高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷
高一数学竞赛试题含答案
高一数学竞赛试题高一数学竞赛试题时间：时间：8:30-11:00 8:30-11:00 8:30-11:00 总分：总分：总分：150150分一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）分）1、如图，、如图，P P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC QC＝＝1，CD CD＝＝3，则PB PB＝＝________________。
2、若函数()()2ln f x x x a x=++为偶函数，则a = 。
3、函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则a 0 0，，b 0 0，，c 0 0。
4、已知()221x f x x=+，则()()()()111123...2015...232015f f f f f f f æöæöæö+++++++=ç÷ç÷ç÷èøèøèø。
5、函数则()()222log 2log 3f x x x =-+的单调递减区间为的单调递减区间为 。
6、若方程2104xxeae -+=有负实数根，则a 的取值范围是的取值范围是。
7、设函数()31,12,1x x x f x x -<ì=í³î，则满足()()()2f af f a =的a 的取值范围是的取值范围是 。
8、设集合}{1,2,3......6A =，则集合A 的所有非空子集元素和的和为的所有非空子集元素和的和为 。
9、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于y x =-对称，且()()241f f -+-=，则a = 。
1010、已知实数、已知实数,x y 满足()()()()3312011*********x x y y ì-+-=-ïí-+-=ïî，则x y += 。
高一数学竞赛试题参考答案
高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立， 当a ＝0时，－3≠0成立； 当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】 依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】 由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2019-2020年高一上学期数学竞赛选拔测试含答案
2019-2020年高一上学期数学竞赛选拔测试含答案一、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．数列1，- 34 ，59 ，- 716，…的一个通项公式是 . 2．1＋2＋3＋…＋100＝ .3．{a n }是等比数列，a 1=1，a 3= 2 ，则a 5＝ .4．数列{a n }满足：a 1=1，a n +1＝ a n －1，则a xx ＝ .5．△ABC 的三边长分别是7、4 3 、13 ，则最小内角大小为 .6．△ABC 中，A=60°，b ＋c sinB ＋sinC=2，则a ＝ . 7．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，下列条件中能确定a =b 的有 . （填序号）① sinA=sinB ② cosA=cosB ③ sin2A=sin2B ④ cos2A=cos2B8．已知 1x>1，则x 的取值范围是 . 9．不等式 (x －2)2 >4的解集是 .10．已知 12 ＋16 ＋112 ＋…＋1n (n ＋1) = 99100，则n ＝ . 11．等差数列{a n }中，若a 1、a 3、a 7是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的公比是 .12．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 1＞0，S 10＝0，则S n 最大时n 的值是 .二、解答题13．（本题满分12分）等比数列{a n }的前n 项和是S n ，已知S 3＝72 ，S 6＝632，求a n .14．（本题满分12分）一艘船以60 n mile/h的速度向正北航行. 在A处看灯塔S在船的北偏东30°，30 min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东75°，求灯塔S与B之间的距离.15．（本题满分12分）△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、1、c，且A、B、C成等差数列，a、1、c成等比数列，求△ABC的面积.16．（本题满分16分）关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集是(－∞,1)∪(2,＋∞)，数列{a n}的前n项和S n＝n2＋bn＋c.(1)写出b、c的值（不要证明）；(2)判断{a n}是不是等差数列并说明理由；(3)求数列{2n-1a n}的前n项和T n.第二卷（60分）三、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知，则 .18．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3.19．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ .20．取一个边长为的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率为 .21．定义在R 上的函数f (x )，满足f (12 ＋x ) ＋f (12 －x ) ＝2，则f (18 )＋f (28 )＋…＋f (78)＝ .22．定义一个对应法则.现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为 .四、解答题23．（本题满分15分）已知二次函数 ，满足，对于任意的，都有，并且当时总有.(1)求的值；(2)求的表达式；(3)当时，是单调函数，求m 的取值范围.24．（本题满分15分）已知数列和满足:*121,2,0,)n n a a a b n N ==>=∈，且是以为公比的等比数列.(1)证明：；(2)若，证明数列是等比数列；(3)求和：.1．a n =(-1)n2n-1n 22.50503.24.-xx5.30°6. 37.(1)(2)(4)8.(0,1)9.(-∞,0)∪(4,+ ∞)10.9911.1,212.513.P51,2n-2 14.15 2 n mile 15.a=b=c=1,S=3416.(1)-3,2 (2)a 1=0,n>1,a n =2n-4,(3)2n+1(n-3)+8 17.018.7800019.-12.5 20.π421.7 22. π323.(1)f(1)=1(2)f(x)= (x+12)2(3)m≤0,m≥1 24.(3)q=1,32 n. q ≠1, 32 q 2n -1q 2n-2(q 2-1).。
