三重积分交换积分次序

高等数学§9.3.1-2三重积分的计算

例．计算三重积分 z2dxdydz，其中是由球面
x2 y2 z2 R2所围成的空间闭区域。
解： {(x, y, z) x2 y2 R2 z2, c z c}，
z2dxdydz R Rz2dzdxdy,
D (z)
故
z 2 dxdydz
RR
z
2
(R2
z2
)dz
4 15
R3
。
课堂练习题：
2．设f(x,y,z)在有界闭区上域连续，且关于原点对称。若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为奇函数，即
f (x,y,z)f (x,y,z)，则f(x,y,z)dxdydz0 ；
若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为偶函数，即 f(x,y,z)f(x,y,z) ，则三重积分等于其一半对称
（ 1 ）求 y z d， x d 由 z yR d 2 z x 2 y2，
x 2 y2 R及 z y 0所围成。
z
R
o
Ry
x
解：在 x面 o 上的投 y 影区域为 D x ： y x 2 y 2 R ，
R2x2y2
yzdxdydydz x0dy
zdz
Dxy
1 2
y(R2x2y2)dxdy
当函 f(x,y 数 ,z)在上连 ,则续得时
f(x,y,z)d v [z2(x,y)f(x,y,z)d]d z
D xyz1(x,y)
（先一后二法）。
若 D x 可用 y 不等式 y 1 ( x ) y y 2 ( x ) ， a x b 表示，则
f(x ， y ， z )d v b dy x 2 (x )dz 2 y (x ,y )f(x ， y ， z )dz

重积分的计算方法

重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。

我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。

通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。

为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。

着重介绍累次积分的计算与变量代换。

一．二重积分的计算1．常用方法（1）化累次积分计算法对于常用方法我们先看两个例子对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D的草图；第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。

积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。

所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。

（2）变量替换法着重看下面的例子：在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。

从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。

利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。

于积分区域的多样性。

为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

（3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）下面看一个例子：计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。

三重积分交换积分次序的方法

三重积分交换积分次序的方法三重积分是三维空间中的积分，常用于计算体积、质量等物理量。

当函数的积分域比较复杂时，交换积分次序可以使计算更加方便。

下面将介绍三重积分交换积分次序的方法。

三重积分的一般形式为：\[ \iiint_V f(x, y, z) dV \]其中，$ V $ 是积分域，积分元 $ dV $ 可以表示为 $ dxdydz $ 或者其他形式。

我们可以根据具体的问题选择合适的坐标系和积分次序。

一般来说，交换三重积分次序需要满足以下两个条件：1.积分域可以通过三个坐标轴上的变化范围来表示。

也就是说，积分域在不同的坐标系下应该具有相同的表达式。

2.被积函数$f(x,y,z)$是在交换积分次序后能够保证可积的函数。

接下来，我们将分别介绍三重积分交换积分次序的方法。

**方法一：直角坐标系与柱坐标系的转换**如果积分域在直角坐标系下的表达式较为复杂，我们可以考虑将其转换为柱坐标系，利用柱坐标系的对称性来简化计算。

柱坐标系的变换关系如下：\[ x = \rho \cos \phi \sin \theta \]\[ y = \rho \sin \phi \sin \theta \]\[ z = \rho \cos \theta \]其中，$ \rho $ 是径向距离，$ \phi $ 是轴向夹角，$ \theta $ 是平面夹角。

对于被积函数难以直接表示的情况，可以利用这种坐标系转换来简化积分。

**方法二：直角坐标系与球坐标系的转换**类似于柱坐标系的转换方式，如果在直角坐标系下的积分域较为复杂，可以考虑将其转换为球坐标系。

球坐标系的变换关系如下：\[ x = r \sin \theta \cos \phi \]\[ y = r \sin \theta \sin \phi \]\[ z = r \cos \theta \]其中，$ r $ 是距离原点的距离，$ \theta $ 是与 $ z $ 轴的夹角，$ \phi $ 是与 $ xy $ 平面的夹角。

