矩阵论习题

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矩阵理论习题与答案

矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。

为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。

一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。

答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。

所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。

2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。

答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。

由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。

3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。

答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。

计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。

解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。

然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。

对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。

所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。

二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。

答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。

计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。

然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。

接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。

将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。

最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。

《矩阵论》习题答案,清华大学出版社,研究生教材习题 4.3

得 x1 1 82 ， x 2 1 136 ， x3 1 35 ， x 4 1 21 .
8. 解：（1） X (3.3,1.2,9) T ；（2） X (3,0.6,10.8) T .
9. 解： X (7.0,23,17) T .可见，当系数矩阵有微小误差（摄动）时，引起了解的较大变化）.
习题 4.3
1. 解： cond ( A) 1010 .
2. 解： cond ( A)1 cond ( A) 12011 .
1 3. 解： A 1
1 1 2 ， A

3 , max(3 , 2) 2,
11. 解：根据圆盘定理知， A 的特征值都在复数平面上的几个圆盘
Z aii Ri
1
(i 1,2, , ai ,i 1 a i ,i 1 ain .所以， A 的四个特征值都落在下列的四个盖尔圆的并集内：
Z 1 1 ； Z 1.5 1.5 ； Z 5 1 ； Z 5i 1 .
10．解：（1） X (1.11,0.228,1.95,0.797) T ；与真解相差较大. （2） X (0.988,1.42,0.428,2.10) T ；与（1）比较，相差较大.
2
（3） X (1.000,0.9995,1.0017,0.9990) T ；与真解靠得较近，说明运算时随着有效数字的增加（摄动减小），解的精度会增加.
是大的，有可能病态.
1
6. 解： H 41
120 240 140 16 120 1200 2700 1680 240 2700 6480 4200 140 1680 4200 2800

矩阵理论习题答案

习题一1. 设λ为的任一特征值,则因 λλ22- 为A =-A 22O 的特征值, 故022=-λλ. 即 λ=0或2.2. A ～B , C ～D 时, 分别存在可逆矩阵P 和Q , 使得 P 1-AP =B , Q 1-CQ =D .令T =⎪⎪⎭⎫⎝⎛Q O O P 则 T 是可逆矩阵,且T 1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛C O O A T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--Q O O P C O O A Q O O P 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D O O B 3. 设i x 是对应于特征值i λ的特征向量, 则 A i x =i λi x , 用1-A 左乘得i i i x A x 1-λ=.即i i i x x A 11--λ= 故 1-i λ是A 的特征值, i =1,2,, n .4. (1) 可以. A E -λ=)2)(1)(1(-+-λλλ,=P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--104003214, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2111AP P .(2) 不可以.(3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110101010P , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1221AP P .5. (1) A 的特征值是0, 1, 2. 故A =－(b －a )2=0. 从而 b =a .又11111-λ----λ----λ=-λaa aa A I =)223(22+---a λλλ将λ=1, 2 代入上式求得 a=0.(2) P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010101.6. A I -λ=)1()2(2+-λλ, A 有特征值 2, 2, －1.λ=2所对应的方程组 (2I －A )x =0 有解向量p 1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛041, p 2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛401λ=－1所对应的方程组 (I +A )x =0 有解向量p 3=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101令 P =(p ,1p ,2p 3)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛140004111, 则 P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4416414030121. 于是有A 100=P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛122100100P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-⋅-⋅---12412244023012122431100100100100100100100. 7． (1)A I -λ=)1(2+λλ=D 3(λ), λI －A 有2阶子式172111----λ=λ－4λ－4不是D 3(λ)的因子, 所以D 2(λ)=D 1(λ)=1, A 的初等因子为λ－1, 2λ. A 的Jordan 标准形为J =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000100001设A 的相似变换矩阵为P =(p 1,p 2,p 3), 则由AP =PJ 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=23211pAp Ap p Ap 0 解出P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----241231111; (2) 因为),2()1()(23--=λλλD 1)()(12==λλD D ，故A ～J =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010011设变换矩阵为 P =(321,,p p p ), 则⎪⎩⎪⎨⎧=+==33212112p Ap p p Ap p Ap ⇒P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502513803 (3) ),2()1()(23-+=-=λλλλA I D ,1)(2+=λλD 1)(1=λD .A 的不变因子是,11=d ,12+=λd )2)(1(3-+=λλdA ～J =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--211 因为A 可对角化，可分别求出特征值－1，2所对应的三个线性无关的特征向量：当λ=－1时，解方程组 ,0)(=+x A I 求得两个线性无关的特征向量,1011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0122p当λ=2时，解方程组 ,0)2(=-x A I 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1123p , P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110221(4) 因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-41131621λλλλA I ～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2)1(11λλ, 故A ～J =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111设变换矩阵为P =),,(321p p p , 则⎪⎩⎪⎨⎧+===3232211pp Ap p Ap p Ap 21,p p 是线性方程组 0=-x A I )(的解向量，此方程仴的一般解形为p =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s t s 3 取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111p , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1032p为求滿足方程 23)(p p A I -=-的解向量3p , 再取 ,2p p = 根据 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------t s t s 3113113622～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----t s t s s 00033000311 由此可得 s =t , 从而向量 T 3213),,(x x x =p 的坐标应満足方程s x x x -=-+3213取 T 3)0,0,1(-=p , 最后得P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--010001131 8. 设 f (λ)=4322458-++-λλλλ. A 的最小多项式为 12)(3+-=λλλA m ,作带余除法得 f (λ)=(149542235-+-+λλλλ))(λA m +1037242+-λλ, 于是f (A )=I A A 1037242+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----346106195026483.9. A 的最小多项式为 76)(2+-=λλλA m , 设 f(λ)=372919122234+-+-λλλλ,则f (λ)=)()52(2λλA m ++2+λ. 于是 [f (A )]1-=1)2(-+I A .由此求出[f (A )]1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3217231 10. (1) λI －A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+41131621λλλ标准形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2)1(00010001λλ, A 的最小多项式为 2)1(-λ;2) )1)(1(+-λλ; (3) 2λ.11. 将方程组写成矩阵形式:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321188034011d d d d d d x x x t x t x t x , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x t x t x t d d d d d d d d 321x , A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----188034011则有J =PAP 1-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010011, .其中 P =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛124012001.令 x =Py , 将原方程组改写成 : ,d d Jy y=t 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+==3321211d d d d d d yty y y ty y t y 解此方程组得: y 1=C 1e t +C 2T e t , y 2=C 2e t , y 3=C 3e t -. 于是x =Py =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-t t t tt t t c )t (c c )t (c c t c c e e 24e 4e 12e 2e e 3212121.12. (1) A 是实对称矩阵. A I -λ=2)1)(10(--λλ,A 有特征值 10, 2, 2.当λ=10时. 对应的齐次线性方程组 (10I －A )x =0的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--542452228～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110102由此求出特征向量p 1=(－1, －2, 2)T , 单位化后得 e 1= (32,32,31--)T . 当λ=1时, 对应的齐次线性方程组 (I －A )x =0的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----442442221～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000221 由此求出特征向量 p 2=(－2, 1, 0)T , p 3=(2, 0, 1)T . 单位化后得e 2=(0,51,52-)T , e 3=(535,534,532)T. 令 U =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---53503253451325325231, 则 U 1-AU =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1110.(2) A 是Hermit 矩阵. 同理可求出相似变换矩阵U =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2121212i 2i 2i 21210, U 1-AU =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22. 13. 若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得U H AU =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21, i λ﹥0, I =1, 2, , n . 于是A =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21U H = U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21U H U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21U H 令B =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21U H 则 A =B 2.反之,当 A =B 2且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正定矩阵,故A 是Hermit 正定的. 14. (1)⇒(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得U H AU =diag(n λλλ,,,21 )令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, , n ).(2)⇒(3).A =U diag(n λλλ,,,21 )U H =U diag(n λλλ,,,21 )diag(n λλλ,,,21 )U H令 P =diag(n λλλ,,,21 )U H , 则 A =P H P . (3)⇒(1). 任取x ≠0, 有x H Ax =x H P H Px =22Px ≧0.习题二1. 1x =01i 42i 1+++-++=7+2,2x =1i)4i(4)2(i)1i)(1(2+-+-+-+=23, ∞x =max {}1i 42i 1,,,-+=4.2. 当 x ≠0时, 有 x ﹥0; 当 x ﹦0时, 显然有 x =0. 对任意∈λC , 有x λ=x nk kk nk kk λξωλλξω==∑∑==1212.为证明三角不等式成立,先证明Minkowski 不等式: 设 1≦p ﹤∞, 则对任意实数 x k ,y k (k =1, 2, , n )有pnk pk k y x 11)(∑=+≦∑∑==+nk ppk nk ppk y x 1111)()(证当 p =1时，此不等式显然成立. 下设 p ﹥1, 则有∑=+nk pkk y x 1≦∑∑=-=-+++nk p kk k nk p kk k y x y y x x 1111对上式右边的每一个加式分别使用H ölder 不等式, 并由 (p －1)q =p , 得∑=+nk pkky x1≦qnk q p kk pnk pk qnk q p kk pnk pk y x y y x x 11)1(1111)1(11)()()()(∑∑∑∑=-==-=+++=qnk p k k pnk pk pnk p k y x y x 111111)]()()[(∑∑∑===++再用 qnk p k k y x 11)(∑=+ 除上式两边,即得 Minkowski 不等式.现设任意 y =(n ηηη,,,21 )T ∈C n , 则有∑=+=+nk kk k y x 12ηξω=∑=+nk k k k 12)(ηξω≦∑=+nk k k k k 12)(ηωξω≦∑∑==+nk j k nk k k 1212()(ηωξω=y x +.3. (1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:max(A , B )=)(21b a b a -++max(),b a y x y x ++≦max(b b a a y x y x ++,)=)(21b b a a b a b a y x y x y y x x --+++++≦)(21b a b a b a b a y y x x y y x x -+-++++ =)(21)(21b a b a b a b a y y y y x x x x -+++-++ =max( b a x x ,)+max( b a y y ,)(2) 只证三角不等式.k 1a y x ++k 2b y x +≦k 1a x +k 1a y +k 2b x +k 2b y =( k 1a x +k 2b x )+( k 1a y +k 2b y ) .4. 218132i 453i 11m +=+++++++=A ;66132i 453i 1222222F =+++++++=A ; 15m =∞A ;=1A 列和范数(最大列模和)=27+;∞A =行和范数(最大行模和)=9 ;5. 非负性: A ≠O 时S 1-AS ≠O , 于是 m 1AS S A -=＞0. A =O 时, 显然A =0;齐次性: 设λ∈C , 则 λλλ==-m1)(S A S A m1ASS -=λA ;三角不等式: m11m1)(BSS AS S S B A S B A ---+=+=+≦B A BSS AS S +=+--m 1m 1;相容性: m11m1)(BS ASS S SAB S AB ---==≦m1m1BSS AS S --=A B .6. 因为I n ≠O , 所以n I ＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:n n n I I I =≦n I n I ,即n I ≧1.7. 设 A =(A ij )∈C n n ⨯, x =∈ξξξT 21),,,(n C n , 且 A =ij ji a ,max , 则∑∑=ikk ik Ax ξa 1≦∑∑ikk ik a ξ=∑∑kiik k a ][ξ≦n A ∑kk ξ=∞m A 1x ;∑∑=ikk ikAx 22ξa≦∑∑ikk ika2][ξ=∑∑ikka 22][ξ=n A 2x ≦n A =∞m A 2x .8. 非负性与齐次性是显然的, 我们先证三角不等式和相容性成立. A =(a ij ), B =(b ij )∈C n m ⨯, C =(c st )∈C l n ⨯且 A =ij ji a ,max , B =ij ji a ,max , C =st ts c ,max . 则MBA +=max{m ,n }ij ij ji b a +,max ≦max{m ,n })(m ax ,ij ij ji b a +≦max{m ,n }(A +B )=max{m ,n }A +max{m ,n }B =M M B A +;MAC=max{m ,l }∑kkt ik ti c a ,max ≦max{m ,n }}{max ,∑kkt ik ti c a ≦max{m ,n }}{max 22,∑∑⋅kkt kikti c a (Minkowski 不等式)=max{m ,n }n AC ≦max{m ,n }max{n ,l }AC =M M C A .下证与相应的向量范数的相容性.设 x =∈ξξξT 21),,,(n C n , d =kmax {k ξ}, 则有∑∑=ikk ik a Ax ξ1≦∑∑ikk ik a ξ=∑∑ki ikka)(ξ≦∑kk na ξ=n A ∑kk ξ≦max{m ,n }A ∑kk ξ=1M x A ;2Ax =∑∑ikkik a2ξ≦∑∑ik k ik a 2)(ξ≦∑∑∑ikkkika )(22ξ(H ölder 不等式)=∑∑∑⋅kk ikik a 22ξ≦mn A 2x≦max{m ,n }A 2x =2M x A ;}{max 1∑=∞=n k k ik iAxξa ≦∑=nk k ik ia 1}{max ξ≦}{max 22∑∑⋅kk kik ia ξ≦}max{22nd na i⋅=n AD ≦max{m ,n }AD =∞x A M .9. 只证范数的相容性公理及与向量2–范数的相容性. 设 A =(a ij )∈C n m ⨯, B =(b st )∈C l n ⨯,x =∈ξξξT 21),,,(n C n 且 A =ij ji a ,max , B =st ts b ,max , 则∑=≤≤≤≤=nk ktik lt m i AB11,1Gmaxb aml ≦}{max ,kt kik t i b a ml ∑≦}{max 22,∑∑⋅kkt kikti b a ml (Minkowski 不等式)≦ml n ab =))((b nl a mn =G G B A .∑∑===m i nk k ikAx1212ξa≦∑∑ik k ika2)(ξ≦∑∑∑⋅ikkk ik a )(22ξ （H ölder 不等式）≦∑∑⋅ikkna )(22ξ=mn A 2x=2G x A .10. 利用定理2.12得122H 2===nI UU U.11.A 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0110211214321cond 1(A )=225255111=⋅=-A A ; cond ∞(A )=10251=⋅=∞-∞A A .12．设x 是对应于λ的特征向量, 则A x x m m λ=.又设 v ⋅是C n 上与矩阵范数⋅相容的向量范数,那么vm vm v mx A x x ==λλ≦v m x A因 v x ＞0, 故由上式可得 mλ≦m A ⇒λ≦m m A .习题三1. 2c λc λλ))(2(+-=-A I , 当c λρ=)(﹤1时, 根据定理3.3, A 为收敛矩阵.2. 令S )N (=∑=N0)(k k A , )(lim N N S +∞→=S , 则 0)(lim lim )()()(=-=+∞→+∞→k k k k k S S A .反例: 设 A )(k =k⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001k, 则因 ∑+∞=01k k发散, 故 ∑+∞=0)(k k A发散, 但)(lim k k A +∞→=O .3. 设 A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛6.03.07.01.0, 则 )(A ρ≦=∞A 行和范数=0.9＜1, 根据定理3.7,∑∞+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛06.03.07.01.0k k=(I －A )1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛937432.4. 我们用用两种方法求矩阵函数e A : 相似对角化法. 22a λλ+=-A I , a -a i ,i =λ当 =λi a 时, 解方程组 (i a －A )x =0, 得解向量 p 1=(i, 1)T .当 λ=－i a 时, 解方程组 (i a +A )x =0, 得解向量 p 2=(－i, 1)T .令 P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11i i , 则P 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-i 1i 1i 21, 于是 e A =P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a ai 00i P 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a -a cos sin sin cos . 利用待定系数法. 设e λ=(2λ+a 2)q (λ)+r (λ), 且 r (λ)=b 0+b 1λ, 则由⎩⎨⎧=-=+-aaa b b a b b i 10i 10ei e i ⇒b 0=cos a , b 1=a1sin a .于是e A =b 0I +b 1A =cos a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11+a 1sin a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a cos sin sin cos . 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设f (λ)=cos λ, 或 sin λ则有⎩⎨⎧=-=+a-a b b aa b b sini i sini i 1010 与 ⎩⎨⎧=-=+aa b b aa b b i cos i i cos i 1010 由此可得⎪⎩⎪⎨⎧-==a a b b sini i 010 与 ⎩⎨⎧==0i cos 10b ab 故 (a 2isini a )A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0isini isini 0a a =sin A 与(cosi a )I =⎪⎪⎭⎫⎝⎛a acosi 00cosi =cos A .5. 对A 求得P = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013013111, P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-24633011061, P 1-AP =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211根据p69方法二,e At =P diag(e t -,e t ,e t 2)P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++---------t t t t tt tt t t t t t t e 3e 3e 3e 30e 3e 3e 3e 30e e 3e 2e e 3e 4e 661222tsin A =P diag(sin(－1),sin1,sin2)P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--01sin 601sin 6001sin 42sin 21sin 22sin 42sin 616. D 3(λ)=101011----λλλ=2)1(-λλ, D 2(λ)=D 1(λ)=1, A ~J =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010011.现设r (λ,t )=b 0+b 1λ+b 2λ2, 则有⎪⎩⎪⎨⎧==+=++1e 2e 021210b t b b b b b t t ⇒b 0=1, b 1=2e t －t e t －2, b 2=t e t －e t +1. 于是e t A =r (A , t )=b 0I +b 1A +b 2A 2=I +(2e `t －t e t －2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100100011+(t e t －e t +1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--tt e 001e 101e e 1e e tt t t t同理,由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++1sin 2cos 021210b t t b b t b b b ⇒b 0=1, b 1=t sin t +2cos t －2, b 2=1－t sin t －cos t . 将其代入cos A t =b 0I +b 1A +b 2A 2, 求出cos A t =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----t t t t t t t cos 001cos 10cos sin 11cos cos7. 设 f (A )=∑+∞=0k k A ka ,S N=∑=Nk k A 0k a .则 f (A )=N N S +∞→lim 并且由于(S N)T=T)(∑=N k k k A a =∑=Nk k k A 0T )(a所以, f (A T )=T )(lim N N S +∞→=f (A )T .8, (1) 对A 求得P =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111, P 1-=P , J =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111111 则有e t A =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t tt t tt ttt t t t t t t e e e e 2e e e 6e 2e 232eP 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t ttt t t tt t e e e 2e 60e e e 200e e 000e 232t t t t t t tsin A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t t t t t t t t t sin cos sin sin 2cos sin cos 6sin 2cos sin 232P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t t t t t t t t t sin cos sin 2cos 6sin cos sin 2sin cos sin 232cos A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----t t t tt t t t tt t t t t t t cos sin cos cos 2sin cos sin 6cos 2sin cos 232P=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----t t t t t t t t t t t t t t t t cos sin cos 2sin 60cos sin cos 200cos sin 000cos 232(2) 对A 求出P =P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100100000100001, J =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010212 则有e At =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11e e e 222t t tt t P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---100010000e 000e e 222t t tt tsin A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--002sin 2cos 2sin t t tt tP 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000002sin 0002cos 2sin t t tt tcos A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1012cos 2sin 2cos t t t t P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10000100002cos 0002sin 2cos t t t t 9. (1) sin 2A +cos `2A =[)e (e i 21i i A A --]2=[)(e 21i i A A e -+]2=)e e e (e 41)e e e (e 41i 2i 2i 2i 2O O A A O O A A ++++--+---=e O =I(2) sin(A +2πI )=sin A cos(2πI )+cos A sin(2πI )=sin A [I －!21(2πI )2+!41(2πI )4－…]+cos A [2πI －!31(2πI )3+!51(2πI )5－…]= sin A [1－!21(2π)2+!41(2π)4－…]I +cos A [2π－!31(2π)3+!51(2π)5－…]I=sin A cos2π+cos A sin2π （3）的证明同上.(4) 因为 A （2πi I ）=(2πi I )A ,所以根据定理3.10可得 e I A i π2+=e A e I πi 2=e A [I +(2πI )+!21(2πi I )2+!31(2πi I )3+…]=e A {[1－!21(2π)2+!41(2π)4－…]+i[2π－!31(2π)3+!51(2π)5－…]}I=e A {cos2π+isin2π}I =e A此题还可用下列方法证明:e I A πi 2+=e ⋅A e I i π2=e ⋅A P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛i π2iπ2πi 2e e e P 1-=e ⋅A PIP 1-=e A用同样的方法可证: e I A πi 2-=e A e I πi 2-.10. A T =－A , 根据第7题的结果得 (e A )T =e TA =e A -, 于是有e A (e A )T =e A e TA =e A A -=e O =I11. 因A 是Herm(i A )H =－i A H =－i A , 于是有e A i (e A i )H =e A i e A i -=e O =I12. 根据定理3.13, A 1-tt A e d d =e At , 利用定理3.14得 ⎰tA 0d e ττ=⎰-t A A 01d e d d τττ=A 1-τττd e d d 0A t ⎰=A 1-(e -At I ). 13. t d d A (t )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t sin cos cos sin , t d d (det A (t ))=t d d (1)=0, det(t d dA (t ))=1, A 1-(t )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t cos sin sin cos , t d d A 1-(t )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t sin cos cos sin14. ⎰t A 0d )(ττ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰⎰⎰-00d 30d e 2d e d d e d e 002002002t t t t t t τττττττττττττ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---002301e e1311e e )1(e 212232t t t t t t t t 15. 取 m =2, A (t )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t t 02, 则 A 2(t )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22340t t t t , t d d (A (t ))2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t t t 2023423≠2A (t )t d dA (t )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+t t t t 2022423. 困为++==--21)]()[(d d)()]()[(d d )]()()([d d )]([d d m m A A A A A A A A A t t tt t t t t t t t t t m +)(d d)]([1t tt A A m -所以当(t d d A (t ))A (t )=A (t )t d dA (t )时, 有)(d d)]([)(d d )]([)(d d )]([)]([d d 111t tt t t t t t t t t A A A A A A A m m m m ---++= =m [A (t )])(d d1t tA m -16. (1) 设 B =(ij b )n m ⨯, X =(ij ξ)m n ⨯, 则 BX =(∑=nk kj ik 1ξb )m m ⨯,于是有tr(BX )=∑∑∑===++++nk km mk n k kj jk n k k k 11111ξξξb b bijBX ξ∂∂)tr(=ji b (i =1,2,…,n ;j =1,2,…,m ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn n m BX X b b b b 1111)(tr(d d=T B 由于 BX 与 T T T )(B X BX =的迹相同，所以T T T ))(tr(d d ))(tr(d d B BX XB X X == (2) 设A =(ij a )n n ⨯,f=tr(AX X T ), 则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nm mn X ξξξξ1111T ，AX =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑∑k km nk k k nk km k k k k ξξξξa a a a 1111f =∑∑∑∑∑∑++++l kkm lk lm l k kj lk lj l kk lk l ξξξξξξa a a 11)]()([][∑∑∑∑∑∂∂⋅+⋅∂∂=∂∂=∂∂k kj lk l k ijlj kj lk ij lj l k kj lk lj ij ij ξξξξξξξξξξa a a f =∑∑+klj li kkj ik ξξa amn ij X ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=ξff d d =X A A X A AX )(T T +=+ 17. 设A =(ij a )m n ⨯, 则 F (x )=(∑∑∑===nk kn k nk k nk k k 1211,,,a a a 1k ξξξ ),且A d F F F x F nn n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a aa a a a a a 21222211121121d d d d d d d ξξξ 18. ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=='t t tt t t tt t t t t t t t t tt AtAt A 222222222e 4e 3e 3e 6e 3e 6e 2e e e 4e e 2e 2e e e 2e e 4e e在上式中令t =0, 则有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=133131113e OA19. A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502613803, x (0)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111, A 的最小多项式为 2)1()(+=λλϕ. 记f (λ)=t λe ,并设f (λ)=g(λ))(λϕ+)(10λb b +, 则⎩⎨⎧==---tte e 110t b b b ⇒ tt --=+=e ,)1(10t b e t b 于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=++=---t t t t t t t t 41026138041e e e )1(e t t t At A I , x (t )=Ate x (0)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-t t t 6191121e t20. A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101024012, f (t )=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1e 21t , x (0)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111, =)(λϕdet(λI －A)=23λλ-. 根据O A =)(ϕ,可得； 252423,,A A A A A A ===,….于是23232)!31!21()(!31)(!21)(e A A I A A A I At ++++=++++=t t t t t t=2)1(e A A I t t t --++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++--t t t e 1e e 210124021t t t t ttx (t )=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎰⎰-t t t t f e )1(11]02111[e ]d 021)0([]d )(e )0([e 00At t At tA At x e x ττττ习题四1. Doolite 分解的说明,以3阶矩阵为例: 11r 12r 13r 第1框 21l 22r 23r 第2框 31l 32l 33r 第3框计算方法如下: (ⅰ) 先i 框，后i +1框,先r 后l .第1框中行元素为A 的第1行元素；（ⅱ）第2框中的j r 2为A 中的对应元素j a 2减去第１框中同行的21l 与同列的j r 1之积．第3框中的33r 为A 中的对应元素33a 先减去第1框中同行的31l 与同列的13r 之积，再减去第2框中同行的32l 与同列的23r 之积；（ⅲ）第2框中的32l 为A 中的对应元素32a 先减去第1框中同行的31l 与同列的12r 之积，再除以22r . 计算如下:1 3 02 -3 0 2 2 -6A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛600030031122012001 2.Crout 分解的说明,以3阶矩阵为例:11l 12u 13u 第1框 21l 22l 23u 第2框 31l 32l 33l 第3框(ⅰ) 先i 框,后i +1框.每框中先l 后r .第1框中的列元素为A 的第1列的对应元素;(ⅱ)第2框中的2i l 为A 中对应元素2i a 减去第1框中同行的1i l 与同列的12u 之积;(ⅲ)第2框中的23u 为A 中的对应元素23a 减去第1框中同行的21l 与同列的13u 之积,再除以22l .第3框中的33l 为A 中的对应元素33a 先减去第1框中同行的31l 与同列的13u 之积,再减去第2框中同行的32l 与同列的23u 之积.计算如下:1 3 02 -3 02 -6 -6A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100010031662032001 2. 先看下三角矩阵的一种写法:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231222111000a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛332211223211311121000000101001a a a a a a a a a , ii a ≠0 对本题中的矩阵A 求得Crout 分解为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1002105452115240512005 利用下三角矩阵的写法对上面的分解变形可得A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10021054521100051000512540152001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10021054521100510005100051000512540152001=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10052510545251525405152005 3.对A 的第1列向量)1(β, 构造Householder 矩阵1H 使得 =)1(1βH 12)1(e β, 31C e ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010)1(β, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-01112)1()1(e ββ, u =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--01121212)1()1(12)1()1(e e ββββ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=1000010102T 1uu I H , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2301401111A H , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23141A对1A 的第1列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34)2(β, 类似构造Householder 矩阵2H :⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=3110122)2)2(12)2()2ββββe u , 21C e ∈, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=4334512T 22uu I H ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=102512A H令12001H H H ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=, 则有 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100250111HA =R 并且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==---1002501115453000153540001001T2T 112111R H H R H H R H A =QR4. 对A 的第1列向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=202)1(β, 构造Givens 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210210102102113T , ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0022)1(13βT , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1132221210220232322A O A T 对1A 的第1列向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212)2(β, 构造 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3223131322~12T , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=023~)2(12βT , ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=34023723~112A T 令 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12T12~1T O O T , 则有 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==34002372302323221312R A T T . 于是 QR R T T A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==340023723023232232231213123403223121H13H 125. 设A =),,(i i 0i 0i 0i 1321ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----, 对向量组321,,ααα施行正交化, 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==0i 111αβ, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=i 212i 0i 12i i 0i ],[],[1111222ββββααβ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=323i232i 212i 3i 0i 1211i 0],[],[],[],[222231111333ββββαββββααβ于是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+-==3213212113i 212iβββαββαβα 写成矩阵行式K ),,(1003i 10212i 1),,(),,(321321321ββββββααα=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32632316i 203i 612i 316i 21),,(321βββ 最后得A =K ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----32632316i 203i 612i 316i 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----32006i 630212i 2316i 203i 612i 316i 21=QR 6. 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==10005152********T T 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011000520550114022011000515*******A T 再令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==305061010610305132T T , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3010305000061061612A T T 最后令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101000013T , R A T T T =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00030103050610616123 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=0003010305061061603056151302625230161H 3H 2H 3R T T T =QR 7. =)1(β(0, 1)T , 12)1(=β, u =2121)1(1)1(=--e e ββ(－1, 1)T ,H 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-01102T2uu I , H =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001H 则有HAH T =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001111210121010100001=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--120111211, H 是Householder 矩阵.同理, 对)1(β, 取 c =0, s =1, T 12=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110, T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12001T , 则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=='-0101000011112101210101000011TAT T TA=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---120111211, T 是Givens 矩阵.8. 对 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1612)1(β, 计算u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--2151202021)1(1)1(e e ββ, H =I －2uu T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-344351 令 Q =⎪⎪⎭⎫⎝⎛H 001, 则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=075075600200200TQAQ同理，对)1(β,为构造Givens 矩阵，令c =53, s =54, ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5354545312T ，则当⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12001T T 时，='T TA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--075075600200200.1. (1) 对A 施行初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100424201011200010321～⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---142000002102121100111201 S=,1420210011⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121101201422021(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------10001111010011110010111100011111～⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11000000001100000210211110021021001 S=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11000011021021021021, A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----1110000111111111（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000126420100632100101264200016321～⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10100000010100000011000000016321 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1010010100110001S, ()63212121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 10. (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000005T A A 的特征值是5，0，0. 分别对应特征向量321,,e e e ,从而V=I,),(11p V =∑=(5), 11AV U =∑1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2151. 令,12512⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=U ()21U U U =, 则I U A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000005(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2112T A A 的特征值是，，1321==λλ对应的特征向量分别为TT11,11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛.于是 ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1003， ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121V =1V , 11AV U =∑1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-06221612161取 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3131312U , 构造正交矩阵()21U U U ==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31062312161312161‘所以，A 的奇异值分解为T 001003V U A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11. 根据第一章定理1.5, A A H 的特征值之和为其迹，而由第二章2.7 F－范数的定义A A A A A HH2F )tr(==的特征值之和=∑=ri i 12σ习题五1．设x =T 21),,,(n ηηη 为对应于特征值λ的单位特征向量，即(QD )x =λx两边取转置共轭：H H H H x Q D x λ=与上式左乘得2H H λ=Dx D x 即 22222221212n n ηηηd d d λ+++= ,由此立即有 2min iid ≤2λ≤2max i id从而i d imin ≤λ≤i d imax .后一不等式的另一证明：根据定理2.13，λ≤)(QD ρ≤2QD i d imax 最大特征值的H 22.11定理==D D D2. A 的四个盖尔园是 1G : 9-z ≤6, 2G : 8-z ≤2, 3G : 4-z ≤1, 4G : 1-z ≤1.由于4G 是一个单独的连通区域，故其中必有一个实特征值.321G G G ⋃⋃是连通区域，其中恰有三个特征值，因而含有一个实特征值 .3. A 的四个盖尔园:1G 1-z ≤2713, :2G 2-z ≤2713, :3G 3-z ≤2713, :4G 4-z ≤2713 是互相隔离的，并且都在右半平面，从而每个盖尔园中恰有一个特征值且为正实数.4．设 =λβαi +为A 的待征值，则有盖尔园k G ,使得k G ∈λ.若α≤0, 则kk a -α≤βαi )(+-kk a ≤k R 故 kk a +-)(α≤k R ,即 kk a ≤α+kk R ≤kk R , 这与A 是严格对角占优的条件矛盾.5. （1）当两个盖尔园的交集中含有两个特征值时; (2) 当两个盖尔园相切且切点是A 的单特征值时.6. A 的盖尔园 2:1-z G ≤3, 10:2-z G ≤2, 20:3-z G ≤10. 因1G 是与32G G ⋃分离的，故1G 中恰有一个实特征值∈1λ[－1, 5].A 的列盖尔园 :'1G 2-z ≤9, 10:'2-z G ≤4, 20:'3-z G ≤2. 因'3G 是与'2'1G G ⋃分离的，故 '3G 中恰有一个实特征值 ∈3λ[18, 22]. 选取 D =diag(1, 1,21), 则 1-DAD 的盖尔园 ''G 1 : 2-z ≤4, :''2G 10-z ≤3, :''3G20-z ≤5. 这三个盖尔园是相互独立的，故必然有∈1λ[－2, 6], ∈2λ[7, 13], ∈3λ[15, 25]与上面所得的结果对照可知利用Gerschgorin 定理，特征值的最隹估计区间为∈1λ[－1, 5], ∈2λ[7, 13], ∈3λ[18, 22]7. 因为det(λB －A )=)23)(2(422+-=----λλλλλλ所以广义特征值为1λ=2, 2λ=－32.分别求解齐次线性方程组0=-x A B )(1λ , 0=-x A B )(2λ可得对应于1λ与2λ的特征向量分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛121k (01≠k ), ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-122k (02≠k ) 8. 先证明一个结果：若A 是Hermit 矩阵，n λλ,1分别是A 的最大、最小特征值，则)(m ax )(m ax 112x R x R x x =≠==λ, )(m ax )(m ax 12x R x R =≠==x x n λ事实上，Ax x x x x Axx x x x Axx x x x x H 1H 22H 220H H 002max 11max max )(max =≠≠≠===x R下证1λ＞1μ, n λ＞n μ. 令 Q =A －B , 则)(m ax m ax H H 1H 1122Qx x Bx x Ax x x x +====λ＞Bx x x H 12max ==1μ( Q 正定，Qx x H ＞0 )同理可证 n λ＞n μ.现在设 1＜s ＜n , 则根据定理5.10及上面的结果,有)m ax (m in m ax m in H H H 1021Qx x Bx x Ax x x x P s +====λ＞s x x P Bx x μ===H 1021max min 9. 显然，A B 1-的特征值就是A 相对于B 的广义特征值. 设为n λλλ,,,21 且j j j Bq Aq λ=, 0≠j q , j =1, 2, …,n 其中 n q q q ,,,21 是按B 标准正交的广义特征向量. 当 )(1A B -ρ＜1时，对任意 x =0≠+++n n q q q c c c 2211)()(2211HH 22H 11H n n n n q q q A q q q Ax x c c c c c c ++++++==))((222111HH 22H 11n n n n n Bq Bq Bq q q q λλλc c c c c c ++++++ =2222211n n c c c λλλ+++ ≤i iλmax )(22221n c c c ++⋅=Bx x A B H 1)(-ρ＜Bx x H反之，若对任意 x ≠0, Ax x H ＜Bx x H 成立，并且 )(1A B -=ρλ,Bq Aq λ=,0≠q ,则取 x=q , 于是有λ=Aq q H ＜1H =Bq q10. 若λ是BA 的特征值，q 是对应于λ的特征向量，即(BA )q =λq =λIq由此可知，λ是BA 的相对于单位矩阵I 的广义特征值，因此BAx x Ix x BAxx x R BA x x I x H 1H H 111222max max )(max )(======λ=)(maxH H 12Ax Bxx x x =≤)(max )(max H 1H 122Ax x Bx x x x == =)()(11A B λλ同理)(m in )(m in )(H H 1122Ax Bxx x x R BA x I x n ====λ≥)(m in )(m in H 1H 122Ax x Bx x x x == =)()(A B n n λλ11. 由于x ≠0时，12)()(==x x R x R ，从而5.24式等价于}0,1)(m in{m ax H 22)(2===-⨯∈x P x x R r n n P r C λ我们约定，下面的最小值都是对12=x 来取的. 令x =Qy , 则y y Ax x x R Qy P x P x P ΛH H H 2H 2H 2m in m in )(m in 0=====由于 n r n Q P ⨯-∈)(H 2C , 则在齐次线性方程组 0=Qy P H 2中，方程的个数小于未知量的个数，根据 Cramer 法则，它必有非零解. 设),,,,0,,0(~1n r r y ηηη +=，(1~2=y )为满足方程的解(容易证明这种形式的解必存在)，则)(min ~min 22112~H ~H 2H 2n n r r r r y Q P y Q P y y ηληληλ ++=++==0Λ≤r λ 注意到 ⊆==}1~,~~{2H 2y y Q P y 0}1,{2H 2==y Qy P y 0,从而)(min H 2x R x P 0==)(min H 2y R Qy P 0=≤y y y R y Q P y Q P ΛH ~~~m in )~(m in H 2H 20===≤r λ 特别地，取),,(12n r q q P +=时，根据定理5.9)(min H 2x R x P r 0==λ故(5.24)式成立. 12. 我们约定：以下的最小值是对单位向量来取的，即证},1)(min{max H 22)(20C ===-⨯∈Bx P x x R r n n P r λ成立. 令 x =Qy , 则有y y x R BQy P B Bx P ΛHH2H 2m in )(m in === 设齐次线性方程组 0=BQy P H 2有形如 1~),,,,,0,,0(~21==+y y n r r ηηη 的解（不难证明这样的解一定存在），则因})({}~)(~{H 2H 200=⊆=y BQ P y y BQ P y所以)(min H 2x R B BxP ≤22112H ~~~min H 2n n r r r r y BQ P y y ηληληλ+++=++= Λ0≤r λ 特别地，取 ),,,(21H 2n r r q q q P ++=时，根据定理5.12可得r B Bx P x R λ==)(min H 20由此即知（5.44）成立.习题六求广义逆矩阵{1}的一般方法： 1）行变换、列置换法利用行变换矩阵S 和列置换矩阵P , 将矩阵A 化成SAP =⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O K I r则。

