重庆市万州分水中学高中数学2.5 圆锥曲线的统一定义教案 苏教版选修2-1
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.5 圆锥曲线的统一定义》63
课时3 等差数列选编：王芳储六春【知识梳理】1．等差数列的定义2．等差数列的有关公式1通项公式：〔及其推导方法〕＝____________，__________ m，n∈N*．2前n项和公式：〔及其推导方法〕＝______________＝________________＝_________________3．等差数列的性质1假设m＋n＝，n，＋n＝2，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列．3等差数列的单调性：假设公差d>0，那么数列为________；假设d5360n800假设存在，求出n的最小值；假设不存在，请说明理由变式迁移在等差数列{a n}中，，其前n项和为S n1求S n的最小值，并求出S n取最小值时n的值．2求例5、设等差数列的前项和为，，，Ⅰ求公差的取值范围；Ⅱ指出, ,…,，中哪一个值最大,并说明理由【课堂作业】1、{a n}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和S n最小的n是__．2、等差数列{a n}的前n项和满足S202140，以下结论中正确的序号是．①S30是S n中的最大值；②S30是S n中的最小值；③S30＝0；④S60＝03、设S n为等差数列{a n}的前n项和，假设S3＝3，S6＝24，那么a9＝________4、等差数列{a n}的前n项和为S n，a m－1＋a m＋1－a m2＝0，S2m－1＝38，那么m_____5、在数列{a n}中，假设点n，a n在经过点5,3的定直线上，那么数列{a n}的前9项和S9＝________6、设{a n}是一个公差为d d≠0的等差数列，它的前10项和S10＝110，且a22＝a1a41证明：a1＝d；2求公差d的值和数列{a n}的通项公式．7、等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n1求a n及S n；2令b n＝－12n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n8、在数列{a n}中，a1＝1,3a n a n－1＋a n－a n－1＝0n≥2．1证明数列{an1}是等差数列；2求数列{a n}的通项；1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．3假设λa n＋an＋1课时4 等比数列选编：王芳储六春【知识梳理】1．等比数列的定义2．等比数列的通项公式〔及其推导方法〕设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，那么它的通项a n＝____________通项公式的推广：a n＝a m·________ n，m∈N*．3．等比数列的前n项和公式〔及其推导方法〕4．等比数列前n项和的性质〔1〕等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a 与b的等比中项．2假设{a n}为等比数列，且＋＝m＋n，，m，n∈N*，那么__________________．且＋＝2m〔，，m∈N*，那么__________________．〔3〕公比不为－1的等比数列{a n}的前n项和为S n，那么S n，S2n－S n，S3n －S2n仍成等比数列，其公比为______．5等比数列的证明【例题精讲】例12021·苏州、无锡、常州、镇江、宿迁一调等比数列{a n}的各项均为正数，假设a4=，a2a4=，求数列{a n}的通项公式例2数列{a n}的首项a1＝5，前n项和为S n，且S n＋1＝2S n＋n＋5，n∈N* 1证明：数列{a n＋1}是等比数列；2求{a n}的通项公式以及S n例3在等比数列{a n}中，，且，求变式迁移(1)等比数列{a n}中，有，数列{b n}是等差数列，且，求的值；(2)在等比数列{a n}中，假设，求例4、设首项为正数的等比数列{a n}的前n项和为80，它的前2n项和为6 560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．例5、公比不为1的等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且a4S4，a5S5，a6S6成等差数列1求等比数列{a n}的通项公式及前n项和S n；2对n∈N*，在a n与a n1之间插入3n个数，使这3n2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n，求数列{b n}的前n项和T n变式迁移：等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋错误!，S3＝9＋3错误!1 求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；2 设b n＝错误!n∈N*，求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【课堂作业】1、在各项都为正数的等比数列{a n}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，那么a3＋a4＋a5＝________2、等比数列{a n}前n项的积为T n，假设a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是________．3、记等比数列{a n}的前n项和为S n，假设S3＝2，S6＝18，那么＝________4、在等比数列{a n}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，那么=5、在等比数列{a n}中，假设公比q＝4，且前3项之和等于21，那么该数列的通项公式a n＝________6、数列{a n}共有2项≥2，数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n1=，，使得a m，a m5，a成等比数列假设存在，求出m和的值；假设不存在，请说明理由。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.5 圆锥曲线的统一定义》61
圆锥曲线的统一定义教学目标：了解圆锥曲线的统一定义，理解圆锥曲线的准线的概念，掌握标准方程下的圆锥曲线准线方程．教学重点：圆锥曲线的统一定义及其应用．教学难点：圆锥曲线的统一定义及其应用．教学过程：一、情境设计问题1我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线〔F不在上〕的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线，当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？二、学生活动运用多媒体画出常数分别为错误!和2的动点P的轨迹，并判断曲线类型．问题2在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程：a2－c＝a错误!，将其变形为错误!＝错误!，你能解释这个方程的几何意义吗？三、建构数学例1点P〔，〕到定点F〔c，0〕的距离与到定直线：＝错误!的距离之比是常数错误!〔a>c>0〕，求点P的轨迹．变式将条件a>c>0改为c>a>0呢？由例1及其变式可以发现圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线〔F不在上〕的距离的比等于常数e的点的轨迹．当0＜e＜1时，它表示椭圆；当e＞1时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线．思考1〔1〕椭圆和双曲线有几条准线？〔2〕准线方程分别是什么？思考2椭圆错误!〔a＞b＞0〕和双曲线错误!〔a＞0，b＞0〕的准线方程分别是什么？三、知识运用：例1求以下曲线的焦点坐标和准线方程．〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕．例2椭圆上一点P到左焦点的距离为4，求P点到左准线的距离．变式1求点P到右准线的距离．变式2双曲线上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离．四、小结1．圆锥曲线的统一定义．2．求点的轨迹的方法．3．数形结合的思想．五、作业。
高中数学《圆锥曲线》教案3 苏教版选修2-1
§2.1圆锥曲线教学目标1.通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义，并能用数学符号或自然语言的描述。
