hao利用导数解决方程根的问题说课课件

37 x
0 在区间
m , m
1 内有
根？若存在，求出所有
m 的值；若不存在，
解：1) f ( x ) 是二次函数，且 ( 可设 f ( x ) ax ( x 5 ), ( a 0 ) f ( x ) 在区间 由已知，得
f ( x ) 0的解集是
0，， 5
O
2，上只有一个交点，所以 3 方程 x lg x 1在 2 , 3 内有且
只有一个实根。
1
2
3
x
解法二：设
f ( x ) x lg x 1, x 2 , 3 , 则 f ( x ) lg x lg e lg ex
当 x 2 , 3 时， f ( x ) 0 , f ( x ) 在 2，上为增函数， 3 又 f ( 2 ) 2 lg 2 1 lg 0 . 4 0 , f ( 3 ) 3 lg 3 1 lg 2 . 7 0 在 2，内 x lg x 1 0 有且仅有一个实根。 3
练习 1：方程 2 x 6 x 7 0 , 在 1， 内根的个数 2
3 2
3 2 2 解：设 f ( x ) 2 x 6 x 7 , 则 f ( x ) 6 x 12 x
若 f ( x ) 0 , 则 x 0 , 或 x 2 当 x 1， 时， f ( x ) 0 , 所以 f ( x ) 在 1， 上单调递减。 2 2 又因为 f (1 ) 3 , f ( 2 ) 1, 所以方程 在 1， 内有且只有一个实根。 2
[设计意图]通过练习让学生掌握利用导数的应 用判断函数零点的解题方法。并引导学生探索 利用导数判断方程根的情况的理论根据，如果 函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不
断的一条曲线并且有f（a）· f（b）<0，那么函
数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点也就是方
程f（x）＝0在区间（a，b）上有且只有一根
用导数解决方程根的问题
序号13
教材分析
（一）地位和作用 本节课是在学生学习了选修2-2第一章导数， 复习完必修1(函数)的基础上，针对高考命题方向 而设置的一节研究性学习。本节课中通过导数在 判断函数单调性，以及求函数极最值方面的应用， 进一步探索导数在判断函数零点存在性，判定方 程根的情况方面的应用 。这一节课就是想让学生 在了解初等函数的基础上，利用函数的导数，解 决方程根的相关问题。
学情分析：
我所教授的班级是理科班，所用教材是新 课改人教A版。目前已经进入高考复习阶段， 在复习的过程中经常碰到一些超越方程，用代 数方法根本无法解出其根，但是此类题型一般 都是考查方程的根的情况。学生对这类题型的 反应难度较大，在复习函数图像的应用时，曾 介绍了结合两函数图像的交点，来判断方程根 的情况。但是采用图像法对作图准确性要求较 高，往往会由于作图误差而出错。这就引起学 生的求知欲，激发学生的兴趣，去探求其他方 法解决此类问题。
f ( x )
f (x)
+