三重积分交换积分次序

现代经济信息464三重积分交换积分次序李　想上海理工大学理学院摘要：二重积分常常由于被积函数或积分区域的特点，在计算时，需要交换积分次序。

对于三重积分，由于多一个积分变量，因此交换积分次序问题往往要比二重积分复杂，在积分方法上也涉及到投影法和截面法之间的转换。

本文从一道三重积分例题出发，研究直角坐标下三重积分交换积分次序的问题。

关键词：三重积分；积分次序；投影法；截面法中图分类号：O172 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)030-0464-01重积分，尤其是三重积分，一直是高等数学的教学重点和难点。

多数本科生在学习的过程中遇到的问题主要集中在如何将三重积分转化为累次积分，以及累次积分中积分限如何确定。

二重积分计算中，常常由于被积函数或积分区域自身的特点，需要交换积分次序。

二重积分仅存在两个变量x,y，所以积分次序不外乎两种先x 后y，或者先y 后x。

对于三重积分来说，由于积分变量多了一个z，那么相应的积分次序问题就会复杂的多。

按照概率的思想，三重积分的积分次序一共有种，如何实现这六种积分次序的转化，以及积分限的确定是本文的主要研究内容。

本文主要从一道例题出发，研究三重积分交换积分次序的问题。

例. 设函数f 连续，将三重积分(1)写成累次积分，并交换积分次序，其中是由锥面z 2=x 2+y 2以及平面，三个坐标，在第一卦限内所围的区域。

分析：众所周知，直角坐标下计算三重积分，主要有两种方法：投影法和截面法，即“先一后二法”和“先二后一法”。

投影法和截面法都可以将三重积分转化为累次积分，为讨论交换积分次序问题，我们分别给出本题在这两种方法下的解答。

解：(投影法，积分区域见图1) 积分区域可写成,其中.(2)图1(截面法，积分区域见图2)积分区域可写成,(3)图2下面，我们讨论交换积分次序问题。

由于三重积分的积分次序是从前往后积，所以式(2)中的积分次序是z →y →x。

先考虑简单的交换积分次序问题,即考虑z →x →y,则(2)式可改写为(4)注意到，这种交换x 和y 次序的方法，本质上就是根据图1(2)中积分区域的特点,交换二重积分中的积分次序问题。

三重积分交换积分次序的方法

三重积分交换积分次序的方法
“三重积分交换积分次序”是一种数值计算方法，它可以将较复杂的数值积分问题简化为三个独立的积分，减少计算量和操作步骤。

该方法将原积分公式分割为三个积分，其中第一积分满足轴对称形成的积分，第二积分将其划分为等可视性的二次方程，最后第三个积分提出任意的变量对导数的二次方程。

三重积分交换积分次序有三类基础交换技术可供选择，分别是基本格式、定义格式和数学格式。

基本格式由原始和正交公式组成，正交格式由正交公式组成，数学格式则利用数学变换方式来交换积分次序。

除此之外，三重积分交换积分次序还可以帮助减少积分计算时间。

因为它分割了原始积分为针对性的小积分，因此可以更加高效地计算结果。

此外，其数值计算的结果在一定程度上也能够避免计算误差的影响。

总而言之，三重积分交换积分次序是一种重要且普遍用于数值计算的算法，它可以有效地减少计算量，同时还具有较高的计算准确性和稳定性。

重积分的计算方法

重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。

我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。

通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。

为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。

着重介绍累次积分的计算与变量代换。

一．二重积分的计算1．常用方法（1）化累次积分计算法对于常用方法我们先看两个例子对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D的草图；第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。

积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。

所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。

（2）变量替换法着重看下面的例子：在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。

从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。

利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。

于积分区域的多样性。

为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

（3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）下面看一个例子：计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。

微积分习题课参考答案(三重积分概念、性质、计算,重积分应用)_883402960

3
2 2
Ω
2 2
2 2
2
2
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV =
Ω
x2 + y 2 1
∫∫
≤
dx ∫ 2
2 − x2 + y 2
x + y2
f ( x, y, z )dz
= ∫ dx ∫
−1
1
1− x 2
− 1− x
dy ∫ 2 2
2 − x2 + y 2
x + y2
f ( x, y, z )dz
Ω1 Ω2
， w( x, − y, z) = w( x, y, z) ，
2 2
．（化三重积分为累次积分）设函数 f ( x, y, z) 连续， Ω 由曲面 z = x + y 和曲面 z = 2 − x + y 围成，将三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV 分别在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下化为累次积分． x + y ≤ z ≤ 2 − x + y , 解：在直角坐标系中，积分域 Ω 可以表示为 Ω : 所以 x + y ≤1,
4
2π
2z
0
( r 2 + z ) ⋅ rd r 256π 3
= 4π ∫ z 2 dz =
．
9
．（交换积分次序）设 D = {( x, y) 1≤ x
u
0 2
+ y2
sin( z x + y ) 1 ≤ 4} ，求极限 I = lim 2π ∫ dz ∫∫ x + y dxdy ．
u
2 2
u →+∞
Ω Ω

