高中数学5.4几个著名的不等式5.4.3算术_几何平均不等式自我小测苏教版选修4_5
苏教版高中数学选修4-5：5.4 几个著名的不等式 复习课件
3．已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c 的最 小值为 4.
(1)求 a＋b＋c 的值． (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
解：(1)∵f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a ＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b 时，等号成立， 又 a>0，b>0，∴|a＋b|＝a＋b. ∴f(x)的最小值为 a＋b＋c. 又已知 f(x)的最小值为 4，∴a＋b＋c＝4.
5.4 几个著名的不等式 复习课件
专题一 利用柯西不等式证明不等式
• [考情分析] • 由于柯西不等式是用综合法证明不等式的重要依
据，因此柯西不等式的考查常出现在用综合法证 明含有幂，根式的和、积、商的不等式中．高考 一般在选考题中考查．
[高考冲浪] 1．(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数， 且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，求证：ac＋bd≤8.
3．已知 a1，a2，…，an 都是正实数，且 a1＋a2＋…＋an＝ 1.
求证：a1＋a21 a2＋a2＋a22 a3＋…＋an－a12n＋－1 an＋an＋a2n a1≥12.
证明：左边＝a1＋a21 a2＋a2＋a22 a3＋…＋an－a12n＋－1 an＋an＋a2n a1＝[(a1 ＋ a2) ＋ (a2 ＋ a3) ＋ … ＋ (an － 1 ＋ an) ＋ (an ＋
定理：若 a1，a2，…，an 为正数，
则a1＋a2＋n …＋an≥ n a1a2…an
，
等号当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时成立．
1．求函数 y＝4x－2－94x(x＞12)的最小值． 解：y＝4x－2－94x＝4x＋4x－9 2＝4x－2＋4x－9 2＋2， ∵x＞12，∴4x－2＞0，∴y≥2 9＋2＝8， 当且仅当 4x－2＝4x－9 2时，“＝”成立． 故所求函数的最小值为 8.
【2019最新】高中数学5-4几个著名的不等式5-4-2排序不等式同步测控
12.设a+b>0,n为偶数,求证:+≥+.
分析:本题将an-1与bn-1交换一下就得到右边,可用排序不等式解答,情况不定可分类讨论.
证明:∵a+b>0,
∴a>-b,共有四种情况.
(1)当a≥b>0时,an≥bn>0,an-1≥bn-1,
∴≤.
∴≤,
即≥+成立.
(2)当b≥a>0时,bn≥an>0,bn-1≥an-1,
答案:a2+b2+c2≥ab+bc+ca
7.比较a4+b4与a3b+ab3的大小关系为_______________.
解析:不妨设a≥b,则a3≥b3,∴a4+b4≥a3b+b3a.
答案:a4+b4≥a3b+ab3
我综合，我发展
8.若a、b为正数,则+与的大小关系为_______________.
解析:不妨设a≥b>0,则a3≥b3>0,∴≤.
——教学资料参考参考范本——
【2019最新】高中数学5-4几个著名的不等式5-4-2排序不等式同步测控
______年______月______日
____________________部门
同步测控
我夯基，我达标
1.已知a、b、c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小为( )
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
则b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
2021年高中数学5.4几个著名的不等式5.4.排序不等式自我小测苏教版选修
2021年高中数学5.4几个著名的不等式5.4.2排序不等式自我小测苏教版选修1已知a ，b ，c ∈R ＋，则a 5＋b 5＋c 5与a 3b 2＋b 3c 2＋c 3a 2的大小关系是________． 2设a 1，a 2，…，a n 为实数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，则乘积a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 不小于________．3n 个正数与这n 个正数倒数的乘积和的最小值为________． 4设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 5＋b 5＋c 5≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab .5设x ，y ，z ∈R ＋，求证：z 2－x 2x ＋y ＋x 2－y 2y ＋z ＋y 2－z 2z ＋x≥0.6设a ，b ，c 为某三角形三边长，求证：a 2(b ＋c －a )＋b 2(c ＋a －b )＋c 2(a ＋b －c )≤3abc .7设a ，b ，c 是正实数，求证：a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.8已知a ，b ，c ∈R ＋，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是________．9已知a ，b ，c 都是正数，则ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b≥________.10设c 1，c 2，…，c n 为正数a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n .11设a 1，a 2，…，a n ；b 1，b 2，…，b n 为任意两组实数，如果a 1≤a 2≤…≤a n ，且b 1≤b 2≤…≤b n ，求证：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n n ≥a 1＋a 2＋…＋a n n ×b 1＋b 2＋…＋b nn当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时等号成立．12设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab.参考答案1．a 5＋b 5＋c 5≥a 3b 2＋b 3c 2＋c 3a 2 解析：取两组数a 3，b 3，c 3和a 2，b 2，c 2，且a ≥b ≥c .由排序不等式，得a 5＋b 5＋c 5≥a 3b 2＋b 3c 2＋c 3a 2.2．a 1a n ＋a 2a n －1＋…＋a n a 13．n 解析：设0＜a 1≤a 2≤a 3…≤a n ，则0＜a －1n ≤a －1n －1≤…≤a －11. 则由排序不等式得：反序和≤乱序和≤同序和．∴最小值为反序和a 1·a －11＋a 2·a －12＋…＋a n ·a －1n ＝n .4．证明：不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 4≥b 4≥c 4， 运用排序不等式有：a 5＋b 5＋c 5＝a ×a 4＋b ×b 4＋c ×c 4≥ac 4＋ba 4＋cb 4，又a 3≥b 3≥c 3＞0， 且ab ≥ac ≥bc ＞0，所以a 4b ＋b 4c ＋c 4a ＝a 3ab ＋b 3bc ＋c 3ca ≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab ， 即a 5＋b 5＋c 5≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab .5．证明：所证不等式等价于z 2x ＋y ＋y 2x ＋z ＋x 2y ＋z ≥x 2x ＋y ＋y 2y ＋z ＋z 2z ＋x.不妨设0＜x ≤y ≤z ， 则x 2≤y 2≤z 2，x ＋y ≤x ＋z ≤y ＋z ，∴1y ＋z ≤1x ＋z ≤1x ＋y.于是上式的左边为同序和，右边为乱序和，由排序不等式知此式成立．6．证明：不妨设a ≥b ≥c ＞0.易证a (b ＋c －a )≤b (c ＋a －b )≤c (a ＋b －c )． 根据排序原理，得a 2(b ＋c －a )＋b 2(c ＋a －b )＋c 2(a ＋b －c )≤a ×b (c ＋a －b )＋b ×c (a ＋b －c )＋c ×a (b ＋c －a )≤3abc .7．证明：不妨设a ≥b ≥c ＞0，则lg a ≥lg b ≥lg c ，据排序不等式，有a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ； a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c .且a lg a ＋b lg b ＋c lg c ＝a lg a ＋b lg b ＋c lg c ， 以上三式相加整理，得3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )，即lg(a a b b c c )≥a ＋b ＋c3·lg(abc )．即lg(a a b b c c )≥lg(abc )a ＋b ＋c3，又lg x 为增函数，所以a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c3.8．大于或等于零 解析：设a ≥b ≥c ＞0，所以a 3≥b 3≥c 3， 根据排序原理，得a 3×a ＋b 3×b ＋c 3×c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a . 又知ab ≥ac ≥bc ，a 2≥b 2≥c 2. 所以a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab . 所以a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab .即a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )≥0. 9．32解析：设a ≥b ≥c ＞0，所以1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由排序原理，知ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥bb ＋c ＋cc ＋a ＋ab ＋a ，①ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b.②①＋②，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.10．证明：不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n，∵1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排列，故由排序原理：反序和≤乱序和，得：a 1×1a 1＋a 2×1a 2＋…＋a n ×1a n ≤a 1×1c 1＋a 2×1c 2＋…＋a n ×1c n.即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n .11．证明：由题设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n ， 则由排序原理得：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b 3＋a 2b 4＋…＋a n －1b 1＋a n b 2，…，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1.将上述n 个式子相加，两边同除以n 2，得：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n n ≥a 1＋a 2＋…＋a n n ×b 1＋b 2＋…＋b nn当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时等号成立．12．证明：不妨设a ≥b ≥c ＞0，于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a，应用排序不等式得：a 2×1a ＋b 2×1b ＋c 2×1c ≤a 2×1b ＋b 2×1c ＋c 2×1a.a 2×1a ＋b 2×1b ＋c 2×1c ≤a 2×1c ＋b 2×1a ＋c 2×1b. 以上两个同向不等式相加再除以2，即得a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ，再由数组a 3≥b 3≥c 3＞0，1bc ≥1ca ≥1ab ，仿上可证a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab.综上，可证a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab.。
高中数学5.4几个著名的不等式5.4.3平均不等式同步测控苏教版选修
5.4.3 算术—几何平均不等式同步测控我夯基，我达标1.若x>0,则4x+29x的最小值是( ) A.9 B.3363 C.13 D.不存在解析:∵x>0,∴4x+29x =2x+2x+29x ≥3323639)2)(2(3=xx x . 当且仅当2x=29x ,即x=329时取“=”. 答案:B2.设a 、b 、c∈R +,且a+b+c=1,若M=(a 1-1)(b 1-1)(c1-1),则必有( ) A.0≤M<81 B.81≤M<1 C.1≤M<8 D.M≥8 解析:∵a+b+c=1,∴(a 1-1)(b 1-1)(c 1-1) =(a c b a ++-1)(b c b a ++-1)(c c b a ++-1)=cba b c a a c b +∙+∙+ ≥cab b ac a bc 222∙∙=8(a 、b 、c∈R +). 答案:D 3.a 2+b 2=1,b 2+c 2=2,c 2+a 2=2,则ab+bc+ca 的最小值为( )A.3-21B.21-3C.25D.21+3 解析:若由a 2+b 2≥2ab,∴ab≤21;b 2+c 2≥2bc,∴bc≤1;c 2+a 2≥2ac,∴ac≤1得出ab+bc+ca≤25是错误的,因为等号不同时成立,取不到“=”.正确的解法:由已知,得a 2=1-b 2,c 2=2-b 2.又∵c 2+a 2=2,∴3-2b 2=2. ∴b 2=21,a 2=21,c 2=23. ∴ab+bc+ca=ab+c(a+b)的取值分别为21±321)2222(26±=+或21-±-22(26.21)22-= 综上,ab+bc+ca 的最小值为321-. 答案:B4.若a+b+c=0,a>b>c,则有( )A.ab>acB.ac>bcC.ab>bcD.以上皆错 解析:∵a+b+c=0,a>b>c, ∴a+b+c<a+a+a=3a. ∴a>0.∴由b>c,得ab>ac. ∴A 正确.又∵a+b+c>c+c+c=3c,∴c<0.则由a>b,得ac<bc,B 错. 答案:A5.若a 、b∈R +,且2a+b=1,则S=2ab -4a 2-b 2的最大值为( )A.12-B.212- C.2+1 D.212+ 解析:∵2a+b=1,∴(2a+b)2=4a 2+4ab+b 2=1.∴4a 2+b 2=1-4ab.又∵2a+b=1,a、b∈R +,∴2a+b≥ab 22.∴ab 22≤1.∴ab 2≤22. ∴S=ab 2-4a 2-b 2=ab 2-(1-4ab)=4ab+ab 2-1=(212+ab )2-45. ∴当222=ab 时,S max =(2122+)2-45=212-.答案:B6.若实数x 、y 满足xy>0,且x 2y=2,则xy+x 2的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:∵xy>0,由xy+x 2=222x xy xy ++≥323243222413413)2(3⨯==y x x xy =3, 知最小值为3,当且仅当2xy =x 2时等号成立. ∵xy>0,∴x=2y=1时,取“=”. 答案:C7.当0<x<2π时,函数f(x)=xxx 2sin sin 82cos 12++的最小值为( )A.2B.32C.4D.34解析:f(x)=.cos sin 4sin cos cos sin 2sin 8cos 22sin sin 82cos 1222xxx x x x x x x x x +=+=++ ∵0<x<2π,∴sinx>0,cosx>0. ∴f(x)≥xxx x cos sin 4sin cos 2∙=4. 答案:C8.设a>b>c,n∈N *,且b a -1+c b -1≥ca n -恒成立,则n 的最大值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:∵a>b>c,∴a -b>0,a-c>0,b-c>0.∴b a -1+c b -1≥ca n -, 即n≤cb cb b a b ac b b a c b c a b a c a --+-+--+-=--+-- =2+cb ba b a c b --+--恒成立. 由cb ba b a c b c b b a b a c b --∙--≥--+--2=2, ∴n≤2+2=4. 答案:C我综合，我发展9.函数y=log 2(x+11-x +5)(x>1)的最小值为________________. 解析:∵x>1,∴x+11-x +5=(x-1)+11-x +6≥11)1(2-∙-x x +6=8. ∴y=log 2(x+11-x +5)≥log 28=3. 答案:310.已知a 、b 、c∈R +,则(b a +c b +a c )(a b +b c +ca)≥_________________. 解析:∵a、b 、c∈R +,∴(b a +c b +a c )(a b +b c +c a )≥3333cab c a b a c c b b a ∙∙∙∙∙=9. 答案:911.已知x∈R +,有不等式x+x 1≥2,x+24x=2x +2x +24x ≥3…,由此启发我们可以推广为x+n xa ≥n+1(n∈N *),则a=_______________. 解析:由x+x 1≥2,x+224224x x x x++=≥3,x+433333333)3(433333xx x x x x x ∙≥+++==4…. ∴a=n n,x+1)()1(+∙+≥++++=n n nnn n n n xn n x n x n n x n x n x x n =n+1.答案:n n12.若记号“*”表示求两个数a 与b 的算术平均的运算,即a*b=2ba +,则两边均含有运算“*”和“+”且对任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是______________.解析:a+(b*c)=a+2c b +=22c b a ++=2b a ++2ca +=(a*b)+(a*c),(a+b)*(a+c)=2)()(c a b a +++=22cb a ++.答案:a+(b*c)=(a*b)+(a*c)=(a+b)*(a+c) 13.已知a 、b 、c∈R +,且a+b+c=1,求证:b a +1+c b +1+a c +1≥29. 分析:由已知条件a+b+c=1,而不等式中含有a+b,b+c,c+a 等量. ∴可将等式a+b+c=1,化为进行代换.证明:∵a、b 、c∈R +,且a+b+c=1, ∴(a+b)+(b+c)+(c+a)=2. ∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［b a +1+cb +1+ac +1］≥⨯+++3))()((3a c c b b a 31113ac c b b a +∙+∙+=9. ∴b a +1+c b +1+a c +1≥29成立. 14.已知a 、b∈R +,且a≠b,求证:a 3+b 3>a 2b+ab 2. 