命题与证明(四)(三角形内角和) (4)
沪科版八年级数学13.1命题与证明
基础练习：
1.证明三角形内角和定理：三角形的三个内 A 角和等于180°. 已知：如图，△ABC
B
C
求证： ∠ A+∠B+ ∠C=180°.
基础练习：
证明：如图，延长BC至D，以 A 点C位定点、CD为一边作 ∠2=∠B， ∵ ∠2=∠B ∴ CE∥BA ∴∠A=∠1
1
E
2
B
注意：1.辅助线用虚线表示 ； 2.证明的开始要交代清楚， 后添加的字母也要交代清楚.
假
当堂检测：
1．判断下列命题是真命题还是假命 题．如果是假命题，举出一个反例． (1)邻补角是互补的角； (2)互补的角是邻补角； (3)如果一个数能被2整除，那么这个数 也能被4整除； (4)不等式的两边都乘以同一个数，不 等号的方向不变； (5) 两个锐角的和是锐角．
命题与证明（二）
• 1.公理的概念？定理的概念？ • 2.证明的概念？证明的一般步骤？
两直线平行
提高训练
你还有其他方法来证明三 角形内角和定理吗？
A
添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角 A E
E A F E C
F
1 2 B D
图3
3
4
C
B 图1
C B
D
图2
开启… … 智慧 … …
提高训练
下面的正六边形，你能根据自己的知识求出六边 形的内角和吗？
4个三角形： 180°×4＝720°
A
1
∴ ∠ 1=180°—∠BAC= ∠B+ ∠C （三角形内角和定理）
C
基础练习：
A
3.已知：如图， ∠ 1、∠2、∠3 是△ABC的三个外角. 求证： ∠ 1+ ∠2+ ∠3=360° 证明：∵ ∠1= ∠ABC+ ∠ACB ∠2= ∠BAC+ ∠ACB ∠3= ∠BAC+ ∠ABC B
三角形中的边角关系、命题与证明(知识点汇总 沪科8上)
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明一、三角形（一）、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB 、BC 、AC ，有时也用a ，b ，c 来表示，顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b ，c 来表示；4、∠A 、∠B 、∠C 为ΔABC 的三个内角。
（二）、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a -b<c,a -c<b,b -c<a 。
2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a 同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.4、作用：∠判断三条已知线段能否组成三角形；∠当已知两边时，可确定第三边的范围；∠证明线段不等关系。
（三）、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边AB 称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
19.1 命题与证明
第19章几何证明§19.1命题与证明学习目标1.通过“对顶角相等”与“三角形的内角和”两例的回顾，初步理解演绎证明及其因果关系的表述；演绎证明的必要性；演绎证明的过程。
2.体会演绎证明是一种严格的数学证明，是人类理性精神的闪光。
知识概要1.演绎证明的概念演绎推理是数学证明的一种常用、完全可靠的的方法，演绎推理的过程就是演绎证明。
也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程。
演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式。
在本书中演绎证明简称为证明。
学习演绎证明，可以使我们的思维更加严格、缜密，其表达条理清楚、无可辩驳，这是提高逻辑思维能力的有效手段。
运用演绎证明需要注意：①演绎证明的每一步推理都必须有依据，通常把依据写在得到的结论后面的括号内；②整个证明由一段一段的因果关系连接而成，段与段前后连贯，有序展开。
说明：推理的依据，可以是“已知条件”和“已证事实”(简记为“已知”和“已证”)，也可以是已有的概念、性质等。
这样表述的“因果关系”的形式，初学时要写得详细些，以后可以在保持论证完整的前提下逐渐省略。
由于证明的需要，可以在原来的图形上添画一些线，像这样的线叫做辅助线。
辅助线通常画成虚线。
2.演绎证明的过程演绎证明的过程是由“一连串、有序的因果关系”组成，演绎证明中每一段先说“因”再说“果”，同时要表述确立因果关系的“依据”。
3.命题能界定某个对象含义的语句叫做定义.能够判断正确与错误的语句叫做命题.其判断正确的命题称为真命题，其判断错误的命题叫做假命题.数学命题通常由题设或已知条件、结论两部分组成的.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.这样的命题常可写成“如果…，那么…”的形式.用“如果”开始的部分是题设，而用“那么”开始的部分是结论.4.公理与定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如古希腊著名数学家欧几里得在他的《几何原本》中提出了著名的五大公理与五大公设.五条公理：(1)等于同量的量彼此相等；(2)等量加等量，其和相等；(3)等量减等量，其差相等；(4)彼此能重合的物体是全等的；(5)整体大于部分.五条公设：(1)过两点能作且只能作一直线；(2)线段(有限直线)可以无限地延长；(3)以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆；(4)凡是直角都相等；(5)同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于0180，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交.有些命题是从公理或其它真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其它命题真假的依据.这样的真命题叫做定理.定理依据其作用，一般可分为判定定理和性质定理.例如“等角对等边”是已知三角形的两个内角相等，得到所对的两条边相等，这是等腰三角形的判定定理；“等边对等角”是已知三角形的两条边相等，得到所对的两个角相等，这是等腰三角形的性质定理.一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理是另一 个定理的逆定理.例如“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”就是互逆定理.经典题型精析(一)演绎证明例1.已知：如图，点F E D 、、分别在ABC ∆的边AC AB 、上，且AB DF //，AC DE //，试利用平行线的性质证明=∠+∠+∠C B A 180°.试一试：如图，下面是由已知：b a ⊥，c b ⊥，求证：b a //的证明过程，由如下①②③④四句话组成： ①所以b a //； ②因为b a ⊥，c b ⊥； ③所以21∠=∠； ④所以0901=∠，0902=∠。
