新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质学案新人教B版必修第一册
新教材高中数学第二章等式与不等式 不等式 一元二次不等式的解法学案含解析新人教B版必修第一册
2.2.3 一元二次不等式的解法学习目标1.经历从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程，能用符号语言来描述这个模型，提升数学抽象素养;2.通过一元二次不等式实例的求解，能概括解一元二次不等式的一般步骤，提高总结归纳能力;会运用一元二次不等式知识解决有关的问题，发展数学应用意识.自主预习汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m ，乙车的刹车距离略超过10 m .已知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速v km/h 之间的关系分别为s 甲=1100v 2-110v ，s 乙=1200v 2-120v.试判断甲、乙两车有无超速现象. 不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式 1100v 2-110v>6和 ， 即v 2-10v-600>0和 ，一般地，形如ax 2+bx+c>0的不等式称为 ，其中a ，b ，c 是 ，而且 .一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.[尝试与发现1]任意选定一些数，看它们是否是不等式x (x-1)>0的解，由此给出解这个不等式的方法. 注意到 ，结果才能是正数，也就是说，ab>0当且仅当，或，因此，不等式可以转化为两个不等式组，或，用类似的方法可以求得不等式(x+1)(x-1)<0的解，但此时的依据是:ab<0当且仅当，或 ，因为不等式可以转化为两个不等式组，或，一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x-x 1)(x-x 2)<0的解集是 .不等式(x-x 1)(x-x 2)>0的解集是 .[尝试与发现2]通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法:(1)x 2<-1;(2)x 2>-2;(3)x 2<9.因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中(1)的解集为 ，(2)的解集为 .对于x 2<9来说，两边同时开根号可得√x 2<√9，即|x|<3，因此-3<x<3，从而得到(3)的解集为(-3，3). 课堂探究例1 求不等式x 2-x-2>0的解集.反思感悟:因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解可用此法，它只能适用于解决一类特殊的不等式. 跟踪训练1 求下列不等式的解集:(1)2x 2+x-6>0; (2)(3x-1)(x+4)>0.例2 求下列不等式的解集:(1)x 2+4x+1≥0; (2)x 2-6x-1≤0;(3)-x 2+2x-1<0; (4)2x 2+4x+5>0.反思感悟:配方法:一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a ≠0)通过配方总可以化为(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的形式，然后根据k值的正负即可求得不等式的解集.跟踪训练2 求下列不等式的解集:(1)x 2+x+1>0. (2)-4x 2+18x-814≥0.例3 求不等式2x+1x -2≥1的解集.反思感悟:1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.跟踪训练3 求下列不等式的解集: (1)x+21-x <0; (2)x+1x -2≤2.核心素养专练1.不等式x 2>1的解集是( )A .{x|x>1}B .{x|x>±1}C .{x|-1<x<1}D .{x|x>1或x<-1}2.不等式x (2-x )<0的解集是( )A .(2，+∞)B .(-∞，2)C .(0，2)D .(-∞，0)∪(2，+∞)3.不等式x 2+2x-3<0的解集为( )A .{x|x<-3或x>1}B .{x|x<-1或x>3}C .{x|-1<x<3}D .{x|-3<x<1}4.求下列不等式的解集:(1)x (x-3)<0; (2)(x+1)(1-x )≥0;(3)x 2+6x-7≤0; (4)x 2-8x+16<0.5.求下列不等式的解集:(1)x 2+2x-5<0; (2)x 2-4x-2≥0;(3)x 2+6x+10≤0; (4)x 2-8x+16≤0;(5)-x 2+8x-1≤0; (6)2x 2-4x+3<0.6.求下列不等式的解集:(1)x+1x -1>0; (2)1x -1>1.参考答案自主预习1200v 2-120v>10，v 2-10v-2 000>0，一元二次不等式，常数，a ≠0，只有两个同号的数相乘，，(x 1，，2)，(-∞，x 1)∪(x 2，+∞)，⌀，R 课堂探究例1 (-∞，-1)∪(2，+∞).跟踪训练1 (1)(-∞，-2)∪，(2)(-∞，-4)∪，例2 (1)(-∞，-2-√3 ]∪[-2+√3，+∞)(2)[3-√10，3+√10 ](3){x|x ≠1}(4)R跟踪训练2 (1)R(2){94}例3 (-∞，-3]∪(2，+∞)跟踪训练3 (1)(-∞，-2)∪(1，+∞)(2)(-∞，2)∪[5，+∞) 核心素养专练3.D4.(1)(0，3) (2)[-1，1](3)[-7，1] (4)⌀5.(1)[-1-√6，-1+√6](2)(-∞，2-√6 ]∪[2+√6，+∞) (3)⌀(4){4} (5)(-∞，4-√15]∪[4+√15，+∞)(6)⌀6.(1)(-∞，-1)∪(1，+∞) (2)(1，2)学习目标1.能在现实情境或数学情境中提取出一元二次不等式模型.2.能恰当使用因式分解法和配方法解一元二次不等式.课堂探究情境与问题: 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m ，乙车的刹车距离略超过10 m .已知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速v km/h 之间的关系分别为s 甲=1100v 2-110v ，s 乙=1200v 2-120v. 试判断甲、乙两车有无超速现象. 任务一:通过阅读上面内容，解答以下问题: 问题1:(1)如何构建数学关系式解决是否超速问题?(2)所得数学关系特征是什么? 一般的，形如 的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是 ，而且 ，不等号也可以是 .任务二:探究形如:(x-x 1)(x-x 2)>0或(x-x 1)(x-x 2)<0的解集. 问题2:(1)两个数相乘结果为正数，则这两个数满足什么关系?依据:ab>0当且仅当 . (2)x (x-1)>0可以等价转化成什么形式?解集是什么? (3)(x+1)(x-1)<0的解集是什么? 依据:ab<0当且仅当 . 结论:一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x-x 1)(x-x 2)<0的解集是 . 不等式(x-x 1)(x-x 2)>0的解集是 . 这种解不等式的方法叫因式分解法. 问题3:使用因式分解法解一元二次不等式的前提是什么?例1 求不等式x 2-x-2>0的解集.回到情境与问题中的不等式，v 2-10v-600>0可以化为(v+20)(v-30)>0，因此甲车的车速v>30;而v 2-10v-2 000>0可以化为 ，因此乙车的车速 .由此可见，乙车肯定超速了. 小结因式分解法解题规律:任务三:探究形如:(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的解集问题4:(1)通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集: ①x 2<-1 ;②x 2>-2 ;③x 2<9 .(2)类比方程的研究方法，解不等式x 2<9.(3)借助(2)解法特点解不等式x 2-6x-1≤0.结论:一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 这种解不等式的方法叫配方法. 问题5:(1)配方法适合解什么特征的一元二次不等式?(2)几种特殊情形:①(x-h )2>0的解集为 ;(x-h )2<0的解集为 .②当k<0时，不等式(x-h )2>k 的解集为 ，不等式(x-h )2<k 的解集为 . 例2 求下列不等式的解集:(1)x 2+4x+1≥0; (2)-x 2+2x-1<0;(3)2x 2+4x+5>0.变式训练:x 2-12>-x 2.小结配方法解题规律:拓展性问题:求不等式2x+1x -2≥1的解集.课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获?(知识层面、思想方法层面)布置作业1.阅读课本，结合学案，进行知识整理、整合.2.完成课本第71页A 组 第2，3题;B 组 第1，2题.3.选做题:B 组 第5题.参考答案课堂探究1:(1)1100v 2-110v>6;1200v 2-120v>10 (2)ax 2+bx+c>0;常数;a ≠0;< ≥ ≤问题2:(1)同号;，或，(2)，或，(-∞，0)∪(1，+∞)(3)(-1，1);，或，(x1，x2);(-∞，x1)∪(x2，+∞)问题3:一元二次不等式是特殊类型、能因式分解.例1(-∞，-1)∪(2，+∞)情境与问题:(v+40)(v-50)>0;v>50.问题4:(1)①⌀;②R;③(-3，3).(2)∵x2<9，∴√x2<√9，即|x|<3，∴-3<x<3.不等式的解集为(-3，3).(3)[3-√10，3+√10].问题5:(1)一般的一元二次不等式(2)①(-∞，h)∪(h，+∞);⌀;②R;⌀例2(1)(-∞，-2-√3]∪[-2+√3，+∞)(2)(-∞，1)∪(1，+∞)(3)R变式训练:(-∞，-1)∪，拓展性问题:(-∞，-3]∪(2，+∞)课堂小结略布置作业略。
新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.2不等式的解集学案新人教B版必修第一册
2.2.2 不等式的解集(教师独具内容)课程标准：1.了解不等式的解集和不等式组的解集的概念，会求一元一次不等式组的解集.2.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法.3.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.教学重点：1.求一元一次不等式组的解集.2.绝对值不等式的解法．教学难点：绝对值不等式的几何解法.【知识导学】知识点一不等式的解、不等式的解集及不等式组的解集的概念(1)能够使不等式成立的□01未知数的值称为不等式的解．02所有解组成的集合称为不等式的解集．(2)一般地，不等式的□(3)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的□03解集的交集称为不等式组的解集．知识点二绝对值不等式一般地，含有□01绝对值的不等式称为绝对值不等式．知识点三数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为□01|a－b|，记作□02AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝□03a＋b2，这就是数轴上的中点坐标公式．【新知拓展】1．解绝对值不等式的主要依据解绝对值不等式的主要依据是绝对值的定义、绝对值的几何意义及不等式的性质．2．绝对值不等式|x|≤a和|x|≥a的解法1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式2x－3≤1的解集为{x|x≤2}．( )(2)若|x|≥a的解集为R，则a＜0.( )(3)|x－1|＞1的解集为{x|x＞2或x＜－2}．( )(4)|x －a |＜|x －b |⇔(x －a )2＜(x －b )2.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(1)不等式|x |>x 的解集是( ) A ．{x |x ≤0} B ．{x |x <0或x >0} C ．{x |x <0}D ．{x |x >0}(2)不等式|3x －2|<1的解集为( ) A ．(－∞，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 (3)不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．(4)已知数轴上，A (－2)，B (x )，C (5)，若A 与C 关于点B 对称，则x ＝________；若线段AB 的中点到C 的距离小于3，则x 的取值范围是________．答案 (1)C (2)B (3)[－1，＋∞) (4)32 (6,18)题型一 一元一次不等式组的解法 例1 解下列不等式组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞x ＋1， ①x ＋8＜4x －1； ②(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥x ＋11， ①2x ＋53－1＜2－x . ②[解] (1)将①式移项、合并同类项，得x ＞2.将②式移项、合并同类项，得3x ＞9.系数化为1，得x >3. 所以不等式组的解集为(3，＋∞)． (2)将①式移项、合并同类项，得x ≥8. 将②式去分母，得2x ＋5－3＜6－3x .移项、合并同类项，得5x <4.系数化为1，得x <45.所以不等式组的解集为∅. 金版点睛解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后写出不等式组的解集.[跟踪训练1] x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x －1≤7－32x 都成立？解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3x －1，①12x －1≤7－32x .②将①式去括号，得5x ＋2＞3x －3.移项、合并同类项，得2x >－5.系数化为1，得x >－52.将②式移项，合并同类项，得2x ≤8.系数化为1，得x ≤4.所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，4， 所以x 可取的整数值是－2，－1,0,1,2,3,4.题型二 |ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 例2 解下列不等式：(1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.[解] (1)|5x －2|≥8可化为5x －2≥8或5x －2≤－8，解得x ≥2或x ≤－65，故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－65∪[2，＋∞)．(2)原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥2，|x －2|≤4.由|x －2|≥2，得x －2≤－2或x －2≥2， 所以x ≤0或x ≥4.由|x －2|≤4，得－4≤x －2≤4，所以一2≤x ≤6.故原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0或4≤x ≤6}，即[－2,0]∪[4,6]． 金版点睛形如|ax ＋b |≤c c >0和|ax ＋b |≥c c >0型的不等式，均可采用等价转化法进行求解，即|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c .[跟踪训练2] 解下列不等式： (1)|2x －3|≤1；(2)|4－3x |＞5.解 (1)由|2x －3|≤1可得－1≤2x －3≤1， 所以1≤x ≤2.故原不等式的解集为[1,2]．(2)由|4－3x |>5可得4－3x >5或4－3x <－5，所以x <－13或x >3，即原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞). 题型三 |x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c 型不等式的解法 例3 解下列不等式：(1)|x ＋1|＋|x －1|≥3；(2)|x －3|－|x ＋1|＜1.