【全国百强校】湖南省长郡中学、雅礼中学等四校2020届高三2月联考(线上)理科综合试题
2020年湖南省长沙市长郡中学、雅礼中学等四校联考高考英语模拟试卷(2月份)
2020年湖南省长沙市长郡中学、雅礼中学等四校联考高考英语模拟试卷（2月份）第二部分阅读理解（共两节，满分30分）第一节（共4小题；每小题6分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项．1. Best Cookbooks for Kids for 2019Best Overall: Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make （and Eat !）Buy on AmazonBuy on WalmartWith the help of this best﹣selling cookbook, your kids will become masters in the kitchen! Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make （and Eat! ） is ideal for children aged 6 to 12, as it includes detailed explanations of basic cooking techniques, plus more than 50 kid﹣friendly recipes． This award﹣winning cookbook is a comprehensive guide for cooking novices, explaining skills and recipes in kid﹣friendly language．Best for Learning Basics: Better Homes and Gardens New． Junior CookbookBuy on AmazonBuy on WalmartIf you want to teach your kids cooking terms, tools and techniques, you need the Better Homes and Gardens New Junior Cookbook． This 128﹣page cookbook has more than 65 kid﹣friendly recipes, and it’s perfect for introducing kids aged 5 to 12 to the wonderful world of cooking． It includes a detailed section on cooking terms, kitchen safety, tools （including pictures）, and healthy cooking． It also addresses how to measure ingredients and how to read recipes．Best Classic: Betty Crocker f s Cook book for Boys and GirlsBuy on AmazonBuy on TargetBuy on WalmartThe first edition of this classic kids’ cookbook was published more than 60 years ago, and the Bet ty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls is still a favorite for kids and adults alike． The recipes are ideal for children aged 8 to 12． This cookbook is an authentic reproduction of the original 1957 edition, which many baby boomers learned from themselves! Many older buyers write that they had the same cookbook growing up and love sharing the classic recipes with the next generation．Best Vegetarian: The Help Yourself Cookbook for KidsBuy on AmazonBuy on WalmartThis vegan cookbook is best for children aged 6 to 12, and its aim is to teach kids about healthy eating by involving them in the cooking process． The book features 60 plant﹣based recipes for you to make with your family, including meals, snacks, drinks and desserts．（1）Which cookbook can be purchased on Target？________A. Best Overall．B. Best for Learning Basics．C. Best Classic．D. Best Vegetarian．．（2）What can we know about Best for Learning Basics？________A.It is an award﹣winning cookbook．B.It teaches the kids about kitchen safety．C.It includes 60 plant﹣based recipes．D.It was published more than 60 years ago．．（3）What is the similarity between Best Overall and Best Vegetarian？________A.They are both designed for kids．B.They have recipes based on plants．C.They have recipes for whatever you want．D.They explain how to measure ingredients．【答案】CBA【考点】应用文阅读广告布告类阅读【解析】本文属于说明文阅读，作者通过这篇文章主要向我们描述了2019年儿童最佳食谱．【解答】（1）C．细节理解题．根据文章第三部分Best Classic： Betty Crocker fs Cook book for Boys and Girls；Buy on Amazon； Buy on Target；最佳经典：贝蒂•克罗克为男孩和女孩准备的烹饪书；在亚马逊上购买；在Target上购买；可知最佳经典可以在Target上购买；故选C．（2）B．推理判断题．根据文章第二部分 It includes a detailed section on cooking terms，kitchen safety， tools （including pictures）， and healthy cooking．它包括关于烹饪术语，厨房安全，工具（包括图片），和健康烹饪的详细章节．可知它包括一个关于烹饪术语，厨房的详细章节安全、工具（包括图片）和健康烹饪；故选B．（3）A．细节理解题．作者通过这篇文章主要向我们描述了2019年儿童最佳食谱．可知它们都是为孩子们设计的；故选A．2. Gong Linna, renowned Chinese musician and founder of Chinese New Art Music, puther music teaching methods to practice for the first time at the Tracing Roots practice concert and music festival of the Affiliated High School of Peking University on May 23．The first song of the concert, Search High and Low, is an allusion （暗指）to the classical poem Li Sao, “The road ahead will be long． 1 shall search high and low．” “It’s arranged to be sung by all performers, indicating that we should all search high and low for our roots, ” Gong says．To explore the education and the popularization of Chinese music, in 2017, Gong established a research and development team, which includes ethnomusicologist, Du Yaxiong, and music historian, Zhao Zhongming, to deliberate her music teaching methods and summarize the vocal skills of Chinese music．Gong believed that the popularization of Chinese music should rely on primary and secondary schools rather than music academies．The children’s passion for music and theiroutstanding performance amazed Gong, “When singi ng, they are completely immersed in the music．Music brings light and richness to one’s spiritual world． So, learning to sing is never about passing examinations, but about enjoying the music．”Lu Yueming, instructor of the school’s art center, said, “The children worked really hard and kept in mind Gong’s instructions． Seeing their performance, I know that they truly fell in love with traditional Chinese music．”“Seeing the children perform my pieces, I realized I should write more songs for them, ” Lao Luo, Gong’s husband said proudly．"It’s a great encouragement for me to see how much they like the songs, and they really need content related to Chinese culture/’ With an international vision, Gong will continue to write songs based on Chinese folk music or ancient poems．Gong said children should learn about the beauty of Chinese music． Only when you know about your own sounds, can you have cultural confidence．（1）Why is the song Search High and Low arranged at the concert？________A.Because Gong is a renowned Chinese musician．B.Because people are expected to search their roots．C.Because Gong’s music teaching method is practical．D.Because Gong wants to deliberate her music teaching method．．（2）What should the popularization of Chinese music depend on according to Gong？________A. Music academies．B. The support of the government．C. Primary and secondary schools．D. Famous musicians across the country．．（3）What is Gong’s future plan in music？________A.She will train more children to study abroad．B.She will perform more concerts to promote Chinese music．C.She will help children learn about the beauty of various types of music．D.She will write more songs based on Chinese folk music or ancient poems．．（4）What’s the best title of the passage？________A.Creating Music Helps Cultural ConfidenceB.Gong Linna ﹣ My DramatistC.Music Education Gets New VoiceD.Chinese Music： Development， Instruments．【答案】BCDC【考点】社会文化类阅读议论文阅读【解析】本文主要介绍了探索中国音乐的教育和普及，中国音乐的普及应该依靠中小学，孩子们应该学习中国音乐的美，只有了解自己的声音，才能有文化自信．【解答】（1） B．细节理解题．根据第二段句子“It’s arranged to be sung by all performers，indicating that we should all search high and low for our roots，”这首歌被安排由所有的表演者演唱，表明我们都应该寻根，所以选B．（2） C．细节理解题．根据第四段句子Gong believed that the popularization of Chinese music should rely on primary and secondary schools rather than music academies．龚琳娜认为，中国音乐的普及应该依靠中小学，而不是音乐院校．所以选C．（3） D．细节理解题．根据倒数第二段句子Gong will continue to write songs based on Chinese folk music or ancient poems．龚琳娜将继续以中国为基础创作歌曲．所以选D．（4） C．标题归纳题．根据最后一句话Gong said children should learn about the beauty of Chinese music． Only when you know about your own sounds， can you have cultural confidence，本文主要介绍了探索中国音乐的教育和普及，孩子们应该学习中国音乐的美，只有了解自己的声音，才能有文化自信．所以C选项符合句意．故选C．3. Space Hotel Promises Guests A Truly Out﹣Of﹣This﹣World VacationLooking for a true out﹣of﹣this﹣world vacation? Then you are in luck! On Thursday, Aprils, Texas﹣based start﹣up Orion Span announced they were taking reservations for Aurora （极光）Station, the world’s first luxury hotel in space, which is expected to launch in 2021 and begin welcoming visitors by 2022．The pill﹣shaped space station, which begins construction in 2019, will measure 43.5 feet long and 14.1 feet wide﹣about the s ize of a large private jet’s cabin﹣when completed． It will accommodate four guests in two private suites and two crew members, most likely former astronauts． Hovering about 200 miles above Earth, Aurora Station will circle the planet once every 90 minutes, enabling guests to enjoy 16 spectacular sunrises and sunsets daily, as well as scores of the breathtaking northern and southern auroras that the hotel is named after．While admiring the beauty of our planet, tourists can eat non﹣astronaut food and drinks or entertain themselves with playing cards． Those hoping to do something more worthwhile will be able to engage in astronaut﹣like experiments such as growing food in a special environment． The Wi﹣Fi enabled spacecraft will make it easy for guests to share their experiences with friends and family members on Earth． At the end of the week and half﹣long vacation, returning guests will be treated to a special “hero’s welcome”, similar to the one experienced by astronauts returning from a real mission．Before the once﹣in﹣a﹣lifetime trip, guests will have to undergo the three﹣month﹣long special training learning how to move in a weightless environment, along with the basics of spaceflight and orbital mechanics． Also, before you start packing your bags, you will have to pay ﹩9.5 million for the 12﹣day round﹣trip vacation．While several companies are planning to build hotels in space, Orion Span hopes to transform sections of used rockets floating in space into hotel rooms, instead of crowding the already messy skies with additional man﹣made objects．（1）What can be learnt about Aurora Station？________A.People can visit it now．B.It’s construction will last for about 5 years．C.It can only hold four people in this station．D.It looks like a pill with the size of a small plane．．（2）Why is the station named Aurora Station？