三角形的内角和证明
三角形的内角和证明
定理:三角形内三个角的和等于180度。
证明:
1. 先取一个平面内的任意直线l,在该直线上取一点P。
2. 在直线l的同侧作一条射线q,使其与直线l的夹角为A。
3. 令q绕点P作旋转,使之与初始位置重合。
4. 在此过程中,q转过了一个平面角。
我们知道,平面角的大小等于360度。
5. 当q旋转时,它与直线l所成的夹角不断变化,从A变为A+B,再变为A+B+C,最后又变回A。
6. 因此,A + B + C = 360度。
7. 由于三角形的三个内角分别为A,B,C,所以三角形的内角和为180度。
结论:任意三角形的内角和都等于180度。
人们常以这种方式来证明三角形内角和等于180度的定理。
该证明基于射线的旋转和平面角的性质,并利用了代数计算。
这种证明不仅清晰简洁,而且富有几何意味,是一种经典的证明方法。
《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导
《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导的全部内容。
《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》学习要求：1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。
会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。
2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。
3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。
4．了解三角形的稳定性。
知识要点:一、三角形中的边角关系1．三角形有三条内角平分线，三条中线,三条高线，它们都相交于一点。
注意：三角形的中线平分三角形的面积。
2。
三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
注意:判断三条线段能否构成一个三角形时,就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。
3．三角形各角之间的关系：①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°.②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4．三角形的分类①三角形按边的关系可以如下分类:②三角形按角的关系可以如下分类：5．三角形具有稳定性.知识结构：二、命题与证明1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题,画法不是命题。
《三角形的内角和定理》说课稿
《三角形内角和定理的证明》说课稿我今天说课的课题是人教版义务教育课标试验教科书八年级上册第一章的内容.一、说教材（教材分析）1、教材的地位与作用三角形内角和定理揭示了三角形的三个内角之间的数量关系，为学生今后研究学习三角形的其他性质、研究四边形及其他多边形的有关性质、圆心角与圆周角的关系等打下了良好的基础，这是几何问题代数化的体现，对学生学习空间与图形部分的内容具有承上启下的作用。
三角形内角和定理的证明方法，为学生今后学习数学证明推理的基本方法、步骤和书写格式提供了帮助，把抽象的证明与直观的探索联系起来，对培养学生学会分析证明的思路、对培养学生逻辑推理能力和创新精神有着重要的作用。
2、教材的内容三角形内角和定理的结论，实际上学生在小学的时候就已经了解，但是那时候他们是运用撕纸拼图、做实验的方法来得到的，应该给学生强调说明数学命题证明的必要性，在我们今后的数学学习的过程当中，经常要对数学命题、定理的正确性进行严格推理证明。
添加辅助线是数学证明过程中常用的重要思想方法。
3、重点和难点重点是三角形内角和定理的证明及其应用（根据该课题的地位和作用而定）；难点是三角形内角和定理的证明方法，添加辅助线的作法（根据当前学生的知识结构和认知水平而定）。
二、说教法与学法采用以“导学稿”为载体的“四步导学”教学法，确定了教师的主“导”地位，使每一个学生成了学习的主人。
让学生围绕教师设计的“导学稿”，“自主学习，合作探究，展示解析，拓展延伸。
”。
通过师生互动,生生互动,发现、分析，解决问题，使学生真正完成对知识的自我构建，体现我参与我快乐。
教学流程：创设情境，复习引入---提出问题，激发探究---探究新知，形成技能---总结归纳，得出结论---学以致用，反馈信息---互动交流，谈谈收获---布置作业，反思提炼。
五、说教学设计数学教学过程是教师引导学生进行交流学习的活动过程，是学生与教师互动的过程，是师生共同发展的过程，为了有效的进行数学学习活动，本节课我主要安排了以下几个教学环节。
沪科版数学八上13.三角形内角和定理的证明课件(共15张)
第3课时 三角形内角和定理的证明
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.（重点）
2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
知识讲授
一、三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
前面已经学习了用拼接的方法验证三角形的内角和等于180°，你
∴ ∠ ＝ 180° − ∠ − ∠ ＝ 180° − 90° − 54°＝ 36° .
∴ ∠ ＝∠ − ∠ ＝ 44° − 36°＝ 8° .
随堂训练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC
于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则
∠DAE的度数是 5° .
3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求
∠BAE和∠AEB的度数.
