如何运用导数讨论方程根的个数问题教师版

运用导数如何展开对方程根的个数的讨论 1 已知函数3

21()1()3

f x x ax x a R =

--+∈ （1）若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值，且122x x -=，求a 的值及()f x 的单

调区间；

（2）若12a <

，讨论曲线()f x 与215

()(21)(21)26

g x x a x x =-++-≤≤的交点个数． 解：（1）2()21f'x x ax =--

12122,1x x a x x ∴+=⋅=-

122x x ∴-===

0a ∴=…………………………………2分

22()211f x x ax x '=--=-

令()0f x '>得1,1x x <->或 令()0f x '<得11x -<<

∴()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-…………5分 （2）由题()()f x g x =得

322115

1(21)326

x ax x x a x --+=-++ 即32111

()20326

x a x ax -+++= 令32111

()()2(21)326

x x a x ax x ϕ=-+++-≤≤……………………6分

2()(21)2(2)(1)x x a x a x a x ϕ'∴=-++=--

令()0x ϕ'=得2x a =或1x =……………………………………………7分

12

a <

当2

a ≤-

此时，9

802

a --

>，0a <，有一个交点；…………………………9分

当22a ≥-即1

1a -<<

时，

2(32)036

a a -+> , ∴当9802a -->即9

116a -<<-时,有一个交点；

当98002a a --≤≤，且即9

016a -

≤≤时，有两个交点； 当102a <<时，9

802a --<，有一个交点．………………………13分

综上可知，当916a <-或1

02a <<时，有一个交点；

当9

016

a -≤≤时，有两个交点．…………………………………14分

选天星试题调研压轴大题P69页

选自刷题P49页

选自刷题P43页