矩阵论习题课答案

习题课答案 一

1). 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是(b )。 (a) 1

||n A λ

- (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ

2). 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( c )必成立.

()a A 的所有顺序主子式为非负数

()b A 的所有特征值为非负数 ()c A 的所有顺序主子式大于零

()d A 的所有特征值互不相同

3).设矩阵111

11A α

αββ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与000010002B ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

相似,则,αβ的值分别为( a )。

(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1

二 填空题

4)若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111

,,,2345

，则1B E --= 24 。

5)设532644445A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

,则100

A =

10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)442232(31)2(31)2(13)231⎛⎫

+---- ⎪

+---⋅-

⎪ ⎪--⋅-⎝

⎭

三 计算题

3.求三阶矩阵1

261

725027-⎛⎫

⎪ ⎪

⎪--⎝

⎭

的Jordan 标准型

解 1261725027E A λλλλ+--⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪+⎝⎭,将其对角化为210001000(1)(1)λλ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪+-⎝⎭.故A 的若

当标准形为100110001-⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪⎝⎭

.■

4.设A 是3阶对称矩阵,且A 的各行元素之和都是3,向量()()0,1,1,1,2,1T T

αβ=-=--是0AX =的解,求矩阵A 的特征值,特征向量,求正交阵Q 和矩阵B 使得T

Q BQ A = 依题意有

011003121003111003A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因而1

003011111003121111003111111A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

其特征多项式为2

()||(3)f E A λλλλ=-=-.故特征值为120,3λλ==.

⑴10λ=,解特征方程0AX -=得()11,0,1T

X =-,()21,1,0T

X =-.特征向量为

1122l X l X +.

⑵23λ=,解特征方程(3)0E A X -=得()31,1,1T

X =.特征向量为33l X . 以

上

123,,l l l R

∈.把向量

12

,X X 正交并单位化

得

1(η=

,2η⎛= ⎝.把向量3X 单位化

得3η=.以123,,ηηη作为列向量作成矩阵P ,则P 为正交矩阵且000000003T P AP B ⎛⎫

⎪

== ⎪ ⎪⎝⎭

.0T Q P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪

⎪⎝⎭

,则Q 满足T Q BQ A =.■ 5

解：A 的行列式因子为3

3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==.

所以，不变因子为3

3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3

(2)λ+，

因而A 的Jordan 标准形为21212J -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

8.设A 是n 阶特征值为零的若当块。证明，不存在矩阵A ，使得A ² = J

假设A ² = J.

若λ是A 的一个特征值, 则λ²是A ² = J 的特征值. 而J 的特征值只有0, 于是A 的特征值也只能为0.

考虑A 的Jordan 标准型, 其各Jordan 块的特征值都是0, 易见r(A) = n-Jordan 块的个数. 由r(A) ≥ r(A ²) = r(J) = n-1, A 只有一个n 阶Jordan 块. 因此A 与J 相似, 进而有J = A ²与J ²相似. 但r(J) = n-1 > n-2 = r(J ²), 矛盾. 即不存在矩阵A 使得A ² = J.

9.设A,B 是n 阶矩阵,证明:AB 与BA 具有相同的特征值

只需证明：若λ是AB 的特征值，则λ也是BA 的特征值。分两种情况： (1)λ≠0。由λ是AB 的特征值，存在非零向量x 使得ABx=λx 。所以

BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx ，且Bx ≠0（否则λx=ABx=0，得λ=0，矛盾）。这说明Bx 是BA 的对应于特征值λ的特征向量，特别地λ也是BA 的特征值。

(2)λ=0。此时存在非零向量x 使得ABx=λx=0，所以AB 不满秩，知det(AB)=0。从而det(BA)=det(AB)=0，BA 不满秩，所以存在非零向量x 使得BAx=0=λx 。这说明λ=0也是BA 的特征值。 证毕。

10.设A 是数域F 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,设1

,n V A

α-∈≠使0,但是

()n A α=0,其中n>1．证明：21{,,,,}n A A A αααα-K 是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在

此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数． 证明：1

n n A A α-≠Q 0,=0.令()()10110n n l l A l A ααα--+++=K ．（１）

用1

n A

-左乘（１）式两边，得到1

0()0n l A α-=．

由于1

n A -≠0，00l ∴=，带入（１）得()()1110n n l A l A αα--++=K ．（２） 再用2

n A

-左乘（２）式两端，可得10l =．

这样继续下去，可得到0110n l l l -====K ．

21,,,,n A A A αααα-∴K 线性无关．