解析:可用比较法证明,也可构造平均不等式证明.证法一:(比较法)∵a 3+b 3-(a 2b+ab 2)=a 2(a-b)+b 2(b-a)=(a-b)2(a+b),又∵a,b∈R +且a≠b,∴(a -b)2>0.a+b>0. ∴a 3+b 3>a 2b+ab 2.证法二:(平均不等式法)∵a、b∈R +,且a≠b. ∴a 3+b 3=31［(a 3+a 3+b 3)+(a 3+b 3+b 3)］>31(3233333333b b a b a a +)=a 2b+ab 2. ∴a 3+b 3>a 2b+ab 2.我创新，我超越15.设a 、b 、c∈R +,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.证明:∵a、b 、c∈R +,∴ab(a+b)+bc(b+c)+ca (c+a) =(a 2b+b 2c+c 2a)+(ab 2+bc 2+ca 2) ≥3333333333c b a c b a +=6abc.∴原不等式成立.16.求y=4sin 2xcosx 的最值.分析:∵sin 2x+cos 2x=1,∴可构造“和”为定值,求出值域.需先求出y 2的值域,再求y 的范围.解:y 2=16sin 4xcos 2x=16sin 2xsin 2xcos 2x=64×x xx 222cos 2sin 2sin ∙∙ ≤64×3222)3cos 2sin 2sin (xxx ++ =64×(31)3=2764. ∴398938≤≤-y . ∴最大值为398,最小值为938-.。
数学选修4-5自我小测：5.4.3 算术几何平均不等式 含解析 精品
自我小测1若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是________．2设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1，则必有________． 3已知a ，b ∈R ＋，则⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ≥________.4若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均值的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式可以是____________________．5求证：4a －3＋a ≥7(其中a ＞3)．6如果a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.7已知a ，b ，c 同号且互不相等，a ＋b ＋c ＝1，求证∶1a ＋1b ＋1c ＞9.8若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是______．9下列命题：①x ＋1x 的最小值是2；②x 2＋2x 2＋1的最小值是2；③x 2＋5x 2＋4的最小值是2；④2－3x －4x的最小值是2，其中正确命题的个数是________．10若a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92.11设a ，b ，c 均为正数，证明(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc . 12求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大．参考答案1．3 解析：xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3312xy ×12xy ×x 2＝3314(x 2y )2＝3344＝3.2．M ≥8 解析：M ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c a －1⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c b －1⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c c －1＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥8ab bc ac abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．3．9 解析：⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ＝3＋bc a 2＋ac b 2＋ab c 2＋a 2bc ＋b 2ca ＋c2ab ≥3＋66bc a 2×ac b 2×ab c 2×a 2bc ×b 2ca ×c 2ab＝9.4．a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c ) 解析：∵a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c2，①又∵(a ＋b )*(a ＋c )＝(a ＋b )＋(a ＋c )2＝2a ＋b ＋c2，②由①②可知：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )．5．证明：∵a ＞3，∴a －3＞0.由基本不等式得4a －3＋a ＝4a －3＋a －3＋3≥24a －3×(a －3)＋3＝24＋3＝7， 当且仅当4a －3＝a －3，即a ＝5(a ＝1舍去)时，取等号．6．证明：∵a ，b ∈R ＋，且a ≠b ， 则a 3＋b 3＝13[(a 3＋a 3＋b 3)＋(a 3＋b 3＋b 3)]＞13(33a 3a 3b 3＋33a 3b 3b 3) ＝a 2b ＋ab 2. ∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.7．证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c . ∵a ，b ，c 同号且a ＋b ＋c ＝1， ∴a ＞0，b ＞0，c ＞0.∴b a ，c a ，a b ，c b ，a c ，bc 均大于0. 又a ，b ，c 互不相等， ∴3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＞3＋ 66b a ·c a ·a b ·c b ·a c ·b c ＝3＋6＝9.∴1a ＋1b ＋1c＞9. 8．[9，＋∞) 解析：令ab ＝t (t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，则有t 2≥2t ＋3，即t 2－2t －3≥0. 解得t ≥3或t ≤－1(不合题意，舍去)． ∴ab ≥3.∴ab ≥9，当a ＝b ＝3时，取等号．9．1 解析：当x ＜0时，x ＋1x 无最小值，∴①错误；当x ＝0时，x 2＋2x 2＋1的最小值是2，∴②正确；当1x 2＋4＝x 2＋4时，x 2＋5x 2＋4取得最小值2，但此时x 2＝－3不成立，∴x 2＋5x 2＋4取不到最小值2，∴③错误；当x ＞0时，2－3x －4x＜0，∴④错误．10．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴2＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )．∴[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )×331a ＋b ×1b ＋c ×1c ＋a ＝9. ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92. 11．证明：因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式，得ab ＋a ＋b ＋14≥4a 2b 2，ab ＋ac ＋bc ＋c 24≥4a 2b 2c 4.两式相乘并整理，得(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc .12．证明：设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x ，y ，z ，则长方体的体积为V ＝xyz ，表面积为A ＝2xy ＋2yz ＋2xz ，则A ＝2xy ＋2yz ＋2xz ≥63(xyz )2.而这里A 为定值，即A ≥63V 2，从而有V ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫A 63，当且仅当xy ＝yz ＝xz ，即x ＝y ＝z 时，等号成立．所以当长方体为正方体时，体积取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫A 63.。
高中数学5.4几个著名的不等式5.4.1柯西不等式同步测控苏教版选修4_5
∵c<a+b恒成立,∴c<- .
答案:c<-
11.已知a、b、c、d都是实数,且a2+b2=1,c2+d2=1,
求证:｜ac+bd｜≤1.
分析:已知条件中a2+b2和c2+d2与所证的不等式中(ac+bd)之间的关系可用柯西不等式.
证明:由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,及a2+b2=1,c2+d2=1,得(ac+bd)2≤1,
得a1x1+a2x2+…+anxn≤1.
答案:A
6.已知a、b∈R+,ab=1,则(1+ )(1+ )的最小值为( )
A.4B.2C.1D.
解析:(1+ )(1+ )≥(1+ )2=4.
答案:A
7.已知x、y、z∈R+,x+y+z=1,则 的最大值是________________.
解析:∵(x+y+z)(1+1+1)≥( )2,且x+y+z=1,
即｜ac+bd｜≤1成立.
12.比较A=1+ + +…+ 与 的大小关系(n∈N*).
解:∵A(1+ + +…+ )
=(1+ )(1+ +…+ )
≥ =n2,
∴1+ + +…+ ≥ .