三重累次积分交换次序方法

三重累次积分交换次序方法
三重累次积分交换次序是一种数学方法，用于改变多重积分的积分次序。

在特定情况下，通过交换积分的次序可以简化计算过程。

下面是一种常见的三重积分交换次序方法：
假设我们有一个三重积分，形式为：
∫∫∫f(x, y, z) dx dy dz，
其中积分区域为一个有限的区域D.
我们可以根据需要选择适当的积分次序来简化计算。

一种常见的方式是按照以下步骤进行：
1. 选择一个合适的积分次序。

这通常需要根据函数f(x, y, z) 的性质和积分区域D 来决定。

例如，如果f(x, y, z) 的形式在不同变量下易于计算，可以选择最先积分易于处理的变量。

2. 针对第一个变量进行积分。

将积分区域D 沿着该变量的范围进行分割，并进行积分。

这将产生一个新的函数g(y, z)，表示在该变量上已经积分过的部分。

3. 针对第二个变量进行积分。

将g(y, z) 具体化为一个函数（可能是积分），然后将积分区域D 在该变量上分割，并进行积分。

这将产生一个新的函数h(z)，表示在前两个变量上已经积分过的部分。

4. 最后，积分最后一个变量。

将h(z) 具体化为一个函数（可能是积分），并对其进行计算。

通过这种方法，我们能够将原始的三重积分转化为一系列较简单的一重或二重积分，使得计算更加简化和可行。

需要注意的是，在进行积分次序交换之前，应该仔细考虑函数的性质和积分区域的特点。

有时候，积分次序的交换并不总是可行或方便的。

三重累次积分交换次序方法

三重累次积分交换次序方法三重积分是在三维空间中对被积函数的积分操作。

而三重积分交换次序是指改变多重积分的顺序，使之更加便于计算。

下面将详细介绍三重积分交换次序的方法。

首先，我们需要明确三重积分交换次序的条件。

根据费布尼斯（Fubini）定理，若被积函数在积分区域连续，则可以交换多重积分的次序。

这意味着我们需要确保被积函数在积分区域内连续，从而可以进行积分交换。

下面以三重积分的交换次序为例进行说明。

设三重积分的积分区域为D，被积函数为f(x,y,z)。

则可以进行如下的积分顺序变换：1. 先对z进行积分，然后对y进行积分，最后对x进行积分。

即将三重积分表示为三个单重积分的嵌套形式，变为∫∫∫f(x, y, z) dz dy dx。

2. 先对z进行积分，然后对x进行积分，最后对y进行积分。

即将三重积分表示为两个单重积分的嵌套形式，变为∫∫∫f(x, y, z) dz dx dy。

3. 先对y进行积分，然后对x进行积分，最后对z进行积分。

即将三重积分表示为两个单重积分的嵌套形式，变为∫∫∫f(x, y, z) dy dx dz。

4. 先对y进行积分，然后对z进行积分，最后对x进行积分。

即将三重积分表示为两个单重积分的嵌套形式，变为∫∫∫f(x, y, z) dy dz dx。

5. 先对x进行积分，然后对y进行积分，最后对z进行积分。

即将三重积分表示为两个单重积分的嵌套形式，变为∫∫∫f(x, y, z) dx dy dz。

6. 先对x进行积分，然后对z进行积分，最后对y进行积分。

即将三重积分表示为两个单重积分的嵌套形式，变为∫∫∫f(x, y, z) dx dz dy。

在实际应用中，我们需要根据具体的积分区域和被积函数的性质来选择适合的积分顺序。

通常情况下，我们会选择其中比较简单的积分顺序进行计算，以减少计算量和简化计算过程。

需要注意的是，在进行积分顺序变换时，需要对积分区域进行适当的调整。

因为在不同的积分顺序下，积分区域的表示可能会有所改变。

重积分的知识点总结

重积分的知识点总结一、多重积分的概念1. 多元函数多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$、$y$是自变量，$z$是因变量。