________A.Because guests can enjoy spectacular auroras of the Earth．B.Because the station will give off auroras while travelling．C.Because the station will run around the auroras of the Earth．D.Because the hotel is lit up by the auroras of the Earth．．（3）What can guests do in a space hotel？________A. Stay there as long as they like．B. Cook meals like they are at home．C. Communicate with their family．D. Receive welcome as a real hero．．（4）What can be inferred from the last paragraph？________A.There is little room for people to live on the earth．B.Too many space crafts have aroused people’s concern．C.Space hotels will be necessary in the near future．ed rockets floating in space are easy to be recycled．【答案】DACB【考点】记叙文阅读日常生活类阅读【解析】本文为记叙文．主要记述美国Orion Span公司正在打造的世界上第一家太空豪华酒店．【解答】（1）D．细节理解题．根据第二段第一句The pill﹣shaped space station，which begins construction in 2019， will measure 43.5 feet long and 14.1 feet wide﹣about the size of a large private jet’s cabin﹣when completed（2019年开始建造的丸状空间站，长43.5英尺，宽14.1英尺，建成后大约相当于一架大型私人飞机的机舱），可知，极光站形状是丸状的，大小与私人飞机的机舱差不多，D项正确．故选D．（2）A．细节理解题．根据第二段最后一句Aurora Station will circle the planet once every 90 minutes， enabl ing guests to enjoy …the breathtaking northern and southern auroras that the hotel is named after（极光站将每90分钟环绕地球一圈，使客人能够欣赏到……该酒店以其命名的令人叹为观止的南北极光），由此可知，奥罗拉斯酒店就是因为客人可以在此欣赏到地球上壮观的极光而命名的．A项正确．故选A．（3）C．细节理解题．根据第三段中The Wi﹣Fi enabled spacecraft will make it easy for guests to share their experiences with friends and family members on Earth（这艘搭载Wi﹣Fi功能的太空船将使游客很容易与地球上的朋友和家人分享他们的经历）可知，这艘太空船内置Wi﹣Fi功能，住在太空旅馆的客人能够与家人沟通．C项正确．故选C．（4）B．推理判断题．根据最后一段While several companies are planning to buildhotels in space， Orion Span hopes to transform sections of used rockets floating in space into hotel rooms， instead of crowding the already messy skies with additional man﹣madeobjects（虽然有几家公司计划在太空中建造酒店，但Orion Span 希望将漂浮在太空中的部分废旧火箭改造成酒店客房，而不是用额外的人造物品挤占早就拥挤不堪的天空）可以推知，太空中有太多的太空飞行器，这些东西引起了人们的关注．B项正确．故选B．4. The royal family is filled with rules, and one in particular might explain why Princess Charlotte is a princess, but her kids likely won’t be．When it comes to the British royal family, one thing is almost always true: they have a pretty confusing set of official rules and ________s． For instance, the royal family doesn’t have a last name．And don’t forget the fact that Queen Elizabeth cel ebrates two birthdays every year．If your head isn’t swimming yet, consider the tradition of royal titles． As a British custom, only the daughter of a prince or a prince’s wife may be considered a formal “princess”． The latter applies to Kate, who is both a princess and the Duchess of Cambridge thanks to her marriage to Prince William, the Duke of Cambridge． And their children, Prince George and Princess Charlotte, also bear official royal titles because their father is Prince William．However, while Prince George’s future children will also carry their father’s royalstatus, any children that Princess Charlotte has will not automatically be considered princes or princesses． Why? Royal custom dictates that royal titles are passed down via sons, but not daughters．“Royal titles are inherited through sons, so if Princess Charlotte has children they would not automatically inherit the titles （his or her royal highness） HRH, Prince, or Princess, ” Lucy Hume, associate director of etiquet te experts Debrett’s, told Town& Country．Of course, exceptions can （and will!） be made．（Learn about every time the British royal family broke their own protocol．） The Queen has offered HRH status to other royal offspring in the past, including the children of Queen Elizabeth’sdaughter, Anne． Although Princess Anne and her husband, CaptainPhillips, declined, perhaps Princess Charlotte will be extended the same offer when herown children are born．（1）What’s the meaning of the underlined word “protocol” in the first paragraph？________A. Promise．B. Behavior．C. Manners．D. Connection．．（2）What kind of child is regarded as “princess”？________A.The son of a princess．B. The daughter of a prince．C.The daughter of a princess．D. The wife of a king．．（3）Who is Charlotte’s father？________A.Prince George．B. Elizabeth．C.Prince William．D. Captain Philips．．（4）What does the last paragraph mainly tell us？________A.Any person can break traditional rules．B.Not every person must obey traditional rules．C.Any British royal family member has their own title．D.Maybe the British royal family will break their own rules．【答案】CBCD【考点】社会文化类阅读说明文阅读【解析】王室充满了规则，本文主要介绍了英国王室的一些规则和礼仪．【解答】（1） C．细节理解题．根据前文句子When it comes to the British royal family， one thing is almost always true： they have a pretty confusing set of official rules 谈到英国王室，有一件事几乎总是正确的：他们有一套相当混乱的官方规则与官方的规则相对应的应该是礼仪，所以选C“礼仪”．（2） B．细节理解题．根据第三段句子 only the daughter of a prince or a p rince’s wife may be considered a formal “princess”．只有王子的女儿或王子的妻子才可以被认为是正式的“公主”．所以选B．（3） C．根据第三段句子who is both a princess and the Duchess of Cambridge thanks to her marriage to Prince William， the Duke of Cambridge． And their children， Prince George and Princess Charlotte， also bear official royal titles because their father is Prince William．凯特既是剑桥公爵夫人又是公主他们的孩子，乔治王子和夏洛特公主，也有官方的王室头衔，因为他们的父亲是威廉王子．所以选C．（4） D．推理判断题．根据最后一段句子Although Princess Anne and her husband，Captain Phillips， declined， perhaps Princess Charlotte will be extended the same offer when her own children are born．尽管安妮公主和她的丈夫菲利普斯上尉拒绝了，也许夏洛特公主会当她自己的孩子出生时，她也提出同样的要求．也许英国王室会打破自己的规则．所以选D．第二节（共1小题；每小题10分，满分10分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项，选项中有两项为多余选项．If you’ve been feeling a lot sleepy in your d aily life， here are some tips to picking up your energy levels． But first，you should make sure if you’re experiencing some serious illnesses．（1）_______， keep these tips in mind．The first recommendation is to exercise． Although it may seem difficult to work out when you’re tired， it turns out that physical activity can actually give you more energy． The second thing to work on is to go to sleep early enough to get a full night’s sleep， preferably so that you wake up naturally without the need for your alarm．（2）_______． Thus，another useful tip is to take a nap during the afternoon． Naps can restore your mind and body without taking up too much time， regaining your energy and raising working efficiency． The best length of time for a nap is about 20 minutes． Shorter， and you won’t get much out of it．（3）_______．（4）_______． Drinking plenty of water and fluids throughout the day is one important way to stay energized， since dehydration （脱水）leaves us in low sprits． Some experts say that eating smaller meals more often throughout the day can help maintain energy and balance blood sugar levels． Be aware also that people who are overweight are more likelyto experience tiredness easily．（5）_______， reducing extra weight could help you gain more energy．A．If you’re ov erweightB．If you feel uncomfortableC．As you know， it is quite a good habitD．However， this goal is hard to achieve in practiceE．longer， and you may find it harder to sleep at nightF．If you’re otherwise healthy but just need some extra energyG．Other ways to increase energy involve our diet and consumption【答案】F,D,E,G,A【考点】说明文七选五【解析】本文是说明文．这篇文章介绍了人们在日常生活中应对疲劳的几种方式．【解答】（1）F．考查段中句．根据空前“But first，you should make sure if you’re experiencing some serious ilnesses．（首先，你应该确定你是否患有一些严重的疾病．）”和空后“keep t hese tips in mind．（记住这些提示．）”可知，F项（如果你身体健康但需要额外的能量）能够承接上文并且与下文连接通顺．故选F项．（2）D．考查段中句．根据空前" The second thing to work on is to go to sleep early enough to get a full night’s sleep，preferably so that you wake up naturally without theneed for your alarm．（第二件事要做的是早点睡觉，这样可以睡一整晚，早晨最好自然醒来而不需要闹钟．）“和空后Thus， another useful tip is to take a nap during the afternoon．（因此，另一个有用的建议是在下午小睡一会儿．）”可知，D项（然而，这一目标在实践中很难实现）能够承接上文并且与下文连接通顺．选项中的this goal指的是前一句中的“早晨不需要闹钟自然醒．”故选D项．（3）E．考查段尾句．根据空前“The best length of time for a nap is about 20 minutes． Shorter，and you won’t get much out ofit．（再短一点，你就没什么收获了）”可知，E项（再长一点，你可能会发现晚上很难入睡）能够承接上文．选项与前一句的句式结构是相同的．故选E项．（4）G．考查段首句．根据空后“Drinking plenty of water and fluids throughout the dayis one important way to stay energized， since dehydration leaves us in low sprits．（每天多喝水等液体饮品是保持活力的一个重要途径，因为脱水会让我们情绪低落．）”可知，G项（其他增加活力的方法包括我们的饮食和饭食）能够与下文连接通顺．后文的water和meals是对选项的具体举例．故选G项．（5）A．考查段尾句．根据空前“Be aware also that people who are overweight are more likely to experience tiredness easily．（还要注意，体重超重的人更容易感到疲劳．）”可知，选择A项后整个句子意为如果你超重，减少额外的体重可以帮助你获得更多的精力．能够承接上文．选项中的overweight与逗号后的extra weight是同义表达．故选A 项．第二部分语言知识运用（共两节，满分30分）第一节（共1小题；每小题1.5分，满分30分）阅读下面短文，从短文后各题所给的A、B、C和D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项．Soon after my arrival in Luanda, I realized that I was going to have some free time available． I decided to （1）_______ it doing something useful and involving with the （2）_______community．I started my research for volunteering opportunities here and a blog post （3）_______my eye．It was Ashima’s （4）_______ on how she started her （5）_______ journey in Luanda． Ashima has been volunteering at the Foundation for Art and Culture for more than a year． I decided to （6）_______ with them and soon after I got a very warm and welcoming（7）_______ inviting me to the foundation． The next day as I （8）_______ into the foundation little did I know it would become such a（n）（9）_______ part of mylife in Luanda．I was a bit hesitant （10）_______as I had never worked with children before and my Portuguese then was much （11）_______than now． But as I slowly started doing some activities with children, there were not any （12）_______． All that you （13）_______ was a heart full of love and everyone （14）_______ the language of love．