函数定义域9
函数的定义域
课堂练习
求下列函数的定义域
（1）
f (x) 1 x | x |
(,0)
(,1) (1,0) (0,)
（2）
1 1 x （4） 4 x2 f (x) x 1
f (x)
1
2,1 1,2
[-3,1]
（5） f (x) 1 x x 3 1
x 2 5x 6 的定义域是: {x x 3或x 2} x2
f ( x)
练习 1、函数f ( x)
( x 1) 0 x x
的定义域为 ( C)
x | x 0 A、
B、 {x | x 1} D、 {x | x 0}
C、 {x | x 0, 且x 1}
格吗?”钟先生说话间,双掌拍击而出,黑色の波纹剧烈动荡,死亡の气息顿事铺甜盖地.钟先生掌握の是死亡法则,虽然仅仅只是分身,可对法则の运用,也不是壹般虚申能够相比の.“轰隆！”“嗤嗤……”彩色剑光,与黑色波纹纠缠,双方撕扯.空间屏障,如同纸糊の壹般,被撕裂开硕大の口 子.“鞠言小子,你の表现还真让老夫很意外啊！看来那个老家伙,还真找到了壹个不错の传承者.能够杀死呐样壹个传承者,啧啧,真让俺都有些兴奋啊！”钟先生全身黑雾迷们,阴气森森の声音,在整个空间内响彻.“给老夫死来！”钟先生手掌之中,壹双黑色手套闪烁着寒光.看起来,那应当 也是壹件申器.钟先生,动用了申器.方才他两掌拍击而出,并未对鞠言造成威胁,呐让他明白,鞠言有与他壹战の实历.“噗！”使用申器の钟先生,攻击历急速提升.只见,壹条黑龙浮现而出,跨越半个甜际,向着鞠言扑杀过去.“圣光剑法！”鞠言不敢大意.“剑意申通！”彩霞剑接连斩出.彩 色の剑身上,霞光万丈.能够看到,近乎黑色の甜幕,被彩色剑光冲散了许多.与剑光接触の地方,死亡法则快速消融.但是,半
函数的定义域常见的三种类型
函数的定义域常见的三种类型ywq334452010级分类：理工学科被浏览105次2013.06.28jmmn9938668采纳率：59% 10级 2013.06.29函数定义域的三类求法一、给出函数解析式求其定义域，一般是先列出限制条件的不等式（组），再进行求解。
二. 给出函数的定义域，求函数的定义域，其解法步骤是：若已知函数的定义域为，则其复合函数的定义域应由不等式解得。
三. 给出的定义域，求的定义域，其解法步骤是：若已知的定义域为，则的定义域是在时的取值范围。
求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f〔g（x）〕的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；求定义域的规则及类型的演讲稿leya027 10级分类：其他被浏览63次 2014.01.20检举高中课题研究:定义域的规则及类型。
第一次演讲，我急需一篇关于“定义域的规则及类型”的演讲稿。
希望大家给我找一篇……一般来讲，只要给一个自变量的值，能求出因变量，那么该自变量的值就属于定义域。
定义域与非定义域的主要区别是，在非定义域内的值，无法求出函数值。
常见的就是，求值过程中遇到一元二次方程无解，或分母为零。
函数的定义域和值域
函数的定义域、值域一、知识回顾第一部分：函数的定义域1.函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任意一个数x ，按照确定的法则f ，都有唯一的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的一个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域.如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或a x y =，所有的函数值所构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域.2.定义域的理解：使得函数有意义的自变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定自变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要 用集合来表示. 3.区间表示法：设a ，R b ∈，且b a <.满足b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满足b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,.满足b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作(][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表示时，包括端点时，用实心的点，不包括时用空心点表示.4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集.5.定义域的确定方法：保证函数有意义，或者符合规定，或满足实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次方根式的大于等于零. （3）对数数函数的真数大于零.（4）指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. （5）正切函数的角的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.（7）分段函数：①分段函数是一个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.（8）复合函数定义域的求法：①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ϕ=的定义域的方法为解不等式：A x ∈)(ϕ，求出x 的取值范围.②已知()[]x f y ϕ=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的方法:A x ∈，求)(x ϕ的取值范围即可.第二部分：函数的值域函数值域的确定方法：（1）直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. （2）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，形如,dcx bax y ++=，,,,,(d c b a 为常数，)0≠c 可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.（3）换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常用此法求解. （4）配方法：适用于二次函数值域的求值域. （5）判别式法：适用于二次函数型值域判定.（6）单调性法：利用单调性，端点的函数值确定值域的边界.（7）函数的有界性：在直接求函数值域困难的时候，可以利用已学过函数的有界性，反过来确定函数的值域.（8）不等式法：利用不等式的性质确定上下边界.（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目.二、 精选例题第一部分：函数的定义域例1.函数x x y +-=1的定义域为（ ）A .{}1x x ≤B .{}0x x ≥ C.{}10x x x ≥≤或 D.{}01x x ≤≤【解析】由题意⎩⎨⎧≥≤⇒⎩⎨⎧≥≥-01001x x x x 即∈x {}10≤≤x x ，故选D. 例2.函数()()xx x x f -+=01的定义域是（ ）A .()0,+∞B .(),0-∞ C.()(),11,0-∞-- D.()()(),11,00,-∞--+∞【解析】由⎩⎨⎧≠-≠+001x x x 得,01⎩⎨⎧<-≠x x 故选C.例3.若函数()1+=x f y 的定义域是[],3,2-则()12-=x f y 的定义域是（ ）5.0,2A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]4,1.-B []5,5.-C []7,3.-D 【解析】 ()1+=x f y 的定义域是[],3,2-,32≤≤-∴x[]4,11-∈+∴x ，即()x f 的定义域是[]4,1-.又由4121≤-≤-x 解得250≤≤x即()12-=x f y 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,0故选.A例4.设函数()x f y =的定义域是()1,0，则()2x f y =的定义域是什么？【解析】 函数()x f y =的定义域是()1,0.102<<∴x 即11<<-x故()2x f y =的定义域是()1,1-∈x 且0≠x .例5.已知函数(),11+=x x f 则函数()[]x f f 的定义域是（ ） {}1.-≠x x A {}2.-≠x x B {}21.-≠-≠x x x C 且{}21.-≠-≠x x x D 或【解析】：()11+=x x f 的定义域是101-≠⇒≠+x x 则()[]x f f 的定义域是111-≠+x 即21012-≠-≠⇒≠++x x x x 且故选.C 例6.已知()x f21-求函数⎪⎭⎫⎝⎛-x x f 213的定义域是?【解析】由()x f21-可知021≥-x 即0213≥-xx()2100312≤≤⇒≤-⇒x x x 故函数⎪⎭⎫⎝⎛-x x f 213的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x例7.若函数y =R ，求实数k 的取值范围.【解析】当0=k 时，86+-=x y ，当34>x 时，无意义，∴0≠k ； 当0<k 时，()268y kx x k =-++为开口向下的二次函数，图像向下延伸，函数值总会出现小于零的情况，进而，0<k 不成立，当0>k 时，同时要求0≤∆，即解得1≥k .例8.已知函数x x x f -+=11lg )(，求函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域. 【解析】由题意011>-+xx，即0)1)(1(<+-x x ，解得11<<-x 故函数xxx f -+=11lg )(的定义域为)1,1(-所以⎩⎨⎧≠+<+<-012111x x 解得02<<-x 且21-≠x .即12)1()(++=x x f x m 的定义域为)0,21()21,2(---又121<<-x ，解得22<<-x ，即)2(xf 的定义域为)2,2(-)2(12)1()(x f x x f x F +++=的定义域即为)(x m 和)2(xf 的定义域的交集，即)0,21()21,2(--- )2,2(- =)0,21()21,2(---故函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域为)0,21()21,2(--- . 例9.已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性； （2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围. 【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)xxxxf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x x b b <>⇒-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数. 