而1+ +…+ ≤ + +…+ = ,
高中数学5.4几个著名的不等式5.4.3算术_几何平均不等式自我小测苏教版选修4_50.doc
5.4.3 算术—几何平均不等式自我小测1若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是________．2设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1，则必有________． 3已知a ，b ∈R ＋，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥________.4若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均值的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式可以是____________________．5求证：4a －3＋a ≥7(其中a ＞3)． 6如果a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.7已知a ，b ，c 同号且互不相等，a ＋b ＋c ＝1，求证∶1a ＋1b ＋1c＞9.8若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是______．9下列命题：①x ＋1x 的最小值是2；②x 2＋2x 2＋1的最小值是2；③x 2＋5x 2＋4的最小值是2；④2－3x －4x的最小值是2，其中正确命题的个数是________．10若a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92. 11设a ，b ，c 均为正数，证明(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc . 12求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大．参考答案1．3 解析：xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3312xy ×12xy ×x 2＝3314x 2y2＝3344＝3.2．M ≥8解析：M ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1＝b ＋ca ＋ca ＋babc≥8ab bc ac abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．3．9 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝3＋bc a 2＋ac b 2＋ab c 2＋a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab ≥3＋66bc a 2×ac b 2×ab c 2×a 2bc ×b 2ca ×c 2ab＝9. 4．a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c ) 解析：∵a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c2，①又∵(a ＋b )*(a ＋c )＝a ＋b ＋a ＋c2＝2a ＋b ＋c2，② 由①②可知：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )．5．证明：∵a ＞3，∴a －3＞0.由基本不等式得4a －3＋a ＝4a －3＋a －3＋3≥24a －3a －＋3＝24＋3＝7，当且仅当4a －3＝a －3，即a ＝5(a ＝1舍去)时，取等号． 6．证明：∵a ，b ∈R ＋，且a ≠b ， 则a 3＋b 3＝13[(a 3＋a 3＋b 3)＋(a 3＋b 3＋b 3)]＞13(33a 3a 3b 3＋33a 3b 3b 3) ＝a 2b ＋ab 2. ∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.7．证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c .∵a ，b ，c 同号且a ＋b ＋c ＝1， ∴a ＞0，b ＞0，c ＞0. ∴b a ，c a ，a b ，c b ，a c ，b c均大于0. 又a ，b ，c 互不相等，∴3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＞3＋66ba ·c a ·ab ·c b ·a c ·b c＝3＋6＝9.∴1a ＋1b ＋1c＞9.8．[9，＋∞) 解析：令ab ＝t (t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，则有t 2≥2t ＋3，即t 2－2t －3≥0. 解得t ≥3或t ≤－1(不合题意，舍去)． ∴ab ≥3.∴ab ≥9，当a ＝b ＝3时，取等号．9．1 解析：当x ＜0时，x ＋1x 无最小值，∴①错误；当x ＝0时，x 2＋2x 2＋1的最小值是2，∴②正确；当1x 2＋4＝x 2＋4时，x 2＋5x 2＋4取得最小值2，但此时x 2＝－3不成立，∴x 2＋5x 2＋4取不到最小值2，∴③错误；当x ＞0时，2－3x －4x＜0，∴④错误．10．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴2＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )． ∴[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥33a ＋b b ＋c c ＋a×331a ＋b ×1b ＋c ×1c ＋a ＝9. ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92. 11．证明：因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式，得ab ＋a ＋b ＋14≥4a 2b 2，ab ＋ac ＋bc ＋c 24≥4a 2b 2c 4.两式相乘并整理，得(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc .12．证明：设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x ，y ，z ，则长方体的体积为V ＝xyz ，表面积为A ＝2xy ＋2yz ＋2xz ，则A ＝2xy ＋2yz ＋2xz ≥63xyz2.而这里A 为定值，即A ≥63V 2，从而有V ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫A 63，当且仅当xy ＝yz ＝xz ，即x ＝y ＝z 时，等号成立．所以当长方体为正方体时，体积取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫A 63.。
高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.3 平均不等式知识导航学案 苏教版选修45
5.4.3 平均不等式自主整理1.两个正数a 、b,则2b a +≥______________(当且仅当a=b 时取“=”). 2.a 、b 、c∈R +,则3c b a ++≥______________(当且仅当a=b=c 时取“=”). 3.a 1,a 2,…,a n ∈R +,na a a n ++21≥______________(当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取“=”). 4.na a a n +++ 21称为这n 个正数的________________, n n a a a 21称为这n 个正数的________________.不等式______________称为算术—几何平均不等式,即n 个正数的算术平均不小于它们的几何平均.高手笔记1.平均不等式的使用前提是正数,在使用时一定要考查是否具备前提条件.2.在使用平均不等式求函数的最值时,需考查“三条”,即“一正,二定,三相等”,这三者缺一不可,否则求出的不是函数的最值.“一正”是必不可少的,例如a=b=-2,c=2时,a+b+c=-2,而33abc =6,显然3c b a ++≥33abc 不成立了. “二定”包含两类最值问题,一是已知n 个正数的和为定值(即a 1+a 2+…+a n 为定值),求其积a 1·a 2·…·a n 的最大值;二是已知乘积a 1a 2…a n 为定值,求其和a 1+a 2+…+a n 的最小值. “三相等”,等号成立的条件是a 1=a 2=a 3=…=a n 都相等才能取“=”,否则取不到等号. 名师解惑使用算术—几何平均不等式时有哪些常用的技巧?剖析:在利用算术—几何平均不等式求函数的最值(或范围)时,往往需要对代数式变形或拼凑,有时一个数需要拆分成两个或两个以上的数,这时候,拆成的数要相等.如y=22x +x=++222x x 2x ,其中把x 拆成2x +2x 两个数的和,而不是把22x 拆成21x +21x ,否则乘积不为定值,也不是把x 拆成443x x +,否则等号取不到.也就是得到的乘积为定值或和为定值,这样通过“一正,二定,三相等”求出最值.