第六章 直线与圆锥曲线单元测试卷
直线与圆锥曲线测试题(含答案)
直线与圆锥曲线练习题一、选择题1.直线x =与椭圆2212y x +=的位置关系为 AA .相离B .相切C .相交D .不确定2.抛物线2y x =的切线中，与直线240x y -+=平行的是 D A .230x y -+= B .230x y --= C .210x y -+= D .210x y --=3.若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 CA .2B .3C .4D . 4.过椭圆22221(0)4x y a a a +=>的一个焦点F 作直线交椭圆于,P Q 两点，若线段FP 和FQ 的长分别为,p q ，则11p q+= AA .4a B .12aC .4aD .2a 5.若直线:1(0)l y kx k =+≠被椭圆22:14x y E m +=截得的弦长为d ，则下列被椭圆E 截得的弦长不是d 的直线是 DA .10kx y ++=B .10kx y --=C .10kx y +-=D .0kx y +=6.直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是 CA .(0,1]B .(0,5)C .[1,5)(5,)+∞D .[1,5)7.设1F ，2F ，为双曲线2214x y -=的两焦点，点P 在双曲线上，且满足12F PF π∠=，则△12F PF 的面积是 AA .1BC .2D 二、填空题8.AB 是抛物线2y x =的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .结果：52.9．（08海南、宁夏）设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 . 结果：3215.10.过椭圆22143x y +=的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于 . 结果：3.11.过抛物线24y x =的焦点F 做垂直于x 轴的直线，交抛物线,A B 两点，则以AB 为直径的圆的方程是 . 结果：22(1)4x y -+=.12.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围为 .结果：(23,23)-.13.已知P 是抛物线24y x =上一点，设P 到此抛物线准线的距离为1d ，P 到直线2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 .P 到抛物线准线的距离即为P 到焦点(1,0)F 的距离.过F 作直线2120x y +-=的垂线，其方程是2(1)y x =-，由2(1),2120.y x x y =-⎧⎨+-=⎩得垂足1622(,)55Q ，易知点Q 在抛物线外部，当P 点为线段FQ 和抛物线交点时，12d d +最小. 三、解答题14.过点(1,1)P -作直线与椭圆22142x y +=交于，两点，若线段AB 的中点恰为P 点，求AB 所在直线的方程和AB 线段的长度.结果：230x y -+=，||AB .15.设过椭圆2212516x y +=的左焦点的弦为AB ，是否存在弦长||6AB =的弦，试说明理由.16.设11(,)A x y ，22(,)B x y 为抛物线22(0)y px p =>上位于x 轴两侧的两点.（1）若122y y p =-，证明：直线AB 恒过一个定点； 结果：定点为(1,0).（2）若2p =，AOB ∠（O 是坐标原点）为钝角，求直线AB 在x 轴上的截距的取值范围． 结果：设直线:AB x my t =+，则04t <<.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为e ．直线:l y ex a=+与x 轴、y 轴分别交于A ，B ，点M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM AB λ=.（1）证明：21e λ=-；（2）若34λ=，△12MF F 的周长为6，写出椭圆C 的方程. 结果：22143xy +=. 18.已知抛物线2:C y x =与直线:34l y kx =+，试问C 上能否存在关于直线l 对称的两点？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.解1：（利用点在抛物线内构造不等式）假设C 上否存在两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线l 对称，设线段AB 中点为00(,)M x y ，由点差法求得02y k =-，进而01234x k =--，因点M 在抛物线内，故020y x <，故实数k 存在，范围为10k -<<.解2：（利用判别式构造不等式）设AB 方程为1y x bx k=-+联立消元得20y ky kb +-=，240k kb ∆=+>，设线段AB 中点为00(,)M x y ，12022y y y k +==-，由点00(,)M x y 在直线:3l y kx =+上，001(34)x y k=-，又00(,)M x y 在直线AB 上，得00213224x k b y k k k =+=---，代入240k kb ∆=+>整理得2320k k++<，解得10k -<<.19．如图1，椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的上顶点为A，左顶点为B F，为右焦点，离心率e=，过F作平行于AB的直线交椭圆于C D，两点，作平行四边形OCED，求证：E在此椭圆上．解：椭圆焦点(0)F c，，ABbka=，直线CD的方程为()by x ca=-，代入椭圆方程22221x ya b+=，得22220x cx b--=．设1122()()C x yD x y，，，，则12x x c+=，CD中点G的坐标为22c bca⎛⎫-⎪⎝⎭，．bcE ca⎛⎫-⎪⎝⎭，∴．cea==∵，a=∴．将点E的坐标代入椭圆方程2222222221c b c ca ab a+==满足，∴点E在椭圆上．20.直线:1l y kx=+与双曲线22:21C x y-=的右支交于不同的两点A，B.（1）求实数k的取值范围；结果：2k-<<（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在求出k的值；若不存在，说明理由.存在k=.21．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为22(0)y px p =>， 将交点32⎛ ⎝，代入得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(10)，， 这也是双曲线的一个焦点，则1c =． 又点32⎛ ⎝，也在双曲线上，因此有229614a b -=． 又221a b +=，因此可以解得221344a b ==，，因此，双曲线的方程为224413y x -=．。
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
则由椭圆的中心对称性可知可知AF1BF2为平行四边形，则可得△ABF2的周长为|AF当AB位于短轴的端点时，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，当围成的等腰三角形底边在直线l因为tanα=2tanα21―tan2α2=2，且tanα2>所以k=tanθ=tanα2=5―12，或故选：B．5．（5分）（2024·西藏拉萨的最小值为（）A．1453【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可6．（5分）（2024·湖南邵阳点B在C上且位于第一象限，B．8 A．453【解题思路】由点A―1,8由点A―1,8在抛物线y23所以抛物线C的方程为y2设B(x0,y0)，则x0>0,y0>由题意知F p2,0，又OP 显然直线AB的斜率不为由y2=2pxx=ty+p2，得y2―2pty显然直线BD的斜率不为由y2=2pxλp，得y2故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
如图，因为K OA=∠PDA=∠ODB，所以×|PA|⋅S△PAB=12故选：ABD.11．（6分）（2024·福建龙岩|AB|=8.过焦点F的直线C的准线与坐标轴的交点，则（A．若MF=3FN，则直线C．∠MON为钝角设M(x1,y1),N(x2,y 得y2―8my―16=所以y1y2=―16,x1∴x1x2+y1y2=4⟨⟩三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高考数学复习直线与圆锥曲线专项测试(附答案)
2019高考数学复习直线与圆锥曲线专项测试（附答案）直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况。
以下是直线与圆锥曲线专项测试，希望考生可以认真练习。
1.双曲线的方程为=1(a0),焦距为4,一个顶点是抛物线y2=4x的焦点,则双曲线的离心率e=()A.2B.1C. 3D.52.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,1)B. .(-1,1)C..(0,5)D..(-2,1)3.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点.若=0,则||+||+||=()A.9B.6C.4D.34.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-25.已知A,B,P是双曲线=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPAkPB=,则该双曲线的离心率为()A. 1B.1/2C. 1/3D.1/56.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4B.3C.4D.87.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB的长为8,则p= .8.(2019湖南,文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.9.(2019福建漳州模拟)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程.(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.10.(2019安徽,文21)设F1,F2分别是椭圆E:=1(a0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cosAF2B=,求椭圆E的离心率.能力提升组11.已知点F是双曲线=1(a0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率是()A. B.2 C.1+ D.2+12.(2019湖北,文8)设a,b是关于t的方程t2cos +tsin =0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为() A.0 B.1 C.2 D.313.(2019福建三明模拟)设圆C的圆心与双曲线=1(a0)的右焦点重合,且该圆与此双曲线的渐近线相切,若直线l:x-y=0被圆C截得的弦长等于2,则a的值为.14.(2019江西,文20)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O 为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值. 15.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.参考答案1.A 解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则在双曲线中a=1.又2c=4,c=2,e==2.2.C 解析:设F1,F2为焦点,由题意知,点M的轨迹是以F1F2为直径的圆,则c1或k-1.9.解:(1)由已知得抛物线C的焦点坐标为F(1,0),设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),则所以(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4,又y0=2,所以k=1.故直线l的方程是y=x-1.(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消元得y2-4my-4=0,所以有y1+y2=4m,y1y2=-4,=16(m2+1)0,|AB|=|y1-y2|==4(m2+1),所以有4(m2+1)=20,解得m=2,所以直线l的方程是:x=2y+1,即x2y-1=0.10.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k0,且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cosAF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k),化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1AF2A,故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=a,所以椭圆E的离心率e=.11.B 解析:将x=-c代入双曲线方程得A.由△ABE是直角三角形,得=a+c,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得c2-ac-2a2=0.e2-e-2=0,解得e=2(e=-1舍去).12.A 解析:可解方程t2cos +tsin =0,得两根0,-.不妨设a=0,b=-,则A(0,0),B,可求得直线方程y=-x,因为双曲线渐近线方程为y=x,故过A,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A.13. 解析:由题知圆心C(,0),双曲线的渐近线方程为xay=0,圆心C到渐近线的距离d=,即圆C的半径长为.由直线l被圆C截得的弦长为2及圆C的半径长为,可知圆心C到直线l的距离为1,即=1,解得a=.14.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.解得交点D的坐标为注意到x1x2=-8及=4y1,则有y==-2.因此D点在定直线y=-2上(x0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1,N2.则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,即|MN2|2-|MN1|2为定值8.15.解:(1)设F(c,0),由条件知,,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当=16(4k2-3)0,即k2时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d|PQ|=.设=t,则t0,S△OPQ=.因为t+4,当且仅当t=2,即k=时等号成立,且满足0.其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