2. 二重积分二重积分是对二元函数在平面区域上的积分，其定义如下：$\iint_Df(x,y)\,d\sigma=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sig ma_i$其中$D$为平面区域，$f(x,y)$为在$D$上的连续函数，$\Delta\sigma_i$为区域$D$上第$i$个小面积，$\xi_i$、$\eta_i$为$(x,y)$的取值点。

$\lambda$是面积的划分趋于0时的极限。

3. 三重积分三重积分是对三元函数在空间区域上的积分，其定义如下：$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\,dV=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_ i)\Delta V_i$其中$\Omega$为空间区域，$f(x,y,z)$为在$\Omega$上的连续函数，$\Delta V_i$为区域$\Omega$上第$i$个小体积，$\xi_i$、$\eta_i$、$\zeta_i$为$(x,y,z)$的取值点。

$\lambda$是体积的划分趋于0时的极限。

4. 一般情况下的重积分对于$n$元函数在$n$维空间上的积分通常可以表示为：$\int...\int_Df(x_1,x_2,...,x_n)dV$其中$D$为空间区域，$f(x_1,x_2,...,x_n)$为在$D$上的连续函数，积分区域为$D$，$dV$为该区域上的$n$维体积元。

二、多重积分的性质1. 多重积分的可加性重积分在可加性方面与定积分类似，即若函数$f(x,y)$在区域$D$上连续，则有：$\iint_Df(x,y)\,d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)\,d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)\,d\sigma$其中$D=D_1\cup D_2$，$D_1$、$D_2$为$D$的互不相交子区域。

重积分的计算方法

重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。

我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。

通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。

为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。

着重介绍累次积分的计算与变量代换。

一．二重积分的计算1．常用方法（1）化累次积分计算法对于常用方法我们先看两个例子对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D的草图；第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。

积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。

所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。

（2）变量替换法着重看下面的例子：在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。

从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。

利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。

于积分区域的多样性。

为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

（3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）下面看一个例子：计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。

三重积分

10
三重积分
二,三重积分的计算
1. 在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系中, 在直角坐标系中如果用平行于坐标面的平面的来划分 , 则 vi = x j yk zl . 直角坐标系下的体积元素为 ( vi是小长方体 ). 故直角坐标系下的体积元素为
dv = dxdydz
在直角坐标系下三重积分可表为在直角坐标系下三重积分可表为
关于xOz坐标面对称的奇函数或关于坐标面对称 , f是z的偶函数的奇函数关于xOy 1关于关于关于xOz坐标面对称 , f是y, f是y
而得结果为零. 而得结果为零
1
6
三重积分
(2) 若域关于两个坐标面 yOz, xOz都对称 ,
则∫∫∫ f ( x , y , z )dv
0 = 4∫∫∫ f ( x , y , z ) d v f 同为 x, y的偶函数 2 在第一,五卦限部分的区域五卦限部分的区域. 其中 2是在第一五卦限部分的区域例设域为 x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 ,
a
b
∫z ( x , y )
1
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面 S 相交不多两点情形. 相交不多两点情形
如何写出当D为型闭域型闭域时如何写出当为Y–型闭域时, 三重积分化为三次积分的公式
14
三重积分
21
三重积分
例计算三重积分 ∫∫∫ zdxdydz ,其中为
三个坐标面及平面 x + y + z = 1所围成的闭区域 . 所围成的闭区域
解截面法(先二后一法) 截面法(