[解] (1)解法一：如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么点A ，B 之间的点到A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在点A 左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离之和为3，A 1对应数轴上的x .由－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设点B 右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离之和为3，B 1对应数轴上的x ， 由x －1＋x －(－1)＝3，得x ＝32，从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 解法二：当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3， 解得x ≥32.综上所述，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 解法三：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴交点的横坐标是－32和32.从图像可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(2)解法一：如图所示，在数轴上－1,3，x 对应的点分别为A ，C ，P ，而点B 对应的实数为12，点B 到点C 的距离与到点A 的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P 在射线Bx 上(不含点B )时，不等式成立，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 解法二：原不等式⇔①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－x －3＋x ＋1＜1或②⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜3，－x －3－x ＋1＜1或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x －3－x ＋1＜1，解得①的解集为∅，②的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜3，③的解集为{x |x ≥3}． 综上可知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x －3|－|x ＋1|－1<0，构造函数y ＝|x －3|－|x ＋1|－1， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－1，－2x ＋1，－1＜x ＜3，－5，x ≥3.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.由图像可知，当x >12时，有y <0，即|x －3|－|x ＋1|－1<0，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 金版点睛形如|x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c型不等式的解法这种类型的不等式在求解时有三种方法：(1)利用绝对值的几何意义求解，这种方法体现了数形结合的思想，是解绝对值不等式最简单的方法，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题的关键．(2)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根，把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式最常用的方法．(3)构造函数，利用函数图像求解，这种方法体现了函数与方程的思想，准确画出函数图像并求解函数图像与x 轴的交点坐标是解题的关键．[跟踪训练3] 解下列不等式：(1)|x －1|－|5－x |＞2；(2)|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 解 (1)原不等式即为|x －1|－|x －5|>2， 其等价于 ①⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，1－x －5－x ＞2或②⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1－5－x ＞2或③⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，x －1－x －5＞2，解得①无解，②的解集为{x |4<x ≤5}，③的解集为{x |x >5}，故原不等式的解集为(4，＋∞)．(2)①当x ≤－23时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，所以x ≤－95；②当－23<x <12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ＋3≥8⇔x ≥5，所以x ∈∅；③当x ≥12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8⇔5x ≥7⇔x ≥75，所以x ≥75.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－95∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫75，＋∞.1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0，3x －1≤2x －1的解集为( )A ．(－3,0]B ．(－3,2]C ．∅ D.⎝⎛⎦⎥⎤－3，－45答案 B解析 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0， ①3x －1≤2x －1， ②将①式移项，得x ＞－3.将②式去括号，得3x －3≤2x －1.移项、合并同类项，得x ≤2.所以不等式组的解集为(－3,2]，故选B.2．不等式|4－x |≥1的解集为( ) A ．[3,5] B ．(－∞，3]∪[5，＋∞) C ．[－4,4] D ．R答案 B解析 |4－x |≥1⇒x －4≥1或x －4≤－1，即x ≥5或x ≤3.所以所求不等式的解集为(－∞，3]∪[5，＋∞)．故选B.3．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为( ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0) D ．(－4，－2)∪(0,2) 答案 D解析 由1＜|x ＋1|＜3，得1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1，所以0＜x ＜2或－4＜x ＜－2.所以所求不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．4．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________．答案 [1，＋∞)解析 解法一：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，两边平方，得(x ＋1)2≥(x －3)2，解得x ≥1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．解法二：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x 到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x ＝1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．5．解不等式|x ＋2|＋|x －1|＜4.解 |x ＋2|＝0和|x －1|＝0的根－2,1把数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在这三个区间上|x ＋2|＋|x －1|有不同的表达式，它们构成了三个不等式组．(1)当x ≤－2时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔－2－x ＋1－x ＜4⇔－2x ＜5⇔x ＞－52， 所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2. (2)当－2＜x ＜1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋1－x ＜4⇔3＜4，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为(－2,1)．(3)当x ≥1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋x －1＜4⇔2x ＜3⇔x ＜32， 所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 因此原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2∪(－2,1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32.。
2019_2020学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质练习新人教B版必修第一册
2.2.1 不等式及其性质一、选择题1．若0a b <<，那么下列不等式中正确的是（ ）A ．2ab b <B ．2ab a >C ．11a b <D ．11a b> 【答案】D【解析】若0a b <<，则20ab b >>，故A 错， 20a ab >>，故B 错，110b a a b ab--=>， 故选D.2．已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（ ） A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．()0ac a c -<D ．22cb ab <【答案】D【解析】因为c b a <<且0ac <，故0,0c a <>，所以ab ac >，故A 正确；又0b a -<，故()0c b a ->，故B 正确；而0,0a c ac -><，故()0ac a c -<，故C 正确；当0b =时，22cb ab =，当0b ≠时，有22cb ab <，故22cb ab <不一定成立， 综上，选D.3．已知，则“”是“”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】a ∈R ，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“”的充分非必要条件． 故选：A ．4．若a ＞b ，c ＞d ，下列不等式正确的是（ ）A ．c b d a ->-B ．ac bd >C ．a c b d ->-D ．a b d c> 【答案】A【解析】由题意，因为a b >，所以a b -<-，即b a ->-，又因为c d >，所以c b d a ->-，故选：A ．5．已知a ，b ，c ，d R ∈，则下列不等式中恒成立的是( )．A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若a b >，则a c b c ->- 【答案】D【解析】 A 选项：若1a =，0b =，1c =-，2d =-，则1-=ac ，0bd =；此时ac bd <，可知A 错误；B 选项：若0c =，则220ac bc ==，可知B 错误；C 选项：a b >，则0a b ->；若0c ≤，则()0a b c -≤，可知C 错误；D 选项：若a b >，根据不等式性质可知a c b c ->-，D 正确.本题正确选项：D6．（2019年天津文)设x R ∈，则“05x <<”是“11x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<。
新教材高中数学第2章等式与不等式2.2.1不等式及其性质(第1课时)不等关系与不等式课件新人教B版必修第一册
2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第1课时 不等关系与不等式
学习目标
核心素养
1.会用不等式(组)表示实际问题中 1. 借助实际问题表示不等式，提
的不等关系．(难点)
升数学建模素养．
2．会用比较法比较两实数的大 2. 通过大小比较，培养逻辑推理
小．(重点)
素养.
自主预习 探新知
【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 过民航飞机的最低时速，可这个速 度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速 度关系．
[解] 设复兴号列车速度为v1， 民航飞机速度为v2， 普通客车速度为v3. v1，v2的关系：2v1＋100≤v2， v1，v3的关系：v1＞3v3.
1．不等关系 不等关系常用_不__等__式___来表示． 2．实数 a，b 的大小比较
文字语言 数学语言 等价条件 a－b 是正数 a－b＞0 a＞b a－b 等于零 a－b＝0 a＝b a－b 是负数 a－b＜0 a＜b
3.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有(a－b)2≥0，当且仅当__a_＝__b__时，等号 成立．
(2)正确．不等式 a≤b 表示 a<b 或 a＝b.故若 a<b 或 a＝b 中有一 个正确，则 a≤b 一定正确．
(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与 c 的符号有关．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．下面表示“a 与 b 的差是非负数”的不等关系的是(
)
A．a－b＞0
B．a－b＜0
A．v≤120 km/h 且 d≥10 m B．v≤120 km/h 或 d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m A [v 的最大值为 120 km/h，即 v≤120 km/h，车间距 d 不得小 于 10 m，即 d≥10 m，故选 A.]
2021_2022学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质课件新人教B版必修第一
第二章
2.2.1 不等式及其性质
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.了解日常生活中的不等关系.(数学抽象)
2.掌握不等式的性质.(数学抽象)
3.能利用不等式的性质对数或式进行大小比较,解不等式(组)和不等式证
明.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
(1)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”,其含义是指“或者a>b,或者a=b”,
等价于“a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确.
(2)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a<b,或者a=b”,
等价于“a不大于b”,即若a<b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确.
系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合
法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,
则综合法可用框图表示为:
P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q
(2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直
至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、
(-)(-)
-
(-)(-)
=
(-)
.
(-)(-)
∵c>a>b>0,∴a-b>0,c-a>0,c-b>0.
(-)
∴(-)(-)>0,-
∴-
>
.
-
−
>0.