第六章 直线与圆锥曲线单元测试卷
第六章 直线与圆锥曲线单元测试卷班级________ 学号________ 姓名____________ 得分________ 一、 选择题：(4*10=40)１、 6-=a 是直线()031:1=--+y a ax l 和直线()()02321:2=-++-y a x a l 垂直的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 既非充分也非必要条件２、已知直线012:=+-y x l 与过点()()3,5,1,2B A -的直线交于P 点，则P 分有向线段的比为 （ ）A3±B 3C 3-D 3-3、︒，则4O 6、2A 7、8条数为 ( )A 1B 2C 3D 49、双曲线Ｃ的一个顶点到相应的准线的距离与这个顶点到另一个焦点的距离之比为m ，则m 的取值范围是（ ）A ()1,0B ()223,0- C ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D ⎪⎭⎫⎝⎛-223,21（ ）A32 B 22C 21D 3211、已知向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin )ααββ==a b ，a 与b 的夹角为60 ，则直线 021sin cos =+-ααy x 与圆21)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置是（ ） A 相切 B 相交 C 相离 D 随βα,的值而定121314的1516是 171819、如果探照灯的轴截面是抛物线x y =2（如图），表示平行于对称轴0=y 的光线经抛物线上的点Q P ,的反射情况，设点P 的纵坐标为a ，当a 取何值时，从入射点P 到反射点Q 的光线路程PQ 最短？202122（1（2解几单元试卷参考答案一、选择题：1、A2、C3、B4、D5、B6、A7、C8、C9、B 10、D 11、C 12、B 二、填空题：13、4,+-=±=x y x y 14、椭圆15、6π16、31+17 18x 19得20c c y y F F S ABF 222121212∙=-=∆2122++m m＝222222212211122c c m m c =∙≤+++当且仅当0=m 时，即x AB ⊥轴时取等号 1,222==∴c c所以，所求椭圆方程为1222=+y x 21、解：已知焦点)0,2(F ，准线2-=x ，设椭圆半焦距为c ，半短轴长为b ， 椭圆中心)2,22(),,2(),0,2(b c M b c B c ±+∴±++，又,42=-c ca 即cb 42= []52)3(241)22(4)22(22222-+--=+--=+--=m m c c c m b c m AM22（1。
圆锥曲线单元测试题
圆 锥 曲 线 单 元 测 试 题四川省邻水中学(国家级示范高中) 特级教师 杨才荣 638500一、选择题 (每小题3分，共36分) .1、双曲线x a 22-y b22=1的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率是 ( ) (A)2 (B)2 (C)22 (D)32、方程mx 2＋ny 2＋mn=0 (m<n<0) 所表示的曲线的焦点坐标是 ( ) (A) (0，±-m n ) (B) (0，±-n m) (C) (±-m n ，0) (D) (±-n m，0) 3、椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)(12222+∈=-R n m ny m x 、有公共焦点，P 是椭圆与双曲线的交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为 ( )(A) a 2＋m 2 (B) b 2－n 2 (C) a 2－m 2 或b 2＋n 2 (D) a 2＋m 2 或b 2－n 24、设x 2－y 2=4，则xy x -21的取值范围是 ( ) (A)（－∞，0）∪（0，＋∞） (B)（－1，1）(C)（－8，45） (D)（－∞，－2）∪[2，＋∞] 5、设双曲线的左、右焦点是F 1、F 2，左、右顶点为M 、N ，若△PF 1F 2的顶点P 在双曲线上,则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点位置 ( )(A)不能确定 (B)在线段MN 的内部(C)在线段F 1M 内部或在线段NF 2内部 (D)是点M 或点N6、方程11662222=--+-+k k y k k x 表示双曲线的必要但非充分条件是 ( )(A)21＜k ＜2 (B)－3＜k ＜－31 (C) 21＜k ＜2 或－3＜k ＜－31 (D)－3＜k ＜2 7、直线x －y －1=0与实轴在y 轴上的双曲线x 2－y 2=m 的交点在以原点为中心，边长为2且边平行于坐标轴的正方形内部，那么m 的取值范围是 ( )(A) 0＜m ＜1 (B) m ＞－1 (C) m ＜0 (D) －1＜m ＜08、过点P(－3，－4)的直线与双曲线116922=-y x 有一个公共点，则直线l 的方程为 ( ) (A) 4x －3y=0 (B) 4x ＋3y ＋24=0(C) x ＋3=0 (D) x ＋3=0或4x ＋3y ＋24=09、双曲线1251622=-y x 的两条渐近线所夹的锐角是 ( ) (A) 45arctg (B) 45arctg -π (C) 245arctg (D) 452arctg -π 10、过点A(1,1)作双曲线1222=-y x 的弦MN ，使A 为MN 的中点，则直线MN 的方程是 ( ) (A) 2x －y －1=0 (B )x －2y ＋1=0(C) 2x ＋y －3=0 (D) 不存在11、焦点在x 轴上，实轴长为8，一条渐近线方程是3x －2y=0的双曲线的标准方程是 ( ) (A) 191622=-y x (B) 11441622=-y x (C) 1361622=-y x (D) 1163622=-y x 12、以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的顶点为焦点、焦点为顶点的双曲线方程为 ( ) (A) 12222=-by a x (B) 122222=--b y b a x(C) 122222=--b a y a x (D) 12222=-ay b x 二、填空题(每小题4分，共24分).13、双曲线离心率为2，则渐近线夹角为________。
圆锥曲线与方程测试题(带答案)
圆锥曲线与方程测试题(带答案) 圆锥曲线与方程单元测试本次测试时长为90分钟，总分为120分。
一、选择题（每小题5分，共60分）1.椭圆 $x+my=1$ 的焦点在 $y$ 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 $m$ 的值为（）。
A。
2.B。
1/2.C。
4.D。
-1/22.过抛物线 $y=4x$ 的焦点作直线 $l$ 交抛物线于 $A$、$B$ 两点，若线段 $AB$ 中点的横坐标为 $3$，则 $|AB|$ 等于（）。
A。
10.B。
8.C。
6.D。
43.若直线 $y=kx+2$ 与双曲线 $x-y=6$ 的右支交于不同的两点，则 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$(-15/3,-5/3)$。
B。
$(5/3,15/3)$。
C。
$(-\infty,-1)$。
D。
$(-1,\infty)$4.（理）已知抛物线 $y=4x$ 上两个动点 $B$、$C$ 和点$A(1,2)$，且 $\angle BAC=90^\circ$，则动直线 $BC$ 必过定点（）。
A。
$(2,5)$。
B。
$(-2,5)$。
C。
$(5,-2)$。
D。
$(5,2)$5.过抛物线 $y=2px(p>0)$ 的焦点作直线交抛物线于$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$ 两点，若 $x_1+x_2=3p$，则$|PQ|$ 等于（）。
A。
$4p$。
B。
$5p$。
C。
$6p$。
D。
$8p$6.已知两点 $M(1,5)$，$N(-4,-4)$，给出下列曲线方程：①$4x+2y-1=0$；②$x+y=3$；③$2x^2+y^2=1$；④$-y^2=1$。
在曲线上存在点 $P$ 满足 $|MP|=|NP|$ 的所有曲线方程是（）。
A。
①③。
B。
②④。
C。
①②③。
D。
②③④7.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两个焦点为 $F_1$、$F_2$，点 $A$ 在双曲线第一象限的图象上，若 $\triangle AF_1F_2$ 的面积为 $1$，且 $\tan\angleAF_1F_2=1$，$\tan\angle AF_2F_1=-2$，则双曲线方程为（）。
直线与圆锥曲线综合最有效训练题
直线与圆锥曲线综合最有效训练题（限时45分钟）1. 已知椭圆22142x y +=的左右焦点分别为F 1, F 2,过F 2且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于点A ，B ，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③83AB =，正确结论的个数为（ ）. A . 3 B . 2 C . 1 D . 02. 斜率为2的直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）.A .B .C .D . )+∞3.抛物线24y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为（ ）.A . 2B . 4C . 6D . 84.过点P (0,2)的直线l 与抛物线24y x =交于点A ,B ，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为（ ）.A . 2220y y x --=(y ＜0或y ＞4)B . 2220y y x --=C . 2240y y x --=D . 2240y y x --=(y ＜0)5.椭圆221369x y +=的一条弦被A (4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）.A . 20x y -=B . 2100x y +-=C . 220x y --=D . 280x y +-=6.已知A ,B ,P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A , B 连线经过坐标原点，若直线P A , PB 的斜率乘积23PA PB k k ⋅=,则该双曲线的离心率为（ ）.A .2 B . 2 C D . 37.椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A ,B 两点，过原点与线段AB 中点的直线，则a b的值为________. 8.已知抛物线24y x =，过点P (4,0)的直线与抛物线交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则2212y y +的最小值是________.9.抛物线2:2(0)C y px p =>与直线:l y x m =+相交于A ,B 两点，线段AB 中点的横坐标为5，又抛物线C 的焦点到直线l，则m ＝________.10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为A (2,0)，离心率为2，直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ,N .（1）求椭圆C 的方程；（2）当△AMNk 的值.11. 椭圆T 的中心为坐标原点O ，右焦点为F (2,0)，椭圆T 过点E)， △ABC 的三个顶点都在椭圆T 上，设三条边的中点分别为M ,N ,P .（1）求椭圆T 的方程；（2）设△ABC 的三条边所在的直线的斜率分别为123,,k k k ，且0,1,2,3i k i ≠=.若直线OM , ON , OP 的斜率之和为0，求证：123111k k k ++为定值.12.已知一动圆与圆221:(1)1O x y -+=外切，与圆222:(1)9O x y ++=内切. （1）求动圆圆心M 的轨迹L 的方程；（2）设过圆心O 1的直线l 与轨迹L 相交于A ,B 两点，请问△ABO 2的内切圆N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由.。
直线与圆锥曲线含答案
