云南省师范大学五华区实验中学高中数学 第二章 数列 等比数列前n项和教学案 新人教A版必修5
等比数列的前n项和教案
等比数列的前n项和教案教案标题：等比数列的前n项和教案教学目标：1. 理解等比数列的概念和性质。
2. 掌握等比数列的通项公式和前n项和公式。
3. 能够运用所学知识解决实际问题。
教学重点：1. 掌握等比数列的通项公式和前n项和公式。
2. 能够灵活运用所学知识解决实际问题。
教学难点：能够灵活运用所学知识解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、黑板、粉笔、计算器等。
2. 学生准备：教材、笔、纸等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问复习上节课所学的等差数列的概念和性质。
2. 引入等比数列的概念，与等差数列进行对比，激发学生对等比数列的兴趣。
二、概念讲解与示例分析（15分钟）1. 教师讲解等比数列的概念，并通过具体的数列示例进行说明。
2. 引导学生观察等比数列的特点，如相邻两项的比值相等等。
3. 通过多个实例，帮助学生理解等比数列的通项公式和前n项和公式的推导过程。
三、讲解通项公式和前n项和公式的推导过程（15分钟）1. 教师详细讲解等比数列的通项公式和前n项和公式的推导过程。
2. 引导学生思考推导过程中的关键步骤和思路，帮助他们理解公式的来源和意义。
3. 提醒学生注意公式中的各个符号的含义，并对公式进行解读。
四、练习与巩固（20分钟）1. 教师出示一些练习题，要求学生运用所学知识计算等比数列的前n项和。
2. 学生个别或小组完成练习题，教师巡回指导和辅导。
3. 部分学生上台讲解解题思路和方法，促进学生之间的合作与交流。
五、拓展与应用（10分钟）1. 教师出示一些实际问题，要求学生运用等比数列的前n项和公式解决问题。
2. 学生个别或小组完成应用题，教师巡回指导和辅导。
3. 部分学生上台讲解解题思路和方法，鼓励学生发表自己的观点和见解。
六、归纳总结与作业布置（5分钟）1. 教师与学生一起归纳总结等比数列的通项公式和前n项和公式的关键点。
2. 布置作业：要求学生完成课后练习册中的相关习题，并预习下节课内容。
数学《等比数列前n项和》教案
数学《等比数列前n项和》教案教学目标：1.理解等比数列的概念和通项公式；2.掌握等比数列前n项和的公式及推导方法；3.能够运用等比数列前n项和的公式解决相关问题。
教学重点：1.等比数列前n项和的推导方法；2.能够熟练运用等比数列前n项和的公式。
教学难点：1.能够理解等比数列的概念及推导等比数列前n项和的公式；2.能够应用等比数列前n项和的公式解决实际问题。
教学准备：1.教师准备好黑板、白板、粉笔、彩笔等教学工具；2.学生准备好笔、本、计算器等学习工具。
教学过程：一、引入知识点1.教师用一些有趣的图形或数字进行呈现，让学生猜测其规律并推导出通项公式；2.教师再利用上述内容引出等比数列的概念和通项公式。
二、等比数列前n项和1.利用图形、数字等举例，让学生理解等比数列前n项和的概念；2.讲解等比数列前n项和的公式及其推导方法，让学生理解其原理；3.用若干例题让学生掌握等比数列前n项和的计算方法。
三、课堂练习1.组织学生进行单项选择、填空、计算等形式的练习，锻炼学生的逻辑思维能力；2.组织学生进行思考题的讨论，引导他们从多个角度全面理解等比数列前n项和的应用。
四、总结归纳1.教师针对学生的表现进行归纳总结，指出学生易犯的错误及解决方法；2.教师引导学生总结本节课的重点内容及学习经验，促进学生的自我认知和思考能力。
五、作业布置1.针对学生的实际水平和课堂表现，布置适当的作业；2.作业内容包括课后习题、练习题、阅读文献或设计实际问题。
教学反思：1.教师应根据学生的实际情况和学习差异，制定差异化教学策略；2.教师应积极引导学生通过课外阅读、实践探究等方式学习知识点，提高学生的自学能力。
等比数列前n项和的教案
等比数列前n项和教学设计一、教学内容与任务分析《等比数列的前n项和》的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学必修五第二章第五节2.5等比数列前n项和，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。
一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”，以及生活中如储蓄、分期付款的应用作准备。
二、学生者分析学生是高中刚入学的学生，有一定的分析问题、解决问题的能力，已经学习了等比数列的概念及通项公式，学习了等差数列前n项和，对于公式推导归纳的过程有了一定的了解。
但等比数列前n项和的公式与等差数列有所差别，而学生的思维虽然活跃，但看问题可能不够严谨全面，公式中的一些注意点往往会被忽视。
三、教学重难点重点：等比数列前n项和的推导及其简单应用。
难点：等比数列前n项和的推导，推导过程中错位相减的思想的掌握四、教学目标1. 知识与技能目标（1）理解等比数列的前n项和公式的推导方法（2）能说出等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题2. 过程与方法目标（1）通过公式的推导过程，提高建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力（2）体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想3. 情感态度价值观目标（1）经历对公式的探索，激发求知欲，大胆尝试、勇于探索、从中获得成功的体验（2）体会数学的应用价值，理论联系实际的辩证思维五、教学过程一、创设情境情境：话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO ．可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙．悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍．”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元；……哇，发财了……” 心里越想越美……再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”师：假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？【学情预设】学生对于情境有较强的兴趣，在讨论后会给出一些答案。
等比数列前n项和公式教案
一、教案基本信息等比数列前n项和公式教案课时安排：1课时教学目标：1. 理解等比数列的概念；2. 掌握等比数列前n项和的计算方法；3. 能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题。
教学内容：1. 等比数列的概念介绍；2. 等比数列前n项和的公式推导；3. 等比数列前n项和的计算方法讲解；4. 运用等比数列前n项和公式解决实际问题。
教学方法：1. 讲授法：讲解等比数列的概念、公式及计算方法；2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用等比数列前n项和公式解决问题；3. 互动教学法：引导学生积极参与讨论，提高课堂氛围。
教学准备：1. PPT课件；2. 教学案例及练习题。
二、教学过程1. 导入：利用PPT课件展示等比数列的图片，引导学生思考等比数列的概念。
2. 等比数列的概念介绍：讲解等比数列的定义，引导学生理解等比数列的特点。
3. 等比数列前n项和的公式推导：利用PPT课件展示等比数列前n项和的公式推导过程，引导学生跟随步骤进行思考。
4. 等比数列前n项和的计算方法讲解：讲解等比数列前n项和的计算方法，引导学生理解并掌握公式的运用。
5. 运用等比数列前n项和公式解决实际问题：出示教学案例，引导学生运用所学知识解决实际问题，巩固知识点。
6. 课堂练习：出示练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
7. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的运用。
8. 课后作业：布置课后作业，让学生巩固所学知识。
三、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
四、教学评价通过课堂表现、课后作业和练习题的完成情况，评价学生对等比数列前n项和公式的掌握程度。
五、拓展延伸引导学生深入研究等比数列的性质，探索等比数列前n项和的性质，提高学生的数学思维能力。
六、教学活动设计1. 复习导入：复习等比数列的概念，引导学生回顾等比数列的特点。
2. 等比数列前n项和的公式回顾：简要回顾等比数列前n项和的公式，提醒学生注意公式的构成和运用。
等比数列前n项和公式教案
