高二数学 用空间向量解决立体几何中的平行与垂直问题课后练习

用空间向量解决立体几何中的平行与垂直练习题

一、选择题

1．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为( )

A ．－2

B ．－2C.2D ．±2

2．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( )

A ．－1,2

B ．1，－2

C ．1,2

D ．－1，－2

3．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )

A ．－3

B ．6

C ．－6

D ．－12

4．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )

A ．(1,0，－2)

B ．(1,0,2)

C ．(－1,0,2)

D ．(2,0，－1)

5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )

A. (1，－1,1)

B.⎝⎛⎭⎫1，3，32

C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32

D.⎝

⎛⎭⎫－1，3，－32 6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13

AC ， 则( )

A ．EF 至多与A 1D ，AC 中的一个垂直

B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC

C ．EF 与B

D 1相交D ．EF 与BD 1异面

二、填空题

7．设平面α的法向量为m ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n ＝(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________.

8.如图所示，在三棱锥A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB

＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →＝_______.

9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，

AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量．其中正确的是________．(填序号)

10．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________．

三、解答题

11.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面

ABCD ，且P A ＝AB ，点E 是PD 的中点．

求证：(1)AC ⊥PB ；

(2)PB ∥平面AEC .

12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，

P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．求证：

无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .

用空间向量解决立体几何中的平行与垂直练习题答案

一、选择题

1．答案 D 解析 依题意得，－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝±2. 2．答案 A 解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，

m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3m ＋n ＋1＝0，m ＋5n －9＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

m ＝－1，n ＝2. 3.答案 B 解析 ∵α⊥β，∴μ·v ＝0，即－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6.

4．答案 C 解析 由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0.①·＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，②

联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．

5.答案 B 解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n 是否垂直，即·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，＝(1,0,1)，则·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)

＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12，则·n ＝⎝

⎛⎭⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.

6．答案 B 解析 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x

轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则A 1(1,0,1)，

D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，

E ⎝⎛⎭⎫13

，0，13， F ⎝⎛⎭⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，∴＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，

＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13，＝(－1，－1,1)，∴＝－13

，·＝0，·＝0， 从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，故选B

二、填空题

7．答案 4解析 由α∥β得

1－2＝2－4

＝－2k ，解得k ＝4. 8.答案 0

解析 因为BE ＝EC ，故＝－＝12

(＋)－，在三棱锥A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，故·＝·(－)＝12

(2－2)＝0. 9．答案 ①②③