2．通过用平面截圆锥面,感受、了解双曲线的定义。
能用数学符号或自然语言描述双曲线的定义。
教学重点、难点重点：椭圆、抛物线、双曲线的定义。
难点：用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义教具多媒体课件、实物投影仪内容分析本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念。
这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。
根据问题的难易度及学生的认知水平，要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义。
这是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数学素养。
学法指导教学中向学生展示平面截圆锥面得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。
对用Dandelin双球发现椭圆的特性（由此形成椭圆的定义），可直接给出放进双球后的图形，再引导学生发现“到两切点距离之和为定值”的特性，这一内容让学生感知、认同即可，不必对探究、推理过程作过多研究。
教学过程设计1．问题情境我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。
提出问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？2．学生活动学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线：对于Dandelin 双球理论只要让学生感知、认同即可。
3．建构数学（1）圆锥曲线的定义椭圆：平面内到两定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
对于第二种情形，平面与圆锥曲线的截线由两支曲线构成。
（类比椭圆的定义） 双曲线：平面内到两定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点1F ，2F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义课件苏教版选修2_1
e，
3 2
都在椭圆上，其中
e
为椭圆的离心率，
则椭圆 E 的方程为___x2_2＋__y_2__＝_1______
(2)已知椭圆 E：ax22＋yb22＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦 BC 过椭圆的中
心 O，且A→C·B→C＝0，|O→C－O→B|＝2|B→C－B→A|，则椭圆 E 的方程为_____________
3.已知双曲线
E：xa22－by22＝1
的右焦点为
F，圆
C：
x－2c
2＋y2＝c2与双曲线 4
E
的
渐近线交于 A，B，O 三点(O 为坐标原点)，若△ABF 为等边三角形，则双曲线 E
的离心率为____2____．
合作释疑:
例 1 (1)若双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2 ＝4 所 截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为________
变式 2
已知椭圆
C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为
3，过右焦点 2
F
且斜率为
k(k>0)
的直线与 C 相交于 A，B 两点，若A→F＝3F→B，则 k＝__2______
例 4 如图所示，椭圆 E 的中心在坐标原点 O，顶点分别是 A1，A2，B1，B2，焦 点分别是 F1，F2，延长 B2F2 交 A2B1 于点 P，若∠B2PA2 是钝角，求椭圆 E 离 心率 e 的取值范围．
由 AB＋AC＋BC＝4a＝2＋ 2得 a＝2＋4 2，所以 AC＋AM＝2＋2 2，所以，AM
＝ 22.所以焦距 2c＝
AC2＋AM2＝
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.5 圆锥曲线的统一定义》4
圆锥曲线的综合运用
一、根底训练
1 双曲线错误!－错误!＝1a>0，b>0的一条渐近线方程是＝错误!，它的一个焦点在抛物线2＝24的准线
上，那么双曲线的方程为__________．
2 F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于D 点，且错误!＝1的离心率e＝错误!，那么m的值是________．
2＝2上的一点M到坐标原点O的距离为错误!，那么M到该抛物线焦点的距离为________．
2－2＋6＝0上一个点、N分别是椭圆错误!＋
直线交椭圆于N时，求的值；
2 当＝2时，求点P到直线AB的距离d；
3 对任意>0，求证：PA⊥PB
⒎椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：
过A，F2两点．
〔1〕求椭圆E的方程；
〔2〕设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝错误!时，证明：点P在一定圆上．
⒏椭圆的离心率为，一条准线方程为．
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？假设存在，求的坐标；假设不存在，说明理由．
⒐动圆过定点A〔〕，并且与定圆相切．
〔1〕求动圆圆心的轨迹C的方程；
〔2〕假设点P-1,是轨迹C上一点，F1、F2分别是轨迹C的左、右焦点，O是坐标原点，设A、B是轨迹C上两个动点，且〔0<λ<4，且λ≠2〕求证：直线AB的斜率等于轨迹C的离心率．
⒑如图，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点直线交椭圆于两不同的点．。
苏教版选修(2-1)2.5《圆锥曲线的统一定义》word教案
圆锥曲线的统一定义主备人： 熊慧 审核人：杨鹤飞学 案一、学生自主学习阅读课本P 51--52中的椭圆、双曲线的第二定义和抛物线的定义，从中找出共同点，思考能否用统一的形式把定义归纳出来。
二、结合学习的内容思考如下问题： 平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的________, 定点F 叫做圆锥曲线的________, 定直线l 就是该圆锥曲线的__________.三、自主解答几道题目1.填空:(书本P 53习题1)2. 如果双曲线 上一点P 到右焦点 的距离等于 ，那么点P 到右准线的距离是_______3.椭圆 上一点P 到其右准线的距离为10，则该点到其左焦点的距离是_____ 教 案一、教学内容：圆锥曲线的统一定义二、教学目标：知识目标圆锥曲线统一定义及其应用。
能力目标1．分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
2．利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
3．解题过程中，培养学生运算与思维能力。
情感目标（1） 在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。
（2） 讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
三、教学重难点：教学重点：圆锥曲线的统一定义的理解与运用教学难点：圆锥曲线的统一定义的运用（一）课前自主学习检查1121322=-y x 1313610022=+y x2. 513 3. 12 （二）导入(创设情景)1．复习：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 L ( F 不在L 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线2．思考：当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？3．思考：将推导椭圆标准方程中得到的方程： ()222y c x a cx a +-=-变形为 ()a c x ca y c x =-+-222 你能解释这个式子的几何意义吗？（三）分析（互动对话）:讨论以上问题,并解答以下问题。
高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第2章2.5圆锥曲线的统一定义Word版含解析