I found plenty of （15）_______ to do with kids, keeping them busy and havingfun． Together we played, sang, learned new things, （16）_______ new games and reinvented the old．The children coming to the Foundation are wonderful, and full of （17）_______ and energy． It is a beautiful place with wonderful projects． Without doubt it is the best （18）_______ I could have found in Luanda, and I am very （19）_______ to go there as often as I can． The staff （20）_______there really make you feel welcome and at home．（1）A.spendB.spareC.enjoyD.kill（2）A.foreignB.newC.wholeD.local（3）A.hurtB.foggedC.caughtD.escaped（4）A.postB.opinionmentD.plan（5）A.businessB.volunteeringC.sightseeingD.adventure（6）A.get alongB.catch upC.fit inD.get in touch（7）A.senseB.responseC.receptionD.ceremony（8）A.walkedB.ranC.brokeD.turned（9）A.efficientB.shortC.beautifulD.minor（10）A.initiallyB.actuallyC.recentlyD.eventually（11）A.slowerB.easierC.poorerD.less（12）A.onversationsnguagesC.barriersD.methods（13）A.desiredB.requiredC.hadD.needed（14）A.spokeB.learnedC.recommendedD.heard（15）A.jobsB.activitiesC.favorsD.researches（16）A.taughtB.appreciatedC.createdD.bought（17）A.loveB.viewC.surpriseD.faith（18）A.chancepanyC.placeD.way（19）A.busyB.happyC.sorryD.curious（20）petingB.arrivingC.appearingD.working【答案】ADCABDBADACCDABCACDB【考点】日常生活类阅读【解析】本文是一篇记叙文．文章讲述了作者在Luanda的一个基金会从事志愿者工作的经历，这成为作者在Luanda生活中美好的回忆作者为能经常去那里而感到快乐．【解答】（1）A 考查动词词义辨析．A．spend花费；B．spare留出，匀出；C．enjoy享受；D kill杀死．句意：我决定把闲暇时间花在做一些有用的事情上，密切地联系当地的社区．由第二段第一句作者开始寻找做志愿者工作的机会可知，作者想花费"闲暇时间做有用的事情， spend time doing sth意为花费时间做某事．故选A．（2） D 考查形容词词义辨析．A． foregn外国的； B． new新的； C． whole整个的；D． local本地的．句意：我决定把闲暇时间花在做一些有用的事情上，密切地联系当地的社区．作者来到Luanda后有一些闲暇时间，根据常识，作者是与“当地的”社区建立联系，外国的、新的、整个的都不合乎语境．故选D．（3） C 考查动词词义辨析．A． hurt伤害； B．fogged使困惑，使混淆不清；C． caught抓住； D． escaped逃脱．句意：我在这里升始寻找做志虑者工作的机会，一篇博文吸引了我的注意力．由下文的Ashima has been vclunteering可知，作者发现的博文是与做志愿者工作有关的，因此这篇博文吸引了作者的注意力，catch one’s eye意为“吸引某人的注意力”．故选C．（4） A 考查名词词义辨析．A． post帖子； B． opinion意见； C． comment评论；D． plan计划．句意：这篇博文是有关Ashima如何开始在Luanda的志愿者工作的．由上一句中的a blog post可知，作者看到的是Ashima在网H发的‘帖子"， post是同词复现故选A．（5） B 考查名词词义辨析．A． business商业； B． volunteering志愿工作；C． sightseeing观光； D． adventure冒险．句意：这篇博文是有关Ashima如何开始在Luanda的志愿者工作的．由下一句的Ashima has been volunteering 可知，博文的内容是有关Ashima在Luanda的志愿者工作的．volunteering 是同词复现．故选B．（6） D 考查动词短语辨析．A． get along相处； B． catch up追赶； C fit in适应；D． get in touch取得联系．句意：我决定与基金会取得联系，不久之后，我收到了一个热情的回应欢迎我去基金会．作者希望从事志愿者工作，因此看到Ashima的博文后决定与基金会“联系”．故选D．（7）B 考查名词词义辨析．A．sense感觉；D．response回应；C．reception按待；D． ceremony仪式．创意：我大定与基金会取得联系，不久之后，我收到了一个然情的回应欢迎我去基金会．作者决定与基金会取得联系，由本勾的inviting me to thefoundaticn可知，作者得到了“回应”．故选B．（8） A 考查动词词义辨析．A． walked步行；B．ran跑： C broke折断； D． turned转身．句意：第天，当我走进基全会的时候，我几乎不知道它会成为我在Luarda生活中如此美好的一部分，基金会对作者发出了邀请，因此作者第二天"走进了’基金会．故选A．（9） C 考查形容词词义辨析．A． efficient高效的； B． short简短的； C． beatiful美丽的； D． minor次要的．句意：第二天，当我走进基金会的时候，我几乎不知道它会成为我在Luanda生活中如此美好的一部分．由最后一段的It s a beauriful place可知，在基金会的经历让作者感受到了“美好”．故选C．（10） A 考查副词词义辨析．A． initially最初； B． actually实际上； C． recenty最近； D． eventuly最终．句意：一开始我有点犹豫，因为我从来没有做过与孩子有关的工作，那时我的葡萄牙语比现在差得多．由空后的as I had never worked with childrenoefore可知，作者从米没有做过与孩子自关的工作，因此作省最初会有些犹豫．故选A．（11） C 考查形容词词义辨析．A． slower较慢的； B． easier较容易的； C． poorer较差的； D． less较少的．句意：开始我有点犹豫，因为我从来没有做过与孩了有关的工作，那时我的葡萄牙语比现在差得多．由作者最初有些犹豫可知，作者的语言水平不好．故选C．（12） C 考查名词词义辨析．A．conversation对话； B． language语言； C． barrier障碍； D． method方法．句意：但当我慢慢地开始和孩子们一起做一些活动时，我没有感受到任何障碍．作者起初有些犹豫是因为自己有困难，包括没有做过与孩子有关的工作和葡萄牙语讲得不好．这些困难是作者工作的“障碍” ，但随着时间的推移，作者克服了这些“障碍”．故选C．（13） D 考查动词词义辨析．A． desired渴望； B．required要求； C． had有；D． needed需要．句意：你所需要的是一颗充满爱的心，这里的每个人说话都充满关爱．由上文可知，困难是可以战胜的．填入needed表示做好这份志愿者工作“需要”的是爱心，符合语境．故选D．（14） A 考查动词词义辨析．A． spoke说话； B．learned了解； C． recommended推荐； D． heard听过．句意：你所需要的是一颗充满爱的心，这里的每个人说话都充满关爱．做好这份志愿者工作需要爱心，选择spoke与language连用，表示人们说话时言语充满着关爱，这符合做志愿者工作的宗旨．故选A．（15） B 考查名词词义辨析．A． jobs工作； B． activities活动； C． favors赞成；D． researches研究．句意：我为孩子们找到各种各样的活动，他们忙于玩耍很开心．根据上文的doing some activities with children可知，作者为孩子们举行各种各样的“活动”，让孩子们玩得开心， activities是同词复现．故选B．（16） C 考查动词词义辨析． A．taught教导； B． appreciated感激，欣赏；C． created创造； D． bought购买．句意：我们一起玩，一起唱歌，一起学习新东西，一起创造新游戏，一起改造旧游戏．由“reinvented the old ：改造旧游戏”可知，作者和孩子们一起"创造新游戏．故选C．（17） A 考查名词词义辨析．A． love爱心； B． view观点； C．surprise惊讶；D． faith信仰．句意：来到基金会的孩子们非常棒，充满了爱心和活力．由前文Allthat you 13 was a heart full of love and everyone． 14 the language of love．可知，从事志愿者工作的人们心中充满爱，那么来到这里的孩子们也会充满“爱心”．故选A．（18） C 考查名词词义辨析．A． chance机会； B． company公司； C．place地点；D． way方式．句意：无疑问，这是我在Luanda能找到的最好的地方．由前句的a beautiful place可知，在这里作者看到的是关爱，即这个基金会是个美好的“地方”，place是同词复现．故选C．（19） B 考查形容词词义辨析．A． busy忙碌的； B． happy快乐的； C． sorry抱歉；D．curious好奇的．句意：我为尽可能经常去那里感到很高兴．作者喜欢这个基金会，因此作者为能经常去那里而感到“快乐”．故选B．（20） D 考查动词词义辨析．A． compete竞争； B． arrive到达； C． appear出现；D． work工作．句意：在那里工作的员工真的让你感到宾至如归．由作者在基金会的工作非常愉快可知，“工作”在基金会的员工使别人感受到了很受欢迎，像回到了家里一样的感觉．故选D．第二节（共1小题；每小题1.5分，满分15分）阅读下面材料，在空白处填入适当的内容（1个单词）或括号内单词的正确形式．Coronavirus Outbreak Tests World’s Dependence on ChinaThe world is quickly （1）________（realize） how much it depends on China．Apple is rerouting supply chains． Ikea is closing its stores and paying staff members （2）________ stay home． Starbucks is warning （3）________ a financial blow． Ford and Toyota will idle some of their vast Chinese assembly plants for an extra week．The （4）________ （mystery）coronavirus has virtually shut down one of the world’s most important（5）________ （grow） engines． Desperate to slow the fast﹣moving virus， the Chinese authorities（6）________（extend）the country’s national holiday，and crippled land， rail and air transport． Entire cities have shut down．The full extent of （7）________ hit to the broader business world is not yet clear． "Our members are dealing with （8）________ （vary） degrees of disruption in their businesses，" said Jake Parker， the senior vice president of the US﹣China Business Council．If travel （9）________ （restrict） and quarantines are expanded or the holiday extended （10）________（far）， he said，“that will amplify these problems．”（c） 2020 The New York Times Company【答案】realizing,to,of,mysterious,growth,have extended,the,varying,restrictions,further【考点】说明文语法填空【解析】本文为议论文．主要论述冠状病毒的爆发考验世界对中国的依赖．【解答】答案及解析：1．realizing．考查动词的形式．句意：世界很快意识到它在多大程度上依赖中国．realize意识到，及物动词，与主语the world之间为主谓关系，本句用了现在进行时，前面已有is，此处应用动词的现在分词形式．故填realizing．2．to．考查动词不定式．句意：宜家正在关闭门店，并向呆在家里的员工支付工资，___ stay home在句子中作后置定语修饰前面名词members，空格后是动词的原形，可判断为动词不定式，空格处单词应为不定式的标志词to．故填to．3．of．考查介词．句意：星巴克发出将面临财务打击预警．warn of提醒注意（可能发生的事）、警告某事．故填of．4．mysterious．考查词类转换．句意：神秘的冠状病毒实际上已经关闭了世界上最重要的增长引擎之一．此处作定语修饰名词coronavirus，用所给单词的形容词形式．名词mystery的形容词为mysterious（神秘的）．故填mysterious．5．growth．考查词类转换．此处作定语表达被修饰词的材料、用途、内容、类别等，用所给单词的名词形式，动词grow的名词形式是growth．故填growth．6．have extended．考查动词的时态．句意：中国当局急于减缓这种快速传播的病毒，延长了国家法定假日，并使陆地、铁路和航空运输停运．此处在句子中作谓语，根据语境可知，应该用现在完成时．故填have extended．7．the．考查定冠词．句意：目前尚不清楚此次疫情对更广泛的商业世界造成多大的冲击．hit冲击、打击，用作名词，根据语境可知，此处特指“这次疫情”，前面需加定冠词．故填the．8．varying．考查词类转换．句意：我们的成员国正在应对其业务中不同程度的中断．此处作定语修饰名词degree，含义是“不同的”，所给单词vary用作动词，其现在分词形式varying可用作形容词，表示“不同的”．故填varying．9．restrictions．考查词类转换．句意：他说，如果旅游限制和隔离措施进一步加大，或者假期进一步延长，将会加剧这些问题．此处与quarantines并列在句子中作主语，用所给单词的名词形式restriction（限制规定），可数名词，应用复数名词．故填restrictions．10．further．考查比较级．根据语境，本句暗含与前面情况相比较，所以用比较级．此处表达的是程度上的比较，用far的比较级further．故填further．第三部分写作（共两节，满分10分）第一节短文改错（共1小题；每小题10分，满分10分）假定英语课上老师要求同桌之间交换修改作文，请你修改你同桌写的以下作文．文中共有＝10处语言错误，每句中最多有两处．每句错误仅涉及一个单词的增加、删除或修改．增加：在缺词处加一个漏字符号（∧），并在其下面写出该加的词．删除：把多余的词用斜线（\）划掉．修改：在错的词下画一横线，并在该词下面写出修改后的词．注意：1．每处错误及其修改均仅限一词；2．只允许修改10处，多者（从第11处起）不计分．Before I started my winter holiday last year， I made a thoroughly plan． I make a list of what I should do during the holiday． Then I put them up on the wall in theroom． Whenever I wanted to play with the mobile phone like I had done before， it reminded me to do what I supposed to do． As a result of， I spent a meaningful winter holiday． I finished my homeworks on time， read four novels or learned how to skate．Later，I’m always convinced that take action is more important than making plans． Only by taking action can we get which we want．【答案】Before I started my winter holiday last year， I made a thoroughly plan． I make a list of what I should do during the holiday． Then I put them up on the wall in theroom． Whenever I wanted to play with the mobile phone like I had done before， it reminded me to do what I ∧supposed to do． As a result of， I spent a meaningful winter holiday． I finished my homeworks on time， read four novels or learned how to skate．Later，I’m always convinced that take action is more important than making plans． Only by taking action can we get which we want．解析1．thoroughly改为thorough．考查形容词．修饰名词 plan，用形容词，所以thoroughly改为thorough．2．make改为made．考查谓语动词．根据上下文可知用一般过去时态，所以谓语动词make改为made．。
湖南省长郡中学、雅礼中学等四校2020届高三2月联考(线上)理综生物 (1)
长沙一中长郡中学师大附中雅礼中学2020届高三四校(线上)联考理综生物一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抗酒石酸酸性磷酸酶( TRACP)是一种含铁蛋白，在破骨细胞和活化的吞噬细胞中表达。
测定血清中TRACP浓度，有助于了解骨代谢状况。
下列相关叙述正确的是A．可用双缩脲试剂来检测破骨细胞中TRACP的氨基酸含量B．重金属盐作用可直接使TRACP的氨基酸排列顺序发生改变C．TRACP基因及相关mRNA只存在于吞噬细胞、破骨细胞中D．细胞中内质网、高尔基体的参与使TRACP具有特定的功能2．因发现控制“昼夜节律”分子机制，三位美国科学家获诺贝尔生理学奖。
PER、TIM基因是控制生命体昼夜节律的基因，PER基因编码的蛋白质在细胞核中夜间累积，而白天降解。
下列叙述错误的是A．PER蛋白是大脑皮层作为自动节律性中枢选择性表达的产物B．细胞核的核孔对于通过的物质既有大小限制也有选择透过性C．若抑制TIM蛋白的合成，则PER蛋白不能在细胞核中积累D．PER蛋白的含量升高抑制PER基因的表达实现生物节律性3．下列关于生命活动调节与人体内环境及稳态关系的叙述，正确的是A．内环境中的血浆、淋巴、组织液等成分稳定→机体达到稳态B．饮水不足，内环境渗透压升高，抗利尿激素增加→机体稳态失调C．组织细胞的代谢活动减弱时→生成与回流的组织液中CO2的含量相等D．注射等渗透压的5%的葡萄糖溶液→血浆中胰岛素/胰高血糖素的比值增大4．免疫系统通过多个检查点或“免疫刹车”来避免免疫系统的过度激活，CTLA4和PD-1是T细胞上的两个重要的检查点。
CTLA4检查点的功能(阻止T细胞被激活)类似于不让汽车发动起来，而PD-1检查点的功能(抑制T细胞的活性)类似于让跑动的汽车停下来。
下列有关说法错误的是A．CTLA4检查点和PD-1检查点对T细胞的作用机理不同B．CILA4检査点和PD-1检查点的存在能一定程度上避免引起自身免疫性疾病C．通过调节免疫细胞活性的免疫检查点疗法治疗癌症无副作用D．机体对癌细胞进行特异性免疫主要通过T细胞来完成5．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，大熊猫是其设计原型。