矩阵论习题课答案

习题课答案一1). 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是(b )。

(a) 1||n A λ- (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ2). 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( c )必成立.()a A 的所有顺序主子式为非负数 ()b A 的所有特征值为非负数()c A 的所有顺序主子式大于零()d A 的所有特征值互不相同3).设矩阵11111A ααββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与000010002B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似,则,αβ的值分别为( a )。

(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1二填空题4)若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111,,,2345，则1B E --= 24 。

5)设532644445A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,则100A =10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)442232(31)2(31)2(13)231⎛⎫+---- ⎪+---⋅-⎪ ⎪--⋅-⎝⎭三计算题3.求三阶矩阵1261725027-⎛⎫⎪ ⎪⎪--⎝⎭的Jordan 标准型解 1261725027E A λλλλ+--⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪+⎝⎭,将其对角化为210001000(1)(1)λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+-⎝⎭.故A 的若当标准形为100110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.■4.设A 是3阶对称矩阵,且A 的各行元素之和都是3,向量()()0,1,1,1,2,1TTαβ=-=--是0AX =的解,求矩阵A 的特征值,特征向量,求正交阵Q 和矩阵B 使得T Q BQ A =依题意有011003121003111003A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因而1003011111003121111003111111A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭其特征多项式为2()||(3)f E A λλλλ=-=-.故特征值为120,3λλ==.⑴10λ=,解特征方程0AX -=得()11,0,1T X =-,()21,1,0TX =-.特征向量为1122l X l X +.⑵23λ=,解特征方程(3)0E A X -=得()31,1,1TX =.特征向量为33l X . 以上123,,l l l R∈.把向量12,X X 正交并单位化得1(η=,2η⎛⎫= ⎝.把向量3X单位化得3η=.以123,,ηηη作为列向量作成矩阵P ,则P 为正交矩阵且000000003T P AP B ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.0T Q P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭,则Q 满足T Q BQ A =.■ 5解：A 的行列式因子为33()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==.所以，不变因子为33()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3(2)λ+，因而A 的Jordan 标准形为21212J -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦8.设A 是n 阶特征值为零的若当块。

矩阵论试题及答案

一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ；当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。