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，
∴∠BAE=37.5°.
A
(两直线平行，同旁内角相补)
E
∴ ∠A=∠EDF.
F
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
B
想一想：同学们还有其他的方法吗？
D
C
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
A
A
A
D
C
B
1
2
B
l
4
沪科版度八年级数学上册13.命题与证明课件
作业：请同学们回去想想证明三角形 内角和为180°的证明方法，越多越 好！看谁想的方法最多！
课堂练习
证明：直角三角形两个锐角互余。 已知：如图，△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A＋∠B＝90°.
证明:∵∠A＋∠B＋∠C=180°,(三角形的 内角和定理)
∴ ∠A＋∠B=180°-∠C. 又∵ ∠C=90°, ∴ ∠A＋∠B=180°- 90°= 90°.
• 如果一个三角形中一个角为90°， 根据三 角形内角和定理，另两个角的和应为90°, 于是得
• 推论1 直角三角形的两锐角互余.
在这里,我们通过三角形内角 和定理直接推导出两个新定理. 像这样,由基本事实或定理直 接推出的真命题,叫做推论.
• 推论2 有两个角互余的三角形是直角 三角形.
课堂练习
四边形的内角和等于多少度？证明你的结论.
已知：四边形ABCD 求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
你试过了吗？.
但是组成的BC和CD真的就是一条直线吗？
很明显，这是无法确定的
如果△ABC是画在一块不能分割的平面上，如在 黑板上，这时就不可能做到把∠A、∠B撕下来 再分别放在∠1、∠2的位置上，那么又如何论 证∠A+∠B+∠C= 180゜呢？
分析：可延长BC到D，过点C作射线 CE∥AB，得∠1、∠2，
一、复习“三角形内角和定理”
三角形的三个内角之和等于180゜。 即：在△ABC中，
有A+∠B+∠C=180゜ A
B
C
二、论证“三角形内角和定理”
怎样验证三角形 的三个角的和等 于180°呢？？
前面我们是采用拼接的方法来说明的。
即把∠A撕下来放在∠1的位置上，把∠B撕下来放 在∠2的位置上。这时就可得∠ACB和∠1和∠2组成 了一条直线，得到∠ACB+∠1+∠2=180゜， 就可说明 ∠A+∠B+∠C=180゜了
《三角形内角和》说课稿
《三角形内角和》说课稿《三角形内角和》说课稿范文（通用5篇）《三角形内角和》说课稿1一、说教材“三角形的内角和”是九年义务教育六年制小学四年级下册第六单元第3节的内容。
“三角形的内角和”是三角形的一个重要性质，是“空间与图形”领域的重要内容之一，学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，也是进一步学习几何的基础。
经过第一学段以及本单元的学习，学生已经具备一定的关于三角形的认识的直接经验，已具备了一些相应的三角形知识和技能，这为感受、理解、抽象“三角形的内角和”的概念，打下了坚实的基础。
为方便教师领会教材编写的意图与理念，开展有效的教学，更好的发展学生的空间观念，培养学生的各种能力，教材在呈现教学内容时，不但重视体现知识形成的过程，而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间，为教师灵活的组织教学提供了清晰的思路。
主要体现在：概念的形成不直接给出结论，而是提供丰富的动手实践的素材，设计思考性较强的问题，让学生通过探索、实验、发现、讨论、交流获得。
从而让学生在动手操作，积极探索的活动过程中掌握知识，积累数学活动经验，发展空间观念和推理能力，不断提高自己的思维水平。
基于对教材以上的认识及课程标准的要求，我拟定本节课的教学目标为：1、知识目标：知道三角形内角和是180°。
2、能力目标：①通过学生猜、测、拼、折、观察等活动，培养学生探索、发现能力、观察能力和动手操作能力。
②能运用三角形内角和是180°这一规律解决实际问题。
3、情感目标：①让学生在探索活动中产生对数学的好奇心，发展学生的空间观念；②体验探索的乐趣和成功的快乐，增强学好数学的信心。
教学重点：三角形内角和是180°的实际应用。
教学难点：探索三角形的内角和是180°二、说教法新课程标准的基本理念就是要让学生“人人学有价值的数学”。
强调“教学要从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。
沪科版数学八年级上册13.2命题与证明三角形内角和定理优秀教学案例
3.引导学生运用转化思想，将复杂的几何问题转化为简单的问题，提高学生解决问题的能力。
4.鼓励学生提出自己的疑问，组织讨论，促进学生思维的发展。
（三）小组合作
1.组织学生分组进行讨论，鼓励学生互相交流、分享思路。
3.通过示例，讲解如何运用三角形内角和定理解决实际问题，让学生体会数学的应用价值。
（三）学生小组讨论
1.设计探究活动，让学生分组讨论如何证明三角形内角和定理。
2.引导学生运用归纳推理、类比推理等方法，深入探究三角形内角和成果，互相交流、学习。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结三角形内角和定理的证明方法，巩固所学知识。
2.总结三角形内角和定理在实际生活中的应用，强调数学的实际价值。
3.引导学生反思自己在讨论过程中的表现，总结自己的优点和不足。
（五）作业小结
1.设计课后作业，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
2.要求学生在作业中运用转化思想，提高解决问题的能力。
3.鼓励学生在课后进行自主学习，深入研究三角形内角和定理的相关知识。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握三角形内角和定理，理解并能够运用该定理解决实际问题。
2.培养学生空间想象能力，通过观察、实践，让学生能够形象地理解三角形内角和定理。
3.培养学生逻辑思维能力，学会运用归纳推理、类比推理等方法，证明三角形内角和定理。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，将所学知识运用到生活中，提高学生解决实际问题的能力。
4.运用多媒体技术辅助教学，为学生提供丰富的学习资源，提高课堂教学效果。
《命题与证明》知识讲解
