两个复数叫做互为共轭复数.复数z a bi=+的共轭复数记作z，即z=_________，____________+=•=z z z z任务2：完成下列问题：通过分母实数化，试写出复数的除法法则(a＋b i)÷(c＋d i) =两个复数相除，（除数不为0），所得到的商是一个确定的复数．例3. 计算(1＋2i)÷(3－4i).例4.计算:(1)(12)(32)i i +÷-+ (2)232(12)i i -+【合作探究】(*)例5．求220111i i i ++++的值结论：4414243_______,_______,______,______n n n n i i i i +++====【当堂检测】：1.（2+3i ）（2−3i ） =2.i+11 = 3.设z =3+i ,则1z̅= 4.a+bi b−ai +a−bi b+ai = 5.已知z 1=2－i,z 2=1+3i,则复数i z 1+z25的虚部为6.设 (x ∈R,y ∈R ),则x =___________,y =___________.【课后巩固练习】1. 已知i 是虚数单位，则(－1＋i )(2－i )＝ ( )A ．－3＋iB ．－1＋3iC ．－3＋3iD ．－1＋i 2. 在复平面内，复数(2－i )2对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 若复数iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是 ( )A ．(2，4)B ． (2，－4)C ．(4，－2)D ．(4，2) 4. 设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．-3 B. -1C. 1D. 3 iy i i x -+-=+12315. 复数z 满足(z －3)(2－i )＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 ( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i 6.计算复数(1−i )2−2+i 1−2i=_______________ 7.计算20071()______1i i -=+ 8. 复数z ＝1i−1的模为_______________ 9.若12z i =-,则21z z =-_____. 10.设z 的共轭复数是z ̅，或z +z̅=4,z ∙z̅＝8，则 z̅z =__________ 学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？。
高中数学《复数代数形式的乘除运算》导学案 新人教A版选修2-2
吉林省长春市实验中学高二数学《复数代数形式的乘除运算》导学案 新人教A版选修2-2学习目标：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
学习重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念学习难点：乘除运算模块一: 自主学习，明确目标知识再现1.虚数单位i :2. i 与－1的关系:3. i 的周期性：4.复数的定义5. 复数的代数形式:6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：7. 两个复数相等的定义： 8. 复平面、实轴、虚轴：9．复数z 1与z 2的和的定义：10. 复数z 1与z 2的差的定义：11. 复数的加法运算满足交换律:12. 复数的加法运算满足结合律:1.复数代数形式的乘法运算：例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯-（2）(72)(14)i i -⨯+（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[【探究】 ：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +模块二：合作释疑=，试写出复数的除法法则1． 复数的除法法则： ‘ 模块三：巩固训练，整理提高例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+-二．课堂总结 通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3.反思【当堂检测】：1.设z =3+i ,则z 1= 2.aib bi a ai b bi a +-+-+= 3.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数521z z i +的虚部为 4.设iy i i x -+-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x =___________,y =___________.【作业】 1. 已知复数z 满足i z i z z 682-=⋅+⋅，求复数z.2. 复数z=a +bi,a,b ∈R ,且b ≠0,若24z bz -是实数，则有序实数对（a,b ）可以是 .(写出一个有序实数对即可)3.设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz 等于D （A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i4.计算复数22(1)12i i i +---等于 （ ） A ．0 B ．2 C ．3iD ．3i - 5. Z ∈C ，若12z z i -=- 则43i z +的值是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2D ．2-。
复数的乘、除运算学案(知识精讲+对点专练)高一下学期数学必修第二册
高一年级下学期数学导学案一、自主学习【学】掌握复数代数表示的乘除运算。
素养目标学科素养1.掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算；2.理解复数乘法的运算律；3.会在复数范围内解方程。
1.数学运算;2.逻辑推理重点：复数代数形式的乘、除法的运算法则及其运算律。
难点：复数除法的运算法则.1.复数乘法的运算法则和运算律(1).复数乘法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝．(2).复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝结合律(z1z2)z3＝乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝(1)(a＋b i)2＝(a，b∈R)．(2)(a＋b i)(a－b i)＝(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝2．复数除法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝(c＋d i≠0)．1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个复数的积与商一定是虚数．()(2)两个共轭复数的和与积是实数．()(3)若z为复数，则z2=|z|2．()(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．()2.(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i问题1：复数的加法和减法法则问题2：在实数范围内，设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd，那么在复数范围内，复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，其中a，b，c，d∈R，则z1·z2 ＝(a＋b i)(c＋d i)=？1.