高中奥赛选拔试题及答案
高中奥赛选拔试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x)=2x^2-3x+1，求f(2)的值。
A. 3B. 5C. 7D. 92. 一个圆的半径为5，求该圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π3. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值。
A. 3B. 5C. 7D. 94. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为2m/s^2，求物体在第3秒末的速度。
A. 4m/sB. 6m/sC. 8m/sD. 10m/s二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，4，7，求该数列的通项公式an=______。
6. 一个三角形的三个内角分别为α，β，γ，已知α+β=120°，求γ的度数。
7. 已知复数z=3+4i，求z的共轭复数。
8. 一个物体在水平面上受到一个恒定的力F作用，使其从静止开始做匀加速直线运动，已知加速度a=5m/s^2，求物体在第5秒末的位置。
三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数的极值点。
10. 一个圆的直径为10cm，求该圆的周长和面积。
11. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n，求数列的前5项。
12. 一个物体从高度为h的平台上自由落下，忽略空气阻力，求物体落地时的速度。
答案：一、选择题1. B2. B3. C4. B二、填空题5. an=3n-26. γ=60°7. z的共轭复数为3-4i8. 物体在第5秒末的位置为62.5m三、解答题9. 函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x。
令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
经检验，x=0时f(x)取得极大值，x=2时f(x)取得极小值。
10. 圆的周长为πd=10πcm，面积为πr^2=25πcm^2。
11. a2=2+2×2=6，a3=6+2×3=12，a4=12+2×4=20，a5=20+2×5=30。
高中数学：2024 年秋季江苏省新高一入学分班考试模拟卷(二)
2024 年秋季江苏省新高一入学分班考试模拟卷（二）数 学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅22x =−，则x 的值可以是（ ）A ．2−B ．1−C ．1D ．23．“2x =”是“24x =”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知二次函数2y ax bx c ++的图象的顶点坐标为(2,1)−，与y 轴的交点为(0,11)，则（ ）A ．3,12,11a b c ==−= B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==−= D ．1,4,11a b c ==−= 5．把2212x xy y −++分解因式的结果是（ ）A ．()()()112x x y x y +−++B ．()()11x y x y ++−−C ．()()11x y x y −+−−D ．()()11x y x y +++−6．已知命题p ：1x ∃>，210x ，则p ¬是（ ）A ．1x ∀>，210xB ．1x ∀>，210x +≤C ．1x ∃>，210x +≤D ．1x ∃≤，210x +≤7．函数y =）A ．[]3,3−B ．()3,1(1,3)−∪C ．()3,3−D ．()(),33,−∞−+∞ 8．若实数a b ，且a ，b 满足2850a a −+=，2850b b −+=，则代数式1111b a a b −−+−−的值为（ ）A ．-20 B ．2 C ．2或-20 D ．2或20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数()y f x =的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）A ．x ∀∈R ，2210x x ++≥B ．x ∃∈N ，2x 为偶数C ．所有菱形的四条边都相等D ．π是无理数11．下列结论中，错误的结论有（ ）A ．()43y x x =−取得最大值时x 的值为1B ．若1x <−，则11x x ++的最大值为－2C ．函数()f x =的最小值为2D ．若0a >，0b >，且2a b +=，那么12a b+的最小值为3+ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若多项式3x x m ++含有因式22x x −+，则m 的值是 ．13．不等式20ax bx c ++>的解集是(1,2)，则不等式20cx bx a ++>的解集是（用集合表示） ．14．对于每个x ，函数y 是16y x =−+，22246y x x =−++这两个函数的较小值，则函数y 的最大值是 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）解下列不等式：(1)2320x x −+−≥； (2)134x x −+−≥； (3)1 1.21x x −≤+16．（15分）设全集R U =，集合{}|15A x x =≤≤，集合{|122}B x a x a =−−≤≤−．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围．17．（15分）已知集合{}{}210,20A x ax B x x x b =−==−+=. (1)若{}3A B ∩=，求实数,a b 的值及集合,A B ； (2)若A ≠∅且A B B ∪=，求实数a 和b 满足的关系式.18．（17分）已知22y x ax a =−+.(1)设0a >，若关于x 的不等式23y a a <+的解集为{},12|A B x x =−≤≤，且x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，求a 的取值范围；(2)方程0y =有两个实数根12,x x ，①若12,x x 均大于0，试求a 的取值范围；②若22121263x x x x +=−，求实数a 的值．19．（17分）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的14．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过20立方米，则水价为每立方米3元；第二档，若每户每月用水超过20立方米，但不超过30立方米，则超过部分水价为每立方米4元；第三档，若每户每月用水超过30立方米，则超过部分水价为每立方米7元，同时征收其全月水费20%的用水调节税．设某户某月用水x立方米，水费为y元．(1)试求y关于x的函数；(2)若该用户当月水费为80元，试求该年度的用水量；(3)设某月甲用户用水a立方米，乙用户用水b立方米，若,a b之间符合函数关系：247530=−+−．则当b a a两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？。
