如何运用导数讨论方程根的个数问题教师版

合集下载

微专题利用导数证明问题或讨论零点个数教师版

微专题利用导数证明问题或讨论零点个数利用导数求函数的零点或方程根的问题、用导数证明不等式问题是高考命题的重点,命题的角度常见的有：判断函数零点的个数或方程解的个数；根据函数零点的个数或方程解得个数求解参数；利用导数证明不等式.题型以解答题为主，有时也在选择题或填空题的后两题中进行考查,难度较大.重点考查考生函数与方程、转化与化归的思想，数学抽象及数学运算的学科核心素养.考点一利用导数求函数的零点或方程根的问题【典型例题】【例1】已知函数21()e xax bx f x ++=．（Ⅰ）当1a b ==时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若()11f =，且方程()1f x =在区间()0,1内有解，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）当1a b ==时，21()e x x x f x ++=，则2()ex x x f x -'=，解不等式()0f x '>，得01x <<，所以，函数()f x 在()0,1上单调递增；解不等式()0f x '<，得0x <或1x >，所以，函数()f x 在(),0-∞和()1,+∞上单调递减，因此，函数()f x 的极小值为(0)1f =，极大值为3(1)ef =；（Ⅱ）由(1)1f =得e 1b a =--，由()1f x =，得2e 1x ax bx =++，设()2e 1x g x ax bx =---，则()g x 在()0,1内有零点，设0x 为()g x 在()0,1内的一个零点，由()()010g g ==知，()g x 在()00,x 和()0,1x 上不单调，设()()h x g x '=，则()h x 在()00,x 和()0,1x 上均存在零点，即()h x 在()0,1上至少有两个零点．()()e 2,e 2x x g x ax b h x a ''=--=-．当12a ≤时，()0h x '>，()h x 在()0,1上单调递增，()h x 不可能有两个及以上的零点；当e2a ≥时，()0h x '<，()h x 在()0,1上单调递减，()h x 不可能有两个及以上的零点；当1e 22a <<时，令()0h x '=，得()()ln 20,1x a =∈，所以，()h x 在()()0,ln 2a 上单调递减，在()()ln 2,1a 上单调递增，()h x 在()0,1上存在极小值()()ln 2ha ，若()h x 有两个零点，则有()()()()ln 20,00,10h a h h <>>,()()()1e ln 232ln 21e 22h a a a a a ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，设()()3ln 1e 1e2m x x x x x =-+-<<，则()1ln 2m x x '=-，令()0m x '=，得x当1x <()0m x '>，函数()m x 单调递增；e x <<时，()0m x '<，函数()m x 单调递减．所以，()max 1e<0m x m ==-，所以，()()ln 20h a <恒成立，由()()01e+2>0,h 1e 20h b a a b =-=-=-->,得e 21a -<<．归纳利用导数研究函数零点或方程根的方法： (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法.借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的正负,函数单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. (2)数形结合法求解零点.对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点.①根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.【变式训练1】已知函数()()22x x f x ae a e x =+--. (1)讨论() f x 的单调性;(2)若() f x 有两个零点,求a 的取值范围.【解析】(1) ()()()()2'221121x x x x f x ae a e ae e =++-=-+, ①当0a ≤时, ()'0f x <,()f x 在(),-∞+∞上单调递减, ②当0a >时,f x 在(,ln )a -∞-上单调递减, (ln ,)a -+∞上单调递增.(2)因为()f x 有两个零点,所以必有0a >,否则()f x 在R 上单调递减,至多一个零点,与题意不符. 当0a >时, ()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减, ()f x 在(ln ,)a -+∞上单调递增,又()f x 有两个零点,所以必有()ln 0f a -<,即()2112ln 0a a a a a ⎛⎫⋅+-⋅-< ⎪⎝⎭,又因为0a >,可得22ln 0a a -+<. 令()22ln g a a a =-+()0a >),则()1'20g a a=+>, 所以()g a 在()0,+∞上单调递增.因为()10g =,所以由22ln 0a a -+<可得01a <<. 综上所述01a <<.【变式训练2】已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭ B.e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C.e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦D.[)1,e - 【解析】∵[]221'(),1,e a x af x x x x x+=+=∈．当1a ≥-时，()'0f x ≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意．当e a ≤-时，()'0f x ≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意．当e 1a -<<-时，则,[)1x a ∈-时，()'0f x <，()f x 在[1,)a -上单调递减，,e (]x a ∈-时，()'0f x >，()f x 在(],e a -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在e []1,x ∈上有两个零点，只需(e)10e a f a =-+≥即可，解得e 11ea ≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭.故选A.【变式训练3】已知函数217()(2)ln 422f x x x x x =++-+，则函数()f x 的所有零点为 .【解析】函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且()2ln 3f x x x x'=++-．设()2ln 3g x x x x =++-，则()()222221122()1x x x x g x x x x x +-+-'=-+==()0x >．当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以当0x >时，()()10g x g ≥=（当且仅当1=x 时取等号）．即当0x >时，()0f x '≥（当且仅当1=x 时取等号）．所以函数()f x 在),0(+∞单调递增，至多有一个零点. 因为(1)0f =，1=x 是函数)(x f 唯一的零点. 综上，函数()f x 的所有零点只有1=x ．【答案】1.考点二利用导数证明不等式的有关问题【典型例题】【例2】已知函数()21x x f x e-= (e 为自然对数的底数).（1）求函数()f x 的零点0x ，以及曲线()y f x =在0x x =处的切线方程；（2）设方程()()0f x m m =>有两个实数根1x ，2x ，求证：121212x x m e ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭. 【解析】（1）由()210x x f x e -==，得1x =±，∴函数的零点01x =±.()221xx x f x e--'=，()12f e '-=，()10f -=. 曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+.()21f e'=-，()10f =，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()21y x e=--.