讲练互动【例1】已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(1+a 1)(1+b1)≥9. 分析:本题可将“1”代换成a+b 进行变形,再由平均不等式证出.证明:方法一:∵a>0,b>0,a+b=1, ∴(1+a 1)(1+b1)=(1+a b a +)(1+b b a +)=(1+1+a b )(1+1+ba ) ≥3333ba ab ∙=9. 方法二:∵a>0,b>0,a+b=1, ∴(1+a 1)(1+b1)=(1+a b a +)(1+b b a +) =(2+a b )(2+b a )=4+2(a b +b a )+1 =5+2(a b +ba )≥5+2×2ab ×b a =9. 方法三:∵a>0,b>0,a+b=1,∴2ab ≤a+b=1. ∴0<ab≤41.∴ab 1≥4. 又∵a 1+b1≥2ab 1≥4, ∴(1+a 1)(1+b 1)=1+(a 1+b 1)+ab1≥1+4+4=9. 绿色通道根据已知条件,本题可拆为三个数的平均不等式,也可转化为两个数的平均不等式进行推理论证.注意已知条件的使用,可代入,也可把平均不等式变形.变式训练1.已知a 、b 、c∈R +,且a+b+c=1,求证:a 1+b 1+c1≥9. 证法一:∵a、b 、c∈R +,且a+b+c=1, ∴a 1+b 1+c1=a c b a +++b c b a +++c c b a ++ =1+a b +a c +1+b a +b c +1+c a +cb =(a b +b a )+(ac +c a )+(b c +c b )+3 ≥2+2+2+3=9成立.证法二:∵a、b 、c∈R +,且a+b+c=1. ∴a 1+b 1+c1=a c b a +++b c b a +++c c b a ++ =3+(a b +b a +a c +c a +b c +c b ) ≥3+66cb bc c a a c b a a b ∙∙∙∙∙=9成立.证法三:∵a、b 、c∈R +,且a+b+c=1, ∴.3133=++≤c b a abc ∴31abc ≥3. ∴a 1+b 1+c1≥313abc ≥3×3=9. 【例2】已知a 、b 、c 是互不相等的正数,且abc=1,求证:c b a ++<a 1+b 1+c 1. 分析:由已知abc=1,可将c b a ++改写为ab ac bc 111++或将a 1+b 1+c 1改写为bc+ac+ab 再证出.证法一:∵abc=1, ∴.111abac bc c b a ++=++ ∵a、b 是互不相等的正数, ∴a 1+b1>2ab 1. 同理b 1+c 1>bc 12, c 1+a1>ac 12. ∴a 1+b 1+b 1+c 1+c 1+a1>2ab 1+2bc 1+2ac 1, 即c b a ++<a 1+b 1+c1. 证法二:∵abc=1,∴a 1+b 1+c 1=bc+ac+ab. ∵a、b 是互不相等的正数, ∴bc+ac>22abc =2abc ·c =2c .同理,ac+ab>2a ,ab+bc>2b . ∴2(ab+bc+ac)>2a +2b +2c . ∴ab+bc+ac>a +b +c .∴a 1+b 1+c1>a +b +c . 绿色通道用平均不等式证明可适当进行不等式的变形.变式训练2.已知x 、y 都是正数,且x+2y=1,求证:y x 11+≥3+22. 证明:∵x、y 都是正数,且x+2y=1, ∴x 1+y 1=(x+2y)(x 1+y1)=1+22++y x x y ≥3+yx x y ∙22=3+22, 即x 1+y1≥3+22. 【例3】已知a 12+a 22+…+a n 2=1,x 12+x 22+…+x n 2=1,求证:a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n ≤1.分析:由a i x i ≤222i i x a +可知需将两式组合证明. 证明:a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n ≤2222222222121n n x a x a x a ++++++ =222222122221n n x x x a a a +++++++ =21+21=1. 绿色通道证明不等式时要注意不等式的结构,灵活地进行变换.变式训练3.证明a 2+b 2+c 2+d 2≥ab+bc+cd+da.证明:ab+bc+cd+da≤222222222222a d d c c b b a +++++++=a 2+b 2+c 2+d 2成立. ∴a 2+b 2+c 2+d 2≥ab+bc+cd+da.。
高中数学5.4几个著名的不等式5.4.1柯西不等式自我小测苏教版选修4_
3 设 a， b， c∈R＋，且 a＋b＋c＝ 1，则 a＋ b＋ c的最大值是 ________． 4 已知 a21＋ a22＋…＋ a2n＝ 1， x21＋ x22＋…＋ x2n＝ 1，则 a1x1＋ a2x2＋…＋ anxn 的最大值是 ________ ．
5 n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 6 若 2x＋ 3y＝ 1，求 4x2＋ 9y2 的最小值，并求最小值点．
1 当且仅当 a＝ b＝ c＝ 时等号成立．
3
∴ a＋ b＋ c的最大值为 3. 4． 1 解析： (a1x1＋ a2x2＋…＋ anxn)2≤ (a21＋a22＋…＋ a2n)(x12＋ x22＋…＋ x2n)＝1× 1＝ 1. 当且仅当存在一个数 k，使 ai＝ kxi(i＝ 1,2，…， n)时等号成立． ∴ a1x1＋ a2x2＋…＋ anxn 的最大值是 1. 5． n2 解析： 设 n 个正数为 x1， x2，…， xn， 由柯西不等式，得
－9 2
所以 (x－ 1)2＋(y＋ 2)2＋ (z－明： 设 m＝ cosθ， sinθ， n＝(cosθ， sinθ)．
a
b
则 | a＋ b| ＝ cosθcosθ＋ sinθsinθ
＝ | m·n| ≤| m|| n|
a
b
＝
cosθ2＋ sinθ 2· cos2θ＋sin2θ
________．
1
1
1
7设
a1＞ a2＞…＞ an ＞an＋1，求证：
( a1 － an＋1 )
＋
＋…＋
a1－a2 a2－ a3
an－ an＋1
≥ n 2.
8 设 a＝ (－ 2,1,2)， | b| ＝ 6，则 a·b 的最小值为 ________，此时 b＝________.
高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.1 柯西不等式同步测控 苏教版选修45
5.4.1 柯西不等式同步测控我夯基，我达标 1.y=x x -+-625的最大值是( ) A.3 B.5 C.3 D.5解析:y=1×5-x +2x -6≤2221+×5)6()5(22=-+-x x .答案:B2.若x 、y∈R +,x+y≤4,则下列不等式成立的是( ) A.y x +1≤41 B.y x 11+≥1 C.xy ≥2 D.xy1≥1 解析:∵x+y≤4,x、y∈R +, ∴y x +1≥41.A 不成立. ∵x+y≥2xy ,∴4≥2xy . ∴xy ≤2.∴C 不成立. ∴0<xy≤4,xy 1≥41.D 一定不成立. 而(x 1+y 1)(x+y)≥(x x ∙1+y y∙1)2=4, ∵x+y>0,∴x 1+y 1≥yx +4. ∵x+y≤4,∴y x +1≥41. ∴y x +4≥4×41=1. ∴x 1+y1≥1成立,即B 成立. 答案:B3.已知x 、y 、z∈R +,且x+y+z=1,则x 2+y 2+z 2的最小值是( )A.1B.31 C.32 D.2 解析:∵(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x+y+z)2=1,∴x 2+y 2+z 2≥31, 当且仅当x=y=z=31时,取“=”. 答案:B 4.n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是A.1B.nC.n 2D.n1 解析:设a i >0(i=1,2,…,n),则(a 1+a 2+…+a n )(11a +21a +…+na 1) ≥(221111a a a a ∙+∙+…+nn a a 1∙)2=n 2. 答案:C5.已知a 12+a 22+…+a n 2=1,x 12+x 22+…+x n 2=1,则a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n 的最大值是( )A.1B.2C.3D.4解析:由柯西不等式(a 12+a 22+…+a n 2)(x 12+x 22+…+x n 2)≥(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )2,得a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n ≤1.答案:A6.已知a 、b∈R +,ab=1,则(1+a 1)(1+b1)的最小值为( ) A.4 B.2 C.1 D.41 解析:(1+a 1)(1+b1)≥(1+b a 11∙)2=4. 答案:A 7.已知x 、y 、z∈R +,x+y+z=1,则z y x ++的最大值是________________. 解析:∵(x+y+z)(1+1+1)≥(z y x ++)2,且x+y+z=1, ∴z y x ++≤3.答案:38.若x>0,y>0且yx 91+=1,则x+y 的最小值为________________.