高中数学竞赛二试题
高中数学竞赛二试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是有理数？A. √2B. πC. -1/3D. 02. 如果一个函数f(x)在x=a处可导，那么下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=a处一定连续B. f(x)在x=a处不一定连续C. f(x)在x=a处一定不连续D. 以上都不对3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，那么该数列的第10项是：A. 17B. 19C. 21D. 234. 在一个平面直角坐标系中，点A(1,2)和点B(4,6)，直线AB的斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么这个直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知等差数列的首项为3，公差为2，该数列的第5项是________。
7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点是________。
8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其外接圆的半径是________。
9. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，求直线l与x轴的交点坐标________。
10. 将圆x^2 + y^2 = 25沿着x轴正方向平移3个单位后，新的圆的方程是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。
12. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。
13. 已知椭圆的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0)，且椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于10。
求椭圆的方程。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：对于任意实数x和y，不等式(x + y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)总是成立。
15. 证明：如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
浙江省镇海中学2016年高一数学奥林匹克选拔测试二 含
2016.62016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测二[ MATHEMATICS ]（本卷满分：200分 考试时间：150分钟）（高一试卷）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I .设集合{}6102，，，含的十进制表示中数码不x x A *∈=N ． 证明：31<∑∈A x x．II .如图，给定凸四边形ABCD ，︒<∠+∠180D B ，P 是平面上的动点，令()AB PC CA PD BC PA P f ⋅+⋅+⋅=．⑴ 求证：当()P f 达到最小值时，C B A P 、、、四点共圆；⑵ 设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：23=AB AE ，13-=ECBC，ECA ECB ∠=∠21，又DC DA ，是O 的切线，2=AC ，求()P f 的最小值．第二部分（共2大题，计150分）检测范围：高中必修一、四、五及必修二立体几何部分第II 题一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）． 1. 设5021a a a ，，，⋅⋅⋅，5021b b b ，，，⋅⋅⋅为互不相同的数，则关于x 的方程：∑∑==-=-501501i ii ibx a x 的所有有限个实根的个数最大值为 ．2. 在平面直角坐标系中，点集()()(){}06363≤-+-+y x y x y x ，所对应的平面3. 如图，设S - 3，底面边长为 2 的正四棱锥，K 是棱SC 的中点，过AK 作平面与线段SB ，SD 分别交于M ，N (M ，N 可以是线段的端点)．则四棱锥AMKN S -的体积V 的值域为 ．4. 已知abc = -1，122=+cbc a ，则代数式555ca bc ab ++的值为 ．5. 在ABC ∆中，︒=∠60A ，点P 为ABC ∆所在平面上一点，使得P A =6，PB =7，PC =10，则ABC S ∆的最大值为 ． 6. 在数列{}n a 中，11=a ，前n 项和为n S ，()1241≥+=+n a S n n ，则2013a 的值为 ．7. 用s σ表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1121a a a A ，，，⋅⋅⋅=是正整数集，且1121a a a <⋅⋅⋅<<，若对每个正整数1500≤n ，存在A 的子集S ，使得()n s =σ，则满足上述要求的10a 的最小值为 ．8. 设z y x 、、是3个不全为零的实数，则2222z y x yzxy +++的最大值为 ．9. 实数a 使得对任意实数54321x x x x x ，，，，，不等式14151+==∑∑≥i i i i i x x a x 都成立，则a的最大值为 ．10. 设()d cx bx ax x f +++=23对任意[]11，-⊆x ，总有()1≤x f ．则d c b a +++的最大值为 ．11. 两个平行平面α和β将四面体截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．则平面α和β截四面体所得的截面面积之比为 ．12. 空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3．每个球都与其他三个球外切．另一个小球与这四个球都相切，则这个小球的半径为 ． 13. 钝角ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且满足()C b B c a cos cos 2=-，()R ∈-+=λλC B C B A sin sin sin sin sin 222， 则λ的值域为 ．14. 若存在整数k ，使得kn n n ->+⎥⎦⎤⎢⎣⎡22313对所有正整数2≥n 恒成立，则k 的最大值为 ．CD K S M N15. 有n 个砝码(重量可以相同)可以将它们分成4组，使得每组的重量之和相同；也可以将它们分成5组，使得每组的重量之和相同；还可以将它们分成9组，使得每组的重量之和相同．则n 的最小可能值为 ． 三、解答题（本大题分3小题，每题20分，计60分）． 