（2）()221xx x f x e --'=.当(() 11x ∈-∞+∞U ，时，()0f x '>；当(1 1x ∈+时，()0f x '<. ∴()f x 的单调递增区间为(() 1 1-∞+∞，，，单调递减区间为(1+. 由（1）知，当1x <-或1x >时，()0f x <；当11x -<<时，()0f x >.下面证明：当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 当()1 1x ∈-，时，()()()21112121002x x x x e x f x e x e e +--+>⇔++>⇔+>.易知，()112x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，上单调递增，而()10g -=，∴()()10g x g >-=对()1 1x ∀∈-，恒成立， ∴当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m⎧=+⎪⎨=⎪⎩得12m x e =-.记112mx e '=-.不妨设12x x <，则12111x x -<<-<，∴121221212m x x x x x x x e⎛⎫''-<-=-=-- ⎪⎝⎭. 要证121212x x m e ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭，只要证2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-. 又∵2221x x m e -=，∴只要证222211x x x e-≤-，即()()()222110x x e x -⋅-+≤.∵()21x ∈，即证()2210x e x -+≥.令()()()11x x x e x x e ϕϕ'=-+=-，.当()1x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为单调递减函数；当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ为单调递增函数. ∴()()00x ϕϕ≥=，∴()2210x e x -+≥，∴121212x x m e ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭. 方法归纳不等式的证明问题解题策略从所证不等式的结构和特点出发,结合已有的知识利用转化与化归思想,构造一个新的函数,再借助导数确定函数的单调性,利用单调性实现问题的转化,从而使不等式得到证明,其一般步骤是:构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论.【变式训练1】已知函数()()0xaxf x a e =≠. (1)求函数()f x 的单调区间(2)当1a =时，如果方程()f x t =有两个不等实根12,x x ，求实数t 的取值范围，并证明122x x +>.【解析】(1)()f x 的定义域为R ，且()()1xa x f x e-'=. 由10x x e ->，得1x <；由10xxe -<，得1x >. 故当0a >时，函数()f x 的单调递增区间是()1-∞,，单调递减区间是(1)+∞,；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是(1)+∞,，单调递减区间是()1-∞,. (2)由(1)知当1a =时，()x x f x e =，且()()min11f x f e==. 当0x <时，()0f x <；当0x >时，()0f x >.∴当10t e<<时，直线y t =与()y f x =的图像有两个交点， ∴实数t 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭.Q 方程()f x t =有两个不等实根12,x x ，11x x t e ∴=，22x x t e =，11x x te ∴=，22x x te =，()1212x x x x t e e ∴-=-，即1212x x x x t e e -=-. 要证122x x +>，只需证()122x xt e e +>，即证()()1212122xx x x x x e e e e -+>-，不妨设12x x >.令12m x x =-，则01m m e >>,，则要证()121m m m e e +>-，即证()220mm e m -++>.令()()()220x g x x e x x =-++>，则()()11xg x x e '=-+. 令()()11x h x x e =-+，则()0xh x xe '=>，()()11x h x x e ∴=-+在(0)+∞,上单调递增，()()00h x h ∴>=.()0g x '∴>，()g x ∴在(0)+∞,上单调递增， ()()00g x g ∴>=，即()220x x e x -++>成立，即()220mm e m -++>成立.122x x ∴+>.【变式训练2】设()()ln ,f x ax bx x f x =+ 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，（其中2.718...e =为自然对数的底数）. （1）求,a b 的值；（2）证明：()21x f x x e≤+. 【解析】（1）()ln f x a b b x '=++由题意，可得 ()1()0f e a b b f e ae be =++=-⎧⎨=+='⎩解得1,1a b ==-（2）由（1）知()ln f x x x x =- 令()21ln (0)x h x x x x x x e =--->，则()1ln 2xh x x x e '=-+- ()1120,(1)0x h x h x e'''=---<<，当()0,0x h x '→>()()01g x g ''≤=，又()10g '<，所以()00,1x ∃∈，使得()00h x '=即00012ln x x x e =-+ 所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减所以()()0200000max 1ln x h x h x x x x x e ==--- ()0000022000000000111121x xx x x x x x x x x x x x e e e e e ⎛⎫⎛⎫=+---=+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0001x m x x e =-，()00110x m x e'=+> 又()()00,10m m <>所以()10,1x ∃∈，使得()10m x =此时 111x x e =，()11ln x x =- ()10h x '=∴01x x =，∴()00m x ≤，∴()()00h x h x ≤≤；故()21x f x x e≤+.高考真题【选择题组】1、[2019·浙江卷] 设a,b ∈R,函数f(x)={x,x <0,13x 3-12(a+1)x 2+ax,x ≥0.若函数y=f(x)-ax -b 恰有3个零点,则( )A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0【答案】C【解析】令F(x)=f(x)-ax -b={(1-a)x -b,x<0,13x 3-12(a+1)x 2-b,x≥0. 当x≥0时,F(x)=13x 3-12(a+1)x 2-b,F'(x)=x 2-(a+1)x=x[x -(a+1)]. 当a≤-1时,F(x)在R 上单调递增, 不符合题意,舍去.当a>1时,F(x)在(-∞,0)上单调递减,在[0,a+1]上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增,不符合题意,舍去.当a=1时,F(x)在(-∞,0)上为定值,在[0,2]上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,不符合题意,舍去. 当-1<a<1时,F(x)在(-∞,0)上单调递增,在[0,a+1]上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增, 若函数F(x)=f(x)-ax -b 恰有3个零点,则需F(0)=-b>0,F(a+1)=-16(a+1)3-b<0, 所以-1<a<1且-16(a+1)3<b<0.故选C.【非选择题组】1、[2018·江苏卷] 若函数f(x)=2x 3-ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 . 