矩阵论习题答案

自测题一一、解：因为齐次方程0211211=++x x x 的基础解系为T T T )1,0,0,0(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1(321=-=-=ααα，所以V 的一组基为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00111A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01012A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10003A ，显然A 1，A 2，A 3线性无关.V a a a a A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∀22211211，有211211a a a --=，于是有 322221112A a A a A a A ++=，即A 可由A 1，A 2，A 3线性表示，故A 1，A 2，A 3为V 的一组基；且dimV=3.二、解：（1）R V X X ∈∈∀λ,.21，有21212122112211(2211)(X X X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+）=+)(1X )(2X,λλλλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11122112211)(X XX )(1X .又因任意两个二阶方阵的乘积、和仍为二阶方阵，故V V '=，即为从V 到V （自身）的线性算子，所以为线性变换.（2）先求的自然基22211211,,,E E E E 下的矩阵A ：2221121111020020100012211)(E E E E E +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2221121112200)(E E E E E +++=2221121121020)(E E E E E +++=2221121122200)(E E E E E +++=故⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2020020210100101A . 显然, 从自然基到所给基4321,,,E E E E 的过渡过阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000110011101111C ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-10001100011000111C , 所以在4321,,,E E E E 下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-40200202231201011AC C B .三、解：（1）不是内积. 因为)(,A A tr A A +=)(2)(22211a a A tr +==并不一定大于零.（2）因为1),(10==⎰dt te g f t ,⎰===1021231)(),(dt t f f f ,⎰-===1212212)21()(),(e dt e g g g t,g f g f ⋅≤),( ,即212)21(311-⋅≤e .四、解：（1）2)2)(1(--=-λλλA I ，2,1321===λλλ.行列式因子：1,1,)2)(1(1223==--=D D D λλ ; 不变因子：2321)2)(1()(,1)()(--===λλλλλd d d ; 初等因子：2)2(),1(--λλ .（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121~21J JJ A ; （3）对T X A I )1,1,0(0)(,1111==-=ξλ得;T X A I )1,0,1(0)2(,2222==-=ξλ得.再求22=λ的一个广义特征向量：由23)2(X X A I -=-得T )1,1,1(3=ξ .取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-111110111,1111011101P P , :,)(则令SinA A f =[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡===2sin 02cos 2sin )(,1sin )()(22111λλλJ f f J f , 故12211)])([)],([(sin -⋅=P J f J f Pdiag A λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111101112sin 2cos 2sin 1sin 111101110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+----+=2cos 1sin 1sin 2cos 1sin 2cos 2sin 2sin 1sin 1sin 2sin 1sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2cos .五、解：（1）130143014,83,3014max max 31<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==∑=∞j ij ia A ，故0lim =∞→k k A ；（2）∑∞=0k k x 的收敛半径为1，而1<∞A 若在其收敛域内，故∑∞=0k kA绝对收敛，且∑∞=--=01)(k k A I A .六、解：（1）6,5,15,511====∞∞m m A A A A ；又因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-322232223511A ，571=∞-A . 所以7557)(1=⨯==∞∞-∞A A A cond ；1,5,)1)(5(3212-===+-=-λλλλλλA I .故5lim )(==i iA λρ. （2）因为031221,0121≠-==∆≠=∆，故可分解. （3）-+-r B B B ,,均可取1-B .七、证：设T n T n y y y Y x x x X ),,,(,),,,(2121 ==分别为在两组基下的坐标，则CY X =，当Y X =时有：θ=-X C I )(，则0=-C I ，故C 有特征值1.反之，由于1是过渡过阵C 的一个特征值，设其对应的特征向量为X ，即X CX ⋅=1，由坐标变换公式知，在基1β，2β，n β, 下的坐标CX Y =，故有X Y =.八、证： A 对称正定，∴存在正交矩阵C ，使D diag AC C n T ==),,,(21λλλ其中特征值）n i i ,,2,1(0 =>λ.对θ≠∀X ，有CX Y =，使DY Y y y y AX X T n n T =+++=2222211λλλ ,其中θ≠y .令n nn z y z y z y λλλ1,,1,1222111===.于是θλλλ≠=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Z BZ Z Y n ,11121故Z Z Z DB B Z DY Y T T T T ==)(. 而)(P B C PZ BZ C Y C X T T T ====令，所以Z Z Z AP P Z AX X DY Y T T T T T ===)(.因Z 的任意性，知I AP P T =，即A 与I 相合.自测题二一、解：I a A a I A I A k k k k k k λλλ===,,,I a a a A a A a A a I a n n k n )(102210λλ+++=++++∀ ,其中R a a a n n ∈+++λλ 10，故取V 的基为I ，1dim =V .二、解：（1）从基2,,1x x 到基22,,1x x x x ++的过渡矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110011001C ，所以在新基下的坐标为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0111011C .（2）不是线性变换.因为≠++++++=+),,2()(33221121111b a b a b a b b a a βα+)(α)(β.（3）不是内积. 如0341212121<-=-==），），（，（），，（α，不具有非负性.三、解：（1）利用Schmidt 正交化方法，得T e )1,1,1(1=，T e )1,0,1(2-=，T e )61,31,61(3-=.（2）从321,,ααα到321,,e e e 的过渡阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=610021103421C ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-6003102211C ，故所求⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-00000034211AC C B .四、解：（1）由于A 实对称，所以存在正交阵Q ，使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∧=n AQ Q T21. 故2)1+=∧==n n AQ Q A F F T F （；n A =)('ρ；n A =2；n A cond =2)(；1)(21=-mA .（2）取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000111A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111 α，得n aA n A ===212,1,α,即有212ααA A >.五、解：（1）3)1(201335212+=+-+---=-λλλλλA I ；1321-===λλλ. 33)1()(+=λλD ，所以,不变因子为3321)1()(,1)()(+===λλλλd d d ；初等因子为3)1(+λ. 故A 的Jordan标准形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110011J .（2）cos A 的Jordan标准形为：J =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------)1cos(00)1sin()1cos(0)1cos(21)1sin()1cos(.六、证：（1）因173.01<=A ；故;0lim =∞→kk A（2）因A 有范数小于1，故∑∞=0k k A 绝对收敛；且其和的形式为1)(--A I .七、解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=00032103101~230121121A ；取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=302121B ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32103101C ；则有BC A =（最大秩分解）；1)()(12==λλD DT T B B B B 1)(-+=, 1)(-+=T T CC C C ,则 +++=B C A ，所以,方程b AX =的极小范数最小二乘解为b A X +=.八、证：（1）因为A C A AC C A n T 2)1(,=-=-所以，则有,0)1(2>-=n C n 必为偶数.（2）设T n x x x X X AX ],,,[,21 ==λ的分量中绝对值最大者为kx ，则X AX λ=的第k 个方程∑==nj jkj k x a x 1λ；∑∑==≤=nj jkjnj j kj k x a x a x 11λ；∑∑==<≤≤nj nj kj kj kja x x a 111λ，故有1<λ.自测题三一、解：（1）不是. 设B B A A T T -==,，则)(T T B A B A -=+=T T B A B A )()(+≠-（一般情况下），又)()(B A B A B A T +-≠-=+（一般情况下），即V B A ∈+.（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=+++∀001)(111010 n n n n d a d a a D a D a I a⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++100)(10 n n n n d a d a a ，故得一组基为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100,,001 ，且n V =dim .二、解：（1）123)(22++=x x x,12)(+=x x, 43)1(+=x,在基1,,2x x 下的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=411322003A .（2）)5)(1)(3(411322003---=-------=-λλλλλλλA I ,可见矩阵A 有三个不同的单根1，3，5，故 A 可以对角化，即可以对角化.（3）设度量矩阵33)(⨯=ij C C ，则⎰⎰====1010213124114151C dx x C dx x C , ⎰⎰=====1102223121331,31dx x C C dx x C ,⎰⎰=====10331032231,21dx C xdx C C . 故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12131213141314151C .三、解：设3322113)(ααααx x x ++=，使得)(1α，)(2α，)(3α是标准正交的.∵)(1α，)(2α已标准正交化，∴（)(1α，)(2α）=（)(2α，)(3α）=0，)(3α=1，即得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+1022022232221321321x x x x x x x x x ；解得：32,32,31321==-=x x x ；即()().22313213αααα++-=.因为)(1α，)(2α，)(3α为标准正交基，且把标准正交基变为标准正交基，故为正交变换, 它在基321,,ααα下的矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=32321323132313232A .四、解：由自测题一中第四题（2）知A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2121J ，相似变换矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111101110T . 由T ）321321,,(),,(αααβββ=，求得3V 的一组基为3213312321,,αααβααβααβ++=+=+=，则在该基下的矩阵为J .五、证：当0=X 时，000===F F X α；当θ≠X 时，0≠T X α ;从而0>=FTX X α. ,C k ∈∀FT FTX k kx kX αα()(===X k X k FT=α,FTFTFT T FTY X Y X Y X Y X ααααα+≤+=+=+)(=Y X +，因此 , X 是向量范数. 又因为FT T FTA X AX AX )()(αα==X AA X FFTFT=≤α，因此 , F A 与X 相容.六、解：)6(2-=-λλλA I ，特征根为0,6321===λλλ；则6)(=A ρ.由于A A 62=，故A 可以对角化, 即存在可逆矩阵C ，使1006-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C C A ；1001)(-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C A Aρ. 故得.61001001lim )(lim 11A C C C C A A kk kk =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∞→∞→ρ七、证：⇒设1)(<A ρ，取0)](1[21>-=A ρε，对于矩阵A ，存在矩阵范数⋅，使121)()(<+=+≤A e A A ερ. 1)(<≤⇐A A ρ便得证.八、证：（1）1-====AB B A B A B A T T , 同理，有1-==T T T B A AB .（2）B A B A B A B A B A T T +=+=+--)(11=AB ()AB B A T -=+，得2即有,0=+B A 0=+B A .自测题四一、解：（1）21111011201010011)(E E E E E T +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=，21222011200110101)(E E E E E T+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=，33332200010001000)(E E E E T=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=，所以在E 1，E 2，E 3下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A . (2) 设有一组基321,,e e e ，从E 1 ,E 2 ,E 3到e 1 ,e 2 ,e 3的过渡矩阵设为C ,即C E E E e e e ),,(),,(321321=再设A 在e 1 ,e 2 ,e 3下的矩阵为B ,则AC C B 1-=.要使B 为对角阵，即找一个可逆矩阵C ，使AC C 1-为对角阵. 因为2)2(211011-=-----=-λλλλλλA I ,对0=λ，求得特征向量()T 0,1,1-，对λ=2，求得两个线性无关的特征向量()T 0,1,1，T )1,0,0(.令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011C ，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-10002121021211C ，则AC C B 1-=为对角阵. 由()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100011011,,,,321321E E E e e e ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=011001010011211E E e⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=011201010011212E E e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==100033E e .二、证：易得()()()122111,,,1,αααααα==0=，()()()()()(),1,,0,,,1,,0,,332332221331======αααααααααααα即11)(α=e ，22)(α=e ，33)(α=e 也是标准正交基，故是正交变换.三、解：（1）令T Y )0,,0,,(21 ηξ=，由Y HX =，知X HX Y ==；取 Y X YX Y X X Y X X --=--=0η ； Y YY 10=，构造初等反射矩阵 T I H ηη2-=，则有Y Y X HX ==0.（2）)3)(5(16)1(12812--=--=--=-λλλλλλA I . 因此3,521==λλ，所以5m ax)(==i iA λρ；因为65)(<=A ρ，故矩阵幂级数收敛.四、解：由正交矩阵行（列）向量组标准正交，得12122=+⎪⎭⎫⎝⎛a12122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛b 02=+bc a四组解是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===212121c b a ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==212121c b a ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=212121c b a ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=212121c b a .五、解： (1){}∑====31162,4,6m ax m axi ijja A ；{}∑=∞===3153,4,5m ax m ax j ij ia A;{}9max =⋅=∞ij m a n A.因为()()221--=-λλλA I ，2,1321===λλλ , 故2m ax )(==i iA λρ.（2） 031≠=∆，0521132≠==∆，故可以进行LU 分解 .（3）易得2)(,3)(==B R A R ，所以6)(=⊗B A R ，B 的特征根为2,121==μμ，故B A ⊗的特征根为4,2,4,2,2,1231322122111======μλμλμλμλμλμλ.2)(B A ⊗的特征根为：1，4，4，16，4，16.（4）∵02≠=B ∴B 可逆，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1032211B ，所以-+-r B B B ,,均可取为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1032211B . （5）A 的Jordan标准形为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2121J . （6）对应于11=λ的特征向量T )11,0(，，对应于22=λ的线性无关的特征向量只有一个T )1,0,1(，再求一个广义特征向量T )1,1,1(. 令TT ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111101110，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1111101111T . 令 AA f 1)(=，则1))((11=λJ f ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=214121)((22λJ f . 12211))(),(()(-⋅⋅=T J J diay T A f λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111110111210041210001111101110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53322211141.六、解：（1）由X AX λ=，即0)(=-X I A λ，若λ不是A 的特征根，则0≠-I A λ，所以0)(=-X I A λ只有零解，故0dim =λV .若λ是A 的特征根，则0=-IA λ，所以0)(=-X I A λ有非零解.设r I A R =-)(λ，则r n V -=λdim .（2）设T I A ωω2-= 其中ω为单位向量1=ωωT .则)2)(2(2T T I I A ωωωω--=T T T T w I ωωωωωωωω422+--=I I T T =+-=ωωωω44.七、证：（1）设()由于二,0≠∈m R X 次型()()0≥==AX AX AX A X BX X TT T T ，所以B 为半正定矩阵.（2）当A 的列向量组线性无关时，若X ≠0，则AX ≠0，故())(AX AX BX X T T =>0 ，即A 为正定矩阵.八、证：（1）λ为非奇异，λ为A 的特征值，故λ≠0 ，而λ1为1-A 的特征值，据特征值上界原理, 有11-≤A λ，即11-≥Aλ. (2) 对0≠∀X ，由已知有BXA X XB A A 11)(--+=+BXA X 1--≥XB A X 1--≥XB A )1(1--=由已知11-<AB , 即11<-A B ,故知0≠∀X , 0)1()(11>-≥+--X B A X B A A ；即对0≠∀X , 有0)(1≠+-X B A A ，即0)(1=+-X B A A 无非零解.故0)(11≠+=+--B A A B A A , 从而0≠+B A ，即A +B 可逆.自测题五一、解：(1) 在V 1中，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4324324321x x x x x x x xx x A ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101010011432x x x . 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,0101,0011321E E E , 因321,,E E E 线性无关，由定义知，它们是1V 的基，且3dim 1=V .(2)[]212，BB L V = 因为21,B B 线性无关； 2dim 2=V .),,,,(2132121B B E E E L V V =+在22⨯R 的标准基下，将21321,,,,B B E E E 对应的坐标向量21321,,,,ββααα排成矩阵, 并做初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10000031000111001111~13100020102000101111),,,,(21321ββααα，可见4)dim(21=+V V .由维数定理145)dim (dim dim )dim (212121=-=+-+=V V V V V V .二、解：(1) 因为，过渡阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111C ，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-111111C ，所以α在α1，α2，α3下的坐标为=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-3211a a a C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--23121a a a a a .（2）设,21λλV V X ∈则有()X X A 1λ=与()X X A 2λ=，两式相减得()021=-X λλ，由于21λλ≠，所在地只有X=0，故[]0dim 21=λλV V .三、解：取[]3X P 中的简单基,,,,132x x x 由于)1(=,12x-,)(3x x x -=221)(x x +=, 33)(x x x +-= ,则在1，x ，32,x x 下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1010010110100101A . A 的特征值为：2,04321====λλλλ , 相应的特征向量为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1010,0101,1010,0101. 令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2200,1010010110100101C , 则Λ=-AC C 1. 再由()()C x x x f f f f 324321,,,1,,,= , 求得[]3x P 中另一组基：()34233221)(,1)()(,1x x x f x x f x x x f x x f -=-=+=+=，.四、解： (1) ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1101dt dt de Adt e AtAt)(1I e A A -=-.(2)当j i ≠时0)(=j i εε；故度量矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A 21.五、解：（1）,9,1,3,3121====∞m T XX XXX3,4,3===∞∞X X XX XX T m T FT .（2）)1()(23+=λλλD ，易得1)()(12==λλD D . ∴ 不变因子)1()(,1)()(2321+===λλλλλd d d ；初等因子)1(,2+λλ.A 的Jordan标准形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100000010J .六、解：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000001101101112101101011行变换A ，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01101101,211011C B ，则 A=BC . 其中B 为列最大秩矩阵， C 为行最大秩矩阵 .（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--+121033312111016332)(11TT B B B B ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==--+1221311251211301111001)(11T T CC C C ，所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==+++14527533014515112103312213112151B C A .（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==+10111501515151413145275330145151b A X .七、证明提示：类似习题4.1第16题（1）的证明.八、证明：AC A B A ++=⇒因为两边左乘矩阵A ，有C A AA B A AA )()(++=,故 AB=AC .AC AB =⇐因为，设+A 为A 的加号定则，两边左乘+A ，有AC A AB A ++=.自测题六一、解：（1）当V x x x x X ∈⎪⎭⎫⎝⎛=22211211时，由02112=+x x 得⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010000001212211X X X X .取 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110,1000,0001321E E E , 因线性无关，则它们是V的一个基.（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=0110)(111B E E B E T T ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=0000)(222B E E B E TT ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=0220)(333B E E B E TT ；故在基321,,E E E 下的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=201000000A .（3）将A对角化，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110001020C 使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-2001AC C ；设所求基为321,,Y Y Y ，有：()()C E E E Y Y Y 321321,,,,=.得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=0110,0112,1000321Y Y Y ，则在基321,,Y Y Y 下的矩阵为对角形.二、解： (1))1(4963752542-=---+---=-λλλλλλA I,A 的特征根1,0321===λλλ；行列式因子)1()(23-=λλλD ，易得1)()(12==λλD D ；不变因子)1()(1)()(2321-===λλλλλd d d ；初等因子1,2-λλ.(2) A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100000010J ；(3) ∵01621511,0121≠-=--=∆≠-=∆；∴ A 能进行LU 分解.三、解：（1）.13214,1010,00022322122⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-t t t dt dA t dt dA dt A d .（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00032121312x x dX df .四、解：(1) 由)(21I B A +=,得I A A I A B I A B +-=-=-=44)2(,2222,显然, 当且仅当I B =2时，有A A =2.(2) 因B A B BA AB A B BA AB A B A +=+++=+++=+222)(,得,0=+BA AB 即,BA AB -=两端右乘B 得BAB AB -=2, 从而AB B AB )(-=,由于幂等阵B 的任意性，故0=AB .五、解： (1)∵ m x x x 21两两正交的单位向量.∴)(21m x x x A =为列满秩矩阵,故T T T A A A A A ==-+1)(. （2）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛=101k A k ，且∑∞=-12)1(k k k与∑∞=-1)1(k kk 都收敛；∴ ∑∞=-12)1(k kk A k 收敛.（3）∵ 762+-=-λλλA I ，而)2()52)(76(37291912222234++++-=+-+-λλλλλλλλ；由于0762=+-I A A ；∴原式⎪⎭⎫⎝⎛-=+=-3217231)2(1I A . （4）∵ A 的特征根为n)2,1(，，i i =；B 的特征根为m )21(，，，j j =λ；∴B A ⊗的特征根为j i λn;2,1(，，i =m)21，，，j =.六、证： (1) 当0=A 时，设A 的最大秩分解为A=BC.则 C B C B B C B C B A A D ~=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= . 而[]()H HHH B BB B B B B 1~-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=()[][]++-==B B B BB B H HH21211.[]++++++⋅==B B C B C D 21~[]++=A A 21.当A =0时上式也成立.(2) 经计算A a a a A )(2321213++-= . 于是A A a a a AXA =++-=-31232221)(，A a a a X 1232221)(-++-=是A 的一个减号逆.(3)()I e e e e e e A A A A AT A TA A T ===-=-,..,所以因为.故A e 为正交矩阵.七、证：(1) 设R V n ∈∀∈μλβα,,,,，则00),()(ααμβλαμβλαμβλα+++=+k)),(()),((0000ααββμααααλk k +++==λ)(α+μ)(β.所以是线性变换.(2)是正交变换),(),(αααα=⇔T T ,即 ),(),(),(),(2),(0020220αααααααααα=++k k ,得[]0),(2),(0020=+ααααk k .由n V ∈α的任意性，上式等价于0),(20=+ααk ,所以22200212),(2n k +++=-= αα .八、证：由舒尔定理知，存在西矩阵U 及上三角矩阵()ij r R =，使得R AU U H =，因此有H H H R U A U =，从而得H H H RR U AA U =.又因为()()()H H H H RR tr U AA U tr AA tr ==, ①由于R 主对角线上的元素都是A 的特征值，故由①式得2112121ij nj ni ij ni i ni r r ∑∑∑∑====≤=λ, ②而②式端是R 的Frobenius 范数的平方，又因在酉相似（即R AU U H =）下矩阵的F 范数不变，所以211211ij ni ni ijni n i a r ∑∑∑∑=====③综合②、③两式便得到所需证的不等式.又不等式②取等号当用仅当i≠j 时都有0=ij r ，即A 酉相似于能角形矩阵，也就是A 为正规矩阵.自测题七一、解：（1）由02421=-+a a a ，得基础解系)0,0,1,2(1-=α，)0,1,0,0(2=α，)1,0,0,1(3=α；所以V 1的一组基为321,,ααα，且3dim 1=V .因为),(),,(2132121ββαααL L V V +=+),,,,(21321ββαααL =，易知1321,,,βααα是21321,,,,ββααα的一个极大无关组，故4)dim (21=+V V ，21V V +的一组基为1321,,,βααα.（2）251433221121,ββξαααξξk k k k k V V +=++=⇔∈∀ .所以025********=--++ββαααk k k k k . 解此方程组得），，133,2,2(),,,,(54321---=k k k k k . 所以21V V 的一组基为)3,2,21---=，（ξ，且1)dim (21=V V .二、解：（1）211111)(cE aE E +=221212)(cE aE E +=211121)(dE bE E +=221222)(dE bE E +=即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d cd c b a b aE E E E E E E E 00000000),,,(),,,(2221121122211211，故A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡d cd c b a b a000000; (2) 由,B A AB +=得到I I B A AB B A AB =+--=--,0 ,即I I B I A =--))((,显然I A -与I B -均为阶可逆方阵，于是有I I A I B =--))((,即I I B A BA =+--,亦即0=--B A BA , 故B A BA +=,从而AB BA =.三、解：（1）)2()1(2320110012λλλλλλ--=---=-E A ，)2()1()(23λλλ--=D ，1)(2=λD ，1)(1=λD .)2()1()()()(,1)()()(,1)(22331221λλλλλλλλλ--=====D D d D D d d ，所以初等因子为：λλ--2,)1(2.A 的Jordan标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010011.（2）()n I A tr dAd=. （3）两边求导数，利用,At AtAe e dtd =且,0Ie = 得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=133131113A .四、解：（1）∑==iij ja A 5m ax 1；∑==∞jij ia A 5m ax .（2）122212221---------=-λλλλA I )5()1(2-+=λλ ,5,1321=-==λλλ；故5m ax )(==i iA λρ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-3122411B ，故∞-∞∞⋅=1)(B B B cond 54145=⨯⨯=. （3）2,3==rankB rankA ；623)(=⨯=⊗B A rank .)4)(1(26521232--=-+-=----=-λλλλλλλB I ，所以4,121==λλ，故B A ⊗的特征值为：20,4,4,5,1,1'6'5'4'3'2'1=-=-==-=-=λλλλλλ（4） ∵0≠A ，1-A 存在，∴ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===--+-3222322235112221222111A A A .五、解：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000032102101~321043211111A ， BC A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32102101102111. （2）∵ 2=rankA ；2):(=b A rank ；∴ b AX =相容.（3）∵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=142062*********T AA ；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==--21103001052152011070)(T T m AA A A ， ∴ 极小范数解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1234101b A X m.六、解：（1）0max≠=x P A 2121022maxmax--≠≠===PAP yy PAP PXPAX XAX x x PP .（2）A 的4个盖尔圆为它们构成的两个连通部分为11G S =， G G G S 322=4.易见，1S 与S 2都关于实轴对称.由于实矩阵的复特征值必成共轭出现，所以S 1中含A 的一个实特征值，而S 2中至少含A 的一个实特征值.因此A 至少有两个实特征值.七．证：（1）设为正交变换，λ为的特征值 , 则有()0()≠=αλαα，),(αα=()(α,)(α)),(),(2ααλλαλα==.∵),(>αα, ∴12=λ,故1±=λ；（2）设λ为的任一特征根，α为的属于λ的一个特征向量，即0,)(≠=αλαα，则1,11)(2,1222-=⇒=⇒==λλααλα.记11=λ的特征子空间为,1V 12-=λ的特征子空间为1-V .对V ∈∀α有=α(+α)(α) 2 + (-α)(α) 2 ，而 (+α)(α) 2∈,1V (-α)(α) 2 ∈1-V ，所以11-+=V V V . 又 ⇒∈∀-11V V α,)(αα=且,)(αα-=；得αα-=，即0=α，故11-⊕=V V V .自测题八{}{}{}{},28,36,24,14321≤-=≤-=≤-=≤=g g G g g G g g G g g G一、解：(1)在已知基)(),(),(321t f t f t f 下的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=111323221A ;(2) (⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321),,1())(2t t t f ；基2,,1t t 且到基)(),(),(321t f t f t f 的过渡矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101110102C ；则21321234321))(),(,)(())((t t C t f t f t f t f -+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-.(3) 设度量矩阵33)(⨯=ij d D , 则⎰⎰=====10121121121,11tdt d d dt d ； ⎰⎰=====1012222311331,31dt t d dt t d d ； ⎰⎰=====1014333322351,41dt t d dt t d d ；故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=51413141312131211D .二、解：(1) 令矩阵,3)(I A A f -=若A 的特征值为λ,则)(A f 的特征值是3)(-=λλf ,故)(A f n 的个特征值为32)2(,,3)6(,1)4(,1)2(-===-=n n f f f f .从而))32(531(3)(-⋅⋅-=-=n I A A f .(2) 2)1)(2(224023638--=+-+---=-λλλλλλA I ；特征根为1,2321===λλλ.行列式因子：23)1)(2()(--=λλλD ，1)()(12==λλD D ; 不变因子：2321)1)(2()(;1)()(--===λλλλλd d d ；初等因子： 2)1(),2(--λλ；故A 的Jordan标准形为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100110002J .三、解：（1）由于A 实对称，所以易求得非奇异矩阵P ，使Λ=-AP P 1，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2200,1001011001101001P ,于是12211-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P e e P e t t At=12111000011--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡P P e P P t =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+--+-+t t ttttt te ee e e e e e 2222222210101100110100121. (2) X ()()Tt t At e e X e t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==22,0,0,0.四、解：（1）6=∞A ；2)4)(2(224)4(31213232-+=--=--=-λλλλλλλλλA I ；特征根为4,2321==-=λλλ；则 4)(=A ρ.（2）2)3(,3)(==R A R∴ 6)(=⊗B A R ；B 的特征根3,421==μμ，∴ B A ⊗的全部特征根为：-8，-6，16，16，12，12. （3）∵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-310125411B ，∴ +-B B l ,可取1-B .五、解：α1()T 4,0,3=，构造⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3040504035113R ，113140430735A A R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=. 同理，构造R A R R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=5135165735,3404300055112323.令()==T R R Q 2313⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---012202015012161551, 则A=QR.六、证：（1）∵ A 为对称正定矩阵， ∴≠∀α有：>Aα，当且仅当0≠α时，有0=Aα；对R R ∈∀有：A T AkAk k αααα==；βββαααβαβαβαA A A T T T A++=++=+),(2)()(AAAAβαβα+=+≤2)(, （2）∵ IAA AA AA A A T T T T ==--11))(())((；∴1)(-T T AA A 是A 的右逆.（3）因为1-=A ，且A 为正交矩阵，所以有T T T A I A A I A A AA A I )()(+=+=+=+,则 AI A I A A I T +-=+=+)(，即 0=+A I .故A 一定有特征根-1.七、证：()(),1111A a a A I f n n n n -++++=-=--λλλλλ 因为由()0=A f 得()01111=-++++--I A A a A a A nn n n ,即A ()()I A I a A a A n n n n 112111+----=+++ ,故()()I a A a AAA n n n 12111111--++-+++-=.自测题九一、解：不是. 如取α=（1，2），β=（3，4），()().,4,3,2,1αββααββα⊕≠⊕=⊕=⊕则有.二、解：（1）令⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A ，则V X AX X ∈=,)(.V Y X ∈∀,，P k ∈∀，则=+=+)()(Y X A YX )(X +)(Y ，kkX =)()(X ，所以是线性变换. （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0101)(1111AE E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1010)(1212AE E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0101)(2121AE E，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1010)(2222AE E ，设在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为B ，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1010010110100101B . （3）令),,,(4321ββββ=B 其中i β为B 的列向量，由于2)(=B rank ，且21,ββ是4321,,,ββββ的一个极大线性无关组, 所以dim2)(=V ，且),()(21B B L V =，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0101),,,(1222112111βE E E E B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1010),,,(2222112112βE E E E B ，且21,B B 为)(V 的一组基，得dimKer =4-dim (V)=2.令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00004321x x x x B ，得基础解系⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010,010121ξξ. 记 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1010),,,(,0101),,,(22221121141222112113ξξE E E E B E E E E B , 则ker),(43B B L =，且43,B B 为Ker的一组基.三、解：非负性.A=0时，A 0,0,0,0;0,0,0〉=〉≠===A A A A A A bHa bHa 从而时从而.相容性. 设A ，B ∈C n n ⨯，则有()()().B A BBAA AB BAAB AB AB bHabHa bHbHaa bHa ⋅=++≤+≤+=同样可验证齐次性与三角不等式.在此A 是矩阵范数.四、解：（1）FG A ，A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−11101101412101000011101101行. （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--+303241012120663)(11TT T F F F F F . ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==--+11111001313003)(11TT T G GG G G .⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==+++54131473032410361F G A . （3）b b AA b A T =-=++,)1,1,0,1(，故b AX =有解，极小范数解为T b A X )1,1,0,1(0-==+.五、解：（1）因2,3==rankB rankA ，得623)()()(=⨯=⋅=⊗B rank A rank B A rank .令0)2)(7(=+-=-λλλB I ，特征值2,721-==μμ.所以B A ⊗的所有特征值为：4,14,14,2,7,7161514321=-=-=-='='='λλλλλλ；10976)14()2(3232-=-⋅-==⊗B A B A .（2）∵ B 的特征值2,721-==λλ，∴I B B B f 3)(2+-=的特征值453772'1=+-=λ；113)2()2(2'2=+---=λ.六、解：,11120013221111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-e ββ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=122212221312,111311111T I H ωωω 令,1102003131⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= A H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101110210,11201221e A ββ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2011,01102,1121122222A H I H Tωωω 所以取QR A R H H Q =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=得211313,21212222131121.七、证：（1）令),,(11-=n L W αα ，其中11,,-n αα 线性无关.通过标准正交化，将11,,-n αα 变为W 的一个标准正交基11,,-n ηη .由已知可得1,,2,10,-=>=<n i i ηα;因而11,,-n ηη ，α线性无关.把α单位化，令ααη||1=n ，于是{}n n ηηη--,,,11 与{}n n ηηη,,,11- 均为V 的标准正交基.同时，由题设,1,,2,1,)(-==n i i i ηη，而n n ηη-=)(，则把标准正交基{}n n ηηη,,,11- 变为标准正交基，故为正交变换. （2）因为为正交变换，（n ααα,,,21 ）=（n ααα,,,21 ）A ，所以A 为正交矩阵.又 A 的所有特征值n λλλ,,,21 都为实数，故有,T T AA I A A ==即A 为实的正规矩阵，从而存在正交矩阵Q ，使得Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321λλλAQ Q T , 则A =()A Q Q Q Q A Q Q Y TT T T =Λ=Λ=Λ,，即A 为实对称矩阵，故A是对称变换.八、证：（1）设A 的特征根是n λλ,,1 ，令λλ-=1)(f ，则AI A f -=)(的特征根是,1,,11n λλ-- 由题设i λ-1〈1，n i ,,1 =，故,111 --i λ即20 i λ，因此,,,,1,20n i i =λ进而n n 2||||01<<λλ ，然而n d A λλ 1||==，故n n d 2|,|||01<=<λλ .（2）设A 的三个特征根为321,,λλλ，则32132312123213)()(||)(λλλλλλλλλλλλλλλλλ-+++++-=-=A I f ，由于A 是奇数阶正交方阵，且1||=A ，易证奇数维欧氏空间中的旋转变换一定有特征值1，因此不妨设11=λ，则1||32321===A λλλλλ，于是323231213211λλλλλλλλλλλ++=++=++，从而1||)(23-+-=-=λλλλλt t A I f .其中321λλ++=t 为实数（因32,λλ或均为实数或为一对共轭复数）.又由于正交方阵的特征根的模为1.故有22,)(32323232≤+≤-+≤+≤+-λλλλλλλλ,所以31132≤++≤-λλ，即31≤≤-t .由哈密顿－凯莱定理知：023=-+-I tA tA A .自测题十一、解：（1）因为,2=rankA 求得θ=AX 的基础解系()(),9,0,21,2,0,9,24,121T T -=-=ξξ即为V 的一组基，且dimV =2.(2) 设A 为P 上任一n 阶方阵，则)(21T A A +为对称阵，)(21T A A -为反对称阵，且A=)(21T A A ++)(21T A A -，得21V V P n n +=⨯. 又若21V V B ∈∀ , 则有T B B =, 且T B B -=, 从而θ=B , 则{}θ=21V V , 故21V V P n n ⊕=⨯.二、解：（1）∈∀ξ⇒-)(1θθξ=)(.设ξ在基4321,,,εεεε下的坐标为),,,(4321x x x x，则(ξ)在基4321,,,εεεε下的坐标为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321x x x x A .且(ξ)θ=及⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0004321x x x x A , 其中 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=00000000101001011111111111111111A . 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010,0101；取)(1θ-中两个线性无关的解向量⎩⎨⎧+=+=422311εεξεεξ, 所以),()(211ξξθL =-，dim2)(1=-θ.（2）由于)(1θ-中有一组基1ξ,2ξ，所以取432121,,,,,εεεεξξ，易知4321,,,εεξξ线性无关，则4321,,,εεξξ构成V 的一组基.设由基4321,,,εεεε到基4321,,,εεξξ的过渡矩阵为C ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-101001010010001,10100101001000011＝C C , 所以在4321,,,εεξξ下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-22002200110011001AC C .三、解：（1）先由rankA=n ，即A 的列向量组线性无关，证A T A 是正定矩阵（见自测题四中第七题），再由习题2-1第7题知，R n 构成一个欧氏空间.（2）令C=A T A =（c ij ），()ij j i j i c C ==εεεε,所以自然基在该内积定义下的度量矩阵为C=A T A.四、（1）证：∵A 是幂收敛的，∴()()B A A A B n n n ===22lim lim lim .（2）解：令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==014112B A ，1212<⇒-=-λλλB I , ∴B 是幂收敛.∴原级数和为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--04141B I . （3）解：设A的最大秩分解式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===10010110012AI FG A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1002011001010101A A F F H H .显然()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--1001)(,10021211I GG F F HH,.0102102101010110021)()(1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==----+F F F F GG G A H H H五、解：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=7610,122121211142b A , ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=+561651224112331A ，。