2020届雅礼中学高三第2次月考试卷-物理答案
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【全国百强校】湖南省长郡中学、雅礼中学等四校2020届高三2月联考(线上)英语试题word有答案
长沙一中长郡中学师大附中雅礼中学2020届高三四校（线上）联考英语2020.2命题学校：长郡中学审题学校：雅礼中学注意事项：1. 答題前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上。
2. 选择題答案必须便用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须便用0. 5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试題卷上答题无效。
保持卡面整洁，不折叠、不破损。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. When should the speakers reach the airport?A. At 4:30.B. At 5:00.C. At 5:30.2. What will the man do next?A. Buy a phone.B. Make a call.C. Repair a phone.3. What does the man want to be?A.A teacher.B. A doctor.C. A writer.4. What do we know about the woman?A. She will move to Maine.B. She has lived in Maine for 20 years.C. Her son lives in Maine.5. What is the mail probably doing now?A. Having a job interview.B. Visiting a company.C.Wandering ill the market.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
长沙四大名校2020届髙三四校(线上)联考理综试题及答案
4. 免疫系统通过多个检查点或“免疫刹车”来避免免疫系统的过度激活，CTLA4 和 PD-1 是 T 细胞上 的两个重要的检查点。CTLA4 检查点的功能(阻止 T 细胞被激活)类似于不让汽车发动起来，而PD-1 检查点的功能(抑制 T 细胞的活性)类似于让跑动的汽车停下来。下列有关说法错误的是
A．CTLA4 检查点和 PD-1 检查点对 T 细胞的作用机理不同 B．CILA4 检査点和 PD-1 检查点的存在能一定程度上避免引起自身免疫性疾病 C．通过调节免疫细胞活性的免疫检查点疗法治疗癌症无副作用 D．机体对癌细胞进行特异性免疫主要通过 T 细胞来完成 5．2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，大熊猫是其设计原型。大熊猫最初是食肉动物，经过进化， 其 99%的食物都来源于竹子。现在一个较大的熊猫种群中雌雄数量相等，且雌雄之间可以自由交配， 若 该种群中 B 的基因频率为 60%，b 的基因频率为 40%，则下列有关说法错误的是 A．大熊猫由以肉为食进化为以竹子为食的实质是种群基因频率的定向改变 B．从能量流动分析，大熊猫食性的进化可以减少能量损失，提高能量利用率 C．若该对等位基因位于常染色体上，则显性个体中出现杂合雌熊猫概率约为 57.1% D．若该对等位基因只位于X 染色体上，则XbXb、XbY 的基因型频率分别为 8%、20% 6. 某农科院研究不同生长素类似物对月季插条生根的影响，选择用含蔗糖的磷酸盐缓冲液配制的 A 、 B 两种生长素类似物溶液浸泡月季插条基部，结果如下表所示。下列有关说法正确的是
【全国百强校】湖南省长郡中学、雅礼中学等四校2020届高三2月联考(线上)英语试题word有答案
长沙一中长郡中学师大附中雅礼中学2020届高三四校（线上）联考英语2020.2命题学校：长郡中学审题学校：雅礼中学注意事项：1. 答題前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上。
2. 选择題答案必须便用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须便用0. 5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试題卷上答题无效。
保持卡面整洁，不折叠、不破损。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. When should the speakers reach the airport?A. At 4:30.B. At 5:00.C. At 5:30.2. What will the man do next?A. Buy a phone.B. Make a call.C. Repair a phone.3. What does the man want to be?A.A teacher.B. A doctor.C. A writer.4. What do we know about the woman?A. She will move to Maine.B. She has lived in Maine for 20 years.C. Her son lives in Maine.5. What is the mail probably doing now?A. Having a job interview.B. Visiting a company.C.Wandering ill the market.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
湖南省四校(长郡中学、雅礼中学等)2022届高三生物2月联考(线上)试题(含解析)
湖南省四校（长郡中学、雅礼中学等）2020届高三生物2月联考（线上）试题（含解析）一、选择题：1.抗酒石酸酸性磷酸酶（ TRACP）是一种含铁蛋白，在破骨细胞和活化的吞噬细胞中表达。
测定血清中 TRACP浓度，有助于了解骨代谢状况。
下列相关叙述正确的是（）A. 可用双缩脲试剂来检测破骨细胞中 TRACP的氨基酸含量B. 重金属盐作用可直接使 TRACP的氨基酸排列顺序发生改变C. TRACP基因及相关mRNA只存在于吞噬细胞、破骨细胞中D. 细胞中内质网、高尔基体的参与使 TRACP具有特定的功能【答案】D【解析】【分析】由题干可知抗酒石酸酸性磷酸酶（ TRACP）是一种含铁蛋白，可与双缩脲试剂发生紫色反应，在高温、强酸、强碱、重金属盐溶液中会因空间结构发生改变而变性。
【详解】A、双缩脲试剂与肽键反应检测蛋白质，不能用于检测氨基酸的含量，A错误；B、重金属盐能够使蛋白质发生变性，是蛋白质空间结构的改变，B错误；C、 TRACP基因存在于所有体细胞中，相关mRNA只存在于吞噬细胞、破骨细胞中，C错误；D、TRACP在内质网上合成、加工，在高尔基体上加工、分类和包装，使其具有特定的功能，D 正确。
故选D。
【点睛】本题以TRACP为例分析，意在考查蛋白质的鉴定、合成场所等相关基础知识。
2.因发现控制“昼夜节律”分子机制，三位美国科学家获诺贝尔生理学奖。
PER、TIM基因是控制生命体昼夜节律的基因，PER基因编码的蛋白质在细胞核中夜间累积，而白天降解。
下列叙述错误的是（）A. PER蛋白是大脑皮层作为自动节律性中枢选择性表达的产物B. 细胞核的核孔对于通过的物质既有大小限制也有选择透过性C. 若抑制TIM蛋白的合成，则PER蛋白不能在细胞核中积累D. PER蛋白的含量升高抑制PER基因的表达实现生物节律性【答案】A【解析】【分析】由图可知，PER基因在细胞核内转录出相应的mRNA，mRNA通过核孔进入细胞质，在细胞之内翻译成PER蛋白，PER蛋白可与细胞质内的TIM蛋白结合，形成PER蛋白和TIM蛋白复合体，该复合体夜间在细胞核内积累，白天被降解。
湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学(理)试卷附答案详析
湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学（理）试卷一、单选题 1．已知集合{}220A x xx =∈-++≥N ，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．82．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i -D ．21i 55+ 3．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A ．6B ．25C ．16D ．204．已知数列{}n a 满足211nn n aa a -+=（2n ≥），24804sin 2a a xdx π⋅=⎰，且40a >，则6tan 3a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭( )A ．33-B ．33C ．3-D ．35．将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )A ．14x =- B ．12x=C ．34x = D ．54x =6．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )A ．43斛B ．45斛C ．47斛D ．49斛7．已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC++=u u u v u u u vu u u v v，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ） A ．123P P P ==B ．321P P P >>C ．123P P P >>D ．213P P P >>8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，点A 、B 分别在直线2a x c=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为315，则a =( )A ．3B ．5C ．2D ．69．当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如()trunc 3.13=.已知函数()()trunc f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-、()()11g x g x +=-，且[]0,3x ∈时，()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的所有根的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．610．对四位数abcd （19a ≤≤，0b ≤、c ，9d ≤），若a b >、b c <、c d >，称abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为( ) A ．1695 B ．1696 C ．1697D ．169811．ABC ∆中，所有内角都不是钝角，有以下命题：①sin 2sin 2A B A B =⇔=；①sin 2sin 2A B A B >⇔<；①cos2cos2A B A B >⇔<；①sin cos A B ≥.其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．如图所示，将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A ．33B ．56C ．64D ．78二、填空题13．若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______. 14．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)()(]2sin ,2,0211,0,2xx f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪--∈⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.15．已知变量x 、y 满足约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，在实数x 、y 中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{}n a 的前9项，则1a x =、9a y =，则数列{}n a 的前13项和的最大值为______.16．若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线3y x ax =+上，则实数a =______.三、解答题17．如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，点D 为1AA 的中点.(1)求证：1BC ⊥平面1B CD ；(2)求二面角1C BD C --的平面角的余弦值.18．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)我们称圆心在椭圆上运动，半径为222a b +的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O 作椭圆C 的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C 于A 、B 两点，若直线OA 、OB 的斜率为1k 、2k ，当12210k k +=时，求此时“卫星圆”的个数.19．已知首项为1a 的数列{}n a 各项均为正数，且()()211224n n n n n n a a a a a +++-=，n *∈N .(1)若数列{}n b 的通项n b 满足2n n b a =，且11a =，求数列{}n b 的前n 项和为nT；(2)若数列{}n c 的通项n c 满足()4nn nb c S =，前n 项和为n Q ，当数列{}n c 是等差数列时，对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n a Q a n cm -=成立，求满足条件的所有整数1a 构成的集合.20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以12的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以12的概率向右滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中205X ξ=-.（i ）求X 的分布列：（ii ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？21．已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈.（1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 62sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21019sin ρθ=+.(1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； (2)若M ，N 分别为曲线1C 和曲线2C 上的动点，求MN 的最大值.23．已知函数()2725f x x x =-+-.(1)解不等式()6f x ≥；(2)设函数()f x 的最小值为m ，已知正实数a ，b ，且221max ,a b k a b a b ⎧⎫+=⎨⎬++⎩⎭，证明：21k m ≥.解析湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学（理）试卷一、单选题 1．已知集合{}220A x xx =∈-++≥N ，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】可以求出集合{}0,1,2A =，由A B A ⋃=可得B A ⊆，从而求集合A 的子集个数即可. 解：{}{}2200,1,2A x xx =∈-++≥=N ，∵A B A ⋃=，∵B A ⊆，∵集合A 的子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查并集的运算及理解，是基础题. 2．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B【解析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A ．6B ．25C ．16D ．20【答案】D【解析】代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r，利用模的坐标运算列方程可得6m =，进而可求出AC u u u r 的坐标，则2AC u u u r 可求.【详解】解：(1,1),(3,3)BA BC m =--=--u u u r u u u r ，(2,2)CA m =-u u u r， (4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m ∴+=---==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 又BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2216(4)4(2)m m ∴+-=+-，解得6m =，(2,4)AC ∴=-u u u r ，241620AC ∴=+=u u u r.故选：D.【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题. 4．已知数列{}n a 满足211nn n aa a -+=（2n ≥），24804sin 2a a xdx π⋅=⎰，且40a >，则6tan 3a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭( )A ．33-B ．33C ．3-D ．3【答案】C【解析】由211n n n a a a -+=（2n ≥），可知数列{}n a 是等比数列，利用微积分基本定理可求得20sin21xdx π=⎰，从而可求得24864a a a ⋅== ，而由40a >可知62a =，从而可求得答案.【详解】解：由211n n n a a a -+=（2n ≥），知数列{}n a 是等比数列，又20111sin 2cos 2122220xdx x ππ=-=+=⎰，所以24864a a a ⋅==，又40a >，所以60a >，所以62a =，所以则62tan tan 333a ππ⎛⎫⋅==- ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查微积分基本定理及等比数列的性质，求得62a =是关键，考查运算求解能力，属于中档题. 5．将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )A ．14x =- B ．12x =C ．34x = D ．54x =【答案】D【解析】根据三角函数平移关系求出()gx 的解析式，结合()()4f a g b -=成立的,a b 有min 34a b -=，求出,a b 的关系，结合最小值建立方程求出ϕ的值即可. 【详解】 解：将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，即()2sin ()1g x x πϕ=+-， 若()()4f a g b -=成立，即|2sin 2sin (+)|=4a b ππϕ-， 即|sin sin ()|2a b ππϕ-+=，则sin a π与sin ()b πϕ+一个取最大值1，一个取最小值−1， 不妨设sin 1,sin ()1a b ππϕ=+=-， 则2,,()2,22a k k Zb n n Z πππππϕπ=+∈+=-∈，得112,222a kb n ϕ=+=--， 则2()1a b k n ϕ-=-++，∵min34a b -=， ∵当0k n -=时，3||11,2a b ϕ⎛⎫-=+∈ ⎪⎝⎭， 当1k n -=-时，1|||1|,12a b ϕ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，3|1|4ϕ∴-=，则314ϕ-=或314ϕ-=-，即14ϕ=或74ϕ=（舍），即1()2sin 12sin 144g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由,42x k k Z ππππ+=+∈，得1,4x k k Z =+∈， 当1k=时，对称轴方程为54x =.