等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。
2. 引导学生通过观察、分析、归纳等比数列前n项和的公式。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念及基本性质。
2. 等比数列前n项和的公式推导。
3. 等比数列前n项和公式的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导及应用。
2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解与运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等比数列前n项和的公式。
2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子体会等比数列前n项和公式的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入：回顾等差数列的前n项和公式，引出等比数列前n项和公式的探究。
2. 新课：介绍等比数列的概念及基本性质，引导学生观察等比数列的前n项和的特点。
3. 推导：引导学生通过观察、分析等比数列的前n项和，归纳出等比数列前n项和的公式。
4. 巩固：通过例题讲解，让学生掌握等比数列前n项和的公式的应用。
5. 拓展：引导学生思考等比数列前n项和公式的推广应用，提高学生的思维能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的关键点。
7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和性质的理解程度，以及学生对等比数列前n项和公式的掌握情况。
2. 练习题：布置课后练习题，检验学生对等比数列前n项和公式的应用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生对等比数列前n项和公式的理解深度和团队合作能力。
七、教学反思1. 教师总结：本节课结束后，教师应总结自己在教学过程中的优点和不足，如教学方法、课堂组织等。
2. 学生反馈：收集学生对等比数列前n项和公式的学习反馈，了解学生的掌握情况，为后续教学提供参考。
等比数列前n项和教学教案
等比数列前n项和教学教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式。
2. 引导学生掌握等比数列前n项和的公式，并能灵活运用。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、教学重点与难点1. 重点：等比数列的概念，等比数列前n项和的公式。
2. 难点：等比数列前n项和的公式的推导和灵活运用。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究等比数列前n项和的公式。
2. 利用多媒体课件，形象直观地展示等比数列前n项和的过程。
3. 运用例题讲解，让学生在实践中掌握等比数列前n项和的运用。
四、教学准备1. 多媒体课件。
2. 教学素材（例题、练习题）。
五、教学过程1. 导入新课1.1 复习等比数列的概念和通项公式。
1.2 提问：等比数列的前n项和能否表示为一个公式？2. 探究等比数列前n项和的公式2.1 引导学生列出等比数列前n项和的表达式。
2.2 引导学生通过观察、分析、归纳等比数列前n项和的公式。
2.3 讲解公式的推导过程，让学生理解并掌握。
3. 例题讲解3.1 选取典型例题，讲解等比数列前n项和的运用。
3.2 引导学生跟着步骤一起解答，加深对公式的理解。
4. 课堂练习4.1 布置少量练习题，让学生巩固所学知识。
4.2 引导学生独立完成练习题，并及时给予解答和指导。
5. 总结与拓展5.1 总结等比数列前n项和的特点和运用。
5.2 提出拓展问题，激发学生进一步学习的兴趣。
6. 课后作业6.1 布置适量作业，让学生进一步巩固等比数列前n项和的知识。
6.2 强调作业的完成质量和时间。
七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
八、教学评价1. 学生对等比数列前n项和的概念和公式的掌握程度。
2. 学生在练习题中的表现，以及运用等比数列前n项和解决实际问题的能力。
3. 学生对课后作业的完成情况。
九、教学进度安排1. 本节课计划用2课时完成。
等比数列的前n项和公式教案
等比数列的前n项和公式经典教案一、教学目标1. 理解等比数列的概念及其特点。
2. 掌握等比数列的前n项和公式的推导过程。
3. 能够运用等比数列的前n项和公式解决实际问题。
二、教学内容1. 等比数列的概念及其特点等比数列的定义等比数列的通项公式等比数列的性质2. 等比数列的前n项和公式的推导过程利用数学归纳法推导等比数列的前n项和公式理解等比数列前n项和公式的意义三、教学方法1. 讲授法：讲解等比数列的概念、特点和前n项和公式的推导过程。
2. 案例分析法：通过具体案例，让学生运用等比数列的前n项和公式解决实际问题。
3. 互动教学法：引导学生积极参与课堂讨论，提问回答，增强学生的理解和记忆。
四、教学准备1. 教学PPT：制作等比数列的概念、特点和前n项和公式的PPT课件。
2. 教学案例：准备一些实际问题，用于引导学生运用等比数列的前n项和公式。
五、教学步骤1. 导入新课：介绍等比数列的概念和特点，引导学生回顾等差数列的前n项和公式。
2. 讲解等比数列的前n项和公式：通过PPT课件，详细讲解等比数列的前n项和公式的推导过程。
3. 案例分析：给出一些实际问题，让学生运用等比数列的前n项和公式进行解答。
4. 课堂练习：布置一些练习题，让学生巩固等比数列的前n项和公式的应用。
教学反思：本节课通过讲解等比数列的概念、特点和前n项和公式的推导过程，让学生掌握了等比数列的前n项和公式的应用。
在案例分析环节，通过实际问题的解答，让学生更好地理解了等比数列的前n项和公式的应用。
在课堂练习环节，布置了一些练习题，让学生巩固了所学知识。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
在今后的教学中，可以进一步增加课堂互动，引导学生积极参与讨论，提高学生的学习兴趣。
可以增加一些拓展问题，培养学生的思维能力和创新能力。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解学生对等比数列概念和前n项和公式的理解和掌握情况。
2. 练习题解答：检查学生课堂练习题的完成情况，评估学生对等比数列前n项和公式的应用能力。
等比数列前n项和公式教案
等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解等比数列的概念；（2）掌握等比数列前n项和的公式；（3）能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳等比数列前n项和的特征；（2）引导学生运用类比、推理等方法探索等比数列前n项和的公式；（3）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学知识的兴趣；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神；（3）让学生感受数学在生活中的应用，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念：等比数列是一种特殊的数列，从第二项起，每一项都是前一项与一个常数（称为公比）的乘积。
2. 等比数列前n项和的公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列前n项和为：Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）等比数列的概念；（2）等比数列前n项和的公式。
2. 教学难点：（1）等比数列前n项和的公式的推导；（2）公比q不等于1和等于1时的特殊情况处理。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生观察、分析等比数列前n项和的特征；2. 运用类比、推理等方法，让学生探索等比数列前n项和的公式；3. 通过例题讲解、练习，使学生掌握等比数列前n项和的公式的应用。
五、教学过程1. 导入：（1）回顾等差数列的前n项和公式；（2）引导学生思考等比数列的前n项和是否有类似的公式。
2. 新课讲解：（1）介绍等比数列的概念；（2）引导学生观察等比数列前n项和的特征；（3）引导学生探索等比数列前n项和的公式；（4）讲解公比q不等于1和等于1时的特殊情况。
3. 例题讲解：（1）运用等比数列前n项和公式解决简单问题；（2）引导学生分析、解答典型例题。
4. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生巩固等比数列前n项和公式的应用；（2）引导学生互相讨论、交流，解答练习题。