三重积分交换积分次序的方法_郑华盛

但目前涉及三重积分交换．
积分次序的文献较少，大多文献主要侧重介绍二重积分累次积分的交换积分次序问题．在空间积分区域图形不易画出的情况下，如何交换三重积分累次积分的次序，是一个令许多学生棘手的问题．本文着重介绍在不需要画出空间积分区域图形情况下，交换直角坐标系下三重积分累次积分次序为所有可能次序的方法．之后，再给出几个具体实例验证方法的有效性，并说明它在三重积分的计算、极限的求解及等式证明等方面的应用．直角坐标系下三重积分的计算方法主要是用 “ 先一后二 ”方法或 “ 先二后一 ”方法化为累次积分计算．三重积分的累次积分次序共有如下六种．下面讨论在不画出三重积分空间闭区域 Ω 图形的情况
Ｄｘｙ
若化为ｘ，则也可分两步实现．首先按ｚ，ｙ次序， “ 先一后二 ”方法化原积分为ｚ，即ｘ，ｙ次序，
１１
其中ｘＯｙ平面上投影闭区域（：Ｄｘｘ，．０ ≤ ｙ ≤ ｘ｝０ ≤ ｘ ≤ １，ｙ）ｙ＝｛然后再交换ｘＯｙ平面投影区域Ｄｘｙ上二重积分的积分次序为先ｘ后ｙ即可得
ｚ槡ｙｚ槡
１
１０
ｚ
ｚｙ
次积分
１
（）若化为ｙ，则可分两步实现．首先３ｘ，ｚ次序，按“ 先二后一 ”方法化原积分为ｙ，即ｚ，ｘ次序，
１
ｘ
０
Ｉ＝
ｄｘｄｘ，ｚ）ｚｄｙ， ∫ ∫ｙ ∫ｆ（
００
ｘｙ
ｘ
２
ｘ
ｘ

三重积分计算中的一些技巧

三重积分计算中的一些技巧在三重积分的计算中，有一些技巧可以帮助我们简化计算过程，提高效率。

接下来，我将介绍一些常用的三重积分计算技巧。

1.先进行变量代换：在求解三重积分时，通过适当的变量代换可以简化被积函数的形式。

常见的变量代换方法包括球坐标系、柱坐标系和抛物坐标系等。

2.交换积分次序：当被积函数在不同变量的积分中存在其中一种对称性时，可以考虑交换积分次序。

例如，当被积函数在一些变量的积分中只依赖于另外两个变量时，可以将该变量的积分放在最后进行计算，从而简化计算。

3.利用对称性：当被积函数具有其中一种对称性时，可以通过利用对称性简化计算。

例如，当被积函数关于一个坐标轴对称时，可以将整个积分区域对称折叠，从而减少积分区域的计算量。

4.利用奇偶性：当被积函数具有奇偶性时，可以利用奇偶性简化计算。

例如，当被积函数为奇函数时，可以将积分区域关于原点对称分成两个部分，只计算一个部分的积分再乘以2，从而简化计算。

5.使用对称性的特殊点：在一些情况下，利用对称性的特殊点可以简化计算。

例如，当被积函数在其中一点处取得极值时，可以将该点作为积分区域的对称中心，从而简化计算。

6.利用积分的性质：在进行具体计算时，可以利用积分的性质简化计算。

例如，利用积分线性性质，将被积函数拆分成多个部分进行计算，再将计算结果加和即可。

7.重心坐标法：在一些特殊情况下，可以通过引入重心坐标法简化计算。

重心坐标法是一种利用面积、体积比例关系的坐标变换方法，通过引入重心坐标，可以将多重积分转化为更简单的单重积分计算。

8.利用积分的几何意义：在进行三重积分的计算时，可以利用积分的几何意义进行估算。

通过将积分区域分成若干个小区域，在每个小区域上进行近似计算，最后将计算结果进行求和，可以得到对原积分的估计值。

总而言之，三重积分的计算过程需要我们熟练掌握数学知识，并结合具体问题运用相应的技巧。

以上介绍的仅仅是一些常用的技巧，实际计算过程中还需要根据具体情况进行灵活运用。

10.3 三重积分

x2 y2 z2 2 dv 2 dv 2 dv a b c V V V
20
三重积分
x2 y 2 z 2 解因为 M 2 2 2 dv a b c V
x2 y2 z2 2 dv 2 dv 2 dv a b c V V V
i 1 i i
n
i
)v i
体积元素
3
三重积分
2. 三重积分存在性
当f ( x , y , z ) 的三重积分存在性时, 称f ( x , y, z )
在Ω上是可积的.
连续函数一定可积 3. 三重积分的几何意义 (1)占有空间区域
, 体密度函数为 f ( x, y, z )
M f ( x, y, z )dv
x2 所以 2 dv a V
x2 a a 2 dx
a
d ydz
Dx
4 abc 15 由对等性知
2 bc a 2 x2 2 x (1 2 )dx a a a
x2 dydz bc(1 2 ) a Dx
则
f ( x, y, z)dv

b
a
dx
y2 ( x )
y1 ( x )
dy

z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z)dz
9
先对z,次对y,最后对x的三次积分
三重积分
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面 S 相交不多于两点情形.则考虑化为先对 z,后对xy的累次积分.过程如下:
1 dxdy (1 z )(1 z ) 2 Dz 1 1 1 2 原式= 0 z (1 z ) dz . 2 24