矩阵论考试试题含答案

矩阵论试题一、(10分)设函数矩阵求：()⎰tdt t A 0与(()⎰20t dt t A )'。

解：()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 000sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2303β(1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ；(2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。

解：(1)不难求得：因此σ在321,,ααα下矩阵表示为(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321321,,k k k αααξ，即解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。

()ξσ在321,,ααα下坐标可得(3)ξ在基321,,βββ下坐标为()ξσ在基321,,βββ下坐标为三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ，求At e 。

解：容易算得由于()λm 是2次多项式，且2,121==λλ，故()λg 是1次多项式，设由于()t e f λλ=，且()()11λλg f =，()()22λλg f =，故于是解得：⎩⎨⎧-=-=tt tt ee a e e a 21202 从而：四、(15分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110101A 的奇异值分解。

解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==211110101A A B T的特征值是0,1,3321===λλλ对应的特征向量依次为于是可得 2=rankA ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑1003 计算： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=-0021212121111AV U 构造 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1002U ，则 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==100021210212121U U V 则A 的奇异值分解为：五、(15分)求矩阵的满秩分解：解：可求得：于是有 BC A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30202101121101或 ()H H H H B AC B C A 1-+=六、(10分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A 的Jordan 标准形。

矩阵论的习题集

其中 aij = a ji = 1, (1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ i ) ，其它元素为 0。 ′, ε 2 ′ ,ε3 ′,ε 4 ′ ] = [ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ] A ，可得 6、[解]由 [ε 1 1 0 −1 ′, ε 2 ′ ,ε 3 ′ ,ε 4 ′] = A = [ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ] [ε 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 = 0 0 1 0 0 0 0 3 0 4 0 1 1 2 2 1 0 3 2 1 2 0 4 1 3 2 2 = 3 1 4 1 1 0 3 1 0 2 0 0 1 1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 2
2
3、对于 ∀B, C ∈ V 和 ∀λ ∈ F ，满足 BA = AB ， CA = AC ，并且 A( B + C ) = AB + AC = BA + CA = ( B + C ) A ， A( µB) = µAB = µBA = (µB ) A ，即 B + C ∈ V ， µB ∈ V ，从而由第 1.2 节定理 1 可知，V 是 F n×n 的子空间。满足 trB = 0 ，并且 tr ( B + C ) = trB + trC = 0 ， 4、对于 ∀B, C ∈ V 和 ∀λ ∈ R ， trC = 0 ， tr (λB) = λ tr ( B) = 0 ，从而由第 1.2 节定理 1 可知，V 是 R 2×2 的子空间。 1 0 0 1 0 0 dim V = 3 ，并且 V 的一组基为， 0 − 1 和。 0 0 1 0 5 、对于 ∀B, C ∈ V 和 ∀λ ∈ R ，满足 B = B T ， C = C T ，并且 ( B + C ) T = B T + C T = B + C ， (λB) T = λB T = λB ，从而由第 1.2 节定理 1 可知， V 是 R n×n 的子空间。 dim V = n(n + 1) ，并且 V 的一组基为 Vij = (a ij ) n×n ， 2

矩阵论试题

矩阵论试题一、选择题1.设A是n阶方阵，若|A|=0，则A（）。

A. 一定是可逆矩阵B. 一定是不可逆矩阵C. 可能是可逆矩阵，也可能是不可逆矩阵D. 以上说法均不正确答案：B2.若矩阵A与B相似，则A与B具有（）。

A. 相同的特征值B. 相同的特征向量C. 相同的秩D. 相同的行列式答案：A、D（相似矩阵具有相同的特征值和行列式，但特征向量不一定相同，秩也一定相同，但此题只问具有什么，故A、D为正确答案）3.下列矩阵中，属于正交矩阵的是（）。

A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 上三角矩阵D. 任意方阵答案：A（单位矩阵是正交矩阵的一种特殊情况）二、填空题1.设矩阵A=(1324)，则A的行列式|A|=______。

答案：-2（根据行列式的定义和计算方法，有|A|=1×4-2×3=-2）2.若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B为______。

答案：可交换矩阵（或称为可交换的）3.设n阶方阵A的伴随矩阵为A，则|A|=______。

答案：|A|(n-1)）三、计算题1.设矩阵A=(2113)，求A的逆矩阵A^(-1)。

解答：首先求|A|，有|A|=2×3-1×1=5≠0，所以A可逆。

然后利用逆矩阵的公式A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A*是A的伴随矩阵。

A的伴随矩阵A=(3−1−12)（伴随矩阵的元素是A的每个元素的代数余子式构成的矩阵的转置）。

所以A^(-1)=(1/5)×A=(3/5−1/5−1/52/5)。

2.设矩阵A=147258369，求A的秩R(A)。

解答：对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形。

通过初等行变换，可以得到A的行最简形为1002−303−60。

所以R(A)=2（非零行的个数）。

四、证明题1.证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。

证明：根据可逆矩阵的定义，若矩阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）。

矩阵论练习题

练习一一﹑选择题1、对于()212,x x R ∀∈，下列变换是2R 上的线性变换的是 ( D )．(A) ()()21212,,T x x x x =； (B) ()()21212,,T x x x x =；(C) ()()1212,,0T x x x x =； (D) ()()1212,,T x x x x =-. 2、设()(),A B λλ为两个n 阶λ-矩阵，则 ( D ).(A) 若()A λ满秩，则()A λ必可逆； (B) ()A λ可逆当且仅当()0A λ≠；(C) 若()A λ与()B λ秩相等，则()A λ与()B λ等价；(D) 若()A λ与()B λ等价，则()A λ与()B λ具有相同的不变因子. 3、设()n n ij A a C ⨯=∈，则下列不能构成矩阵范数的是( A )．(A) ,max ij i ja ； (B) ,max ij i jn a ⋅； (C) 1max nij ij a =∑； (D) 1max nij j i a =∑.4、设n n A C ⨯∈，H A 为A 的共轭转置矩阵，()A ρ为A 的谱半径，A 为A 的范数，则下列说法不正确的是( C )．(A)()[]()kk A A ρρ=； (B) ()()H H A A AA ρρ=；(C) 若()1A ρ<，必有E A -可逆； (D) 若A 为收敛矩阵，必有()1A ρ<. 5、设V 为酉空间，C λ∈，,V αβ∈且(),αβ为α与β的內积，则下列说法不正确的是( B )．(A) ()(),,λαβλαβ=； (B) ()(),,αλβλαβ=； (C) ()()(),,,αβγαβαγ+=+； (D) ()()(),,,βγαβαγα+=+.二﹑填空题1、已知100231120012233002A -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则A 的LDU 分解为 .2、设sin ()2cost t t te A t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0()x A t dt ⎰=21cos 1sin x x x xe e xx ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.3、设矩阵2242t tt At tt t e te te e te e te ⎡⎤-=⎢⎥-+⎣⎦ ，则矩阵A =1143-⎛⎫⎪-⎝⎭.4、矩阵100110111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 相对于矩阵范数∞ 的条件数为 6 .5、设11122122⎛⎫=⎪⎝⎭x x X x x ，(),A a b =，则()d AX dX =0000a a b b ⎛⎫⎪⎝⎭. 6、已知101112003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则543258884A A A A A E -+-+- =001102002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.7、已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321A ，则A 的正奇异值的个数为 2 .三、计算题已知 1(1,3,2,1)T α=-，2(1,0,0,2)T α=，1(0,1,1,3)T β=，2(3,2,1,6)T β=--，且112{,}V span αα=，212{,}V span ββ=，求12V V +与12V V 的基和维数. 解：因为1212{,}V V span αα+=+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ而12121103100130120102(,,,)2011001112360000ααββ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换由于121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ且21212βααβ=--. 由行最简形知12dim()2,dim()2,V V ==又121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+- 故12dim()1V V =311100222110201236001212A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由21212βααβ=--得()12121223,3,2,3TV V ξααββ=-=+=--∈所以()3,3,2,3T--为12V V 的一组基。