【答案】-3【解析】由题意得,f'(x)=6x 2-2ax=2x(3x-a).当a≤0时,对任意x ∈(0,+∞),f'(x)>0,则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数, 则f(x)>f(0)=1,则f(x)在(0,+∞)上没有零点,不满足题意,舍去.当a>0时,令f'(x)=0及x>0,得x=a3,则当x ∈)3,0(a 时,f'(x)<0,当x ∈),3(+∞a 时,f'(x)>0,因此函数f(x)的单调递减区间是)3,0(a ,单调递增区间是),3(+∞a,所以在x=a 3处f(x)取得极小值f (a3)=-a 327+1.而函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,所以f (a3)=-a 327+1=0,解得a=3,因此f(x)=2x 3-3x 2+1,则f'(x)=2x(3x-3). 令f'(x)=0,结合x ∈[-1,1],得x=0或x=1.而当x ∈(-1,0)时,f'(x)>0,当x ∈(0,1)时,f'(x)<0,则函数f(x)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,所以f(x)max =f(0)=1.又f(-1)=-4,f(1)=0,所以f(x)min =-4,故f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.2、[2019·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=ln x -x+1x−1. (1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x 0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x 在点A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y=e x 的切线. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).因为f'(x)=1x +2(x -1)2>0,所以f(x)在(0,1),(1,+∞)单调递增.因为f(e)=1-e+1e−1<0,f(e 2)=2-e 2+1e 2-1=e 2-3e 2-1>0,所以f(x)在(1,+∞)有唯一零点x 1,即f(x 1)=0. 又0<1x 1<1,f (1x 1)=-ln x 1+x 1+1x 1-1=-f(x 1)=0,故f(x)在(0,1)有唯一零点1x 1.综上,f(x)有且仅有两个零点.(2)证明:因为1x 0=e -ln x 0,故点B (-ln x 0,1x 0)在曲线y=e x 上.由题设知f(x 0)=0,即ln x 0=x 0+1x-1,故直线AB 的斜率k=1x 0-ln x 0-ln x 0-x 0=1x 0-x 0+1x 0-1-x 0+1x 0-1-x 0=1x 0.曲线y=e x 在点B (-ln x 0,1x 0)处切线的斜率是1x 0,曲线y=ln x 在点A(x 0,ln x 0)处切线的斜率也是1x 0,所以曲线y=ln x 在点A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y=e x 的切线.3、[2019·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=sin x -ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明: (1)f'(x)在区间(-1,π2)存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有2个零点.【解析】证明:(1)设g(x)=f'(x),则g(x)=cos x -11+x ,g'(x)=-sin x+1(1+x)2.当x ∈(-1,π2)时,g'(x)单调递减,而g'(0)>0,g'(π2)<0,可得g'(x)在(-1,π2)有唯一零点,设为α. 则当x ∈(-1,α)时,g'(x)>0;当x ∈(α,π2)时, g'(x)<0.所以g(x)在(-1,α)单调递增,在(α,π2)单调递减,故g(x)在(-1,π2)存在唯一极大值点,即f'(x)在(-1,π2)存在唯一极大值点. (2)f(x)的定义域为(-1,+∞).(i)当x ∈(-1,0]时,由(1)知,f'(x)在(-1,0)单调递增,而f'(0)=0, 所以当x ∈(-1,0)时,f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)单调递减. 又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0]的唯一零点.(ii)当x ∈(0,π2]时,由(1)知,f'(x)在(0,α)单调递增,在(α,π2)单调递减,而f'(0)=0,f'(π2)<0, 所以存在β∈(α,π2),使得f'(β)=0,且当x ∈(0,β)时,f'(x)>0; 当x ∈(β,π2)时,f'(x)<0.故f(x)在(0,β)单调递增,在(β,π2)单调递减. 又f(0)=0,f (π2)=1-ln (1+π2)>0,所以当x ∈(0,π2]时,f(x)>0. 从而,f(x)在(0,π2]没有零点.(iii)当x ∈(π2,π]时,f'(x)<0, 所以f(x)在(π2,π)单调递减. 而f (π2)>0,f(π)<0,所以f(x)在(π2,π]有唯一零点.(iv)当x ∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在(π,+∞)没有零点. 综上,f(x)有且仅有2个零点.4、[2019·北京卷] 已知函数f(x)=14x 3-x 2+x. (1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程. (2)当x ∈[-2,4]时,求证:x -6≤f(x)≤x.(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a ∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a 的值. 【解析】(1)由f(x)=14x 3-x 2+x 得f'(x)=34x 2-2x+1. 令f'(x)=1,即34x 2-2x+1=1,得x=0或x=83.又f(0)=0,f (83)=827,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x 与y -827=x -83, 即y=x 与y=x -6427.(2)证明:令g(x)=f(x)-x,x ∈[-2,4]. 由g(x)=14x 3-x 2得g'(x)=34x 2-2x, 令g'(x)=0得x=0或x=83.当x变化时g'(x),g(x)的变化情况如下:x-2(-2,0)0(0,83)83(83,4)4g'(x)+0- 0+g(x)-6↗0↘-6427↗0所以g(x)的最小值为-6,最大值为0,故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x.(3)由(2)知,当a<-3时,M(a)≥F(0)=|g(0)-a|=-a>3;当a>-3时,M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;当a=-3时,M(a)=3.综上,当M(a)最小时,a=-3.5、[2019·天津卷] 设函数f(x)=e x cos x,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x∈[π4,π2]时,证明f(x)+g(x)(π2-x)≥0;(3)设x n为函数u(x)=f(x)-1在区间(2nπ+π4,2nπ+π2)内的零点,其中n∈N,证明：2nπ+π2-x n<e-2nπsin x0-cos x0.【解析】(1)由已知,有f'(x)=e x(cos x-sin x).因此,当x∈(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k∈Z)时,有sin x>cos x,得f'(x)<0,则f(x)单调递减;当x∈(2kπ−3π4,2kπ+π4)(k∈Z)时,有sin x<cos x,得f'(x)>0,则f(x)单调递增.所以,f(x)的单调递增区间为[2kπ−3π4,2kπ+π4](k∈Z),f(x)的单调递减区间为[2kπ+π4,2kπ+5π4](k∈Z).(2)证明:记h(x)=f(x)+g(x)(π2-x).