【例1】 已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1F ，2F 分别为椭圆C的左、右焦点．⑴当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；⑵设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为G ，H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，浙江高考【解析】⑴因为直线2:02m l x my --=经过)20F22m ，得22m =又因为 1.m >所以m =故直线l的方程为10.x -= ⑵设11()A x y ，，22()B x y ，由2222,21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得222104m y my +++=则由22281804m m m ⎛⎫=--=-+> ⎪⎝⎭△，知28m < 且有122my y +=-，212182m y y =-．由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，故O 为12F F 的中点， 由2AG GO = ，2BH HO = ，可知1133x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，，2233y x H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221212()()||.99x x y y GH --=+设M 是GH 的中点，则121266x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，直线与圆锥曲线.测试题由题意可知，2||||MO GH <即222212121212()()46699x x y y x x y y ⎡⎤++--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12120.x x y y +<而221212121222m m x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221(1)82m m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 所以210.82m -<即2 4.m <又因为1m >且0>△．所以1 2.m << 所以m 的取值范围是(12)，．【答案】⑴10x -=；⑵(12)，．【例2】 已知椭圆C 的焦点是(10,F -，(20,F ，点P 在椭圆上且满足124PF PF +=．⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ． ⅰ）求使PAB ∆的面积为12的点P 的个数； ⅱ）设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB λμλμ=+∈R，求22λμ+的值．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，宣武一模【解析】⑴ ∵12124PF PF F F +=>∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆∵24,a c =∴2221b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．⑵ i ）∵ 直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B∴()()1,0,0,2A B --，AB =若1122PAB S AB d ∆==∴d =∵原点O 到直线:220l x y ++==>∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点设直线:20l x y n '++=与椭圆相切，则 222014x y n y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩有且只有一个交点． ∴228440x nx n ++-=有且只有一个解 由0∆=解得n =此时，l '与l< ∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点 ∴符合条件的点P 有2个．ii ）设(),M x y ，则,x y 满足方程：2214y x +=∵ (,)OM OA OB λμλμ=+∈R∴()()()(),1,00,2,2x y λμλμ=-+-=--即：2x y λμ=-⎧⎨=-⎩，从而有2xy λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴222214y x λμ+=+=．【答案】⑴2214y x +=；⑵ i ）符合条件的点P 有2个；ii ）222214y x λμ+=+=．【例3】 已知椭圆22:14y C x +=，过点()03M ，的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点），求当AB 数λ的取值范围．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，西城一模【解析】⑴设()11A x y ，，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以132y =， 又因为点()11A x y ，在椭圆C 上， 所以221114y x +=，即219116x +=，解得1x = 则点A的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，或32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以直线l的方程为7210y -+=或7210y +-=．⑵设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，()11A x y ，，()22B x y ，，()33P x y ，， 当AB 的方程为0x =时，4AB = 当AB 的方程为3y kx =+时：由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得()224650k x kx +++=， 所以()()2262040k k ∆=-+>，即25k >， 则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，()()1212224334y y kx kx k+=+++=+， 因为AB =216813k -<<， 所以258k <<．因为OA OB OP λ+=，即()()()112233x y x y x y λ+=，，，，所以当0λ=时，由0OA OB += ，得122604k x x k -+==+，1222404y y k +==+， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当0λ≠时，()123264x x k x k λλ+-==+，()1232244y y y k λλ+==+， 因为点()33P x y ，在椭圆上，所以()()222261241444k k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 化简得22364k λ=+，因为258k <<，所以234λ<<，则()22λ∈-．综上，实数λ的取值范围为()22-．【答案】⑴直线l 的方程为7210y -+=或7210y +-=．⑵实数λ的取值范围为()22-．【例4】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模 【解析】⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+ ，()222,AQ x y =+． 由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+． 显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【答案】⑴2214x y +=．⑵k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【例5】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线:l y kx =+C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵是否存在常数k ，0OP OQ ⋅= ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆【难度】3星 【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模 【解析】⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为2214xy +=． ⑵将y kx =C 的方程，整理得22(14)40k x +++= ① 设()11,P x y ，()22,Q x y 由方程①，得12x x +=122414x x k =+ ②又(()2121212122y y kx kx k x x x x ⋅=+=++ ③若0OP OQ ⋅=，得12120x x y y +=将②、③代入上式，解得k =． 又因k 的取值应满足0∆>，即2410k ->（*），将k =代入（*）式知符合题意．【答案】⑴2214x y +=；⑵k =．【例6】 已知抛物线22(0)y p x p =>，过定点(0)M p ，作一弦PQ ，则2211MP MQ+= _______． 【考点】直线与抛物线 【难度】4星【题型】填空 【关键字】无【解析】设11()P x y ，，22()Q x y ，， 直线PQ 的斜率不存在时，方程为x p =，解得MP MQ =，从而222221111122p p p MP MQ+=+= ．直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为()y k x p =-，代入22y px =中，消去x 得： 222222(1)0k x p k x k p -++=，22222211221111()()x p y x p y MP MQ +=+-+-+22221211x p x p =+++222122222122()()x x p x p x p ++=++（*）又21222(1)p k x x k ++=，212x x p =，故2222221212122484()22p p x x x x x x p k k+=+-=++， 代入（*）式得：2222422222422248*********p p p k k p p p MP MQ p p p k k +++==⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ． 综上知，222111p MP MQ+= ． 【答案】21p ；【例7】 已知抛物线24C y x =∶的焦点为F ，过点(10)K -，的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．⑴证明：点F 在直线BD 上；⑵设89FA FB ⋅= ，求BDK △的内切圆M 的方程 ．【考点】直线与抛物线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，全国高考【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠⑴将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+= 从而124y y m +=，121y y =直线BD 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=⋅-- 即2222144y y y x y y ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y y x ==所以点(1F ，0)在直线BD 上．⑵由①知：21212(1)(1)42x x my my m +=--=-，1212(1)(1)1x x my my =--=因为11(1)FA x y =-，，22(1)FB x y =- ，， 212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=-+=-+++=-故28849m -=，解得43m =±所以l 的方程为：3430x y ++=，3430x y -+=又由①知：21y y += 故直线BD的斜率：214y y =- 因而直线BD的方程为：330x -=，330x -=因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(0)M t ，(11)t -<<，(0)M t ，到t 及BD 的距离分别为315t +，314t +．由313|1|54t t ++=，解得19t =，或9t =（舍去）， 故圆M 的半径3|1|253t r +== 所以圆M 的方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠⑴将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+= 从而124y y m +=，121y y =直线BD 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=⋅-- 即2222144y y y x y y ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y y x == 所以点(1F ，0)在直线BD 上．⑵圆M 的方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【例8】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的，A B 两点． ⑴如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；⑵如果4OA OB ⋅=-证明直线l 必过一定点，并求出该定点．【考点】直线与抛物线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】无【解析】⑴由题意：抛物线焦点为(10)，设:1l x ty =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty --=， 设11()，A x y ，22()，B x y 则124y y t +=，124y y =-，212122212121212(1)(1)()1OA OB x x y y ty ty y y t y y t y y y y ⋅=+=+++=++++2244143t t =-++-=-⑵设:l x ty b =+代入抛物线24y x =消去x ，得2440y ty b --=，设11()，A x y ，22()，B x y ，则124y y t +=，124y y b =-． 2212121212121212()()()OA OB x x y y ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+=+++=++++∵22224444bt bt b b b b =-++-=-．令244b b -=-，2440b b -+=∴，2b =∴，∴直线l 过定点(20)，． 【答案】⑴3OA OB ⋅=-⑵直线l 过定点(20)，．。