矩阵论习题答案（方保镕编著）习题2.3

习题 2.31. 证：因为B B A A H H ==,，又AB A B AB AB H H H =⇔=)(即BA=AB .2. 证：设A 为任一复方阵，令C B A += ①其中B 为Hermite 矩阵，C 为反Hermite 矩阵，于是，可得C B C B A H H H -=+=由①与②联立得2,2HH A A C A A B -=+=.3. 证：设n V 的标准正交基为n εεε,,,21 ，在该基下的矩阵为nxn ij a A )(=，则有,)(2211n ni i i i a a a εεεε+++=,)(2211n nj j j j a a a εεεε+++=((i ε),j ε)=ji a , ((j ε),i ε)=ij a必要性.若是反对称变换，即((i ε),j ε)=－( i ε,(j ε))，则ij ji a a -=，也就是A A T -=.充分性.设A A T -=，对任n V ∈βα,，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x 11),,(εεα，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x A 11),,()(εεα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n y y 11),,(εεβ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n y y A 11),,()(εεβ 由于在标准正交基下，两向量的内积就等于它们的坐标向量的内积，故有((α),β)-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n T n y y A x x y y A x x 1111),,(),,( (α,(β))即是反对称变换.4. 证：（1）因为T A A =，所以()()111---==A A A T T，即1-A 也为对称阵.又因为()n T T Tn A A A A == ，即n A 也是对称阵.（2）因T A A -=，故()()TT A A A 111----=-=，所以1-A 是反对称的.当n 为奇数时，如果A 是反对称阵，则()A A A A n T -=-=-=1，所以0=A ，故不存在奇数阶可逆反对称方阵.5. 证：（1）因为A A T =，设AP P B T =，所以有()B P A P APP B T T TT T ===则B 为对称阵.（2）由于A 与B 相合，知存在满秩矩阵P ，使AP P B T =，又因P 和T P 都是满秩的，于是()rankA AP P rank T =，即rankA rankB =.6. 证：因为X AX λ=，T T T X A X ⋅=λ，T T X A X ⋅-=λ，X X AX X T T ⋅-=λ，X X X X T T ⋅-=λλ，由于θ≠X ，所以0≠X X T ，故λλ-=，即λ为0或为纯虚数.7. 证：设X AX λ=，则X X A 22λ=，因为A A =2，且θ≠X ，所以02=-λλ，即0=λ或1=λ.再由A 为实对称知，存在正交矩阵Q ，使()0,,0,1,,11 diag AQ Q =-.8. 证：设n V 的标准正交基为n εε,,1 ，又在该基下的矩阵为A ，则A A H =，从而A 是正规矩阵，故存在酉矩阵P ，使A AP P H =（对角阵）.再构造n V 的另一组基n e e ,,1 ，使满足P e e e n n ),,,(),,,(2121εεε =则有=),,,(21n e e e(P n ),,,21εεεΛ===-),,,(),,,(),,,(2112121n n n e e e AP P e e e AP εεε即在基n e e e ,,,21 下的矩阵为对角阵Λ.9. 证：（1）因为A 半正定，所以存在正交矩阵P ，使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n AP P λλ 11，且0≥i λ，故有 P I A P P I A P I A )(11+=+=+--=111det 1≥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλ 且显见等号成立的充要条件为),,2,1(0n i i ==λ，即0=A .（2）由线性代数知，存在非奇异矩阵M ，对角矩阵D ，使DM M A IM M M M B T T T ===,同时成立.再由第（1）小题知T T M M D I M B A ≥+=+BM M M T ==当B B A =+时的充要条件为 001=⇔=⇔=+A D D I .10. 证：设A ，B 是二个n 阶实对称矩阵，且两者相似.当A 为正定矩阵时，A 的特征值全为正实数，但相似矩阵有相同的特征值，故B 的特征值也全为正实数，从而B 为正定矩阵.11. 证：（1）因为A ，B 正定，所以对任非零n 维向量X ，有0,0>>BX X AX X T T ，因此0)(>+=+BX X AX X X B A X T T T由定义知A+B 为正定矩阵.（2）设,AM M B T =则因M 非奇异及A 为对称矩阵，有IP P A BM M T T ==--11)(，其中P 非奇异矩阵.又),()()(11PM I PM IPM P M BM M M T T T T T ==-- 即 ),()(PM I PM B T =这里)(PM 为非奇异矩阵，所以AM M T 是正定的.又由IP P A T =，P 非奇异，可知T T T P I P P I P IP P A )()()(111111------===令T P C )(1-=，则1-=P C T ，C 亦为非奇异矩阵，所以IC C A T =-1即1-A 可分解成C C T ，由充要条件知1-A 正定.12. 证： B 实对称显然.对任n 元列向量X 均有Y AX AX AX AX A X BX X T T T T ===令),()(，则有0≥=Y Y BX X T T所以B 半正定；而当A 的列向量组线性无关时，当0,0≠≠Y X 则，此时，0>=Y Y BX X T T ，即B 正定.13. 证：（1）必要性.设A 半正定，则对任正数m ，A mI +是正定的，因此A mI +的主子式全大于零.如果A 有一个K 阶主子式0<M ，那么在A mI +中取相应的主子式N ，则有M m C m C m N k k k ++++=--111因0<M ，故可找到0>m ，使0<N ，这与A mI +是正定的相矛盾，所以A 的主子式必须全大于等于零.充分性.设A 的主子式全大于等于零，那么对任意的正数m ，A mI +一定是正定的，这是因为A mI +的主子式可表成M m C m C m M mI k k k k ++++=+--111其中M 是A 的一个主子式，因而)1,,2,1(-=k i C i 是M 的i 阶主子式之和，也就是A 的一些i 阶主子式之和，所以)1,,2,1(0-=≥k i C i ，以及0>+M mI k .如果A 不是半正定的，那么有一个非零实向量X ，使0<AX X T ，即XX AX X m T T <<0，就有P X A mI X T <+)(，这与A mI +的正定性矛盾，所以A 必须是半正定的.（2）因为A 是负定的，即对非零列向量X ，有0<AX X T ，所以必要且只要0)(>-X A X T ，即-A 是正定矩阵，记A 的K 阶主子式为)(k A ，则相应的-A 的K 阶主子式)()1(k k A -，由0)1()(>-k k A 知当k 为偶数时，0)(>k A ；当k 为奇数时，0)(<k A .14. 证：因为A 实对称，故有正交阵Q ，使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n AQ Q λλ 11，从而1-Λ=Q Q A .由于m 为奇数，特征值i λ均为实数，故令11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Q Q B m n m λλ ，则有 A Q Q B n m=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11λλ . 当A 为半正定时，由于),,2,1(0n i i =≥λ，故m 为正整数时，可取m iλ为算术根，于是由上知，对任正整数m ，均有实方阵B ，使A B m =.15. 证：存在正交阵Q ，使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n AQ Q λλ 11，其中),,1(0n i i =>λ.取11,0-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=>Q Q B m n m m i λλλ 令，则虽然B 是正定的，且有A Q Q B m =Λ=-1.下面再证惟一性.又设m m C B A ==，B 与C 都是实正定的，A 与B 都相似于对角矩阵，因此它们都有n 个线性无关的特征向量.任取B 的一个特征向量X 和Z 相应的特征值u ，即αααθαααm m u B A u B ==≠=则,,，亦即α也是A的特征向量，m u 为相应的特征值，因此B 的n 个线性无关的向量都是A 的线性无关的向量. 从而，B 与A 的特征向量完全一致.同理，C 与A 的特征向量也完全一致，从而C 与B 的特征向量完全一致.并且，设ναα=C ，则有αααααm m m m u B A C v ====，但m m u v =≠所以,θα，但u v 与都是正实数，所以u v =.这样，B 与C 有完全一致的特征向量和相应的特征值，因此B 与C 可用同样的矩阵P ，使CP P BP P 11--与是同样的对角矩阵，即CP P BP P 11--=从而B=C ，惟一性得证.16. 证：因为A 非奇异，所以AA T 是正定的，则由上题可知，存在正定矩阵B 1，使令,21B AA T =111Q A B =-，211Q AB =-，则有11Q B A =，12B Q A =，且I B B B B AA B A B A B Q Q T T T T ====------1121111111111111)())((，所以Q 1是正交阵.同样可证Q 2为正交阵.下证惟一性.设11111,C P C Q B A ==为正定阵，P 1为正交阵，则T T P C P C Q B Q B ))(())((11111111=，即有2121C B =，由上题知11C B =,从而又得111111P A C A B Q ===--.17. 证：由于B 正定，它与单位矩阵合同，故存在可逆阵C ，使I BC C T =.又由于A 实对称，故AC C T 仍为实对称，从而存在正交阵Q ，使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=n TT Q AC C Q λλ 1)(.令CQ P =，则 I IQ Q Q BC C Q CQ B CQ BP P T T T T T ====)()()(Λ===ACQ C Q CQ A CQ AP P T T T T )()(即存在实可逆矩阵P ，使AP P T 与BP P T 同时为对角阵.18. 证：由上题知，存在非奇异矩阵P ，使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T AP P λλ 1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n Tu u BP P 1这里),,1(0,0n i u i i =>>λ.由此取行列式得n A P λλλ 212⋅=⋅，n u u u B P 212⋅=⋅.另一方面有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=+=+n n T T T u u BP P AP P P B A P λλ 10)(也取行列式得)())((22112n n u u u B A P +++=+⋅λλλ ，显然有)())((22112121n n n n u u u u u u +++≤+λλλλλλ ，所以BA PB A P +≤+22)(，但02>P ，于是BA B A +≤+ .19. 解：（1）A 的特征值2,1,1221-=-==λλλ，相应的特征向量为()()()T T T i i i i ,1,,1,0,1,,2,321-=-==ααα，将它们单位化得321,,εεε，即可得P =（321,,εεε）.（2）A 的特征值2,2,0221-===λλλ，相应的特征向量()()()TTTi i i 1,,2,1,,2,1,,0321--=-==ααα，将它们单位化得TTTi i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,2,21,21,2,21,21,2,0321εεε，故酉矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=21212122221210i i i P 显然，这两个矩阵都为正规矩阵.20. 证：必要性.设A 与B 都是正规矩阵，如A 与B 酉相似 , 即存在酉矩阵Q ，使得Q-1A Q =B ，因而()A I Q A I Q AQ Q I B I -=-=-=---λλλλ11.充分性.若A 与B 有相同的特征多项式，则存在酉矩阵Q 1及Q 2，使得212111BQ Q AQ Q n --=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλ 因此有()()BP P Q Q B Q Q Q BQ Q Q A 11121112112121------===，易知112-=Q Q P 是酉矩阵.21. 证：分四步来证：（1）由AB=BA ，推知A ，B 至少有一个公共的特征向量.事实上，设λR 是A 属于特征值λ的特征子空间.若λαR ∈，即λαα=A ，则αλαB BA =，由BA=AB ，于是有()()αλαB B A =，即λαR B ∈，从而λR 是B的不变子空间，故在λR 中存在B 的特征向量β，显然它也是A 的特征向量.（2）由BA=AB ，推知A ，B 可同时酉相似于上三角阵.即有酉阵Q ，使QHA Q 及Q HB Q 均为上三角阵.事实上，当A ，B 的阶数n =1时，结论显然成立.今设单位向量()1α是A ，B 公共特征向量，再适当补充n-1个单位向量()()n αα,,2 ，使{()()n αα,,1 }为标准正交基，从而P =（()()n αα,,1 ）为酉矩阵，且有()()()()()n BP B βαβαβαα 111,==从而有*10B B b BP P H=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=β，这里b 是()11-⨯n 矩阵，B 1是n-1阶矩阵.而*01A A a rAP P H =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=，这里a 是()11-⨯n 矩阵，A 1是n-1阶矩阵.由BA=AB 有)()()()(H H H H P PB P PA P PA P PB ****⋅=⋅，于是得****=B A A B .由此可推得1111B A A B =.故由归纳法假设，存在1-n 阶酉矩阵1P ，使得PT Q P T P B P H =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆=,001),(1111令上三角，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0101)(111bP P o o B O b P O T BP P T BQ Q H HHHββ，这是上三角阵.易证Q 是酉矩阵.同理，AQ Q H 也是上三角阵.11 （3）由BA=AB 且A 与B 为正规矩阵，可推得A ，B 可同时酉相似于对角矩阵.事实上，设T AQ Q H =（上三角），则H H H T Q A Q =，而且H H H H H H Q TT Q Q QT QTQ AA )(=⋅=.H H H H H H Q TT Q Q QT Q QT A A )(=⋅=H H H H H H Q T T Q QTQ Q QT A A )(=⋅=由A A AA H H =（正规），可得T T TT H H =，从而知T 为对角矩阵.同理，对BQ Q H 可作同样证明.（4）由BA=AB 且A ，B 正规，可推知AB 也为正规矩阵.事实上，由（3）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H AQ Q λλ 1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H u u BQ Q 1于是有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n H u u ABQ Q λλ 11（对角阵），由定理知AB 为正规矩阵.。

矩阵论复习题综合

1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为k x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)( j i j T -=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x , (II):321,,y y y , 由基(I)到基(II)的过度矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101010101C , 3R 上的线性变换T 满足21321)32(y y x x x T +=++ 12323(24)T x x x y y ++=+31321)43(y y x x x T +=++ 1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.9.在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵.10.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=⋂, 求线性空间V 的维数和基. 11.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为⎰=1)()())(),((dx x g x f x g x f若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.12.（1）设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θcos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ⋅-+=-12.（2）求矩阵10002i A i +⎛⎫= ⎪⎝⎭的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和. (提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。

矩阵论期末试题及答案

矩阵论期末试题及答案1. 选择题题目1：矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）线性无关的最大个数，下面关于矩阵秩的说法中，错误的是：A. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个行（列）线性无关。

B. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个坐标线性无关。

C. 设A，B为n×m矩阵，若A的秩为r，B的秩为s，则AB的秩至少为max{r,s}。

D. 同一矩阵的行秩与列秩相等。

题目2：对于阶梯形矩阵，以下说法正确的是：A. 阶梯形矩阵的行秩与列秩相等。

B. 阶梯形矩阵的行秩等于主元的个数。

C. 阶梯形矩阵的列秩等于主元的个数。

D. 阶梯形矩阵的行秩与列秩之和等于矩阵的阶数。

题目3：设A为n阶矩阵，下列说法正确的是：A. 若A为可逆矩阵，则A的行秩和列秩都为n。

B. 若A的行秩和列秩都为n，则A为可逆矩阵。

C. 若对于非零向量 x，都有Ax=0，则称矩阵A为零矩阵。

D. 若A为可逆矩阵，则方程Ax=b存在唯一解。

题目4：对于实对称矩阵A，以下说法正确的是：A. A一定有n个线性无关的特征向量。

B. A的所有特征值都是实数。

C. 若A的特征向量构成的特征子空间的维数为n，则称A为满秩矩阵。

D. A一定可以对角化。

2. 计算题题目1：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的转置矩阵。

解答：转置矩阵的行与列互换，故矩阵A的转置矩阵为：A^T = [1, 3; 2, 4]题目2：已知矩阵B = [2, 1; -1, 3]，求矩阵B的逆矩阵。

解答：逆矩阵满足BB^(-1) = I，其中I为单位矩阵。

对于矩阵B，可以使用伴随矩阵法求解：B^(-1) = (1/(ad-bc)) * [d, -b; -c, a]其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素：B^(-1) = (1/(2*3-(-1)*1)) * [3, -1; 1, 2] = [3/7, -1/7; 1/7, 2/7]题目3：已知矩阵C = [1, 2, 3; 4, 5, 6]，求矩阵C的行列式的值。

矩阵论习题一

矩阵论习题一习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间（1）11{()|0}nij n n iii V A a a====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n nT V A A RA A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα?∈∈=；（4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。

2.求线性空间{|}n nT V A R A A ?=∈=的维数和一组基。

3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。

4.设111213315A ??= ? ???，讨论向量(2,3,4)T α=是否在R (A )中。

5.讨论线性空间P 4[x ]中向量3211P x x x =+++，32223Px x x =-+，323452P x x x =+++的线性相关性。

6.设m nA R ?∈，证明dim R (A )+dim N (A )=n 。

7.设113021211152A -?? ?=-- ? ?--??，求矩阵A 的列空间R (A )和零空间N (A )。

8.在22R中，已知两组基11000E ??= ，20100E ??= ，30010E ??= ，40001E ?? =10111G ??= ?，21011G ??= ，31101G ??= ，41110G ??=求基{E i }到基{G i }的过渡矩阵，并求矩阵0123??-??在基{G i }下的坐标X 。

9.判别下列集合是否构成子空间。

（1）2221{(,,)|1,,,}W x y z x y z x y z R α==++≤∈；（2）22{|,}n nW A A I A R==∈；（3）3R 中，231231230{(,,)|(}0}tW x x x x x x d ατττ==++=?；（4）411{()|0}m nij m n iji j W A a a=====∑∑。

矩阵论考试题

1 − 1 1 1 T ( A3 ) = B3 = ，T ( A4 ) = B4 = 1 − 1 1 1
1. 求T 在基 A1 , A2 , A3 , A4 下的矩阵； 2. 判断 T 能否在 R 2×2 的某个基下的矩阵为对角矩阵；（要求写出判断依据）
5
3. 求 N (T ) 的一个基. 八、(8 分) 设矩阵 A∈ C m×n ，列向量 b∈ C m ，列向量
3
验证 x 是 C n 中的向量范数．
三、 (15
− 2 分 ) 已知 A= 1 − 2
1 −2 2
1 −1 , 1
0 2 b(t ) = e −t 1 , x (0) = 1 . − 2 1
At 1. 求 e ；
x2 x4
x1 − x 4 = 0 , x 2 − x3 = 0
( A, B ) =
R 2×2 中的内积为
∑∑ a
i =1 j =1
2
2
ij
bij ,
a11 A= a 21
a12 b11 b12 ,B= , a 22 b21 b22
x ∈ C n ， A + 表示 A 的 Moore-Penrose 逆，证明：线性
+ H H 方程组 A x = AA b 与 A A x = A b 同解．
6
矩阵论
(M2006B)
一、(18 分) 填空：设 A = 9
0 1 1 1 ， B ． = 0 1 1 ．
V 中的线性变换为 T ( X ) = XP + X T , 任意 0 1 X ∈V , P = ． 1 0