圆锥曲线的统一定义抛物线可以看成平面内的到定点(焦点)F 的距离与到定直线(准线)1的距离的比值等于2a1(离心率)的动点的轨迹.在坐标平面内有一定点 F(c,O),定直线x =；(a>0, c>0).动点P(x ,c2 a cy)到定点F(c,O)的距离与到定直线 x = 的距离的比为-.c a问题1:求动点P(x , y)的轨迹方程. 由亠斗艺=a , ic -x|化简得：(a 2 - c 2)x 2 + a 2y 2= a 2(a 2—问题2：当a>c ,即0<c <i 时，轨迹是什么？ a 提示：椭圆.问题3:当a<c ,即c >i 时，轨迹是什么？a 提示：双曲线.圆锥曲线可以统一定义为： 平面内到一个定点 F 和到一条定直线l(F 不在I 上)的距离的 比等于常数e 的点的轨迹.当0v e v 1时，它表示椭圆， 当e > 1时，它表示双曲线, 当e = 1时，它表示抛物线.其中e 是离心率，定点 F 是圆锥曲线的焦点，定直线 I 是圆锥曲线的准线| 圆锥曲线的准线[对应学生用书P35]提示:ca，C QC Qx2 y2a2 b2 1(a b 0)2 a x±c 2 2拿令1(a b 0)2 a j±cx ya2 b2 1(a 0 b 0)£- ax 一------ c拿詁1(a 0 b 0)£- a Ty2 2px(p 0)x ¥x2 2py(p 0)y卫- ------ 2y22px(p 0)x p——2x22py(p 0)y卫—2［归纳-升华*领悟1[1] CF[ ]e[] e M AB A B Md i d2d d i d2R d 2R AB FA FB2 2e d i2d2R dB A WO 高频考点题组化.名师一点就通[ P36]CAB AB［一点通］解答这种类型的问题时， 巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化， 即e =宁PF 2=石.有时会应用到数形结合的思想方法， 这种类型多为客观题，以考查统一定义的应用为主..2可看作动点P(x , y)到定点(—1,0)的距离与到定直线 x + y — 1 = 0的距离比为，2>1的轨 迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线.答案：双曲线2•若将例1中“相交”二字改为“相离”，判断曲线的形状；把“相交”二字改为“相 切”，再判断曲线的形状.解：设圆锥曲线的离心率为 e , M 是AB 中点，A , B 和M 到准线的距离分别为 ①，d ? 和d ,圆的半径为R,d 1 + d ?则 d = d1yA当圆与准线相离时，R v d , 即 e d1 + d 2 v d1+ d 2••• 0v e v 1，圆锥曲线为椭圆. 当圆与准线相切时，R =d , • e = 1,圆锥曲线为抛物线用圆锥曲线的统一定义求轨迹［例2］已知动点P(x , y)到点A(0,3)与到定直线y = 9的距离之比为 屮，求动点P 的轨迹.［思路点拨］此题解法有两种一是定义法，二是直译法.2［精解详析］法一：由圆锥曲线的统一定义知： P 点的轨迹是一椭圆，c = 3, : = 9,则P(x , y)的轨迹为[x ——1 ]2+ y 2 |x + y — 1AB 21. x + y — 1|对应点解析:x + y — 1|a= 27, a= 3 3,3e=3』33，与已知条件相符.•••椭圆中心在原点，焦点为(0, ±3)，准线y= ±9.2 2b2= 18,其方程为2^7+ 18= 1.法二：由题意得寸x 2+ (V- 3 f =並|9—y| —3 .整理得2x_181.P点的轨迹是以(0, ±3)为焦点，以y= ±9为准线的椭圆.［一点通］解决此类题目有两种方法：①是直接列方程，代入后化简整理即得方程•②是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程.弘么J題値弟制3.平面内的动点P(x, y)(y>0)到点F(0,2)的距离与到x轴的距离之差为2,求动点P的轨迹. N.解：如图：作PM丄x轴于M，延长PM交直线y=- 2于点PF —PM = 2,PF = PM + 2.又••• PN= PM+ 2, • PF = PN.• P到定点F与到定直线y =—2的距离相等.由抛物线的定义知，P的轨迹是以F为焦点，以y= —2为准线的抛物线，顶点在原点,p= 4.•抛物线方程为x2= 8y(y>0).•动点P的轨迹是抛物线.4.在平面直角坐标系xOy中，已知F1(—4,0)，直线I: x = —2,动点M到F1的距离是它到定直线I距离d的•.2倍.设动点M的轨迹曲线为E.(1)求曲线E的轨迹方程；⑵设点F2(4,0)，若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F1, F2到m的距离分别为d1, d2,试判断dp?是否为常数，并说明理由.解：(1)由题意，设点M(x, y),则有MF j= . x+ 4 2+ y2,点M(x, y)到直线I 的距离 d =x —(—2)|=|x+ 2|,7(X 4f y 2(2|x 2|x 2 y 2 8.Mx 2 y 2 8.(2)d i d 2mx2羽d 1d 2 (c a) (c a) b 2 8.m m ykx t x 2 y 28x 2 (kx t)2 8(1 k 2)x 2 2tkx (t 28) 0. (2tk)24(1k 2)(t 28) 0t 2 8 k 2 8.m d 1d 2|kx y t 0 d iI 4k t| 寸k 21d 2d i d 2 咛1|16k 2」8k 28]k^ 1 8,8[3] A( 2 ^3) F AM 2MF M []MF[ ] a 41 e - .A M 2l x 8.AM 2MF AM d.x 丄1 M16 12b 2逅c J a 2 b 2 2.A A AK 1(1 )K A M K M M oAM 2MF 10MdMF —e d1 MF ed -d2M o .AM dAK8 ( 2) 10(2.3 3)|4k t|2 2]应.必处龜値弟剎公％x2y 2 35. 已知双曲线石一土= 1的右焦点为F ,点A(9,2), M 为双曲线上的动点，贝V MA + MF9 16 5的最小值为 ______ .解析：双曲线离心率e = 5由圆锥曲线统一定义知 MF = e(d 为点M 到右准线I 的距离),3 d 右准线I 的方程为x = 9，显然当AM 丄I 时，AM + d 最小，53 3而 AM + MF = MA + de = MA + d.5 5而AM + d 的最小值为 A 到I 的距离为9-9 = 365 52 26. 若点P 的坐标是(一1, - 3), F 为椭圆16 +誇=1的右焦点，点Q 在椭圆上移动,1当QF + qPQ 取得最小值时，求点 Q 的坐标，并求出最小值.2 2解：在舒 112 = 1 中 a = 4, b = 2 .3, c = 2, ••• e = 1椭圆的右准线I : x = 8, 过点Q 作QQ '丄I 于Q ', •••QF = 1QQ ' 1 1 1 1• QF +^PQ =^QQ ' + ^PQ = 2(QQ ' + PQ).要使QQ ' + PQ 最小，由图可知 P 、Q 、Q '三点共线，所以由 P 向准线I 作垂线，与 1椭圆的交点即为 QF + jpQ 最小时的点Q ,•- Q 的纵坐标为一3,代入椭圆得：Q 的横坐标为x = 2.19• Q 为(2,- 3),此时 QF + ?PQ = 9.W1圆锥曲线的准线、离心率的求解及应用2 2［例4］求椭圆牯25=1的离心率与准线方程，并求与该椭圆有相同准线且离心率互答案:36 ~5则Q QF e.b 4c 3.25y —y 3.25亍2 x_125a — c92 250 000729x281y215 625729x2250 000y2 8x1.8x32y1 b2y- 132 : x b ab22 1(a>b>0)b4b \/a2 c2, 15la 5.2 2詁b2 1(a>0b>0)x2 1.2L 115x22y2 1.925解析: 设M(x , y),由题意得一八2= 2椭圆的准线方程为x=g ；io .［方法-规律-那结J --------------------------------------------1 •圆锥曲线的判断：要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是： ⑴如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义.(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题应自然联想到椭圆、双曲线和抛 物线的统一定义.2 •圆锥曲线共同特征的应用：AF设F 为圆锥曲线的焦点，A 为曲线上任意一点，d 为点A 到定直线的距离，由AF = e 变d 形可得d =芈•由这个变形可以实现由 AF 到d 的转化，借助d 则可以解决一些最值问题.1. _______________________________________ 双曲线2x 2 — y 2=- 16的准线方程为 •2 2 解析：原方程可化为y6—X8=i.2 2 2 2 a 2= 16, c 2= a 2+ b 2= 16 + 8= 24,c = 2订6.•••准线方程为y =±"二岂1； =±436. 答案：y =±严32 22. 