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数. （2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22xa b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-.第二部分：函数的值域1.观察法：例1.求函数x y 1=的值域. 【解析】0≠x 01≠∴x0≠∴y ，即值域为：()()+∞∞-,00,2.分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，形如)0,,,(,≠++=c d c b a dcx bax y 为常数，，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.通式解析：)(,)(cad b d cx c ad b c a d cx b c ad d cx c a d cx b ax y ≠+-+=++-+=++= 故值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y 例2.求函数125xy x -=+的值域. 【解析】因为177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， 所以72025x ≠+，所以12y ≠-，所以函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-.3.换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常用此法求解.例3.(A 类)求函数2y x =.【解析】令x t 21-=（0t ≥），则212t x -=，所以22151()24y t t t =-++=--+因为当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值所以函数2y x =5(,]4-∞.4.三角换元：例4.求函数2)1(12+-++=x x y 的值域.【解析】0)1(12≥+-x 1)1(2≤+∴x ，令[]πββ,0,cos 1∈=+x1)4sin(21cos sin cos 11cos 2++=++=-++=∴πβββββy ，,0πβ≤≤ 4544ππβπ≤+≤，1)4sin(22≤+≤-πβ， 121)4sin(20+≤++≤πβ故值域为：[]12,0+ 5.配方法：例5.求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+， 因为[1,1]x ∈-，所以2[3,1]x -∈--，所以21(2)9x ≤-≤，所以23(2)65x -≤--+≤，即35y -≤≤， 所以函数242y x x =-++在（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-.6.判别式法：例6.求函数2211xx x y +++=的值域. 【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程，0)1()1(2=-+--y x x y （1）当1≠y 时，R x ∈，0)1(4)1(22≥---=∆y .解得2321≤≤y ， 当1=y 时，0=x ，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211，故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.7.单调性法：例7.求函数x x x f 4221)(-+-=的值域. 【解析】由042≥-x ，解得21≤x ， 令x x g 21)(-=，x x m 42)(-=，在21≤x 上)(),(x m x g 均为单调递减函数， 所以x x x m x g 4221)()(-+-=+在21≤x 上也是单调递减函数.故0)21()(min ==f x f ，值域为),0[+∞.8.有界性例8.求函数11+-=x x e e y 的值域.【解析】函数变形为11-+=y y e x，0>x e 011>-+∴y y ，解得11<<-y ， 所以函数的值域为()1,1-.9.不等式法： 例9.求函数xx y 4+=的值域； 【解析】当0>x 时，4424=⋅≥+=xx x x y （当x =2时取等号）； 所以当0>x 时，函数值域为),4[+∞.当0<x 时，442)4(-=⋅-≤+-=xx x x y （当2-=x 时取等号）； 所以当0<x 时，函数值域为]4,(--∞. 综上，函数的值域为),4[]4,(+∞--∞10.数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目. 例10. （1）求函数82++-=x x y 的值域.（2）求函数5413622++++-=x x x x y 的值域. （3）求函数5413622++-+-=x x x x y 的值域.【解析】（1）函数可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(-B 间的距离之和.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10min ==AB y 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10>=AB y 故所求函数的值域为：),10[+∞ 此题也可以画函数图象来解.（2）原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=可看成x 轴上的点)0,(x P 到两定点)1,2(),2,3(--的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，如图34)12()23(22min =+++==AB y ，故所求函数的值域为),34[+∞.（3）将函数变形为：2222)10()2()20()3(-++--+-=x x y可看成定点A ()3,2到点P )0,(x 的距离与定点B ()2,1-到点P )0,(x 的距离之差. 如图BP AP y -=由图可知：①当点P 在x 轴上且与A ，B 两点不供线时，如点'P ，则构成'ABP ∆，)2xBP根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(22=-++=<'-'AB P B P A所以2626<'-'<-P B P A即2626<<-y②当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26=='-'AB P B P A .综上所述，函数的值域为：]26,26(-.三、 课堂训练第一部分：函数定义域1.函数()x x x y +-=1的定义域为（ ）{}0.≥x x A{}1.≥x x B{}{}01. ≥x x C{}10.≤≤x x D解析：由题意得()⎩⎨⎧≥≥-001x x x ⎩⎨⎧≥≤≥⇒001x x x 或即[){}0,1 +∞∈x ，故选.C 2.()xx f 1111++=的定义域为 .【解析】由分式函数分母不为0得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≠≠+≠++001101121x x x解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠≠-≠-≠010311x x x x x 或或()1,-∞-∈⇒x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,31 ()+∞,0 3.已知函数()x f 的定义域为[].2,2- ①求函数()x f 2的定义域；②求函数⎪⎭⎫⎝⎛-141x f 的定义域. 【解析】① 函数()x f 的定义域为[]2,2-222≤≤-∴x 即11≤≤-x故函数()x f 2的定义域为[]1,1-∈x . ② 函数()x f 的定义域为[]2,2-21412≤-≤-∴x 即124≤≤-x 故函数⎪⎭⎫⎝⎛-141x f 的定义域为[]12,4-. 4.已知函数()42-x f的定义域[]5,3∈x ，则函数()x f 的定义域是？【解析】 函数()42-x f 的定义域[]5,3∈x 21452≤-≤∴x即函数()x f 的定义域是[]21,5∈x5.如果函数()()()x x x f -+=11的图像在x 轴上方，则()x f 的定义域为（ ）.{}1.<x x A {}1.>x x B {}11.-≠<x x x C 且 {}11.≠->x x x D 且【解析】对于()(),011>-+x x 当0≥x 时，有()()011<-+x x 11<<-⇒x 得;10<≤x当0<x 时，有()012>+x 1-≠⇒x 得.10-≠<x x 且 综上，,11-≠<x x 且故选.C6.（1）已知1,,,,≠∈+a R z y x a ，设,,log 11log 11zya a ay ax --==用x a ,表示z .（2）设ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且方程01lg 2)lg(2222=+--+-a b c x x 有等根，判断ABC ∆的形状. 【解析】（1）,,log 11log 11zya a ay ax --==则,log 11log log ,log log log 11log 11z ay ax a za a ya a a a -===--y ax a ya a a log 11log log log 11-==-zza a log 11log 1111-=--=所以xz a a log 11log -=，故xa a z log 11-=.（2）原方程可以转化为0)(10lg 22222=-+-a b c x x又因为方程有等根，则0)(10lg 4)2(2222=---=∆ab c ， 必然有1)(10lg 222=-a b c ，所以10)(10222=-ab c ，即222a b c +=. 故ABC ∆为直角三角形.第二部分：函数的值域例1.求函数111++=x y 的值域.【解析】.111,01≥++∴≥+x x ∴11110≤++<x ，∴函数的值域为(]1,0.例2.求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域.【解析】将函数配方得：()412+-=x y []2,1-∈x由二次函数的性质可知：当1=x 时，,4m in =y 当1-=x 时，8m ax =y故函数的值域是[]8,4例3.求函数1-+=x x y 的值域.【解析】令()01≥=-t t x ，则12+=t x 故.4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t t t y又,0≥t 由二次函数性质知，当0=t 时，;1min =y 当t 不断增大时，y 值趋于∞+， 故函数的值域为[)+∞,1.例4.求函数2332+-+-=x x x y 的值域. 【解析】定义域满足⎩⎨⎧≥+-≥-023032x x x 3≥⇒x . 令,31-=x y 任取,321≥>x x 由,03333212121>-+--=---x x x x x x1y ∴在[)+∞,3上单调递增.令,2322+-=x x y由,232+-=x x u 对称轴,23=x 开口向上，知2y 在[)+∞,3上也单调递增. 从而知()=x f 2332+-+-x x x 在定义域[)+∞,3上是单调递增.()∴=≥∴.23f y 值域为[)+∞,2.例5.求函数21+-=x x y 的值域 【解析】由1231232≠+-=+-+=x x x y ，可得值域{}1≠y y 例6.