解析:x+y=(x 1+y 9)(x+y)≥(x 1×x +y9×y )2=16. 答案:16 我综合，我发展9.若a>b>c,且b a -1+c b -1≥ca m -恒成立,则m 的取值范围为_________________. 解析:∵a>b>c,∴a -b>0,b-c>0,a-c>0. ∴不等式b a -1+c b -1≥c a m -恒成立,即m≤(b a -1+cb -1)(a-c)恒成立. ∵(a -c)(b a -1+cb -1) =［(a-b)+(b-c)］(b a -1+c b -1) ≥(c b c b b a b a -∙-+-∙-11)2=4. ∴m≤4.答案:m≤410.已知a 2+b 2=1且c<a+b 恒成立,则c 的取值范围为_________________.解析:∵(a 2+b 2)(12+12)≥(a+b)2,且a 2+b 2=1,∴(a+b)2≤2.∴-2≤a+b≤2. ∵c<a+b 恒成立,∴c<-2.答案:c<-211.已知a 、b 、c 、d 都是实数,且a 2+b 2=1,c 2+d 2=1,求证:｜ac+bd ｜≤1.分析:已知条件中a 2+b 2和c 2+d 2与所证的不等式中(ac+bd)之间的关系可用柯西不等式.证明:由柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2,及a 2+b 2=1,c 2+d 2=1,得(ac+bd)2≤1,即｜ac+bd ｜≤1成立.12.比较A=1+21+31+…+n 1与n 的大小关系(n∈N *).解:∵A(1+2+3+…+n ) =(1+n 13121+++ )(1+2+…+n ) ≥=n 2,∴1+21+31+…+n 1≥n n +++ 212.而1+2+…+n ≤n +n +…+n =n n , ∴n+++ 211≥n n 1. ∴n n +++ 212≥n n n 2=n . ∴A≥n .13.△ABC 的三边长为a 、b 、c,其外接圆半径为R,求证:(a 2+b 2+c 2)(CB A 222sin 1sin 1sin 1++)≥36R 2. 分析:本题的左边为柯西不等式的结构,用柯西不等式证明.证明:∵(a 2+b 2+c 2)(CB A 222sin 1sin 1sin 1++) ≥(Cc B b A a sin sin sin ++)2, 而在△ABC 中,Cc B b A a sin sin sin ===2R. ∴Cc B b A a sin sin sin ++=6R. ∴(a 2+b 2+c 2)(C B A 222sin 1sin 1sin 1++)≥36R 2. 14.△ABC 的三边a,b,c 对应的高为h a ,h b ,h c ,r 为三角形的内切圆半径,若h a +h b +h c =9r,试判断△ABC 的形状.分析:三角形的高与面积和底边有关,而内切圆的半径也与面积有关,可将原三角形的分割为三个以r 为高的小三角形.解:设△ABC 的面积为S,则 S=21ah a =21bh b =21ch c . 又∵S=21r(a+b+c), ∴2S=r(a+b+c).∴h a +h b +h c =cS b S a S 222++ =r(a+b+c)(a 1+b 1+c 1). 由柯西不等式(a+b+c)(a 1+b 1+c 1)≥［∙a a1+c c b b 11∙+∙］2=9,∴h a +h b +h c ≥9r,当且仅当a=b=c 时,取“=”. 又∵h a +h b +h c =9r,∴此三角形为正三角形.我创新，我超越15.设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:.9222cb a ac c b b a ++>+++++ 证明:∵(a+b+b+c+c+a)(b a +1+a c c b +++11) ≥(a c a c c b c b b a b a +∙+++∙+++∙+111)2=9, 即2(a+b+c)(b a +1+c b +1+ac +1)≥9, ∵a、b 、c 为互不相等的正数,∴上式“=”取不到. ∴b a +2+c b +2+a c +2>cb a ++9. 16.设x 1,x 2,…,x n ∈R +,且x 1+x 2+…+x n =1.求证:.111112222121+≥++++++n x x x x x x n n 分析:可用柯西不等式的一般形式,注意“1”的变换. 证明:∵(1211x x ++2221x x ++…+n n x x +12)(n+1) =(1211x x ++2221x x ++…+n n x x +12)(n+x 1+x 2+…+x n ) =(1211x x ++2221x x ++…+n n x x +12)［(1+x 1)+(1+x 2)+…+(1+x n )］ ≥(∙+1211x x 11x ++222211x x x +++…+n n n x x x +∙+112)2 =(x 1+x 2+…+x n )2=1, 即1211x x ++221x x ++…+n n x x +12≥11+n 成立.。
高中数学5.4几个著名的不等式5.4.2排序不等式知识导航学案苏教版选修4-5(2021学年)
高中数学5.4 几个著名的不等式５．4．2 排序不等式知识导航学案苏教版选修4-５编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学 5.４几个著名的不等式5．４.2 排序不等式知识导航学案苏教版选修4-５）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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5.4.2 排序不等式自主整理1．设两组实数a1，ａ2,…，ａｎ与b１,b2，…,ｂｎ，且a1≤a2≤…≤a n,ｂ１≤b2≤…≤bｎ，则___＿＿__＿_________为同序和,_＿＿__＿___________为反序和．２．设c1,c2,…，ｃn为b1，b２,…,bｎ的任意一个排列，a１c1+a2ｃ２＋…+a n c n为乱序和,则和数a1c1+a2c２+…+aｎｃn在ａ1,a2，…,a n与b1,b2,…,b n同序时最大，反序时最小，即___＿＿_＿____＿_______＿_＿,当且仅当___________＿＿______＿__或___＿______＿__＿________时成立。
高手笔记排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：同序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”，较为简单的两种是“同序和"与“反序和",而乱序和也就不按“常理”的顺序了。
排序不等式中等号成立的条件是a１=ａ2=…=a n或b１=b2=…=b n，这一点不难理解，它是我们解决某些问题的关键,要记住．名师解惑怎样理解排序不等式的证明?剖析：课本对排序不等式的证明过程和方法,用了“探究——猜想——检验-—证明"及由特殊到一般的思维过程和发现过程,这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及到的“排序”及“乘积”的问题，出现了两种特殊的顺序“同序"和“反序”，其他为乱序,自然要对它们进行比较,但由于乱序情况较多较复杂,不可能一一验证、证明，所以课本采用了“逐步调整法”,就像日常生活中班级排队一样,逐个调整,每次调整对调一组数都保证了调整后的和不小于调整前的和。
【2019最新】高中数学5-4几个著名的不等式5-4-2排序不等式同步测控
【2019最新】高中数学5-4几个著名的不等式5-4-2排序不等式同步测控 排序不等式同步测控我夯基，我达标1.已知a 、b 、c∈R +,则a 3+b 3+c 3与a 2b+b 2c+c 2a 的大小为( ) A.a 3+b 3+c 3>a 2b+b 2c+c 2a B.a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a C.a 3+b 3+c 3<a 2b+b 2c+c 2a D.a 3+b 3+c 3≤a 2b+b 2c+c 2a解析:不妨设a≥b≥c>0,则a 2≥b 2≥c 2, ∴a 2b+b 2c+c 2a≤a 3+b 3+c 3. 答案:B2.已知a 、b 、c∈R +,则a 2(a 2-bc)+b 2(b 2-ac)+c 2(c 2-ab)的正负情况为( ) A.大于零 B.大于等于零 C.小于零 D.小于等于零 解析:不妨设a≥b≥c>0,则a 2≥b 2≥c 2,ab≥ac≥bc. ∴a 4+b 4+c 4=a 2·a 2+b 2·b 2+c 2·c 2 ≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2=(ab)·(ab)+(bc)·(bc)+(ac)·(ac) ≥(ab)·(ac)+(ac)·(bc)+(bc)·(ab) =a 2bc+abc 2+ab 2c. ∴a 4-a 2bc+b 4-ab 2c+c 4-abc 2≥0,即a 2(a 2-bc)+b 2(b 2-ac)+c 2(c 2-ab)≥0. 答案:B3.设x 1,x 2,…,x n 是不同的正整数,则m=222121x x ++ (2)x n 的最小值是( ) A.1 B.2 C.1+21+31+...+n 1 D.1+221+231+ (21)解析:∵x 1,x 2,…,x n 是不同的正整数,设b 1,b 2,…,b n 是x 1,x 2,…,x n 的一个排列且b 1≤b 2≤b 3≤…≤b n ,则b 1≥1,b 2≥2,…,b n ≥n. 