复数乘法运算我们规定，复数乘法法则如下：设z1=a+b i,z2=c+d i 是任意两个复数，那么它们的乘积为(a+b i)(c+d i)= ac+ad i+bc i+bd i2 = ac+ad i+bc i-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i即(a+b i)(c+d i)= (ac-bd)+(ad+bc)i问题3：复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗?2.复数乘法的交换律、结合律、分配律z1·z2=z2·z1 (交换律)(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3(分配律)问题4：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.请探求复数除法的法则？复数的除法法则：【典例解析】【例1】计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)跟踪练习1：（课本80页 1(1)(2)）(1)(7-6i)(-3i) (2)(3+4i)(-2-3i)【例2】计算 (1) (2+3i)(2-3i) (2) (1+i)2跟踪练习2：（课本80页 2(1)(2)）(1)( 3 +2i)(- 3 +2i) (2) (1-i)2方法规律：(1)两个复数代数形式乘法的一般方法①首先按多项式的乘法展开 ②再将i 2换成－1③然后再进行复数的加、减运算(2)常用公式 ①(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R )②(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ) ③(1±i)2＝±2i【例3】计算 (1＋2i)÷(3－4i)跟踪练习3（课本80页 3(1)(2)）：(1)7＋i 3＋4i (2)1i方法规律：(1)两个复数代数形式的除法运算步骤①首先将除式写为分式②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式 (2)常用公式 ①1i ＝－i ②1＋i 1－i ＝i ③1－i 1＋i＝－i【例4】在复数范围内解下列方程：（1）220x +=（2）20ax bx c ++=，其中a b c ∈R ，，，且20Δ40a b ac ≠=-<，方法规律：当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数【当堂检测】1.计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于( )A.2－13iB.13＋2iC.13－13iD.－13－2i2.设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |等于( )A.1B. 2C. 3D.23.计算：(1) (1+2i)(3-4i)(-2-i) (2) i(2-i)(1-2i) (3)7＋i 3＋4i (4)(－1＋i )(2＋i )－i4.在复数范围内解方程 (1)9 x 2＋16＝0 (2) x 2＋x ＋1＝0【布置作业】习题7.2 3、4、6【课堂总结】1．复数代数形式的乘法运算类似于多项式的乘法，同时注意i 2＝－1的应用2．复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用z ·z ＝|z |2解题 3．记住几个常用结论：(1) i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ) (2) (1±i)2＝±2i77(3) 若z＝z⇔z是实数；若z＋z＝0，则z是纯虚数；z·z＝|z|2＝|z|2。
《复数的乘除运算》教案、导学案、课后作业
《7.2.2 复数的乘除运算》教案【教材分析】复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.数学学科素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点和难点】重点：复数代数形式的乘法和除法运算．难点：求复数范围内的方程根.【教学过程】一、情景导入前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本77-79页，思考并完成以下问题1、复数乘法、除法的运算法则是什么？2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有3．复数代数形式的除法法则(a＋b i)÷(c＋d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)四、典例分析、举一反三题型一复数的乘法运算例1 计算下列各题．(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 . 【答案】(1) －20＋15i. (2) 13. (3) 2i.【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.解题技巧（复数乘法运算技巧）1．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开．(2)再将i2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)．(2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. 跟踪训练一1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ ( )A ．2－13iB ．13＋2iC ．13－13iD ．－13－2i【答案】D.【解析】 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i ＋i 2－(4－9i 2)＝－13－2i. 2．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)【答案】B.【解析】因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )， 又此点在第二象限，所以⎩⎨⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.题型二 复数的除法运算 例2计算(1＋2i)÷(3－4i). 【答案】−15+25i.【解析】 原式=1+2i3−4i =(1+2i )(3+4i )(3−4i )(3+4i )=−5+10i 25=−15+25i.解题技巧： (复数的除法运算技巧) 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)＝－i ；(2)＝i ；(3)＝－i. 跟踪训练二 1．复数z ＝11＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 【答案】22. 【解析】∵z ＝11＋i ＝＝1－i 2＝12－12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.2．计算：1＋i4＋3i 2－i1－i＝________.【答案】－2＋i. 【解析】＝1＋7i 1－3i ＝＝－2＋i. 题型三 复数范围内的方程根问题 例3 在复数范围内解下列方程： （1）；（2），其中，且． 【答案】 （1）方程的根为．（2）方程的根为． 【解析】（1）因为，所以方程的根为．（2）将方程配方，得， 1(1)(1)i i i -+-(1)(43)(2)(1)i i i i ++--(17)(13)10i i ++220x +=20ax bx c ++=,,a b c ∈R 20,40a b ac ≠∆=-<220x +=2x i =±()242b ac b x a --=-±222(22==-220x +=2x i =20ax bx c ++=222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 所以原方程的根为．