空间向量巧解平行、垂直关系

二、重难点提示

重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。

难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。

考点一：直线的方向向量与平面的法向量

1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。

2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。

【核心归纳】

①一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。

②在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。

【随堂练习】

已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量的单位向量是（）

A. （1，1，1）

B. (,

333

C.

111

(,,)

333

D. (

333

-

思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。

答案：设平面ABC的一个法向量为n＝（x，y，z），AB＝（0，－1，1），BC＝（－1，

1，0），AC＝（－1，0，1），则

·0

·0

·0

AB y z

BC x y

AC x z

⎧=-+=

⎪⎪

=-+=

⎨

⎪

=-+=

⎪⎩

n

n

n

，∴x＝y＝z，

又∵单位向量的模为1，故只有B正确。

技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：

（1）设出平面的法向量为n＝（x，y，z）。

（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，b2，c2）。

（3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

·0·0.

=⎧

⎨

=⎩

n a

n b

（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。

【核心突破】

①用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。

②用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：

例题1 （浙江改编）如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，

AD ＝2，BD ＝，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3

QC 。证明：PQ ∥平面BCD 。

思路分析：利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。

答案：证明：如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD 、

OP 所在射线为y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz 。

由题意知，A （0，2），B （0，0），D （

0，0）。

设点C 的坐标为（x 0，y 0，0）。因为3AQ QC =，所以Q

00331,442x y ⎛⎫

+ ⎪ ⎪⎝⎭

。 因为M 为AD 的中点，故M （

0，1），又P 为BM 的中点，故P 10,0,2⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，

所以PQ ＝0033

,,0444x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭

。 又平面BCD 的一个法向量为a ＝（0，0，1），故PQ ·a ＝0。

又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD 。

技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理，可证直线的方向向量与平面内某一向量平行，也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。

例题2 如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱）ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点。求证：AB1⊥平面A1BD。

思路分析：证明线面垂直可以通过证明线与面的法向量平行来实现。

答案：证明：如图所示，取BC的中点O，连接AO ，因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC。

∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，

取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，

1

OO，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（－1，1，0），A1（0，23，A（0，03，B1（1，2，0）。

1

BA＝（－1，23，BD＝（－2，1，0）。

1

AB=（1，2，3

-）设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），

因为n⊥

1

BA，n⊥BD，故1

0230

20

BA x y z

x y

BD

⎧⎧

⋅=-+=

⎪⎪

⇒

⎨⎨

-+=

⎪

⋅=

⎪⎩

⎩

n

n

，

令x＝1，则y＝2，z3n＝（1，2，－3）为平面A1BD的一个法向量，

而

1

AB＝（1，23，所以

1

AB＝n，所以

1

AB∥n，故AB1⊥平面

A1BD。

技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面的法向量平行。

例题3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝

2，BB1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C。

思路分析：建系写出坐标，分别求出两个平面的法向量，证明两个平面垂直。

答案：证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，