2010-2011_2_随机数学期中试题及参考答案_7657_1777_20110512124257

北京交通大学 2010- 2011 学年第二学期《概率论与数理统计》期中试题答案学院 年级 学号 姓名 成绩附表：()()1.960.975, 1.6450.95Φ=Φ=,(1)0.8413,Φ=(2)0.9972Φ=.一、（6分）设1.0)(=A P ，9.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P ，则(|)P A B =？ 解：31； （6分）二、（12分）甲、乙、丙三人独立的向同一飞行目标各射击一次，击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。

如果只有一人击中，则目标被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则目标被击落的概率为0.6，如果三人都击中，则目标一定被击落，求目标被击落的概率。

解：设A 表示“目标被击落”，321,,B B B 依次表示“甲、乙、丙击中目标”，i C 表示“有i 个人击中目标”，i =1，2，3。

则有题设有：7.0)(,5.0)(,4.0)(321===B P B P B P3213213211B B B B B B B B B C =)()()()(3213213211B B B P B B B P B B B P C P ++=)()()()()()()()()(321321321B P B P B P B P B P B P B P B P B P ++=36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=3213213212B B B B B B B B B C = 同理 41.0)(2=C P3213B B B C = 14.0)(3=C P由全概率公式得：∑==30)|()()(i i i C A P C P A P ………………………+2458.0114.06.041.02.036.0=⨯+⨯+⨯= …………+10三、(12分)在电报通讯中，发射端发送“点”与“划”两种信号分别占60%与40%。

由于随机干扰，接受端可能收到“点”，“划”与“不清”三种结果。

假定发射“点”时，收到“点”“划”与“不清”的概率依次是0.7, 0.1 与0.2；而发射“划”时，收到上述三种结果的概率相应为0, 0.9 与0.1。

（1）求接收端收到“点”的概率；（2）若已知接受结果为“不清”时，求发射端发出的信号为“点”的概率。

解：假设 A={接收端收到“点”},1B ={发射端发送“点”}，2B ={发射端发送“划”} (1) 由全概率公式，可得∑==21)|()()(i i i B A P B P A P ……………..2分由题意可知，,4.0)(,6.0)(21==B P B P,0)|(,7.0)|(21==B A P B A P ……………..2分将这些代入上面的全概率公式知所求的概率为.42.0)(=A P ……………..2分(2) 假设C={接受结果为“不清”},则由Bayes 公式可得所求概率75.04.01.06.02.06.02.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=B P BC P B P B C P B P B C P C B P …………..3分……………3分四、(6分)已知盒子里有10张卡片，上面分别标有号码（1号～10号），从中抽取5次，每次随机地取一张，观察其上的号码后放回。

设X 表示观察到奇数号码的次数，则随机变量X 服从什么分布（指出其参数）？解:()5,0.5b ；……………6分五、（10分）设随机变量X 服从标准正态分布。

（1）写出X 的概率密度)(x f X ；（2）随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤-≤≤-=其它或,32112,211,1X X X Z , 求Z 的分布律。

解：(1) 2221)(x Xe xf -=π，∞<<∞-x …………2分(2) 9972.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ0056.03118.06826.01}2{}1{1}3{3118.0)8413.09972.0(2)]1()2([2}21{}12{}2{6826.018413.021)1(2)1()1(}11{}1{=--==-=-===-⨯=Φ-Φ=≤<+-<≤-===-⨯=-Φ=-Φ-Φ=≤≤-==Z P Z P Z P X P X P Z P X P Z P 0056.03118.06826.0|32 1|P Z ……………8分六、（12分）设随机变量X 的分布函数()0,0,011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩。