解题技巧（解决复数方程根问题的技巧）与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．跟踪训练三1、已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．【答案】(1)b ＝－2，c ＝2. (2)1－i 也是方程的一个根． 【解析】(1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0. ∴⎩⎨⎧b ＋c ＝0，2＋b ＝0，得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝2.∴b ＝－2，c ＝2.(2)将方程化为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边x 2－2x ＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本80页练习，80页习题7.2的剩余题.2bx a +=2b x a =-±【教学反思】本节课主要是在学生了解复数的加减运算及共轭复数的基础上，类比多项式的乘除运算法则探讨得出复数的乘除运算法则，使学生对知识更加融会贯通.尤其在例3，使学生对方程的根有了更深刻的认识.《7.2.2 复数的乘除运算》导学案【学习目标】知识目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.核心素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点】：复数代数形式的乘法和除法运算．【教学难点】：求复数范围内的方程根.【学习过程】一、预习导入阅读课本77-79页，填写。
3.2.2复数代数形式的乘除运算导的学案4
复数代数形式的乘除运算【学习目标】1、知识与技术：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法例，深刻理解它是乘法运算的逆运算；2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算本质是分母实数化；3、感情、态度与价值观：复数的几何意义纯真地解说或介绍会显得较为乏味无味，学生不易接受，教课时，我们采纳解说或体验已学过的数集的扩大的，让学生领会到这是生产实践的需要进而让学生踊跃主动地建构知识系统.【要点难点】要点：复数代数形式的除法运算.难点：对复数除法法例的运用.【学法指导】复数乘法运算是依照多项式与多项式相乘睁开获取，在学习时注意将i2换成1；除法是乘法的逆运算，因此复数的除法运算可由乘法运算推导获取，可是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意领会第二种方法的优势和本质.【知识链接】1、复数z1与z2的和的定义：z1z2abidi c bdi；2、复数z1与z2的差的定义：z1z2abi cdi a c bdi；3、复数的加法运算知足互换律:z1z2z2z1；4、复数的加法运算知足联合律: z1z2z3z1z2z3；5、复数z a bia,b R的共轭复数为z a bi.【问题研究】研究一、复数的乘法运算指引1:乘法运算规则设z1 a bi、z2 c di a,b,c,d R是随意两个复数，规定复数的乘法依照以下的法例进行：z1z2近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，而且把实部与虚部分别归并，两个复数的积仍旧是一个复数.指引2:试考证复数乘法运算律（1）z1z2z2z1（2）z1z2z3z1z2z3（3）z1z2z3z1z2z1z3点拨：两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，而且把实部与虚部分别归并.两个复数的积仍旧是一个复数.研究二、复数的除法运算指引1：复数除法定义：知足cdixyiabi的复数xyix,y R叫复数abi除以复数c di的商，记为：a i cdi或许a i di0.c i指引2：除法运算规则：利用cdicdi2d2.于是将a bi的分母有理化得：di原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i cdi(cdi)(cdi)c2d2( acbd)(bcad)iacbdbcadi.22c∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad.222点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采纳的分母有理化思想方法，而复数cdi与复数c di，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而cdicdic2d2是正实数.因此能够分母实数化. 把这类方法叫做分母实数化法【典例剖析】例1计算12i3 4i 2 i指引:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.点拨：在复数的乘法运算过程中注意将i2换成－1.例2计算：（1）34i34i；（2）1i2.指引:依照复数乘法运算睁开即可.点拨：注意领会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记着一些特别形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.例3计算(12i)(34i)指引:可依照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，而后化简即可.点拨：此题可将除法运算转变为乘法运算，可是相对麻烦，易于采纳先将除式写成分式，再将分母实数化，而后化简的方法，学习时注意领会总结，追求最正确方法.例4计算(14i)(1i)24 i34i指引:可先将分子化简，再依照除法运算方法计算，注意计算的正确性.点拨：关于混淆运算，注意运算次序，计算正确.【目标检测】复数2i 21.等于（）1+iA．4iB．4iC．2iD．2i2.设复数z知足12ii，则z（）zA．2i B．2i C．2iD．2i33*.复数13i的值是（）22A.iB.i C.14 .已知复数z与z228i都是纯虚数，求z.提示：复数z为纯虚数，故可设z bib 0，再代入求解即可.5.(1)试求i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8的值.由（1）推断i n nN*的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来. 提示：经过计算，察看计算结果，发现规律.【总结提高】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法例和方法，在乘法运算中注意把i2换成－1，在除法运算中注意方法的本质依照，计算时注意正确性.【总结反省】知识.要点.。