新教材高中数学第二章等式与不等式 不等式 一元二次不等式的解法学案含解析新人教B版必修第一册
2．2.3 一元二次不等式的解法[课程目标] 1.掌握一元二次不等式的概念；2.会用因式分解法和配方法解一元二次不等式．知识点一一元二次不等式的概念[填一填]一般地,形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c均为常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．知识点二一元二次不等式的解法[填一填]1．因式分解法(1)一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1,x2),不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞,x1)∪(x2,＋∞)．(2)解一元二次不等式,先把不等式化成定义形式ax2＋bx＋c>0(其中不等号也可以是“<”“≥”“≤”等),若ax2＋bx＋c比较容易因式分解,可先将其进行因式分解,然后根据不等式解集的形式写出不等式的解集．2．配方法(1)把一元二次不等式x2＋bx＋c>0化为(x＋h)2>k(h,k为常数)的形式,当k≥0时,就可以用直接开平方法求出不等式的解集．这种解一元二次不等式的方法叫做配方法．(2)一般步骤：一移,将含未知数的项移到不等号的左边,常数项移到不等号的右边；二除,二次项的系数不为1时,不等号两边同时除以二次项的系数,将其化为1；三配,不等号两边同时加上一次项系数一半的平方,将其左边配成完全平方式；四开,不等号右边是非负数时,用直接开平方法解不等式；方程右边是负数时,原不等式的解集为任意实数．[答一答]1．不等式x2－3x＋2>0的解集是什么？提示：x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)>0其解集为{x|x<1或x>2}．2．不等式(x－1)(x－a)>0(a∈R)的解是什么？提示：当a>1时,不等式的解集是(－∞,1)∪(a,＋∞)；当a＝1时,不等式的解集是(－∞,1)∪(1,＋∞)；当a<1时,不等式的解集是(－∞,a)∪(1,＋∞)．3．用配方法解不等式x2＋2x≤0.提示：x2＋2x＝(x＋1)2－1≤0,即(x＋1)2≤1,－1≤x＋1≤1,即－2≤x≤0,不等式的解集是[－2,0]．类型一 因式分解法解一元二次不等式 [例1] 求下列不等式的解集： (1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0； (3)x 2－2x －8<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．[解] (1)因为x 2－5x －6＝(x －6)(x ＋1), 所以原不等式等价于(x －6)(x ＋1)>0.所以原不等式的解集为(－∞,－1)∪(6,＋∞)． (2)原不等式等价于(x －2)(x ＋3)>0,所以不等式的解集为(－∞,－3)∪(2,＋∞)． (3)因为x 2－2x －8＝(x －4)(x ＋2), 所以原不等式等价于(x －4)(x ＋2)<0. 所以原不等式的解集为(－2,4)． (4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2, 所以原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 因为9x 2－12x ＋4＝(3x －2)2, 所以原不等式等价于(3x －2)2>0, 所以原不等式的解集为{x |x ≠23}．用因式分解法解一元二次不等式,首先要把不等式进行因式分解,注意先把二次项系数化为正数,否则得到相反的结论.[变式训练1] 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－x 2＋8x －15>0； (3)x 2－4x －5<0； (4)－3x 2－2x ＋8≥0.解：(1)因为2x 2＋7x ＋3＝(2x ＋1)(x ＋3),所以原不等式等价于(2x ＋1)(x ＋3)>0. 所以原不等式的解集为(－∞,－3)∪(－12,＋∞)．(2)原不等式等价于x 2－8x ＋15<0. 因为x 2－8x ＋15＝(x －3)(x －5), 所以原不等式等价于(x －3)(x －5)<0.所以原不等式的解集为(3,5)． (3)因为x 2－4x －5＝(x ＋1)(x －5), 所以原不等式可化为(x －5)(x ＋1)<0. 所以原不等式的解集为(－1,5)． (4)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0, 即3(x －43)(x ＋2)≤0,即(x －43)(x ＋2)≤0,所以原不等式的解集为[－2,43]．类型二 配方法解一元二次不等式 [例2] 用配方法解下列不等式： (1)4x 2＋4x －5≤0； (2)14x 2＋x ＋2≥0. [解] (1)4x 2＋4x －5＝(2x ＋1)2－6≤0, 即(2x ＋1)2≤6,－6≤2x ＋1≤6, －1＋62≤x ≤6－12.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＋62≤x ≤6－12. (2)14x 2＋x ＋2＝(12x ＋1)2＋1≥0, 因为不等式恒成立,所以不等式的解集为R .[变式训练2] 用配方法求下列不等式的解集： (1)x 2＋6x >1； (2)2x 2＋6≥7x .解：(1)原不等式等价于x 2＋6x －1>0,因为x 2＋6x －1＝x 2＋6x ＋9－9－1＝(x ＋3)2－10,所以原不等式可化为(x ＋3)2－10>0,即(x ＋3)2>10.两边开平方,得|x ＋3|>10,从而可得x ＋3>10或x ＋3<－10,所以x >10－3,或x <－10－3.所以原不等式组的解集为(－∞,－10－3)∪(10－3,＋∞)．(2)原不等式可化为x 2－72x ＋3≥0,因为x 2－72x ＋3＝x 2－72x ＋(74)2－(74)2＋3＝(x －74)2－116,所以原不等式可化为(x －74)2－116≥0,即(x －74)2≥116,得x －74≥14或x －74≤－14,解得x ≥2或x ≤32.故原不等式的解集为{x |x ≤32或x ≥2}．类型三 含参数的一元二次不等式的解法 [例3] 解关于x 的不等式ax 2＋3x ＋2>－ax －1(a >0)．[解] 不等式ax 2＋3x ＋2>－ax －1可化为ax 2＋(a ＋3)x ＋3>0,即(ax ＋3)(x ＋1)>0. 当－3a<－1,即0<a <3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－1或x <－3a ；当－3a ＝－1,即a ＝3时,原不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当－3a>－1,即a >3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－3a .综上所述,当0<a <3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3a 或x >－1；当a ＝3时,原不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当a >3时,原不等式的解集为{x |x <－1或x >－3a }．含参数的一元二次不等式要注意对参数的讨论,不重复不遗漏．如本题要依据－3a 与－1的大小关系进行讨论．[变式训练3] 关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0,若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <2,则m 的取值范围是(－∞,0)．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <2, ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2,且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0,∴m 的取值范围是m <0.类型四 分式不等式的解法 [例4] 解下列不等式． (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. [解] (1)∵2x －13x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0⇔⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13⇔x <－13或x ≥12,∴原不等式的解集为{x |x <－13,或x ≥12}．(2)方法1：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，2－x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >－3，x <－12，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12⇔－3<x <－12. ∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．方法2：原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0⇔－2x －1x ＋3>0⇔2x ＋1x ＋3<0⇔(2x ＋1)(x ＋3)<0⇔－3<x <－12.∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.[变式训练4] (1)下列选项中,使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( A )A ．x <－1B ．－1<x <0C ．0<x <1D ．x >1解析：由x <1x <x 2可得⎩⎨⎧x <1x，1x<x 2，即⎩⎨⎧x 2－1x<0，1－x3x <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或0<x <1，x <0或x >1，所以x <－1.(2)不等式：x ＋2x 2＋x ＋1>1的解集为{x |－1<x <1}．解析：因为x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0,所以原不等式可化为x ＋2>x 2＋x ＋1,即x 2－1<0,解得－1<x <1,所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}．1．下列各式：①x 2＋3>x ；②2x 2－3x >2x (x －1)－1；③3x 2－4x >5；④x 2>－1x ＋2.其中一元二次不等式有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①③把各项移到“>”左边,右边变为0,满足一元二次不等式的概念特征,是一元二次不等式；②化简后不含二次项,不是一元二次不等式；④中含有分式,不是一元二次不等式．2．不等式－x 2－2x ＋3>0的解集为( C ) A ．(－2,1) B ．(－3,－1) C ．(－3,1) D ．(－1,3)解析：原不等式等价于x 2＋2x －3<0,即(x ＋3)(x －1)<0,所以不等式的解集为(－3,1)． 3．不等式2x －1x ＋3>0的解集是( D )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(4,＋∞)C ．(－∞,－3)∪(4,＋∞)D ．(－∞,－3)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：2x －1x ＋3>0⇔(2x －1)(x ＋3)>0⇒x <－3或x >12.故选D.4．不等式－x 2＋5x >6的解集是(2,3)． 解析：不等式－x 2＋5x >6变形为x 2－5x ＋6<0, 因式分解为(x －2)(x －3)<0,解得2<x <3. ∴不等式－x 2＋5x >6的解集为(2,3)． 5．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1； (3)x 2－2x ＋3>0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0, 所以(2x ＋1)(x －2)<0,故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <2.(2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0, 所以(2x ＋1)(x －1)≥0,故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥1.(3)因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0, 故原不等式的解集是R .。
高中数学 第二章 等式与不等式学案(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案
章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a <b a －b ＝0⇔a ＝ba －b >0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧ 几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a >b 且ab >0，则1a <1b ”，“a >b ，c <d ，则a －c >b －d ”，“a >b >0，c >d >0，则a d >bc ”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实数根x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a(x 1<x 2) 有两相等实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2} {x |x ∈R ，x ≠－b2a}R ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的{x |x 1<x <x 2}∅∅解集3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1＋x 2＝ca ，若bc＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值 已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型 特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．解析：方法一：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x 2－x －12>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2<0，x 2－x －12<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >－2，x <－3或x >4或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－3<x <4.解得x >4或－3<x <－2.所以原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}． 方法二：令(x ＋2)(x 2－x －12)＝0， 得x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝4. 将－3，－2,4标在数轴上，如图．由图可知原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是 (1)将f (x )最高次项系数化为正数．(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f (x )＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴． (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2 解不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．解析：原不等式可变形为x 2＋2x －3x 2－x －6>0，故原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成：①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x 2－x －6>0；②⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0，x 2－x －6<0.解①得x <－3或x >3；解②得－2<x <1.综上可得，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型 含参不等式恒成立问题的求解策略 ┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3 对于x ∈R ，不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．思路探究：不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，可转化为函数y ＝x 2－2x ＋3－m 图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.解析：不妨设y ＝x 2－2x ＋3－m ，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使y ≥0(x ∈R )恒成立，只需对应方程的Δ≤0，即(－2)2－4(3－m )≤0，解得m ≤2.故实数m 的取值范围为(－∞，2]．归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．解析：∵1<x <4，∴不等式ax 2－2x ＋2>0可转化为a >2x －2x 2，令y ＝2x －2x 2＝－2(1x －12)2＋12≤12.∵14<1x<1， ∴当1x ＝12，即x ＝2时，函数取得最大值12，∴a >12，即实数a 的取值范围为(12，＋∞)．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型 均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6. 解析：易知2＋x 2>0， 所以y ＝3(2＋x 2)＋162＋x 2－6≥23(2＋x 2)·162＋x 2－6＝83－6，当且仅当3(2＋x 2)＝162＋x 2，即x ＝±433－2时，等号成立，此时y min ＝83－6. 2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．解析：由0<x <1，可得y ＝x 1－x 2＝x 2(1－x 2)≤x 2＋1－x 22＝12，当且仅当x 2＝1－x 2，即x ＝22时，等号成立，此时y max ＝12. 3．技巧三：分子常数化典例7 设x ∈(0，＋∞)，求函数y ＝2xx 2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．解析：由题意知，y ＝2x x 2＋4＝2x ＋4x .∵x ∈(0，＋∞)，∴x ＋4x ≥2x ·4x＝4， 当且仅当x 2＝4， 即x ＝2时，等号成立， 此时，y max ＝12.归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。
新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.4均值不等式及其应用(第1课时)均值不等式课件新人教B版必修第一册
【解】 (1)依题意得，y＝t＋1t －4≥2 t·1t －4＝－2，等号成 立时 t＝1，即函数 y＝t2－4tt＋1(t>0)的最小值是－2. (2)因为实数 x，y 满足 2x＋y＝1， 所以 y＝1－2x， 所以 xy＝x(1－2x)＝－2x2＋x＝－2x－142＋18≤18， 当 x＝14，y＝12时取等号，最大值是18.
应用均值不等式时的三个关注点
给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，
b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使ba＋ab≥2 成立的条件有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：选 C.当ba，ab均为正数时，ba＋ab≥2，故只需 a，b 同号即 可，所以①③④均可以．故选 C.
利用均值不等式直接求最值 (1)已知 t＞0，求 y＝t2－4tt＋1的最小值； (2)若实数 x，y 满足 2x＋y＝1，求 xy 的最大值．
以 x－2y>0，即 x>2y，故选 B.
已知 0＜x＜1，则 x(1－x)的最大值为________，此时 x＝ ________．
解 析 ： 因 为 0 ＜ x ＜ 1 ， 所 以 1 － x ＞ 0 ， 所 以 x(1 －
x)≤x＋（21－x）2＝122＝14，当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时
“＝”成立，即当 x＝12时，x(1－x)取得最大值14.