命题与证明知识讲解宋老师学习目标1．了解定义、命题、真命题、假命题的含义,会区分命题的题设条件和结论,会判断一个命题的真假；2．了解综合法的证明步骤和书写格式.3．运用平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及其推论去解决一些简单的问题,用几何语言进行简单的推理论证.4.了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立,逆命题不一定成立.会判断一个命题的逆命题的真假.要点梳理要点一、定义、命题、真命题、假命题定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定,就是给它们的定义.命题：判断一件事情的句子叫命题．真命题：如果条件成立,那么结论成立,这样的命题叫做真命题.假命题：如果条件成立时,不能保证结论总是正确的,也就是说结论不成立,这样的命题叫做假命题.要点诠释：命题属于判断句或陈述句,是对一件事情作出判断,与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以,即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题,则要从命题的条件出发,根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等,进行有理有据的推理,证明它的正确性.要点二、证明根据已知真命题,确定某个命题的真实性的过程,叫做证明．经过证明的真命题称为定理.证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理,每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中,“因”是已知事项,“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.证明的步骤：1.根据题意,画出图形；2.根据命题的条件、结论,结合图形,写出已知、求证；3.写出证明过程.要点诠释：推理和证明是有区别的,推理是证明的组成部分,一个证明过程往往包含多个推理.要点三、三角形的内角和定理及其推论三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.要点诠释：1三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°．2三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角；③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．3三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角．三角形共有六个外角,其中有公共顶点的两个相等,因此共有三对．4三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．5若研究的角比较多,要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．要点四、互逆命题在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.把一个命题的条件与结论互换,就得到它的逆命题,我们能够判断一个命题及其它的逆命题的真假.证明一个命题是假命题,只需举出一个反例就可以了.要点诠释：每一个命题都有对应的逆命题,一个真命题的逆命题不一定是真命题,同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.反例就是复合命题的条件,但不符合命题的结论的例子,它可以是数值、图形,也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个,解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.典型例题类型一、逆命题与逆定理1. 下列命题是真命题的是A．如果|a|=1,那么a=1B．有两条边相等的三角形是等腰三角形C．如果a为实数,那么a是有理数D．相等的角是对顶角.；答案B.解析如果|a|=1,那么a=±1,故A错误；如果a为有理数,那么a是实数,故C错误；两个直角三角形中的两个直角相等,但不是对顶角,故D错误；而B根据等腰三角形的定义可判断正确；总结升华主要考查命题的真假,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义.举一反三：变式2016春•东平县期中下列句子中,不是命题的是A．三角形的内角和等于180°B．对顶角相等C．过一点作已知直线的平行线 D．两点确定一条直线答案C．C不是可以判断真假的陈述句,不是命题；A、B、D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句,都是命题．故选C．2.下列命题中,逆命题正确的是A.对顶角相等B.直角三角形两锐角互余C.全等三角形面积相等D.全等三角形对应角相等答案B.解析A选项逆命题是相等的角是对顶角,不对；B选项逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形,对的；C选项逆命题是面积相等的三角形是全等三角形显然不对；D选项的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形,不一定,也可能是相似三角形.总结升华判断逆命题是否正确,能举出反例即可.举一反三：变式试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒,得到新的命题,并判断这些命题的真假．1对顶角相等；2两直线平行,同位角相等；3若a=0,则ab=0；4两条直线不平行,则一定相交；答案1对顶角相等真；相等的角是对顶角假；2两直线平行,同位角相等真；同位角相等,两直线平行真；3若a=0,则ab=0真；若ab=0,则a=0假；4两条直线不平行,则一定相交假；两条直线相交,则一定不平行真；3. 对于同一平面内的三条直线a、b、c,给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c,请你以其中两个作为题设,另一个作为结论,用“如果…,那么…”的形式,写出两个正确的命题．思路点拨同一平面内,根据垂直于同一直线的两直线平行；平行于同一直线的两直线平行,则可由③⑤得到②；由①②得到④．答案与解析解：如果③a⊥b,⑤a⊥c,那么②b∥c；如果①a∥b,②b∥c,那么④a∥c．