依题意及(1),有g(x)=e x(cos x-sin x),从而g'(x)=-2e x sin x,当x∈(π4,π2)时,g'(x)<0,故h'(x)=f'(x)+g'(x)(π2-x)-g(x)=g'(x)(π2-x)<0.因此,h(x)在区间[π4,π2]上单调递减,进而h(x)≥h(π2)=f(π2)=0.所以,当x ∈[π4,π2]时,f(x)+g(x)(π2-x )≥0.(3)证明:依题意,u(x n )=f(x n )-1=0,即e x n cos x n =1.记y n =x n -2nπ,则y n ∈(π4,π2),且f(y n )=e y n cos y n =e x n -2nπcos(x n -2nπ)=e -2nπ(n ∈N). 由f(y n )=e -2nπ≤1=f(y 0)及(1),得y n ≥y 0.由(2)知,当x ∈(π4,π2)时,g'(x)<0,所以g(x)在[π4,π2]上为减函数,因此g(y n )≤g(y 0)<g (π4)=0. 又由(2)知,f(y n )+g(y n )(π2-y n )≥0,故π2-y n ≤-f(y n )g(y n)=-e -2nπg(y n)≤-e -2nπg(y 0)=e -2nπe y 0(sin y0-cos y 0)<e -2nπsin x0-cos x 0.所以,2nπ+π2-x n <e -2nπsin x0-cos x 0.6、[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=1x -x+aln x. (1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x 1,x 2,证明:f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<a-2.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1x -1+ax =-x 2-ax+1x .(i)若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减. (ii)若a>2,令f'(x)=0,得x=a−√a 2-42或x=a+√a 2-42.当x ∈0,a−√a 2-42∪a+√a 2-42,+∞时,f'(x)<0;当x ∈a−√a 2-42,a+√a 2-42时,f'(x)>0. 所以f(x)在0,a−√a 2-42,a+√a 2-42,+∞单调递减,在a−√a 2-42,a+√a 2-42单调递增.(2)证明:由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2. 由于f(x)的两个极值点x 1,x 2满足x 2-ax+1=0,所以x 1x 2=1, 不妨设x 1<x 2,则x 2>1. 由于f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2=-1x1x 2-1+aln x 1-ln x 2x 1-x 2=-2+aln x 1-ln x 2x 1-x 2=-2+a-2ln x 21x 2-x 2,所以f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<a-2等价于1x 2-x 2+2ln x 2<0.设函数g(x)=1x -x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+∞)单调递减, 又g(1)=0,从而当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0, 所以1x 2-x 2+2ln x 2<0,即f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<a-2.7、[2018·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=e x -ax 2. (1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1; (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.【解析】(1)证明:当a=1时,f(x)≥1等价于(x 2+1)e -x -1≤0. 设函数g(x)=(x 2+1)e -x -1,则g'(x)=-(x 2-2x+1)e -x =-(x-1)2e -x . 当x≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)单调递减, 而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1. (2)设函数h(x)=1-ax 2e -x .f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点. (i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点. (ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e -x .当x ∈(0,2)时,h'(x)<0;当x ∈(2,+∞)时,h'(x)>0. 所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增. 故h(2)=1-4ae 2是h(x)在[0,+∞)的最小值. ①若h(2)>0,即a<e 24,h(x)在(0,+∞)没有零点; ②若h(2)=0,即a=e 24,h(x)在(0,+∞)只有一个零点;③若h(2)<0,即a>e 24,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点. 由(1)知,当x>0时,e x>x 2,所以h(4a)=1-16a 3e 4a =1-16a 3(e 2a )2>1-16a 3(2a)4=1-1a >0. 故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+∞)有两个零点. 综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=e 24. 8、[2018·浙江卷] 已知函数f(x)=√x -ln x.(1)若f(x)在x=x 1,x 2(x 1≠x 2)处导数相等,证明:f(x 1)+f(x 2)>8-8ln 2;(2)若a≤3-4ln 2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f(x)有唯一公共点. 【解析】证明:(1)函数f(x)的导函数f'(x)=2√x -1x ,由f'(x 1)=f'(x 2)得2√x -1x 1=2√x -1x 2,因为x 1≠x 2,所以√x +√x =12.由基本不等式得12√x 1x 2=√x 1+√x 2≥2√x 1x 24,因为x 1≠x 2,所以x 1x 2>256.由题意得f(x 1)+f(x 2)=√x 1-ln x 1+√x 2-ln x 2=12√x 1x 2-ln(x 1x 2). 设g(x)=12√x -ln x,则g'(x)=14x (√x -4), 所以x (0,16) 16 (16,+∞) g'(x) - 0 + g(x)↘2-4ln 2↗所以g(x)在(256,+∞)上单调递增,故g(x 1x 2)>g(256)=8-8ln 2, 即f(x 1)+f(x 2)>8-8ln 2. (2)令m=e-(|a|+k),n=(|a|+1k)2+1,则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,f(n)-kn-a<n (√n a n-k )≤n (√nk )<0,所以,存在x 0∈(m,n)使f(x 0)=kx 0+a,所以,对于任意的a ∈R 及k ∈(0,+∞),直线y=kx+a 与曲线y=f(x)有公共点. 由f(x)=kx+a 得k=√x -lnx -ax. 设h(x)=√x -lnx -ax ,则h'(x)=lnx−√x2-1+a x 2=-g(x)-1+a x 2,其中g(x)=√x2-ln x.由(1)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln 2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln 2+a≤0,所以h'(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)-kx-a=0至多有1个实根. 综上,当a≤3-4ln 2时,对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f(x)有唯一公共点.。