答案：14
1 2
对均值不等式的理解 下列结论正确的是( ) A．若 x∈R，且 x≠0，则4x＋x≥4 B．当 x>0 时， x＋ 1x≥2 C．当 x≥2 时，x＋1x的最小值为 2 D．当 0<x≤2 时，x－1x无最大值
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对 于选项 B，符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定， 三相等”；对于选项 C，忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x， 则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选项 D，x－1x在 0<x≤2 的范 围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
高中数学 第二章 等式与不等式本章小结学案(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学
第二章等式与不等式本章小结学习目标能够从函数的观点认识方程和不等式,感悟函数和方程、不等式之间的联系,认识函数的重要性.掌握等式与不等式的性质.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习{等式式与不等关系实数大小的比较依据——次不等式及其解法{{课堂探究任务一:不等式的基本性质的应用例1下列结论中正确的是()①a>b>0,d>c>0⇒ac>bd;②a>b,c>d⇒a-c>b-d;③ac2>bc2⇒a>b;④a>b⇒a n>b n(n∈N,n>1).A.①②③B.①③C.②③④D.①③④任务二:一元二次不等式的解法及其应用例2解下列不等式:(1)x-1x≥2;(2)2x3+x2-5x+2>0.例3解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.解一元二次不等式的步骤:任务三:二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系例4当实数m取何范围的值时,方程x2+(m-3)x+m=0的两根满足:(1)都是正根;(2)都在(0,2)内?思考:根的分布问题应该从哪几个方面考虑?例5已知一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},则a= ,b= .任务四:基本不等式的应用例6已知3a2+2b2=5,试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值.例7如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3米,AD=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN 的长为多少时,矩形花坛AMPN 的面积最小?并求出最小值.课堂练习1.若a ∈R 且a ≠0,比较a 与1a 的大小.2.求函数y=x 4+3x 2+3x 2+1的最小值.核心素养专练对任意x ∈[1,2],不等式1-mx ≤√1+x≤1-nx 恒成立,试求n 的最大值与m 的最小值.参考答案自主预习略 课堂探究例1 思路分析:判断不等关系的真假,要紧扣不等式的性质,应注意条件与结论之间的联系. 【解析】∵d>c>0⇒1c >1d>0,又a>b>0,∴a c >bd,∴①对;∵a>b ,-c<-d 不同向,不等式不可加,∴②错; ∵ac 2>bc 2,c 2>0,∴a>b ,∴③对;只有当a>b>0时,才有a n >b n ,∴④错,故选B .答案:B例2 【思路分析】对于(1),要先移项、通分化为f(x)g(x)≥0(或f(x)g(x)≤0)的形式,再化为整式不等式,转化必须保持等价;对于(2),要因式分解后借助穿根法处理.【解】(1)原不等式可化为x -1x -2≥0,∴-x -1x>0,∴{x(x +1)≤0,x ≠0,∴-1≤x<0.∴原不等式的解集为{x|-1≤x<0}.(2)原不等式可化为(x-1)(x+2)(2x-1)>0. 利用数轴标根法或穿根法(如图所示),∴-2<x<12或x>1.∴不等式的解集为{x |-2<x <12或x >1}.例3 【思路分析】不等式中含有参数a ,因此需要先判断参数a 对方程(x-2)(ax-2)=0的解的影响,然后求解.【解】(1)当a=0时,原不等式化为x-2<0,∴x<2,∴原不等式的解集为{x|x<2}.(2)当a<0时,原不等式化为(x-2)(x -2a )<0.方程(x-2)(x -2a )=0的两根为2,2a ,又2>2a,∴原不等式的解集为{x |2a<x <2}.(3)当a>0时,原不等式化为(x-2)(x -2a )>0.方程(x-2)(x -2a )=0的两根为2,2a .当0<a<1时,2a >2,原不等式的解集为{x |x >2a 或x <2}. 当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,解集为{x ∈R |x ≠2}. 当a>1时,2>2a >0,原不等式的解集为{x |x >2或x <2a }. 综上所述,不等式解集为当a=0时,{x ∈R |x<2};当a=1时,{x ∈R |x ≠2};当a<0时,{x |2a<x <2};当0<a<1时,{x |x >2a 或x <2};当a>1时,{x |x >2或x <2a }.解一元二次不等式的步骤: 1.若能因式分解,则用数轴穿根法; 2.若不能因式分解,则用配方法. 配方法的步骤:(1)把一元二次不等式的二次项系数化为1;(2)一元二次不等式通过配方变为(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的形式; (3)根据k 值情况确定不等式的解集.例4 【思路分析】对于(1),可利用判别式及根与系数的关系求解;对于(2),可构造二次函数,结合二次函数的图像求解.【解】(1)设方程的两根为x 1,x 2.则由题意可得{Δ=m 2-10m +9≥0,x 1+x 2=3-m >0,x 1x 2=m >0.解得m 的取值范围是(0,1]. (2)(由对应的函数几何意义求解) 设f (x )=x 2+(m-3)x+m ,由题意得{Δ=m 2-10m +9≥0,f(0)=m >0,0<3-m2<2,f(2)=3m -2>0.解得23<m ≤1. 思考:根的分布问题应该从哪几个方面考虑? 1.开口方向; 2.判别式Δ; 3.对称轴;4.区间端点函数值的正负.例5 【思路分析】由于一元二次不等式解集的分界点是相应一元二次方程的两根,所以解答就从这个关系入手.【解析】由于ax 2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},所以-2和1是方程ax 2+bx+1=0(a ≠0)的两根. 由根与系数的关系,得 {-2+1=-ba ,-2×1=1a ,解得a=b=-12. 答案:-12-12例6 【思路分析】要求积的最大值,关键是结合条件配凑出和为定值,然后利用基本不等式求解. 【解】∵2a 2+1>0,b 2+2>0,y=(2a 2+1)(b 2+2),∴√12y =√3(2a 2+1)·4(b 2+2)≤6a 2+3+4b 2+82.∵3a 2+2b 2=5,∴6a 2+4b 2=10. ∴√12y ≤212,可得√y ≤7√34.∴y 的最大值为14716.例7 【思路分析】对于(1),首先建立矩形AMPN 的面积y 与DN 的长x 的函数关系式,然后利用不等式求解;对于(2),根据(1)中建立的函数关系式结合基本不等式求解.【解】(1)设DN 的长为x (x>0)米,则AN 的长为(x+2)米,如图所示.∵DN AN =DC AM ,∴AM=3(x+2)x.∴矩形花坛AMPN 的面积y=AN ·AM=3(x+2)2x.由y>32,得3(x+2)2x>32.∵x>0,∴3x 2-20x+12>0.解得0<x<23或x>6,即DN 长的取值范围是(0,23)∪(6,+∞). (2)由(1)知矩形花坛AMPN 的面积为y=3(x+2)2x=3x 2+12x+12x=3x+12x +12≥2√3x ·12x +12=24.当且仅当3x=12x,即x=2时,矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24平方米.故DN 的长为2米时,矩形AMPN 的面积最小,最小值为24平方米. 课堂练习1.【思路分析】可以利用作差比较法比较两个代数式的大小. 【解】a-1a =(a -1)(a+1)a.当a=±1时,(a -1)(a+1)a=0,则a=1a ;当-1<a<0或a>1时,(a -1)(a+1)a>0,则a>1a . 当a<-1或0<a<1时,(a -1)(a+1)a<0,则a<1a .2.【思路分析】从函数解析式结构上看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,怎么办呢?事实上,我们可以把分母视为一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.【解】令t=x 2+1,则t ≥1,且x 2=t-1.∴y=x 4+3x 2+3x 2+1=(t -1)2+3(t -1)+3t =t 2+t+1t=t+1t +1.∵t ≥1,∴t+1t ≥2√t ·1t =2,当且仅当t=1t ,即t=1时,等号成立.∴当x=0时,函数取得最小值3.核心素养专练【思路分析】对任意x ∈[1,2],不等式恒成立,且m 与n 都是一次的,因此可考虑分离参数m 和n. 【解】∵1-mx ≤√1+x≤1-nx 恒成立,∴-mx ≤√1+x -1≤-nx ,∴-mx ≤√1+x√1+x ≤-nx ,∴-mx ≤√1+x(1+√1+x)≤-nx.又∵x ∈[1,2],∴n ≤(√1+x)2+√1+x≤m 恒成立. 设y=(√1+x)2+√1+x,x ∈[1,2],令√1+x =t ,则t ∈[√2,√3],y=1t 2+t . 可求得y min =3-√36,y max =2-√22,∴m=2-√22,n=3-√36.故所求n 的最大值为3-√36,m 的最小值为2-√22.学习目标1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质,通过类比理解等式与不等式的共性与差异;2.会解常见的方程和不等式及不等式组,如一元二次方程、一元二次不等式、绝对值不等式、二元及三元方程组等;3.掌握基本不等式,结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值和最小值问题. 本章重点:绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、均值不等式的应用.本章难点:均值不等式的灵活应用及不等式的证明.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.培养学生类比思想、分类讨论思想和数形结合的数学思想等.知识点梳理课堂探究●不等式性质的应用例1(1)(多选)下列命题正确的有()A.若a>1,则1a<1B.若a+c>b,则1a <1 bC.对任意实数a,都有a2≥aD.若ac2>bc2,则a>b(2)已知2<a<3,-2<b<-1,求ab,b2a的取值范围.◎跟踪训练1(多选)已知a,b,c∈R,那么下列命题中错误的是() A.若a>b,则ac2>bc2B.若ac >bc,则a>bC.若a3>b3且ab<0,则1a >1 bD .若a 2>b 2且ab>0,则1a <1b●不等式组的解法 例21.解不等式组:{5x-1<3(x +1),2x-13-1≤5x +12.2.已知关于x 的不等式组{x +a ≤0,3+2x >5的整数解只有3个,求a 的取值范围.3.解下列关于x 的不等式. (1)-1<x 2+2x-1≤2; (2)m 2x 2+2mx-3<0.◎跟踪训练2 解下列不等式. (1)x -1x+2≤0; (2)-3x 2-2x+8≥0; (3)ax 2-(a+1)x+1<0.