设P 是椭圆和+ y = 1上一点，M , N 分别是两圆：(x + 4)2 + y 2= 1和(x — 4)2+ y 2= 125 9 上的点，贝U PM + PN 的最小值、最大值分别为 __________________ .解析：PM + PN 最大值为 PF j + 1 + PF 2+ 1 = 12,最小值为 PF 1 — 1+ PF 2— 1 = 8. 答案：8,123. 到直线 y =— 4的距离与到 A(0，— 2)的距离的比值为、2的点 M 的轨迹方程为课下训练轻典化.贵在鮭类旁通［对应课时跟踪训练(十四)］双曲线的准线方程为2 2 化简得y + - = 1.8 42 2 答案：V + 7 = 18 42 24. (福建高考)椭圆r：拿+ 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F i, F2,焦距为2c若直线y= .3(x+ c)与椭圆r的一个交点M满足/ MF1F2 = 2/ MF2F1，则该椭圆的离心率等于解析：直线y=J3(x+ c)过点F# —c,0)，且倾斜角为60°所以/ MF 1F2= 60°从而/MF2F1 = 30° 所以MF1 丄MF?.在Rt△ MF1F2中, 2c_ 2c —代—1e=2a-c+ ,3c - 3 —答案：3—12 25. 已知椭圆X + y- = 1内部的一点为A 1,MA +血MF的最小值为__________ .解析：设M到右准线的距离为d,由圆锥曲线定义知M F-乎，右准线方程为d 2•••d= 2MF.••• MA + 2MF - MA + d.由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA + d的最小值，• MA + d>2 2— 1.答案：2 2 — 12 26•已知椭圆170 + 36= 1上有一点P,至快左、右两焦点距离之比为 1 : 3，求点P到两IUU 36准线的距离及点P的坐标.解：设P(x, y),左、右焦点分别为F2.PF1+ PF2—2a —20,且PF1: PF2—1 : 3, • PF1 —5, PF2—15.设P到两准线的距离分别为d1、d2,贝U由宁—宁—e—4,得d1 —d1 d2 525, d2-乎.--x+2a_c25 252 —4 ,…x——254 .代入椭圆方程，得3 '39—4MF1- c, MF2- 3c,所以该椭圆的离心率3 , F为右焦点，M为椭圆上一动点，则由已知的椭圆方程可得a- 10,cb —6, c—8,e—一4 255准线方程为x=右.225~4F (Q2 o )2.(1) ⑵B P N AN (1)P(x 2 2 X y 4 22 2X_ y 14 2 1.7 C C A BN y) 1.⑵k i k 2y 1 y 2 X 1 X 2 2 X 1b 2 2.PF 2 PF 1 PF 1 dPF 1 PF 2xAB(1)N(x iy i )A(X 2 y 1 y 2 X 1 X 21 2 2x 22x 2 a3a 2 PF 22 2 X 1X 22x 0 2x 02 2a _2x oc 2 PF 2 1(a>0 P(x y)a 2 k iPy 2)b>0)3x3a 22PF 1.2a_ x —c |2x 0 a||2x 0 a|.PF 22x 0 a.B( X 2y 2)2 X 142 y j2 F 1 2 X 24F 2y V 3xd PF 1PF 2高中数学代入①得一2x o + a = 2( — 2x o — a), _ 3 x o =— 2a. •••存在点 P 使d 、PF i 、PF 2成等比数列, P - l a ,2 2代入a - b 2=1得yo =。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义课件苏教版选修2_1
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
(2)由题意知，椭圆的右准线为 x＝245，过 M 点作右准线的 垂线，垂足为 M′(如(1)图所示)，由椭圆第二定义知， MMMA′＝e＝45，即54MA＝MM′.所以 MB＋54MA＝MB＋MM′. 易知，当 B，M，M′三点共线时，MB＋MM′有最小值， 最小值为 BM′＝245－2＝147.当 y＝2 时，有2x52＋292＝1，解得
所以点 A(4，0)为椭圆的右焦点， 则左焦点为 F(－4，0)． 则 MA＋MF＝2a＝10，即 MA＋MB＝10－MF＋MB. 因为|MB－MF|≤BF＝ （－4－2）2＋（0－2）2 ＝ 2 10， 所以－2 10≤MB－MF≤2 10，故 10－2 10≤MA＋ MB≤10＋2 10.即 MA＋MB 的最大值为 10＋2 10，最小 值为 10－2 10.
解：
由已知易得点 B 在抛物线内，p2＝1，准线方程 x＝－1， 如图，过 B 作 C′B⊥准线 l 于 C′，直线 BC′交抛物线于 A′， 则 A′B＋A′C′为满足题设的最小值．因为 C′B∥x 轴，B 坐 标为( 3，2)， 所以 A′点坐标为(x，2)． 又因点 A′在抛物线上，所以 A′(1，2)即为所求 A 点，此时 最小值为 BC′＝ 3＋1.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义学案苏教版选修2-1(2021年整理)
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§2。
5 圆锥曲线的统一定义学习目标 1.了解三种圆锥曲线的统一定义,掌握三种圆锥曲线的区别与联系.2.学会利用圆锥曲线的统一定义解有关问题。
3。
掌握圆锥曲线的准线方程的概念．知识点一圆锥曲线的统一定义观察图形，思考下列问题：思考1 上面两个图中分别对应什么曲线?答案图（1)为椭圆，图（2）为双曲线．思考2 当0〈e〈1时曲线有何特点？e>1呢？答案当0<e<1时，曲线为椭圆，当e〉1时，对应的曲线为双曲线．梳理知识点二圆锥曲线的焦点坐标和准线方程标准方程焦点坐标准线方程椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）(±c，0)x＝±错误!错误!＋错误!＝1（a〉b>0)(0，±c）y＝±错误!双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0)（±c，0）x＝±错误!错误!－错误!＝1(a>0，b〉0）（0,±c)y＝±错误!抛物线y2＝2px（p〉0)错误!x＝－错误! y2＝－2px(p>0)错误!x＝错误!x2＝2py（p〉0）错误!y＝－错误!x2＝－2py(p〉0)错误!y＝错误!1．若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个常数e(e＞0），则动点P的轨迹是圆锥曲线．(×)2．抛物线y2－2x＝0的准线方程为x＝－错误!.(√）3．点M（x,y)到定点F（4，0)的距离和它到直线l：x＝错误!的距离的比是常数错误!，则点M 的轨迹为错误!＋错误!＝1.（×)类型一利用统一定义确定曲线形状例1 判断下列各动点的轨迹表示的是什么？（1）定点F，定直线为l，F∉l,动点M到定点F的距离MF与动点M到定直线l的距离d的比为2；（2)定点F,定直线为l，F∉l，动点M到定直线l的距离d与动点M到定点F的距离MF的比为5；（3）到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹；(4）定点F∉l，到定点F的距离与到定直线l的距离的比大于1的点的轨迹．解(1）因为错误!＝2>1，所以动点的轨迹是双曲线．(2）因为错误!＝5，所以0<错误!＝错误!<1，所以动点的轨迹是椭圆．(3)当F∈l时，动点的轨迹是过F且与l垂直的直线；当F∉l时,动点的轨迹是抛物线．（4）动点的轨迹不是双曲线，因为比值虽然大于1，但不一定是常数,动点的轨迹是一个平面区域．反思与感悟判断所给曲线是哪种圆锥曲线,常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是(1)如果遇到动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义．（2）如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题应自然联想到圆锥曲线的共同性质．跟踪训练1 平面内到定点F(3，0)的距离与到定直线x＝8的距离d的比为错误!的动点P的轨迹是________．答案双曲线解析因错误!＝错误!〉1，故动点的轨迹是双曲线．类型二与圆锥曲线的准线相关的问题例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为y＝错误!x，焦点到相应准线的距离为错误!,求双曲线的方程．解设所求双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)，依题意得c－错误!＝错误!,又错误!＝错误!,结合c2＝a2＋b2,解得a2＝9，b2＝3,所以双曲线的方程为错误!－错误!＝1.引申探究本例中两准线之间的距离是多少？解据本例,得方程x29－y23＝1，两准线之间的距离为2错误!＝2×错误!＝3错误!.反思与感悟求圆锥曲线的准线方程的步骤跟踪训练2 根据下列条件,求椭圆的标准方程：（1)经过点错误!,且一条准线为x＝5；(2）两准线间的距离为错误!，焦距为2错误!.解(1)由于椭圆的一条准线为x＝5,可见椭圆的焦点在x轴上，故可设椭圆方程为错误!＋错误!＝1（a>b〉0）,依题意有错误!解得a2＝5，b2＝4或a2＝21,b2＝错误!。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.5 圆锥曲线的统一定义》