总结升华本题考查了命题：判断事物的语句叫命题,正确的命题叫真命题,错误的命题为假命题；命题分为题设与结论两部分．也考查了平行线的性质．类型二、证明举例1平行线的性质与判定进行几何证明：4. 2015春•姜堰市期末如图,直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．已知AB⊥ BC、CD⊥ BC,BE∥ CF,,求证：∠ 1=∠ 2．思路点拨由于AB⊥ BC、CD⊥ BC得到AB∥ CD,利用平行线的性质得到∠ ABC=∠ DCB,又BE∥CF,则∠ EBC=∠ FCB,可得到∠ ABC﹣∠ EBC=∠ DCB﹣∠ FCB,即有∠ 1=∠ 2．答案与解析证明：∵ AB⊥ BC、CD⊥ BC,∴AB∥ CD,∴∠ ABC=∠ CB,又∵ BE∥ CF,∴∠ EBC=∠ FCB,∴∠ ABC﹣∠ EBC=∠ DCB﹣∠ FCB,∴∠ 1=∠ 2．总结升华本题考查的是平行线的判定和性质的综合应用.举一反三：变式如图所示,E在直线DF上,B在直线AC上,若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D,试判断∠A与∠F的关系,并说明理由．答案∠A=∠F．证明：∵∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF,∴∠DGF=∠EHF,∴BD∥CE；∴∠C=∠ABD,又∵∠C=∠D,∴∠D=∠ABD,∴DF∥AC；∴∠A=∠F．2与三角形有关的几何证明：5.如图,已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I,IH⊥BC于H,试比较∠CIH和∠BID 的大小．思路点拨根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°．又因为∠BAD+∠ABI=∠BID,90°-∠HCI=∠CIH,所以∠BID=∠CIH．答案与解析证明：∵AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线,∴∠BAD=12∠BAC,∠ABI=12∠ABC,∠HCI=12∠ACB．∴∠BAD+∠ABI+∠HCI=12∠BAC+12∠ABC+12∠ACB=12∠BAC+∠ABC+∠ACB=12×180°=90°．∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI．∵IH⊥BC,∴∠IHC=90°∴90°-∠HCI=∠CIH,∴∠CIH=∠BAD+∠ABI∵∠BID=∠BAD+∠ABI三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和∴∠BID=∠CIH．总结升华考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°,在推导角的关系时,一定不要忘记与三角形有关的角中还有一个特别重要的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和.3文字命题的证明：6、求证：等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值.思路点拨先画图,设等边三角形的边长为a,高为h,再利用三角形的面积公式来求,原三角形分成三个大小不等的三个三角形,三个三角形的面积和与原三角形的面积相等,即S△A B C=S△P A B+S△P B C+S△P A C；可得h=PE+PF+PD.答案与解析已知：如图,△ABC是等边三角形,P是三角形内任一点,PE⊥AB,PG⊥AC,PF⊥BC．垂足分别为E、G、F,求证：PE+PG+PF为定值.证明：设等边三角形△ABC的边长为a,面积为S．连结PA、PB、PC,则S△APB=12a•PE,S△CPB=12a•PF,S△APC=12a•PG,于是S△APB+S△CPB+S△APC=12a•PE+12a•PF+12a•PG,即12a•PE+12a•PF+12a•PG=S,PE+PF+PG=2Sa,为定值．总结升华对于文字命题的证明,要根据文字所描述的内容写出已知和求证,然后证明.。
数学：第四章命题与证明复习课件(浙教版八年级下)
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2，
∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
例2.等腰三角形的底角为15°,腰长为2a，求腰上的高。
如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，
∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高， 求CD的长. 解：∵ ∠ABC=∠ACB=15°， ∴∠DAC= ∠ABC +∠ACB=15°+15°=30°. ∴CD= 1 AC= 1 ×2a=a(在直角三角形中，如果 一个锐角等于30°，那么他所对的直角边等与斜边的
B A O D
C
∠A，∠B，∠C之和必大于180°， 这与“三角形三个内角和等于180°” 相矛盾. 因此△ABC中至多有一个角是钝角.
A
B
C
练一练
某种商品的商标如图所示，已知AC=BD，AB=DC，AC 与BD交于点O. 有人指出图中的两个三角形全等,并写出如下 D 证明,请你判断他的证明是否正确？ A O 并说明理由. 证明：在△ABO 和△DCO中, B ∵ AC=BD, ∠AOB =∠DOC, AB=DC ∴△ABO ≌△DCO (SAS) .
C
B F E
A D
想一想
2、如果把两个都是等腰直角三角形 ABC与三角形ADE，
其他题设不变！
C F D
那么CE=BD成立否?
B
A
E
想一想
3、如果是等腰三角形呢？
C F B A E D
通过证明两个三角形全等来证明线段相等、角 相等是一种常用的方法。
反证法
在证明命题时，有时先假设命题不成立，从这样的 假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、 公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的， 即可证明命题是正确的，这种证明方法叫做反证法。
沪科版八年级数学 13.2 命题与证明(学习、上课课件)
感悟新知
知2－练
2-1. [期末·宿州] 把命题“ 全等三角形的对应角相等”改 写成“ 如果……，那么……”的形式：_如__果__两__个__三__角__ _形__是__全__等__三__角__形__，__那__么__它__们__的__对__应__角__相__等___.