求13+--=x x y 的值域【解析】可化为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图：观察得值域{}44≤≤-y y .例7.求函数x y -=3的值域.【解析】0≥x 33,0≤-≤-∴x x 故函数的值域是：[]3,∞-例8.求函数51042+++=x x y 的值域.【解析】配方，得().5622+++=x y ().65,6622+≥∴≥++y x∴函数的值域为).,65(+∞+例9.求函数1122+++-=x x x x y 的值域.【解析】 1122+++-=x x x x y ，R x ∈，去分母整理得()()01112=-+++-y x y x y.当1=y 时，,0=x 故y 可取1； ①当1≠y 时，方程①在R 内有解，则()()(),011412≥---+=∆y y y,031032≤+-∴y y 解得.331≤≤y ∴函数的值域为.3,31⎥⎦⎤⎢⎣⎡例10.求函数11--+=x x y 的值域.【解析】原函数可化为：112-++=x x y令,1,121-=+=x y x y 显然21,y y 在[)+∞,1上为无上界的增函数所以21,y y y =在[)+∞,1上也为无上界的增函数所以当1=x 时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值222= 显然,0>y 故原函数的值域为(]2,0.例11.求函数133+=x xy 的值域【解析】设t x=+13 ，则()111131113113>-=+-=+-+=t ty xx x 101101<<∴<<∴>y tt ，()01原函数的值域为∴.例12.求函数53-++=x x y 的值域.【解析】53-++=x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-=)5(22)53(8)3(22x x x x x由图像可知函数53-++=x x y 的值域为[)+∞,8.四、 课后作业【训练题A 类】1.函数()f x = ）.A . 1[,)2+∞B . 1(,)2+∞ C. 1(,]2-∞ D. 1(,)2-∞2.函数265x x y ---=的值域是（ ）525.≤≤y A5.≤y B 50.≤≤y C 5.≥y D 3.函数31---=x x y 在其定义域内有（ ）.A 最大值2，最小值2- .B 最大值3，最小值1- .C 最大值4，最小值0 .D 最大值1，最小值3-4.已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值为（ ） 41.A 21.B 22.C23.D 5.函数()=x f 962+-x 的值域是 ( )A 、（－∞，6）B 、]3,(-∞C 、 (0，6)D 、 (0，3) 6.()421-=x x f 的定义域为_____ 7.函数x x y 21-+=的值域是 . 8.求()4313512-++-=x x x x f 的定义域9.求2045222+-++-=x x x x y 的值域.10.求函数12-+=x x y 的值域.11.已知()x f 的值域为,94,83⎥⎦⎤⎢⎣⎡试求()()x f x f y 21-+=的值域.【参考答案】1.【答案】C【解析】由根式知21021≤⇒≥-x x 故选.C 2.【答案】A【解析】425425216022≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--≤x x x ， 25602≤--≤∴x x ，即525≤≤y3.【答案】A【解析】由题意得()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤-=3,231,421,2x x x x y []2,2-∈⇒y ，故选A4.【答案】C【解析】两边平方，即()()312312+-+++-=x x x x y ()41242++-+=x844max 2=+=y ，4min 2=y ，2284max min ==y y 故选C . 5.【答案】B【解析】∴≥+392x 3962≤+-x 故选.B6.【答案】()+∞,8 【解析】80421≥⇒≥-x x ，即()+∞,8 7.【答案】(],1-∞【解析】令x t 21-=则()0212≥-=t t x 即()()021212≥++-=t t t t f ()11212+--=t故1=t 时，取得最大值.即().1≤x f8.【解析】1212210431012>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-x x x x x ，即()+∞,129.【解析】()()1624122+-++-=x x y ()()()()2222402201-+-+++-=x x即可看成三点：()()()4,2,2,1,0,B A x P -，PB PA y +=在PAB ∆中AB PB PA >+知点()2,1-A 点()4,2B 在数轴异侧时AB 最大.PB PA y +==AB 故()()37422122=--+-=≥AB y10.【解析】显然，函数的定义域为21≥x . 当21≥x 时，函数12,21-==x y x y 都是递增的 所以在21=x 时，取得最小值.即⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,21y . 11.【解析】()(),412191,9483≤-≤∴≤≤x f x f即有(),212131≤-≤x f 令(),21,31,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=t x f t ()(),1212t t x f +-=()()t t t g y +-==∴2121()11212+--=t⎥⎦⎤⎢⎣⎡∉21,311 ，∴函数()t g y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31上单调递增，,9731min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴g y ∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛=.8721max g y 函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97.【训练题B 类】1.求()52+=x x f 的值域2.求函数xy --=111的值域3.求函数12--=x x y 的值域.4.已知()x f 43-的定义域为[],2,1-∈x 则函数()x f 的定义域是？5.求下列函数的值域：（1）;1342++=x x y （2）5438222+-+-=x x x x y6.对于每个函数x ，设()x f 是2,14+=+=x y x y 和42+-=x y 三个函数中的最小者，则()x f 的最大值是什么？7.已知⎪⎭⎫⎝⎛-x f 213的定义域为[]5,1∈x ，则函数()32+x f 的定义域是？8.求下列函数的值域：（1）[);5,1,642∈+-=x x x y （1）245x x y -+=.9.求函数13+--=x x y 的值域.10.函数232+-=kx x y 的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3232, ，求k 的值.11.（1）已知函数⎩⎨⎧≥<=0,0,)(2x x x x x f ，求))((x f f .（2）求函数12)(2--+=x x x f 的最小值.12.若函数432--=x x y 的定义域为[],,0m 值域为,4,425⎥⎦⎤⎢⎣⎡--求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】25052-≥⇒≥+x x ，即⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,25 2.【解析】原式化为,11=--x y y ,011≥-=-∴yy x 即01<≥y y 或. 故()[)+∞∞-∈,10, y .3.【解析】函数的定义域是{}.,1R x x x ∈≥令()0,1≥=-t t x 则 ,12+=t x8154122222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=∴t t t y ，又o t ≥，∴结合二次函数的图像知()815≥t y .故原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥815y y . 4.【解析】 ()x f 43-的定义域为[]2,1-∈x 7435≤-≤-∴x()x f ∴的定义域为[]7,5-∈x .5.【解析】（1）由1342++=x x y 可得,0342=-+-y x yx 当0=y 时，;43-=x 当0≠y 时，,R x ∈故()(),03442≥---=∆y y解得,41≤≤-y 且0≠y .当2-=x 时，;1-=y 当21=x 时，.4=y∴所求函数的值域为[].4,1-（2）由5438222+-+-=x x x x y 可得()()0352422=-+---y x y x y ，当02≠-y 时，由,R x ∈得()()()035242162≥----=∆y y y ，25≤≤-∴y .25<≤-∴y .经检验2=x 时，5-=y ，而2≠y .∴原函数的值域为[]2,5-.6.【解析】在同一直角坐标系中作出三个函数的图像，由图像可知，()x f 的最大值是2+=x y 和42+-=x y 交点的纵坐标，易得()38max =x f . 7.【解析】 ⎪⎭⎫⎝⎛-x f 213的定义域为[]5,1∈x 2521321≤-≤∴x 即253221≤+≤x4145-≤≤-∴x 故函数()32+x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈41,45x 8.【解析】（1）配方，得().222+-=x y [),5,1∈x ∴函数的值域为{}.112<≤y y（2）对根号里配方得：()30922≤≤⇒+--=y x y 即[]3,0∈∴y .9.【解析】原式可变为()[)[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+--∞-∈=,3,43,1,221,,4x x x x y 44≤≤-⇒y 即[]4,4-∈y10.【解析】232+-=kx x y 的反函数为kx x y -+=232，其定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,22,k k ，故.3322-=⇒-=k k 11.【解析】（1）当0≥x 时，0)(2≥=x x f ，则42)())((x x f x f f ==；当0<x 时，,0)(<=x x f 则x x f x f f ==)())(( 所以⎩⎨⎧≥<=0,0,))((2x x x x x f f（2）⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=2,12,3)(22x x x x x x x f由)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ， 在)2,(-∞上的最小值为43)21(=f 故函数)(x f 在R 上的最小值为43. 12.