（1）写出X 的密度函数； （2）求 2ln Y X =-的密度函数。

解：（1）X 的密度函数为()1,010,x f x <<⎧=⎨⎩其他.........（2分）（2）解一：2ln y x =- 的可取值范围是()0,+∞由 2ln y x =- 得 20y x'=-<故 2ln y x =- 在 ()0,1 上严格单减 ......（2分） 其反函数()12y x h y e-== ，且 ()1212y h y e -'=- .........（4分）所以 2ln y x =- 的密度函数11221,0()20,y y X Y f e e y f y --⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他21,020,0yey y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩.........（4分）解二：先求2ln y x =- 的分布函数()Y F y 当0y ≤时， ()0Y F y =；当0y >时， ()()()2ln Y F y P Y y P X y =≤=-≤2y P X e -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭ ......（4分）21yP X e -⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭21y F e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭......（2分）因此，2ln y x =- 的密度函数()21,0()20,0y Y Y e y f y F y y -⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩......（4分）七、（8分） 某箱装100件产品，其中一、二和三等品分别为80，10和10件。

现从中随机取一件，定义三个随机变量123,,X X X 如下：⎩⎨⎧=其它等品抽到,0,1i X i ， 1,2,3i =。

试求：（1） 随机变量1X 与2X 的联合分布律；（2）1X 与2X 的边缘分布律。

解：∵()1~1,0.8X B ， ()2~1,0.1X B 则 ()12,X X 的联合分布律为……………6分写出两个边缘分布律……………2分八、（12分）设二维随机变量 (X,Y) 在 D={(x,y) | 1≤ x ≤ 3, 1≤ y≤ x } 上服从均匀分布。

(1) 求(X,Y) 的联合密度f(x,y)； (2) 求Z=X+Y 密度函数。

解：(1) D 的面积m(D) = 2, 所以, (X,Y) 的联合密度f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧∈.0,),(21其它D y x (2)（2） ()(),ZX f z f x z x dx +∞-∞=-⎰ -（或另一个公式）----2分非零区域131x z x x ≤≤⎧⎨≤-≤⎩131x x z x≤≤⎧⇒⎨+≤≤⎩------4分当24z ≤<时，()1212z zZ f z dx -=⎰142z =- 当46z ≤≤时，()3212z Z f z dx =⎰ 342z =-+其它，()0Zf z = -()1,24423,46420,Z z z z f z z ⎧-≤<⎪⎪⎪∴=-+≤≤⎨⎪⎪⎪⎩其它………+4九、(8分)已知随机变量X 和Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧<≤<≤=. ,0 10,10 ,4),(其他，y x xy y x f求条件概率)21|43(=>Y X P 。

解：⎩⎨⎧<≤=. ,0 10 ,2)(其他，y y y f Y ----------2分10,2)(),()|(,0)(,10|<≤==><<x x y f y x f y x f y f y Y Y X Y -----3分,16/72)21|43(14/3===>⎰xdx Y X P ----------3分。

十、（14分）设随机向量(X,Y)的联合密度f(x, y)为⎪⎩⎪⎨⎧∞<<-∞<<+=. ,0 ,10 ,)1(),(2其他，y x y A y x f π （1） 确定常数A ；（2） 求X ，Y 的边缘密度f X (x)，f Y (y)，并判断X 与Y 是否相互独立；(3)计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛>33),min(Y X P 。

解：（1）.1),(2=⎰⎰dxdy y x f R.1111)1(21021=⇒==+=+⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A Ady y dx A dxdy y A ππππ ……………………………（+4）（2） dyy x f x f X ⎰∞∞-=),()(.0)(10.1 )1(1)(102=≥≤=+=<<⎰∞+∞-x f x x dy y x f x X X 时，或当时，当π⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他x x f X……………………………（+2）dxy x f y f Y ⎰∞∞-=),()(.,)1(1)1(1)(2102+∞<<-∞+=+=⎰y y dx y y f Y ππ ……………………………（+2）因为，..),()(),(e a y f x f y x f Y X =所以X 与Y 相互独立.……………………………（+2）（3） 因为X 与Y 相互独立，⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛>=⎪⎭⎫ ⎝⎛>>=⎪⎭⎫ ⎝⎛>333333,3333),min(Y P X P Y X P Y X P .933621331)1(1332133-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎰⎰∞+ππππdy y dx ……………………………（+4）。