【点睛】本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出,a b 的大小，结合最小值求出ϕ的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力，有一定难度.6．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )A ．43斛B ．45斛C ．47斛D ．49斛【答案】D【解析】首先判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可. 【详解】解：观察发现该几何体为圆台和圆柱的结合体， 其体积为：2221179262211333ππππ⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=（尺）， 则该粮仓存放的米约为793 1.62493⨯÷≈（斛）. 故选：D. 【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，难度不大.7．已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=u u u v u u u vu u u v v，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ）A ．123P P P ==B ．321P P P >>C ．123P P P >>D ．213P P P >>【答案】C【解析】分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=u u u r u u u r u u u u r，得到点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，进而求得16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=，得出面积之间的关系，即可求解．由题意，分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=u u u r u u u r u u u u r， 所以点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==， 又16GABGA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=， 从而得到::GAB GAC GBC S S S ∆∆∆=111::4:3:26812=， 则123:P :4:3:2P P =，即123P P>>P .故选C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，以及几何概型思想的应用，其中解答中根据响亮的运算求得点G 的位置，得出面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，点A 、B 分别在直线2a x c=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为315，则a =( )A ．3B ．5C ．2D ．6【答案】A【解析】设点2,a A t c ⎛⎫-⎪⎝⎭，0t >，因为OF AB c ==，则2,a B c t c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据点B 在双曲线上可得一个关于,,a b c 方程，根据面积又可得一个关于,,a b c 的方程，在加上222c a b -=，列方程求解即可. 【详解】 解：如图：设点2,a A t c ⎛⎫-⎪⎝⎭，0t >，因为OF AB c ==，则2,a B c t c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 又OB AF ⊥，则221tta ac c c c⋅=--+--，化简得2222(1)a t b c=+，222,1a a B c b c c ⎛⎫∴-++ ⎪ ⎪⎝⎭2222222(1)1a a c b c c a b ∴-⎛⎫-+ +⎝⎭=⎪∵ ， 又221315122a cbc ⨯⨯+=∵， 222c a b -=∵，∵由∵∵∵得3,3,23a b c ===.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的性质的应用，考查学生计算能力，根据条件列方程是本题的关键，是中档题. 9．当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如()trunc 3.13=.已知函数()()trunc f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-、()()11g x g x +=-，且[]0,3x ∈时，()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的所有根的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，又由()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤=-=--=+⎣⎦可得()g x 的周期，通过作图观察的方法可得结果. 【详解】解：由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()gx 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤∴=-=--=+⎣⎦，则()gx 为周期函数，且最小正周期为4. 对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x =当[1,2)x ∈时，()1f x =；当[2,3)x ∈时，()2f x =； 当[3,4)x ∈时，()3f x =； 当[4,5)x ∈时，()4f x =； …；当[1,0)x ∈-时，()1f x =； 当[2,1)x ∈--时，()2f x =； 当[3,2)x ∈--时，()3f x =； 当[4,3)x ∈--时，()4f x =； 当[5,4)x ∈--时，()5f x =；…综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()y f x =与函数()y g x =共有6个交点，即方程()()f x g x =的根的个数为6.故选：D. 【点睛】此题考查了函数的图象和性质，由数形结合求解，画出函数的图像很关键，是中档题. 10．对四位数abcd （19a ≤≤，0b ≤、c ，9d ≤），若a b >、b c <、c d >，称abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为( ) A ．1695 B ．1696 C ．1697 D ．1698【答案】A【解析】由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列举出来算出个数即可. 【详解】解：由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列表如下： 其中第一列是d 取的数，第一行是b 取的数，中间是满足吉祥数的,a c 组合的数量， 如：0,0b d ==，,a c 组合有99⨯种可能，则吉祥数的个数为：9(987654321)8(887654321)⨯+++++++++⨯++++++++7(777654321)1(111111111)+⨯+++++++++⋯+⨯++++++++945844742639217191695=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查列表分类求数量，关键是要在列举中发现规律，进而方便计算出结果，是中档题. 11．ABC ∆中，所有内角都不是钝角，有以下命题：①sin 2sin 2A B A B =⇔=；①sin 2sin 2A B A B >⇔<；①cos2cos2A B A B >⇔<；①sin cos A B ≥.其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用三角公式变形和三角函数的性质逐一判断. 【详解】解：∵sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+＝，则A B =或A B π+＝２，故错误；∵()()()()sin 2sin 2sin sin A B A B A B A B A B =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦－－()()()2cos sin 0sin 00A B A B A B A B A B =+->⇔-<⇔-<⇔<，故正确；∵()()()()cos 2cos 2cos cos A B A B A B A B A B -=++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2sin sin 0sin 00A B A B A B A B A B =-+->⇔-<⇔-<⇔<，故正确；∵sin cos sin sin +222A B A B A B A B πππ⎛⎫≥⇔≥-⇔≥-⇔≥ ⎪⎝⎭，故正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角形中角的关系的判断，考查应用公式变形的熟练程度，是中档题.12．如图所示，将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A ．33B ．56C ．64D ．78【答案】B【解析】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A L ，列从左至右依次记为1233,,B B B L ，行j c 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有jc 色方格时，(),1ijA c δ=，否则(),0ijA c δ=，类似的定义(),ijB c δ，计算得到()()()3311()i i j i j n A n B n c ==+=∑∑３，再证明()39(1,2,3)jn c j ≥=，再证明对任意133i ≤≤均有()()2,2i i nA nB ≥≥，最后求出分隔边条数的最小值.【详解】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56L =， 其次证明：56L ≥，将将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A L ，列从左至右依次记为1233,,B B B L ，行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有jc 色方格时，(),1ijA c δ=，否则(),0ijA c δ=，类似的定义(),ijB c δ，所以()()()()()()()3333331111,,iiiji j j i i i j n A n B A c B c n c δδ====⎫+=+=⎪⎭∑∑∑∑，由于染j c 色的格有21333633⨯=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定再这个a 行和b 列的交叉方格中，从而363ab ≥， 所以()()223633839(1,2,3)j j nc a b ab n c j =+≥≥>⇒≥=∵，由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，于是至少有()1i n A -条分隔边， 类似的，在列i B 中有()i n B 种颜色的方格，于是至少有()1i n B -条分隔边， 则()()()()()()()3333113311166iiiii i i L n A n B n A n B ===≥-+-=+-∑∑∑∵()3166j j n c ==-∑∵下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c 色，则方格的33列均含有1c 的方格，又1c 色的方格有363个,故至少有11行有1c 色方格，于是()1113344n c ≥+=∵由∵∵∵得()()()123664439396656L n c n c n c ≥++-≥++-=，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色, 则对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥，从而，由式∵知：()()()33166334666656i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑，综上，分隔边条数的最小值为56. 故选：B. 【点睛】本题主要考查染色问题，考查计数原理，考查分析推理能力，是一道难度极大的题目. 二、填空题13．若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______. 【答案】23【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得320r n -=，从而得到rn的值. 【详解】解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为 .321(1)2n r r r r n n C x ⋅--⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，再根据它为常数项，可得320r n -=，求得23r n =，故答案为：23.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题. 14．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)()(]2sin ,2,0211,0,2xx f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪--∈⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.【答案】243ππ+【解析】阴影区域在(0,2]上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数()f x 在[2,0)-上的积分，有了底面积，又知道高为6，即可得到柱体的体积.【详解】解：由题意得，阴影区域在(0,2]上为半个圆， 底面积12SS =圆0022124sin cos |2222x x dx ππππππ---=+=+⎰，所以该柱体的 体积为424632ππππ⎛⎫+⨯=+ ⎪⎝⎭. 故答案为：243ππ+.【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力.15．已知变量x 、y 满足约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，在实数x 、y 中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{}n a 的前9项，则1a x =、9a y =，则数列{}n a 的前13项和的最大值为______.【答案】2216【解析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形计算该等差数列{}n a 的公差d ，写出数列{}n a 的前13项和13S ，求出它的最大值.【详解】解：画出约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域，如图所示；解方程组280260x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得410,33A ⎛⎫⎪⎝⎭；记这个等差数列为{}n a ，其公差为d ，则1()918y x dy x -==--， 所以数列{}n a 的前13项和为()()1131371136()131313613(3)284a a y x S a a d x x y +-⎡⎤===+=+=+⎢⎥⎣⎦， 作出直线:30l x y +=，由图形可知，当直线l 过点A 时，3z x y =+取得最大值，所以13S 的最大值为134********⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭.故答案为：2216. 【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域应用问题，也考查了等差数列应用问题，是中档题. 16．若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线3y x ax =+上，则实数a =______.【答案】22-【解析】设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为y kx =，则其斜率唯一确定，转化为二元方程只有唯一实数根，利用根的判别式求解即可. 【详解】解：设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为,0y kx k =≠， 则对角线BD 所在的直线方程为1=-y x k. 由3y kx y x ax=⎧⎨=+⎩，解得2x k a =-， 所以()()()22222211x y k k A x k a O =+=+=+-，同理，222211111k a a k kO k B k ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅--=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 又因为22AO BO =，所以3210a k k a k -++=，即22110k a k k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即21120k a k k k ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令1k t k-=得220t at -+=，因为正方形ABCD 唯一确定，则对角线AC 与BD 唯一确定，于是1k k-值唯一确定，所以关于t 的方程220t at -+=有且只有一个实数根，又1k t R k-=∈.所以280a ∆=-=，即22a =±， 因为20x k a =->，所以a k <；又10a k -->，所以1a k <-，故0a <. 因此22a =-；反过来22a =-时，12,2t k k=--=-，于是26126,22k k -+--=-=；或26126,22k k ---+=-=. 于是正方形ABCD 唯一确定. 故答案为：22-.【点睛】本小题主要考查函数的解析式的求法以及二次函数的性质，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.三、解答题17．如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，点D 为1AA 的中点.(1)求证：1BC ⊥平面1B CD ；(2)求二面角1C BD C --的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)64.【解析】（1）设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE ，由题意可得四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥，再由点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ，求得CD ，同理求得1DB ，得1DB CD =，可得1B C DE ⊥，由线面垂直的判定可得；（2）取BC 的中点O ，连接AO ，可得AO ∵BC ，由正棱柱的性质可得AO ∵平面11BCC B ，以O为坐标原点，向量OB uuu r 、OE uuu r 、OA u u u r分别为x 、y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面CBD 与平面1BC D 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1C BD C --的平面角的余弦值. 【详解】(1)设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE .∵多面体11ABC DB C -是正三棱柱沿平面11DB C 切除部分所得，12BC CC ==， ∵四边形11BB C C 是正方形，且ACAD ⊥.∵点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ， ∵225CD CA AD =+=.同理()22115DB BB AD AB =-+=，∵1DB CD =.∵E 为1B C 的中点，∵1B CDE ⊥.又∵11B C BC ⊥，1BC DE E =I ，∵1B C⊥平面1BC D ；(2)取BC 的中点O ，连接AO . ∵ABC V 为正三角形，AO BC ∴⊥.