等比数列前n项和教案
《等比数列前n项和》教案一、教学目标：1.知识与技能：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
2.过程与方法：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。
3.情感态度与价值观：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观。
二、教学重点与难点：教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的应用。
教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学的数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴涵了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
三、教学方法：以多媒体辅助教学，引导学生分析求解，师生合作，师生互动。
四、教学过程：1.复习回顾：（1）等比数列及等比数列通项公式。
（2）回忆等差数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的。
2.情境导入：话说唐僧师徒四人西天取得真经，修成正果之后，猪八戒回到他朝思暮想的高老庄，大力发展畜牧养殖业，从给高老爷做工的农民工，逐步发展成为一个规模不小的养殖场的老板。
可是上网和同门师兄一沟通，各个资产过亿，于是他也想扩大生产规模，办一个集养殖、加工为一体的高科技生产企业-----高老庄集团，可是资金不够，于是他想到了在海南搞房地产的大师兄。
猪八戒：猴哥,能不能帮帮我……孙悟空：No problem ！我每天给你投资100万元， 连续一个月(30天)，但有一个条件：第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元……后一天返还数为前一天的2倍．30天之后互不相欠。
猪八戒：第一天出１元入100万；第二天出2元入100万;第三天出4元入100万元；……哇，发了……（想：这猴子是不是又在耍我）让我们帮猪八戒算一算：八戒吸纳的资金为100×30＝3000万元。
需返还悟空的钱数为S 30＝1+2+22+23+……+229＝？事实上，这是等比数列的求和问题，那么怎样求等比数列的前n 项和呢？使学生带着浓厚的兴趣引入新课。
等比数列的前n项和公式教案
等比数列的前n项和公式经典教案一、教学目标：1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的前n项和的定义。
2. 通过探究等比数列前n项和的公式，培养学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。
3. 能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二、教学内容：1. 等比数列的概念及其性质。
2. 等比数列的前n项和的定义。
3. 等比数列前n项和公式的探究。
4. 等比数列前n项和公式的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导过程，以及公式的应用。
2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解和运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生自主探究等比数列前n项和公式。
2. 利用多媒体辅助教学，直观展示等比数列前n项和的图形，帮助学生理解。
3. 实例分析法，让学生通过解决实际问题，掌握等比数列前n项和公式的应用。
五、教学过程：1. 引入：回顾等差数列的前n项和公式，引导学生思考等比数列的前n项和能否也有类似的公式。
2. 等比数列的概念复习：回顾等比数列的定义及其性质。
3. 等比数列的前n项和的定义：引导学生理解等比数列前n项和的含义。
4. 探究等比数列前n项和公式：引导学生分组讨论，归纳总结等比数列前n项和公式。
5. 公式验证与应用：利用多媒体展示等比数列前n项和的图形，帮助学生理解公式。
并通过实例分析，让学生掌握公式的应用。
6. 总结与评价：对本节课的内容进行总结，对学生的学习情况进行评价。
7. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和前n项和公式的理解程度。
2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和思考过程，评估他们的合作能力。
3. 练习题解答：收集学生的练习题答案，评估他们对等比数列前n 项和公式的掌握情况。
七、教学拓展：1. 等比数列的极限：引导学生思考等比数列前n项和的极限值，为后续学习数列极限奠定基础。
等比数列前n项和公式教案
等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。
2. 引导学生探究等比数列前n项和的计算方法，推导出等比数列前n项和公式。
3. 培养学生运用等比数列前n项和公式解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导及应用。
2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解与灵活运用。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究等比数列前n项和的计算方法。
2. 利用多媒体辅助教学，直观展示等比数列前n项和公式的推导过程。
3. 运用案例分析法，让学生在解决实际问题中掌握等比数列前n项和公式。
四、教学准备1. 多媒体教学课件。
2. 等比数列相关案例资料。
五、教学过程1. 导入新课1.1 复习等比数列的基本概念。
1.2 提问：等比数列的前n项和如何计算？2. 探究等比数列前n项和公式2.1 引导学生列出等比数列前n项和的表达式。
2.2 分组讨论，让学生尝试推导等比数列前n项和公式。
2.3 展示等比数列前n项和公式的推导过程。
3. 案例分析3.1 出示典型案例，让学生运用等比数列前n项和公式解决问题。
4. 巩固练习4.1 布置练习题，让学生运用等比数列前n项和公式计算。
4.2 学生互相批改，教师讲评。
5. 课堂小结5.2 强调等比数列前n项和公式的注意事项。
6. 课后作业6.1 布置课后习题，巩固等比数列前n项和公式的计算。
6.2 鼓励学生自主探究，发现等比数列前n项和公式的更多应用。
六、教学拓展6.1 引导学生思考等比数列前n项和的公式在数学中的应用，如求等比数列的前n项和的最大值或最小值。
6.2 探讨等比数列前n项和公式与其他数列前n项和公式的联系与区别。
七、实践环节7.1 让学生分组，每组设计一个等比数列问题，并运用等比数列前n项和公式解决。
7.2 各组汇报解题过程和结果，教师点评并指导。
8.2 强调等比数列前n项和公式的注意事项，提醒学生在实际应用中灵活运用。
等比数列前n项和公式教案
一、教学目标知识与技能目标：理解等比数列的定义，掌握等比数列前n项和的公式，能够运用公式计算等比数列的前n项和。
过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等比数列前n项和的特征，培养学生运用数学符号表示数列的前n项和的能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
二、教学重点与难点重点：等比数列前n项和的公式。
难点：理解和运用等比数列前n项和的公式。
三、教学准备教师准备：等比数列前n项和的公式相关知识点PPT。
学生准备：预习等比数列的相关知识。
四、教学过程1. 导入新课教师通过复习等差数列的知识，引导学生思考等比数列的前n项和能否用一个公式来表示。
2. 探究等比数列前n项和的公式（1）教师引导学生观察等比数列的前几项和的特点，学生独立思考并尝试归纳总结。
（2）教师组织学生进行小组讨论，分享各自的思考和发现，引导学生共同得出（3）教师对学生的结论进行评价和指导，确认等比数列前n项和的公式。
3. 公式应用（1）教师给出几个等比数列的前n项和的例子，学生运用刚学的公式进行计算。
（2）教师引导学生总结公式在计算等比数列前n项和时的运用方法。
4. 巩固练习学生自主完成等比数列前n项和的计算练习题，教师进行个别辅导和解答疑问。
5. 课堂小结教师引导学生回顾本节课所学内容，总结等比数列前n项和的公式及运用方法。
五、课后作业请学生完成课后练习题，巩固等比数列前n项和的公式及其应用。
六、教学拓展1. 教师引导学生思考：等比数列前n项和的公式是否适用于其他类型的数列？2. 学生分组讨论，尝试将等比数列前n项和的公式拓展到其他类型的数列，如等差数列、多项式数列等。