三重积分交换积分次序的方法_郑华盛

三重积分交换积分次序的方法_郑华盛一、直接交换积分次序对于三个变量x、y、z的积分，可以直接交换积分次序，即先积z再积y最后积x，或是先积y再积z最后积x。

这种方法适用于积分区域比较简单的情况，例如直角坐标系中积分区域为一个矩形或长方体。

二、先积内积再积外积当积分区域为一个较复杂的区域时，常常采用先积内积再积外积的方法。

即先将三重积分分解为两个二重积分，再分别进行计算。

先考虑积分区域的划分，将整个积分区域划分为若干个小区域，每个小区域的边界可以用一个或多个方程表示。

然后，我们先积分其中一个变量，使其表示为其他两个变量的函数。

这样，原三重积分就可以写成两个二重积分的形式。

举例来说，设积分区域为一个范围为S的平面区域，边界为两条曲线，分别为C1和C2，分别用f1(x,y)=0和f2(x,y)=0表示。

则可以先对x进行积分，得到先把S划分为若干个小区域。

然后，将其中一个区域表示为y的范围R，将对x的积分变为二重积分：∫∫∫_S F(x,y,z) dxdydz = ∫_R∫_(y上底(x))^(y下底(x)) dx* ∫_(z下底(x,y))^(z上底(x,y)) F(x,y,z) dzdy其中，y上底(x)和y下底(x)表示曲线C1在x=x处的y的范围，z下底(x,y)和z上底(x,y)表示曲线C2在(x,y)处的z的范围。

然后，再将内积换到外积的位置上，将对y的积分放在最外层：∫_R∫_(y上底(x))^(y下底(x)) dx * ∫_(z下底(x,y))^(z上底(x,y)) F(x,y,z) dzdy= ∫_(y上底)^(y下底)∫_R dx * ∫_(z下底(x,y))^(z上底(x,y)) F(x,y,z) dzdy这样，三重积分的次序就被交换了。