由正棱柱的性质可得，平面ABC ⊥平面11BCC B ， 且平面ABC I 平面11BCC B BC =， ∵AO ⊥平面11BCC B .以点O 为原点，向量OB uuu r 、OE uuu r 、OA u u u r分别为x 、y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Oxyz . 则()1,0,0B ，()11,2,0B ，()1,0,0C -，()0,1,3D ，()1,1,3CD ∴=u u u r ，()1,1,3BD =-u u u r ，()12,2,0B C =--u u u r.设平面CBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则3030n BD x y z n CD x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ， 令1z =，得0x =，3y =-，即()0,3,1n =-r.由（1）可知，平面1BC D 的一个法向量为()12,2,0B C =--u u u r.()()()10232106cos ,41344n B C ⨯-+-⨯-+⨯∴==+⨯+r u u u r ，又∵二面角1C BD C --的平面角为锐角， ∵二面角1C BDC --的平面角的余弦值为64.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题.18．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)我们称圆心在椭圆上运动，半径为222a b +的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O 作椭圆C 的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C 于A 、B 两点，若直线OA 、OB 的斜率为1k 、2k ，当12210k k +=时，求此时“卫星圆”的个数.【答案】(1)221126x y +=；(2)8个.【解析】(1)由条件可得212b cbc =⎧⎨=⎩，解出来即可；(2) 设“卫星圆”的圆心为()00,x y ，由定义可得“卫星圆”的标准方程为()()22009x x y y -+-=，求其圆心到直线OA ，直线OB 的距离，整理可转化为1k 、2k 是方程()22200009290x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，则00122029x y k k x +=-，再加上12210k k +=，22001126x y +=，解方程即可.【详解】(1)∵椭圆C 的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形， ∵由椭圆的定义和正方形的性质，可得212b cbc =⎧⎨=⎩，解得6b c ==.又22212a b c =+=∵椭圆C 的标准方程为221126x y +=.(2)设“卫星圆”的圆心为()00,x y .由“卫星圆”的定义，可得“卫星圆”的半径为2232a b+=.∵“卫星圆”的标准方程为()()22009x x y y -+-=.∵直线OA ：1y k x =与“卫星圆”相切，则由点到直线的距离公式可1002131k x y k-=+，化简得()222100109290xk x y k y --+-=.同理可得()222200209290xk x y k y --+-=.∵1k 、2k 是方程()2220009290xk x y k y --+-=的两个不相等的实数根，∵2090x -≠，由>0∆，得22009x y +>，将22001126x y +=代入得206x >，00122029x y k k x +=-. 又∵“卫星圆”的圆心()00,x y 在椭圆C 上，∵代入椭圆方程221126x y +=中，可得22001126x y +=.解得22062x y =-，()()()()220022242000012222222000462424240999x x x y x x k k x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴+====---. 当2010x =时，201y =；当20547x =时，20157y =， ∵满足条件的点()00,x y 共8个，∵这样“卫星圆”存在8个. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，注意韦达定理的应用，考查计算能力与分析能力，是一道中档题. 19．已知首项为1a 的数列{}n a 各项均为正数，且()()211224n n n n n n a a a a a +++-=，n *∈N .(1)若数列{}n b 的通项n b 满足2n n b a =，且11a =，求数列{}n b 的前n 项和为nT；(2)若数列{}n c 的通项n c 满足()4nn nb c S =，前n 项和为n Q ，当数列{}n c 是等差数列时，对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n a Q a n cm -=成立，求满足条件的所有整数1a 构成的集合.【答案】(1)()31419n nn T -+=；(2)112,,,m m a a n m n n ***⎧⎫⎪⎪=∈∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N N N . 【解析】(1)由条件可变形为121n n a a n n +=+，可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1a 为首项，以2为公比的等比数列，进而可得112n n a a n -=，则214n n n b a n -==⋅，再利用错位相减法求和即可；(2)根据(1)求出2114a c S =，222216a c S =，233364a c S=，由数列{}n c 是等差数列，列方程可得1S =或3S =，分1S =和3S =讨论，通过条件对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n m a Q a n c -=成立，可得1a .【详解】 (1)∵数列{}n a 各项均为正数，且()()211224n n n n n n a a a a a +++-=，()22141n n n a na +∴+=，即121n n n a na ++=，即121n n a an n+=+. ∵数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1a 为首项，以2为公比的等比数列， 112n na a n-∴=⋅， ∵数列{}n a 的通项公式为112n n a a n -=.∵11a =，∵214n n n b a n -==⋅，∵01211424344n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，12341424344n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，两式相减，得0121344444n nn T n --=++++-⋅L 14414n nn -=-⋅-1443n n n -=-⋅-，()31419n nn T -+∴=， ∵数列{}n b 的前n 项和()31419n nn T -+=； (2)∵数列{}n c 的通项()4nn nb c S =，∵由(1)得，()24nn na c S =，∵2114a c S =，222216a c S =，233364a c S=.又数列{}n c 是等差数列，∵22232123216464a a a S S S=+. 22211121648416a a a S S∴=+，即2430S S -+=. 解得1S =或3S =.又()21144n n nna c S -⋅=，∵当1S =时，214n na c =，{}n c 为等差数列，2211442n a na n Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()22118n a na +=对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n m a Q a n c -=成立，()2221124211181684n a na ma a a n +∴⋅-=⋅，214na m ∴=，12m a n∴=. 又1a 为正整数，∵满足条件的所有整数1a 的值构成的集合为112,,,m m a a n m n n ***⎧⎫⎪⎪=∈∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N N N . 当3S =时，2143n n na c =⨯，()21111243n n n n a c c ++--=⨯Q 不是常数， ∵数列{}n c 不是等差数列，舍去.综上，满足条件的所有整数1a 的值构成的集合为112,,,m m a a n m n n ***⎧⎫⎪⎪=∈∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N N N . 【点睛】本题考查由递推式求通项公式，考查错位相减法求和，考查数列中的存在性，任意性的问题，考查计算能力，是一道难度较大的题目.20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以12的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以12的概率向右滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中205X ξ=-.（i ）求X 的分布列：（ii ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【答案】(1)332；(2)（i ）分布列见解析；（ii ）能盈利. 【解析】（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出这个小球掉入第7层第6个空隙处的概率； （2）X 的取值为1，2，3，4，5，6，7，由此能求出X 的分布列，进而可求出ξ的分布列和E ξ，从而能求出小明同学能盈利. 【详解】(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，则()5161132232P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)（i ）由已知X 的取值可为1，2，3，4，5，6，7.()()0606111722641P X P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎝⎭=⎪⎝⎭；()()1516116326226432P X P X C ⎛⎫⎛⎫====== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ()()24261115352264P X P X C ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()3336112054226416P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵X 的分布列为 X1234567P 116 332 1564 516 1564 332 116（ii ）205Xξ=-Qξ∴的可能取值为0，5，10，15，()()50416P P X ξ====， ()()()1553532P P X P X ξ===+==， ()()()3102616P P X P X ξ===+==， ()()()1151732P P X P X ξ===+==， ∵()515317505101581632163216E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=<. ∵小明同学能盈利. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用. 21．已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈.（1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()(1,0),0,-+∞，；无单调递减区间；（2）证明见解析.【解析】(1)求得3222121()21x x f x x x x++'=++=，分类讨论，即可求解()f x 的单调区间，得到答案；(2)根据12,x x 是函数()g x '的两个零点，设12,x x 是方程20ax x a -+=的两个实数解，再根据二次函数的性质函数()g x 在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值，进而得到1211x a x =+，代入得()()22112121112ln 12x g x g x x x ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭，令21x t =，则211t e <<，得到11()2ln 12t g t t t -⎛⎫=-⎪+⎝⎭，设11()2ln 12x h x x x -⎛⎫=-⎪+⎝⎭，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】(1)由题意，当1a =时，21()f x x x x =+-，3222121()21x x f x x x x'++∴=++=， ∵当0x>时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； ∵当10x -<<时，记32()21x x x ϕ=++，则21()6263x x x x x ϕ'⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 所以当1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，∵()x ϕ单调递减，且()(0)1x ϕϕ>=；当11,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，且(1)0ϕ-=，所以当(1,0)x ∈-时，()0x ϕ>，函数()f x 单调递增.综上所述，函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞；无单调递减区间. (2)由2()()ln ln (R,0)ag x f x x x ax x a x x=--=--∈>， 2221()a ax x ag x a x x x'-+∴=+-=， 12,x x Q 是函数()g x '的两个零点，12,x x ∴是方程20ax x a -+=的两个实数解，由0>∆，且21e a e >+，得2112e a e <<+，则有121x x =， 不妨设12x x <，1201x x ∴<<<。
【全国百强校】湖南省长沙市雅礼中学 2020届高三第2次月考试卷-理科数学答案
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2020年2月湖南省长郡中学、雅礼中学等四校2020届高三毕业班(线上)联考文综地理试题(解析版)
绝密★启用前湖南省四校联考(湖南师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学) 2020届高三毕业班下学期2月(线上)联考检测文综-地理试题(解析版)2020年2月第I卷本卷共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
人类工程建设一般要充分考虑当地自然环境特征。
在青藏铁路路基建设中，采用了自动温控通风管技术。
通风管路基主要由路基主体、道渣和通风管构成。
其工作原理是：冷空气密度较大，在自重和风的作用下将管中的热空气带出，并不断将周围土体中的热量带走，同时也可以自动关闭入口阻隔热空气进入。
通风管两端挡板在气温高于0℃时关闭，低于0℃时打开。
该地一年中日平均气温的变化范围为-14℃～8℃。
负温期（日平均气温小于0℃的时期）约 5～6 个月。
下图为通风管路基示意图，读图回答下列各题。
1. 通风管的设计充分考虑了区域不利自然条件对路基的影响，其主要工作是A. 防止热量散失B. 防止路基积水C. 防止路基冻融D. 保护生物通道2. 通风管通风的工作的主要季节是A. 春节B. 夏季C. 秋季D. 冬季3. 通风管挡板A. 正温期一直处于关闭状态B. 负温期一直处于关闭状态C. 夏季多打开,通风、散热D. 夜晚多打开,储冷、降温【答案】1. C 2. D 3. D【解析】【1题详解】冷空气密度较大,在自重和风的作用下将管中的热空气带出,并不断将周围土体中的热量带走,同时也可以自动关闭入口阻隔热空气进入；青藏高原气候高寒,有多年冻土,所以通风管可以防止冻土融化,保障铁路安全；对防止热量散失、积水及动物通道无关。
选C正确。
【2题详解】通风管两端挡板在气温高于0℃时关闭,低于0℃时打开；即夏季外界气候高,通风管会关闭；冬季外界气候低,通风管会打开,通风管打开才会进入工作状态；春秋两季在青藏高原时间短,影响小。
选D正确。
【3题详解】青藏高原是高原气候,该地一年中日平均气温的变化范围为-14℃～8℃,即使是正温期时,夜间温度可能在0℃以下,通风管也会打开工作,夜间通风管打开冷空气进入,利于降低土层温度,保障铁路安全,A错、D正确；负温期日平均气温小于0℃,通风管会打开工作,B错；夏季白天外界温度高于0℃,通风管多会关闭,C错。
2020届湖南省长郡中学、雅礼中学等四校高三2月联考(线上)数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省长郡中学、雅礼中学等四校高三2月联考（线上）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =∈-++≥N ，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8【答案】D【解析】可以求出集合{}0,1,2A =，由A B A ⋃=可得B A ⊆，从而求集合A 的子集个数即可. 【详解】解：{}{}2200,1,2A x x x =∈-++≥=N ，∵A B A ⋃=， ∴B A ⊆，∴集合A 的子集个数为328=个. 故选：D. 【点睛】本题考查并集的运算及理解，是基础题. 2．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+【答案】B【解析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】 由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A ．6B ．C ．16D ．20【答案】D【解析】代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r，利用模的坐标运算列方程可得6m =，进而可求出AC u u u r的坐标，则2AC u u u r 可求. 【详解】解：(1,1),(3,3)BA BC m =--=--u u u r u u u r ，(2,2)CA m =-u u u r， (4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m ∴+=---==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 又BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2216(4)4(2)m m ∴+-=+-，解得6m =，(2,4)AC ∴=-u u u r，241620AC ∴=+=u u u r .故选：D. 【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题. 4．已知数列{}n a 满足211nn n a a a -+=（2n ≥），24804sin 2a a xdx π⋅=⎰，且40a >，则6tan 3a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭( )A ．3-B C ．D【答案】C【解析】由211n n n a a a -+=（2n ≥），可知数列{}n a 是等比数列，利用微积分基本定理可求得2sin21xdx π=⎰，从而可求得24864a a a ⋅== ，而由40a >可知62a =，从而可求得答案.【详解】解：由211n n n a a a -+=（2n ≥），知数列{}n a 是等比数列，又20111sin 2cos 2122220xdx x ππ=-=+=⎰，所以24864a a a ⋅==，又40a >，所以60a >， 所以62a =，所以则62tan tan 33a ππ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭故选：C. 【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查微积分基本定理及等比数列的性质，求得62a =是关键，考查运算求解能力，属于中档题.5．