16. (本题满分20分)证明：任意一个四面体总有一个顶点，由这个顶点出发的三条棱可以构成一个三角形的三边．17. (本题满分20分)正整数数列{}n a 满足：12211+-==+n n n a a a a ，．证明：数列的任何两项皆互质．18. (本题满分20分)求最小常数a >1，使得对正方形ABCD 内部任一点P ，都存在PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间][1a a ，-．2016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测二参考答案[ MATHEMATICS Examination paper reference answer]（本卷满分： 200 分）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I.II.解 ⑴ 如图，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有 PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅． 因上面不等式当且仅当P A B C 、、、顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在 AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅． 又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()P f 取最小值m i n ()f P AC BD =⋅．故当()P f 达最小值时，C B A P 、、、四点共圆．………………………10分⑵ 记 ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有 sin 2sin 3AE AB αα==，从而2sin 2αα=，即 34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得 24cos 0αα-，解得 cosα=或cos α=舍去)，故 30α= ，60ACE ∠= ． ………………………………………15分由已知 1BCEC ==()0sin 30EAC EAC∠-∠,有 sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得 21cos 22EAC EAC ∠=∠，故 tan 2EAC ∠==+可得 75EAC ∠= ，从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，ADC ∆为等腰直角三角形．因 AC 1CD =．……………………………………20分 又ABC ∆也是等腰直角三角形，故 BC =212215BD =+-⋅= ，BD =．故 min ()f P BD AC =⋅25分第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1、 492、 243、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2334，4、 35、 36+6、 201223019⨯7、 2488、 259、 332 10、 7 11、 134129 12、 11613、 ()()2301-，，14、 5 15、 14三、解答题（本大题分3小题，共60分）． 16、(20分)(可能有多种解法)证明 利用反证法．设四面体ABCD 中AB 是最长的棱，如果任一顶点出发的三条都不能构成一个三角形，则对由A 出发的三条棱，有AD AC AB +≥．又对由B 出发的三条棱，有 BD BC BA +≥． 两式相加，得BD BC AD AC AB +++≥2．(＊)(12分) 但在ABC ∆与ABD ∆中，有BC AC AB +<，BD AD AB +<． 两式相加，有BD BC AD AC AB +++<2．与(＊)式矛盾，故原命题得证．(20分)17、(20分)(可能有多种解法)证明 改写条件为()111-=-+n n n a a a ，(8分)从而 ()1111-=---n n n a a a ，……， 据此迭代得()1111-=--+n n n n a a a a()1221-=---n n n n a a a a ()1111-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-a a a a n n 11a a a n n ⋅⋅⋅=-，所以，1121+⋅⋅⋅=--a a a a n n n ， 因此当k n <，()1=k n a a ，．(20分)18、(20分)(可能有多种解法)解m i n a =．首先证明min a ≤，记ϕ=对正方形ABCD 内部一点P ，令1S ，2S ，3S ，4S 分别表示PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆的面积，不妨设1243S S S S ≥≥≥．令1224,S SS S λμ==，如果,λμϕ>，由 13241S S S S +=+=， 得221S S μ=-，得21S μμ=+． 故2121111111S S λμλϕϕλμϕμϕ===>==++++，矛盾． 故{}min ,λμϕ≤，这表明min a ϕ≤．(12分)反过来对于任意(1,)a ϕ∈，取定1(,)2t a +∈，使得2819t b t =>+． 我们在正方形ABCD 内取点P ，使得12342,,,1b bS b S S S b t t====-，则我们有1223(S S t a S S ==∈，3242,(1)4(1)S b b a S t b b =>>>-- 由此我们得到对任意{},1,2,3,4i j ∈，有1[,]ijS a a S -∉． 这表明min a ϕ=．(20分)。
高一数学竞赛班选拔考试试卷
重点中学高一数学竞赛班选拔考试试卷1.{}{}0,1A x x =⊆,用列举法表示集合A=___________。
2.新高一某班的50名学生中，参加数学竞赛辅导的有22人，参加物理竞赛辅导的有20人，参加化学竞赛辅导的有19人，既参加数学又参加物理的有15人，既参加数学又参加化学的有12人，既参加物理又参加化学的有10人，三科都没参加的有20人，则三科都参加的有_____________人。
3．在小于100的正整数n 中，能使分数1(332)(41)n n ++化为有限小数的n 的所有可能值为___________。
4．在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）。
若现在时间恰好是12点整，则经过_______秒后，OAB ∆面积第一次达到最大。
（用分数表示） 5.已知a 、b 、c 为整数，且2006,2005a b c a +=-=，若a b <，则a b c ++的最大值为________. b=2013-a>a 则a<1006.5 a 最大为1006 c=2005+a 所以a+b+c=2006+2005+a=a+4011所以最大值是1006+4011=50176．如果两个一元二次方程20x x m ++=与210mx x ++=都有两个不相等的实数根，并且其中有一个公共的实根0x ，那么0x =_________。