三、积分区域的划分对于较复杂的积分区域，我们可以将其划分为若干个小区域，然后分别计算每个小区域内的积分再相加。

具体做法是，先找出积分区域的边界，然后根据边界的特点将其分为若干个小区域，如平面曲线的内部和外部、两条曲线之间的区域等。

三重积分的计算

三重积分的概念三重积分的性质三重积分的计算直角柱面球面回顾：讨论密度分布不均匀的物体的质量：(1) 一根细棒：ab 密度为i ξ=M ()b a x dx ρ=⎰()i ρξi x ∆∑=ni 10lim →λ(2)平面薄片：),(i i ηξ=M (,)i i ρξη∑=n i 10lim →λiσ∆(,)Dx y dxdy ρ=⎰⎰密度为y x D（3）设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的物质,(,,),x y z C ρ∈求分布在Ω内的物质的质量M .密度函数为Ω(,,)k k k ξηζk v ∆(,,)x y z ρ➢分割：12,,,,,i n v v v v ∆∆∆∆把Ω分为➢取近似：(,,)k k k k kM v ρξηζ∆≈∆➢求和：1(,,)n k k k kk M v ρξηζ=≈∆∑➢取极限：01lim (,,)n k k k k k M v λρξηζ→==∆∑设f (x , y , z )是空间有界闭区域Ω上的有界函数,1、将闭区域Ω任意分成n 个小闭区域∆v 1, ∆v 2, ⋅⋅⋅, ∆v n , 其中∆v i 表示第i 个小闭区域, 也表示它的体积,2、在每个∆v i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 作乘积f (ξi , ηi , ζi )∆v i ，3、求和∑=ni i i i i v f 1),,(∆ζηξ4、如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为函数f (x , y , z )在闭区域Ω上的三重积分, 并记为d (,,)Ωf x y z v⎰⎰⎰三重积分的定义⚫注：（2）三重积分的物理意义:不均匀物体的质量（1）其中dv 称为体积元素, 其它术语与二重积分相同.（3）同样有: 有界闭区域上的连续函数一定可积.d 01.(,,)lim (,,)ni i i ii f x y z v f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数, 就得到三重积分的定义.三重积分的概念三重积分的性质三重积分的计算直角柱面球面➢线性性质[]d d d (,,)(,,)(,,)(,,)f x y z g x y z v f x y z v g x y z v αβαβΩΩΩ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰➢可加性d d d 12(,,)(,,)(,,)f x y z v f x y z v f x y z v ΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰➢几何意义d v V Ω=⎰⎰⎰V 为Ω的体积➢不等式(,,)f g x y z ≤∈Ωd d (,,)(,,)f x y z v g x y z vΩΩ≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d (,,)(,,)f x y z v f x y z vΩΩ≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰(),Df x y d σ=⎰⎰曲顶柱体的体积➢估值定理(,,)m f M x y z ≤≤∈Ωd (,,)mV f x y z v MVΩ≤≤⎰⎰⎰➢中值定理(,,)f x y z 在Ω上连续,则存在(,,),ξηζ∈Ω使得d (,,)(,,)f x y z v f V ξηζΩ=⎰⎰⎰三重积分的概念三重积分的性质三重积分的计算直角柱面球面在直角坐标系中, 如果我们用三族(平行于坐标面的)平面x = 常数, y = 常数, z = 常数, 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体. 其体积元素为:dv =dxdydz三重积分可写成:三重积分在直角坐标系中的计算法与二重积分类似, 三重积分可化成三次积分进行计算.具体可分为先单后重和先重后单两种类型.d (,,)f x y z v Ω=⎰⎰⎰(),,f x y z dxdydzΩ⎰⎰⎰（一）先单后重（先一后二）法假设：1(,,)f x y z Ω在有界闭区域上连续；2º过Ω内任一点M 且平行于某坐标轴的直线与Ω的边界曲面S 至多有两个交点.以下以z 轴的情形为例.),(2y x zz =),(1y x z z =),(2y x z z =),(1y x z z =xyzoΩD xy 1z 2z 2S 1S ),(1y x z z =),(2y x z z =ab),(y x ),,(:),,(:2211y x z z S y x z z S ==(,),xy x y D ∈过点作直线穿出．穿入，从从21z z Ω在xOy 面上的投影区域为D xy ,以D xy 的边界为准线作母线平行z 轴的柱面.这柱面与Ω的边界曲面S相交，并将S 分成上、下两部分:则Ω可以表示为12{(,,)(,)(,),(,)}.xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈()()12,(,,),,,x y f x y z z z x y z x y z ⎡⎤⎣⎦先将看作定值，将只看作的函数，在区间上对积分21(,)(,)(,,)(,)[(,,)].xyxyD z x y z x y D f x y z dv F x y d f x y z dz d σσΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而原三重积分可表示为21(,)(,)(,,)xyz x y z x y D d f x y z dzσ=⎰⎰⎰这就化为一个定积分和一个二重积分的运算21(,)(,)(,,)z x y z x y f x y z dz⎰(,)xy F x y D 再计算在闭区间上的二重积分(,)F x y ==⎰⎰⎰Ωdvz y x f ),,(12:()(),,xy D y x y y x a x b ≤≤≤≤若得2()y y x =abD1()y y x =Dba2()y y x =1()y y x =先对z ,再对y ,最后对x 