第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根) (精讲+精练)(学生版)

第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数高频考点二：证明唯一零点问题高频考点三：根据零点情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点问题②利用数形结合法研究函数的零点问题③构造函数研究函数零点问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数()y f x=，把使()0f x=的实数x叫做函数()y f x=的零点．（2）三个等价关系方程0)(=xf有实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数)(xfy=有零点．2、函数零点的判定如果函数()y f x=在区间[,]a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b⋅<，那么函数()y f x=在区间(,)a b内有零点，即存在(,)c a b∈，使得()0f c=，这个c也就是()0f x=的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点1．（2022·全国·高二）已知函数()f x的定义域为[]15-，，部分对应值如下表：()f x的导函数()y f x='的图象如图所示，则下列关于函数()f x的命题：① 函数()y f x=是周期函数；② 函数()f x在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t∈-时，()f x的最大值是2，那么t的最大值为4；④ 当12a<<时，函数()y f x a=-有4个零点．其中真命题的个数是A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数()2e1xf x x a=+-()a R∈有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭B．2,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．2,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭3．（2022·全国·高二）若函数()3239f x x x x m =--+仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．()5,-+∞B ．(,27)(5,)-∞-⋃+∞C ．(,27)-∞D ．(,5)(27,)-∞-⋃+∞4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数()326f x x x m =-+有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣4，4）B ．[﹣4，4]C ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数1．（2022·全国·高二）设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )（）A ．在区间1(,1)e，(1，e )内均有零点 B ．在区间1(,1)e，(1，e )内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1，e )内无零点D ．在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1，e )内有零点2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()12xx e f x e=-+，其中e 为自然对数的底数， 2.7182818e =……，则()f x 的零点个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()()1ln 03f x x x x =->的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·全国·高二课时练习）求函数3()231f x x x =-+零点的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程3269100x x x -+-=的实根个数是______ ．7．（2022·全国·高三专题练习）函数()1x f x e x =-+的零点个数是__________．8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数()()1ln 2af x x a x x=+---，其中R a ∈． (1)若()f x 存在唯一极值点，且极值为0，求a 的值； (2)若2e a <，讨论()f x 在区间2[1,e ]上的零点个数．9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数()()1e xf x x =+．(1)判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值； (2)求出方程()()f x a a R =∈的解的个数．高频考点二：证明唯一零点（根）问题1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ．(1)若1a =，求()f x 的单调区间及相应区间上的单调性； (2)证明:()f x 只有一个零点．2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数()ln x axf x x+=，R a ∈. (1)若0a =，求()f x 的最大值；(2)若01a <<，求证：()f x 有且只有一个零点.3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数217()ln 4,()2ln 22f x x x xg x x x =-=++. (1)求函数()f x 的最小值；(2)证明：函数()()()h x f x g x =+仅有一个零点.高频考点三：根据零点（根）情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数32()34f x x ax bx =+++在1x =-时有极值0． (1)求函数()f x 的解析式；(2)记()()21g x f x k =-+，若函数()g x 有三个零点，求实数k 的取值范围．2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数()21xx x f x e+-=. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x a =-（a 为常数）有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数3()91f x ax x =-+，0a >． (1)若3a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 恰有三个零点，求实数a 的取值范围．4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()f x = (1)当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； (2)若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数()()()211e 2xf x x ax a R =--∈ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数ln ()xf x x= (1)填写函数()f x 的相关性质；2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数()2e xf x a x =-（R a ∈，e 为自然对数的底数）.(1)若()0f x =有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()()2x x f x e ae a =+∈R(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()21x g x a x e x =-+，若方程()()g x f x =有三个不同的解，求a 的取值范围.6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数()2()ln 1R f x x ax a =+-∈(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．③构造函数研究函数零点（根）问题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），()sing x a x =（,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），a R ∈.(1)若直线:l y kx =与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求a 的值； (2)若方程()()f x g x =有两个不同的实数解，求a 的取值范围.2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数()()2ln ,f x x x g x x ax b ==++.(1)若()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线，求实数,a b 的取值；(2)若2b =时，方程()()f x g x =在()1,+∞上有两个不同的根，求实数a 的取值范围.3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数()(1)f x a x =-，()e (1)x g x bx =-，R a ∈． (1)当2b =时，函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围； (2)当b a =时，不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()()11ln e f x a x x=+++，()()e x g x x a a =++∈R ．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若当1≥x 时，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．5．（2022·河南·三模（理））已知函数()()ln 1f x x =+，()e 1xg x =-.(1)判断函数()()()h x f x g x =-的零点个数；6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()(1)x f x e a x =+-，()sin cos g x ax x x =++ (1)求函数()f x 的最值；(2)令()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间(,)4π-+∞上的零点个数，并说明理由．1．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b ex x e b>+.(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)一、单选题1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a ∈R ，则函数()()32113f x x a x x =-++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．与a 有关2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数()22x f x xe x x m =---在()0,∞+上有零点，则m 的取值范围是（）A ．)21ln 2,-+∞⎡⎣B ．)2ln 21,--+∞⎡⎣C ．)2ln 2,-+∞⎡⎣D ．21ln 2,2-+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．（2022·全国·高二）函数32()2f x x x x =-++-的零点个数及分布情况为（） A ．一个零点，在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内B ．二个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,∞+内C ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞内D ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,1，()1,+∞内4．（2022·全国·高二）直线y a =与函数33y x x =-的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围为（） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞-5．（2022·全国·高二）已知函数20()210x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩，若函数()()g x f x kx =-有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（） A ．e -B ．1-C ．2D ．2e6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数()2ln f x x =，()322g x x ex ax =-+，其中e 为自然对数的底数，若方程()()f x g x =存在两个不同的实根，则a 的取值范围为（） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．22,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．()2,e -∞D ．22,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数22()2(2)e (1)e x x f x a a x x =+-++有三个不同的零点123,,x x x ，且1230x x x <<<，则3122312222e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．368．（2022·全国·高三专题练习）已知方程|ln |2x kx =+在区间()50,e 上恰有3个不等实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．5331,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5331,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题9．（2022·河南焦作·二模（理））函数1()e ln 1x f x a x -=--在(0,)+∞上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______. 10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式21e 0x x a +-≥有且只有两个整数解，则实数a 的范围为___________．12．（2022·全国·高二）已知函数3211()(2)1()32xf x ax ax e x a R =---+∈在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________. 三、解答题13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知()2()e ()x f x x a a =+∈R ．(1)若2是函数()f x 的极值点，求a 的值，并判断2是()f x 的极大值点还是极小值点； (2)若关于x 的方程()2ln e x f x x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．参考数据：ln 20.693≈14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数()1e x f x ax =--，a ∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若方程()ln f x x x =在(1,e)上有实根，求实数a 的取值范围．15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数()ln f x x =. (1)当[)1,x ∞∈+时，证明：函数()f x 的图象恒在函数()322132=-g x x x 的图象的下方； (2)讨论方程()0f x kx +=的根的个数.16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数()32113f x x ax bx =++-，当2x =时，函数()f x 有极值13-.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程()f x k =有三个解，求实数k 的取值范围.17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．。