又∵211>221>…>21n , ∴m=2222121n x x x n +++ ≥2222121n b b b n +++ ≥1+21+31+…+n 1.答案:C4.已知c a b 212121log log log <<,则( )A.2b>2a>2cB.2a>2b>2cC.2c>2b>2aD.2c>2a>2b解析:∵b 21log <a 21log <c 21log ,∴b>a>c.∴2b >2a >2c. 答案:A5.设b 、c 为互不相等的正整数,则2232cb +的最小值为( ) A.3613 B.3617 C.1 D.41 解析:∵b、c 为互不相等的正整数,若b<c,则b≥1,c≥2.又∵223121>,∴2232c b +≥.3617322122=+若b>c,则b≥2,c≥1,又∵221>231,∴2232c b +≥2232b c +≥223221+=3617. ∴最小值为3617.答案:B6.若a 、b 、c 为实数,则a 2+b 2+c 2与ab+bc+ca 的大小关系为_______________.解析:不妨设a≥b≥c,则ab+bc+ca≤a·a+b·b+c·c=a 2+b 2+c 2.答案:a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca7.比较a 4+b 4与a 3b+ab 3的大小关系为_______________.解析:不妨设a≥b,则a 3≥b 3,∴a 4+b 4≥a 3b+b 3a.答案:a 4+b 4≥a 3b+ab 3我综合，我发展8.若a 、b 为正数,则21a +21b 与33ab b a +的大小关系为_______________. 解析:不妨设a≥b>0,则a 3≥b 3>0,∴31a ≤31b.∴31a ·a+31b ·b≤33b a a b +, 即21a +21b ≤33ba ab +. 答案:21a +21b ≤33ba ab +9.若a 、b 为正数,则24b a -a 2与b 2-24ab 的大小关系为_______________. 解析:不妨设a≥b>0,则a 2≥b 2>0,21b ≥21a>0, a 4≥b 4>0.∴2424a b b a +≥2424aa b b +=a 2+b 2.∴24b a -a 2≥b 2-24ab .答案:24b a -a 2≥b 2-24ab10.设a 、b 、c 都是正数,求证:c b a ++a c b ++b a c +≥23. 证明:不妨设a≥b≥c>0, 则a+b≥a+c≥b+c>0,∴b a +1≤c a +1≤c b +1. ∴a c b c b a b a c +++++≥b a a a c c c b b +++++, a c b c b a b a c +++++≥ba ba c a cbc +++++. 两式相加,得2(ac bc b a b a c +++++)≥3, 即a c b c b a b a c +++++≥23成立. 11.设a 、b 、c∈R +,求证:a 1+b 1+c1≤333888c b a c b a ++. 分析:本题可多次利用排序不等式证明,不等式的右边=335335335ba c a cbc b a ++.证明:不妨设a≥b≥c>0,则c 1≥b 1≥a1. ∴331c b ≥331a c ≥331ba ,且a 5≥b 5≥c 5. ∴335335335b a c a c b c b a ++≥323232335335335ab c a b c b a b a c a c b c ++=++. ∵a≥b≥c>0, ∴a 2≥b 2≥c 2,333111c b a ≤≤. ∴323232a b c a b c ++≥.111323232c b a c c b b a a ++=++∴333888c b a c b a ++≥a 1+b 1+c1成立. 我创新，我超越12.设a+b>0,n 为偶数,求证:n n a b 1-+n n ba 1-≥a 1+b 1.分析:本题将a n-1与b n-1交换一下就得到右边,可用排序不等式解答,情况不定可分类讨论. 证明:∵a+b>0,∴a>-b,共有四种情况.(1)当a≥b>0时,a n ≥b n >0,a n-1≥b n-1, ∴n a 1≤n b1. ∴n n n n b b a a 11--+≤n n n n b a a b 11--+,即n n n n b a a b 11--+≥a 1+b1成立.(2)当b≥a>0时,b n≥a n>0,b n-1≥a n-1, ∴n b 1≤na 1. ∴n n n n a ab b 11--+≤n n n n b a a b 11--+,即n n n n b a a b 11--+≥a 1+b1.(3)当a>-b>0时, ∵n 为偶数, ∴a n >(-b)n =b n>0,且a>b. ∴a n-1>b n-1,且na 1<n b1. ∴n n n n b a a b 11--+≥.1111b a bb a a n n n n +=+--(4)当0>a>-b 时,则b>-a>0,∵n 为偶数,∴b n >(-a)n =a n >0且b n-1>a n-1. ∴na 1>n b1. ∴n n n n b b a a 11--+≤n n n n b a a b 11--+,即n n n n b a a b 11--+≥a 1+b 1.综上,n n n n b a a b 11--+≥a 1+b1.13.设x 1≥x 2≥…≥x n ,y 1≥y 2≥…≥y n ,z 1,z 2,…,z n 是y 1,y 2,…,y n 的任意一个排列,求证:∑=-ni i iy x12)(≤∑=-ni i i z x 12)(.分析:本题可利用排序不等式解答,要证∑=-ni i iy x12)(≤∑=-ni i i z x 12)(成立,只需证∑=-ni i iy x122)(-∑=n i i i y x 1)2(≤∑=+ni i i z x 122)(-∑=ni i i z x 1)2(,由排序不等式证明出.证明:∵x 1≥x 2≥…≥x n ,y 1≥y 2≥…≥y n ,z 1,z 2,…,z n 是y 1,y 2,…,y n 的任意一个排列, ∴x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ≥x 1z 1+x 2z 2+…+x n z n , 即∑∑==≥ni ii n i ii z x y x 11.∴∑∑==-≤-ni i i ni ii z x yx 11,22且x 12+y 12+x 22+y 22+…+x n 2+y n 2=x 12+z 12+x 22+z 22+…+x n 2+z n 2. ∴∑∑∑∑====-+≤-+n i n i ni i i i i i i ni i iz x z x y x y x1112212,2)(2)(即∑∑==-≤-ni i i ni i iz x y x1212)()(成立.。
高中数学5-4几个著名的不等式5-4-3算术—几何平均不等式自我小测
教学资料范本高中数学5-4几个著名的不等式5-4-3算术—几何平均不等式自我小测编辑：__________________时间：__________________5.4.3 算术—几何平均不等式1若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是________．2设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1，则必有________． 3已知a ，b ∈R ＋，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥________. 4若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均值的运算，即a *b ＝a＋b 2，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式可以是____________________．5求证：4a－3＋a ≥7(其中a ＞3)． 6如果a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.7已知a ，b ，c 同号且互不相等，a ＋b ＋c ＝1，求证∶1a ＋1b ＋1c＞9. 8若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是______．9下列命题：①x ＋1x 的最小值是2；②x2＋2x2＋1的最小值是2；③x2＋5x2＋4的最小值是2；④2－3x －4x的最小值是2，其中正确命题的个数是________． 10若a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a＋b ＋1b＋c ＋1c＋a ≥92. 11设a ，b ，c 均为正数，证明(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc . 12求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大．1．3 解析：xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥ 3312xy×12xy×x2＝3314＝3344＝3. 2．