【解析】,425232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 因为,4,425⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈y 又,4)0(-=f ,42523-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ()43-=f ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⇒≤≤3,23323m m . 【训练题C 类】1.函数()()R x xx f ∈+=211的值域是（ ） []1,0.A [)1,0.B (]1,0.C ()1,0.D2.函数()155+=x xx f 的值域是（ ） ()()+∞-∞-,51,. A ()5,1.B()()+∞∞-,11,. C ⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,5151,. D3.下列函数中，值域是()+∞,0的是（ ）12.2+-=x x y A ()()+∞∈++=,012.x x x y B ()Nx x x y C ∈++=121.211.+=x y D 4.求函数x x y 431-+-=的值域.5.求x x y ++-=12的值域.6.函数()112->++=x x x y 的值域是.7.已知函数()x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有()()()x f x x xf +=+11，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f 的值是多少？8.求函数)2(x x x y -+=的值域.9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+-∞∈-=),0[,1)0,(,11)(2x x x x x f ，求)1(+x f .10.已知函数()x f 的定义域为()b a ,且,2>-a b 则()()()1313+--=x f x f x F 的定义域为()13,13.-+b a A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+31,31.b a B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,31.b a C ⎪⎭⎫⎝⎛++31,31.b a D11.若函数()x f y =的定义域为[],1,1-求函数⎪⎭⎫⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4141x f x f y 的定义域.【参考答案】1.【答案】C【解析】.1110,11,0,222≤+<∴≥+∴≥∴∈x x x R x∴函数()()R x xx f ∈+=211的值域为(].1,0 2.【答案】C 【解析】15115155+-+=+=x x x x y 1511+-=x 11511015≠+-∴≠+x x 即1≠y 知()()+∞∞-∈,11, y 故选.C3.【答案】D 【解析】A 中()012≥-x [)+∞∈∴,0yB 中11112++=++x x x ()+∞∈,0x 21<<∴y 即()2,1∈y C 中()2211121+=++=x x x y N x ∈ ()1,0∈∴y D 中由题意知01>+x ()+∞∈+∴,011x 故选D 4.【解析】令()01≥=-t t x 则()012≥+=t t x则142-+-=t t y ()o t t ≥⎪⎭⎫⎝⎛--=2214则0≤y .5.【解析】两边平方：6649212322≤⇒≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=y x y6.【解析】()12111211111112->=+⋅+≥+++=+++=++=x x x x x x x x x y当且仅当111+=+x x 即0=x 时成立，故2≥y 7.【解析】由()()()x f x x xf +=+11可得：23=x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛23252523f f ，21=x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛21232321f f ， 21-=x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212121f f .又.025,023021=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛f f f又()()()(),111111--=+--f f ()().0100=-=-∴f f()().0025,00==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∴=∴f f f f8.【解析】由0)2(≥-x x 解得定义域为20≤≤x两边平方整理得：0)1(2222=++-y x y x （1）因为0)1(2222=++-y x y x 一定有根，所以08)1(42≥-+=∆y y 解得：2121+≤≤-y由0≥∆仅保证关于x 的方程：0)1(2222=++-y x y x 在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根， 也就是说0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大， 故需要进一步确定此函数的值域. 采取如下方法进一步确定函数的值域. ∵20≤≤x 0)2(≥-+=∴x x x y ，把0min =y ，21+=y 带入方程（1）解得：]2,0[2222241∈-+=x即当时，2222241-+=x 时原函数的值域为：]21,0[+9.【解析】由复合函数的定义域知)1(+x f 的定义为),1[)1`,(+∞-⋃--∞当)1`,(--∞∈x 时 11)2(+=-x x f ，当),1[+∞-∈x 时22)1(2++=+x x x f 所以⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∈++--∞∈+=+),1[,22)1,(,11)1(2x x x x x x f10.【答案】B【解析】由题意得⎩⎨⎧<+<<-<b x a b x a 1313，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<-+<<+31313131b x a b x a 显然,3131->+b b ,3131->+a a 又,2>-a b 从而.3131+>-a b()x F ∴的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-+31,31b a ，故选.B11.【解析】 函数()x f y =的定义域为[]1,1-∴有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-14111411x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-45434345x x 得4343≤≤-x 故函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4141x f x f y 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈43,43x .。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法在数学领域中，关于定义域的求解方法有许多种。
下面将介绍其中的八种方法。
方法一：根据函数公式求取定义域。
对于一些简单的函数，可以通过函数的公式直接求取定义域。
例如对于一个分式函数，如f(x)=1/(x-2)，由于分母不能为0，所以定义域为{x，x≠2}。
方法二：分析函数的基本性质。
有些函数拥有特定的性质，根据这些性质可以求得函数的定义域。
例如对于多项式函数，常数函数和指数函数，它们都定义在实数域上，因此定义域为实数集。
方法三：考虑函数中的根。
对于包含根的函数，定义域不能使这些根使得函数的值出现未定义的情况。
例如对于开方函数f(x)=√(x-3)，由于根号下的值不能为负，所以定义域为{x，x≥3}。
方法四：考虑函数的分段定义。
对于分段定义的函数，需要分别考虑每个分段的定义域。
例如对于函数f(x)=，x，分段定义为{x当x>=0时；-x当x<0时}，因此定义域为实数集。
方法五：考虑函数的限制条件。
有时函数在定义域上有一些限制条件。
例如对于对数函数f(x) =ln(x)，由于对数函数只对正数有定义，所以定义域为{x ， x > 0}。
方法六：考虑函数的参数限制。
对于含有参数的函数，需要考虑参数的限制条件。
例如对于双曲正弦函数f(x) = sinh(x)，由于双曲正弦函数对所有实数都有定义，所以定义域为实数集。
方法七：考虑函数的复合性质。
对于复合函数，需要分析组成函数的定义域。
例如对于函数f(g(x))，需要保证g(x)的定义域是f(x)的定义域。
例如对于函数f(g(x)) = 1/x，如果g(x) = sin(x) + 2，由于sin(x)的定义域为实数集，所以g(x)的定义域与f(x)的定义域保持一致。
方法八：考虑函数的图像。
对于一些函数，通过画出函数的图像可以直观地确定定义域。
例如对于一个二次函数f(x)=x^2+1，通过函数的图像我们可以看到函数的定义域为实数集。
函数的定义域
0 x2 2
2 x 2
故 : f x 2 的定义域是 [ 2 ,
2]
(题型二) :已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2:已知f 2x 1的定义域(1,5], 求f ( x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
课堂练习
求下列函数的定义域
（1）
f (x) 1 x | x |
(,0)
(,1) (1,0) (0,)
（2）
1 1 x （4） 4 x2 f (x) x 1
f (x)
1
2,1 1,2
[-3,1]
（5） f (x) 1 x x 3 1
1 练习2、已知f ( x) , 则函数f f ( x)的定义域为 (C ) x 1 A、 {x | x 1} B、 {x | x -2} C、 {x | x 1,且x -2} D、 {x | x 1,或x -2}
求定义域的几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数R (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母 不等于0的实数的集合 (3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使 根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那 么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数 集合.（即求各集合的交集）
3 综上(1), (2)知, 当0 k 时 4 kx 7 y 2 的定义域是一切实数 kx 4kx 3
3 4
2kx 8 练习、当k为何值时，函数f ( x) 2 的 kx 2kx 1 定义域的R？
解： f ( x)的定义域为R， kx2 2kx 1 0对一切 x R都有意义. 当k 0时， (2k ) 2 4k 0 0 k 1 当k 0时，kx2 2kx 1 1 0, 对x R有意义. 当0 k 1时，函数f ( x)的定义域为R.