3. 各小组汇报讨论成果，教师进行点评和指导。
七、课堂互动1. 教师设计等比数列前n项和的计算游戏，让学生在游戏中巩固所学知识。
2. 学生分组进行游戏，教师观察学生的操作过程，及时给予指导和评价。
3. 游戏结束后，教师组织学生讨论游戏中的收获和不足，引导学生总结提高。
等比数列前n项和公式教案
等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。
2. 推导并记忆等比数列前n项和的公式。
3. 能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题。
二、教学重点1. 等比数列前n项和公式的推导。
2. 等比数列前n项和公式的应用。
三、教学难点1. 等比数列前n项和公式的记忆与运用。
四、教学准备1. 教学PPT。
2. 教案。
3. 教学素材。
五、教学过程1. 引入：通过回顾等差数列的知识，引导学生思考等比数列的概念及其性质。
2. 讲解：讲解等比数列的定义，引导学生掌握等比数列的基本性质。
3. 推导：引导学生通过小组合作，共同推导等比数列前n项和的公式。
4. 总结：对等比数列前n项和公式进行总结，强调公式的记忆与运用。
5. 练习：布置课堂练习，让学生运用等比数列前n项和公式解决实际问题。
6. 反馈：对学生的练习情况进行反馈，解答学生的疑问。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的重点和难点。
8. 作业布置：布置课后作业，巩固学生对等比数列前n项和公式的掌握。
六、教学反思在课后对教学效果进行反思，分析学生的学习情况，针对学生的掌握情况调整教学策略，以提高学生对等比数列前n项和公式的理解和应用能力。
七、教学评价通过课堂表现、课后作业和练习情况，评价学生对等比数列前n项和公式的掌握程度。
六、教学活动设计1. 活动一：等比数列的概念辨析教师提出等比数列的定义，学生尝试解释。
教师给出几个例子，学生判断是否为等比数列。
2. 活动二：等比数列性质探索学生通过小组讨论，探索等比数列的性质。
每个小组汇报他们的发现，教师进行点评和总结。
3. 活动三：等比数列前n项和公式推导教师引导学生使用归纳法或数学归纳法推导等比数列前n项和公式。
学生在教师的引导下，通过数学运算和逻辑推理得出公式。
七、教学方法1. 讲授法：教师讲解等比数列的概念、性质和前n项和公式的推导过程。
2. 讨论法：学生在小组内讨论等比数列的性质，分享各自的想法。
等比数列前n项和教案
等比数列前n项和教案一、教学目标1.理解等比数列的概念和性质；2.掌握等比数列前n项和的求法；3.能够应用等比数列前n项和的公式解决实际问题。
二、教学重点1.等比数列前n项和的求法；2.等比数列前n项和的应用。
三、教学难点1.等比数列前n项和的推导过程；2.等比数列前n项和的应用题目。
四、教学过程1. 等比数列的概念和性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数，这个常数叫做公比，用q表示。
例如，1，2，4，8，16，32，64，128就是一个等比数列，公比为2。
等比数列的性质有：•任意一项与它前面的一项的比值都相等，即an/an-1=q；•任意一项与它后面的一项的比值都相等，即an/an+1=q；•等比数列的前n项和可以表示为Sn=a1(1-qn)/(1-q)。
2. 等比数列前n项和的求法等比数列前n项和的求法可以通过公式Sn=a1(1-qn)/(1-q)来实现。
其中，a1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。
例如，求等比数列1，2，4，8，16，32，64，128的前5项和，可以使用公式Sn=a1(1-qn)/(1-q)，其中a1=1，q=2，n=5，代入公式得到S5=1(1-25)/(1-2)=-31。
3. 等比数列前n项和的应用等比数列前n项和的应用非常广泛，例如在金融领域中，可以用来计算复利的本息和；在工程领域中，可以用来计算等比数列的总和，从而确定工程的总成本等。
例如，某公司的销售额每年增长20%，第一年的销售额为100万元，问5年后的总销售额是多少？解：这是一个等比数列，首项为100万元，公比为1.2，共有5项。
根据等比数列前n项和的公式Sn=a1(1-qn)/(1-q)，代入a1=100万元，q=1.2，n=5，得到S5=100(1-1.25)/(1-1.2)=672.98万元。
五、教学总结通过本次教学，我们了解了等比数列的概念和性质，掌握了等比数列前n项和的求法，以及应用等比数列前n项和的公式解决实际问题的方法。
等比数列的前n项和教案
等比数列的前n项和教案教学目标：1.了解等比数列的定义和性质；2.掌握等比数列的通项公式和求前n项和的方法；3.能够灵活运用等比数列的相关知识解决实际问题。
教学内容：一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二个数起，每一个数都是前一个数乘以同一个常数。
这个常数叫作等比数列的公比。
二、等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为r，则等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为项数。
公式中的^表示乘方运算。
三、等比数列的前n项和设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn，则等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (r^n - 1) / (r - 1)。
教学过程：一、导入新知识1.通过与学生的互动，复习等差数列的相关知识和求前n项和的方法。
2.引入等比数列的概念，与学生一起回顾等比数列的定义和性质。
二、讲解等比数列的通项公式1.向学生介绍等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，并解释公式中各个符号的含义。
2.通过一些具体的例子，引导学生理解等比数列的通项公式，并与等差数列进行对比，找出它们的区别。
三、练习求等比数列的前n项和1.通过多个例题，讲解等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (r^n - 1) / (r - 1)。
2.鼓励学生参与课堂练习，巩固所学知识。
四、拓展应用1.引导学生思考如何应用等比数列的前n项和公式解决实际问题，例如利润增长、人口增长等问题。
2.提供一些实际问题，让学生运用所学知识进行求解，培养解决实际问题的能力。
五、梳理知识点1.复习等比数列的概念、通项公式和前n项和公式。
2.对比等差数列和等比数列，总结其异同点。
教学反思：通过本节课的学习，学生对等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式有了更深的理解，并能够运用所学方法解决一些实际问题。
同时，通过举一反三的方法，让学生从更广泛的角度思考和运用等比数列的知识。
云南省师范大学五华区实验中学高中数学 第二章 数列
云南省师范大学五华区实验中学高中数学 第二章 数列 等比数列前n 项和教学案 新人教A 版必修5问题生将共同分析探究等比数列的前n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的.等比数列前n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得q a a a a a a a a n n n n =====---1223211..., 再由分式性质，得q a S a S n n n =--1,整理得)1(11≠--=q q q a a S n n . 教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.教学重点 1.等比数列前n 项和公式的推导;2.等比数列前n 项和公式的应用.教学难点 等比数列前n 项和公式的推导.教学目标1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n 项和公式；3.用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，利用公式知三求一；4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.教学过程导入新课问题 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？问题 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.问题 假定千粒麦子的质量为40 g ，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？