专题9.6 直线与圆锥曲线(练)(解析版)
专题9.6 直线与圆锥曲线1．（四川省成都市龙泉驿区第一中学校2019届高三上入学）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ）A ．B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】C 【解析】由题意，是抛物线的焦点，所以，准线方程为， 设，所以，解得，所以线段的中点的横坐标为，所以线段的中点到该抛物线的准线的距离为，故选C ．2.（2019·湖南高三月考（理））抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，点Q 在抛物线上，且90MQF ∠=，则以MQ 为直径的圆的面积等于（ ）A.51π- B.51π+ C.()252π-D.()252π+【答案】A 【解析】 如图：设点Q (),x y ，由题可知，点()()1,0,1,0F M -，90MQF ∠=,O 为MF 中点，112OQ MF ∴==，即221x y +=，又24y x =，2221524x y x y x⎧+=⇒=-⎨=⎩ ()()2222211461252MQ x y x x x x =++=++=++=-以MQ 为直径的圆的面积等于25142S MQ ππ-==答案选A3.（2019·天津高考真题（理））已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为 A.B.C.2D.【答案】D 【解析】 抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有∴，，，∴.故选D.4.(浙江省金华十校2019届高考模拟)已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（ ）A ．24-B ．14-C ．3-D ．3-【答案】C 【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ．(0,)M m ．33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+. ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴BMA ∆与CMO ∆的高之比为3， 又BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则2BM MC =.即2BM MC =，1220x x ⇒+=…① 联立2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x mkx m +++-=. 122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+…②，由①②整理可得：22223614m k m k =-+…③ ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴()3122814kmx x x k =-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k=-+=-++=-+. ∵223344x y +=，∴22222282()4()41441414km m k m k k -+=⇒+=++…④． 由③④可得2112k =，∵k 0<．∴36k =-. 故选：C ．5.（2019·四川石室中学高三月考（理））已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1l：0x my -=与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若||3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=________.【答案】67【解析】因为F 到准线l 的距离为2，所以2p =，抛物线C ：24y x =，(1,0)F .设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为||3QF =，即22+1=3=2x x ⇒所以2y =-代入直线1l：0m =⇒=所以直线1l为：0x y --=由22004x y y y y x ⎧--=⎪⇒---=⎨⎪=⎩所以12y y =-，所以12y y -==152x = ，所以2167121==5112QRFPRFS QR QF x S PRPFx ∆∆++===++故填：676.（2019·安徽高三开学考试（理））已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且2AF FB λ=（λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为________.（结果用含λ式子表示）. 【答案】1λλ+【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线C 的焦点为()0,1F ，设直线AB 的方程为1y kx =+， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 由韦达定理得124x x k +=，124x x =-.()11,1AF x y =--，()22,1FB x y =-，2AF FB λ=，212x x λ∴-=，2121x x λ∴=-，2121214x x x λ∴=-=-，得2214x λ=.抛物线C 的函数解析式为24x y =，求导得2x y '=，则抛物线C 在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-，联立211124y x x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得11221x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所点112,12x M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因此，1MF λλ====+， 故答案为：1λλ+.7．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学月考（文））已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c ，椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB【答案】（1）221123x y +=；（2）10. 【解析】（1）经过两点()(),0,0,c b 的直线为：1x yc b+=即0bx cy bc +-=.由已知：原点到直线的距离12bc d c a ===即12b a =因为2a=，所以b =所以椭圆的标准方程为：221123x y +=（2）当直线l 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不合题意.所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线()12y k x +=-即为：21y kx k =--设()()1122,,,A x y B x y联立22214120y kx k x y =--⎧⎨+-=⎩得：()()22214821161680k x k k x k k +++++-= ()()22214821161680k xk k x k k +-+++-=显然>0∆ 则()122821414k k x x k++==+，解得12k = 则212216168214k k x x k+-⋅==+所以12AB x =-==8.（2019·天津高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程. 【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【解析】（I ）解：设椭圆的半焦距为c 2b =，又由222a b c =+，消去b 得222)a c=+，解得12c a =， 所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-， 因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =，因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l2=，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.9. （2020·广西钦州·高二期末（文））已知抛物线()220y px p =>的顶点为O ，焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线方程；（2）过点()1,0且斜率为1的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，求线段PQ 的值． 【答案】（1）22y x =．（2）【解析】（1）∵22y px =焦点坐标为,02P ⎛⎫⎪⎝⎭∴122p =，1p =， ∴抛物线的方程为22y x =．（2）设直线l 方程为1x y =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立212x y y x=+⎧⎨=⎩ 消元得2220y y --=，∴120∆=>，122y y +=，122y y =-， ∴21211PQ y y =+-()221212114y y y y =+⋅+-()()221124226=+⋅-⋅-=．∴线段PQ 的值为26．10.（2019·浙江诸暨中学高二月考）如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点.过A 的直线l 交抛物线()220x py p =>于B ，C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线m 交椭圆于M ，N 两点.求p 的值，使得BMN ∆的面积最大. 【答案】（1）证明见解析；（2）914. 【解析】（1）易知()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22,24t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：222224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：24t p =，∴42142C p p y p -==为定值. （2）∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=，∵直线l的斜率()11322kt t--==，直线m斜率3kt'=-，∴直线m的方程：1322t y xt⎛⎫-=--⎪⎝⎭，即32y xt=-+，不妨记3mt=-，则l'：2y mx=+，代入椭圆方程整理得：()2221860m x mx+++=，设()11,M x y，()22,N x y，则122821mx xm+=-+，122621x xm=+，22212223122121mMN m x x mm-=+-=++，A∴到MN的距离21dm=+，所以12AMNS MN d∆=⋅⋅22233221mm-=+2232323244242323mm=≤=-+-.取等号时，222323mm-=-，得272m=，所以229187tm==，29414tp==.1．（2020·山西运城·高三月考（理））已知抛物线21:4C y x=的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C 上，且2AF=，点P是抛物线C的准线上的一动点，则PA PO+的最小值为（）.A13B．13C．313D．6【答案】A【解析】抛物线的准线方程为1y=-，||2AF=，A∴到准线的距离为2，故A点纵坐标为1，把1y=代入抛物线方程可得2x=±．不妨设A在第一象限，则(2,1)A，点O 关于准线1y =-的对称点为(0,2)M -，连接AM ， 则||||PO PM =，于是||||||||||PA PO PA PM AM +=+故||||PA PO +的最小值为22||2313AM =+=． 故选：A ．2．（2019·新疆乌鲁木齐·乌市一中月考）已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ） A 5B 10C 25D 210【答案】A 【解析】椭圆C 以A ，B 为焦点，即1c =，221b a =-，故可设椭圆方程为222211x y a a +=-(a >1)，联立方程2222113x y a a y x ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知∆=36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，即42650a a -+≥ 得25a ≥或21a ≤（舍去），解得a 5所以155c e a a ==≤， 所以e 5. 