矩阵论答案习题 1.2

习题 1.21. 解：因为对2的任一向量(21,x x)，按对应规则都有2中惟一确定的向量与之对应，所以是2的一个变换.(1) 关于x 轴的对称变换； (2) 关于y 轴的对称变换； (3) 关于原点的对称变换； (4) 到x 轴的投影变换； (5) 到y 轴的投影变换.2. 解： (1) 不是.因为(2211ααk k +)＝2211ααk k ++β≠k1(1α)+k2)()()(22112βαβαα+++=k k=2211ααk k ++)(21k k +β(2) 不是.因为(2211ααk k +)＝β≠k1(1α)+k2βα)()(212k k +=(3) 不是.因为取 x =(1 , 0 , 0 ) ,1≠k 时,(k x )=(k 2,0, 0)≠k( x )= k (1, 0, 0)=(k , 0, 0) (4) 是.因为设x =(321,,x x x ) ,y =(321,,y y y)(k 1x +k 2y )=112(x k),,2(),,1322121322y y y y y k x x x x +-++-=k1(x )+k 2( y )(5) 是.因为()()(2211x f k x f k+)=)1()1(2211+++x f k x f k=k1(f 1(x ))+k2))((2x f(6) 是.因为()()(2211x f k x f k+)=)()(022011x f k x f k+= k1(f 1(x ))+k2))((2x f(7) 不是.因为设x =(321,,x x x) ,y =(321,,y y y)(k 1x +k 2y )= ()0),sin(),cos(22211211y k x k y k x k ++≠k 1(x )+k2( y )=)0,sin ,(cos )0,sin ,(cos 212211y y k x x k+ =()0,sin sin ,cos cos 22211211y k x k y k x k++.3. 解：1(α+β)=1[()]()11222221,,y x y x y x y x--+=++()()=-+-=1212,,y y x x 1(α)+1(β)1(k α)=1(k (x 1, x 2))()()kx x k kx kx=-=-=1212,,1(α)所以1是线性变换.同理可证2也是线性变换.(1+2)(α)= (1+2)[(x 1, x 2)]=1[(x 1, x 2)]+2[(x 1, x 2)]),(),(),(21212112x x x x x x x x --+=-+-=12(α)=1［2(α)］=1[( x 1, -x 2)]=(- x 2, -x 1)21(α)=2［1(α)］=2[( x 2, -x 1)]=( x 2, x 1) .4. 证：（1）因()()()C B A B A C B A +-+=+()()=-+-=BCCBACCA (A )+(B )()()()()=-=-=ACCA k C kA kA C kA k(A )故是线性变换.（2）(A )B +A (B )()()BC CB A B AC CA -+-==-=ABC CAB (AB )5. 解：令 ()3,,R c b a c c b a a ∈↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ 即可.6. 证：设()[]nx p x f ∈，则(12-21)(f(x))=1［2(f(x))］－2［1(f(x))］=1［xf(x)］－2［f(x)］()()()()x f x f x x f x x f ='-'+=故12－21是恒等变换.7. 证：设2V∈α，则2211e k e k +=α，由于2(e 1)+ 2(e 2)=2(e 1+e 2)=e '1+e '22(e 1)－2(e 2)=2(e 1－e 2)=e '1－e '2所以，2(e 1)=e '1,2(e 2)= e '2于是1(α)=k11(e 1)+k21(e 2)2211e k e k'+'== k12(e 1)+k22(e 2)=2(α)故1=2.8. 解：(1) 因为j i ,在xoy 平面上，其投影不变，故有(i )=i ,(j)=j ,又k 垂直xoy 平面，则0)(=k , 得((i ),(j ),(k ))=(i ，j ，k ) 0010001所求矩阵为A =010001.(2) 因为,001)(γβαα++==i,010)(γβαβ++==j ,,011)(γβαγ++=+=j i所以, 所求矩阵为 A =110101 .(3) 由的定义知,(i )=((1 ,0 ,0 ))= ( 2 ,0 ,1)(j )= ((0 ,1, 0 ))= ( -1, 1 , 0)(k )=((0 ,0 ,1))= ( 0 ,1 , 0)有 ((i ),(j ),(k ))=(),,k j i1110012-所求矩阵为 A =1110012- .(4) 据题设：)())(('t f t f = 则)(1x =(bt eatcos )'=btbebt aeatatsin cos -=21bx ax-)(2x =(bteatsin )'=12bx ax +)(3x =( btteatcos )'=431bx ax x-+ )(4x =(btte atsin )'=342bx ax x++ )(5x =(bte t atcos 212)'=653bx ax x-+)(6x = (btt sin 212)'=564bx ax x++于是 ()(1x ,)(2x ,)(3x ,)(4x ,)(5x ,)(6x )()Dx x x x x x 654321,,,,,= ,所求矩阵为D =abb a a bbaa bba ---000010000100001000019. 解：(1) (123,,e e e)=(321,,e e e )1010100=(321,,e e e)C所求矩阵为 B=C 1-AC =111213212223313233a a a a a a a a a(2) (321,,e ke e)=(321,,e e e )100001k =(321,,e e e)C所求矩阵为B=C1-AC =333231232221131211akaakaakaakaa(3)(3221,,eeee+)=(321,,eee)1111=(321,,eee)C 所求矩阵为B=C1-AC=33323231132312221211222113121211aaaaaaaaaaaaaaaa+----++10. 解：由定义知()()31121,0,2εεε+==212)0,1,1()(εεε+-=-=()()23,1,0εε==所以，所求矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11112.11. 解：因为()()21121,2εεε'+'==()()1231,3εε'==()()2131,1εεε'+'-=-=所以，所求矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11132.12. 解： (1η,2η,3η)=(321,,εεε)111101011--(321,,εεε)=(1η,2η,3η)111101011--1-= (1η,2η,3η) CB=C 1-AC =111101011--21011101-111101011-- 1-= 12121211---- .13. 解：(1) (1η,2η,3η) = (321,,e e e) C ,过渡矩阵为C=(321,,e e e)1-(1η,2η,3η)=11110121 1-111122221---- =252112323123232---(2) ()(1e ,)(2e ,)(3e )=(1η,2η,3η) = (321,,e e e) C故在基{}ie 下的矩阵就是 C . (3) (()1η,(2η),(3η) ) = (1η,2η,3η) = (321,,e e e) C=()(1e ,)(2e ,)(3e ) C = (1η,2η,3η) C故在基{}iη下的矩阵仍为C . 14. 解：（1）由于()21111110cE aE c aE +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=()22121210cE aE c a E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=()211121100dE bE db E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=()2212221dE bE d b E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=故1在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=d cd c b a b a A 00000001类似地，可得2在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=d bc ad bc a A 00000002.由于3=12，所以3在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==2222213d bdcdbccd ad cac bd bad abbc ab ac a A A A同理，可得4在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a ca cb a b aA 0200022000204（2）由于由简单基E 11，E 12，E 21，E 22改变为给定基E 1，E 2，E 3，E 4的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=001110011000001C于是，4在给定基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-a bca b c cc a b b a C A C B 002202204115. 解：（1）将题给关系式写成矩阵形式为(()1e ,(2e ),(3e ) )()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11011101,,423312121321εεε即()()()B e e e 3211321321,42331212111011101,,,,εεεεεε=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-由于()()C e e e 321321,,,,=εεε，所以有(=),,321εεε()()BCC e e e 321321,,,,εεε=故在基（II ）下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==256355123BC A（2）因为(=)1ε()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001,,001,,321321A εεεεεε()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=953,,001,,321321e e e CA e e e所以()1ε在基（I ）下的坐标为（3，5，9）.16. 解：（1）取[]2x p 的简单基1，x ，x 2，则有()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==101110102,,1,,1,,22321xx Axx f f f从简单基改变到基f 1，f 2，f 3和g 1，g 2，g 3的过渡阵分别为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5222101011C ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=211010112C故有(g 1, g 2, g 3)=(1, x, x 2)C =()211321,,C C f f f -()()21101232121102,,,,1C C A C g g g C C Axx ---==即在基（II ）下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==--11211221211012C C A C A（2）因为()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-321,,321,,1123212C g g g xx x f()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=032,,321g g g所以(f(x))=()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-032,,032,,321321A g g g g g g()23211354,,x x g g g +--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= .17. 证：设在给定基下的矩阵为()ija A =，并设C 为从旧基到新基的过渡矩阵，由于在任一组基下的矩阵相同，则有ACCA 1-=，即AC=CA ，根据“A 与一切满秩矩阵可变换”性质，即可定出A 必为数量矩阵()常数k kI A ,=.18. 解：由基321,,ηηη到基321,,εεε的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3103161213121211C故{}i ε在基下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-46846453106111C B C B .那么，+，，， (+ )在基{}iε下的矩阵分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+2644241011151061B A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=60127212212661AB ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=123414026215291361BA ，()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+3612078611442549675181B A B .19. 证：设有可逆方阵P 与Q ，使 B=P 1-AP , D=Q 1-CQ 则DB OO =CQQAPP11--O O=11--OO QPCA OOQP O=QP OO 1-CA OOQP OO即 CA OO 与 DB OO 相似.20. 证：设1r rankA=，2r rankB =，则A ，B 的行向量的极大无关组中分别含有21,r r 个行向量，设分别为11,,r αα 和21,,r ββ ，则A 的每个行向量均可由11,,r αα线性表示，B的每个行向量均可由21,,r ββ线性表示.又可A+B 的每个行向量是A 与B 的相应行向量的和，故A+B 的每个行向量均可由11,,r αα，21,,r ββ 线性表示.因此A+B 的行向量组的极大无关组中所含向量的个数不超过21r r+，即()rankBrankA B A rank+≤+.21. 证：设()n B r rankAβββ,,,,21 ==，则()()0,,,,,,2121===n n A A A A AB ββββββ ，所以θβ=1A ，θβ=2A ，…，θβ=n A .这就说明B 的列向量nβββ,,,21 都是以A 为系数矩阵的齐次方程组的解.由于rr a n k A =，所以解空间的维数为r n -，从而知nββ,,1的极大无关组所含向量的个数rn -≤，即rn rankB-≤，因此有nr n r rankB rankA =-+≤+ .22. 证：设A ，B 为同一数域上的n m ⨯与g n ⨯阶矩阵，显然，方程组BX=θ的解向量X 也满足方程组()θ=XAB ，记{}θ==BX X U ， (){}θ==XAB XV则VU⊂，于是dinV AB rank n rankB n U =-≤-=)(dim即()rankBAB rank ≤.又由于()()()TT TAB rank AB rankAB rank ==rankArankAT=≤因此 (){}r a n k B r a n k AAB rank,min ≤.23. 证：由上题知，()rankAA A rank T≤，现在只需证明()rankAA A rank T≥即可.考虑线性方程组θ=AX A T，设()T nx x x X,,,21 =是方程组的一组解，将θ=AX A T两边左乘X T ，得θ=AX A XTT，即()θ=AX AX T，所以θ=AX，即{}{}00=⊂=AX X AX A XT.于是()rankAn A Arankn T-≤-即有()rankAA Arank T≤，故有()rankAA Arank T= ，并且有()()rankArankA A A rankA ArankTTTT T===即有()()TTAA rankA ArankrankA==.注：对复矩阵A ，上式不一定成立.例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11ii A ,1=rankA .由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00001111i i i i A AT故()=A Arank T.此时，相应的关系式应为()()A A rankAA rankrankA **== .24. 证：必要性.由上题已证得，充分性只要在AX=θ两边左乘A T 即可.25. 证：（1）因为nrankA=，故nm≥，不妨设A 的前n 行线性无关，且构成的n 阶满秩方阵为A 1，后n m -行构成的矩阵为A 2，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A B A B A A AB 2121所以()()rankBB A rankAB rank =≥1，但()r a n k B AB rank ≤，故()r a n k BAB rank =.（2）同理可证. 26. 解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=0011B ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0020B ；（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B .27. 证：因为()()()n m rankBrankA AB rankrankC,min ,min ≤≤=，但n m >，故m 阶方阵C 的秩mn <≤，所以C 是降秩的.28. 解：先求矩阵A 的特征值和特征向量为 121==λλ，()T20,6,31-=α23-=λ,()T1,0,02=α故的特征值和特征向量为121==λλ，()3212063e e ek +-，0≠k23-=λ，3ke ， 0≠k .29. 解：（1）121==λλ，()T1,0,11=α，()T0,1,02=α，13-=λ，()T1,0,13-=α.(2)1=λ,()T2,1,31-=α，i143,2±=λ，().10,1432,1463,2Ti i -±-±=α（3）121==λλ，()T20,6,31-=α，23-=λ，()T1,0,02=α；（4）2321===λλλ，()T0,0,1,11=α，()T0,1,0,12=α，()T1,0,0,13=α，24-=λ，()T1,1,1,14---=α.以上分别求出了在不同基下所对应矩阵A 的特征值和特征向量，则类似于上题的方法，可求出不同基下所对应的特征值和特征向量.30. 解：（1），（2），（4）为非亏损矩阵（单纯矩阵），其变换矩阵P 分别为（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010101；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+---+101021432143211461463i ii i;（4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11101010011111.31. 证：设在给定基下的矩阵为A ，则()n i A i ni i ,,2,100det 1=≠⇔≠=∏=λλ32. 证：设rrankA =，则存在满秩矩阵P 与Q ，使得()0,r I diagPAQ =，故有()C I diagBPPAQQPABPr 0,111==---其中()ijC BQQC==--11，这说明AB 与diag （0,rI）相似.另一方面，有()0,111r I C d i a g P A Q BPQBAQ Q==---，说明BA 与()0,r I Cdiag相似.不难验证有()()()()0,det 0,det r r I CdigI C I diagI -=-λλ故AB 与BA 有相同的特征多项式，因此有相同的特征值和迹.33. 证：设A 的任一特征值为λ，λ的对应于λ的特征子空间记为λV .对λV 中任意向量Z 有BZZ B BAZ ABZ λλ===故λV BZ ∈，因此λV 为线性变换()BZZ =的不变子空间，即()BZZ =为λV 中的线性变换，此线性变换的特征向量即为B 的特征向量，但它又属于λV ，由λV 的定义知它又是A 的特征向量，即A 与B 有公共的特征向量.34. 证：设A 的特征值为iλ，则A 2的特征值为2iλ，由12=iλ有1±=i λ，若所有1=i λ，则A+I 为满秩矩阵，故由（A+I ）（A-I ）=A 2-I 2=0，有A=I .35. 证：不失一般性，设B 非奇异，有AB=B -1（BA ）B 即AB 与BA 相似，所以它们有相同的特征多项式.36. 证：设A 为n 阶方阵，具其秩为r ，由于A 2=A ，知A 的列向量都是A 的对应于特征值1的特征向量.因γ=rankA ，故特征值1的几何重复度为r ，其代数重复度至少为r .又θ=AX的基础解系中的向量个数为r n -，即A 的特征值0的几何重复度为r n -，其代数重复度不小于r n -.由于一个n 阶矩阵的特征值的代数重复度之和恰为n ，故特征值1和0的代数重复度分别为r 和r n -.可见A 除了1和0外无其它特征值，而1和0的几何重复度之和为n ，故A 为非亏损矩阵，所以A 相似()0,rIdiag .37. 证：用反证法.若A 可相似于对角矩阵，对角元素即为A 的特征值，且至少有一个不为0.但是，由于λαα=A ，于是θαλα==kkA，因为θα≠，所以0=kλ，故0=λ，即A 的特征值都等于0，矛盾.38. 证：由XAX λ=，有()Xk kX A λ=，XX A kk λ=，从而有()()Xf X A f λ=，即X 也是()A f 的特征向量.显然()A f 的特征值为()λf ，即为λ的多项式.39. 解：取3中的自然基321,,εεε，计算得(1ε)=(0 , -2 ,-2 ) , (2ε)=(-2 , 3 ,-1 ) , (3ε)=(-2 , -1 ,3 )则在基321,,εεε下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=31213222A而A的特征值为2,4321-===λλλ，与之对应的特征向量为()TX0,2,11-=，()TX2,0,12-=，()TX1,1,23=，则有()2,4,41-=Λ=-diagACC，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=112211C.由()321,,ααα=（321,,εεε）C求得3R的另一组基为()0,2,12211-=+-=εεα，()2,0,12312-=+-=εεα，()1,1,223213=++=εεεα，显然在该基下的矩阵为对角阵Λ.40. 解：（1）因为()21xx+=，()21xx+=，()xx+=12，所以在基1，x，x2下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111A.（2）由于A原特征值为121-==λλ，23=λ，相应的特征向量为()TX01,11-=，()TX1,12-=，()TX11,13=，存在可逆阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111111C，使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-2111AACC，故所求的基321,,eee为()()()2223211,1,1,,1,,xxxxCxxeee+++-+-==.41. 解：（1）对任意的V∈βα,及Rlk∈,，有()()()()()BBlBBkBlklkBlkTTTTTTββααβαβαβα-+-=+-+=+=k ((α))+l ((β))故是线性变换.（2）取V的简单基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,1,11321AAA由于(),111⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)(2A,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)(3A,所以在基321,,AAA下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111111RR的特征值为2,0321===λλλ，对应的线性无关的特征向量为（1，1，0）T，（0，1，1）T，（0，1，-1）T，令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111111C，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ2则有Λ=-RCC1，由（B1，B2，B3）=（A1，A2，A3）C求得V的另一组基为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=111211AAB，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=11322AAB，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=11323AAB，在该基下的矩阵为Λ.42. 证：（1）取n的一组基neee,,,21，设1（neee,,,21）=（n eee,,,21）A2（neee,,,21）=（n eee,,,21）B则有 (12)（n e e e ,,,21）=（n e e e ,,,21）（AB ）(1+2)（ne e e,,,21）=（ne e e,,,21）（A+B ）由12=1+2，可得AB=A+B ，从而有B T A T =A T +B T .若1是1的特征值，则 1也是A 的特征值，从而1也是A T 的特征值，设A T 对应于特征值1的特征向量为β，即()0≠=βββTA，由（B T A T ）β=（A T +B T ）β，可得B T β=β+B T β，即β=0，这与β是A T 的特征向量矛盾，故1不是1的特征值.（2）因1有几个不同的特征值，所以1有n 个线性无关的特征向量.记1的对应于特征值nλλλ,,,21的线性无关的特征向量为X 1，X 2，…，X n ，即1ii iXXλ= （i =1，2，…，n ），则X 1，X 2，…，X n 作为n的基时，1的矩阵A =diag （nλλλ,,,21）.再由AB=A+B 及1≠iλ知 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-1,,1,122111n n d i a g A I A B λλλλλλ 即1与2在该基X 1，X 2，…，X n 下的矩阵都为对角阵.43. 证：对任意0λαV ∈，有1(αλα0)∈.由于1(2(α))=2(1(α))=2(λα)所以2()0λαV ∈, 故0λV 是2的不变子空间.44. 解：(1) ('3'2''1,,,ee e e )=( 4321,,,e e e e )C=(4321,,,e e e e)2111011*********---∴ B=C1-AC =242134040168101042699631-----(2) 先求核θ(1-) . 设η=)(1θ-在基{}iε下的坐标为(4321,,,x x x x)，(θη=)在此基下的坐标为(0,0,0,0)，于是A4321x x x x = 000此时A 的秩为２，解之，得基础解系 )1,0,2,1(,)0,1,23,2(21--=--=ξξ,作 421232112,232e e e e e e +--=+--=ηη. 显然，21,ηη为核θ(1-)的一组基，故核由21,ηη所张成，即 θ(1-)=Span (21,ηη) .再求值域(4) . 由于((e 1),(e 2),(e 3),(e 4)) = (4321,,,e e e e) A而A 的秩为２，所以(e 1),(e 2),(e 3),(e 4)的秩也为２，且(e 1),(e 2)线性无关，故组成(4)的基，从而(4)=Span ((e 1),(e 2)) .(3) 由(2)知21,ηη是核θ(1-)的一组基，易知2121,,,ηηe e为4的一组基，由于有(2121,,,ηηe e)=(4321,,,e e e e )1100223101201---- = (4321,,,e e e e) D所以在此基下的矩阵为B=D 1-AD =220021001290025-(4) (2)知(e 1),(e 2)是值域(4)的一组基，又知(e 1),(e 2),43,e e为4的一组基，有((e1),(e2),43,e e )=(4321,,,e e e e )122012100210001--=(4321,,,e e e e) T所以在此基下的矩阵为B=T 1-A T =00002231291225 .45. 证：取3中的自然基321,,εεε，因为(+ )(1ε)=(1ε)+ (1ε)=（1，0，0）+（0，0，1）=（1，0，1）同理有(+ )(2ε)=（2，0，0），(+ )(3ε) =（1，1，0）这表明+ 将基321,,εεε变换成3中的另一组基1e =（1，0，1），2e =（2，0，0），3e =（1，1，0）（易证它们线性无关）. 又因（+ ）（3）是3的子空间，而321,,e e e是（+ ）（3）的最大无关组，故这个子空间的维数为3，再由习题1.1中第22题的结果知（+ ）（3）=3（此时取V 2=3）.46. 解：因为2［(321,,a a a)］=(［(321,,a a a)］)=()[]21,,0a a =（0，0，1a ）所以2的像子空间为R (2)(){}R a a ∈=,0,核子空间为N (2)(){}R a a a a ∈=2232,,,因此，dimR (2)=1，其一组基为（0，0，1）；dim N (2)=2，其一组基为（0，1，0），（0，0，1）.47. 证：（1）由的定义容易验证满足可加性和齐次性，所以它为线性变换.又因2[(nx x x,,,21)]=[()()2111,,,0,0],,,0--=n n x x x x ，…推知n[()()0,,0,0],,,21==n x x x，即nϑ=（零变换）.（2）若[()()()0,,0,0,,,0],,,1121==-n n x x x x x，则1x =2x =…=1-n x=0即()θ1-为由一切形如（0，0，…，n x ）的向量构成的子空间，它是一维子空间，则（0，…，0，1）是它的基.又由维数关系 dim (V)+dim1-(θ)=n便得 (V) 的维数等于 n-1 .48. 证：（1）必要性.若(V)= (V)，对任V∈α，则∈)(α（V ）=(V) ，故存在V∈β，使=)(α)(β，=)(α2)(β= )(β=)(α ，由α的任意性有 = .同理可证= .充分性.若= ,=, 对任(∈)α(V )V ⊂，=)(α)(α= ()(α)∈ (V ) , 故(V)⊂ (V) ；同理可证 (V)⊂(V).(2)必要性.若()=-θ1)(1θ-，对任V∈β,作-β)(β，因（-β)(β）=)(β-2)(β=)(β-)(β=θ ，所以，-β)(β∈()θ1- =)(1θ- ，则（-β)(β）= θ，故=)(β )(β，由β的任意性有 =. 同理，通过作β- )(β，可得=.充分性.若= , =, 对任 ∈α()θ1-，由=)(α=)(α（)(α）= （θ）=θ ，故()⊂-θ1)(1θ-；同理，由任∈β)(1θ- ，可得 ()⊂-θ1)(1θ-.。