基于“He图形计算器〞的创新课堂教学实践——以“一道圆锥曲线题的探究与拓展〞为例随着信息技术的迅猛开展和“大数据〞的到来，我们原有的教学方法和教学手段正在不断地受到冲击．数学学科独有的形式化抽象特征，如精深的数学概念、繁琐的演算过程、复杂的数形关系和多变的几何位置关系等，往往囿于教与学手段的限制而令人“望而却步〞．数学过于形式化的表达反而看不清数学知识的本来面貌，学生对抽象知识的内部表征应该以丰富、独特、具体的形象而存在，He图形计算器集“数、形、表〞于一屏，形成方程、图形、数据、模型〔函数〕、算法等的多元关联，实现代数、几何、数据、算法等不同数学分支的真正融合，在符号语言与表格、e图形计算器开设了一节“一道圆锥曲线题的探究与拓展〞创新课下面是本节课的教学实录与点评1教学目标〔1〕通过对图象的观察，认识动态变化中的不变规律，尝试用代数方法刻画几何中的“变〞与“不变〞〔2〕初步掌握求圆锥曲线中的定量定性问题的根本步骤和一般方法，能从代数角度解释所观察到的几何规律，从而进一步领悟解析几何的涵义2重点、难点分析教学重点：圆锥曲线中的定性问题教学难点：〔1〕He的应用探究；〔2〕定性问题的代数推理．3教学实录回忆知识，做好铺垫题目：〔高二数学周练13 T19〕直线与圆相交，截得的弦长为．〔1〕求圆的方程；〔2〕过原点作圆的两条切线，与抛物线相交于、两点〔异于原点〕．证明：直线与圆相切；〔3〕假设抛物线上任意三个不同的点、、，且满足直线和都与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并加以证明．解题过程：〔1〕∵∴圆心到直线的距离为，∵截得的弦长为∴∴圆的方程为：〔2〕〔3〕〔2〕设过原点的切线方程为：，即∴，解得：∴过原点的切线方程为：，不妨设与抛物线的交点为，那么，解得：，同理可求：∴直线∵圆心到直线的距离为1且∴直线与圆相切〔3〕直线与圆相切．证明如下：设，那么直线、、的方程分别为：：，：；：∵是圆的切线∴，化简得：①∵是圆的切线，同理可得：②那么为方程的两个实根∴∵圆心到直线的距离为：∴直线与圆相切．点评：此题为刚刚做的一份周练上的一道题，学生在代数推理上应该都掌握了其推导方法，所以带着学生回忆了此题中重要的一些思想，如抛物线上点的设法、韦达定理，方程的思想、设而不求、特殊到一般的思想为接下来的探究拓展埋下伏笔从数到形，操作感悟师：通过He图形计算器我们来验证刚刚此题中的不变性操作步骤如下：学生借助手中He图形计算器跟着老师完成相关操作，熟悉He图形计算器在画图方面的相关功能，并在此过程中观察动态变化中的不变规律点评：教师通过演示，学生讲解的方式深化学生对于He图形计算器的相关功能键的认识，为下面学生们自主探究做好铺垫借力“He〞，拓展探究拓展1：如果将抛物线换成椭圆也有类似的性质吗？生：窃窃私语，没有定论师：我们来看一个具体的椭圆探究1：椭圆的标准方程为，椭圆内有个定圆，对于椭圆上任意三个不同的点、、，且满足直线和都与圆相切，那么直线与圆是否相切？师：请大家利用图形计算器给予验证小组讨论，制定研究方案生〔小组1代表〕：上台演示其刚刚研究成果：得出的结论是此性质在椭圆中不成立师：我们来看探究2：这个定圆有无要求？上述题目的第二问有什么作用？请你再大胆猜测并对于你的猜测利用图形计算器加以验证生〔小组2代表〕：仿照抛物线先在椭圆上取三个特殊点，如上下顶点，右顶点，其内切圆，此圆即为符合要求的定圆我们在椭圆上任取一点，过点作圆的两条切线分别与椭圆交于两点，连接两点，那么线段与圆相切上台演示其刚刚研究成果：得出的结论是此性质在椭圆中成立师：非常棒！抓住了例题中的研究方法，从特殊到一般对于图形计算器的使用也非常熟练点评：重视学生探索思维品质的培养研究较难问题退而求其次，回归根源，能够从特殊到一般，层层深入，不断接近真理在动手操作方面给足时间给学生，让其在尝试中遇到困难，通过碰壁加深其理解从形到数，严格演绎师：请你结合图形计算器给出的实验结论利用代数推理加以严格地论证可以小组讨论生：设，那么直线方程：；直线方程：；直线方程：；因为直线、直线与圆相切，所以，又有，，，师：变量很多，式子很复杂，类比前面例题的方法，理论上应该可以得以证明，请大家课后尝试进行化简我们看到从抛物线到椭圆简单的一个迁移，利用图形计算器可以很快的从形的角度得以证明，但代数推理却显得那么的复杂，当问题变得很复杂的时候，我们要学会反思，学会回到知识的根源去思考，换个角度是否可以得到另一种解决问题的途径圆锥曲线中的定量定性问题，往往需要从具体的数据，特殊的位置出发，探求解决问题的一般性方法请大家尝试将点选择特殊的位置来计算一下生：开始动笔演算，探求新的方法师：小组1选择了什么位置？生〔小组1代表〕：选择点，然后设过点的切线方程：，联立方程组解出点，点，得直线的方程，然后证明与圆相切师：做法很好，大家能否将他做的方法再一般化？生：设，过点的切线方程：整理为，令，联立方程组，消去得关于的二次方程，由韦达定理可得点，点的横坐标其中，为过点圆的两条切线的斜率即为关于的二次方程的两个根，下面再用韦达定理整体消元师：解法很有条理，思路很清晰，由于课上时间有限，下面的工作大家课后探究有些人认为下面的问题是不是很简单课后没有必要去进行运算下去我想这局部人最终都很难取得成功有时候你认为真理就在眼前，其实还很遥远要想学好圆锥曲线，必须要有足够的耐心，不能浅尝辄止点评：从方法上进行类比，当去尝试解决问题时遇到的麻烦不止一点点，此时，教师加以引导，学会审时度势，退到最初问题，从特殊到一般再去探索新的方法逐步培养了学生分析问题、解决问题的能力其中，也特别重视运算能力的培养，如韦达定理、整体代换等简化运算的一些技巧3.5数形结合，拾级而上师：大家对于刚刚得到的定圆有无其他想法？生：我取的定圆的方程为：，也符合这样的性质师：这个定圆也可以一般化，只要是椭圆的一个内接三角形的内切圆，那么在椭圆上任取一点作定圆的两条切线，这两条切线与椭圆交于另外两点，那么此两点的连线必与定圆相切请同学们利用图形计算器加以验证生：展示其研究过程：点评：让学生带着好奇，带着问题进行探索，激发学生的求知欲，培养学生动手操作能力，将课堂还给学生，让学生在不断地探索中获得新知，获得喜悦感3.6活学活用，加深理解拓展2：双曲线也有类似的性质吗？师：对于双曲线也有同样的性质，请你们课后利用本节课所学知识、方法完成探究并形成成果，撰写实验报告点评：本节课从一道圆锥曲线题出发，引发学生再思考问题得以解决可以借助多媒体辅助当然，e 图形计算器从形的角度加以验证，在此过程中帮助学生熟练图形计算器的相关功能，为接下来学生自主探究做好铺垫,本节课注重学生活动，以学生为本，教师适当引导，让学生在探究中学会新知，学会分析问题，解决问题的一般思维过程这一次基于“He图形计算器〞的创新课堂教学尝试很有意义，真正实现了学生学生为主，教师引领的教学模式参考文献：[1] 张志勇高中数学根底实验36课北京教育出版社，。
苏教版高中数学(选修2-1)2.5《圆锥曲线的统一定义》word教案2篇
圆锥曲线的统一定义教学目标了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法．教学重点，难点圆锥曲线的统一定义及准线方程．教学过程一、问题情境1．情境：我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线(l F 不在l 上)的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线．当这个比值是一个不等于１的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？2．问题： 试探讨这个常数分别是12和2时，动点P 的轨迹？ 二、学生活动探讨过程略（可以用课件演示或直接推导）； 可以得到：当常数是12时，得到的是椭圆；当常数等于2时得到的是双曲线；三、数学运用1．例题：例1．已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数c a(0)a c >>，求点P 的轨迹．||c a x c=- 化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-令222a cb -=，上式可化为22221(0)x y a b a b+=>> 这是椭圆的标准方程．所以点P 的轨迹是以焦点为(,0),(,0)c c -，长轴、短轴分别为2,2a b 的椭圆。