导数与函数的零点方程的根

导数与函数的零点方程的根
导数与零点核心知识零点定义f (x)=0
等价形式
y=f (x)有零点⇔ f (x)=0有根⇔y=f (x)与x轴有交点
主要题型
判断零点个数判断方程根个数根据零点个数或方程根个数求参数
考点一: 函数零点个数的判断、证明
已知函数 f (x) ln x a2x2 ax(a .1) （1）证明：函数 f (x)在区间(1, +∞)上是减函数；
【证明】当a=1时，f (x)=lnx－x2+x (x>0).
f (x) 1 2x 1 x 1 2x2 x
x
- (2x 1)(x 1) x
令f ʹ(x)>0, 解得0<x<1，
令f ʹ(x)<0, 解得 x >1.
∴f (x)在（0,1）上单调递增，在(1，+∞)上单调递减. ∴且f (1)=0， ∴函数f (x)只有一个零点.
(1,+∞)是函数 f(x)的减区间
吗？
攻略
思路一
• 求f (x)减区间 • 判断“ (1,+∞)⊆减区
间”是否成立
思路二• f ʹ (x)≤0在(1,+∞)恒成立
考点一: 函数零点个数的判断、证明
已知函数 f (x) ln x a2x2 ax(a .1) （1）证明：函数 f (x)在区间(1, +∞)上是减函数；
攻略
• f ʹ(1)=0 • 在1的两侧导函
数符号异号
考点二: 已知零点个数求参数范围
已知x＝1是函数 f (x) 1 ax3 3 x2 (a 1)x 的5一个极值点. 32
（2）若曲线 y＝f (x) 与直线 y＝2x＋m有三个交点，求实数 m 的取值范围.

利用导数探究超越方程的根的个数问题

利用导数探究超越方程的根的个数问题
方晓玲
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2012(000)013
【摘要】利用导数可判断函数的单调性、求可导函数的最值与极值、还可判断函数的图象交点及超越方程的根的个数问题等.
【总页数】2页(P31-32)
【作者】方晓玲
【作者单位】甘肃省高台县第一中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.关于一类超越函数的极限与导数问题的探究
2.利用导数解高次方程和超越方程
3.素养视角下利用导数研究函数零点个数问题的解法赏析
——以2020年全国卷Ⅰ文科第20题为例4.利用GeoGebra软件促进学生的自主探究式学习
——以指数函数和对数函数图象的交点个数问题为例5.利用导数探究方程的根或函数的零点
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

导数中方程根的问题

导数四：导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型：(1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，例1.已知函数221()ln(1),().1f x x g x a x =+=+- 求方程()()f x g x =的根的个数.解：令221()()()ln(1)1h x f x g x x a x =-=+--- '2222222211()21(1)1(1)x x h x x x x x x ⎡⎤=+=+⎢⎥+-+-⎣⎦当[0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，'()0h x ≥当(,1)(1,0)x ∈-∞-⋃-时，'()0h x <因此，()h x 在(,1),(1,0)-∞--时，()h x 单调递减，在(0,1),(1,)+∞时，()h x 单调递增.又()h x 为偶函数，当(1,1)x ∈-时，()h x 极小值为(0)1h a =- 当1x -→-时，()h x →-∞，当1x +→-时，()h x →+∞ 当x →-∞时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞故()()f x g x =的根的情况为：当10a ->时，即1a <时，原方程有2个根；当10a -=时，即1a =时，原方程有3个根；当10a -<时，即1a >时，原方程有4个根（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的个数问题其实质也是方程根的问题。

例1.已知32()(),(,f x ax bx b a x a b =++-是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，（1）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点；（2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.解：（1）证明：因为2()32f x ax bx b a '=++-当0a =时，12x =-符合题意；当0a ≠时，2321b b x x a a++-，令b t a =，则2321x tx t ++- 令2()321h x x tx t =++-，11()024h -=-<，当1t >时，(0)10h t =->， ()y h x ∴=在1(,0)2-内有零点；当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>，()y h x ∴=在1(1,)2--内有零点.∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点.综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点（2）因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-. 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-.()f x ∴在(,),()33-∞-+∞上是单调递增函数，在[,]33-上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，由1()4f x x =-解之得02x x =±=作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为,02x x =±=当383[(0,){}229x ∈-时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。

利用导数研究零点问题及方程的根的问题(学生版)