7．如果一个两位数5x 与一个三位数3yz 的积是29400，那么，x y z ++=____。
29400/400>73, 29400/300=98x 只能为7或8或929400/75=392只有这个是整数。
所以x+y+z=7+9+2=18因为29400=75*392所以x=7、y=9,z=2所以x+y+z=7+9+2=188．一名模型赛车手遥控一辆赛车。
先前进1米，然后原地逆时针方向旋转角0(0180)αα<<，被称为一次操作。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. √3D. 0.33333（无限循环）答案：D2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2x)的值。
A. 4x^2 - 16x + 16B. 4x^2 - 12x + 12C. 4x^2 - 8x + 4D. 4x^2 - 4x + 4答案：C3. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 一个圆的半径为3，求其内接正六边形的边长。
A. 3√3B. 6C. 2√3D. 3答案：A5. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。
A. 29B. 32C. 35D. 38答案：A6. 根据题目所给的函数f(x) = 2x - 1，求f(x+1)的值。
A. 2x + 1B. 2x + 3C. 2x - 1D. 2x - 3答案：A7. 若x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。
A. 2, 3B. -2, -3C. 2, -3D. -2, 3答案：A8. 已知一个等比数列的首项a1=3，公比q=2，求第5项a5的值。
A. 48B. 96C. 192D. 384答案：A9. 一个圆的直径为10，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B10. 已知一个二次方程x^2 + 8x + 16 = 0，求其根的判别式Δ。
A. 0B. 64C. -64D. 16答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 若一个数列{an}是等差数列，且a3 = 7，a5 = 13，求a7的值。
答案：1912. 已知一个函数y = x^3 - 3x^2 + 2x，求其一阶导数dy/dx。
答案：3x^2 - 6x + 213. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其表面积。
高中奥赛高一试题及答案
高中奥赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列关于函数的描述中，不正确的是：A. 函数是数学中的基本概念之一B. 函数可以表示为y=f(x)C. 函数的值域是其定义域的子集D. 函数的图像是一条直线2. 已知集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 以下哪个选项是复数的代数形式：A. a+biB. a+bC. a-bD. a/b4. 一个圆的半径为5，其面积为：A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π5. 函数f(x)=x^2-2x+1的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 26. 以下哪个选项是等比数列：A. 1, 2, 3, 4B. 2, 4, 8, 16C. 1, 3, 5, 7D. 2, 3, 5, 77. 以下哪个选项是二次方程的根：A. 2x^2-4x+1=0B. x^2-2x+1=0C. x^2-4x+4=0D. x^2+2x+1=08. 以下哪个选项是向量的数量积：A. a·b = abB. a·b = |a||b|C. a·b = |a||b|cosθD. a·b = |a||b|sinθ9. 以下哪个选项是三角函数中的正弦函数：A. sin(x)B. cos(x)C. tan(x)D. cot(x)10. 以下哪个选项是矩阵的转置：A. [a_{ij}]^T = [a_{ji}]B. [a_{ij}]^T = [a_{ij}]C. [a_{ij}]^T = [a_{ij}]^2D. [a_{ij}]^T = [a_{ij}]^3二、填空题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=________。
2. 集合{1,2,3}的补集在全集U={1,2,3,4,5}中是________。
3. 复数z=3+4i的模长是________。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。
答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。
答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。
解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。
所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。
2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。
解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。
令f’(x) = 0，可以解得x = 1。
再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。
所以x = 1是f(x)的极小值点。
代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。
所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。
四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。
2016年镇海中学高一数学奥林匹克选拔测试二 Word版 含答案