函数的定义域
函数的定义域函数y=f(x)中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域。
求函数的定义域一般有3类问题（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下：①分式的分母不等于0；②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；④指数为0时，底数不等于0⑤三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3π≤等。
2、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x)]的定义域为x ∈（a,b ）求f(x)的定义域，方法是：利用a<x<b 求得g(x)的值域，则g(x)的值域即是f(x)的定义域。
②已知f(x)的定义域为x ∈（a,b ）求f[g(x)]的定义域,方法是：由a<g(x)<b 求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。
3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。
如，周长为定值a 的扇形，它的面积S 是它的半径R 的函数，则函数的定义域是（ ）A ．（2a ，a ）B ．（a ，2a ）C ．（)1(2π+a ，2a ） D ．（0，)1(2π+a ） 【例1】求下列函数的定义域（1）21x y += （2）lg cos y x =(3)y=lg(a x -kb x ) (a,b>0且a,b≠1，k ∈R)[解析] （1）依题有1021021032403241x x x x ≠+>⎪⎪+≠⎨⎪->⎪⎪-≠⎩ 4112052log 31x x x x x ≠±⎧⎪⎪>-⎪⎪⇒≠⎨⎪⎪<⎪⎪≠⎩ ∴函数的定义域为415{|0,1,log 31}22x x x -<<≠且 (2)依题意有2250cos 0x x ⎧-≥⎨>⎩ 5522()22x k x k k z ππππ-≤≤⎧⎪⇒⎨-<<+∈⎪⎩∴函数的定义域为33[5,)(,)(,5]2222ππππ--⋃-⋃ （3）要使函数有意义，则a x -kb x >0，即x a k b ⎛⎫> ⎪⎝⎭①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则log a b x k > 定义域为{x|log a bx k >}(Ⅱ)若0<a<b ，则log a b x k <， 定义域为{x|log a bx k <}(Ⅲ)若a=b>0，则当0<k<1时定义域为R ；当k≥1时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x 的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组)。
函数的定义域常见求法
函数的定义域常见求法一、函数的定义域的定义函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈.3、指数函数xy a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且.4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且.5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2x x k k z ππ≠+∈.7、复合函数的定义域的求法（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.8、求函数()()y f x g x =+的定义域一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B ，则A B 就是所求函数的定义域.9、求实际问题中函数的定义域不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式.四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法.五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】方法一 直接法使用情景 函数的结构比较简单.解题步骤直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域.【例1】求函数2253y x x =+-的定义域.【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域. 【反馈检测1】求函数21x y x +=+. 方法二 求交法使用情景函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为()()()f x g x h x =+型.解题步骤一般先分别求函数()g x 和()h x 的定义域A 和B ,再求AB ,A B 就是函数()f x 的定义域.【例2】求函数225y x =-3log cos x 的定义域.【解析】由题得⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-∴⎩⎨⎧>≥-zk k x k x x x 2222550cos 0252ππππ∴}52322235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或所以函数的定义域为}52322235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或【点评】（1）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先求()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求AB ，则A B 就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式cos 0x >时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）求552222x k x k k zππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩的解集时，只需给参数k 赋几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要仔细认真. 学科#网【例3】求函数 02)23(3|3|)lg(-+-+-=x x x x y 的定义域.【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.【例4】求函数log (1)(01)xa y a a a =->≠且的定义域.【解析】由题得 0101=xxa a a ->∴>1a >当时，x>0;当0<a<1时，x<0.1{a ∴>当时，函数的定义域为x|x>0}, 1{a <当0<时，函数的定义域为x|x<0}.【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数a 的取值范围，一般要分类讨论.【反馈检测2】求函数2ln1)23xy a x x =---+（的定义域.方法三 抽象复合法 使用情景涉及到抽象复合函数.解题步骤利用抽象复合函数的性质解答：（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.【例5】求下列函数的定义域：（1）已知函数f （x)的定义域为[2,2]-，求函数2(1)y f x =-的定义域； （2）已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （x)的定义域； （3）已知函数f （x)的定义域为[1,2]-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域.【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.第2小题就是典型的例子.（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求AB ，则A B 就是所求函数的定义域.【反馈检测3】已知函数(tan 2)y f x =的定义域为[0,]8π，求函数()f x 的定义域.【反馈检测4】 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，求函数)(log 2x f 的定义域.方法四 实际法使用情景 数学问题是实际问题.解题步骤先求函数的自变量的取值范围，再考虑自变量的实际限制条件，最后把前面两者的范围求交集，即得函数的定义域.【例6】用长为L 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与关于x 的函数解析式，并求出它的定义域. 【解析】如图，【点评】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义，还要保证满足实际意义.（2）该题中在考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都有意义，即2x 02x 02x π⎧⎪⎨⎪⎩＞L －－＞，不能遗漏.【反馈检测5】 一个圆柱形容器的底部直径是dcm ,高是hcm .现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.参考答案【反馈检测1答案】{|12}x x x >-≤-或【反馈检测1详细解析】由题得(2)(1)012201011x x x x x x x x ++≥≥-≤-⎧⎧+≥∴∴⎨⎨+≠+≠-⎩⎩或所以12{|12}x x x x x >-≤-∴>-≤-或函数的定义域为或.【反馈检测2答案】当1a >时，函数的定义域为{|01}x x <<；当01a <<时，函数的定义域为{|30}x x -<<.【反馈检测3答案】[0,1]【反馈检测3详细解析】由题得0020tan 2184x x x ππ≤≤∴≤≤∴≤≤，所以函数的定义域为[0,1].【反馈检测4答案】{}42|≤≤x x【反馈检测4详细解析】依题意知：2log 212≤≤x 解之得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x【反馈检测5答案】函数解析式为24vtx dπ=,函数的定义域为{t |0≤t ≤2hd 4v π}，值域为{x |0≤x ≤h }. 【反馈检测5详细解析】向容器内注入溶液经历时间为t 秒后,容器中溶液的高度为xcm .故t 秒后溶液的体积为＝底面积×高＝π⎪⎭⎫⎝⎛2d 2x ＝vt 解之得：x ＝24vt d π又因为0≤x ≤h 即0≤24vt d π≤h ⇒ 0≤t ≤2hd 4v π，故函数的定义域为{t |0≤t ≤2hd 4vπ}，值域为{x |0≤x ≤h }.。
函数的定义域值域
第二章
函数
数学
【解析】
x 2 －2≥0， (1)由 x－4≠0，
则 x≥1 且 x≠4.故选 D.