这个椭圆的离心率e 就是P 到定点F 的距离和它到定直线l (F 不在l 上)的距离的比．类似地，我们可以得到：当点P 到定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数(0)c c a a >>时，这个点的轨迹是双曲线，方程为22221x y a b-=（其中222b c a =-），这个常数就是双曲线的离心率．这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当01e <<时，它表示椭圆；当1e >时，它表示双曲线；当1e =时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方程分别为22,a a x x c c=-=．例2．椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是，求该点到椭圆左焦点的距离．解：设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F，该椭圆的离心率为e =线的统一定义可知，23PF e b =⋅== 所以，12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b ．说明：椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线，在解题过程中要注意对应，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线（或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线．）例3．若椭圆22143x y +=内有一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使||2||MP MF +最小，则点M 为（ ）()A (1)3- ()B 3(1,)2± ()C 3(1,)2- ()D (1)3±- 略解：因为椭圆的离心率为12，则2||MF 就等于M 点到右准线的距离d ，则可以看到||2||||MP MF MP d +=+，由点到直线的最短距离是垂线段得01M Mx y >⎧⎨=-⎩可以得到1)-．故选()A ．四．回顾小结：圆锥曲线的统一定义．2．5 圆锥曲线的统一定义（1课时）一、教学目标1. 了解圆锥曲线的统一定义.2．掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法。
2.5 圆锥曲线的统一定义 学案2 2017-2018学年高中数学选修2-1 苏教版
2.5 圆锥曲线的统一定义解决问题.1．圆锥曲线的统一定义 圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当____时，它表示椭圆； 当____时，它表示双曲线； 当____时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的______，定点F 是圆锥曲线的____，定直线l 是圆锥曲线的____． 预习交流1平面内动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＝4的距离之比是常数2时，点P 的轨迹是__________．2．(1)椭圆x 29＋y 25＝1的准线方程为__________．(2)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条准线与抛物线y 2＝－6x 的准线重合，则a ＝__________.3．圆锥曲线的焦半径公式椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦半径为PF 1＝______，PF 2＝____，其中P (x 0，y 0)为椭圆上任一点，F 1为左焦点，F 2为右焦点．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2.若P 在右支上，则PF 1＝____，PF 2＝____，若P 在左支上，则PF 1＝____，PF 2＝____.抛物线y 2＝2px 上任一点P (x 0，y 0)到F 的距离PF ＝____. 焦点在y 轴上的圆锥曲线有类似的结论． 预习交流3椭圆x 24＋y 23＝1上一点P 到右焦点的距离为32，则点P 的坐标为__________．一、写出下列曲线的焦点和准线方程(1)3x 2＋4y 2＝12；(2)9x 2－16y 2＝144；(3)y 2＋8x ＝0.思路分析：先将方程化为标准方程判断焦点位置，再求焦点坐标和准线方程．写出下列曲线的焦点和准线方程．(1)2x 2＋y 2＝2；(2)x 2－y 2＝－2；(3)x 2－y ＝0.求圆锥曲线的焦点坐标与准线方程，要先将方程化为标准方程判断出焦点的位置，再求焦点坐标与准线方程．二、圆锥曲线统一定义的应用已知定点A (－2，3)，点F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点M 在椭圆上运动，求AM＋2MF 的最小值，并求此时点M 的坐标．思路分析：式中MF 可用点M 到相应准线的距离表示出来，利用此种转化，问题便迎刃而解．点M (x ，y )与定点(3,0)的距离和它到定直线l ：x ＝253的距离的比是常数35，求点M 的轨迹方程．(1)借助圆锥曲线的统一定义，MFd＝e ，将MF 表示为ed (d 为点M 到相应准线的距离)，这也是解答有关距离问题的技巧．(2)利用准线、焦点、离心率求圆锥曲线方程时，要注意是否为标准方程． 三、焦半径公式的应用在双曲线x 216－y29＝1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．思路分析：用圆锥曲线的统一定义转化两个距离间的关系，即可建立方程求解．抛物线y 2＝8x 上有一点P ，它到焦点的距离是20，则点P 的坐标为__________．利用统一定义将圆锥曲线上点P 到焦点的距离用点P 的坐标表示是解题的关键，解题时不要漏解．1．椭圆的方程为x 225＋y216＝1.点M (4，y 0)，则M 到右焦点F 的距离为__________．2．双曲线x 2a －y 24＝1的一条准线为x ＝53，则a ＝__________.3．P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，它到右焦点的距离为225，则点P 到左准线距离为__________．4．到定点A (5,0)及定直线l ：x ＝165的距离之比为54的点的轨迹方程是__________．5．已知抛物线y 2＝4x 上两动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)及一个定点M (1,2)，F 是抛物线的焦点，若AF ，MF ，BF 成等差数列，则x 1＋x 2＝__________.答案：课前预习导学1．0＜e ＜1 e ＞1 e ＝1 离心率 焦点 准线 预习交流1：提示：双曲线预习交流2：(1)提示：x ＝±92(2)提示：抛物线y 2＝－6x 的准线为x ＝32，∴a 2a 2＋1＝32，∴a ＝ 3.3．a ＋ex 0 a －ex 0 a ＋ex 0 ex 0－a －a －ex 0 a －ex 0 x 0＋p2预习交流3：提示：设P (x 0，y 0)，∵a ＝2，c ＝1，∴e ＝12.∴2－12x 0＝32，即得x 0＝1.代入椭圆方程得y 0＝±32.∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，±32. 课堂合作探究活动与探究1：解：(1)将方程化为标准方程为x 24＋y 23＝1，焦点在x 轴上．又a 2＝4，b 2＝3，∴c 2＝a 2－b 2＝1，即得c ＝1.∴焦点坐标为(±1,0)，准线方程为x ＝±4.(2)将方程化为标准方程得x 216－y29＝1，焦点在x 轴上．又a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝25，即得c ＝5.∴焦点坐标为(±5,0)，准线方程为x ＝±165.(3)将方程化为标准方程得y 2＝－8x ，焦点在x 轴负半轴上，且p ＝4， ∴焦点坐标为(－2,0)， 准线方程为x ＝2.迁移与应用：解：(1)将原方程化为标准方程得x 2＋y 22＝1，焦点在y 轴上，又a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝1，即得c ＝1.∴焦点坐标为(0，±1)，准线方程为y ＝±2.(2)将原方程化为标准方程得y 22－x22＝1，焦点在y 轴，又a 2＝b 2＝2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4，即得c ＝2. ∴焦点坐标为(0，±2)，准线方程为y ＝±1.(3)将原方程化为标准方程为x 2＝y ，焦点在y 轴正半轴上，p ＝12，∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14，准线方程为y ＝－14.