2016.62016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测二MATHEMATICS ]（本卷满分：200分 考试时间：150分钟）（高一试卷）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I .设集合{}6102，，，含的十进制表示中数码不x x A *∈=N ． 证明：31<∑∈A x x．II .如图，给定凸四边形ABCD ，︒<∠+∠180D B ，P 是平面上的动点，令()AB PC CA PD BC PA P f ⋅+⋅+⋅=．⑴ 求证：当()P f 达到最小值时，C B A P 、、、四点共圆；⑵ 设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：23=AB AE ，13-=ECBC ，ECA ECB ∠=∠21，又DC DA ，是O 的切线，2=AC ，求()P f 的最小值．第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1. 设5021a a a ，，，⋅⋅⋅，5021b b b ，，，⋅⋅⋅为互不相同的数，则关于x 的方程：检测范围：高中必修一、四、五及必修二立体几何部分 第II 题∑∑==-=-501501i i i ib x a x 的所有有限个实根的个数最大值为 ．2. 在平面直角坐标系中，点集()()(){}06363≤-+-+y x y x y x ，所对应的平面区3. 如图，设S 3，底面边长为 2 的正四棱锥，K 是棱SC 的中点，过AK 作平面与线段SB ，SD 分别交于M ，N (M ，N 可以是线段的端点)．则四棱锥AMKN S -的体积V 的值域为 ．4. 已知abc = -1，122=+cb c a ，则代数式555ca bc ab ++的值为 ．5. 在ABC ∆中，︒=∠60A ，点P 为ABC ∆所在平面上一点，使得PA =6，PB =7，PC =10，则ABC S ∆的最大值为 ．6.在数列{}n a 中，11=a ，前n 项和为n S ，()1241≥+=+n a S n n ，则2013a 的值为 ．7. 用()s σ表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1121a a a A ，，，⋅⋅⋅=是正整数集，且1121a a a <⋅⋅⋅<<，若对每个正整数1500≤n ，存在A 的子集S ，使得()n s =σ，则满足上述要求的10a 的最小值为 ．8. 设z y x 、、是3个不全为零的实数，则2222zy x yz xy +++的最大值为 ． 9. 实数a 使得对任意实数54321x x x x x ，，，，，不等式14151+==∑∑≥i i i i i x x a x 都成立，则a的最大值为 ．10. 设()d cx bx ax x f +++=23对任意[]11，-⊆x ，总有()1≤x f ．则d c b a +++的最大值为 ．11. 两个平行平面α和β将四面体截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．则平面α和β截四面体所得的截面面积之比为 ．12. 空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3．每个球都与其他三个球外切．另一个小球与这四个球都相切，则这个小球的半径为 ．13. 钝角ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且满足()C b B c a cos cos 2=-，()R ∈-+=λλC B C B A sin sin sin sin sin 222， 则λ的值域为 ．14. 若存在整数k ，使得kn n n ->+⎥⎦⎤⎢⎣⎡22313对所有正整数2≥n 恒成立，则k 的最大值为 ．15. 有n 个砝码(重量可以相同)可以将它们分成4组，使得每组的重量之和相同；也可以将它们分成5组，使得每组的重量之和相同；还可以将它们分成9组，使得每组的重量之和相同．则n 的最小可能值为 ．三、解答题（本大题分3小题，每题20分，计60分）．16. (本题满分20分)证明：任意一个四面体总有一个顶点，由这个顶点出发的三条C D K S M N棱可以构成一个三角形的三边．17. (本题满分20分)正整数数列{}n a 满足：12211+-==+n n n a a a a ，．证明：数列的任何两项皆互质．18. (本题满分20分)求最小常数a >1，使得对正方形ABCD 内部任一点P ，都存在PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间][1a a ，-．。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案题一：某数列的前n项和为Sn，已知Sn=(2n+1)(n+2)，求该数列的通项表达式。
解答一：设该数列的通项为an，则该数列的前n项和可表示为Sn=∑an。
根据已知得，Sn=(2n+1)(n+2)。
我们可以尝试寻找数列项an之间的关系，进而求得通项表达式。
由于Sn是前n项和，所以我们可以利用数学归纳法得到两个基础式子：当n=1时，S1=∑a1，代入已知条件得到S1=(3)(2)=6；当n=2时，S2=∑(a1+a2)，代入已知条件得到S2=(5)(4)=20。
通过观察可以发现，S2=2×S1+8，这是一个重要的线索。
我们可以推测，Sn可能与Sn-1之间存在一种类似的关系，即Sn=2×Sn-1+C，其中C为常数。
接下来，我们来进行数学归纳法的假设和证明：假设Sn=2×Sn-1+C成立，即前n项和Sn与前n-1项和Sn-1之间存在关系。
则我们可以推导得到Sn+1=2×Sn+C'，其中C'为常数。
根据已知条件进行计算：Sn+1=(2(n+1)+1)(n+1+2)=(2n+3)(n+3)=2n²+9n+9；由假设得，Sn=2×Sn-1+C，带入Sn+1的计算结果，得到Sn+1=2(2×Sn-1+C)+C'=4×Sn-1+3C+C'，其中3C+C'为新的常数。
比较Sn+1和Sn的关系，可得到4×Sn-1+3C+C'=2n²+9n+9，由此可以推断，3C+C'=9，即C'=9-3C。
综上所述，我们已经推导出两个重要的关系式：Sn=2×Sn-1+CC'=9-3C我们再通过计算已知条件的S1和S2进行迭代计算，得到：C=6，C'=9-3(6)=-9因此，该数列的通项表达式为an=2×an-1+6，其中a1=6。
高一奥赛试题及答案
高一奥赛试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x)=2x^2+3x+1，求f(-1)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 4答案：A2. 一个圆的半径为5，求该圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B二、填空题3. 一个数列的前四项为1, 2, 3, 5，求第五项。
答案：84. 在直角坐标系中，点A(3,4)关于x轴的对称点的坐标是______。
答案：(3,-4)三、解答题5. 已知等差数列{an}的前三项依次为2, 5, 8，求该数列的通项公式。
答案：首先，由等差数列的定义，我们可以得到公差d=5-2=3。
因此，该数列的通项公式为an = 2 + 3(n-1) = 3n - 1。
6. 证明：如果一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边的夹角为60度，则这个三角形是直角三角形。
答案：根据余弦定理，我们有cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)，其中a和b是三角形的两边，C是这两边的夹角，c是第三边。
将已知数值代入公式，我们得到cos60° = (3^2 + 4^2 - c^2) / (2 * 3 * 4)。
由于cos60° = 1/2，我们可以解出c^2 = 9 + 16 - 24 = 1，因此c = 1。