感悟新知
知识点 3 互逆命题及反例
感悟新知
知识点 2 命题的结构
知2－讲
1. 命题的构成 数学命题通常由题设和结论两部分组成， 命题常写成“如果……那么……”的形式. 其中，“如果” 引出的部分是条件(或题设)， “那么”引出的部分是结 论(或题断). 有时为了叙述简便，也可以省略关联词 “如果”“那么”.
感悟新知
知2－讲
2. 命题的一般形式 “如果p，那么q”，或者说成“若p， 则q”，其中p是这个命题的条件(或题设)，q是这个命题 的结论(或题断).
感悟新知
知2－练
解：(1)如果两个角互为补角，那么这两个角相等. 假命题. (2)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等. 真 命题. (3)如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 假命题.
感悟新知
知2－练
方法点拨：改写命题的方法： 理清命题的题设与结论部分，改写命题时将题设 放在“如果”后面，将结论放在“那么”后面.
感悟新知
知1－讲
特别解读：(1)命题只是对事件进行判断，判断的结果 可能是正确的，也可能是错误的；
(2)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语； (3)命题必须具有“判断”作用，要对事件作出肯定或 否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句.
感悟新知
Hale Waihona Puke 知1－讲2. 命题的种类 (1)真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的 命题叫做真命题. (2)假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样 的命题叫做假命题.
第四章 命题与证明复习
公理（举例）：这些公认为正确的命题叫做公理。 公理（举例）：这些公认为正确的命题叫做公理。 ）：这些公认为正确的命题叫做公理 1、两点间线段最短。 、两点间线段最短。 2、两点确定一条直线。 、两点确定一条直线。 3、过直线外一点，有且只有一条直线与已 、过直线外一点， 知直线平行 。 4、同位角相等，两直线平行。 、同位角相等，两直线平行。 5、两直线平行，同位角相等。 、两直线平行，同位角相等。 6、全等三角形的对应角相等，对应边相等。 、全等三角形的对应角相等，对应边相等。 7、三角形的全等的方法：SAS ASA SSS 、三角形的全等的方法：
A
B
D C
A
例4、 如图，已知 是△ABD 、 如图，已知AD是 的公共边.求证 和△ACD的公共边 求证： 的公共边 求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C ∠ ∠ ∠
B
3
4 1 2
D C
证法一： 证法一： ∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3 中 ＝ ° － 三角形内角和定理） （三角形内角和定理） 在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4 中 ＝ ° － 三角形内角和定理） （三角形内角和定理） ∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义） 又∵∠ ＝ ° － （周角定义） ∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－ ° ° － （ 180°－∠C－∠4 ）＝ ∠B+∠C+∠3+∠4. ° － ∠ ∠ ∠ 又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4, ∠ 等量代换） ∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换） ∠
人教版八年级数学上册《三角形内角和定理》教学设计
人教版八年级上学期第11章11.2 三角形内角和定理教学设计学校: 教师：一、内容和内容解析（一）内容：三角形内角和定理（二）内容解析三角形内角和定理是八年级上册第十一章的重要内容，也是“图形与几何”必备的知识基础.它从“角”的角度刻画了三角形的特征.三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时说明了证明的必要性.三角形内角和定理的证明以平行线的相关知识为基础.定理的验证方法从剪拼图的实验活动中获得添加辅助线的思路和方法，定理的证明思路是不同位置的三个内角转化为平角或同旁内角.基于以上分析，确定本节课的教学重点：体会证明的必要性；探索并证明三角形内角和定理，二、目标和目标解析（一）目标1.探索并证明三角形内角和定理.2.能运用三角形内角和定理解决简单问题.（二）目标解析达成目标1的标志是：学生能通过度量或剪拼图等实验进一步感知三角形的内角和等于180°，发现操作实验的局限性，进而了解证明的必要性；在实验的过程中能发现其中蕴含的辅助线，并运用平行线的性质证明三角形内角和定理.达成目标2的标志是：学生能运用三角形内角和定理解决简单的与三角形中角有关的计算和证明问题.