0

5 27
+

f (1 ) a 1 .
极大值
极小值
所以 f ( x )的极大值是
f (
1 3
)
a , 极小值是
y
O
x
所以，当
f ( x ) 极大值
5 27
a 0 , 或 f ( x ) 极小值 a 1 0时， y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点 .
h (3) 1 0 , h (
0, h (4) 5 0,
10 10 方程 h ( x ) 0 在区间 3 , , 4 内分别有唯一实数根 , 3 3 而在区间
0 , 3 , 4 , 内没有实数根
m 3 , 使得方程
5 即当 a , 1, 时，曲线 27
思考： 当 a 在什么范围内取值时， 有三个交点 ? 曲线 y f ( x ) 与 x 轴有两个交点 ?
[设计意图] 通过高考真题引入，能激发学生 的求知欲，充分调动学生主体参与的积极性。 利用导数判断函数单调性，结合函数极值，画 出函数大致图像，通过图像的平移，判断曲线 和X轴的交点个数。从而对利用导数判断函数 零点问题有一个初步的了解。另外，三次函数 在高考中占有重要的地位，需要引起重视。
（二）教学目标
1．知识与技能
2．过程与方法 3．情感态度与价值观
1．知识与技能：
使学生理解函数与方程联系，掌握如何利用导 数判断方程的根的情况的方法；
返回
2．过程与方法： ①引导学生通过观察、归纳、结合导数在 判断函数单调性，以及求函数极最值方面的应 用，利用函数的大致图像判断方程的根的情况， 掌握函数零点存在性的判断。 ②通过对问题的分析，体会用函数的角度 去思考方程的根的问题，使学生理解动与静的 辨证关系。 ③在函数与方程的联系中体验数形结合思 想和转化思想的意义和价值，体会函数知识的 核心作用。培养学生发现问题、分析问题、解 决问题的能力 返回
（二）让学生从问题中质疑、尝试、归纳、 总结、运用，培养学生发现问题，研究问题 和解决问题的能力。让学生利用图形直观启
迪思维，来完成从感性认识到理性思维的一
个飞跃。
2005 年全国 2 文 21 设 a 为实数，函数 f (x) x x x a
3 2
当 a 在什么范围内取值时，
解： f ( x ) 3 x 当 x 变化时，
. f (x) 37 x 0 在区间
存在唯一的自然数
m , m
1 内有且只有两个不同的
实数根 .
[设计意图] 有效的数学学习过程，不能是单纯
的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更
是如此。利用学生自己提出的问题，让学生在
解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学
习，生生合作交流，共同探究，及时纠正出现 的错误，规范书写的格式。
课后思考：
1 .求证：方程 x 1 2
2 .已知函数 证明：当 f ( x ) x ln( x m ), m Z , m 1时，方程 f ( x ) 0在 e
sin x 0 只有一个根。

m
m,e
2m
m 内有两实根

教学评价：
学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的 是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学 习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、 独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习 的兴趣和成就感．问题情境可以激发学生的学习兴 趣，问题的设计可以让更多的学生主动参与，师生 对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生 交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以 让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学 生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价 以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力 的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打 下基础．
2006 福建文 21 已知 f ( x ) 是二次函数，不等式 f ( x ) 0的解集是
0 , 5 ，且
f ( x ) 在区间
1， 上的最大值是 4
（1）求 f ( x )的解析式； （ 2）是否存在自然数 且只有两个不等的实数 请说明理由。
12 .
m ，使得方程
f (x)
3．情感态度与价值观：
在学习过程中，使学生体验数学的科学价值
和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良 好习惯和严谨的科学态度．
返回
教学重点： 如何利用导数在判断函数单调性，以及求函 数极最值方面的应用，结合函数的大致图像判断 方程的根的情况，掌握函数零点存在性的判断。 教学难点： “函数与方程的思想”和“数形结合的思想” 数学思想的运用。
2
曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。
1 3 ,或 x 1
2 x 1若 f ( x ) 0 , 则 x
f ( x ), f ( x ) 变化情况如下表：
1 , 3
x

1 3
1 ,1 3
1
0பைடு நூலகம்
1,
教法分析与学法指导
（一）本节课的综合性较强，因此在教法上首 先通过高考真题引入，能激发学生的求知欲， 充分调动学生主体参与的积极性。通过学生的 主体参与完成对各个难点的突破，以获得解决 问题的方法。在鼓励学生主体参与的同时，不 可忽视教师的主导作用。具体体现在设问，讲 评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维， 严谨的推理，并能规范的完成书面表达。利用 多媒体的现代教学手段，增大教学容量和直观 性。
极大值 37
10 0, 3
10 3
10 , 3
f ( x )
f (x)
+


0
极小值 1 27
+

y
O
10 3
x
( 2 ) 方程 f ( x )
3
37 x
0 等价于方程
2
2 x 10 x 37 0
3 2 2
设 h ( x ) 2 x 10 x 37 , 则 h ( x ) 6 x 20 x 2 x ( 3 x 10 ) 10 当 x 0, 时， h ( x ) 0 , h ( x ) 是减函数； 3 10 当x , 3 时， h ( x ) 0 , h ( x ) 是增函数 10 3 ) 1 27 , .
x lg x 1, 在区间
形为 lg x 1 x
2，内有且只有一个实根。 3
f ( x ) lg x