故选：A.3.（2019·山西高三月考（理））已知双曲线C ：()22210x y a a-=>与l ：1x y +=相交于两个不同的点A 、B ，l 与y 轴交于点P ，若512PA PB =，则a =______. 【答案】1713【解析】由于双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，故方程：22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，有两组不同的实数解，消去y 并整理可得：2222(1)220a x a x a -+-= 所以实数a 应满足：24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎨+->⎩ ，解得：02a <<且1a ≠ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由根与系数关系可得：212221222121a x x a a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩① 根据题意可知(0,1)P ，由512PA PB =，可得11225(,1)(,1)12x y x y -=-，从而得到12512x x = ② 由①②解得：1713a =±，又 02a <<且1a ≠，所以1713a =故答案为17134.（2019·浙江高三学业考试）如图，(1,0)M ，P ，Q 是椭圆2214x y +=上的两点（点Q 在第一象限），且直线PM ，QM 的斜率互为相反数．若2PM QM =，则直线QM 的斜率为__________．15【解析】延长PM ，交椭圆于点N ，由椭圆的对称性和直线PM ，QM 的斜率互为相反数可知：||||QM MN =，如下图所示：设直线PM 的斜率为k ，所以直线PM 的方程为：(1)(0)y k x k =-<，与椭圆方程联立得：22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得，2212430yy k k ⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 设()()1122,,,P x y N x y ，根据根与系数关系可得：122214ky y k -+=+，12||2,2||PM y y QM =∴=-，1222214ky y y k -∴+=-=+，所以222222,11414k y x k k =∴=+++，把22221,1414k N kk ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭代入椭圆方程中得，2222221441414k k k ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得25515,1212k k =∴== 所以直线QM 的斜率为156k -=. 5．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知直线l ：()1y k x =-与抛物线C ：()220y px p =>在第一象限的交点为A ，l 过C 的焦点F ，3AF =，则抛物线的准线方程为_______；k =_______. 【答案】1x =- 2 【解析】易知直线l 与x 轴的交点为(1,0)，即抛物线的焦点为(1,0)F ，∴准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，则11132pAF x x =+=+=，12x =，作AC x ⊥轴于点C ，如图， 则(2,0)C ，1FC =，∴223122AC =-=， ∴直线l 的斜率为22tan 221k AFC =∠==． 故答案为：1x =-；22．6．（2020·江苏如皋·高二月考）已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________. 【答案】2 92【解析】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()()22221212129114412AB m y y m y y y y m =+-=++-=+=. 故答案为：2；92. 7.（2019·浙江高三月考）如图，过抛物线2:C y x =上的一点()1,1A 作抛物线的切线，分别交x 轴于点D 交y 轴于点B ，点Q 在抛物线上，点E ，F 分别在线段AQ ，BQ 上，且满足AE λEQ =，BF μFQ =，线段QD 与EF 交于点P.（1）当点P 在抛物线C 上，且12λμ==时，求直线EF 的方程； （2）当1λμ+=时，求:PAB QAB S S △△的值.【答案】（1）432y x +=-或432y x -=-.（2）1:3. 【解析】（1）过抛物线上点A 的切线斜率为122x y x ='==，切线AB 的方程为21y x =-， 则B ，D 的坐标分别为(0,1)-，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 是线段AB 的中点.设(,)P x y ，()200,Q x x ，()11,E x y ，()22,F x y ，显然P 是ABQ △的重心.由重心坐标公式得2001,33x x P ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2200133x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则013x +=，故3323,66P ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或3323,66P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭因为EF AB ∥，所以2EF k =，所以直线EF 的方程为4326y x +=-或4326y x -=-. （2）由解（1）知，AB 的方程为21y x =-，(0,1)B -，1,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，D 是线段AB 的中点 令||||QD m QP =，1||1||QA t QE λ==+，2||1||QB t QF μ==+， 因为QD 为ABC △的中线，所以22OAB OAD GBD S S S ==△△△而12||||1||||QEF QABSQE QF S QA QB t t =⋅=△△， 1212111322222QEFQEP QFPQEP QFP QABQADQADQBDS S S S S S S S S t m t m t t m+⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭△△△△△△△△△ 所以1212132t t t t m =，即32m =，所以P 是QAB 的重心，:1:3PAB QAB S S =△△.8．（2019·全国高三月考（理））如图，己知抛物线24x y =，直线1y kx =+交抛物线于,A B 两点，P 是抛物线外一点，连接,PA PB 分别交地物线于点,C D ，且CDAB .（1）若1k =，求点P 的轨迹方程.（2）若2PC CA =，且PA 平行x 轴，求PAB ∆面积. 【答案】（1）2(11)x y =-<<（2）11121【解析】 （1）解法1：CD AB ，设()()()112200,,,,,,PD DB A x y B x y P x y λ=，则()()0011,,,C C C C PC x x y y CA x x y y =--=--，由PC CA λ=可得()01C C x x x x λ-=-，故011C x x x λλ+=+，同理20141C y x y λλ+=+，故201014,11y x x x C λλλλ⎛⎫+ ⎪+ ⎪++ ⎪⎝⎭，代入抛物线得：2201014411y x x x λλλλ++⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭， 化简得：221010024(1)0x x x y x λλλ-++-=， 同理得：222020024(1)0x x x y x λλλ-++-=，所以12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根，又由12221241440,44x x k y kx x kx x x x y ⎧+==+⎧⎪⇒--=∴⎨⎨⋅=-=⎪⎩⎩，将1k =代入1200244,2x x x k x +===∴=且200124(1)4y x x x λλ+-==-①，将02x =代入①，得044121(0)4(1)11y λλλλλλ--===-+>+++，故0(1,1)y ∈-.故点P 的轨迹方程为2(11)x y =-<<. 解法2：同解法1知124x x +=1,44D c D CCD AB C D D C y y x x k k x x x x -+====∴+=-，设线段,AB CD 的中点分别为,M N ，易知,,M N P 三点共线， MN MP μ∴=（μ为实数），所以02N M x x x ===. 以下同解法1.（2）由12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根， 可得：120024,2x x x k x k +==∴=.由（1）得200124(1)4y x x x λλ+-==-，因为2PC CA =，所以2λ=，故20233k y =-.AC x 轴且,A C 在抛物线上，∴,A C 关于y 轴对称. 0112213C x x k x x λλ++==+，11223k x x +∴=-及125kx =-，222,533k k C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭且2225k x =.∵C 在抛物线上,22224533k k ⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22511k =. 设AB 的中点为M ，则()2221212212211212424M x x x x x x y k +-⎛⎫+=⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭， 所以()22001022=13M y y y y k -=-+，而21020111210(1)2253121PAB k S x x y y k ∆=-⋅-=⋅⨯+=. 9．（2019·全国高三月考）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)D 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．（1）若ABF ∆的面积为3，求直线l 的方程；（2）试判断以线段AB 为直径的圆与点F 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）240x y --=或240x y +-=；（2）点F 在以线段AB 为直径的圆内． 【解析】（1）由题意知焦点F 的坐标为(1,0)．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为2x my =+．联立方程24,2,y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ，整理得2480y my --=，可得124y y m +=，128y y =-，则2112ABF ADF BDF S S S DF y y ∆∆∆=+=⨯⨯-===由ABF ∆的面积为3，可得3=，解得12m =±，故直线l 的方程为240x y --=或240x y +-=．（2）由（1）知221212416y y x x ==，21212()444x x m y y m -=++=+．又由11(1,)FA x y =-，22(1,)FB x y =-，可得1212122212(1)(1)()1FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-++-,224(44)81470m m =-+-+=--<．故AFB ∠为钝角，点F 在以线段AB 为直径的圆内．10.（2019·浙江温州中学高三月考）已知点()00,A x y 在抛物线24y x =上，,P Q 是直线2y x =+上的两个不同的点，且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求0y 的取值范围；（Ⅱ）若APQ 的面积等于20y 的值. 【答案】（Ⅰ）04y >或00y <；（Ⅱ）0222y =±. 【解析】（Ⅰ）设(,2)P a a +，(,2)Q b b +，20(,)4y A y ， 则AP 的中点20042(,)82y a y a M +++，代入24y x =得：22000(42)440a y a y y ---++= 同理可得：22000(42)440b y b y y ---++=所以，,a b 是方程22000(42)440x y x y y ---++=的两个根22000(42)4(44)y y y ∴∆=---++2008320y y =->解得：04y >或00y <（Ⅱ）点A 到PQ 的距离200|2|42y y d -+=2042=由韦达定理可知：042a b y +=-，20044ab y y =-++则||2||PQ a b =-=22002()444a b ab y y +-=-1||2APQS PQ d ∆∴==2200004814462242y y y y -+⋅-⋅= 令2004y y t -=，则有：38240t t +-=，即：2(2)(212)0t t t -++=，解得2t =，即200440y y --=，解得：0222y =±1.（2020·全国高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2 【解析】联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．2.（2019·浙江高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______. 