(2)∵f(x－1)的定义域为[0,2]，∴0≤x≤2. 即－1≤x－1≤1.∴所求定义域为[－1,1]．
【答案】
(1)D
(2)[－1,1]
第二章
函数
数学
1．若f(x)的定义域为(0,1)，求f(2x＋1)的定义域．
第二章
函数
数学
函数定义域和值域的综合应用
1．对既给出定义域又给出解析式的函数，可直接在定
义域上用相应方法求函数值域．
2．若函数解析式中含有参数，要注意参数对函数值域 的影响，即要考虑分类讨论．
第二章
函数
数学
(12 分 ) 设函数
1 f(x) ＝ x－1
1≤x≤2， g(x) ＝ f(x) － 2＜x≤3，
当且仅当 x＝2 时，等号成立，∴当 x＜0 时，y≤－4. 综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
第二章
函数
数学
2．如何求 y＝ x2＋1＋ 2－x2＋4的值域？
解析 ∵ x2＋1表示点(x,0)到点(0，－1)的距离；
2－x2＋4 ＝ x－22＋0－22 表 示点 (x,0) 到 点 (2,2) 的 距离， 故 y＝ x2＋1＋ 2－x2＋4≥ 0－22＋－1－22＝ 13. 故值域为[ 13，＋∞)．
B．[0,1) D．(0,1)
1 ∵1＋x ≥1，∴0＜ ≤1. 1＋x2
答案
C
第二章
函数
数学
4． 若 x为实数， 则函数 y＝x2＋3x－5 的值域是________．
解析 ∵y＝x ∵ x为实数，∴x≥0，
函数定义域的求法原则
函数定义域的求法原则
1、函数定义域的求法:（1）分式的分母不能为零；（2）偶次方根的内部必须非负即大于等于零；（3）对数的真数为正，对数的底数大于零且不等于1；（4）x0中，x≠0。
2、组合函数
3、由若干个基本函数通过四则运算形成的函数，其定义域为使得每一部分都有意义的公共部分。
4、原则：（1）分式的分母不能为零；（2）偶次方根的内部必须非负即大于等于零；（3）对数的真数为正，对数的底数大于零且不等于1；（4）x0中，x≠0。
5、复合函数
6、若y=发（u），u=g（x），则y=f就叫做f和g的复合函数。
其中y=f(U)叫做外函数，u=g（x）叫做内函数。
7、例如：（1）已知y=f(x)的定义域D1，求y=f的定义域D2。
8、解法：解不等式：g(x)∈D1
9、（2）已知y=f的定义域D1，求y=f(x)的定义域D2。
10、解法：令u=g(x),x∈D1，求函数g(x)的值域。
11、①如果为整式，其定义域为实数集；
12、②如果为分时，其定义域是是分母不为0的实数集合；
13、③如果是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；
14、④如果是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各
个式子都有意义的实数集合。
函数的定义域值域及其性质
例1. 求函数 f (x) x 1 x 2 的值域。
解：函数y x 1 x 2 的零点是x 1, x 2.
当x 1时，y 2x 1;当 1 x 2时, y 3; 当x 2时，y 2x 1
2x 1, (x 1)
f
(
x)
3, (1 x 2)
2x 1, (x 2)
故f (x)在(0, a ]上是减函数。
当x1 x2
a时，恒有0 a 1 x1 x2
则f ( x1 ) f ( x2 ) 0
故f (x)在[ a ,)上是增函数。
f (x)是奇函数
f (x)分别在（ ， a ], [ a ,)上为增函数；
f (x)分别在[ a ,0), (0, a ]上为减函数。
4.y=f[g（x）]是定义在M上的函数，若f（x）与g（x）的单 调性相同，则其复合函数f[g（x）]为增函数；若f（x）与 g（x）的单调性相反，则其复合函数f[g（x）]为减函数。
5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数 在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。
函数单调性的应用：
2x 5
2y 1
因为2 y
1
0, 所以，函数的值域为 y
y
1 2
,且y R
解法二：（分离常数法）
7
7
y 1 2 ,且 2 0 2 2x 5 2x 5
y 1 2
④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F（x，y）
=0，通过方程有实根，判别式△≥0，从而求得原函数
的值值域域常。 用形 此如 方法y求 解aa21xx。22
解： (1)代数换元
令t 1 2 x (t 0), 则x 1 t 2 2
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。
二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。
题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。
二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。
A。
$(-4,-1)$ B。
$(-4,1)$ C。
$(-1,1)$ D。
$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。
解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。
解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。
故选C。
变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。
A。
数学常见定义域
数学常见定义域在数学中，不同函数具有不同的定义域（Domain），即自变量的取值范围。
下面是一些常见的数学函数及其常见的定义域示例：1.实数函数：o恒等函数（Identity function）：f(x) = x (定义域为整个实数集 R)o平方函数（Square function）：f(x) = x^2 (定义域为整个实数集 R)o平方根函数（Square root function）：f(x) = √x (定义域为非负实数集[0, +∞) )2.有理函数：o真分数（Proper fraction）：f(x) = 1 / (x - 3) (定义域为除了 x = 3，整个实数集R的集合)o多项式函数（Polynomial function）：f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 6 (定义域为整个实数集 R)3.三角函数：o正弦函数（Sine function）：f(x) = sin(x) (定义域为整个实数集 R)o余弦函数（Cosine function）：f(x) = cos(x) (定义域为整个实数集 R)o正切函数（Tangent function）：f(x) = tan(x) (定义域为所有x ≠ (2n + 1)π/2，其中 n 为整数)4.指数和对数函数：o指数函数（Exponential function）：f(x) = e^x (定义域为整个实数集 R)o对数函数（Logarithmic function）：f(x) = ln(x) (定义域为 x > 0)需要注意的是，尽管给出了一些常见函数的定义域示例，但这些函数的实际定义域可能会根据特定的问题或约定而进行修改或限制。
因此，在使用特定函数时，需要根据问题的要求和相关定义来确定具体的定义域。
函数定义域总结
定义域的求法一、常规型注意根号,分式,对数,幂函数,正切2、常见的定义域①当fx 是整式时,定义域为R;②当fx 是分式时,定义域为使分母不为零的x 的取值的集合;③偶次根式的定义域是使被开方式非负的x 的取值的集合;④零指数幂或负指数幂的定义域是使幂的底数不为0的x 的取值的集合;⑤对数式的定义域是使真数大于0且底大于0不等于1的x 的取值的集合; ⑥正切函数y=tanx, , y=x x 1 x 1 x a log tan x 21-x 32-x x 01求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域;2 求函数2x161x sin y -+=的定义域; 复合函数定义域的求法1已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域;其解法是：已知)x (f 的定义域是a,b 求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域;测试：设函数()f x 的定义域为[]0,1,求函数()()(0)y f x a f x a a =++->的定义域;2已知)]x (g [f 的定义域,求fx 的定义域;其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是a,b,求fx 定义域的方法是：由b x a ≤≤,求gx 的值域,即所求fx 的定义域;测试：已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-,求函数fx 的定义域;2已知)]x (g [f 的定义域,求ftx 的定义域;其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是a,b,求fx 定义域的方法是：由b x a ≤≤,求gx 的值域,也就是tx 的值域,求出tx 的定义域测试、已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-,求函数(21)y f x =-的定义域;三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围;特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决;例1 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围;例2 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的定义域是R,求实数k 的取值范围; 四 参数型对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论;例6 已知)x (f 的定义域为0,1,求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域;解：因为)x (f 的定义域为0,1,即1x 0≤≤;故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0,即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a 1x a 即两个区间－a,1－a 与a,1+a 的交集,比较两个区间左、右端点,知1当0a 21≤≤-时,Fx 的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-；2当21a 0≤≤时,Fx 的定义域为}a 1x a |x {-≤≤；3当21a >或21a -<时,上述两区间的交集为空集,此时Fx 不能构成函数; 五 对数有关定义域为R1y =log 22c bx ax ++a ≠0的定义域为R,则满足 2当值域为R 则满足定义域的作用分析一．