利用导数研究零点问题及方程的根的问题1.已知函数f x =x cos x +14x 2，f ′x 为f x 的导函数．(1)若x ∈0,π2 ,f x ≥mx 2成立，求m 的取值范围；(2)证明：函数g x =f ′x +cos x 在0,π2 上存在唯一零点．2.已知函数f x =e x+ae x-a-1x-2a∈R(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若a∈(-∞,2]，求函数f(x)在区间(-∞,2]上的零点个数.3.设函数f x =x2-ax+2sin x.(1)若a=1，求曲线y=f x的斜率为1的切线方程；(2)若f x 在区间0,2π上有唯一零点，求实数a的取值范围.4.已知f x =e x-2x.(1)求f x 的单调区间；上无实数解(2)证明：方程f x =cos x在-π2,05.已知函数f(x)=e x+sin x-cos x，f (x)为f(x)的导数.(1)证明：当x≥0时，f (x)≥2；(2)设g x =f x -2x-1，证明：g(x)有且仅有2个零点.6.已知函数f x =x2e x-a ln x，a≠0．(1)若a=1e，分析f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．7.已知函数f x =x -2 e x -ax +a ln x a ∈R ．(1)当a =-1时，求函数f x 的单调区间；(2)当a <e 时，讨论f x 的零点个数．8.函数f x =x -2 e x ,g x =13ax 3-12x 2-x +4a sin x +x +1 ln x +1 ,a >0.(1)求函数f x 在x ∈-1,2 的值域；(2)记f x ,g x 分别是f x ,g x 的导函数，记max m ,n 表示实数m ,n 的最大值，记函数F x =max f x ,g x ，讨论函数F x 的零点个数.9.设函数f x =-12x2+a-1x+a ln x+a2，a>0．(1)若a=1，求函数f x 的单调区间和最值；(2)求函数f x 的零点个数，并说明理由．10.已知函数f x =x-2sin x．(1)求f x 在0,π的极值；(2)证明：函数g x =ln x-f x 在0,π有且只有两个零点．11.已知函数f(x)=ax2-x-ln x．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在定义域内有两个不相等的零点x1,x2．①求实数a的取值范围；②证明：f x1+x2．>2-ln x1+x212.已知函数f x =e x-1-ln x-ax，a∈R.(1)当a=e-12时，求函数f x 的单调性；(2)当a>0时，若函数f x 有唯一零点x0，证明：1<x0<2.13.已知函数f x =sin x -x +a cos x ，函数g x =13x 3+12ax 2，其中a≥0.(1)判断函数f x 在0,π 上的单调性，并说明理由；(2)证明：曲线y =f x 与曲线y =g x 有且只有一个公共点.14.已知函数f x =3xx+3，g x =b sin x，曲线y=f x 和y=g x 在原点处有相同的切线l．(1)求b的值以及l的方程；(2)判断函数h x =f x -g x 在0,+∞上零点的个数，并说明理由．15.已知函数f (x )=ax ln x -2x ．(1)若f (x )在x =1处取得极值，求f (x )的单调区间；(2)若函数h (x )=f (x )x-x 2+2有1个零点，求a 的取值范围．16.已知f x =x2-x,x≥-1x+3,x<-1，g x=ln x+a．(1)存在x0满足：f x0=g x0，f x0=g x0，求a的值；(2)当a≤4时，讨论h x =f x -g x 的零点个数．17.已知函数f(x)=ln x-a+1x，g(x)=a(x-2)e1-x-1，其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<53时，是否存在x1,x2，且x1≠x2，使得f x i =g x i (i=1,2)？证明你的结论.18.设函数f x =ae x+sin x-3x-2，e为自然对数的底数，a∈R.(1)若a≤0，求证：函数f x 有唯一的零点；(2)若函数f x 有唯一的零点，求a的取值范围.19.已知函数f x =e x -2a x a >0 .(1)若a =e ，讨论f x 的单调性；(2)若x 1，x 2是函数f x 的两个不同的零点，证明：1<x 1+x 2<2ln a +ln2.20.已知函数f x =log a x-x-1x+1,a>0且a≠1.(1)若a=e，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)讨论函数f x 的零点个数.21.已知函数f x =a ln x +x +1x，其中a >0.(1)当a =1时，求f x 的最小值；(2)讨论方程e x +e -x -a ln ax -1ax =0根的个数.22.已知函数f x =x +b e x -a ．(b >0)在-1,f -1 处的切线l 方程为e -1x +ey +e -l =0．(1)求a ，b ，并证明函数y =f x 的图象总在切线l 的上方(除切点外)；(2)若方程f x =m 有两个实数根x 1，x 2．且x 1<x 2．证明：x 2-x 1≤1+m 1-2e 1-e．23.已知函数f x =ax+ln x，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若过点P(1，0)且与曲线y=f x 相切的直线有且仅有两条，求实数a的取值范围.24.已知函数f (x )=(x -1)e x -ax 2+b ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f (x )只有一个零点①12<a ≤e 22,b >2a ；②0<a <12,b ≤2a ．25.已知函数f x =e x 1+a ln x ．(1)当f x 有两个极值点时，求a 的取值范围；(2)若a ≥32，且函数f x 的零点为x 1，证明：导函数f x 存在极小值点，记为x 2，且x 1>x 2．26.函数f(x)=x-sin x-cos x．上的极值；(1)求函数f(x)在-π,π2(2)证明：F(x)=f(x)-ln x有两个零点．27.已知函数f(x)=e x-a sin x-1在区间0,π2内有唯一极值点x1.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：f(x)在区间(0,π)内有唯一零点x2，且x2<2x1.28.已知函数f(x)=e x-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．29.已知函数f x =x3+bx 2x.(1)当b=0时，求f x 的单调区间；(2)设函数g x =2x f x +c在x=2处的切线与x轴平行，若g x 有一个绝对值不大于4的零点，证明：g x 所有零点的绝对值都不大于4.30.已知函数f(x)=ae2x-x2,a∈R．(1)设f(x)的导函数为g(x)，讨论g(x)零点的个数；(2)设f(x)的极值点为x1,x2x1<x2，若ee-2x1+x2≥λx1x2恒成立，求实数λ的取值范围．31.已知函数f x =e mx +nx m ≠0 ．当m =1时，曲线y =f x 在点0,f 0 处的切线与直线x -y +1=0垂直．(1)若f x 的最小值是1，求m 的值；(2)若A x 1,f x 1 ，B x 2f x 2 x 1<x 2 是函数f x 图象上任意两点，设直线AB 的斜率为k ．证明：方程f x =k 在x 1,x 2 上有唯一实数根．32.已知函数f x =xe nx -nx (n ∈N *且n ≥2)的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点P 在点Q 的左侧．(1)求点P 处的切线方程y =g x ，并证明：x ≥0时，f x ≥g x ．(2)若关于x 的方程f x =t (t 为实数)有两个正实根x 1,x 2，证明：x 1-x 2 <2t n ln n +ln n n．33.已知函数f x =xe x -a sin x a ∈R ．(1)若∀x ∈0,π，f x ≥0，求a 的取值范围；(2)当a ≥-59时，试讨论f x 在0,2π 内零点的个数，并说明理由．34.已知函数f(x)=a ln x．(1)记函数g(x)=x2-(a+2)x+f(x)，当a>2时，讨论函数g(x)的单调性；(2)设h(x)=f(x)-x2，若h(x)存在两个不同的零点x1,x2，证明：2e<a<x12 +x22(e为自然对数的底数)．35.已知函数f x =3x -1 e x -32ax 2．其中实数a ∈0,+∞ ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)求证：关于x 的方程f x +32=32ax 2-x 3有唯一实数解．。