●绝对值不等式的解法 例3 解下列不等式. (1)|2x-5|>3; (2)|2x-1|+|2x+1|≤6.◎跟踪训练3解下列不等式.(1)|2x+1|-2|x-1|>0;(2)|x+3|-|2x-1|<x2+1.●均值不等式例4若x>0,y>0,且x+2y=5,求9x +2y的最小值,并求出取得最小值时x,y的值.◎跟踪训练41.函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是.2.当x>1时,不等式x+1x-1≥a恒成立,当x= 时等号成立,实数a的取值范围是.●等式与不等式的应用例5某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积.课堂练习1.已知集合M={x|-4≤x ≤7},N={x|x 2-x-12>0},则M ∩N=( ) A.{x|-4≤x<-3或4<x ≤7} B.{x|-4<x ≤-3或4≤x<7} C.{x|x ≤-3或x>4} D.{x|x<-3或x ≥4}2.(多选)已知a>b>0,下列不等式不成立的是( ) A.a+1b >b+1aB.a+1a ≥b+1bC.b a >b+1a+1D.b-1b>a-1a3.不等式|x+1|-|x-2|≥1的解集是 .4.已知x>0,y>0,且满足8x +1y=1,xy= 时,x+2y 的最小值为 .核心素养专练[A 基础达标]1.(多选)如果a ,b ,c 满足c<b<a ,且ac<0,那么下列不等式中一定成立的是( ) A .ab>ac B .c (b-a )>0 C .cb 2<ab 2 D .ac (a-c )<02.若a>0,b>0,且a 2+3b 2=6,则ab 的最大值为( ) A .1B .√2C .√3D .23.设m>1,P=m+4m -1,Q=5,则P ,Q 的大小关系为( ) A .P<QB .P=QC .P ≥QD .P ≤Q4.不等式1+x>11-x 的解集为( ) A .{x|x>0} B .{x|x ≥1} C .{x|x>1} D .{x|x>1或x=0} 5.设a ,b 是不相等的正数,x=√a+√b2,y=√a+b 2,则x ,y 的大小关系是 (用“>”“<”或“=”连接).6.设m+n>0,则关于x 的不等式(m-x )(n+x )>0的解集是 .7.已知0<x<12,则y=12x (1-2x )的最大值为 ,此时x= . 8.解下列不等式: (1)0<|x-2|≤|4x+2|; (2)2x+1x -5≥-1.9.已知x ,y 都是正数.(1)若3x+2y=12,求xy 的最大值;(2)若x+2y=3,求1x +1y 的最小值.[B 能力提升]10.不等式4x -2≤x-2的解集是( )A .(-∞,0]∪(2,4]B .[0,2)∪[4,+∞)C .[2,4)D .(-∞,2]∪(4,+∞)11.已知实数x ,y ,若x ≥0,y ≥0且x+y=3,则x+1x+2+y y+1的最大值为 ,此时xy= . 12.解不等式3x -7x 2+2x -3≥2.13.解关于x 的不等式ax 2+(1-a )x-1>0(a<0).14.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ,已知点E 在边CD 上,AE=CE ,AB>AD ,矩形的周长为8 cm .(1)设AB=x cm,试用x 表示出图中DE 的长度,并求出x 的取值范围;(2)计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空,如果要使△ADE 的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽?参考答案课堂探究例1 (1)AD (2)-6<ab<-213<b 2a <2跟踪训练1 ABD例2 1.解集为[-1,2) 2.(-5,-4]3.解:(1){x 2+2x -1≤2,x 2+2x -1>-1⇒{x 2+2x -3≤0,x 2+2x >0⇒{-3≤x ≤1,x >0或x <-2,不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0<x ≤1}.(2)当m=0时,-3<0恒成立,解集为R .当m ≠0时,二次项系数m 2>0,Δ=16m 2>0.不等式化为(mx+3)(mx-1)<0.当m>0时,解集为{x |-3m <x <1m }; 当m<0时,解集为{x |1m <x <-3m }.跟踪训练2 (1)(-2,1](2)[-2,43] (3)解:当a=0时,x>1,解集为(1,+∞);当a ≠0时,方程化简为(ax-1)(x-1)<0.当a<0时,方程整理为(x -1a )(x-1)>0,(1a <0), ∴x>1或x<1a ,解集为(-∞,1a )∪(1,+∞);当a>0时,方程整理为(x -1a )(x-1)<0,(1a>0), 当0<a<1时,1a >1,∴1<x<1a ,解集为(1,1a); 当a=1时,1a =1,∴方程无解,解集为空集;当a>1时,1a <1,∴1a <x<1,解集为(1a ,1). 例3 (1)(-∞,-1)∪(4,+∞)(2)[-32,32]跟踪训练3(1)不等式的解集为{x |x >14}.(2)不等式的解集为{x |x <-25或x >2}.例4 解:因为x>0,y>0,且x+2y=5, 所以9x +2y =15(x+2y )(9x +2y ) =15(13+18y x +2x y ) ≥15(13+2√18y x ·2x y )=5,当且仅当{x +2y =5,18y x =2x y,即{x =3,y =1时等号成立. 所以9x +2y 的最小值为5,此时x=3,y=1. 跟踪训练41.982.2 a ≤3例5 解:设将楼房建为x 层,平均综合费用设为y 元. 则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x =10 800x .∴每平方米的平均综合费用y=560+48x+10 800x =560+48(x +225x ). 当x+225x取最小值时,y 有最小值. ∵x>0,∴x+225x ≥2√x ·225x =30. 当且仅当x=225x ,即x=15时,上式等号成立.∴当x=15时,y 有最小值2 000元.因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少. 课堂练习1.A2.BCD3.[1,+∞)4.36 18 核心素养专练A 基础达标1.ABD2.C3.C4.C5.x<y6.(-n ,m )7.116 148.(1){x |x ≤-43或x ≥0且x ≠2} (2){x |x >5或x ≤43}9.(1)6 (2)1+23√2B 能力提升10.B11.43 212.(-3,1)13.当-1<a<0时,解集为{x |1<x <-1a } 当a=-1时,解集为⌀ 当a<-1时,解集为{x |-1a <x <1} 14.解: (1)设DE=y cm,则AE=CE=(x-y )cm, 由矩形周长为8 cm,可得AD=(4-x )cm . 在三角形ADE 中,由勾股定理可得(4-x )2+y 2=(x-y )2, 整理得y=4-8x ,由AB>AD 可得x>2,由周长为8可得x<4, 综上DE 长度为(4-8x )cm,2<x<4. (2)S=12(4-x )×y ,由y=4-8x 可得S=12(4-x )·(4-8x )=2(4-x )(1-2x )=2(6-x -8x), 由2<x<4可得x+8x ≥2√8=4√2,当且仅当x=2√2时取到等号, 因此S max =2(6-4√2)=12-8√2,此时队徽的长为2√2 cm,宽为(4-2√2)cm .。
高中数学第二章等式与不等式.不等式..4均值不等式及其应用第课时均值不等式的应用学案含解析B版第一册
第2课时 均值不等式的应用关键能力·攻重难 类型 用均值不等式证明不等式 ┃┃典例剖析__■1．无附加条件的不等式的证明典例1 已知a ，b ,c >0，求证：错误!＋错误!＋错误!≥a ＋b ＋c .思路探究:由条件中a ，b ，c 〉0及待证不等式的结构特征知,先用均值不等式证错误!＋b ≥2a ,错误!＋c ≥2b ,错误!＋a ≥2c ,再进行证明即可．解析：∵a ,b ，c >0，∴利用均值不等式可得错误!＋b ≥2a ，错误!＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，∴错误!＋错误!＋错误!＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，故错误!＋错误!＋错误!≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时,等号成立．归纳提升：利用均值不等式证明不等式的注意点：(1）多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立．(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．(3）对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件．2．有附加条件的不等式的证明典例2已知a〉0，b>0，a＋b＝1,求证：(1＋错误!)（1＋错误!)≥9.思路探究：本题的关键是把分子的“1"换成a＋b，由均值不等式即可证明．解析:方法一：因为a>0，b〉0，a＋b＝1，所以1＋错误!＝1＋错误!＝2＋错误!。
同理1＋错误!＝2＋错误!.故(1＋错误!）（1＋错误!）＝（2＋错误!)（2＋错误!)＝5＋2(错误!＋错误!）≥5＋4＝9.所以(1＋错误!）(1＋错误!)≥9，当且仅当a＝b＝错误!时取等号．方法二：(1＋错误!）(1＋错误!）＝1＋错误!＋错误!＋错误!＝1＋错误!＋错误!＝1＋错误!，因为a，b为正数，所以ab≤（错误!）2＝错误!，所以错误!≥4，错误!≥8。
因此（1＋错误!）(1＋错误!）≥1＋8＝9，当且仅当a＝b＝错误!时等号成立．归纳提升：利用均值不等式证明不等式的两种题型（1）无附加条件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．(2)有附加条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．┃┃对点训练__■1．已知x>0，y>0,z〉0，求证：（yx＋错误!）(错误!＋错误!)(错误!＋错误!）≥8。
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 2.2.1 第1课时 不等式的性质
1 ≤ + ≤ 5,
所以,由
不是等价变形,要使能成为等价变形,
⇒
-1 ≤ ≤ 3
-1 ≤ - ≤ 3
只能保持a+b,a-b各为一个整体.
正解:设 3a-2b=m(a+b)+n(a-b),
+ = 3,
则
解得
- = -2,
1
= 2,
5
= 2.
1
5
∴-6≤3a-2b≤14.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
范?
提示:在1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3中,a,b是通过这两个式子相互制约的变量,而由
此两式推出0≤a≤4,-1≤b≤3后,a,b不再具有彼此的制约关系,而是分别取各自
区间的值,自然就导致了取值范围的扩大.例如:当a=4,b=3时,a+b=7.
形;(3)确定符号;(4)得出结论.
对差的变形可考虑配方或因式分解的方法.
【变式训练1】 设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.
解:x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)
=(m-n)2(m2+mn+n2).
∵m≠n,
a-b<0⇔ a<b ;
a-b=0⇔ a=b ;
a-b>0⇔ a>b .
3.通过比较两式之差的符号来判断两式的大小,这种方法通常称为作差法.