由此可知，三角形的三边长分别为3, 4, 5，满足勾股定理，故该三角形为直角三角形。
四、计算题7. 计算定积分∫(0到1) (x^2 - 2x + 1) dx。
答案：首先，我们需要找到被积函数的原函数。
对于x^2 - 2x + 1，其原函数为(1/3)x^3 - x^2 + x。
然后，我们计算原函数在积分区间的差值：(1/3)(1)^3 - (1)^2 + 1 - [(1/3)(0)^3 - (0)^2 + 0] =2/3。
8. 计算极限lim (x→0) [sin(x) / x]。
答案：根据洛必达法则，我们可以将极限转化为lim (x→0) [cos(x) / 1]。
高一竞赛班第二次选拔试题
高一竞赛班第二次选拔试卷考试时间：2018-2-27晚6:30〜7:15 满分：90分班级：座号：姓名：成绩：每题十分，要求写出过程！答案纸自己准备！1 •已知 f(x X) =x(1 • 2x x)，求 f (x)的解读式。
12•已知 f ( _x) • 2 f (2 • x) 1，求 f (x)的解读式。
x3•已知f(2 -x)二f (2 x)且当时x 2 , f(x) — x ，求当x ：：： 2时f (x)的解读式。
4•已知f(2x )的定义域为［1,3)，求f(lgx-1)的定义域。
25•已知f (-x 2 d-.Gx-M)的定义域为［0,3)，求g(x)二垃 3x~12)的定义域。
log ? x6.求 y = 4 • x -log 2(-x)的值域。
7.求 f (x) x 2 -x-6 • x 2-5x • 4 的值域。
「2 .x , x A 19.已知f(x) =」7,x=1 ，求方程f(x —1) = x+5的根。
&已知 g(x) =2x -4 ,f(g(x)) =% 1，求 f ⑷的值。
x3x 8, x :: 1高一竞赛班第二次选拔试卷考试时间：2018-2-27晚6:30〜7:15 满分：90分班级:座号：姓名：成绩：每题十分，要求写出过程！答案纸自己准备!1.已知f(x •、、x) =x(1 •2.x x)，求f (x)的解读式。
2.已知1f ^x) 2 f (2 x) 1，求f (x)的解读式。
x3.已知f (2 - x) = f (2 x)且当时x 2 , f (x) ，求当x ：：： 2 时f (x)的解读式。
4.已知f(2x)的定义域为［1,3)，求f(lgx-1)的定义域。
5.已知2f (-x2 d-.Gx-M)的定义域为［0,3)，求g(x)二垃3x~12)的定义域。
log? x6. 求y = 4 • x -log2(-x)的值域。
7. 求f (x) = •. x2 - x - 6 • x2 - 5x • 4 的值域。
高一数学竞赛选拔卷
金乡职业学校高一数学竞赛小组选拔考试试卷（总分：100 分 考试时间：60分钟）一、选择题：（每小题4分）1设U 为全集，，B A ⊂则（CuA ）∪B=（ ）A 、CuAB 、UC 、B φ D.2.已知x 2+mx+4为完全平方式，则m 的值为（ ）A 、2B 、4C 、±2D 、±43.已知x +y =20,xy =24,则x 2+y 2的值是( ).A 、 52B 、148C 、352D 、764.已知集合A={x|-3≤x ≤5}，B={x|a+1≤x ≤4a+1}，且A ∪B=B ，φ≠B ，则实数a 是（ ）A 、-3≤x ≤5B 、1≤x ≤2C 、-4≤x ≤1D 、0≤x ≤15.若A={x|x ≤2}，B={x|x>a},且A ∩B=φ，则a 满足：（ ）A 、a ≥2B 、a>2C 、a<2D 、a ≤2二、填空题：（每小题5分）1. 设U={2,4,1-a}，A={2,a 2-a+2}若CuA={4}，则a=__________2.已知：U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A ，B 都是U 的子集，且(CuA)∩B={1,9},A ∩B={2}， (CuA)∩（CuB ）={4,6,8}，则A=——————————————————，B=——————————————————3.知集合A 有10个元素，集合B 有8个元素，集合A ∩B 有4个元素，则集合A ∪B 有___________个元素。
4.集合{}11，-=N M ，已知M={-1，1}，则满足条件的N 集合有：__________________。
三、解答题：（每小题10分）1.解下列一元二次方程：①.9(x-1)2-4(x-1) =0 ②. 2y 2+3=9y(配方法)2.将下列多项式因式分解：①(a+b)2 +4(a+b+1) ②(x+3)(x+8)+43.解下列方程组： ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-04235122423512y x y x ②⎩⎨⎧=+-+=065,422y xy x y x4.已知A={(x,y)|y=x+2} ,B={(x,y)|y=x 2-4},求A ∩B 。
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高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷
（第二轮 考试时间60分钟，满分100分）
班级 姓名 得分
一、选择题（每题６分，36分）
1．集合｛0,1，2,2004｝的子集的个数是 （ ）
（A ）16 （B ）15 （C ）8 （D ）7 ２．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910
-
--- 等于( ). (A)125 (B)21 (C)2011 (D)107 3 ．某公司从2001年起每人的年工资
主要由三个项目组成并按下表规定实施：
若该公司某职工在2005年将得到的住房
补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，
到2005年底这位职工的工龄至少是
（ ） （A ）2年（B ）3年（C ）4
年（D ）5年
4.若F(11x x
-+)=x 则下列等式正确的是（ ）. （A ）F(-2-x)=-1-F(x)（B ）F(-x)=11x x
+-（C ）F(x -1)=F(x)（D ）F （F （x ））=-x 5．已知c b a 、、是实数，条件0:=abc p ；条件0:=a q ，则p 是q 的（ ）
(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件
6．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形D C B A ''''。
四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于（ ）
A ．9
B ．26
C ．34
D ．6 二、填空题（每题5分，25分）
7．如果}66{}42,3,2,1{}2,{22--=-a a a a ，则a 的值是 。
8. Let f be a function such that 22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers x and y , and 0)1(≠f , then (2005)f is equal to _____________.