活动与探究2：解：∵a ＝4，b ＝23， ∴c ＝a 2－b 2＝2.∴离心率e ＝12.点A 在椭圆内，设M 到右准线距离为d ，则MF d ＝e ，即MF ＝ed ＝12d ，右准线l ：x ＝8.∴AM ＋2MF ＝AM ＋d . ∵点A 在椭圆内，∴过A 作AK ⊥l (l 为右准线)于K ，交椭圆于点M 0.则A ，M ，K 三点共线，即M 与M 0重合时，AM ＋d 最小为AK ，其值为8－(－2)＝10. 故AM ＋2MF 的最小值为10.把y ＝3代入方程得x ＝23或x ＝－23(舍去)． ∴取最小值M 的坐标为(23，3)．迁移与应用：解法一：由题设及圆锥曲线的统一定义知，点M 的轨迹是椭圆，且右焦点F (3,0)，相应的右准线l ：x ＝253.由⎩⎨⎧c a ＝35，a 2c ＝253，解得c ＝3，a ＝5.∵c ＝3且右焦点F (3,0)，∴椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，故方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由a ＝5，c ＝3，得b ＝4.故所求点M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.解法二：由题意知(x －3)2＋y 2⎪⎪⎪⎪x －253＝35.平方化简得x 225＋y 216＝1.∴所求点M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.活动与探究3：解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，准线方程为x ＝±165，离心率为e ＝54.由于PF 1＝2PF 2＞PF 2，故点P 在右支上，由圆锥曲线统一定义知，PF 1＝a ＋ex 0＝4＋54x 0，PF 2＝54x 0－4.又∵PF 1＝2PF 2，∴4＋54x 0＝10x 04－8，∴x 0＝485.∵点P 在双曲线上，∴⎝⎛⎭⎫485216－y 209＝1，解得y 0＝±31195.∴所求点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫485，±31195.迁移与应用：(18，±12) 解析：抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 0＋2＝20，∴x 0＝18.代入抛物线得y 20＝8x 0＝144，∴y 0＝±12. 当堂检测1．135 解析：椭圆的右准线方程为x ＝253.设M (4，y 0)到右准线的距离为d ，则MFd＝e .∴MF ＝ed ＝35×⎝⎛⎭⎫253－4＝135. 2．5 解析：由已知得，双曲线焦点在x 轴上，∴a ＞0，∵准线方程为x ＝±a a ＋4，∴aa ＋4＝53. 解得a ＝5(其中负值舍去)． 3．283 解析：设左、右焦点分别为F 1，F 2，则PF 1＝2a －PF 2＝10－225＝285，而椭圆离心率为e ＝35，∴由PF 1d ＝e 得d ＝PF 1e ＝28535＝283.4．x 216－y 29＝1 解析：由题意知点的轨迹是双曲线，且右焦点为(5,0)，右准线为165，离心率为54.∴a 2c ＝165，且c a ＝54，解得c ＝5，a ＝4，又∵右焦点为(5,0)，∴双曲线中心在原点，焦点在x 轴上．∵b 2＝c 2－a 2＝9，∴所求的轨迹方程为x 216－y 29＝1.5．2 解析：抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)．由圆锥曲线统一定义有AF ＝x 1＋1，BF ＝x 2＋1，MF ＝2.又AF，MF，BF成等差数列，∴4＝x1＋1＋x2＋1，从而x1＋x2＝2.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.5 圆锥曲线的统一定义》2
圆锥曲线的统一定义教学目标1、了解圆锥曲线的统一定义；2、掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法．教学重点，难点圆锥曲线的统一定义及准线方程．教学过程一．问题情境：古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥（如图1）的方法研究了圆及椭圆、双曲线、抛物线由于椭圆、双曲线、抛物线均是平面截圆锥而得到，教材中将这三类曲线定义为圆锥曲线。
既然都叫圆锥曲线，它们是否会有一个统一的定义呢探索活动1:椭圆、双曲线、抛物线定义的表述，结构上有相似和相异之处吗➢椭圆：平面内到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆➢双曲线：平面内到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线➢抛物线：平面内到一个定点F和一条定直线F不在上）的距离相等的动点轨迹叫做抛物线结论：（1）都是两个距离的关系；（2）椭圆和双曲线定义中是到两个定点的距离的关系，而抛物线定义中是到定点距离与到定直线的距离的关系探索活动2：如果它们的定义能统一，是都用到两定点的距离关系来定义，还是都用到一定点F 的距离和到一定直线的距离的关系来定义呢？猜想一下，用哪个更合理？为什么？结论：用到一定点F的距离和到一定直线的距离的关系来定义，因为抛物线只有一个焦点。
探索活动3：椭圆上任意一点到一个定点（焦点）的距离和到一定直线的距离是否存在某种数量关系呢？结论：椭圆上任意一点到一个定点（焦点）的距离和到一定直线l的距离之比是常数c a。
问题3：反之，平面内到一个定点的距离与到一定直线 的距离之比是一个常数（小于1）点的轨迹是椭圆吗？二．生成定义例题：已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数c a (0)a c >>，求点P 的轨迹．2(a>c>0P(x,y)F(c,0)a c l:x=,c a)2222222 结论：当点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数时这个x y 点的轨迹是椭圆,方程为+=1(其中b a b=a -c ),这个就是椭圆的常数离心率.(a>c>0)(c>a>0)?问题4：若变为呢变题：已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数c a (0)c a >>，求点P 的轨迹．2P(x,y)F(c,0)a c l:x=,(c c a >a>0)2222222双曲线 当点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数时这个x y 点的轨迹是,方程为-=1(其中b a b=c -a ),这个就是双曲常数线的离心率.问题5：圆锥曲线如何统一定义呢？平面内到一定点F 与到一条定直线 点F 不在直线 上）的距离之比为常数 e 的点的轨迹:e F l 其中是圆锥曲线的,定点是圆锥曲离心率线的,定直线是圆锥曲线焦点的准线.三． 随堂检测1、填空（见课本第53页感受⋅理解第一题）［设计意图]:对焦点在y 轴上的椭圆、双曲线（标准形式）的准线方程，让学生通过画图，独立探索） 2、已知某圆锥曲线的准线是1x =，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程：（1）12e = （2）1e = （3）32e = ［设计意图]：此题是在学生学习了圆锥曲线的统一定义后的一道习题，目的在于学生首先根据离心率的大小来确定曲线是椭圆、双曲线还是抛物线，然后再求准线。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.5 圆锥曲线的统一定义》3
解析几何中的离心率问题江苏高考2021年文理分科后，解析几何中的离心率共出现了5次，怎样得分是我们平时要抓住的点。