的三次积分dx ⎰dy ⎰(),,.f x y z dz ⎰()1,z x y ()2,z x y ()1y x ()2y x ab注：若将积分域Ω投影到yOz 或xOz 面上，则可把三重积分化为按其它顺序的三次积分.x y zyoz →→Ω积分次序为将投影到面21(,)(,)(,,)(,,)yzx y z x y z D f x y z dv d f x y z dxσΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21(,)(,)(,,)(,,)xzy x z y x z D f x y z dv d f x y z dyσΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x z xoz →→Ω积分次序为将投影到面Ω：平面x =0, y = 0, z = 0，x+2y+ z =1所围成的区域x = 0, y = 0, x+2y =1 围成例1.计算三重积分x + 2y + z =1yx121()112y x =−D xyzy x x I d d d ⎰⎰⎰Ω=1、画出（观察）积分区域2、确定积分次序先z 再y 后x,4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD 3、确定z 的积分上下限分析：1xyz121解:d d d x x y zΩ⎰⎰⎰121(1)00d (12)d x x x x y y−=−−⎰⎰120d x y z−−⎰12301(2)d 4x x x x =−+⎰148=练习：将积分次序改为：先y 再z 后x将积分次序改为：先x 再z 后y1xyz121x + 2y + z =1()012101201z x yy x x ≤≤−−⎧⎪⎪Ω≤≤−⎨⎪≤≤⎪⎩：例2 化三重积分 ⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中积分区域 Ω为由曲面22y x z +=,2x y =,1=y , 0=z 所围成的空间闭区域.2y x=1y =oxy-11xyD 11、画出（观察）积分区域分析：2、确定积分次序先z 再y 后x,3、确定z 的积分上下限4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD ⎰⎰⎰−+=1101222),,(yx x dz z y x f dy dx I .例3 化三重积分 ⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中积分区域Ω为由曲面 222y x z +=及22x z −=所围成的闭区域.1、画出（观察）积分区域分析：2、确定积分次序先z , 再y 后x ,3、确定z 的积分上下限222z x=−下曲面21((0,0)2(0,0)0)z z =>=2212z x y=+上曲面=22222(,,)xyxx yD I d f x y z dz σ−+∴⎰⎰⎰xyD Oxy–1122222112112(,,).x x xx ydx dy f x y z dz −−−−−+=⎰⎰⎰22222x y z x⎧⎪Ω⎨⎪+≤≤−⎩：2211x y x −−≤≤−11x −≤≤由⎩⎨⎧−=+=22222xz y x z ,221,x y +≤:xyz xoy D Ω消去得在面上的投影区域4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD 解：xy xoy D xoy Ω思考：在面上的投影区域是一个圆域，那么在平面进行的二重积分，可不可以利用极坐标系计算？需要注意些什么？2222,4x z dv y x z y Ω+Ω=+=⎰⎰⎰例4计算其中是由曲面与平面所围成xyzo2z y x =−2z y x =−−分析：1、画出（观察）积分区域2、确定积分次序先z 再y 后x,4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD 3、确定z 的积分上下限yxo4y =2y x ==222222xyy x y x D x z dv d x z dzσ−−−Ω++⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=22224222y x xy xdx dy x z dz−−−+⎰⎰⎰分析：1、画出（观察）积分区域2、确定积分次序先y 再z 后x,4、将Ω向xoz 平面做投影得区域xzD 3、确定y 的积分上下限=2242222xzx z D x z dv d x z dyσ+Ω++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22224,4x z dv y x z y Ω+Ω=+=⎰⎰⎰例计算其中是由曲面与平面所围成xyzΩ22y x z =+4y =xz2−2224x z +==2222422xzx zD x z dvd x z dyσΩ+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰()=22222244x y xzx z d σ+≤−−+⎰⎰xz2−2224x z +=2r =()()=222224041282415d rr rdrr r dr πθππ−⋅=−=⎰⎰⎰解：1、确定了积分次序后，内层积分上下限至多包含两个变量，中层积分上下限至多包含一个变量，外层积分上下限必须是常数2、对于先单后重的次序，重积分部分可以根据积分区域的特点采用极坐标系计算（1）把积分区域Ω向某轴（例如 z 轴）投影，得投影区间],[21c c ；(3) 计算二重积分⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(其结果为z 的函数)(z F ；(4)最后计算单积分⎰21)(c c dz z F 即得三重积分值.z（二）先重后单（先二后一）法先重后单, 就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分122,zz c c z xoy D ∈Ω⎡⎤⎣⎦（）对用过轴且平行平面的平面去截，得截面21()zc cD g z dzdxdy=⎰⎰⎰V d z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(即,若f (x, y, z )= g (z )21(,,).zc c D dz f x y z dxdy =⎰⎰⎰易见, 若内层的二重积分容易计算时,这个方法更显出优越性。