利用导数解决方程根的问题说课课件ppt课件

9
（二）让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题，研究问题和解决问题的能力。让学生利用图形直观启迪思维，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃。
10
2005年全国2文21
设a为实数，函数f (x) x3 x2 x a 当a在什么范围内取值时，曲线y f (x)与x轴仅有一个交点。
解：f (x) 3x2 2x 1若f (x) 0,则x 1 ,或x 1 3
当x变化时，f (x), f (x)变化情况如下表：
x , 1 1
1 ,1
1
3 3 3
f (x)
+
0
-
0
1, +
f (x) 极大值极小值
所以f (x)的极大值是f ( 1) 5 a,极小值是f (1) a 1. 3 27
在2，3内x lg x 1 0有且仅有一个实根。
17
[设计意图]通过练习让学生掌握利用导数的应用判断函数零点的解题方法。并引导学生探索利用导数判断方程根的情况的理论根据，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点也就是方程f（x）＝0在区间（a，b）上有且只有一根
掌握函数零点存在性的判断。
②通过对问题的分析，体会用函数的角度
去思考方程的根的问题，使学生理解动与静的
辨证关系。
③在函数与方程的联系中体验数形结合思
想和转化思想的意义和价值，体会函数知识的
核心作用。培养学生发现问题、分析问题、解
决问题的能力
返回5
3．情感态度与价值观：在学习过程中，使学生体验数学的科学价值
解法一：将方程等价变形为lg x 1 ,在坐标系内画出函数f (x) lg x x

人教版导数背景下的零点问题(共21张PPT)教育课件

心
安
；
书
一
笔
清
远
，
盈
一
抹
恬
淡
，
浮
华
三
千
，
只
做
自
己
；
人
间
有
情
，
心
中
有
爱
，
携
一
米
阳
光
，
微
笑
向
暖
。
口
罗
不
是
。
■
电
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
很
正
式
给
人
一
种
威
严
感
。
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
(
电
影
拍
摄
)
所
以
为
什
么
很
多
时
候
在
现
场
我
不
想
等
。
你
可
以
说
我
之前有个网友说自己现在紧张得不得了，获得了一个大公司的面试机会，很不想失去这个机会，一天只吃一顿饭在恶补基础知识。不禁要问，之前做什么去了？机会当真就那么少？在我看来到处都是机会，关键看你是否能抓住。运气并非偶然，运气都是留给那些时刻准备着的人的。只有不断的积累知识，不断的进步。当机会真的到来的时候，一把抓住。相信学习真的可以改变一个人的运气。在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙，比房子、比车子、比票子、比小孩的教育、比工作，往往被压得喘不过气来。而另外总有一些人会运用自己的心智去分辨哪些快乐或者幸福是必须建立在比较的基础上的，而哪些快乐和幸福是无需比较同样可以获得的，然后把时间花在寻找甚至制造那些无需比较就可以获得的幸福和快乐，然后无怨无悔地生活，尽情欢乐。一位清洁阿姨感觉到快乐和幸福，因为她刚刚通过自己的双手还给路人一条清洁的街道；一位幼儿园老师感觉到快乐和幸福，因为他刚给一群孩子讲清楚了吃饭前要洗手的道理；一位外科医生感觉到幸福和快乐，因为他刚刚从死神手里抢回了一条人命；一位母亲感觉到幸福和快乐，因为他正坐在孩子的床边，孩子睡梦中的脸庞是那么的安静美丽，那么令人爱怜。。。。。。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

运用导数如何展开对方程根的个数的讨论 1 已知函数3
21()1()3
f x x ax x a R =
--+∈ （1）若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值，且122x x -=，求a 的值及()f x 的单
调区间；
（2）若12a <
，讨论曲线()f x 与215
()(21)(21)26
g x x a x x =-++-≤≤的交点个数．解：（1）2()21f'x x ax =--
12122,1x x a x x ∴+=⋅=-
122x x ∴-===
0a ∴=…………………………………2分
22()211f x x ax x '=--=-
令()0f x '>得1,1x x <->或令()0f x '<得11x -<<
∴()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-…………5分（2）由题()()f x g x =得
322115
1(21)326
x ax x x a x --+=-++ 即32111
()20326
x a x ax -+++= 令32111
()()2(21)326
x x a x ax x ϕ=-+++-≤≤……………………6分
2()(21)2(2)(1)x x a x a x a x ϕ'∴=-++=--
令()0x ϕ'=得2x a =或1x =……………………………………………7分
12
a <
当2
a ≤-
此时，9
802
a --
>，0a <，有一个交点；…………………………9分
当22a ≥-即1
1a -<<
时，
2(32)036
a a -+> , ∴当9802a -->即9
116a -<<-时,有一个交点；
当98002a a --≤≤，且即9
016a -
≤≤时，有两个交点；当102a <<时，9
802a --<，有一个交点．………………………13分
综上可知，当916a <-或1
02a <<时，有一个交点；
当9
016
a -≤≤时，有两个交点．…………………………………14分
选天星试题调研压轴大题P69页
选自刷题P49页
选自刷题P43页。