M ≥8 解析：M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a＋b＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a＋b＋c b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a＋b＋c c －1＝abc ≥8ab bc ac abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．3．9 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝3＋bc a2＋ac b2＋ab c2＋a2bc ＋b2ca ＋c2ab ≥3＋66bc a2×ac b2×ab c2×a2bc ×b2ca ×c2ab＝9. 4．a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c ) 解析：∵a ＋(b *c )＝a ＋b＋c 2＝2a＋b＋c 2，① 又∵(a ＋b )*(a ＋c )＝2＝2a＋b＋c 2，② 由①②可知：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )．5．证明：∵a ＞3，∴a －3＞0.由基本不等式得4a－3＋a ＝4a－3＋a －3＋3≥24a－3＋3＝24＋3＝7， 当且仅当4a－3＝a －3，即a ＝5(a ＝1舍去)时，取等号． 6．证明：∵a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，则a 3＋b 3＝13[(a 3＋a 3＋b 3)＋(a 3＋b 3＋b 3)] ＞13(33a3a3b3＋33a3b3b3) ＝a 2b ＋ab 2.∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.7．证明：1a ＋1b ＋1c ＝a＋b＋c a ＋a＋b＋c b ＋a＋b＋c c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c . ∵a ，b ，c 同号且a ＋b ＋c ＝1，∴a ＞0，b ＞0，c ＞0.∴b a ，c a ，a b ，c b ，a c ，b c均大于0. 又a ，b ，c 互不相等，∴3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＞3＋ 66b a ·c a ·a b ·c b ·a c ·b c＝3＋6＝9. ∴1a ＋1b ＋1c＞9. 8．[9，＋∞) 解析：令ab ＝t (t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，则有t 2≥2t ＋3，即t 2－2t －3≥0.解得t ≥3或t ≤－1(不合题意，舍去)．∴ab ≥3.∴ab ≥9，当a ＝b ＝3时，取等号．9．1 解析：当x ＜0时，x ＋1x 无最小值，∴①错误；当x ＝0时，x2＋2x2＋1的最小值是2，∴②正确；当1x2＋4＝x2＋4时，x2＋5x2＋4取得最小值2，但此时x 2＝－3不成立，∴x2＋5x2＋4取不到最小值2，∴③错误；当x ＞0时，2－3x －4x＜0，∴④错误． 10．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴2＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a)．∴[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋b ＋1b＋c ＋1c＋a ≥33×331a＋b ×1b＋c ×1c＋a＝9. ∴1a＋b ＋1b＋c ＋1c＋a ≥92. 11．证明：因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式，得ab＋a＋b＋14≥4a2b2，ab＋ac＋bc＋c24≥4a2b2c4. 两式相乘并整理，得(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc .12．证明：设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x ，y ，z ，则长方体的体积为V ＝xyz ，表面积为A ＝2xy ＋2yz ＋2xz ，则A ＝2xy ＋2yz ＋2xz ≥63.而这里A 为定值，即A ≥63V2，从而有V ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫A 63，当且仅当xy ＝y z ＝xz ，即x ＝y ＝z 时，等号成立．所以当长方体为正方体时，体积取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫A 63.。
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5.4.3 算术—几何平均不等式
自我小测
1若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2
的最小值是________． 2设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1c －1，则必有________． 3已知a ，b ∈R ＋，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥________. 4若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均值的运算，即a *b ＝a ＋b 2
，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式可以是____________________．
5求证：4a －3
＋a ≥7(其中a ＞3)． 6如果a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.
7已知a ，b ，c 同号且互不相等，a ＋b ＋c ＝1，求证∶1a ＋1b ＋1c
＞9. 8若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是______．
9下列命题：①x ＋1x 的最小值是2；②x2＋2x2＋1的最小值是2；③x2＋5x2＋4的最小值是2；④2－3x －4x
的最小值是2，其中正确命题的个数是________． 10若a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92
. 11设a ，b ，c 均为正数，证明(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc .
12求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大．
参考答案
1．3 解析：xy ＋x 2＝12xy ＋12
xy ＋x 2≥ 3312x y×12xy×x2＝3314
＝3344＝3. 2．M ≥8
解析：M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1＝＋＋
＋abc ≥8ab bc ac abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13
时取等号．
3．9 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝3＋bc a2＋ac b2＋ab c2＋a2bc ＋b2ca ＋c2ab ≥3＋66bc a2×ac b2×ab c2×a2bc ×b2ca ×c2ab
＝9. 4．a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c ) 解析：∵a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c 2
，① 又∵(a ＋b )*(a ＋c )＝＋＋
＋2＝2a ＋b ＋c 2
，② 由①②可知：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )．
5．证明：∵a ＞3，∴a －3＞0.由基本不等式得
4a －3＋a ＝4a －3
＋a －3＋3≥24
a －3－＋3＝24＋3＝7， 当且仅当4a －3
＝a －3，即a ＝5(a ＝1舍去)时，取等号． 6．证明：∵a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，
则a 3＋b 3＝13[(a 3＋a 3＋b 3)＋(a 3＋b 3＋b 3)] ＞13
(33a3a3b3＋33a3b3b3) ＝a 2b ＋ab 2.
∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.
7．证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c . ∵a ，b ，c 同号且a ＋b ＋c ＝1，
∴a ＞0，b ＞0，c ＞0.
∴b a ，c a ，a b ，c b ，a c ，b c
均大于0. 又a ，b ，c 互不相等，
∴3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＞3＋ 66b a ·c a ·a b ·c b ·a c ·b c
＝3＋6＝9. ∴1a ＋1b ＋1c ＞9.。