4.已知M=x2-3x+7,N=-x2+x+1,则(
A.M<N
B.M>N
C.M=N
高中数学第二章等式与不等式不等式及其性质学案新人教B版必修第一册
2．2.1 不等式及其性质课程标准理解不等式的概念，掌握不等式的性质．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一 实数大小比较1．文字叙述如果a －b 是________，那么a ＞b ；如果a －b________，那么a ＝b ；如果a －b 是________，那么a ＜b ，反之也成立．2．符号表示a －b ＞0⇔a________b ；a －b ＝0⇔a________b ；a －b ＜0⇔a________b ．状元随笔 1.不等式“a≤b”的含义是“a ＜b”或“a ＝b”．2．比较两实数a ，b 的大小，只需确定它们的差a －b 与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a ，b 的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b 的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二 不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a ＞b ⇔________可逆2传递性a ＞b ，b ＞c ⇒________3可加性a ＞b ⇔________可逆4可乘性c 的符号5同向可加性同向6同向同正可乘性同向7可乘方性a ＞b ＞0⇒________同正(n∈N，n≥2)8可开方a＞b＞0⇒______(n∈N，n≥2)同正状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b＞c ⇒a＞c －b. 性质3是可逆性的，即a＞b ⇔a ＋c＞b ＋c .(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．知识点三 证明问题的常用方法方法定义综合法从________出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．分析法从要证明的________，________使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．反证法首先假设结论的________成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．反证法是一种间接证明的方法．基础自测1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系( )A．T＜40B．T＞40C．T≤40D．T≥402．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关3．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是( )A．x2＜a2＜0B．x2＞ax＞a2C．x2＜ax＜0D．x2＞a2＞ax课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 比较大小[教材P60例1]例1 比较x2－x和x－2的大小．状元随笔 通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．方法归纳用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1 若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是()A ．f (x )＜g (x )B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )＞g (x )D ．随x 值变化而变化状元随笔 作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小题型2 不等式的性质[经典例题]例2 对于实数a 、b 、c ，有下列说法：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c＞a＞b＞0，则ac−a＞bc−b；⑤若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0.其中正确的个数是( ) A．2B．3C．4D．5状元随笔 分析条件→利用不等式性质逐一判断方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2 (1)已知a＜b，那么下列式子中，错误的是( )A．4a＜4b B．－4a＜－4bC．a＋4＜b＋4D．a－4＜b－4状元随笔 利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．(2)(多选)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中不正确的是( )A．若a＞b，c≠0，则ac＞bcB．若a＞b，则ac2＞bc2C．若ac2＞bc2，则a＞bD．若a＞b，则1a＜1b题型3 利用不等式性质求范围[经典例题]例3 已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围：(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.状元随笔 运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；(3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3 已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3，(1)求xy的取值范围；(2)求x－2y的取值范围．题型4 利用不等式的性质证明不等式[逻辑推理、数学运算]综合法、分析法与反证法例4 (1)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea−c>eb−d；(2)证明：√7−√3<√6−√2.状元随笔 注意书写的规范性及易错点：①分析法的步骤要规范，分析时一般按照“要证……，需证……，只需证……”的步骤进行．②反证法，必须假设所证问题的反面成立，推出与之矛盾，从而肯定原结论成立．③不等式两边含有根式，同时两侧均为正数的时候，通常选择平方处理，此时应该注意平方后尽量保证式子的最简化，如本例将√7和√2结合，剩余两数结合，好处在于平方后能消掉一部分，使问题简单化．④应该明确问题的反面，如“＞”的反面是“≤”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”等．方法归纳利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点(1)实质：就是根据性质把不等式变形．(2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法．跟踪训练4 (1)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：e(a−c)2>e(b−d)2；(2)将下面用分析法证明a2+b22≥ab的步骤补充完整：要证a2+b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立；(3)已知x，y>0，且x＋y>2.求证：1+xy，1+yx中至少有一个小于2.2．2 不等式2．2.1 不等式及其性质新知初探·自主学习[教材要点]知识点一1．正数 等于0 负数2．> ＝ <知识点二b<a a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd a n>b n n√a> n√b知识点三已知条件 结论出发 逐步寻求 否定[基础自测]1．解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．答案：C2．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝(x+12)2＋34>0，所以M>N.答案：A3．解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.答案：B课堂探究·素养提升例1 【解析】 因为(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，又因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1＞0，从而(x2－x)－(x－2)＞0，因此x2－x＞x－2.跟踪训练1 解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)>g(x)．故选C.答案：C例2 【解析】 对于①，令c＝0，则有ac＝bc.①错．对于②，由ac2>bc2，知c≠0，∴c2>0⇒a>b.②对．对于③，由a<b<0，两边同乘以a得a2>ab，两边同乘以b得ab>b2，∴a2>ab>b2.③对．对于④，c>a>b>0⇒c−a>0，c−b>0a>b⇒−a<−b⇒c−a<c−b}⇒0<c－a<c－b⇒1c−a>1c−b>0a>b>0}⇒a c−a>b c−b.④对．对于⑤，a>b⇒a−b>01a>1b⇒b−aab>0}⇒ab<0a>b}⇒a>0，b<0.⑤对．【答案】 C跟踪训练2 解析：(1)根据不等式的性质，a<b，4>0⇒4a<4b，A项正确；a<b，－4<0⇒－4a>－4b，B项错误；a<b⇒a＋4<b＋4，C项正确；a<b⇒a－4<b －4，D项正确．(2)对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．答案：(1)B (2)ABD例3 【解析】 (1)|a|∈[0，3]；(2)－1<a＋b<5；(3)依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；(4)由－2<a≤3得－4<2a≤6， ①由1≤b<2得－6<－3b≤－3， ②由①②得，－10<2a－3b≤3.跟踪训练3 解析：(1)∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，则xy 的取值范围是(2，6)．(2)由(1)知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是(－5，－2)．例4 【证明】 (1)方法一 因为c<d<0，所以－c>－d>0，因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，所以0<1a−c<1b−d，又因为e<0，所以ea−c>eb−d.方法二 ea−c−eb−d＝e［(b−d)−(a−c)］(a−c)(b−d)＝e［(b−a)+(c−d)］(a−c)(b−d)，因为a>b>0，c<d<0，所以－c>－d>0，所以a－c>0，b－d>0，b－a<0，c－d<0，又e<0，所以e［(b−a)+(c−d)］(a−c)(b−d)>0，所以ea−c>eb−d.(2)方法一 分析法：要证√7−√3<√6−√2，只需证√7+√2<√3+√6，只需证(√7+√2)2<(√3+√6)2，展开得9＋2√14<9＋2√18，只需证√14<√18，即证14<18，显然成立，所以√7−√3<√6−√2.方法二 反证法：假设√7−√3≥√6−√2，则√7+√2≥√3+√6，两边平方得9＋2√14≥9＋2√18，所以√14≥√18，即14≥18，显然不成立，所以假设错误．所以√7−√3<√6−√2.跟踪训练4 解析：(1)证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0，因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，所以(a－c)2>(b－d)2>0，所以0<1(a−c)2<1(b−d)2，又e<0，所以e(a−c)2>e(b−d)2.(2)用分析法证明a2+b22≥ab的步骤为：要证a2+b22≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．(3)证明：假设1+xy，1+yx都不小于2，即1+xy≥2，1+yx≥2.因为x，y>0，所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.所以2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．所以1+xy，1+yx中至少有一个小于2.答案：(1)见解析 (2)a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0 (3)见解析11。
高中数学第二章等式与不等式2.2.1第1课时不等关系与不等式bb高一第一册数学
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[答一答] 1．说明 a≤b 或 a≥b 的含义．并判断“3≥3”成立吗？为 什么？
提示：不等式 a≤b 应读作“a 小于或者等于 b”，其含义是 指“或者 a<b，或者 a＝b”，等价于“a 不大于 b”，即若 a<b 与 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．
如果 a－b 是正数，那么 a>b；如果 a－b 是负数，那么 a<b； 如果 a－b 等于零，那么 a＝b.反之也成立，就是 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.
上面等价符号的左式反映的是实数运算性质，右式反映的则 是实数大小的顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之 间的关系．它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明， 是证明不等式和解不等式的主要依据．
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[解] 设高速动车组的速度为 v1，波音飞机的最高时速为 v2，普通客车的速度为 v3，则 v1，v2 的关系：2v1＋100≤v2；v1， v3 的关系：v1>3v3.
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用不等式表示不等关系的关键在于找出题中体现不等关系 的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”等.用代数 式表示相应的量，并用与关键词对应的不等号连接.要注意 “≤”与“≥”中的“＝”能否取到，避免错用.
“3≥3”成立，因为 a≥b 即为 a>b 或 a＝b，也可以说成 a 不小于 b，只要 a>b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≥b 就正确．
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2023版新教材高中数学第二章等式与不等式-不等式及其性质课时作业新人教B版必修第一册
2．2.1 不等式及其性质必备知识基础练1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( ) A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤2002．下列结论中正确的是( )A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若>，则a＞b D．若<，则a＞b3．设M＝3x2－x＋1，N＝x2＋x－1，则( )A．M>NB．M<NC．M＝ND．M与N的大小关系与x有关4．已知c＞a＞b＞0，则________.(填“>”“<”或“＝”)5．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是( )A．(－3，3] B．(－3，5)C．(－3，3) D．(1，4)6．(1)比较x2＋3与2x的大小；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．关键能力综合练7．下列不等式中，正确的是( )A．若a－c>b－d且c>d，则a>bB．若a>b且k∈N＋，则a k>b kC．若a>b>0，c>d，则ac>bdD．若a>b，则ac2>bc28．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )A.①②③ B．①③②C．②③① D．③①②9．要证明＋<2 可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )A．综合法 B．分析法C．反证法 D．归纳法10．已知α∈(0，)，β∈[0，]，则2α－的取值范围是( )A．(0，) B．(－，)C．(0，1) D．(－，1)11．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0B．若ab>0，－>0，则bc－ad>0C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0D．若<<0，则<12．已知1<a<6，3<b<4，求a－b，的取值范围．核心素养升级练13．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．14．已知a>0，b>0，试比较＋与＋的大小．2．2.1 不等式及其性质必备知识基础练1．解析：由题意可得，总的工资为50x＋40y，又因为现有工人工资预算2 000元，故50x＋40y≤2 000，化简可得5x＋4y≤200.答案：D2．解析：对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a＝－2，b＝－1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a＝－1，b＝2，满足<，但a＜b，故D不正确．答案：C3．解析：因为M－N＝3x2－x＋1－(x2＋x－1)＝2x2－2x＋2＝2(x－)2＋>0，所以M>N.答案：A4．解析：因为c＞a，所以c－a＞0，又因为a＞b，所以＞.答案：>5．解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.答案：C6．解析：(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，所以x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0.所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.关键能力综合练7．解析：若a－c>b－d且c>d，则a>b，故A正确；当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故B错误；令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，满足a>b>0，c>d，但推不出ac>bd，故C错误；令c＝0可知D错误．答案：A8．解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．答案：D9．解析：要证明＋<2最合理的方法是分析法．答案：B10．解析：因为α∈(0，)，β∈[0，]，所以2α∈(0，1)，∈[0，]，则－∈[－，0]，所以2α－∈(－，1).答案：D11．解析：对于A，若ab<0，bc－ad>0，不等式两边同时除以ab得－<0，所以A不正确；对于B，若ab>0，－>0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以B正确；对于C，若－>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以C正确；对于D，由<<0，可知b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，所以<成立，所以D正确．答案：BCD12．解析：∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.又<<，∴<<，即<<2.综上，a－b的取值范围为(－3，3)，的取值范围为(，2).核心素养升级练13．解析：设男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则x>y>z.(1)若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6.(2)当z＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案：(1)6 (2)1214．解析：方法一 作差法(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝＝.∵a>0，b>0，∴＋>0，>0，(－)2≥0，∴≥0，∴＋≥＋.方法二 作商法＝＝＝＝＝1＋≥1.∵a>0，b>0，∴＋>0，＋>0，∴＋≥＋.方法三 平方法∵(＋)2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，∴(＋)2－(＋)2＝.∵a>0，b>0，∴≥0，∵＋＞0，＋＞0，∴＋≥＋.。
高中数学第2章等式与不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性质第1课时不等关系与不等式
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解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量 养
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是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
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[跟进训练]
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3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提
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依题意有S≥216，即x15－2x≥216，
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故该题中的不等关系可用不等式组表示为
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x15－2x≥216.