【答案】15【解析】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得3152P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==3.（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x yC mm+=<<15，A，B分别为C的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 （1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率22154115c b m e a a ⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：22231111055125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：1555522⨯⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+===+ 根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=，综上所述，APQ 面积为：52. 4．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.5．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.6．（2019·全国高考真题（理））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【答案】(1)见详解；(2) 3或【解析】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =. 又因为212y x =，所以'y x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立.所以直线AB 恒过定点1(0,)2. （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±. 当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或.。
人教A版(文科数学) 直线与圆锥曲线的位置关系 单元测试(含答案)
解答题1．(2018·永州二模)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 经过点P(0，－1)，且与椭圆交于A ，B 两点，若AP →＝2PB →，求直线l 的方程．解：(1)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，∵2c ＝4，e ＝c a ＝22，∴a ＝22，∴b2＝a2－c2＝4， ∴椭圆C 的方程为x28＋y24＝1． (2)由题意可知直线l 的斜率存在，设l 的方程为：y ＝kx －1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x28＋y24＝1得(2k2＋1)x2－4kx －6＝0，且A ＞0，则x1＋x2＝4k 2k2＋1，x1·x2＝－62k2＋1，∵AP →＝2PB→，即(－x1，－1－y1)＝2(x2，y2＋1)， ∴x1＝－2x2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x2＝4k 2k2＋1，－2x22＝－62k2＋1消去x2并解关于k 的方程得：k ＝±3010，∴l 的方程为：y ＝±3010x －1．2．(2018·江淮联考)已知抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ． (1)若斜率为－1的直线l 过点F 与抛物线C 交于A 、B 两点， 求|AF|＋|BF|的值；(2)过点M(m,0)(m ＞0)作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且FA →·FB →＜0，求m 的取值范围．解：(1)依题意，F(1,0)；设A(xA ，yA)，B(xB ，yB)，则直线l ：y ＝－x ＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x ，y ＝－x ＋1则(－x ＋1)2＝4x ，则x2－6x ＋1＝0，则xA ＋xB ＝6；由抛物线定义可知，|AF|＋|BF|＝xA ＋xB ＋2＝8．(2)直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，l 与曲线C 的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＝14y21，x2＝14y22．将l 的方程代入抛物线的方程，化简得y2－4ty －4m ＝0， 判别式Δ＝16(t2＋m)＞0，y1＋y2＝4t ，y1y2＝－4m ． ∵FA →＝(x1－1，y1)，FB →＝(x2－1，y2)， ∴FA →·FB →＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2 ＝116(y1y2)2＋y1y2－14(y21＋y22)＋1 ＝116(y1y2)2＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1． 又∵FA →·FB →＜0，∴m2－6m ＋1－4t2＜0恒成立，∴m2－6m＋1＜4t2恒成立．∵4t2＞0，∴m2－6m＋1＜0只需即可，解得3－22＜m＜3＋22．∴所求m的取值范围为(3－22，3＋22)．3.(12分)(2018·全国卷I高考理科·T19)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为.(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程.(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.【解析】(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.代入+y2=1可得,点A的坐标为或.所以直线AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时,OM为线段AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),,x2<,直线MA,MB的斜率之和为k MA+k MB=+.则x由y1=kx1-k,y2=kx2-k得k MA+k MB=.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.所以,x1+x2=,x1x2=.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0.从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.2.(12分)(2018·全国卷I高考文科·T20)设抛物线C:y2=2x,点A,B,过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程.(2)证明:∠ABM=∠ABN.【解析】(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k+k BN=+=.①BM将x+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)===0.所以k BM+k BN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.3.(2018·全国卷II高考理科·T19)(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【命题意图】本题考查抛物线、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.4.(2018·全国卷II高考文科·T20)(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【命题意图】本题考查抛物线、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.5.(2018·全国Ⅲ高考理科·T20)(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.线段AB的中点为M.(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质,考查推理论证能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:难.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.①由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=.于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||,即||,||,||成等差数列.设该数列的公差为d,则2|d|=|||-|||=|x1-x2|=.②将m=代入①得k=-1.所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.所以该数列的公差为或-.6.(本小题14分)(2018·北京高考理科·T19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围.(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.【命题意图】考查圆锥曲线中的取值范围与定值问题,意在考查知识的运用能力,推理能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】将点P代入C的方程得4=2p,即p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,(1)方法一(代数法):显然l斜率存在,设为k,则l:y=kx+1,由消去y得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*)由已知,方程(*)有两个不同的根,且1不是方程的根(因为PA,PB都与y轴有交点),所以Δ=-16k+16>0且k2+(2k-4)+1≠0,即k<1,且k≠-3,且k≠1,所以k<1,且k≠-3,即直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,1).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA方程为y-2=(x-1),令x=0得y=-+2,即点M为(0,-+2),所以=(0,-+1),又=(0,-1),=λ,所以(0,-+1)=λ(0,-1),所以λ=-1=,=,又点A(x1,y1)在直线l:y=kx+1上,所以===-,同理=-,由(1)中方程(*)及根与系数的关系得,x1+x2=-,x1x2=,所以+=-+-=-=-·=-·==2,即+为定值2.7.(本小题满分14分)(2018·天津高考理科·T19)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A 的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.(Ⅰ)求椭圆的方程.(Ⅱ)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.【解析】(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c,由已知得=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而∠OAB=,故|AQ|=y2.由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=.易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.所以,k的值为或.8.(本小题满分14分)(2018·天津高考文科·T19)设椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M 均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.【解题指南】(Ⅰ)结合离心率,线段AB的长,利用方程思想,即可求出椭圆的方程;(Ⅱ)注意△BPM与△BPQ同底,且△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,再利用解析法即可求解.【解析】(I)设椭圆的焦距为2c,由已知得=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.又|AB|==,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.(II)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,由x或k=-.当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.所以,k的值为-.9.(本小题满分16分)(2018·江苏高考·T18)如图,在平面直角坐标系xOy,0),中,椭圆C过点,焦点FF,0),圆O的直径为F1F2.2((1)求椭圆C及圆O的方程.(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.【解析】(1)因为椭圆C的焦点为F,0),F2(,0),可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).又点在椭圆C上,所以解得因此,椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.y0)(x0>0,y0>0),则+=3,(2)①设直线l与圆O相切于P(x所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+..(*)由消去y,得(4+)x2-24x因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.所以Δ=(-24xy0>0,所以x0=,y0=1.因为x因此,点P的坐标为(,1).②因为三角形OAB的面积为,所以AB·OP=,从而AB=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=·.因为+=3,所以AB2==,即2-45+100=0,解得=(=20舍去),则=,因此P的坐标为.综上,直线l的方程为y=-x+3.10.(2018·浙江高考T21)(本题满分15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C 上.(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴.(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.【解析】(Ⅰ)设P(x0,y0),A,B.因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程=4·即y2-2y 0y+8x0-=0的两个不同的实数根.所以y1+y2=2y0.因此,PM垂直于y轴.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知-3x0,|y1-y2|=2.所以|PM|=(+)-x=|PM|·|y1-y2|=(-4x0.因此,△PAB的面积S所以-4x0=-4-4x0+4∈[4,5].因为+=1(x因此,△PAB面积的取值范围是.关闭Word文档返回原板块。