利用函数的定义域判断函数是否是同一函数例1．判断函数2()lg f x x =与()g x =2lg x 是否同一函数二．函数定义域是构成函数关系式的重要组成部分函数关系式包括定义域和对应法则,所以在求函数关系式时必须考虑所求函数的定义域,否则所求函数关系式就可能出错.另外,根据函数定义可知函数定义域是非空的数的集合,若一个关系式中某一个变量取值范围的集合是空集,那么这个关系式中的几个变量之间就不能构成一个函数关系式．例1．把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料,求矩形面积S 与矩形长x 的函数关系式.解：设矩形的长为x cm,则宽为2250x -cm,由题意得： 2250x x S -=,故所求的函数关系式为：2250x x S -=.如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量x 的范围,解题思路还不够严密．因为当自变量x 取负数或不小于50的数时,S 的值是负数或零,即矩形的面积为非正数,这与实际问题相矛盾,故还要补上自变量x 的范围：500<<x ,所以函数关系式为：2250x x S -=500<<x .评析：从此例可以看出,用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点,结果很有可能出错.例3．判断式子解：要使上面的式子有意义,则1-x 2≥0且x 2-1>0,其解集为空集,由函数定义可知这个式子不表示函数关系式．评注：解题时若忽视了定义域的作用,则很可能得到一个错误结果．三．函数定义域对函数值域的限制作用函数的值域是指全体函数值的集合,当定义域和对应法则确定后,函数值也随之而定.因此在求函数值域时,应特别注意函数定义域.其实以上结论只是对二次函数)0(2>++=a c bx ax y 在R 上适用,而在指定的定义域区间],[q p 上,它的最值应分如下情况：⑴当p ab <-2时)(x f y =在],[q p 上单调递增函数)()(),()(max min q f x f p f x f ==； ⑵当q a b >-2时,)(x f y =在],[q p 上单调递减函数)()(),()(min max q f x f p f x f ==； ⑶当q ab p ≤-≤2时)(x f y =在],[q p 上最值情况是：a b ac a b f x f 44)2()(2min -=-=, )}(),(m ax {)(max q f p f x f =．即最大值是)(),(q f p f 中最大的一个值;例4．求函数32-+=x x y 的值域．错解：令3,32+=-=t x x t 则∴22)1(322)3(222≥++=++=++=t t t t t y ,故所求的函数值域是),2[+∞．四．函数定义域对函数奇偶性的作用例1．判断函数错解∵21)(x x f --=,∴)()(x f x f =-,∴函数 例6：判断函数y=sinx,x ∈0,6π的周期性．六．函数定义域对函数单调区间的作用函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时,函数值随着增减的情况,而函数的单调区间是函数定义域的子集,所以讨论函数单调性一定要在函数的定义域内讨论函数的单调区间．例1．指出函数)3lg()(2x x x f +=的单调区间．七．函数定义域对求反函数的影响有些函数不存在反函数,但在其单调区间内存在反函数,在求这类函数的反函数时,除注意其值域外,也要注意定义域例8．求函数)20(242≤≤++-=x x x y 的反函数．错解：函数)20(242≤≤++-=x x x y 的值域为y ∈ 2 , 6,又6)2(2+--=x y ,即y x -=-6)2(2,∴y x -±=-62,∴所求的反函数为y=2 ±错误!2≤x ≤6．八．函数定义域对解不等式、方程或求值的作用有时巧用函数的定义域,可以避免复杂的变形与讨论,例9．设x 、y 为实数,且1y x=+,试求lgx+y 之值． 解：x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧≠+≥-≥-01010122x x x ,即x ＝1,将其代入已知等式,得y ＝0,故lgx+y=lg1=0．。
函数的定义域
函数的定义域1、 函数的定义域是指能使函数式有意义的实数x 的集合，它是函数不可缺少的组成部分。
2、 确定函数定义域的原则：①、当函数)(x f y =用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合。
②、当函数)(x f y =用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合。
③、当函数)(x f y =用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x 的集合。
④、当函数)(x f y =用实际问题给出时，函数的定义域是由实际问题的意义确定。
3、 确定函数定义域的依据①、若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②、若)(x f 是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x 取值的集合 ③、若)(x f 是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x 取值的集合④、若)(x f 是零指数幂或负指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x 的取值的集合 ⑤、若)(x f 是对数式时，定义域是使真数大于0同时底数为大于0且不等于1的正数x 的取值的集合4、 复合函数的定义域的求法已知函数),(),(d c x x f y ∈=及函数),(),(b a x x g y ∈=，则我们把函数)]([x g f y =，),(b a x ∈叫做复合函数。
①、若已知函数)]([x g f 的定义域为),(b a x ∈，求)(x f 的定义域，其方法是：利用b x a << 求得)(x g 的范围，此即)(x f 的定义域。
②、若已知)(x f 的定义域为),(b a x ∈，求)]([x g f 的定义域，其方法是：利用b x g a <<)(， 求得x 的范围，此即为)]([x g f 的定义域。
5、 例题精讲1、 求下列函数的定义域；① 1212-+-=x x y ； ② 02)45()34lg(-++=x x x y ；③ x x x y +-=)1( ④ )1(log 221-=x y⑤ )11lg(x y -= ⑥ 2322---=x x xy⑦ xx x y 12132+--+= ⑧ )1(log 122---=x x y 注意：求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，在解不等式组时要细心，取交集时可借肋数轴，并且要注意端点值或边界值。
函数的定义域和值域
法二：(单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1
1 1 1 1 －2x≥0，即x≤2，所以y≤f2＝2，即函数的值域是－∞，2.
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[精析考题]
[例3] (2011· 湖南高考)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2 ( ) ＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 A．[2－ 2，2＋ 2] C．[1,3] B．(2－ 2，2＋ 2) D．(1,3)
意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
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二、函数的值域
1．在函数概念的三要素中，值域是由 定义域 和 对应关系 所
确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的 作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用． 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 2 2 4 ac － b 4ac－b {y|y≥ 4a } ；当a＜0时，值域为 {y|y<= 4a } ．
1 即x>－2且x≠0.
[答案]
C
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[精析考题] [例2] 求下列函数的值域，并指出函数有无最值．
1－x2 (1)y＝ ； 1＋x2 4 (2)y＝x＋x(x<0)； (3)f(x)＝x－ 1－2x.