9．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。
那么，戊读了_______本书，E 被读了______次。
10.已知函数
1,()0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，，为无理数.0,()x g x x ⎧=⎨⎩为有理数，1，为无理数.当x R ∈时，()()_______,f g x =()()_______.
g f x = 11. 方程)1|1(|322--=-x x x 的根是__________________.
三、解答题（39分）
12. 在七数-1，-2，-3，1，2，3，4中任选一个数、两个数的积、三个数的积、…、七个数的积，试求它们的和.（9分）
13.已知x ，y ，z 是实数，a ≥0且满足①x+y+z=a ，②.212222a z y x =
++ 求证：0≤x ≤
,32a 0≤y ≤,32a 0≤z ≤.32a （10分）
14.已知在凸五边形ABCDE 中，∠BAE=3α,BC=CD=DE ，且∠BCO=∠CDE=180°-2α，
求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE.（10分）
15. 某种绘图装置可沿横、纵、斜方向以每秒1cm 的速度
移动，该装置可在纸面上描出线来，也可以离开纸面在空中运
行．现用这个装置绘制右边的图形，问至少要用几秒？图中各
角均系直角，该装置离开纸面的时间略而不计．（1995年日
本数学奥林匹克预选赛题2）（10分）
参考解答
一、选择题:ACCBAD
二、填空题
7.2或4 8. 2005.5 9. 1，5 10. [(]1f g x = [()]0g f x =
11.2或3或0或－1
三、解答题
12.解（1）任选一个数的和：1+（-1）+2+（-2）+3+(-3)+4=4.
(2)任选二个数的积(由于4×(-3)与4×3,…成对出现,这些积的和为0)的和为:
1×(-1)+2×(-2)+3×(-3)=－14.
(3).任选三个数的积(由于4×(-3)×(-2)与4×3×(-2),…成对出现，这些积的和为0)的和为：4×1×（-1）+4×2×（-2）+4×3×（-3）=-－56.
（4）任选四、五、六、七个数的积的和分别为：
1×（-1）×2×（-2）+2×（-2）×3 ×（-3）+1×（-1）×3×（-3）= 49；
1×（-1）×2×（-2）×4+2×（-2）×3×（-3）×4+（-1）×3×（-3）×4×1=196 1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）=－36；
1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）×4=－144. 所以，所求的和为-1.
法2 （1+a ）(1+b)(1+c)…（1+g ）＝1＋（a ＋b+c+…＋g ）＋（ab ＋bc ＋…＋fg ）＋…＋abc …g ，取a ＝－1，b ＝－2，…，g ＝4得（a ＋b+c+…＋g ）＋（ab ＋bc ＋…＋fg ）＋…＋abc …g ＝－1
13.证明 由①得z=a-x-y ，代入②整理得.0)44()(44222=+-+-+a ax x y a x y 此式可看作关于y 的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△=16（x-a ）2-16（4x 2-4ax+a 2）≥0)23(16a x x --⇔≥00⇔≤x ≤
.32a 同理可证：0≤y ≤a 32，0≤z ≤a 32 法2：（z －a ）2＝（x ＋y ）2，222212
x y a z +=-，由柯西不等式（x ＋y ）2≤2222(11)()x y ++ （z －a ）2≤2(2212a z -), ∴3z 2－2az ≤0，a ≥0 ∴0≤z ≤a 32同理0≤x ≤,32a 0≤y ≤2.3
a 14.证明 连结BD 、CE. ∵BC=CD=DE ，∠BCD=∠CDE ，∴△BCD ≌△CDE. 又∠BCD=180°-2α,∴∠CBD=∠CDB=∠DCE=∠DEC=α, ∠CDE ＝180°-3α ∴∠CDE ＋∠CAE=180°-3α+3α＝180°
∴A 、C 、D 、E 四点共圆，同理A 、C 、D 、B 四点共圆.由于过A 、C 、D 有且只有一个圆，∴A 、B 、C 、D 、E 共圆. ∵BC=CD=DE ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=α. 15解 当图形成一笔画时用时最少．但上图有4个奇顶点，要使
之成为一笔画，须用一条线段连接其中两个奇顶点．显然，用线段将
AB 连接，则由C 开始到D 结束构成一笔画图形，其中该装置在A
到B 部分离开纸面，这样用时最少，总共须用.。