圆锥曲线单元测试卷
圆锥曲线单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 椭圆的标准方程是：A. \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) (a > b)B. \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \) (a > b)C. \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) (a < b)D. \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \) (a < b)2. 双曲线的离心率 e 的定义是：A. \( e = \frac{c}{a} \)B. \( e = \frac{a}{c} \)C. \( e = \frac{b}{a} \)D. \( e = \frac{c}{b} \)3. 抛物线的焦点到准线的距离是：A. 焦距B. 准线长度C. 顶点到焦点的距离D. 顶点到准线的距离4. 以下哪个方程不是圆锥曲线的方程？A. \( x^2 + y^2 = r^2 \)B. \( \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1 \)C. \( x^2 - y^2 = 1 \)D. \( x^2 + y^3 = 1 \)5. 椭圆的离心率 e 的取值范围是：A. \( 0 < e < 1 \)B. \( -1 < e < 0 \)C. \( e > 1 \)D. \( e = 0 \)6. 抛物线 \( y^2 = 4ax \) 的准线方程是：A. \( x = -a \)B. \( x = a \)C. \( x = 0 \)D. \( y = -a \)7. 双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 的渐近线方程是：A. \( y = \pm a \)B. \( y = \pm \frac{b}{a}x \)C. \( y = \pm \frac{a}{b}x \)D. \( x = \pm \frac{a}{b}y \)8. 椭圆的参数方程可以表示为：A. \( \begin{cases} x = a \sin t \\ y = b \cos t\end{cases} \)B. \( \begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t\end{cases} \)C. \( \begin{cases} x = a \tan t \\ y = b \cot t\end{cases} \)D. \( \begin{cases} x = a \sec t \\ y = b \csc t\end{cases} \)9. 以下哪个点不在椭圆 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \) 上？A. \( (a, 0) \)B. \( (0, b) \)C. \( (-a, 0) \)D. \( (0, -b) \)10. 抛物线 \( x^2 = 4py \) 的焦点坐标是：A. \( (0, p) \)B. \( (0, -p) \)C. \( (p, 0) \)D. \( (-p, 0) \)二、填空题（每空2分，共20分）11. 椭圆的长轴长度是 \( 2a \)，其中 \( a \) 是椭圆的________。
中职数学学业水平考试基础模块下册第6章直线和圆的方程单元测试卷含参考答案
中职数学学业水平考试基础模块下册第6章直线和圆的方程单元测试卷含参考答案一、选择题：（每题3分，共30分）1.直线y=-x+3的倾斜角是（ ）A ．300B ． 450C ．900 D. 13502.过点M(4，-7)且倾斜角是900的直线方程是( )A ．x=4B ． y= -7C ．不存在 D. y=4x3.点M(-3，2)到y 轴的距离是( )A.2B. 3C. 4D. 54．直线x+3y-l=0与直线3x-y+2=0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交且垂直D ．相交但不垂直5．已知直线l 的方程为y=4x-7，直线m ⊥l ，那么直线m 的斜率是( )A. 4B.-4 C ．41D ．-416.直线3x+2y-6=0在y 轴上的截距为( )．A ．-3B ．-2C ．3D ．27．经过点P(3，-2)，倾斜角为45º的直线方程为( )A. x+y+5=0B.x-y-5=0C ．x+y-5=0 D. x-y+5=08.如果直线1l 与直线y=2垂直，那么直线1l 的斜率是( )A ．0B ．2C ．21- D.不存在9.圆16)2()1(22=++-y x 圆心坐标和半径分别是( )A ．(1，-2)，4B ．(1，-2)，16C ．（-1，2），4D ．（-1，2），1610.已知圆m y x =-++22)1()8(的半径是3，那么m=( )；A ．3B ．9 C.3 D ．±911．点P(l ，2)与圆122=+y x 的位置关系是( )．A ．点P 在圆上B ．点P 在圆内 C.点P 在圆外 D ．无法确定12.关于方程062422=+-++y x y x ，下列判断正确的是( )A ．方程不表示圆B ．方程表示圆，圆心是( -2，1)C ．方程表示圆．半径r=lD ．方程表示圆，半径r=2二、填空题13.已知点M(4，-3)，N(2，1)，那么线段MN 的中点坐标是 ；14.直线3x-y+6=0在x 轴上的截距为 ；在y 轴上的截距为 .15.倾斜角为30º的直线的斜率为 ;16.直线y=3与直线y=x+l 的交点坐标是 ；17.过点(2，5)，斜率为-3的直线方程为：18.在y 轴上的截距为2，且斜率为5的直线方程为：19.直线1l 的方程为y=723-x ，若直线21//l l ，则直线2l 的斜率k=20.直线1l 的方程为y=723-x ，若直线21l l ⊥，则直线2l 的斜率k=21.点(O ，-3)到直线2x+3y-4=0的距离是22.两条直线3x+4y-2=0和3x+4y+3=0的位置关系是23.直线x=1与圆13)3(22=+-y x 的相交弦长是 ；24.圆心在点(0，2)且与直线x-2y+9 =0相切的圆的方程为25.与直线y=3x+l 垂直且在x 轴上的截距是5的直线方程是 。
高三数学直线和圆锥曲线单元测试文A试题
新人教A 版数学高三单元测试20【直线和圆锥曲线】本卷一共100分，考试时间是是90分钟一、选择题 (每一小题4分，一共40分)1. 假设直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么K 的取值范围〔 〕 A. )1,315(--B. )315,0(C. )0,315(- D. )315,315(- 2. 设双曲线C ：1222=-y x 的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线l 与双曲线C交于不同的两点P 、Q.假设直线l 与x 轴正半轴的交点为M ，且121=⋅Q A P A ，那么点M 的坐标为A.〔32，0〕 B.〔2，0〕 C.，0〕 D.〔3，0〕3. 设集合}14|),{(22=-=y x y x P ，}012|),{(=+-=y x y x Q ，记Q P A =，那么集合A 中元素的个数有 (A)3个 (B)4个 (C)l 个 (D)2个4. 直线01=+-y mx 交抛物线2x y =于A 、B 两点，那么△AOB 〔 〕A 为直角三角形B 为锐角三角形C 为钝角三角形D 前三种形状都有可能5. 过抛物线()220y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线交抛物线于,A B 两点，假设线段AB 的中点坐标为()3,2，那么p 的值是A ．12B ．1C ．2D ．４6. 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的一点到其左、右焦点的间隔 之差为4，假设抛物线2y ax =上的两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线y x m =+对称，且1212x x =-，那么m 的值是A ． 34B ． 32C ．54D ． 527. 直线l 过抛物线x y =2的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，假设直线l 的倾斜角4πθ≥，那么|FA |的取值范围是〔 〕A ．)23,41[B．13(,44C ．]23,41(D ．]221,41(+8. 2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0=+OB OA 〔O 为坐标原点〕，0212=⋅F F AF ，假设椭圆的离心率等于22, 那么直线AB 的方程是 ( ) ． A ．y B．y = C．y = D．y9. 直线l 交椭圆805422=+y x 于N M ,两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，假设BMN ∆的重心恰好落在椭圆的右焦点上，那么直线l 的方程是〔 〕(A) 02856=--y x (B)02856=-+y x (C) 02865=-+y x 〔D) 02865=--y x10. 假设直线)2(-=x k y 与曲线21x y -=有交点，那么〔 〕 A ．k 有最大值33，最小值33- B ．k 有最大值21，最小值21- C ．k 有最大值0，最小值 33-D ．k 有最大值0，最小值21- 二、填空题 (一共4小题，每一小题4分)11. 过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 12. 过点(4,4)P 且与双曲线221169x y -=只有一个公一共点的直线有 条。
高二数学直线与圆锥曲线同步测试6
高二数学同步测试 直线与圆锥曲线（六）一. 选择题1. 直线y x =33绕原点按逆时针方向旋转30 后所得直线与圆()x y -+=2322的位置关系是（ ） A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交；不过圆心 C. 直线与圆相切D. 直线与圆无公共点2. 直线l 过点P （0；2）；且被圆x y 224+=截得弦长为2；则直线的斜率为（ ）A.±22B. ±2C. ±3D.±333. 如图；定圆半径为a ；圆心为（b ；c ）；则直线ax by c ++=0与直线x y -+=10的交点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限4. 在平面直角坐标系中；O 为坐标原点；A （cos α；0）；B （0；sin α）；若点M （x ；y ）满足OM OA OB →=→-→34；则M 点的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 直线5. 直线l ：x y -+=220过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ；该椭圆的离心率为（ ）A. 15B. 25C. 55D. 255y BF 1 O x l6. 双曲线x y 2241-=的两个焦点；点P 在双曲线上；且∠=F PF 1260；则∆F PF 12的面积是（ ）A. 32B. 154C.3D. 1527. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7；0）；直线y x =-1与其相交于M ；N 两点；MN 中点的横坐标为-23；则此双曲线的方程是（ ）A. x y 22341-=B. x y 22431-= C. x y 22521-=D. x y 22251-=8. 与直线240x y -+=平行的抛物线y x =2的切线方程是（ ）A. 230x y -+=B. 230x y --=C. 210x y -+=D. 210x y --=9. 已知双曲线x a y b 22221-=和椭圆x m y b a m b 2222100+=>>>()，的离心率互为倒数；那么以a 、b 、m 为边的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二. 填空题10. 已知P （520，y ）为椭圆x y 222591+=上的一点；F 1；F 2分别是椭圆的左、右焦点；点Q 在F 1P 上；且||||PQ PF =2；若F Q QP 1→=→λ；则实数λ=_________11. 若动圆M 恒过定点B （－2；0）；且和定圆C ：()x y -+=2422外切；则动圆圆心M 的轨迹方程是_____________（M 为圆心）12. 双曲线x y 2233-=上一点P 到左、右焦点的距离之比为1：2；则点P 到右准线的距离是______________13. 设抛物线的顶点坐标为（2；0）；准线方程为x =-1；则它的焦点坐标为_______14. 对任意实数k ；直线y kx b =+与椭圆x y ==⎧⎨⎩≤<2402cos sin ()θθθπ恒有公共点；则b ∈_______三. 解答题15. 过点P （3；－1）引双曲线x y 2244-=的弦AB ；使其在点P 被平分；求此弦所在直线的方程。