三、学情分析学生学习技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生认识了三角形掌握了平行线的性质、判定等知识的基础上展开的，因此，学生具有良好的知识基础.数学活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的数学活动经验．证明三角形内角和定理需要添加辅助线，这是学生第一次遇到添加辅助线证明定理的问题.由于添加辅助线是一种尝试性活动，规律性不强，要根据需要而定，学生会感到困难.教学时，教师要让每个学生都亲自动手进行剪图、拼图，引导学生在实验的过程中感悟添加辅助线的方法，进而发现思路、证明定理.基于以上分析，确定本节课的教学难点：如何添加辅助线，证明三角形内角和定理.四、教学过程设计为达到本节课教学目标，本节课的设计分为五个环节：知识回顾、新课引入——操作验证、探索新知——巩固练习、强化应用——课堂小结、升华提升——作业布置、反馈教学.第一环节：知识回顾、新课引入新课导入：上一节课，我们认识了三角形.（出示课件）我们知道，组成三角形的基本元素有边和角；然后我们又重点研究了三边的关系.那么你认为，接下来我们可以研究哪些内容呢？（三角的关系、角与边的关系）问题1：关于三角形的内角，你都知道哪些知识呢？回忆小学的时候，我们是通过哪些方法验证这个结论的呢？师：具体的，你是如何操作的？方法1：度量法.分别测量出三个内角的度数，然后计算它们的和;方法2：剪拼法.将三角形的三角剪下，随意将它们拼凑在一起.设计意图：在初步认识三角形的基础上，将研究的视角定格在研究角之间的关系，在提问中引导学生回顾三个内角的关系：三个角的和是定值.在启发如何知道这个结论时，引导学生回到思维的起点，让学生回顾小学的研究方法：度量法、剪拼法.第二环节：操作验证、探索新知活动1 实验论证请同学们利用手中的三角形纸片，进行剪拼，再次验证这个结论.学生活动：1学生动手操作.2. 班级展讲.（学生在黑板右上方展示两种图形）.无论是度量法还是剪拼法，我们能够验证有限个三角形，它们的内角和等于180°;但是，形状不同的三角形有无数多个；如果我们要说明“所有三角形的内角和等于180°”，那我们应该用什么方法呢？生：推理论证.设计意图：在启发中引导学生找到这些方法存在的缺憾，老师适当留给学生思维的空白，目的是为了让学生感受要进行推理证明的“必要性”，突出了本节课的第一个重点：体会证明的必要性.同时，通过实验操作的方法验证结论的合理性，发展学生合情推理的能力，为下一步作辅助线提供方法.活动2 推理论证接下来，我们要证明:三角形的内角和等于180°.这是一个文字命题.对于文字命题的证明，一般要先画出图形，写出已知、求证.我们一起完成已知、求证的书写.探究一：转化两个角师：要证明的结论是什么？生：NA+NB+NC=180° .观察图形，4ABC中，NA、NB、NC处在不同的位置，没有明显的联系.那我们应该怎么做呢？（学生思考半分钟）回顾一下我们的拼图过程，我们把NB “搬”到了NA的左侧, /^搬”到了NA的右侧，组成了一个角/DAE.请同学们思考：剪拼的目的是什么？（三个角建立起关系）师：剪拼的过程，实际上进行了“角的转化”，从而让三个角建立起关系.问题2那么，请同学们思考，通过什么数学方法，可以实现ZB的转化呢？设计意图：本环节设计目的是通过教师引导学生作出辅助线，同时画出思路分析流程图，流程图直观，易于理解，能够更好的培养学生有序分析问题的能力.结合剪拼图，教师引导学生，在黑板上画出思路分析的流程图.证明1：过点A作直线DE〃BC 分析流程图:・.・DE〃BC・・・NB=N1, ZC=Z2 ・Z1+ZBAC+Z2=180°丁•NBAC+NB +ZC=180°ZBAC+Z1+Z2 =1800 0ZB = N1,N C = N2.n转化Z A+ZB + ZC =追问：回顾刚才的证明过程，请同学们思考：证明的“关键”是什么？为达到“转化”的目的，使用的方法是什么?问题2 （教师动手移动NB,如右图）结合这个拼图，你能想证明方法吗？B学生活动：1.学生思考,在学案上独立完成证明过程.2.班级展讲.证明2：（/8转化为它的同位角N1）延长BA至D,过点A作AE〃BC.・.・AE〃BC・・・NB=N1,ZC=Z2「NBAC+N1+N2=180°・•・ZBAC+ZB+ZC=180°（平角的定义）（等量代换）问题3 刚才我们通过转化两个角，证明了结论.如果我们同时转化三个角,你能证明这个结论吗?请同学们小组讨论.学生活动：小组讨论, 班级展讲.追问：/8除了可以转化为点A出的同位角，还能转化为其他点处的同位角吗？教师活动：几何画板演示，引导学生有序的思考怎样进行三个角的转化. ^3^\二探究二：转化三个角①点P在直线AB上时:②点P在直线AB外时:FFNNBD GD G问题4 刚才我们对两个角、三个角进行了转化，如果只转化一个角能证明这个结论吗？请同学们试试看. （此环节根据时间情况决定是否讲解.）探究三：只转化一个角证明3：过点A作直线AD〃BC・.・AD〃BC・・.NC=N1 （两直线平行，同位角相等）NB+NBAC+N1=180°（两直线平行，同旁内角互补）/. ZB+ZB AC+NC=180。
沪科版八年级上册数学13.三角形内角和定理课件
B
C
∴ ∠1＝ ∠B.（两直线平行，内错角相等）
∵∠DAC＋ ∠C＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠1＋ ∠ 2＋ ∠C ＝180 °，
即∠BAC＋ ∠B＋ ∠C ＝180 °.