问题 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下. 课件展示：1+2+22+…+2 63=?问题 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消. 课件展示：S=1+2+22+23+…+2 63,①2S=2+22+23+…+263+264,②②-①得2S-S=2 64-1.264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g ，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. 问题 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.推进新课 ［合作探究］问题 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q 2+…+q n =？问题 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.问题 若将上式左边的每一项乘以公比q ，就出现了什么样的结果呢？如果记S n =1+q+q 2+…+q n ,那么qS n =q+q 2+…+q n +q n +1.要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n .问题 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值. 如果q≠1，则有q q S n--=11. 问题 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果.如果q ＝1，那么S n =n .问题 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：a 1+a 2+a 3+…+a n =？［教问题精讲］问题 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.问题 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n q,要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n q.问题 再次提醒学生注意q 的取值.如果q≠1，则有q q a a S n n --=11.问题 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1,那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n ,要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n .如果q≠1，则有q q a S n n --=1)1(1. 问题 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地.值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.问题 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？ 问题 完全正确.如果q ＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？问题 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下： ［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 再由合比定理，则得q a a a a a a a a n n =++++++++-1321432......, 即q a S a S nn n =--1, 从而就有(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略)思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n ),从而得(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略)问题 探究中我们们应该发现，S n -S n -1=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？问题 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞1.问题 综合上面的探究过程，我们得出：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n［例题剖析］【例题1】 求下列等比数列的前8项的和： (1)21,41,81,…； (2)a 1=27,a 9=2431,q ＜0. ［合作探究］问题生共同分析：由(1)所给条件，可得211=a ，21=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可. 由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了.【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？ 问题 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q=1+10%=1.1,S n =30 000.于是得到300001.11)1.11(5000=--n , 整理得1.1n =1.6,两边取对数，得n lg1.1=lg1.6,用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041.02.0≈5(年). 答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.练习：教材第66页，练习第1、2、3题.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时，注意q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.。
云南省师范大学五华区实验中学高中数学 第二章 数列 等差数列的前n项和教学案 新人教A版必修5
云南省师范大学五华区实验中学高中数学第二章数列等差数列的前n项和教学案新人教A版必修5“等差数列的前n项和”第一节课主要通过高斯算法来引起学生对数列求和的兴趣，进而引导学生对等差数列的前n项和公式作出探究，逐步引出求和公式以及公式的变形，初步形成对等差数列的前n项和公式的认识，让学生通过探究了解一些解决数学问题的一般思路和方法，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，所以，在教学中宜采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.为了让学生较熟练地掌握公式，要采用设计变式题的教学手段.通过本节的例题的教学，使学生感受到在实际问题中建立数学模型的必要性，以及如何去建立数学模型的方式方法，培养学生善于从实际情境中去发现数列模型，促进学生对本节内容的认知结构的形成.教学重点等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用.教学难点灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题.教具准备多媒体课件、投影仪、投影胶片等教学目标掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.教学过程导入新课教问题出示投影胶片1：印度泰姬陵(T a j M a h a l)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.问题对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事.教问题出示投影胶片2：高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老问题出了一道题目，老问题说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5 050.”教问题问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5 050.问题这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？