天津市2020届高三数学 36 直线与圆锥曲线单元测试 新人教A版
天津市新人教A 版数学2020届高三单元测试36： 直线与圆锥曲线一、选择题 (每题4分，总计40分)1. 已知椭圆221369x y +=，以及椭圆内一点P(4,2),则以P 为中点的弦所在的直线斜率为 A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 2. 过点P （4，4）且与双曲线221169x y -=只有一个交点的直线有 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3. 已知直线1:2l y x m =+与曲线:C y =则实数m 的取值范围是（ ）A ．(-B ．(C ．D ． 4. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x = D. 28y x =5. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆C 相交于A B 、两点.若3AF FB =u u u r u u u r ，则k =（ ）.1A B C .2D6. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若12AB BC =u u u r u u u r ,则双曲线的离心率是 （ ）7. 椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为，则 a 值为（ ）8. 已知椭圆22143x y +=，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线4y x m =+对称时m 的取值范围为( )A ．133133≤≤-mB ．m <<C ．133133<<-mD ．13321332≤≤-m 9. 若直线m x y +=与曲线x y =-21的图象有两个不同交点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（2,2-） B ．]1,2(-- C ． ]1,2(- D ．)2,1[10. 经过椭圆2212x y +=的一个焦点作倾斜角为45o 的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅=u u u r u u u r （ ）A. 3-B. 13-C. 13-或3-D. 13± 二、填空题 (每题4分，总计16分)11. 已知直线1x my =+与椭圆2212x y a +=恒有公共点，则a 的取值范围为 12. 过抛物线24y x =的焦点，且被圆22420x y x y +-+=截得弦最长的直线的方程是 。
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版权所有@中学学科网第六章直线与圆锥曲线单元测试卷班级________ 学号________ 姓名____________ 得分________一、选择题：(4*10=40)１、6-=a是直线()031:1=--+yaaxl和直线()()02321:2=-++-yaxal垂直的（）A充分条件B必要条件C充要条件D既非充分也非必要条件２、已知直线012:=+-yxl与过点()()3,5,1,2BA-的直线交于P点，则P分有向线段的比为（）A43±B43C43-D23-3、直线1l在x轴、y轴上的截距分别是3和1，直线2l的方程是01=+-yax，若直线2l到1l的角是︒45，则a的值为（）A1-B2-C21D2-和214、若方程036=++-+kyxyx仅表示一条直线，则k的取值范围是（）A(]3,∞-B(]30,=∞-k或C3=k D()30,=∞-k或５．已知)62,5(),62,5(yxyx-==，双曲线1=⋅上一点M到F（7,0）的距离为11，N 是MF的中点，O为坐标原点，则｜ON｜＝（）A、211B、221C、21D、22121或6、已知)0,3(),0,3(21FF-是椭圆122=+nymx的两个焦点，Ｐ是椭圆上的点，当2121,32PFFPFF∆=∠π的面积最大，则有（）A3,12==nm B6,24==nm C6,12==nm D23,6==nm7、. 如图所示，在正方体1111DCBAABCD-的侧面1AB内有一动点P到直线11BA和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A BC DA 1 A 1A 1 A 1 CDA1 B1C1D1中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有@中学学科网8、已知圆锥曲线4m 4y mx 22＝+的离心率e 为方程02522=+-x x 的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为 ( )A 1B 2C 3D 49、双曲线Ｃ的一个顶点到相应的准线的距离与这个顶点到另一个焦点的距离之比为m ，则m 的取值范围是（ ）A ()1,0B ()223,0- C ⎪⎭⎫⎝⎛21,0 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-223,2110、过椭圆左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于B A ,两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率等于 （ ）A32 B 22 C 21 D 32 11、已知向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin )ααββ==a b ，a 与b 的夹角为60 ，则直线 021sin cos =+-ααy x 与圆21)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置是（ ） A 相切 B 相交 C 相离 D 随βα,的值而定12、已知点P 在双曲线1by a x 2222＝－的右支上，21,F F 是双曲线两个焦点，则△21F PF 的内切圆的圆心的横坐标是（ ）A a c -B aC b c -D b 二、 填空题：(4*5=20)13、与圆()2222=-+y x 相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 。
14、圆锥曲线C 的一个焦点是()1,0F ，相应的准线方程为01=+y ，且曲线C 经过点()3,2，则曲线C 的形状是 。
15、13、Ｅ，Ｆ是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点Ｐ在l 上，则角EPF ∠的最大值是 。
16、正三角形ABC 中，AC AB E D ,,分别是的中点，则以C B ,为焦点且过E D ,的双曲线的离心率是 。
三、解答题：(5*8=40)17、直线l 经过两条直线1l ：0852=+-y x 和2l 01232=-+y x 的交点，且分这两条直线与x 轴围成的面积为2:3两部分，求直线l 的一般式方程。
中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有@中学学科网18、设直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点，且N M ,关于直线0=+y x 对称，求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示平面区域的面积。
19、如果探照灯的轴截面是抛物线x y =2（如图），表示平行于对称轴0=y 的光线经抛物线上的点Q P ,的反射情况，设点P 的纵坐标为a ，当a 取何值时，从入射点P 到反射点Q 的光线路程PQ 最短？中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有@中学学科网20、已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为22，21,F F 为其焦点，一直线过点1F 与椭圆相交于B A ,两点，且AB F 2 的最大面积为2，求椭圆的方程。
y82，若椭圆C的左焦点F和相应的准线l分别与抛物线的焦点和准线重21、设抛物线x(m的距离的最小值为合。
椭圆的短轴的一个端点为B，且线段BF的中点M到定点)0,3，试求实数m的值以及此时的椭圆方程。
中学学科网学海泛舟系列资料WWW.ZXXK:COM 版权所有@中学学科网中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有@中学学科网22、已知椭圆14222=+y x 与射线y ＝x 2（x )0≥交于点A ，过A 作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B 和点C 。
（1）求证：直线BC 的斜率为定值，并求这个定值。
（2）求三角形ABC 的面积最大值。
中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有@中学学科网解几单元试卷参考答案一、选择题：1、A2、C3、B4、D5、B6、A7、C8、C9、B 10、D 11、C 12、B 二、填空题：13、4,+-=±=x y x y 14、椭圆 15、6π16、31+ 三、解答题：17：解:由⎩⎨⎧=-+=+-012320852y x y x得两直线交点的坐标)25,49(P ， 又由题意知S 1：S 2=2：3或3：2所以2332或=MBAM 由A （－4,0），B （6,0M(0,0)或M （2,0），所以所求直线的方程就是经过P 和M 两点的直线方程 所以所求直线的一般式方程是020100910=--=-y x y x 或18： 解：由题意直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点，且N M ,关于直线0=+y x 对称，则1+=kx y 与0=+y x 两直线垂直，可求出m k ,，又不等式组所表示的平面区域应用线线规划去求，易得面积为41 19、解:设),(2a a P ，则直线PQ 方程为：)41(412--=x a a y ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=xy x a a y 22)41(41 得121161),41,161(222≥++=∴-a a PQ a a Q ，当且仅当21,16122==a a a当入射点)21,41(，反射点)21,41(-时PQ 最短。
20、解：由e ＝22得1:1:2::=c b a ，所以椭圆方程设为22222c y x =+ 设直线c my x AB -=:，由⎩⎨⎧=+-=22222cy x c my x 得：02)2(222=--+c mcy y m中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有@中学学科网0)1(8)22(4)2(4422222222>+=+=++=∆m c m c m c c m 设),(),,(2211y x B y x A ，则21,y y 是方程的两个根由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+2222221221m c y y m mc y y 所以21224)(222122121++=-+=-m m c y y y y y yc c y y F F S ABF 222121212∙=-=∆2122++m m ＝222222212211122c c m m c =∙≤+++ 当且仅当0=m 时，即x AB ⊥轴时取等号 1,222==∴c c所以，所求椭圆方程为1222=+y x 21、解：已知焦点)0,2(F ，准线2-=x ，设椭圆半焦距为c ，半短轴长为b ，椭圆中心)2,22(),,2(),0,2(bc M b c B c ±+∴±++，又,42=-c c a 即c b 42=[]52)3(241)22(4)22(22222-+--=+--=+--=m m c c c m b c m AM①当03>-m 即3>m 时，此时)3(2-=m c 3522min =-=m AM12,8,2,422====∴a b c m②当03≤-m 时，即3≤m ，此时由于0>c ，所以2AM 无最小值。
所以，所求,4=m 此时椭圆方程为1812)4(22=+-y x 。
22、解：（！）由题意得)2,1(A ，设AB 的斜率为k ，则AC 的斜率为－k所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-42)1(222y x x k y 代入得22212222k k k x x +-=+，又11=x ∴222222+--=k k k x B 同理222222+-+=k k k x C中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有@中学学科网CB C B （1）设BC 方程为m x y +=2 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x mx y 得 0422422=-++m mx x 得2214.3m BC -=A 到BC 的距离为3m d =所以2)8(42)214(21214212122222≤-=-=-=∙=∆m m m m m m d BC S 当228m m -=时，即42=m 时“＝”成立，此时0>∆成立。