将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min 34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )A ．14x =-B ．12x =C ．34x =D ．54x =【答案】D【解析】根据三角函数平移关系求出()g x 的解析式，结合()()4f a g b -=成立的,a b 有min 34a b -=，求出,a b 的关系，结合最小值建立方程求出ϕ的值即可. 【详解】解：将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，即()2sin ()1g x x πϕ=+-， 若()()4f a g b -=成立， 即|2sin 2sin (+)|=4a b ππϕ-， 即|sin sin ()|2a b ππϕ-+=，则sin a π与sin ()b πϕ+一个取最大值1，一个取最小值−1， 不妨设sin 1,sin ()1a b ππϕ=+=-， 则2,,()2,22a k k Zb n n Z πππππϕπ=+∈+=-∈，得112,222a kb n ϕ=+=--， 则2()1a b k n ϕ-=-++，∵min 34a b -=， ∴当0k n -=时，3||11,2a b ϕ⎛⎫-=+∈ ⎪⎝⎭， 当1k n -=-时，1|||1|,12a b ϕ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，3|1|4ϕ∴-=， 则314ϕ-=或314ϕ-=-， 即14ϕ=或74ϕ=（舍）， 即1()2sin 12sin 144g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由,42x k k Z ππππ+=+∈，得1,4x k k Z =+∈， 当1k =时，对称轴方程为54x =.故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出,a b 的大小，结合最小值求出ϕ的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力，有一定难度.6．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )A ．43斛B ．45斛C ．47斛D ．49斛【答案】D【解析】首先判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可. 【详解】解：观察发现该几何体为圆台和圆柱的结合体，其体积为：2221179262211333ππππ⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=（尺）， 则该粮仓存放的米约为793 1.62493⨯÷≈（斛）. 故选：D. 【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，难度不大. 7．已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=u u u v u u u v u u u v v，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ） A ．123P P P == B ．321P P P >>C ．123P P P >>D ．213P P P >>【答案】C【解析】分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=u u u r u u u r u u u u r ，得到点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，进而求得16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=，得出面积之间的关系，即可求解． 【详解】由题意，分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=u u u r u u u r u u u u r， 所以点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，又16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=， 从而得到::GAB GAC GBC S S S ∆∆∆=111::4:3:26812=， 则123:P :4:3:2P P =，即123P P>>P .故选C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，以及几何概型思想的应用，其中解答中根据响亮的运算求得点G 的位置，得出面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，点A 、B 分别在直线2a x c=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为，则a =( )A B C ．2D【答案】A【解析】设点2,a A t c ⎛⎫-⎪⎝⎭，0t >，因为OF AB c ==，则2,a B c t c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据点B 在双曲线上可得一个关于,,a b c 方程，根据面积又可得一个关于,,a b c 的方程，在加上222c a b -=，列方程求解即可.【详解】 解：如图：设点2,a A t c ⎛⎫-⎪⎝⎭，0t >，因为OF AB c ==，则2,a B c t c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 又OB AF ⊥，则221tta ac c c c⋅=--+--，化简得2222(1)a t b c=+，222,1a a B c b c c ⎛∴-++ ⎝2222222(1)1a a c b c c a b ∴-⎛⎫-+ +⎝⎭=⎪① ， 又22131512a c b c ⨯⨯+=②，222c a b -=③，∴由①②③得3,3,23a b c ===故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的性质的应用，考查学生计算能力，根据条件列方程是本题的关键，是中档题.9．当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如()trunc 3.13=.已知函数()()trunc f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-、()()11g x g x +=-，且[]0,3x ∈时，()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的所有根的个数为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，又由()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤=-=--=+⎣⎦可得()g x 的周期，通过作图观察的方法可得结果. 【详解】解：由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤∴=-=--=+⎣⎦，则()g x 为周期函数，且最小正周期为4. 对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x = 当[1,2)x ∈时，()1f x =； 当[2,3)x ∈时，()2f x =； 当[3,4)x ∈时，()3f x =； 当[4,5)x ∈时，()4f x =； …；当[1,0)x ∈-时，()1f x =； 当[2,1)x ∈--时，()2f x =； 当[3,2)x ∈--时，()3f x =； 当[4,3)x ∈--时，()4f x =； 当[5,4)x ∈--时，()5f x =； …综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()y f x =与函数()y g x =共有6个交点，即方程()()f x g x =的根的个数为6. 故选：D. 【点睛】此题考查了函数的图象和性质，由数形结合求解，画出函数的图像很关键，是中档题. 10．对四位数abcd （19a ≤≤，0b ≤、c ，9d ≤），若a b >、b c <、c d >，称abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为( ) A ．1695 B ．1696 C ．1697 D ．1698【答案】A【解析】由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列举出来算出个数即可. 【详解】解：由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列表如下： 其中第一列是d 取的数，第一行是b 取的数，中间是满足吉祥数的,a c 组合的数量， 如：0,0b d ==，,a c 组合有99⨯种可能，则吉祥数的个数为：9(987654321)8(887654321)⨯+++++++++⨯++++++++ 7(777654321)1(111111111)+⨯+++++++++⋯+⨯++++++++945844742639217191695=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查列表分类求数量，关键是要在列举中发现规律，进而方便计算出结果，是中档题.11．ABC ∆中，所有内角都不是钝角，有以下命题：①sin 2sin 2A B A B =⇔=；②sin 2sin 2A B A B >⇔<；③cos2cos2A B A B >⇔<；④sin cos A B ≥.其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用三角公式变形和三角函数的性质逐一判断. 【详解】解：①sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+＝，则A B =或A B π+＝２，故错误；②()()()()sin 2sin 2sin sin A B A B A B A B A B =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦－－()()()2cos sin 0sin 00A B A B A B A B A B =+->⇔-<⇔-<⇔<，故正确；③()()()()cos 2cos 2cos cos A B A B A B A B A B -=++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2sin sin 0sin 00A B A B A B A B A B =-+->⇔-<⇔-<⇔<，故正确；④sin cos sin sin +222A B A B A B A B πππ⎛⎫≥⇔≥-⇔≥-⇔≥ ⎪⎝⎭，故正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角形中角的关系的判断，考查应用公式变形的熟练程度，是中档题. 12．如图所示，将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A ．33B ．56C ．64D ．78【答案】B【解析】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A L ，列从左至右依次记为1233,,B B B L ，行j c 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有j c 色方格时，(),1i j A c δ=，否则(),0i j A c δ=，类似的定义(),i j B c δ，计算得到()()()3311()iiji j n A n B n c ==+=∑∑３，再证明()39(1,2,3)j n c j ≥=，再证明对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥，最后求出分隔边条数的最小值. 【详解】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56L =， 其次证明：56L ≥，将将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A L ，列从左至右依次记为1233,,B B B L ，行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有j c 色方格时，(),1i j A c δ=，否则(),0i j A c δ=，类似的定义(),i j B c δ，所以()()()()()()()3333331111,,iiiji j j i i i j n A n B A c B c n c δδ====⎫+=+=⎪⎭∑∑∑∑，由于染j c 色的格有21333633⨯=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定再这个a 行和b 列的交叉方格中， 从而363ab ≥，所以()()3839(1,2,3)j j n c a b n c j =+≥≥>⇒≥=①， 由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，于是至少有()1i n A -条分隔边， 类似的，在列i B 中有()i n B 种颜色的方格，于是至少有()1i n B -条分隔边， 则()()()()()()()3333113311166iiiii i i L n A n B n A n B ===≥-+-=+-∑∑∑②()3166j j n c ==-∑③下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c 色，则方格的33列均含有1c 的方格，又1c 色的方格有363个,故至少有11行有1c 色方格，于是()1113344n c ≥+=④ 由①③④得()()()123664439396656L n c n c n c ≥++-≥++-=，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色, 则对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥， 从而，由式②知：()()()33166334666656i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑，综上，分隔边条数的最小值为56. 故选：B. 【点睛】本题主要考查染色问题，考查计数原理，考查分析推理能力，是一道难度极大的题目.二、填空题13．若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______. 【答案】23【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得320r n -=，从而得到rn的值. 【详解】解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为 .321(1)2n r r r r n nC x ⋅--⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，再根据它为常数项，可得320r n -=，求得23r n =， 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.14．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)(]sin ,2,020,2xx f x x π⎧∈-⎪=∈的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.【答案】24 3ππ+【解析】阴影区域在(0,2]上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数()f x 在[2,0)-上的积分，有了底面积，又知道高为6，即可得到柱体的体积.【详解】解：由题意得，阴影区域在(0,2]上为半个圆，底面积12S S=圆0022124sin cos|2222x xdxππππππ---=+=+⎰，所以该柱体的体积为424632ππππ⎛⎫+⨯=+⎪⎝⎭.故答案为：24 3ππ+.【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力.15．已知变量x、y满足约束条件280260yx yx y≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，在实数x、y中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{}n a的前9项，则1a x=、9a y=，则数列{}n a的前13项和的最大值为______.【答案】221 6【解析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形计算该等差数列{}n a的公差d，写出数列{}n a的前13项和13S，求出它的最大值.【详解】解：画出约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域，如图所示；解方程组280260x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得410,33A ⎛⎫⎪⎝⎭；记这个等差数列为{}n a ，其公差为d ， 则1()918y x d y x -==--， 所以数列{}n a 的前13项和为()()1131371136()131313613(3)284a a y x S a a d x x y +-⎡⎤===+=+=+⎢⎥⎣⎦， 作出直线:30l x y +=，由图形可知，当直线l 过点A 时，3z x y =+取得最大值， 所以13S 的最大值为13422110436⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2216. 【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域应用问题，也考查了等差数列应用问题，是中档题.16．若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线3y x ax =+上，则实数a =______. 【答案】22-【解析】设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为y kx =，则其斜率唯一确定，转化为二元方程只有唯一实数根，利用根的判别式求解即可.【详解】解：设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为,0y kx k =≠， 则对角线BD 所在的直线方程为1=-y x k. 由3y kx y x ax=⎧⎨=+⎩，解得2x k a =-， 所以()()()22222211x y kk A x k a O =+=+=+-，同理，222211111k a a k k O k B k ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅--=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 又因为22AO BO =，所以3210a k k a k-++=， 即22110k a k k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即21120k a k k k ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令1k t k-=得220t at -+=， 因为正方形ABCD 唯一确定，则对角线AC 与BD 唯一确定，于是1k k-值唯一确定，所以关于t 的方程220t at -+=有且只有一个实数根，又1k t R k-=∈.所以280a ∆=-=，即a =±， 因为20x k a =->，所以a k <； 又10a k -->，所以1a k<-，故0a <.因此a =-；反过来a =-时，1t k k=-=于是1k k =-=；或1k k =-=. 于是正方形ABCD 唯一确定.故答案为：-. 【点睛】本小题主要考查函数的解析式的求法以及二次函数的性质，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.三、解答题17．如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，点D 为1AA 的中点.