空间向量与立体几何：第五讲 利用空间向量证明平行与垂直问题(1) (1)

第五讲 利用空间向量证明平行与垂直问题

【基础知识】

证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可．当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行．其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．

【规律技巧】

恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

【典例讲解】

【例1】 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .

证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形， ∴AB ，AP ，AD 两两垂直．

以A 为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)． 法一 ∴EF →＝(0，1，0)，EG →

＝(1，2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·

EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，

令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量， ∵PB →

＝(2，0，－2)，

∴PB →·n ＝0，∴n ⊥PB →，

∵PB ⊄面EFG ，∴PB ∥平面EFG .

【变式探究】 如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.

【例2】如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.

证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D .

证明 由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，如图．

【针对训练】

如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为

( )

A ．(1，1，1) B.⎝⎛

⎭⎫

23，23，1 C.⎝⎛

⎭

⎫

22，22，1 D.⎝⎛

⎭

⎫24，24，1

解析 设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ，

1．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1，1，2)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________． 解析 ∵a ·b ＝x －2＋6＝0，∴x ＝－4. 答案 －4

2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段P A ，PD ，AB 的中点． 求证：(1)PB ∥平面EFH ； (2)PD ⊥平面AHF .

【巩固提升】

1、如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为 ( )

A ．平行

B ．异面

C ．垂直

D ．以上都不对

2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC →1，N 为B 1B 的中点，则|MN →

|为

( )

A.

216

a B.

6

6

a C.

156

a D.

153

a 答案 A

3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →

＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →

.其中正确的序号是________． 答案 ①②③

4．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是

( )

A ．a ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)

B ．a ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)

C ．a ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)

D ．a ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)

5．若AB →＝λCD →＋μCE →

，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是

( )

A ．相交

B ．平行

C ．在平面内

D ．平行或在平面内

解析 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →

共面．则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内． 答案 D

6．已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是

( )

A ．P (2，3，3)

B ．P (－2，0，1)

C ．P (－4，4，0)

D ．P (3，－3，4)

解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →

＝(1，4，1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，

∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内． 答案 A