《3.2.3 复数的除法》导学案(新部编)3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.2.3 复数的除法》导学案3【课标要求】1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．理解共轭复数的概念．【核心扫描】1．复数代数形式的乘法和除法的运算．(重点) 2．共轭复数的概念及i 的幂的周期性．(难点)自学导引1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律 对任意z 1、z 2、z 3∈C ，有 (1)交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1.(2)结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． (3)乘法对加法的分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3. 想一想：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？提示 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并．3．共轭复数如果两个复数满足实部相等、虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z －表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i.4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0且c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)想一想：z ·z －与|z |2和|z －|2有什么关系？ 提示 z ·z －＝|z |2＝|z －|2.名师点睛1．复数运算的技巧在复数运算中，除了灵活运用运算法则及各种运算律之外，常用的还有三大技巧． (1)i 的周期性：i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈Z )，它们在遇到i 的高次幂时非常好用．(2)1±i 的变形：(1±i)2＝±2i，(1＋i)(1－i)＝2，它们的应用也非常广泛，且很容易与i 的周期性连用．(3)注意ω＝－12＋32i 的一些变形：ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0，ω2⇒ω等的应用．2．对共轭复数及性质的理解 (1)共轭复数的注意事项①实数a 的共轭复数仍是a 本身，即z ∈C ，z ＝z －⇔z ∈R ，这是判断一个数是否是实数的一个准则．②共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应注意它的几何特征：关于实轴对称；代数特征：虚部互为相反数．(2)共轭复数性质的巧用在解题过程中，若能利用共轭复数的性质对问题进行等价变形、化简，可使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果，一般地，共轭复数有如下性质：设z ＝a ＋b i ，其共轭复数为z －＝a －b i(a ，b ∈R )，则 ①|z |＝|z －|(因为|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2，|z －|＝|a －b i| ＝a 2＋b 2)②z ·z －＝|z |2∈R (因为z ·z －＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝|z |2)③z ＋z －＝2a 为实数；z －z －＝2b i(b ≠0)为纯虚数． ④z 为实数⇔z ＝z －.⑤z 为纯虚数⇔z ＋z －＝0且z ≠0.3．复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，但复数的除法中分母为复数，一般不能直接约分化简．复数的除法的一般做法是，由于两个共轭复数的积是一个实数，因此，两个复数相除，可以先把它们的商写成分式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数)，并把结果化简即可． 也就是说a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．题型一 复数代数形式的乘除运算【例1】 计算： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1i 15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 222； (2)1＋i ＋i 2＋…＋i 100；(3)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)． (4)1＋i 71－i＋1－i 71＋i－3－4i 2＋2i 34＋3i.[思路探索] 本题主要考查复数的运算法则以及有关性质．复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行乘方、开方，再进行乘、除，最后进行加、减．解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i i 16－1＋i 22222＝(2＋i)－2i11211＝2＋i －i 11＝2＋i －i 3＝2＋i ＋i ＝2＋2i. (2)原式＝1－i 1011－i ＝1－i1－i＝1.(3)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－3i －4i ＋i 2)＋(28－4i －21i ＋3i 2) ＝2(11－7i)＋25(1－i) ＝47－39i(4)原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i－83－4i1＋i 21＋i3－4i i＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i 1＋i i＝8＋8－16－16i ＝－16i(1)复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速简捷出错少的效果．比如下列结果，要记住：①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i1＋i ＝－i ；④a ＋b i ＝i (b －a i)． 【变式1】 计算下列各题：(1)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7； (2)⎝⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 解 (1)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋i22＋i 7 ＝162(－1＋i)－14－i＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋14＋(162－1)i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8 ＝(－i)12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋[1＋i2]4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 34＋(－8＋83i) ＝1－8＋83i ＝－7＋83i.题型二 共轭复数的概念及其应用【例2】 设P ，Q 是复平面上的点集，P ＝{z |z ·z －＋3i(z －z －)＋5＝0}，Q ＝{w |w ＝2i z ，z ∈P }．(1)P ，Q 分别表示什么曲线？(2)设z 1∈P ，z 2∈Q ，求|z 1－z 2|的最大值与最小值． [思路探索]解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． 则集合P ＝{(x ，y )|x 2＋y 2－6y ＋5＝0}＝{(x ，y )|x 2＋(y －3)2＝4}，故P 表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆． 设w ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．z ＝x 0＋y 0i∈P (x 0，y 0∈R )且w ＝2i z .则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2y 0，b ＝2x 0将⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12b ，y 0＝－12a 代入x 20＋(y 0－3)2＝4得(a ＋6)2＋b 2＝16.故Q 表示以(－6,0)为圆心，4为半径的圆．(2)|z 1－z 2|表示分别在圆P ，Q 上的两个动点间的距离，又圆心距|PQ |＝35>2＋4， 故|z 1－z 2|最大值为6＋35，最小值为35－6.