问题对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了.问题问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？推进新课［合作探究］问题我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?问题高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?问题妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：1+2+3+ (21)21+20+19+ (1)对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.现在我将求和问题一般化：(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2)如何求等差数列{a n}的前n项的和S n?［方法引导］问题如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为a n，则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行.引导学生总结：这些公式中出现了几个量？问题如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?问题当公差d≠0时，等差数列{a n}的前n项和S n可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差.［知识应用］【例1】(直接代公式)计算：(1)1+2+3+…+n；(2)1+3+5+…+(2n-1)；(3)2+4+6+…+2n；(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答.生(1)1+2+3+…+n=2)1(+nn；(2)1+3+5+…+(2n-1)=2)11(-+nn=n2；(3)2+4+6+…+2n=2)22(+nn=n(n+1).问题第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用S n公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)问题 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.【例2】 （课本第49页例1)分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗?【例3】 (课本第50页例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？问题 首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？问题 通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.［合作探究］问题 请同学们阅读课本第50页的例3，阅读后我们来互相进行交流.(给出一定的时间让学生对本题加以理解)问题 本题是给出了一个数列的前n 项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么?问题 对的，通项与前n 项的和公式有何种关系?问题 回答的真好!由S n 的定义可知，当n =1时，S 1=a 1；当n ≥2时，a n =S n -S n -1， 即a n =S 1(n =1),S n -S n -1(n ≥2).这种已知数列的S n 来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项a n =2n -21，我们从中知它是等差数列，这时当n =1也是满足的，但是不是所有已知S n 求a n 的问题都能使n =1时，a n =S n -S n -1满足呢?请同学们再来探究一下课本第51页的探究问题.问题 如果一个数列的前n 项和公式是常数项为0，且是关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n 项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.课堂练习等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？(学生板演)解：设题中的等差数列为{a n }，前n 项和为S n ,则a 1=-10,d =(-6)-(-10)=4,S n =54,由公式可得-10n +2)1(-n n ×4=54. 解之,得n 1=9,n 2=-3(舍去). 所以等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.(教问题对学生的解答给出评价)课堂小结问题 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?①等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=, ②等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=. 问题 通过等差数列的前n 项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法? ①通过等差数列的前n 项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量.问题 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容?如果一个数列的前n 项和公式中的常数项为0，且是关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前n 项和公式的结构特征上来认识等差数列.。
云南省师范大学五华区实验中学高中数学 第二章 数列
云南省师范大学五华区实验中学高中数学第二章数列等比数列教学案新人教A版必修5本节内容先由问题生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教问题引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程.教学中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性.准备丰富的阅读材料，为学生提供自主学习的可能，进而达到更好的理解和巩固课堂所学知识的目的.教学重点1.等比数列的概念;2.等比数列的通项公式.教学难点1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;2.等比数列与指数函数的关系.教学目标1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等比数列与指数函数的关系.教学过程导入新课问题现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？问题现实生活中，我们会遇到许多这类的事例.教问题出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.问题细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？教问题出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”问题这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？问题 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？问题介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)n，这里n为存期.问题合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④问题回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？问题引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.引入课题：板书课题 2.4等比数列的概念及通项公式推进新课［合作探究］问题从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.［教问题精讲］问题同学们概括得很好，这就是等比数列(geometric seque n ce)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progressio n).