(1)求证：1BC ⊥平面1B CD ；(2)求二面角1C BD C --的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；6【解析】（1）设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE ，由题意可得四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥，再由点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ，求得CD ，同理求得1DB ，得1DB CD =，可得1B C DE ⊥，由线面垂直的判定可得；（2）取BC 的中点O ，连接AO ，可得AO ⊥BC ，由正棱柱的性质可得AO ⊥平面11BCC B ，以O 为坐标原点，向量OB uuu r 、OE uuu r 、OA u u u r分别为x 、y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面CBD 与平面1BC D 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1C BD C --的平面角的余弦值.【详解】(1)设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE .∵多面体11ABC DB C -是正三棱柱沿平面11DB C 切除部分所得，12BC CC ==， ∴四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥. ∵点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ，∴225CD CA AD =+=. 同理()22115DB BB AD AB =-+=，∴1DB CD =. ∵E 为1B C 的中点， ∴1B C DE ⊥.又∵11B C BC ⊥，1BC DE E =I ， ∴1B C ⊥平面1BC D ；(2)取BC 的中点O ，连接AO . ∵ABC V 为正三角形，AO BC ∴⊥.由正棱柱的性质可得，平面ABC ⊥平面11BCC B ， 且平面ABC I 平面11BCC B BC =， ∴AO ⊥平面11BCC B .以点O 为原点，向量OB uuu r 、OE uuu r 、OA u u u r分别为x 、y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Oxyz .则()1,0,0B ，()11,2,0B ，()1,0,0C -，(3D ，(3CD ∴=u u u r ，(3BD =-u u u r ，()12,2,0B C =--u u u r.设平面CBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则3030n BD x y z n CD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ， 令1z =，得0x =，3y =()0,3,1n =-r.由（1）可知，平面1BC D 的一个法向量为()12,2,0B C =--u u u r.()()102210cos ,n B C ⨯-+⨯-+⨯∴==r u u u r ，又∵二面角1C BD C --的平面角为锐角，∴二面角1C BD C --的平面角的余弦值为4【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题.18．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)“卫星圆”.过原点O 作椭圆C 的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C 于A 、B两点，若直线OA 、OB 的斜率为1k 、2k ，当12k k +=“卫星圆”的个数.【答案】(1)221126x y +=；(2)8个.【解析】(1)由条件可得212b cbc =⎧⎨=⎩，解出来即可；(2) 设“卫星圆”的圆心为()00,x y ，由定义可得“卫星圆”的标准方程为()()22009x x y y -+-=，求其圆心到直线OA ，直线OB 的距离，整理可转化为1k 、2k 是方程()22200009290x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，则00122029x y k k x +=-，再加上12k k +=22001126x y +=，解方程即可.【详解】(1)∵椭圆C 的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形，∴由椭圆的定义和正方形的性质，可得212b cbc =⎧⎨=⎩，解得b c ==又22212a b c =+=∴椭圆C 的标准方程为221126x y +=.(2)设“卫星圆”的圆心为()00,x y .由“卫星圆”的定义，可得“卫星圆”3=.∴“卫星圆”的标准方程为()()22009x x y y -+-=. ∵直线OA ：1y k x =与“卫星圆”相切，3=，化简得()222010*******x k x y k y --+-=. 同理可得()222020*******x k x y k y --+-=.∴1k 、2k 是方程()22200009290x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，∴2090x -≠，由>0∆，得22009x y +>，将22001126x y +=代入得206x >，0012229x y k k x +=-. 又∵“卫星圆”的圆心()00,x y 在椭圆C 上，∴代入椭圆方程221126x y +=中，可得22001126x y +=.解得22062x y =-，()()()()220022242000012222222000462424240999x x x y x x k k xx x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴+====---. 当2010x =时，201y =；当20547x =时，20157y =，∴满足条件的点()00,x y 共8个， ∴这样“卫星圆”存在8个. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，注意韦达定理的应用，考查计算能力与分析能力，是一道中档题.19．已知首项为1a 的数列{}n a 各项均为正数，且()()211224n n n n n n a a a a a +++-=，n *∈N .(1)若数列{}n b 的通项n b 满足2n n b a =，且11a =，求数列{}n b 的前n 项和为n T ；(2)若数列{}n c 的通项n c 满足()4nn nb c S =，前n 项和为n Q ，当数列{}n c 是等差数列时，对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n a Q a n cm -=成立，求满足条件的所有整数1a 构成的集合.【答案】(1)()31419n nn T -+=；(2)11,aa n m ***⎧⎫⎪⎪=∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N N N .【解析】(1)=，可得数列是以1a 为首项，以2为公比的等比数列，进而可得1n n a a -=，则214n n n b a n -==⋅，再利用错位相减法求和即可；(2)根据(1)求出2114a c S =，222216a c S =，233364a c S=，由数列{}n c 是等差数列，列方程可得1S =或3S =，分1S =和3S =讨论，通过条件对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n m a Q a n c -=成立，可得1a .【详解】(1)∵数列{}n a 各项均为正数，且()()211224n n n n n n a a a a a +++-=，()22141n n n a na +∴+=，即1n n +==. ∴数列是以1a 为首项，以2为公比的等比数列，112na-=⋅，∴数列{}n a的通项公式为1nna a-=.∵11a=，∴214nn nb a n-==⋅，∴01211424344nnT n-=⨯+⨯+⨯++⨯L，12341424344nnT n=⨯+⨯+⨯++⨯L，两式相减，得0121344444n nnT n--=++++-⋅L14414nnn-=-⋅-1443nnn-=-⋅-，()31419nnnT-+∴=，∴数列{}n b的前n项和()31419nnnT-+=；(2)∵数列{}n c的通项()4nn nbcS=，∴由(1)得，()24nn nacS=，∴2114acS=，222216acS=，233364acS=.又数列{}n c是等差数列，∴22232123216464aa aS S S=+.22211121648416a aaS S∴=+，即2430S S-+=.解得1S=或3S=.又()21144nn nnacS-⋅=，∴当1S=时，214nnac=，{}n c为等差数列，2211442na nanQ⎛⎫+⎪⎝⎭=()22118n a na+=对任意的n*∈N，均存在m*∈N，使得24211816n ma Q a n c-=成立，()2221124211181684n a na ma a a n +∴⋅-=⋅，214na m ∴=，1a ∴=. 又1a 为正整数，∴满足条件的所有整数1a 的值构成的集合为11,a a n m ***⎧⎫⎪⎪=∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N N N . 当3S =时，2143n n na c =⨯，()21111243n n n n a c c ++--=⨯Q 不是常数， ∴数列{}n c 不是等差数列，舍去.综上，满足条件的所有整数1a 的值构成的集合为11,a a n m ***⎧⎫⎪⎪=∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N N N . 【点睛】本题考查由递推式求通项公式，考查错位相减法求和，考查数列中的存在性，任意性的问题，考查计算能力，是一道难度较大的题目.20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以12的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以12的概率向右滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中205X ξ=-. （i ）求X 的分布列：（ii ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【答案】(1)332；(2)（i ）分布列见解析；（ii ）能盈利. 【解析】（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出这个小球掉入第7层第6个空隙处的概率；（2）X 的取值为1，2，3，4，5，6，7，由此能求出X 的分布列，进而可求出ξ的分布列和E ξ，从而能求出小明同学能盈利. 【详解】(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，则()5161132232P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)（i ）由已知X 的取值可为1，2，3，4，5，6，7.()()0606111722641P X P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎝⎭=⎪⎝⎭； ()()1516116326226432P X P X C ⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()24261115352264P X P X C ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()3336112054226416P X C ⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为（ii ）205X ξ=-Qξ∴的可能取值为0，5，10，15，()()50416P P X ξ====， ()()()1553532P P X P X ξ===+==， ()()()3102616P P X P X ξ===+==， ()()()1151732P P X P X ξ===+==， ∴()515317505101581632163216E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=<. ∴小明同学能盈利. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用. 21．已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈. （1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+.【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()(1,0),0,-+∞，；无单调递减区间；（2）证明见解析.【解析】(1)求得3222121()21x x f x x x x++'=++=，分类讨论，即可求解()f x 的单调区间，得到答案；(2)根据12,x x 是函数()g x '的两个零点，设12,x x 是方程20ax x a -+=的两个实数解，再根据二次函数的性质函数()g x 在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值，进而得到1211x a x =+，代入得()()22112121112ln 12x g x g x x x ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭，令21x t =，则211t e <<，得到11()2ln 12t g t t t -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，设11()2ln 12x h x x x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】(1)由题意，当1a =时，21()f x x x x =+-，3222121()21x x f x x x x'++∴=++=， ①当0x>时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当10x -<<时，记32()21x x x ϕ=++，则21()6263x x x x x ϕ'⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以当1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，∴()x ϕ单调递减，且()(0)1x ϕϕ>=；当11,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，且(1)0ϕ-=，所以当(1,0)x ∈-时，()0x ϕ>，函数()f x 单调递增.综上所述，函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞；无单调递减区间. (2)由2()()ln ln (R,0)ag x f x x x ax x a x x=--=--∈>， 2221()a ax x ag x a x x x '-+∴=+-=， 12,x x Q 是函数()g x '的两个零点，12,x x ∴是方程20ax x a -+=的两个实数解，由0>∆，且21e a e >+，得2112e a e <<+，则有121x x =， 不妨设12x x <，1201x x ∴<<<又121x x a+=Q ，即得1111x x a +=， 2112e a e <<+Q ，21112e e a e e+∴<<=+， 即得1211112x x x e x e <+=+<+，从而得到11ex <<，12x x <Q ，且201ea e >>+， ∴由二次函数的图象及性质知函数()g x 在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值.()()()()1212g x g x g x g x ∴-=-112212ln ln a aax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111ln ln a a ax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫=----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112ln aax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， （）又1x Q 为方程20ax x a -+=的根，1211x a x ∴=+， 代人()式得()()2221112112221111112ln 2ln 1112x x g x g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 令21x t =，则211t e <<，11()2ln 12t g t t t -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 设11()2ln 12x h x x x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，211x e<<，22(1)()0(1)x h x x x '--∴=<+，()h x ∴单调递减， 从而有22140(1)()1h h x h e e ⎛⎫=<<=⎪+⎝⎭，240()1g t e ∴<<+. ()()122401g x g x e ∴<-<+，即()()122401g x g x e <-<+得证. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为6x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若M ，N 分别为曲线1C 和曲线2C 上的动点，求MN 的最大值. 【答案】(1)()2262x y +-=，22110x y +=；(2)【解析】（1）根据同角三角函数关系式，消去参数，可得1C 直角坐标方程.利用222x y ρ=+，sin y ρθ=化简可得2C 的直角坐标方程；（2）设),sin Nθθ，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界限，求解MN 的最大值.【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为()2262x y +-=. 由221019sin ρθ=+，222x y ρ=+，sin y ρθ=， 得222910x y y ++=，即2C 的直角坐标方程为：22110x y +=.(2)由(1)得1C 的圆心为()0,6A，半径r =设),sin Nθθ，)()2220sin 6NA θθ=-+-则2210cos sin 12sin 36θθθ=+-+，229sin 503θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴当2sin 3θ=-时，max NA =∴MN 的最大值为=【点睛】本题考察了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互换.利用参数设坐标，求解点到直线的距离的问题.23．已知函数()2725f x x x =-+-. (1)解不等式()6f x ≥；(2)设函数()f x 的最小值为m ，已知正实数a ，b ，且221max ,a b k a b a b ⎧⎫+=⎨⎬++⎩⎭，证明：21k m ≥.【答案】(1)39,,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；(2)证明见解析.【解析】(1)分类讨论去绝对值，解不等式即可；(2)由绝对值三角不等式可得()2f x ≥，得2m =，由()22222112a b a b a b a b a b ++⋅=≥+++得221k ≥，进而可证明.【详解】(1)不等式()6f x ≥，即为不等式27256x x -+-≥， 当52x <时，不等式可化为()()27256x x ----≥，解得32x ≤； 当5722x ≤≤时，不等式可化为()()27256x x --+-≥，即26≥，无解； 当72x >时，不等式可化为()()27256x x -+-≥，解得92x ≥. 综上，不等式()6f x ≥的解集是39,,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；(2)()()272527252f x x x x x =-+-≥---=Q ， 当且仅当()()27250x x --≤时取等号，2m ∴=.()22212a b a b +≥+Q， 22112a b a b a b +∴⋅≥++. 221max ,0a b k a b a b ⎧⎫+=>⎨⎬++⎩⎭Q ，222112a b k a b a b +∴≥⋅≥++，221k ∴≥，即21k m ≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查计算能力与分析能力，是中档题.。