(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z －⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数． (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数． 【变式2】 已知复数z 的共轭复数为z －，且z ·z －－3i·z ＝101－3i ，求z .解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －＝x －y i ，由已知，得 (x ＋y i)(x －y i)－3i(x ＋y i)＝101－3i ，∴x 2＋y 2－3x i ＋3y ＝101＋3i 10，∴x 2＋y 2＋3y －3x i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3y ＝1，－3x ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或y ＝－3.∴z ＝－1或z ＝－1－3i.题型三 复数的乘方运算【例3】 计算(1)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 010；(2)2＋2i12－1＋3i9＋－23＋i 1001＋23i100.审题指导 (1)可利用等比数列的前n 项和公式；(2)注意到式中隐含1＋i ，－12＋32i ，故可考虑利用(1±i)2＝±2i，以及ω＝－12＋32i 的运算性质简化运算，但需先对式子变形．[规范解答] (1)法一 ∵i n ＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0，n ∈N *.(3分)∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 010＝(1＋i ＋i 2)＋(i 3＋i 4＋i 5＋i 6)＋(i 7＋i 8＋i 9＋i 10)＋…＋(i2 007＋i2 008＋i2 009＋i2 010)＝1＋i ＋i 2＝i.(6分)法二 原式＝1·1－i 2 0111－i ＝1－i 31－i ＝1＋i 1－i＝1＋i21－i 1＋i ＝i.(6分)(2)原式＝2121＋i1229·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 9＋i －23100[－i i －23]100＝212·2i 629·ω33＋i －23100－i100i －23100＝23·26·i 6i 3＋1i 100 ＝－29＋1＝－511.(12分)【题后反思】 (1)复数的乘除法运算中，常考查i n 的周期性，要熟记i 的周期性：①i4n＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1，n ∈N ；②i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N )．(2)复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)；再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．【变式3】 计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 10.解 ∵1＋i 1－i ＝1＋i21－i 1＋i ＝i ，∴原式＝i·i 2·i 3·…·i 10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i 55＝i 3＝－i.误区警示 记错i 2值而致错【示例】 设复数z 满足1＋2i z＝i ，则z ＝( )．A ．－2＋iB ．－2－iC ．2－iD ．2＋i[错解] 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2i z＝i ，所以1＋2i ＝a i ＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ，故选D 项．将i 2＝－1当成i 2＝1来运算漏掉负号．[正解] 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2i z＝i ，所以1＋2i ＝a i －b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以z ＝2－i ，故选C 项．在进行乘除法运算时，灵活运用i 的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．。
精品导学案：复数代数形式的乘除运算
精品导学案：3. 2.2复数代数形式的乘除运算（学案）预习目标： 1.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念2.掌握复数的代数形式的乘、除运算。
预习内容：1.虚数单位i :----------------------------------2. i 与－1的关系: ---------------------------------------3. i 的周期性：----------------------------------------------------4.复数的定义------------------------------------------------------------ 3. 复数的代数形式: -------------------------------------------------------------------4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：-------------------------- --5. 两个复数相等的定义：-------------------------------------------------6. 复平面、实轴、虚轴：-------------------------------------------------------8．复数z 1与z 2的和的定义：-----------------------------9. 复数z 1与z 2的差的定义：----------------------------------------- 10. 复数的加法运算满足交换律: ------------------------------------ 11. 复数的加法运算满足结合律:-----------------------------------------------------提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
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班级姓名小组月日淮南 28 中“ 532”生态课堂一课三测学案
课题学习
主备教师 : §3.2.2复数的乘除运算（第一课时）
1..掌握复数乘法、除法运算法则及i 幂的性质；
2.能较熟练的进行复数的乘、除法运算；
目标 3. 掌握共轭复数的概念及应用。
重点、难
点
复数的乘除法则、 i 幂的性质、共轭复数及其应用
预习检测
一、基础梳理
预习课本 P58～ 60，思考并完成下列问题
1、复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数的定义是什么？
（1）设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b，c， d∈ R)，则 z1·z2＝ (a＋ bi)( c＋ di) ＝＿＿＿＿＿＿＿
（2）复数乘法的运算律
交换律z1·z2＝＿＿＿
对任意复数 z1， z2， z3∈ C，有
(z1·z2) ·z3＝＿＿＿＿
结合律
分配律z1(z2＋ z3) ＝＿＿＿＿
（ 3）共轭复数
实部＿＿＿＿虚部＿＿＿＿＿＿＿＿＿的两个复数称为共轭复数。
.
