微积分B(2)第5次习题课题目(三重积分概念、性质、计算,重积分应用)_900309870

13．（三重积分的物理应用）设Ω ={(x, y, z) x2 + y2 ≤z ≤1} ，求Ω 的形心．
14．（三重积分的变量替换公式）已知a,b,c 是三维常向量，向量r ={x, y,z}，设
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ， Ω = {(x, y, z) 0 a ⋅ r m, 0 b ⋅ r n, 0 c ⋅ r k} 15．*（直线方程、旋转面方程、三重积分的物理应用）设直线 L 过 A(1,0, ，0) B(0,1,1) 两点, 将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面Σ ．Σ 与平面 z = 0 ， z = 2 所围成的立体为Ω ． （1）求曲面Σ 的方程； （2）求Ω 的形心坐标．
微积分 B（2）
第 5 次习题课（By ） Huzm
1/2
微积分 B(2)第 5 次习题课
题目
注：不带“*”的是基本题．
1．（重积分性质）确定Ω 的形状，使得三重积分 I = ∫∫∫(1− x2 − 2y2 − 3z2)dV 取得最大值．
Ω
．（重积分性质）设区域 ≤ ≥ ， 2
Ω 1
= {(x, y, z)
． I = ∫∫∫ (x + 2y + 3z)dV
Ω
6．（三重积分计算）设Ω 是由平面 x + y + z =1与三个坐标平面所围成的空间有界区域，计 算三重积分 ． ∫∫∫ (x + 2y + 3z)dxd 由半球面 z =
与锥面 1− x2 − y2
z=
x2 + y2 围成，计算
（1）设有界闭域Ω 由曲面 z = 8 − x2 − y2 与平面 z = 2x 围成．
（2）设有界闭域 Ω 由平面 z = x − y ， z = 0 和柱面 x2 + y2 = 2x 围成．
（ ） 设有界闭域 由曲面 围成． 3 *
Ω
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
2
=
x2 a2
+
y2 b2
．（交换积分次序）设函数 连续，将累次积分 化为定积 4
f (x)
∫ ∫ ∫ I =
1
dx
1− x2
dy
2− x2 − y2
f (z)dz
−1
− 1− x2
1
分．
5 ．（ 三 重 积 分 计 算 ） 设 Ω ={(x, y, z) 0≤x≤a, 0≤ y≤b, 0≤z ≤c} ， 计 算 三 重 积 分
I = ∫∫∫[ x2 + z2 + sin(xyz)]dxdydz
Ω
11．*（交换积分次序）
设 ≤ ≤ ，求极限 ． D = {(x, y) 1 x2 + y2 4}
I = lim
1 ∫u dz∫∫ sin(z
x2 + y2 ) dxdy
u→+∞ 2π 0 D
x2 + y2
12．（重积分的几何意义）求下列空间域Ω 的体积V ．
z
=
4
围成，
计算三重积分 ． I = ∫∫∫(x2 + y2 + z)dV
Ω
10．（重积分性质，三重积分计算）设有界闭域Ω 由曲面 y = ， 1− x2 − z2 y = 4 − x2 − z2
微积分 B（2）
第 5 次习题课（By ） Huzm
2/2
与 围成，计算三重积分 ． y = x2 + z2
x2
+
y2
+ z2
a2, z
0}
≤ ≥ ≥ ≥ ，则 Ω 2
= {(x, y, z)
x2
+
y2
+
z2
a2, x
0, y
0, z
0}
（ ）A ∫∫∫ xdV = 4∫∫∫ xdV
Ω1
Ω2
(B) ∫∫∫ ydV = 4∫∫∫ ydV
Ω1
Ω2
(C) ∫∫∫ zdV = 4∫∫∫ zdV
Ω1
Ω2
(D) ∫∫∫ xyzdV = 4∫∫∫ xyzdV
三重积分 ． I = ∫∫∫(x + y + z)dV
Ω
．（三重积分计算）设 ，计算三重积分 ． 8
≤ Ω = {(x, y, z) x2 + y2 + z2 2z}
I = ∫∫∫ (ax + by + cz)dV
Ω
9．（三重积分计算）设有界闭域
Ω
由曲线
y x
2 =2 =0
z
,
绕
z
轴旋转而成的曲面与平面
Ω1
Ω2
3 ．（ 化 三 重 积 分 为 累 次 积 分 ） 设 函 数 f (x, y, z) 连 续 ， Ω 由 曲 面 z = x2 + y2 和 曲 面
z = 2 − x2 + y2 围成，将三重积分 I = ∫∫∫ f (x, y, z)dV 分别在直角坐标系、柱坐标系和球坐标
Ω
系下化为累次积分．