矩阵论B卷及答案上海交通大学

上海交通大学《矩阵论》 B 卷姓名：班级：学号：一、单项选择题(每题3分，共15分)（答案AAAAB ）1. 设1()kk A f A k ∞==∑收敛，则A 可以取为A. 0091⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ B. 0091⎡⎤⎢⎥-⎣⎦C. 1011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D. 100.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：A 的特征值为0，-1，而1kk x k∞=∑的收敛区间为[1,1)-2. 设M 是n 阶实数矩阵，若M 的n 个盖尔圆彼此分离，则M A. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散注：由定理M 有n 个不同特征值，故可以对角化3. 设211112121M --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的，则M 不存在 A. QR 分解 B. 满秩分解 C. 奇异值分解 D. 谱分解注：M 的秩为2故无QR 分解 4. 设，则A = A.214020031-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.114010061-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.224020031-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.204020061-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注：'()At Ate Ae =，故()'A At t A Ae Aee ====5. 设3阶矩阵A 满足多项式222(4)(3)A E A E O --=, 且其最小多项式m (x )满足条件(1)(3)1m m ==,则A 可以相似于A. 200130002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B. 20002002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦C. 20012002M ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ D. 200030013M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦注：B 中矩阵的最小多项式为()22x - 二、填空题(每题3分，共15分) 1．设220A A -=，则cos 2A ＝ [ E+()2cos11A - ]。

2．已知n nA C ⨯∈,并且()1A ρ<,则矩阵幂级数kk kA ∞=∑=［()2AE A - ］。

矩阵论试题(整理)(完整版)实用资料

矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。

3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。

（）4.（），其中。

5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。

6.AB的全体特征值是（）。

7.（）。

8.B的两个不同秩的{1}-逆为。

二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

三.(15分已知。

1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。

四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。

五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。

（要求画图表示）六.(15分已知。

1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。

（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。

6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。

矩阵论习题

Am+1B − BAm+1 = ( Am+1B − AmBA) + ( AmBA − BAm+1) = Am ( AB − BA) + ( Am B − BAm ) A =
Amε + mε m−1A = (m +1) A
即 k = m +1时结论成立.故对一切 k > 1 结论成立. 二、提高题：
1、证明:可逆变换是双射.
6) 在 P3 中, A 定义如下:
⎧ Aη = (−5, 0,3)
⎪ ⎨
1
Aη2
=
(0, −1, 6)
⎧η = (−1,0,2)
其中
⎪ ⎨
1
η2
=
(0,1,1)
⎪ ⎩
Aη3
=
(−5,
−1, 9)
⎪⎩η3 = (3,−1,0)
求 A 在基 ε1 =(1,0,0), ε 2 =(0,1,0), ε 3 =(0,0,1)下的矩阵;
证用数学归纳法.
当 k = 2 时, A2B − BA2 = ( A2B − ABA) + ( ABA − BA2 ) = A( AB − BA) + ( AB − BA) A = Aε + ε A = 2 A
结论成立.
假设 k = m 时结论成立,即 AmB − BAm = mAm−1 则当 k = m +1时,有
Aε1 = (x +1) − x = ε0
……
Aε n−1
=
(x
−1)x…[x − (n (n −1)!
−
3)]
−
x(x
−1)…[x − (n (n −1)!