一．课前练习12．（2021年）在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =13（2021年）在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为8．（2021年）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率 为，则m 的值为 ．12、（2021年）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为10（2021年）在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，直线2b y =与椭圆交于C B ,两点，且o BFC 90=∠，则该椭圆的离心率为二．例题讲解例1：椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的左顶点和右焦点分别为A ，F ，P 是圆222b y x =+上的动点，若PF PA 等于常数，则此椭圆的离心率为例2若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线x y 3=无交点，则离心率的取值范围为变式：（1）若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线x y 3=有两个交点，则离心率的取值范围为22214x y m m -=+（2）若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线13+=x y 有1个交点，则离心率的取值范围为例3：椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a b y a x ，1A ，2A ，1B ，2B 分别为椭圆的左右，上下顶点，焦点为1F ，2F ，延长21F B 与22B A 交于P 点，若21PA B ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为。
25圆锥曲线的统一定义教案(苏教版选修2-1).docx
2. 5圆锥曲线的统一定义•三维目标1. 知识与技能(1) 圆锥曲线统一定义及其应用. (2) 圆锥曲线的准线及其应用. 2. 过程与方法(1)通过对圆锥Illi 线的统-定义的研究，体会三种Illi 线的内在统--性，培养学生归纳、 总结能力.(2)通过对圆锥］III 线统一定义的应用，培养学牛对圆锥|11|线的准线的理解，培养 学生转换角度，认识问题的能力.(3)通过例题变式训练的求解，培养学生数学建模、解决 问题的能力.体会特殊到一般，具体到抽彖的认识规律.3. 情感、态度与价值观在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念 分析事物之间的联系，培养学生严谨的科学态度，勇于探索和敢于创新的科学精神.•重点难点重点：圆锥曲线统一定义的推导. 难点：对圆锥曲线统一定义的理解与运用.(教师用书独具)•教学建议以前己学过求圆锥mi 线的标准方程和利用圆锥mi 线方程研究MI 线儿何性质的初步知 识.本节是在这个基础上学习圆锥曲线的统一定义，研究它们的共同性质，使学生掌握这三 种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系，进一步熟悉和学握坐标法.通过设计导学提纲引导学生做好课前预习，明确木节的重难点，主动思考，发现问题, 在课堂上分组讨论交流，合作探究，展示交流成果，学牛主讲，学生板书，学牛点评，当堂 进行达标测试，及时反馈学生知识掌握水平，从而完成预定教学冃标.引导学生在探究中发 现问题、研究问题并解决问题.在感性活动的基础上，上升到理性的数学知识的形成，养成放字教法分析明课标分条解读现“数法”教学助 & K I敷多方案设ir授方略冰稅细解用“教秦”教案设 甘区上良好学习习惯和思维习惯.•教学流程设置情景，导入新课.上课开始，先回顾椭圆、双曲线、抛物线的定义，提出问题， 平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线I 的0不在I 上）距离的比等于1的动点P 的轨 迹是抛物线，那么，当比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么呢？今师生 互动，探求新知.思考：在推导椭圆标准方程时，我们得到一个变形式：出=务 同学们能解释它的几何意义吗？设计说明：使学生学会从多个角度（如代数的、几何的角度） 认识同一个对象.今 学生归纳圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线Z0不在Z 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹.当（）“vl 时，它表示椭圆；当 01时，它表示双曲线；当0=1时，它表示抛物线.设计说明：使学生对圆锥曲线的共同 性质有理性的认识.今通过例1及变式训练，使学生掌握已知准线求圆锥曲线方程的方法, 领会准线、离心率与基本量之间的关系，掌握圆锥曲线统一定义的实质，认识到准线在统 一定义中的重要性.今通过例2及变式训练，使学生掌握圆锥曲线统一定义的应用，利用 圆锥曲线的统一定义，可将曲线上一点到焦点与到准线的距离灵活转换，从而达到解题的 目的.利用圆锥曲线的统一定义，在已知焦点坐标和准线方程情形下求解圆锥曲线的方 程.=＞通过例3及变式训练，使学生掌握焦点弦问题的求解方法，体会利用统一定义求解 焦点弦长的简捷性，从而简化计算过程.今通过易错易误辨析，体会圆锥曲线统一定义的 严谨性，尤其对于椭圆、双曲线，利用统一定义时，要注意焦点与准线相对应.二归纳整 理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.今完成当堂双基达标，巩固基本知识，形 成 基 本 能 力・【问题导思】如何求圆锥曲线的统一方程呢？【提示】 如图，过点M 作丄/, H 为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知= e\MH\}.理教材自查自测固“基础”自主学习区*取过焦点F,且与准线/垂直的直线为兀轴，F(0)为坐标原点，建立直角坐标系.设点M的坐标为(x,叨，则\OM\ = yfx2 + y2.①设直线/的方程为兀=—p,则\MH\ = |x + p|. ②把①、②代入\0M\ = e\MH I，得\jx2+y1=e\x+p\.两边平方，化简得(1 - e2)x2 +/ - 2pe2x ~p2e2=0.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的统一方程.1.平面内到一个定点F和到一条定直线/(F不在/上)的距离的比等于並数旦的点的轨迹.当0«<1时,它表示椭圆；当少1时,它表示双曲线；当€=1时,它表示抛物线.其屮匕是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点,定玄线/是圆锥曲线的准线.2 2 2 2 22.椭圆寺+”=l(a>b>0)的准线方程为x=士牛，^2+p=l(a>b>0)的准线方程为ycf=±—・c2 2 2双曲线歹一*=1(。
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a2－cx＝a (x－c)2＋y2 ，
将其变形为 (x－c) ＋y
2 2
a2 －x c
你能解释这个方程的几何意义吗？ 三、建构数学
＝
c ， a
例 1 已知点 P （x， y） 到定点 F （c， 0） 的距离与定直线 l： x＝ 的距离之比是常数 （a>c>0） ， 求点 P 的轨迹． 变式 将条件 a>c>0 改为 c>a>0 呢？
a2 c
c a
由例 1 及其变式可以发现圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l（F 不在 l 上）的距离的比等于常数 e 的点的轨迹． 当 0＜e＜1 时，它表示椭圆； 当 e＞1 时，它表示双曲线； 当 e＝1 时，它表示抛物线． 其中 e 是圆锥曲线的离心率，定点 F 是圆锥曲线的焦点，定直线 l 是圆锥曲线的准线． 思考 1 （1）椭圆和双曲线有几条准线？ （2）准线方程分别是什么？ 思考 2 椭圆
2 2
（5） y 2 16 x ；
（6） x 2 16 y ．
例 2 已知椭圆上一点 P 到左焦点的距离为 4，求 P 点到左准线的距离． 变式 1 求点 P 到右准线的距离． 变式 2 已知双曲线 四、小结
2 x 2 y 上一点 1 P 到左焦点的距离为 14，求 P 点到右准线的距离． 64 36
1．圆锥曲线的统一定义． 2．求点的轨迹的方法． 3．数形结合的思想． 五、作业 教学心得
y2 x2 y2 x2 2＋ 2 = 1 （a＞b＞0）和双曲线 2－ 2＝1 （a＞0，b＞0） a b a b
的准线方程分别是什么？ 三、知识运用： 例 1 求下列曲线的焦点坐标和准线方程．
x2 y 2 1； （1） 25 9
（4） 4 y 2 x2 16 ；
x2 y2 1； （2） 4 x y 16 ； （3） 25 9
圆锥曲线的统一定义
了解圆锥曲线的统一定义，理解圆锥曲线的准线的概念，掌握标准方程下的圆 知识与技能 教学目标 过程与方法 情感态度 与价值观 教学重难点 圆锥曲线的统一定义及其应用． 教学流程\内容\板书 一、情境设计 问题 1 我们知道，平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l（F 不在 l 上）的距离的 比等于 1 的动点 P 的轨迹是抛物线， 当这个比值是一个不等于 1 的常数时， 动点 P 的轨迹又是什 么曲线呢？ 二、学生活动 1 运用多媒体画出常数分别为 和 2 的动点 P 的轨迹，并判断曲线类型． 2 问题 2 在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程： 关键点拨 加工润色 锥曲线准线方程．