若 z=a+bi，则z=＿＿＿＿＿＿＿＿。
思考：若 z=a+bi ，z+ z = ＿＿＿＿＿ , z －z =＿＿＿＿＿, z ·z = ＿＿＿＿＿＿＿，｜z｜＿＿｜z｜
（ 4）．复数代数形式的除法法则：
(a＋ bi) ÷(c＋ di)＝a＋bi
＝＿＿＿＿＿＿＿＿ = ＿＿＿＿＿＿＿＿＿(c＋di≠0)．
c＋ di
（5）i幂的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿♂我的困惑：
课堂训测（师生互动）
典型例题
例 1：计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
变式： (1) (4 －i)(6 ＋2i) ；
（2）(1 ＋i)(1 －i) ＋( －1＋i) ；
（3）(1 i)2
例2:计算(1 2i) (3 4i )
例 3:求值i i 2 i 3 i 2017
[小试身手 ] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．()
(2)若 z1， z2∈ C，且 z21＋ z22＝ 0，则 z1＝ z2＝ 0.()
(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．()
2． (北京高考 )复数 i(2－ i)＝ ( )
A． 1＋ 2i B． 1－ 2i
C．－ 1＋2i D．－ 1－ 2i
3．若复数 z1＝ 1＋ i， z2＝ 3－ i，则 z1·z2＝ ()
A． 4＋ 2i B． 2＋ i
C． 2＋ 2i D． 3＋ 4i
i 2＋ i 3＋ i 4
4．复数＝ ________.
1－ i
归
纳
总
结
达标考测
1．已知 x， y∈ R，i 为虚数单位，且xi － y＝－ 1＋ i ，则 (1＋ i) x＋y的值为 ()
A ． 2
B ．－ 2i
C．－ 4D． 2i
2．已知 a， b∈ R， i 是虚数单位．若(a＋ i)(1 ＋ i) ＝ bi，则 a＋ bi ＝ ________.
3.若复数 z 满足 z(2－ i) ＝11＋7i(i 是虚数单位 )，则 z 为( )
A ． 3＋ 5i
B ．3－ 5i
C．－ 3＋ 5i D．－ 3－ 5i
4.设 i 是虚数单位，复数1＋ai
为纯虚数，则实数 a 为 ( ) 2－ i
A ． 2 B．－ 2
1 1
C．－2 D.2
5 .i 为虚数单位， i 607的共轭复数为 ()
A ．i
B ．－ i
C．1 D．－ 1
6. 计算 i1＋ i 2＋i 3＋＋ i 2 016＝ ________.
7．复数(1＋i) 2 (2＋ 3i)的值为 ( )
A ． 6－ 4i
B ．－ 6－ 4i
C．6＋ 4i D．－ 6＋ 4i
8． (全国卷Ⅰ) 已知复数 z 满足 (z－1)i ＝1＋ i ，则 z＝ ( )
A ．－ 2－ i
B ．－ 2＋ i
C．2－ i D． 2＋ i
9. (全国卷Ⅱ ) 若 a 为实数，且2＋ai
＝3＋ i ，则 a＝ () 1＋i
A．－ 4 B．－ 3 C． 3 D． 4。