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(commo n r a tio)，公比通常用字母q表示(q≠0).请同学们想一想，为什么q≠0呢？问题假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？问题对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0.问题那么，等比数列的首项能不能为0呢？问题是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0.［合作探究］问题类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.问题想一想，这时a、b的符号有什么特点呢？你能用a、b表示G吗？问题观察学生所得到的a、b、G的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n-k+a n+k=2a n.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？［合作探究］探究：(1)一个数列a1,a2,a3,…,a n,…(a1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？(3)任一项a n及公比q相同，则这两个数列相同吗？(4)任意两项a m、a n相同，这两个数列相同吗？(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？问题引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答.概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.概括学生对(2)(3)(4)的解答.(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备)［合作探究］问题回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？［方法引导］问题这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？问题在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明.问题让学生说出公式中首项a1和公比q的限制条件.［知识拓展］问题前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？教问题出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y 元.（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.问题前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.问题请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格：等差数列等比数列定义从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数首项、公差(公比)取值有无限制没有任何限制首项、公比都不能为0通项公式a n=a1+(n-1)d a n=a1q n-1相应图象的特点直线y=a1+(x-1)d上孤立的点函数y=a1q x-1图象上孤立的点练习：1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.问题启发、引导学生列方程求未知量.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的定义.2.等比数列的通项公式.3.等比数列与指数函数的联系.。
云南省师范大学五华区实验中学高中数学 第二章 数列 数列的概念教学案 新人教A版必修5
某某省师X 大学五华区实验中学高中数学 第二章 数列 数列的概念教学案 新人教A 版必修5本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教学目标1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.教学过程导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？生 1，3，6，10，….师 图212中正方形数呢？生 1，4，9，16，25，….师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，….推进新课［合作探究］折纸问题师 请同学们想一想，一X 纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一X 纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,…. 生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n .［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),…. 师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1n n ;(2)a n =(-1)n ·n . 师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5.师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，….师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n -+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+； (5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1).师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数) 定义域R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式y=f(x) a n =f(n ) 图象 点的集合 一些离散的点的集合课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式.。
云南昆明市五华区民族中学高二数学教案《等比数列的前n项和》
一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教版）第二章第5节第一课时。
从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
二、学生学习情况分析从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。
不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
三、设计思想《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。
对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。
心理学家研究发现，9~22岁的学生正处于创新思维的培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。
利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。
在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。
四、教学目标理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。
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云南省师范大学五华区实验中学高中数学第二章数列等比数
列前n 项和教学案新人教A 版必修5
问题生将共同分析探究等比数列的前n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的.
等比数列前n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得
q a a
a a a a a a n n n n =====---1
223211...,再由分式性质，得