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此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的
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高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质新人教B新人教B高一第一册数学教案
2．2.1 不等式及其性质考点学习目标核心素养数(式)大小比较会运用作差法比较两个数或式的大小逻辑推理掌握不等式的性质，会用不等式的性质证逻辑推理不等式的性质明不等式或解决范围问题问题导学预习教材P58－P63的内容，思考以下问题：1．如何比较两个实数的大小？2．不等式的性质有哪些？3．不等式的性质有哪些推论？1．比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对．(2)符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.■名师点拨符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．2．不等式的性质性质1：如果a>b，那么a＋c>b＋c.性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc.性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc.性质4：如果a>b，b>c，那么a>c.(传递性)性质5：a＞b b＜a.推论1：如果a＋b>c，则a>c－b.(不等式的移项法则)推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(同向可加性)推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.推论4：如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n>1)．推论5：如果a>b>0，那么a>b.■名师点拨(1)推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．(2)推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．(3)推论3表明，n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.( )(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )(3)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．( )(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)×设a，b，c∈R，且a>b，则( )A ．ac >bcB ．1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案：D 已知a >b ，c ＞d ，且c ，d 均不为0，那么下列不等式一定成立的是( )A ．ad ＞bcB ．ac ＞bdC ．a －c ＞b －dD ．a ＋c ＞b ＋d解析：选D.令a ＝2，b ＝－2，c ＝3，d ＝－6，可排除A ，B ，C.由不等式的推论2知，D 一定成立．若x <1，M ＝x 2＋x ，N ＝4x －2，则M 与N 的大小关系为________． 解析：M －N ＝x 2＋x －4x ＋2＝x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)， 又因为x <1，所以x －1<0，x －2<0，所以(x －1)(x －2)>0，所以M >N .答案：M >N数(式)大小的比较(1)比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小；(2)已知a ≥1，试比较M ＝a ＋1－a 和N ＝a －a －1的大小．【解】 (1)3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1)．当x ≤1时，有x －1≤0，而3x 2＋1>0.所以(3x 2＋1)(x －1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.当x>1时，(3x2＋1)(x－1)>0，所以3x3>3x2－x＋1.(2)因为a≥1，所以M＝a＋1－a>0，N＝a－a－1>0.所以MN ＝a＋1－aa－a－1＝a＋a－1a＋1＋a.因为a＋1＋a>a＋a－1>0，所以MN<1，所以M<N.利用作差法比较大小的四个步骤(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．(4)作出结论．[注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．1．若x∈R，y∈R，则( )A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1解析：选A.因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A.2．已知x >y >0，试比较x 3－2y 3与xy 2－2x 2y 的大小．解：由题意，知(x 3－2y 3)－(xy 2－2x 2y )＝x 3－xy 2＋2x 2y －2y 3＝x (x 2－y 2)＋2y (x 2－y 2)＝(x 2－y 2)(x ＋2y )＝(x －y )(x ＋y )(x ＋2y )，因为x >y >0，所以x －y >0，x ＋y >0，x ＋2y >0，所以(x 3－2y 3)－(xy 2－2x 2y )>0，即x 3－2y 3>xy 2－2x 2y .3．比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解：因为5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，所以5x2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号． 不等式的性质(1)对于实数a ，b ，c ，有下列说法：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；其中正确的是________(填序号)．(2)若c >a >b >0，求证：ac －a >b c －b .【解】 (1)①中，c 的正、负或是否为0未知，因而判断ac 与bc 的大小缺乏依据，故①不正确．②中，由ac 2>bc 2，知c ≠0，故c 2>0，所以a >b 成立，故②正确．③中，⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，a <0⇒a 2>ab ，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ，b <0⇒ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故③正确．故填②③.(2)证明：因为a >b >0⇒－a <－b ⇒c －a <c －b .因为c >a ，所以c －a >0.所以0<c －a <c －b . 上式两边同乘1（c －a ）（c －b ），得1c －a >1c －b>0. 又因为a >b >0，所以a c －a >bc －b .利用不等式的性质证明不等式的方法(1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．(2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明． 1．给出下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2； ②a 2>b 2⇒a >b ； ③a >b ⇒b a <1； ④a >b ⇒1a <1b. 其中正确的命题个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.由推论4可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误； 对于③，只有当a >0且a >b 时，b a <1才成立，故③错误； 当a >0，b <0时，1a ＞1b，故④错误． 2．已知a >b >0，求证：a b >b a. 证明：因为a >b >0，所以a >b >0.①又因为a >b >0，两边同乘正数1ab ，得1b >1a>0.② ①②两式相乘，得a b >b a. 利用不等式性质求代数式的取值范围已知－1<x <4，2<y <3.(1)求x －y 的取值范围；(2)求3x ＋2y 的取值范围．【解】 (1)因为－1<x <4，2<y <3，所以－3<－y <－2，所以－4<x －y <2.(2)由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6，所以1<3x ＋2y <18.1．若将本例条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围． 解：因为－1<x <3，－1<y <3，所以－3＜－y <1，所以－4<x －y <4.又因为x <y ，所以x －y <0，所以－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4，0)．2．若将本例条件改为－1<x ＋y <4，2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12. 即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又因为－1<x ＋y <4，2<x －y <3，所以－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32， 所以－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232， 所以3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．[注意] 求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．1．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )A ．－2<α－β＜0B ．－2<α－β<－1C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：选A.由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2.又因为α<β，故－2<α－β<0.2．已知12<a <60，15＜b <36，求a －b 与a b的取值范围． 解：因为15<b <36，所以－36<－b <－15，所以12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45.因为136<1b <115， 所以1236<a b <6015，所以13<a b<4. 所以a －b 和 a b 的取值范围分别是(－24，45)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4. 1．已知b <2a ，3d <c ，则下列不等式一定成立的是( )A ．2a －c >b －3dB ．2ac >3bdC ．2a ＋c >b ＋3dD ．2a ＋3d >b ＋c解析：选C.由于b <2a ，3d <c ，则由不等式的性质得b ＋3d <2a ＋c ，故选C.2．已知a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．M ≥N解析：选B.因为a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)，所以－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，所以M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，所以M >N ，故选B.3．已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a ＜0，则a ________2b －b 2a .(填“＞”“＜”或“＝”)解析：因为a ≠b ，a ＜0，所以a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －b 2a ＝（a －b ）2a ＜0，所以a ＜2b －b 2a. 答案：＜4．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小．解：因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)，所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ；当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ；当a <b 时，x －y <0，所以x <y .[A 基础达标]1．下列说法正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若1a >1b，则a <bC ．若b >c ，则|a |b ≥|a |cD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C.A 项：a ，b ，c ，d 的符号不确定，故无法判断；B 项：不知道ab 的符号，无法确定a ，b 的大小；C 项：|a |≥0，所以|a |b ≥|a |c 成立；D 项：同向不等式不能相减．2．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.(a －b )·a 2<0，则必有a －b <0，即a <b ；而a <b 时，不能推出(a －b )·a 2<0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件．3．若y 1＝3x 2－x ＋1，y 2＝2x 2＋x －1，则y 1与y 2的大小关系是( )A ．y 1<y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1>y 2D ．随x 值变化而变化解析：选C.y 1－y 2＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1) ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 所以y 1>y 2.故选C.4．已知a >b >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB ．a ＋1a ≥b ＋1bC.b a >b ＋1a ＋1D ．b －1b>a －1a解析：选A.因为a >b >0，所以1b >1a >0，所以a ＋1b >b ＋1a，故选A.5．设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ab >bc B ．ac >bc C ．ab >acD ．a |b |>c |b |解析：选C.因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， 所以a >0，c <0，b 可正、可负、可为零． 由b >c ，a >0知，ab >ac .故选C.6．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推得1a <1b成立的是________．解析：1a <1b ⇔b －a ab<0，所以①②④能使它成立．答案：①②④7．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解析：(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝(a 1b 1－a 1b 2)＋(a 2b 2－a 2b 1)＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1) ＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2，所以a 1－a 2<0，b 1－b 2<0， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 所以a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 18．已知三个不等式①ab >0；②c a >db；③bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略)由②得bc －adab>0，又由③得bc －ad >0.所以ab >0⇒①.所以可以组成3个正确命题．答案：39．已知a ，b ∈R ，a ＋b >0，试比较a 3＋b 3与ab 2＋a 2b 的大小． 解：因为a ＋b >0，(a －b )2≥0，所以a 3＋b 3－ab 2－a 2b ＝a 3－a 2b ＋b 3－ab 2＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )(a －b )(a ＋b )＝(a －b )2(a ＋b )≥0，所以a 3＋b 3≥ab 2＋a 2b .10．已知－2<a ≤3，1≤b <2，试求下列代数式的取值范围． (1)|a |；(2)a ＋b ；(3)a －b ；(4)2a －3b . 解：(1)|a |∈[0，3]．(2)－1<a ＋b <5.(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1， 相加得－4<a －b ≤2.(4)由－2<a ≤3，得－4<2a ≤6，① 由1≤b <2，得－6<－3b ≤－3，② 由①②得，－10<2a －3b ≤3.[B 能力提升]11．(2019·河南省实验中学月考)若1a <1b<0，则下列结论中不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D.因为1a <1b<0，所以b <a <0，所以b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，所以A ，B ，C 均正确，因为b <a <0，所以|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误，故选D.12．若α、β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( )A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π解析：选C.由－π2<α<β<π2，得－π<α－β<0，又－π2<α<π2，所以－32π<α＋(α－β)<π2，即－32π<2α－β<π2. 13．已知0<a <b 且a ＋b ＝1，试比较： (1)a 2＋b 2与b 的大小； (2)2ab 与12的大小．解：(1)因为0<a <b 且a ＋b ＝1， 所以0<a <12<b ，则a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )<0， 所以a 2＋b 2<b .(2)因为2ab －12＝2a (1－a )－12＝－2a 2＋2a －12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a －122<0，所以2ab <12.14．若bc －ad ≥0，bd ＞0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd.证明：⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ≥0⇒bc ≥ad bd >0⇒1bd >0⇒c d ≥a b ⇒c d ＋1≥a b ＋1⇒c ＋d d ≥a ＋bb⇒a ＋b b ≤c ＋d d.[C 拓展探究]15．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a ，试判断A 、B 、C 、D 的大小关系．解：因为－12<a <0，取a ＝－13，则A ＝109，B ＝89，C ＝32，D ＝34，所以猜想C >A >B >D .则只需说明B －D >0，A －B >0，C －A >0即可．因为B －D ＝1－a 2－11－a ＝a 3－a 2－a 1－a＝a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a －122－541－a，又－12<a <0，所以1－a >0，－1<a －12<－12，所以14<⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122<1，故⎝⎛⎭⎪⎫a －122－54<0.所以a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a －122－541－a>0，所以B >D .因为A －B ＝1＋a 2－1＋a 2＝2a 2>0，所以A >B . 因为C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a （a 2＋a ＋1）1＋a＝－a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a，又1＋a >0，－a >0，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0，所以－a⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a＋122＋341＋a>0，所以C>A.综上可知，A、B、C、D的大小关系是C>A>B>D.。
高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用学案 新人教B版必修第