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[自主解答] ∴0<
1－x2 2 2 (1)y＝ ＝ － 1 ，∵ 1 ＋ x ≥ 1， 1＋x2 1＋x2
D．[－3,5]
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解析：由题意可得：
－3≤x＋1≤5， －3≤x－2≤5.
解不等式组可得：－1≤x≤4.
定义域的表示方法
定义域的表示方法定义域是数学中一个非常重要的概念，它用来描述一个函数能够接受哪些输入值。
在函数的定义过程中，我们需要明确函数所能接收的输入的范围，以便正确地使用函数和对其进行运算。
在数学中，定义域的表示方法有许多种，下面我将为您详细介绍几种常见的表示方法。
第一种表示方法是用集合的形式表示定义域。
集合是由一组无序的元素所构成的，它可以用花括号 "{ }" 来表示。
例如，如果一个函数 f(x) 的定义域是实数集，那么我们可以用符号表示为f(x) ∈ ℝ，其中符号"∈" 表示 "属于"。
同样地，如果一个函数 g(x) 的定义域是整数集，可以表示为g(x) ∈ ℤ。
第二种表示方法是用区间的形式表示定义域。
在数轴上，我们可以将某一区间内的所有实数作为函数的定义域。
常见的区间表示方法有三种：开区间 "(a, b)"，闭区间 "[a, b]" 和半开半闭区间 "[a, b)" 或 "(a, b]"。
其中，开区间表示不包括边界上的点，闭区间表示包括边界上的点，半开半闭区间则包括其中的一个边界点。
第三种表示方法是用条件表达式的形式表示定义域。
有些函数的定义域可能受到一些条件限制，这时我们可以使用条件表达式来表示定义域。
例如，如果一个函数 h(x) 的定义域是 x > 0 ，那么我们可以将其表示为 h(x) = x ，并在表达式下方注明定义域的条件。
除了上述三种常见的表示方法之外，还有一些特殊函数的定义域需要特别注意。
例如，对于有理函数 f(x) = 1 / x ，由于除数不能为零，所以定义域应该排除 x = 0 的情况，可以表示为定义域为 x ≠ 0 。
又如对数函数 g(x) = log(x) ，由于只有正实数的对数才有意义，所以定义域应该限定为 x > 0 。
总结起来，定义域是函数能够接受的输入值的范围。
定义域和值域
定义域、解析式、值域方法总结（一）定义域：1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)2. 求函数的定义域有哪些常见类型？函数定义域求法：● 分式中的分母不为零；● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；● 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
●正切函数x y tan = ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ●反三角函数的定义域● 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
3. 如何求复合函数的定义域？义域是_____________。
[]（答：，）a a -复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。
例 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(l o g 2x f 的定义域为 。
分析：由函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。
解：依题意知： 2log 212≤≤x解之，得 42≤≤x∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x 二．函数解析式求法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
8.函数的定义域为(
8．函数的定义域为（
1 函数的定义
函数的定义是指一种特殊的数学关系，它将一个或多个输入值（也可称为参数）映射到一个或多个输出值。
它们常用来描述存在一种固定关系的两个变量或一系列变量之间的关系。
函数，也可以说是将输入变量转换成输出变量的一个特殊模式。
2 函数的定义域
函数的定义域是指将输入变量允许范围之内。
它是一组使函数成立且其函数值可定义的输入值。
具体来说，指给定函数中实际适用的变量所允许的取值范围。
有时它也被称为函数的值域。
3 函数的定义的范围
函数的定义的范围有多种，其中包括实数、整数、自然数、有理数和复数等。
通常，函数的定义范围是因函数而不同的，具体定义的范围和函数的类型、定义等有关。
4 函数的几何定义
函数的几何定义是指将函数定义为两个变量之间的一种形式，它可以在坐标轴上测试。
在几何定义中，点函数由一系列图形点定义。
这些点是指两个变量x, y之间的关系。
5 函数的性质
函数的性质指的是函数的一些特殊性质，因此它可以被用来描述变量间的特殊关系。
常见的函数性质包括对称性、单调性、连续性、可微性、凸性和凹性等。
6 函数的特殊性
函数的特殊性可以从多种角度说明。
例如，函数可以是线性的、指数函数、对数函数、奇函数、Map函数等等。
不同的函数有不同的性质，它们根据基本形式和具体定义而定。
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如何求函数定义域
上海市实验学校东校 王月容
我们把函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。
那么如何求函数的定义域呢？
1． 解析式为整式时，x 取任何实数。
例1求下列函数的定义域 (1)y=-5x 2， (2) y=3x+5， 解：（1）x 为一切实数；（2）x 为一切实数
2． 当解析式为分式时，x 取分母不为零．．．．．的实数. 例2．求下列函数的定义域（1）y=
1
1
-x （2） y=
x
x 312+-
解：（1）∵x-1≠0 ∴函数的定义域是x ≠1的实数。
（2）∵1+3x ≠0 ∴函数的定义域是x ≠-3
1
的实数。
，
3． 当解析式为偶次根式时，x 取被开方数为非负数．．．．．．．．的实数 例3．求下列函数的定义域 （1）y=
x
-3，（2）y=
4
2+x ，（3）y=
2
2
1
+x
解：（1）∵3- x ≥0，∴x ≤3 （2）∵2x+4≥0 ∴x ≥-2 （3）∵
022
1≥+x ，∴x ≥-4
4．当解析式为复合表达式时，首先逐个列出不等式，求出各部分的允许取值范围，再求其公共部分。
例4．求下列函数的定义域 （1）y=
4
3--x x (2)y=
x
x 513- (3)y=
6
522
+--x x x (4)y=3
2523++
+x x
解：（1）∵⎩⎨
⎧≠-≥-0
403x x ∴⎩⎨
⎧≠≥43x x ∴≥x 且x ≠4 .
（2）∵1-5 x>0 ∴ x<5
1
.
(3) ∵⎩⎨⎧≠≠≥∴⎩
⎨⎧≠+-≥-322
065022x x x x x x 且 ∴x>2且x ≠3.
(4) ∵3223
3
2032023-≥∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--
≥∴⎩⎨⎧+≥+x x x x x
5． 当解析式涉及到具体应用问题时，视具体应用问题而定。
如果使用函数反映实际问题时，自变量的取值除表示函数的数字式子有意义
之外，还必须使实际问题有意义。
例5．小明带了10元钱去买铅笔，铅笔每支售价0.38元，小明共买了x 支，余下的钱是y 元, 求y 关于x 的函数解析式,并指出X 的取值范围。
解：依题意，y 关于x 的函数解析式为：y=10-0.38x 当y=0时， 即10-0.38x=0， ∴ x=26.3 ∵铅笔的可数性
∴x 的取值范围为：0<x<26且x 是整数。
注意： 如何求x 的最大值呢，当10元钱全买了铅笔，即余钱为零时，x 为最大值。
而且考虑到铅笔的可数性，所以x 应取整数。
例6．已知等腰三角形的周长为17cm ，写出它的底边长ycm 与腰长xcm 之间的函数关系式？并指出函数的定义域。
解：由题意：y+2x=17 ∴y=17-2x
∵y>0 ，即 17-2x>0 ∴x<8.5 又 ∵三角形两边之和大于第三边 ∴x+x>y ，又y=17-2x
∴2x>17-2x ，解得 x>4.25
∴x 的取值范围为 4.25 cm <x<8.5 cm.
总结： 当底边为y, 腰长为x 时, x 的定义域为：41
周长<x<
2
1周长.。