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1、检验下列集合对于指明的数域和指定的运算，是否构成线性空间：1)集合：数域F 上的所有5次多项式；数域：F ；运算：多项式的加法和数乘．2)集合：n 阶实矩阵的全体；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘．3)集合：数域F 上的n 阶对称矩阵的全体；数域：F ；运算：矩阵的加法及数乘．4)集合：全体整数；数域：实数域R ；运算：数的加法及乘法．5)集合：],[b a 上的全体连续函数；数域：实数域R ；运算：函数的加法及数乘．6)集合：数域F 上的齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量；数域：F ；运算：数组向量的加法及数乘．7)集合：},0{R b a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘． 8)集合：},1{R b a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘．解 1) 不是，对加法不封闭，(或对数乘不封闭，F ∉0)；2) 是；3) 是；4) 不是，对数乘运算(即通常数的乘法)不封闭；5) 是；6) 是；7) 是；8) 不是，无零元素．2、设V 是数域F 上的线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基．证明：1) 对于数域F 中任意非零的数k ，向量组n k k k εεε,,,21 是V 的一组基；2) n n εεε,,2,21 是V 的一组基．3) 对于F 中任何一组全不为零的数n k k k ,,,21 ，向量组n n k k k εεε,,,2211 是V 的一组基．证 1) 设存在F 中数n k k k ,,,21 ，使得02211=+++n n k k k k k k εεε ，则由n εεε,,,21 线性无关，有021====k k k k k k n ，因0≠k ，所以021====n k k k ，所以n k k k εεε,,,21 线性无关，又它们共有n 个，所以是V 的一组基．2)因为A n n n ),,,(),,2,(2121εεεεεε =，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A 21，因为0!≠=n A ，所以A 为可逆矩阵，又因n εεε,,,21 为一组基，所以n n εεε,,2,21 也为一组基．3) 显然向量组n εεε,,,21 与n n k k k εεε,,,2211 能相互线性表示，也即这两个向量组等价，又因n εεε,,,21 线性无关，所以n n k k k εεε,,,2211 也线性无关，从而为V 的一组基．3、求出下列线性空间的维数和一组基．1) 数域F 上所有n 阶上三角矩阵的集合V 对于通常的矩阵加法与数乘所成的数域F 上的线性空间．2) 数域F 上所有n 阶对角矩阵的集合V 对于通常的矩阵加法与数乘所成的数域F 上的线性空间．3) 复数域C 上所有3元行向量的集合．},,),,{(321321C a a a a a a V ∈=对于通常的数组向量加法与数乘所成的实数域R 上的线性空间．4) 集合},0{R b a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 对于通常的矩阵加法与数乘所成的实数域R 上的线性空间．解 1) 维数为2)1(+n n ，一组基为n j i n i E ij ≤≤=;,2,1, ．(ij E 为元素ij a 为1，其他元素都为0的n 阶矩阵)．2) 维数为n ，一组基为n i E ii ,,2,1, =．3) 维数为6，一组基为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(,0,0),(0,,0),(0,0,)i i i4) 维数为2，一组基为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110,0001．4、已知线性空间3R 的两组基 1231231001110,1,0;'0,'1,'1,001001εεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求3R 中向量Ta a a ),,(321=α分别在两组基下的坐标．解因为332211εεεαa a a ++=，所以α在基321,,εεε下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321a a a ．又因为123123111(',',')(,,)011001εεεεεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以α在基123',','εεε下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332213211100110111a a a a a a a a ． 5、下述各题中线性空间V 的子集1V 是否构成V 的子空间：(各题中的F 均为数域)． 1)3112312,{(,,)0};V F V a a a a a ==+= 2)32112312,{(,,)};V R V a a a a a ===3)1],[V x R V =是所有常数项为0的实系数多项式的集合；4);][,][315x F V x F V ==5)122,V FV ⨯=是V 中所有2阶可逆矩阵的集合； 6)122,V FV ⨯=是V 中所有右上角元素为0的矩阵的集合； 7)122,V F V ⨯=是V 中所有右上角元素为1的矩阵的集合； 8)1,V R V n=是V 中所有第一个分量大于第二个分量的向量所成的集合．解 1) 是；因为对任意的1321321),,(),,,(V b b b a a a ∈，对任意的F k ∈， 1332211321321),,(),,(),,(V b a b a b a b b b a a a ∈+++=+1321321),,(),,(V ka ka ka a a a k ∈=．2) 不是；对任意的1321321),,(),,,(V b b b a a a ∈，因为),,,(),,(),,(332211321321b a b a b a b b b a a a +++=+且221a a =，221b b =，但22211)(b a b a +≠+，所以和1V ∉．3) 是；4) 是；5) 不是；若22,⨯∈F B A 均可逆，但B A +未必可逆．6) 是；7) 不是；若1V A ∈，对F k ∈≠1，有kA 右上角元素为1≠k ，故1V kA ∉．8) 不是；如1),2,1(V ∈-- ，对R k k ∈<,0，有k k 2-<-，(1,2,)k --= 1(,2,)k k V --∉ ．6、设V 是实系数n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量的集合．证明：1)V 是线性空间n R 的一个子空间(该线性空间称为齐次线性方程组0=Ax 的解空间)；2)0=Ax 的任一基础解系都是V 的一组基．证 1) 记{0},n V x R Ax =∈=则任意的V y x ∈,，有()000A x y Ax Ay +=+=+=，对任意的k R ∈，有0)(==kAx kx A ，所以V kx y x ∈+,，V 是nR 的一个子空间．2) 任取0=Ax 的一组基础解系12,,,r ηηη ，则12,,,r ηηη 线性无关，且0=Ax 的任一个解都能由12,,,r ηηη 线性表示，所以12,,,r ηηη 为V 的一组基，r V =dim ．7、求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-03020421431432x x x x x x x x x的解空间的维数和一组基．解将系数矩阵使用初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000011102101301121011110 ，同解方程组⎩⎨⎧=+-=++002432431x x x x x x 解空间的维数为2=-r n ，令),(43x x 分别为)1,0(),0,1(，得一组基础解系T T )1,0,1,2(,)0,1,1,1(21--=-=ηη，即为解空间的一组基．(答案不唯一)8、求4R 中由向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1215,8120,3011,21024321αααα 生成的子空间的维数和一组基．解因为),,,(4321ααααL 的维数等于向量组4321,,,αααα的秩，4321,,,αααα的一个极大无关组就是),,,(4321ααααL 的一组基．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000000121021011832210112105012，故维数为2，21,αα为一组基(不唯一)． 9、证明：在线性空间V 中，两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价．证设12,,...,s ααα及12,,...,t βββ是线性空间V 的两个向量组，如果12121(,,...,)(,,...,)s t L L V αααβββ==，此时，若视1V 由12,,...,s ααα生成，则12,,...,t βββ作为1V 中的向量必可由12,,...,s ααα线性表示；若视1V 由12,,...,t βββ生成，则12,,...,s ααα又可由12,,...,t βββ线性表示．于是12,,...,s ααα与12,,...,t βββ等价．反之，若12,,...,s ααα与12,,...,t βββ等价，由于12(,,...,)s L ααα中的向量都可由12,,...,s ααα线性表示，而12,,...,s ααα又可由12,,...,t βββ线性表示，于是12(,,...,)s L ααα中的向量都可由12,,...,t βββ线性表示，即1212(,,...,)(,,...,)s t L L αααβββ⊆．同理可证，1212(,,...,)(,,...,)t s L L βββααα⊆，所以1212(,,...,)(,,...,)s t L L αααβββ=．10、证明：如果n 维线性空间V 的两个子空间1V ，2V 的维数之和大于n ，则12V V 中必有非零向量．证由维数公式121212dim()dim()dim()dim()V V V V V V +=++ ，由已知，有12dim()0V V > ，故12V V 中必有非零向量．11、证明：线性空间V 的任一子空间1V 都是数乘变换*k 的不变子空间．证对任意的1V α∈，因1*()k k V αα=∈，有1V 为*k 的不变子空间．12、设线性空间V 的子空间1V ，2V 都是线性变换σ的不变子空间，试证12V V 及12V V +也是σ的不变子空间．证对任意的12V V α∈ ，则1()V σα∈，2()V σα∈，有12()V V σα∈ ；对任意的12V V α∈+，有12ααα=+，12,V V αα∈∈，则11()V σα∈，22()V σα∈，有1212()()()V V σασασα=+∈+．13、设321,,εεε是线性空间V 的一组基，线性变换σ使132231)(,)(,)(εεσεεσεεσ===，求σ的所有特征根及全部特征向量．解 σ在321,,εεε下对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，易求得A 的也即σ的特征根为1,121=-=λλ(2重)，当11-=λ时，解0)(=--X A E ，得一个基础解系1(1,0,1)T ξ=-，所以σ对应特征根11-=λ的全部特征向量为11231113(,,)(),k k εεεξεε=-其中1k 为任意的非零数．当12=λ时，解0)(=-X A E ，得一个基础解系23(0,0,1),(1,0,1),T T ξξ==所以σ对应特征根12=λ的全部特征向量为212323123323313(,,)(,,)()k k k k εεεξεεεξεεε+=++，其中32,k k 是不同时为0的任意数．14、判明下述规则τσ,是否成为各自线性空间V 的变换：1)F 为数域，22⨯=F V ，对于任意的V A ∈，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c a A c b a A )(,0)(τσ； 2)3][x R V =，对于任意的V x a x a a x f ∈++=2210)(，则)()]([),()]([x xf x f x f dx d x f ==τσ； 3)2R V =，对于任意的V ∈α，若T b a ),(=α，则T T ib ia b a ),()(,)1,1()(=++=ατασ．解此题主要看τσ,的像是否属于V ，易知1)2)3)中的σ都是V 的变换，τ都不是．15、设线性空间3F 上的变换τσ,为：对3321),,(F a a a T ∈=α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21332121210)(,)(a a a a a a a a a a ατασ，试求σττσ,+．解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+323212))((a a a a a ατσ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=3213210))((a a a a a a αστ．16、判断下面变换中哪些是线性变换，哪些不是．1) 在3R 上，定义σ：对⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0)(,213321a a R a a a ασα；2) 在3F 上，定义σ：对⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332213321)(,a a a a F a a a ασα； 3) 在4F 上，定义σ：对⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=443322144321)(,a a a a a a a F a a a a ασα； 4) 在线性空间V 上，定义σ：V ∈=ααασ,)(0，其中0α为V 中一个固定的向量．5) 在n n R⨯上，合同变换σ：n n T R A AP P A ⨯∈=,)(σ，其中P 为一个固定的n 阶实可逆矩阵；6) 在][x F 上，定义变换σ：][)(),()]([x F x f x xf x f ∈=σ．解 1)是；2)不是；3)是；4)当00=α时是，当00≠α时不是；5)是；6)是．17、对于线性空间上的线性变换的乘法不具备交换律，但是对某些特定的线性变换τσ,，有τσστ=，此时称τσ,是可换的，今设P 是线性空间n n F ⨯中的一个确定矩阵，定义n n F ⨯的变换τσ,如下：对于n n F ⨯中的任意矩阵A ，AP A PA A ==)(,)(τσ，试证：1)τσ,都是线性变换． 2) τσ,是可换的．证对任意的n n F B A ⨯∈,，任意的F k ∈，因为)()()()(B A PB PA B A P B A σσσ+=+=+=+)()()(A k kPA kA P kA σσ===所以σ是线性变换，同理可证τ也是线性变换．又n n F A A P PA AP P AP A ⨯∈====),()()()()(τσσστ，所以τσ,都是线性变换．18、设22⨯∈R V ，σ是V 上线性变换，对于任意的V M ∈，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a M ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=d c c b a b M )(σ． 1) 证明σ是可逆线性变换； 2) 求出1-σ，即对上面的矩阵M ，求出)(1M -σ．证 1)取V 的一组基1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000)(,1100)(,0011)(,0010)(22211211E E E E σσσσ，所以σ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100010000110010A ，因为01≠-=A ，所以A 可逆，故σ可逆．2)对V M ∈，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-c d c a a b M )(1σ． 1、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,,,n εεε 是V 的一组基，对于V 中向量n n x x x εεεα+++= 2211，n n y y y εεεβ+++= 2211，定义内积为n n y nx y x y x +++= 22112),(βα，证明V 在此内积下构成一个内积空间．证设R k V z z z n n ∈∈+++=,2211εεεγ ，则有n n x ny x y x y +++== 22112),(),(αββα；111222(,)()2()()n n n x y z x y z nx y z αβγ+=++++++11221122(2)(2)n n n n x y x y nx y x z x z nx z =+++++++(,)(,)αβαγ=+； 1122(,)2(,)n n k kx y kx y nkx y k αβαβ=+++= ．当0=α时，0),(=αα；当0≠α时，至少有一个00≠i x ，从而0),(200>=i x i αα，因此，该实数是V 上的内积，V 构成一个内积空间．2、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，n εεε,,21 是V 的一组基，A 是一个n 阶正定实对称矩阵．定义V 的内积如下：对于V 中向量βα,，如果它们在基12,,,n εεε 下的坐标分别为y x ,，则 Ay x T =),(βα，证明V 是一个内积空间．证设V ∈γ，在基12,,,n εεε 下的坐标为z ，R k ∈，则有),()(),(αββα=====Ax y x A y Ay x Ay x T T T T T T ；),(),()(),(γαβαγβα+=+=+=+Az x Ay x z y A x T T T ；),()(),(βαβαk Ay kx Ay kx k T T ===；因为A 为n 阶正定实对称矩阵，所以Ax x T =),(αα为正定二次型．0≠α时，0),(>αα；0=α时，0),(=αα，所以V 是一个内积空间．3、在实内积空间4R (内积为实向量的普通内积)中，已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,1111,0011321βββ，试求出与321,,βββ都正交的单位向量．解设T x x x x ),,,(4321=α满足,3,2,1,0),(==i i βα有 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--+=+0004321432121x x x x x x x x x x ，可取T )1,1,1,1(--=α，故单位向量为 T ⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21,21,21或T⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21,21,21． 4、设内积空间3C 中向量βα,的内积为 αββαH =),(判断下述向量βα,是否正交：1)T T i i i i )2,1,1(,),,1(-+=--=βα；2)TT i i i i i )3,1,,1(,)2,,1(-=+-=βα．解 1)01)2,1,1(),(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=i i i i βα，故正交．2)04721)3,,1(),(≠+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=i i i i i i βα，故不正交． 5、设12,,,n ααα 是n 维内积空间V 的一组基，如果V 中向量β使.,2,1,0),(n i i ==αβ证明 0=β．证令n n x x x αααβ+++= 2211，有0),(),(),(11===∑∑==n i i i n i i i x x αβαβββ，由内积定义，有0=β．6、设V 是实数域R 上的内积空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基．证明)22(31),22(31),22(31321332123211εεεηεεεηεεεη--=+-=-+=也是V 的一组标准正交基．证⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232),,(),,(321321εεεηηη，记矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232A ，因为,E A A T =所以A 为正交矩阵，又因为321,,εεε为标准正交基，所以321,,ηηη也是标准正交基．7、设54321,,,,εεεεε是5维内积空间V 的一组标准正交基．32132125112,,εεεαεεαεεα++=-=+=．求子空间),,(321αααL 的一组标准正交基．解设0332211=++αααk k k ，则0)()2(51332321321=+++-+++εεεεk k k k k k k ，因为5321,,,εεεε线性无关，则0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关，所以他们是),,(321αααL 的一组基．将321,,ααα正交化，单位化，即得),,(321αααL 的一组标准正交基．记)0,0,1,1,2(),0,0,0,1,1(),1,0,0,0,1(321=-==x x x ，则正交化，11x y =；⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=21,0,0,1,21),(),(1111222y y y y x x y ；()1,0,1,1,1),(),(),(),(13222231111333-=-=--=y x y y y y x y y y y x x y ；单位化)1,0,0,0,1(222211==y z ； )1,0,0,2,1(663622--==y z ； )1,0,1,1,1(213-=z 所以标准正交基)(21),2(66),(22532135212511εεεεγεεεγεεγ-++=--=+=． 8、已知线性空间4][x R 对于内积⎰-=11)()())(),((dx x g x f x g x f构成一个内积空间．从基32,,,1x x x 出发，经正交单位化求一组标准正交基．解因为32),(,0)1,(,211)1,1(1121111=====⋅=⎰⎰⎰---dx x x x xdx x dx ， 52),(,32)1,(,0),(2222===x x x x x ，…… 正交化，令11=β；x x x =⋅-=1)1,1()1,(2β； 31),(),(1)1,1()1,(22223-=⋅-⋅-=x x x x x x x x β；x x 5334-=β；再单位化x x x x x x 41434145;4104103;26),(;22)1,1(34232211-=-=====ηηβηβη9、对于实数域R 上的线性空间n m R ⨯，规定内积如下：对于nm R ⨯中任意元素][],[ij ij b B a A ==，则=),(B A 迹∑∑===n i mj ji ji Tb a A B 11)(．证明nm R⨯对此内积构成欧氏空间．证 ∑∑∑∑=======n i mj m j ni ji ji ji jiA B a b b aB A 1111),(),(；对任意的R k ∈，nm ij Ra C ⨯∈=][，有=+),(C B A 迹=+))((A C B T 迹()T T B A C A +=迹)(A B T +迹()TC A =(,)A B (,)A C +；=),(B kA 迹=))((kA B T 迹)(A kB T =k 迹)(A B T =),(B A k ；0),(112≥=∑∑==n i mj ji a A A ，当且仅当0=ji a (即0=A )时，0),(=A A ，所以n m R ⨯对此内积构成欧氏空间．10、设欧氏空间4R (内积为普通实数组向量的点积)的一组基为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,0111,0011,00014321αααα，求在这组基下的度量矩阵A ．解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==4321332122211111)),((j i A αα． 11、在线性空间4R 上定义一种内积成为欧氏空间．已知在基T T T T e e e e )1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321====下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=3101121001211012A ． 1) 求在基T T T T )1,1,0,1(,)1,2,1,0(,)0,0,2,1(,)0,0,1,1(4321==-=-=αααα下的度量矩阵B ．2) 求实数a ，使向量T a )1,2,,1(-=α与向量T )0,2,1,1(-=β正交．解 1) 因为由基4321,,,e e e e 到基4321,,,αααα的过渡矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-2100110010113112;11001200012110111P P ，设向量α在4321,,,e e e e 下的坐标为x ，则α在4321,,,αααα下的坐标为x P 1-，如果在基4321,,,αααα下的度量矩阵为B ，则Ax x x BP x P T T ==--11)(),(αα，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----===--79119130010631032,)(11AP P B A BP P T T 2)βα,在4321,,,e e e e 下的坐标分别为T a )1,2,,1(-和T)0,2,1,1(-，所以0)0,2,1,1()1,2,,1(),(=--=T A a βα时，有310=a ． 12、设321,,εεε是欧氏空间V 的一组基，内积在这组基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=612121211A已知V 的子空间1V 的一组基为112αεε=+，2123αεεε=+-．1) 证明21,αα是1V 的一组正交基； 2) 求1V 的正交补⊥1V 的一组基．证 1) 因为12111213212223(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)ααεεεεεεεεεεεε=+-++-112(1)2(1)0=--+-+--=，故21,αα正交，所以21,αα是1V 的一组正交基．2) 只需再找到V 中向量3α使321,,ααα为V 的一组正交基，则3α即为⊥1V 的一组基．方法一：设3322113εεεαx x x ++=，利用正交条件⎩⎨⎧==0),(0),(3231αααα 即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0)1,1,1(0)0,1,1(321321x x x A x x x A 可得一解为2,2,7321-===x x x ，即得3213227εεεα-+=．方法二：先将21,αα扩充为V 的一组基123,,ααξ，为此只需123,,αατ的坐标线性无关．例如取31ξε=即可．再将123,,ααξ正交化．因21,αα已是正交组，正交化过程只需从第三个向量做起．令(3)(3)311223k k αααξ=++，算出(3)(3)3132121122(,)(,)20,(,)(,)5k k ξαξααααα=-==-=，即得3213525257εεεα-+=．13、设4维欧氏空间V 在基4321,,,εεεε下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1100162102100101A ，已知V 中向量323312211,,εεαεεαεεα-=+=+=，V 的子空间1123(,,)V L ααα=．1) 试求1V 的一组标准正交基； 2) 设有1V 的线性变换σ，使11266()(1)33σααα=+-，21266()(1)(2)63σααα=-++-，3136()22σααα=+请判明σ是不是1V 的正交变换或对称变换？解 1) 显然321,,ααα线性相关，其极大无关组21,αα即为1V 的一组基，将21,αα正交化、单位化便可得1V 的一组标准正交基．正交化得21211,ααβαβ+-==；再单位化得11212233,233γαγαα==-+．又解如取31,αα为1V 的一组标准正交基，因为31,αα已是正交基，只需单位化，便得1V 的一组标准正交基3332111133,22αααηαααη====2) 由题设条件知B ),(),(2121αααασ=，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+=36236661361B 由1)的结果知P ),(),(2121ααγγ=，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=3303322P 设对1V 的标准正交基21,γγ有C ),(),(2121γγγγσ=则应有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-211133033223623666136130221BP P C因为C 是对称矩阵但不是正交矩阵，所以σ是对称变换但不是正交变换．14、设A ，B 都是H -矩阵，证明AB 也是H -矩阵的充要条件是BA AB =．证必要性：BA A B AB AB H H H ===)()(；充分性：AB BA A B AB H H H ===)(，所以AB 为H -矩阵．15、若矩阵A 满足,A A H -=则称A 为一个反厄密特矩阵．试证：任一n 阶矩阵可表示为一个厄密特矩阵与一个反厄密特矩阵之和．证设C B A +=，且C C B B H H -==,，则C B C B A HH H -=+=，所以)(21),(21H H A A C A A B -=+=为所求． 16、判断下列各矩阵在所指明的数域上能否相似对角化？若能，求出一个相似因子P ，并给出相应的对角矩阵Λ．1),163053064⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 实数域 2),201335212⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=A 复数域3),013211233⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A 实数域 4),1211⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 复数域5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=624232426B ，实数域解 1) )2()1(163530642+-=-+--=-λλλλλλA E ，特征根11=λ(二重)，22-=λ．当11=λ时，解0)(1=-X A E λ，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000021063063063，秩为1，故基础解系中有213=-=-r n 个线性无关特征向量，因0)(1=-X A E λ的同解方程组为0221=+x x ，3x 为任意实数．则令0,132==x x 有)0,1,2(1'-=ξ；1,032==x x 有)1,0,0(2'=ξ．当22-=λ，解0)(2=-X A E λ，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000110011330000011363033063，秩为2，故基础解系中有 1=-r n 个线性无关的特征向量，其同解方程组为⎩⎨⎧=-=+003221x x x x ．令12=x ，则得)1,1,1(3'-=ξ．因A 有3个线性无关的特征向量．令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110101102P ，则Λ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2111AP P ，P 为相似因子． 2),0)1(13321335212323=+=+++=+-+---=-λλλλλλλλA E 特征根1-=λ(三重)．当1-=λ时，解0)(=--X A E ，有010*******=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----X ，因0)(≠--A E ，故秩1)(≥--A E ，所以基础解系有2≤-r n 个线性无关特征向量．故A 不能相似对角化．3) )4)(4(164413211233223+-=-+-=-----=-λλλλλλλλλA E ，因其不能在实数域上分解成一次因式乘积，故A 不能相似于对角形(或A 特征根为复数)．4)0112112=+=+--=-λλλλB E ，i i -==21,λλ．当i =1λ时，0)(=-X B iE ，有01211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--X i i ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--00)1(2111211i i i ，同解方程组0)1(2121=+-x i x ，令22=x ，则一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=211i ξ．当i -=2λ时，0)(=--X B iE ，有01211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----X i i ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1211i i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→00)1(211i ，同解方程组0)1(2121=-+x i x ，令22=x ，则得到一个基础解系⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=212i ξ．则一个相似因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=2211i i P ，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ=-i i BP P 1． 5)0)11()2(444815624232426223=--=-+-=---------=-λλλλλλλλλB E ，2=λ(二重)，11=λ．当21=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-0000002124242124242X B E ，同解方程组022321=++x x x ，秩为1，基础解系中有3-1=2个线性无关特征向量．令),(32x x 分别取)0,1(，)1,0(，得)1,0,1(,)0,1,21(21'-='-=ξξ．当112=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-00012010152428242511X B E ，同解方程组 ⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x ，秩为2，基础解系中有3-2=1个线性无关特征向量．令13=x ，有 )1,21,1(3'=ξ，得到一个相似因子⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11021011121P ，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-11221BP P 17、对实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=324262423A ，求正交矩阵Q ，使'Q AQ 为对角矩阵．解0)2()7(982112324262423223=+-=++-=---=-λλλλλλλλλA E ，得71=λ(二重)， 22-=λ．当71=λ时，()X X A E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-4242124247，因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000212424212424，有022321=++x x x ，令),(32x x 分别取)0,2(，)1,0(，有一个基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101,02121ξξ．当22-=λ时，()05242824252=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--X X A E ，因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---524282425⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000120101 ，有⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x ，令23=x ，得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2123ξ．将21,ξξ正交化得 )0,2,1(11'-==ξη， )1,52,54()0,2,1(51)1,0,1(),(),(1111222'--=---=-=ηηηηζξη，单位化得 )0,2,1(511'-=e ，)55,52,54(1512'--=e 将3ξ单位化得 )2,1,2(313'=e ，令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32155503115525232155451Q ，则Q 为正交矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ='=-2771AQ Q AQ Q ．18、求一个酉矩阵U ，把H -矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22i i A 化为对角形．解,0)3)(1(341)2(2222=--=+-=--=---=-λλλλλλλλi iA E 解得3,121==λλ．当11=λ时，解0)(=-X A E 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00111i i i A E ，同解方程组021=+ix x ，令12=x ，得)1,(1'-=i ξ．当32=λ时，解0)3(=-X A E ，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→-001113i i i A E 同解方程组021=-ix x ，令12=x ，得.)1,(2'=i ξ再单位化得 ,121,12121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i e i e 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1121i i U ，得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ=31AU U H．19、设V 是3维欧氏空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基，线性变换σ使321332123211542)(,452)(,222)(εεεεσεεεεσεεεεσ+--=-+=-+= 求V 的一组标准正交基321,,ηηη，使σ在基321,,ηηη下的矩阵为对角矩阵．解由题设条件可得σ在标准正交基321,,εεε下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222A ，对实对称矩阵A ，可求出正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3235032155455311552552Q ，使)10,1,1(1diag AQ Q =Λ=-．令123123(,,)(,,)Q ηηηεεε=即得所求之标准正交基11221233123255,5525455,15153122.333ηεεηεεεηεεε=-+=++=+-1、用初等变换把下列λ-矩阵化为Smith 标准形．1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλλλ3522232) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2)1()1(λλλλ解 1)、21[(1)]32232[1,2]3222323[1,2]522352533523λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22250(103)0(103)33λλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎪⎪→→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2)、3222(1)(1)(1)00020(1)(2)1021λλλλλλλλλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭22(1)1(1)(1)1(1)λλλλλλλλ+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→+→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 2、求出下列矩阵的不变因子和行列式因子．1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2)1()1(λλλλ 2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----a b b a b a n λλλ121 ，其中11,-n b b 都是不为0的常数．解 1) 易知32321)1()(),1()(,1)(+=+==λλλλλλλD D D ，所以22331221)1()()()(),1()()()(,1)(+==+===λλλλλλλλλλλD D d D D d d ．2) 易知121()()()1,()()n n n D D D D a λλλλλ-=====- ，所以121()()()1,()()n n n d d d d a λλλλλ-=====- ．3、求下列矩阵的若当标准形．1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502613803； 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212044010； 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---544446235； 4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----8411362331； 5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---568236013 ； 6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011231221 ； 7)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---496375254 ； 8)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01121413；9)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000210032104321．解 1) 先求A E -λ的初等因子，使用初等变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---=-2)1(00010001111613803502613803λλλλλλλλλλA E ，所以初等因子是2)1(),1(++λλ，因而A 的Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111J 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111 2)1010440440212122E A λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭221001004(2)00(2)0122002λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭所以行列式因子3321)2()(,2)(,1)(-=-==λλλλλD D D ；不变因子2321)2()(,2)(,1)(-=-==λλλλλd d d ；初等因子组2)2(,2--λλ；Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2212． 3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321[若当块次序可有不同]； 4) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111； 5) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+i i 221；6) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1112；7) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101； 8) 将A 写成分块形式⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A A A ，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0112,141321A A ．先分别求出21,A A 的初等因子 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-21)1(11413λλλλA E ，初等因子为2)1(-λ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-22)1(1112λλλλA E ，初等因子为2)1(-λ．所以A 的初等因子为2)1(-λ，2)1(-λ．故Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111119) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111111． 4、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=130901025017A 的Jordan 标准形，并求变换矩阵P ．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→-2)2)(3(11λλλA E ，因此A ～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2123，即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-21231J AP P ，PJ AP =，令),,(321x x x P =，可得 32322112,2,3x x Ax x Ax x Ax +===2321)2(,0)2(,0)3(x x A E x A E x A E -=-=-=-由齐次线性方程组0)3(=-x A E ，可求得Tx )0,1,0(1=；由齐次线性方程组0)2(=-x A E ，可求得Tx )3,0,5(2=；把2x 代入2)2(x x A E -=-，可求得T x )1,0,2(3=．所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130001250P ．5、已知3阶矩阵A 具有3重特征根1，是否可以说A 的若当标准形一定为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111J ，如果不一定，请说出此时A 的若当形有几种可能？都是什么样子？解不一定；题设条件确定了A 的特征多项式为3)1()(-=λλψ．也就是说，A 的初等因子之积应为3)1(-λ．此时，初等因子组尚有如下一些可能：ⅰ)3)1(-λ；ⅱ)2)1(),1(--λλ；ⅲ))1(),1(),1(---λλλ．因此，相应的若当形也有三种可能，即ⅰ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111；ⅱ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111；ⅲ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111． 6、求下列矩阵1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=221041040A ；2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311111002；3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----211212112；4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011212213；5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----444174147的最小多项式．解 1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→-2)2(21λλλA E ，故最小多项式为23)2()(+=λλd ．2),311111002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλA E 其行列式因子为,1)(1=λD ),2()(2-=λλD .)2(3111)2()(33-=----=λλλλλD 不变因子为.)2()(,2)(,1)(2321-=-==λλλλλd d d 故Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122，最小多项式2)2()(-=λλϕ． 3) ,211212112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=-λλλλA E 因),1()(,1)(21-==λλλD DA E D -=λλ)(3,)1(3-=λ故()22211)(,1)(,1)(-=-==λλλλλd d d ，故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1211J ，最小多项式2)1()(-=λλϕ．4) )2()1(2--λλ； 5) )12)(3(--λλ．7、方阵A 满足0=kA (k 为正整数)，试说明A 的最小多项式取何种形式？解)0()(k l l ≤≤=λλϕ．8、设方阵A 满足E A =2，能否说)1)(1()(-+=λλλϕ一定是A 的最小多项式？如果已知1和-1都是A 的特征根，情况又怎样呢？解提示：12-λ是A 的致零多项式，故最小多项式有三种可能：)1)(1(,1,1-+-+λλλλ．当1与-1均为A 的特征根时，最小多项式就是12-λ．9、已知方阵A 的特征多项式为)1()1()(2-+=λλλϕ，A 的最小多项式为1)(23+--=λλλλϕ．请给出A 的一个若当形，并简要说明原因．解特征多项式为4次多项式，故知A 为4阶矩阵，A 的特征根为11-=λ(二重)，12=λ(二重)．由最小多项式)1()1()(2-+=λλλϕ可知A 的若当形J 中有两个若当小块为)1(,11121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J J ．因为J 的主对角线上应是A 的全部特征根，所以J 中还有另一个若当小块)1(3-=J ．于是，A 的一个若当形为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11111J ． 1、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110101011A的QR 分解．解记),,(321ααα=A ，用施密特正交化方法得11βα=；212121122ββααα=-+=-+；312312*********βββαααα=++=++，单位化得T )0,22,22(2222111===αβε； T)36,66,66(3666362122-=+-==ααβε； T )33,33,33(2363632332133--=++==αααβε．记26326663036302B ⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，123263263263(,,)26363033Q εεε⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则有Q AB =， 1222226602620033R B -⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，便有QR A =． 2、求出下列矩阵的一种满秩分解1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211012A ；2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=300212112A ；3) 111111111111i i A i i --⎛⎫⎪--⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭解 1) 显然，A 是一个列满秩矩阵，故它的一种满秩分解为AE A =，即23⨯=A B ，22⨯=E C ，BC A =．2) 在用行，列初等变换化A 为标准形过程中，顺便求出相应的初等变换21,P P ．具体过程为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+1000100011110000113000011121000100011003000102120011120)]1(12[()]13[E E A,00011002121211110003131010001001010100002111100001103000111121)]31(2[)]1(13[)]1(12[)]21(1[]3,2[31⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→+-+PP E r所以A 的秩为2，行列变换矩阵分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010100212121,1110313100121P P ．求21,P P 的逆，,010100112,1300310011211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--P P取11-P 的前两列为B ，取12-P 的前两行为C ，则得到A 的一种满秩分解⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==100112303101BC A ．3) 记),,,,(4321A A A A A =易知),(21A A 为一个极大无关组，,0213A A A -=,0214iA A A +=令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==i C A A B 1100001,11111111),(21，则BC A =． 3、求下列矩阵(相应于互异特征根)的谱分解：1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2543A ；2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0220；3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111111111111111；解 1) 求出A 的特征根)2)(7(2543+-=----=-λλλλλA E ，得,71=λ 22-=λ．计算对角化相似因子P 及1-P ，使⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ=-271AP P ．解0)7(=-X A E ，有基础解系，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111ξ，解0)2(=--X A E ，有基础解系，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=542ξ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-114591,5141),(121P P ξξ．令)91,91(),94,95(,54,112121-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q Q P P ，则,95959494,94959495222111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==Q P A Q P A得谱分解式 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=+=95959494294959495727212211A A A A A λλ． 2) 4222+=-=-λλλλA E ，得互异特征根i i 2,221-==λλ，令i i 2)(,2)(21+=-=λλϕλλϕ，,212221)2(41)()(,212221)2(41)()(22221111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==i i iE A i A A i i iE A i A A λϕϕλϕϕ则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+=212221221222122211i i i i i i A A A λλ． 3)0=-A E λ得,21-=λ22=λ(3重)．令2)(,2)()(1221+=-=+=-=λλλλϕλλλλϕ，,3111131111311113)2(41)()(,111111111111111141)2(41)()(22221111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=+==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=--==E A A A E A A A λϕϕλϕϕ则2122A A A +-=．4、求下列正规矩阵的谱分解式．1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110A ；2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A ；3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ．解 1) 求出A 的特征根i i -==21,λλ，求酉矩阵U 使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ=-i i AU U 1 解0)(=-X A iE ，得T i ),1(1=ξ，解0)(=--X A iE ，得Ti ),1(2-=ξ，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i i U 1121， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-i i U U H 11211．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121),1(211211i i i i A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1121),1(211212i i i i A ，则21iA iA A -=．2) 求A 的特征根得71-=λ，22=λ(2重)求相似因子P ，使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2271AP P ．解0)7(=--X A E ，得T )2,2,1(1--=ξ，解0)2(=-X A E ，得T T )1,0,2(,)0,1,2(32=-=ξξ，令,102012221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=P 可算得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-542452221911P ，令,44244222191)2,2,1(912211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A ,54245222891542452911001222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 则2127A A A +-=．3),0)1()1()1()(01011022=+-=---=---=-λλλλλλλλλλA E 得11=λ(2重)，12-=λ．解,010********)(1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⇒=-X X A E λ得,)1,1,1(,)1,0,1(21T T ==ξξ解,010********)(2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⇒=-X X A E λ得T )1,0,1(3-=ξ，令,2102101021121,1110101111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-PP,210210002102121021101,21021010210210102112111101121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则21A A A -=．5、求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛002001的奇异值分解．解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000005A A H，特征根51=λ，02=λ(2重)．故A 的奇异值为0,521==σσ．记∑=)5(，则A 的奇异值矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯000005n m S ．求出A A H分别相应于特征根0,521==λλ的标准正交特征向量为,100,010,001321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=v v v令),(),,(),(2132211V V V v v V v V ===，计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=-2151111AV U ，求2U ： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4221H AA ， 0,521==λλ．对02=λ，解T THu X AA E )51,52()1,2(0)0(1-=⇒-=⇒=-ξ，令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=51522U ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==122151),(21U U U ，得到奇异值分解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==100010001000005122151HUSV A 6、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110011A的奇异值分解．解 ∑=)2(，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000002S ；),(21V V V =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2121,212121V V ；),(21U U U =，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21001210,2102121U U ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==212121210000022102101021021HUSV A ． 7、求下列矩阵A 的M-P 广义逆+A ．1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101201A ，2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=112001110001A ；3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1210002i i ；4)10201102132i i -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解 1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+51222261A ；2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+11311131222281A ； 3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+51052242151i i i A ； 4) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+i i A 3301745134330241． 1、设nn n n ij Ca A ⨯⨯∈=)(，令12211()n nij Fi j Aa ===∑∑，则F A 为方阵范数，证明：FA 是一种与向量的2-范数2x 相容的方阵范数．称它为方阵A 的Frobenius 范数，简称F-范数．证即证22x AAx F≤，设n i a a a A in i i i ,,2,1),,,,(21 ==；T n x x x x ),,,(21 =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A x A x A x A A A Ax n n 2121，由Cauchy 不等式得22221212222112x A x a x a x a x a x A inj jnj ijnin i i i =≤+++=∑∑== ．所以22222222222221111()()nnnni i i j Fi i i j A x A x A x a x A x=====≤==∑∑∑∑ 从而 22x AAx F≤．2、设V 是n 维(复的或实的)线性空间，n e e e ,,,21 是V 的一组基，则对任意的V x ∈，x 有唯一表示式n n e x e x e x x +++= 2211，规定 2112)(∑==ni i Ex x．证明：E x 是V 中元素的一种范数．证 (ⅰ) 若0≠x ，因n e e e ,,,21 线性无关，故至少有一个坐标00≠i x ，因此，。

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