思考：多种方法证明的核心是什么？
A
A
D
1
ll
Am
1
B
2
CB
4 35
C
2 4 56
3
B
P
C
E
借助平行线的“移角”的功能，将三 个角转化成一个平角.
13.2 命题与证明
第3课时 三角形内角和定理的证明及推论1、2
学习目标
1.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解 和 掌握三角形内角和定理的推论1和推论2;
2.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处; 3.经历思考、操作、推理等学习活动，培养同学们的推理能
力和表达能力．
导入新课
情境引入 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角
形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
不对，我有一 个钝角，所以 我的内角和才 是最大的.
我的形状最 大，那我的 内角和最大.
我的形状最 小，那我的 内角和最小.
导入新课
思考：你还记得用什么办法验证三角形的内角和为是 多少呢?
已知：如图，△ABC.
A
求证： ∠ A+∠B+ ∠C=180°.
证明：如图，延长BC至D，以
点C为顶点、CD为一边作
B
∠2=∠B.
则 CE∥BA ，
∴∠1=∠A （两直线平行，内错角相等 ）
∵B、C、D在同一条直线上（已作）
三角形的内角和说课稿
三角形的内角和说课稿各位评委：我说课的主题是“角色扮演，引导学生猜想验证”，说课的内容是《三角形的内角和》。
一、说说我对教材与学情的分析《三角形的内角和》是北师大版四年级下册第二单元的教学内容，是在学生学习了三角形的概念及特征、分类之后进行的，它是三角形的一个重要特征，也是掌握多边形内角和及解决其他实际问题的基础。
教材的小标题为“探索与发现”，强调说明这一部分的内容要求学生通过自主探索来发现有关三角形的性质。
学生已经掌握三角形特性和分类，熟悉了钝角、锐角、平角这些角的知识，大多数学生已经在课前通过不同的途径知道“三角形的内角和是180度”的结论，但不一定清楚道理，所以本课的设计意不在于了解，而在于验证，让学生在课堂上经历研究问题的过程是本节课的重点。
二、聊聊我对教学目标及重难点的确定以建构主义理论以及有效教学的理念为指导，结合对教材和学情的分析，我将本节课的教学目标定为下列几点：1、通过量、剪、拼等活动发现、验证三角形的内角和是180°，并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题。
2、经历亲自动手实践、探索三角形内角和的过程，体会运用“量一量”、“算一算”、“拼一拼”、“折一折”进行验证的数学思想方法。
3、在探究中体验成功的喜悦，激发主动学习数学的兴趣。
教学重点：经历“三角形的内角和是180°”的形成、发展和应用的全过程。
教学难点：验证“三角形的内角和是180°”以及对这一规律的灵活运用。
学具准备：量角器、三角尺、剪刀和准备一个喜欢的三角形。
三、谈谈我的主要教学流程本节课我设计采用支架式教学方法，以猜想→验证→应用→评价四个活动环节为主线，引导学生通过自主探究学习实现对“三角形内角和是180°”这一知识规律的数学理解。
同时，每一个活动环节都让学生尝试扮演一种角色，激发他们投入课堂活动的兴趣。
1．大胆设疑，提出猜想（猜想家）在这节课之前，有不少学生通过各种渠道了解了三角形的内角和是180°。
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已知，如图，AB∥CD，AB⊥EF。 求证：CD⊥EF.ห้องสมุดไป่ตู้
E A C F B D
1 A O 2 F B
已知，如图，△ABC中,BO平分∠ABC, CO平分∠ACB。 1 求证： ∠BOC=90°+ ∠A. A
2
O
B C
例3：如图，已知：∠DAF=∠AFE，
∠ADC+∠DCB=180°，
E A D F
求证：EF∥BC
B C
• 证明：∵∠DAF=∠AFE （ 已知 ） • ∴AD∥ EF .（内错角相等，两直线平行） • ∵∠ADC+∠DCB =180°（已知）. • ∴AD∥ BC . （同旁内角互补，两直线平行） • ∴EF∥BC （平行于同一直线的两条直线互相平行）
命题与证明 (三)
1、何谓证明？ 推理的过程。 2、证明的依据有哪些？ 已知、定义、公理、定理。
例1： 如图所示 ∠1 =∠2
求证 ： ∠3 =∠4 a 证明：∵ ∠1 =∠2（已知） ∴a//b
3
c d
1
(同位角相等,两直线平行)
∴ ∠3 =∠4
b
4
2
(两直线平行，内错角相等)
练习：如图，已知AE//CF，AB//CD，∠A＝40， 求证：∠C=40°。 E F
解: ∵ AE//CF(已知)
∴ ∠A=∠1
A C
1
B D
(两直线平行,同位角相等)
又∵AB//CD(已知) ∴ ∠1=∠C (两直线平行,同位角相等) ∴ ∠A=∠C (等量代换)
∵ ∠A＝40
∴ ∠C＝40
已知，如图，∠AOC+∠BOC=180°,OE平 分∠AOC，OF平分∠BOC。 E C 求证：OE⊥OF.