q a S n n n =--1,整理得)1(1≠--=q q
a a S n n .
教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.
教学重点 1.等比数列前n 项和公式的推导;2.等比数列前n 项和公式的应用.
教学难点等比数列前n 项和公式的推导.教学目标
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；
2.探索并掌握等比数列前n 项和公式；
3.用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，利用公式知三求一；
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.教学过程导入新课
问题国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？
问题“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.
问题假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？
问题这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：
1+2+22+…+263
=?
问题我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.
现在我们来思考一下这个式子的计算方法：
记S=1+2+22+23+…+263
，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：
S=1+2+22+23+…+263
,①
2S=2+22+23+…+263+264
,②②-①得
2S-S=264
-1.264-1这个数很大，超过了1.84×1019
，假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.问题国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.推进新课
［合作探究］
问题在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q 2+…+q n
=？问题这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.问题若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？
如果记S n =1+q+q 2+…+q n
,
那么qS n =q+q 2+…+q n +q n +1
.
要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n
.问题提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值.
如果q≠1，则有q
q S n
--=11.
问题当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果.
如果q＝1，那么S n =n .
问题上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？
课件展示：
a 1+a 2+a 3+…+a n =？［教问题精讲］
问题在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.问题在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n q,
要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n q.问题再次提醒学生注意q 的取值.如果q≠1，则有q
q
a a S n n --=
11.
问题上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：
如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1
,
那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n
,
要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n
.
如果q≠1，则有q
q a S n n --=1)
1(1.
问题上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地.
值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.问题现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？问题完全正确.
如果q＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？
问题等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］
思路一：根据等比数列的定义，我们有：
q a a a a a a a a n n =====-1
34
2312...,再由合比定理，则得
q a a a a a a a a n n
=++++++++-1
321432......,
即
q a S a S n
n n =--1
,
从而就有(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略)
思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得
S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n ),从而得(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略)
问题探究中我们们应该发现，S n -S n -1=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？
问题对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞1.问题综合上面的探究过程，我们得出：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--==1
,1)
1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,
1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n ［例题剖析］
【例题1】求下列等比数列的前8项的和：
(1)
21,41,8
1
,…；(2)a 1=27,a 9=243
1
,q＜0.
［合作探究］问题生共同分析：
由(1)所给条件，可得11=
a ，1
=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可.由(2)所给条件，需要从243
1
9=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而
a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=
1
9a =1⨯，再由q＜0，可得1
-=q ，将所得的值代入公式就可以了.
【例题2】某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？
问题根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30000求n 的问题.
解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5000,q=1+10%=1.1,S n =30000.
于是得到300001
.11)
1.11(5000=--n ,
整理得1.1n
=1.6,
两边取对数，得n lg1.1=lg1.6,用计算器算得1.1lg 6.1lg =
n ≈041
.02.0≈5(年).答：大约5年可以使总销售量达到30000台.练习：
教材第66页，练习第1、2、3题.课堂小结
本节学习了如下内容：
1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.
2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.
在使用等比数列求和公式时，注意q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.。