2.2.4 均值不等式及其应用(教师独具内容)课程标准：1.理解均值不等式的内容及其证明过程.2.能熟练地运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握均值不等式及变形的应用.5.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．教学重点：1.均值不等式的内容及其证明过程.2.运用均值不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题．教学难点：均值不等式条件的创造.【情境导学】(教师独具内容)如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？【知识导学】知识点一 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式(1)一般地，如果A (a )，B (b )，则线段AB 的长为AB ＝□01|a －b |，这是数轴上两点之间的距离公式．(2)如果线段AB 的中点M 的坐标为x .若a <b ，则□02a <x <b .因为M 为中点，所以AM ＝MB ，即x －a ＝b －x ，因此x ＝□03a ＋b 2.不难看出，当a ≥b 时，上式仍成立．这就是数轴上两点之间的□04中点坐标公式． 知识点二 算术平均值与几何平均值给定两个正数a ，b ，数□01a ＋b 2称为a ，b 的算术平均值；数□02ab 称为a ，b 的几何平均值．知识点三 均值不等式如果a ，b 都是正数，那么□01a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．我们把这个不等式称为均值不等式．均值不等式也称为□02基本不等式，其实质是：□03两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．知识点四 均值不等式与最大(小)值 当x ，y 均为正数时，下面的命题均成立：(1)若x ＋y ＝s (s 为定值)，则当且仅当□01x ＝y 时，xy 取得最□02大值□03s 24(简记：和定积有最大值)．(2)若xy ＝p (p 为定值)，则当且仅当□04x ＝y 时，x ＋y 取得最□05小值□062p (简记：积定和有最小值)．【新知拓展】1．由均值不等式变形得到的常见的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b 均为正实数)；(3)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4(a ，b 同号)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )． 2．利用均值不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意均值不等式成立的条件；(2)多次使用均值不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用． 3．利用均值不等式的解题技巧与易错点 (1)利用均值不等式求最值常用构造定值的技巧 ①加项变换； ②拆项变换；③统一换元；④平方后再用均值不等式． (2)易错点①易忘“正”，忽略了各项均为正实数； ②易忘“定”，用均值不等式时，和或积为定值； ③易忘“等”，用均值不等式要验证等号是否可以取到； ④易忘“同”，多次使用均值不等式时，等号成立的条件应相同．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a ＋b2≥ab 对于任意实数a ，b 都成立．( )(2)若a >0，b >0，且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2xx －1.( )(4)式子x ＋1x的最小值为2.( )(5)若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式m 2＋1≥2m 等号成立的条件是________． (2)b a ＋a b≥2成立的条件是________． (3)x ＞1，则x ＋1x －1的最小值为________． (4)若a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值为________．答案 (1)m ＝1 (2)a 与b 同号 (3)3 (4)2题型一 对均值不等式的理解 例1 给出下面三个推导过程：①因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋a b ≥2 b a ·ab＝2； ②因为a ∈R ，a ≠0，所以4a ＋a ≥24a·a ＝4；③因为x ，y ∈R ，xy <0，所以x y ＋y x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－yx ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2.其中正确的推导过程为( ) A ．①② B ．②③ C ．②D ．①③[解析] 从均值不等式成立的条件考虑．①因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ，ab∈(0，＋∞)，符合均值不等式成立的条件，故正确；②因为a ∈R ，a ≠0不符合均值不等式成立的条件，所以4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的；③由xy <0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将x y ＋y x看成一个整体提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式成立的条件，故正确． [答案] D 金版点睛均值不等式a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)的两个关注点(1)不等式成立的条件：a ，b 都是非负实数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；②仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .[跟踪训练1] 下列命题中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2 B ．当a ＞0，b ＞0时，(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C ．当a ＞4时，a ＋9a的最小值是6D ．当a ＞0，b ＞0时，2aba ＋b≥ab 答案 B解析 A 中，可能b a＜0，所以不正确；B 中，因为a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b≥21ab＞0，相乘得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以正确；C 中，a ＋9a≥2a ·9a＝6中的等号不成立，所以不正确；D 中，由均值不等式知，2aba ＋b≤ab (a ＞0，b ＞0)，所以不正确．题型二 利用均值不等式比较大小 例2 已知a ＞1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小关系是( ) A.a ＋12＜a ＜2a a ＋1 B.a ＜a ＋12＜2a a ＋1C.2a a ＋1＜a ＜a ＋12 D.a ＜2a a ＋1≤a ＋12[解析] 当a ，b 是正数时， 2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)，令b ＝1，得2a a ＋1≤a ≤a ＋12. 又a ＞1，即a ≠b ，故上式不能取等号，选C. [答案] C[题型探究] 对一切正数m ，不等式n ＜4m＋2m 恒成立，求常数n 的取值范围．解 当m ∈(0，＋∞)时，由均值不等式，得4m＋2m ≥24m·2m ＝42，且当m ＝2时，等号成立，故n 的取值范围为n ＜4 2.金版点睛利用均值不等式比较大小在利用均值不等式比较大小时，应创设应用均值不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑均值不等式使用的条件，其次要明确均值不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．[跟踪训练2] 已知：a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，试比较1a ＋1b，2a 2＋b 2，4的大小． 解 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4，a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab 2＝12－ab ≥12－14＝14，即2a 2＋b 2≤4. ∴1a ＋1b ≥4≥2a 2＋b 2. 题型三 利用均值不等式求代数式的最值例3 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值；(2)已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值； (3)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，求x ＋y 的最大值． [解] (1)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(2)∵2x ＋y ＋6＝xy ， ∴y ＝2x ＋6x －1，x ＞1，xy ＝x 2x ＋6x －1＝2x 2＋3x x －1＝2[x 2－1＋3x －1＋4]x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋4x －1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋5≥2×⎝⎛⎭⎪⎫2 x －1·4x －1＋5＝18.当且仅当x ＝3时，等号成立，∴xy 的最小值为18. (3)因为1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2≤43，即x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＞0，且x 2＋y 2＋xy ＝1，即x ＝y ＝33时，等号成立，∴x ＋y 的最大值为233. [结论探究] 若本例(1)中的条件不变，如何求xy 的最小值？ 解 1x ＋9y ＝y ＋9x xy ≥2y ·9x xy ＝6xy xy＝6xy，又因为1x ＋9y＝1，所以6xy≤1，xy ≥6，xy ≥36，当且仅当y ＝9x ，即x ＝2，y ＝18时，等号成立． 所以(xy )min ＝36. 金版点睛利用均值不等式求代数式的最值(1)利用均值不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[跟踪训练3] (1)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值；(2)已知x >0，y >0，且满足x 3＋y4＝1，求xy 的最大值．解 (1)∵x ，y 为正数，且x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立．∴1x＋1y的最小值为3＋2 2.(2)∵x3＋y4＝1，∴1＝x3＋y4≥2xy12＝33xy.∴xy≤ 3，当且仅当x3＝y4＝12，即x＝32，y＝2时等号成立．∴xy≤3，即xy的最大值为3.题型四利用均值不等式求函数的最值例4 (1)求y＝1x－3＋x(x>3)的最小值；(2)已知0<x<13，求y＝x(1－3x)的最大值；(3)已知x＞－1，求y＝x2＋3x＋4x＋1的最小值．[解](1)∵y＝1x－3＋x＝1x－3＋(x－3)＋3，又∵x>3，∴x－3>0，1x－3>0，∴y≥21x－3·x－3＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时，y取得最小值5.(2)∵0<x<13，∴1－3x>0，y＝x(1－3x)＝13·3x·(1－3x)≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x＋1－3x22＝112.当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，取等号，∴当x＝16时，函数取得最大值112.(3)∵x>－1，∴x＋1＞0，y ＝x 2＋3x ＋4x ＋1＝x ＋12＋x ＋1＋2x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1＋1≥22＋1， 当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，函数y 取得最小值22＋1. [条件探究] 在本例(1)中把“x >3”改为“x <3”，y ＝1x －3＋x 的最值又如何？ 解 ∵x <3，∴x －3<0， ∴y ＝1x －3＋x ＝－13－x－(3－x )＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－x ＋3－x ＋3≤－213－x·3－x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当13－x ＝3－x ，即x ＝2时，取等号．故函数y ＝1x －3＋x (x <3)有最大值1，没有最小值． 金版点睛利用均值不等式求函数的最值(1)利用均值不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法．[跟踪训练4] (1)已知x <54，则y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________；(2)若x >1，则y ＝x 2x －1的最小值为________．答案 (1)1 (2)4解析 (1)∵x <54，∴5－4x >0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x ＋15－4x ＋3≤－25－4x ×15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立． 故当x ＝1时，y 的最大值为1.(2)∵x >1，∴y ＝x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2＋2＝4， 当且仅当1x －1＝x －1，即(x －1)2＝1时，等号成立， ∴当x ＝2时，y 的最小值为4. 题型五 利用均值不等式证明不等式 例5 已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数， 求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc ＞3. [证明]b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3. ∵a ，b ，c 都是正数， ∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2， 同理c a ＋a c≥2，c b ＋b c≥2，∵a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号，∴⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc ＞6， ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＞3.金版点睛利用均值不等式证明不等式(1)利用均值不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择均值不等式及其变形不等式来证，如a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，可变形为ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)可变形为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22等．同时要从整体上把握均值不等式，如a 4＋b 4≥2a 2b 2，a 2b 2＋b 2c 2≥2(ab )(bc )，都是对“a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ”的灵活应用．(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件．[跟踪训练5] 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥10. 证明 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a ＋b ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a ＋b ＋c b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ＋b ＋c c ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥10.1．a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( )A.2ab a ＋b ＜a ＋b 2＜abB.a ＋b2≥2ab a ＋b≥ab C.a ＋b2＞ab ＞2ab a ＋b D.ab <2ab a ＋b ＜a ＋b 2答案 C解析 2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab ＜a ＋b 2. 2．已知x ＞0，y ＞0，x ≠y ，则下列四个式子中值最小的是( )A.1x ＋yB.14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1yC. 12x 2＋y 2 D.12xy 答案 C解析 解法一：∵x ＋y ＞2xy ，∴1x ＋y ＜12xy，排除D ； ∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝x ＋y 4xy ＝14xy x ＋y＞1x ＋y2x ＋y ＝1x ＋y， ∴排除B ； ∵(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＜2(x 2＋y 2)，∴1x ＋y ＞12x 2＋y 2，排除A ，故选C.解法二：取x ＝1，y ＝2.则1x ＋y ＝13；14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝38； 12x 2＋y 2＝110；12xy ＝122＝18. 其中110最小，故选C.3．若a ＞0，则代数式a ＋25a( ) A ．有最小值10B ．有最大值10C ．有最大值没有最小值D ．既没有最大值也没有最小值答案 A解析 利用均值不等式得a ＋25a ≥2a ·25a ＝10，当且仅当a ＝25a ，即a ＝5时，取得最小值10.4．已知x ，y 均为正数，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为( )A.14B.12C.18D.116 答案 D 解析 ∵x ＞0，y ＞0. ∴4xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.∴xy ≤116. 当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号． 5．已知a >b ，ab ＝1，求证：a 2＋b 2≥22(a －b )．证明 ∵a >b ，∴a －b >0，又ab ＝1， ∴a 2＋b 2a －b ＝a 2＋b 2－2ab ＋2ab a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b ≥2a －b ·2a －b ＝22，即a 2＋b 2a －b ≥22，即a 2＋b 2≥22(a －b )，当且仅当a －b ＝2a －b，即a －b ＝2时取等号．。
2.2.1 高中必修一数学教案《不等式及其性质》
高中必修一数学教案《不等式及其性质》教材分析《不等式及其性质》是高中数学人教版B版必修一第二章第二单元第一节的内容，它既是初中不等式的性质和上一单元等式的性质等内容的延续和拓展，也为后续学习解不等式和证明不等式做好了铺垫，起到了承上启下的作用。
同时，它为生产生活等实际问题提供了重要的解决工具，在日常生活中会经常利用不等式解决一些最优化问题，因此在高考中也是考查的重点。
学情分析有利因素：学生在上一单元学习了等式的性质，在初中也学习过不等式的几个重要性质，对于本节课的学习，学生具备良好的基础和理解能力。
不利因素：学生虽然有一定的观察、猜想能力，以及利用数形结合的方法探究两个数（代数式）比较大小的方法和不等式性质的论证，但对于推论的证明有一定的难度。
因此，在教学中，教师采取多种方法进行引导，让同学在课后继续探究。
教学目标1、体会不等量关系存在的普遍性及研究不等式的必要性，培养数学抽象的核心素养。
2、探究两个实数（代数式）比较大小的方法，发展直观想象与数学运算的核心素养。
3、通过类比等式的性质，猜想不等式的形状，能从“形”的角度理解，从“数”的角度论证，体会证明不等式的多种方法，培养逻辑推理与数学运算等核心素养。
教学重点探究两个实数（代数式）比较大小的方法。
教学难点能从“形”的角度理解，从“数”的角度论证，体会证明不等式的多种方法，教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学你见过图2-2-1中的高速公路指示牌吗？（单左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1位：km/h，下同）应该满足≤120100≤v1应该右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2满足≤10060≤v2二、学习新知在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具。
1、不等式我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。
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新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质学
案新人教B 版必修第一册
1、掌握不等式5个性质与5个推论.
2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式.
3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式
.
【重点】
1、掌握不等式5个性质与5个推论.
2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式.
3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式.
【难点】
1、正确选用性质推理和思想方法来证明不等式
.
【情境与问题】
不等式：在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工
具，我们用数学符号 连接两个数或代数式，以表示它们之间
的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式.
上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”.事实上，住意给定两个实数a ，b ，那么
你见过下图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行
驶，而且小客车的速率v 1（单位：km/h ，下同）应该满足
100≤v1≤120； 右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v 2应该满足
a≥b ⇔ a＞b或a=b
a≤b ⇔
【想一想】
怎样理解两个实数之间的大小呢？
我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P（x）.另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小、如下图所示的数轴中，A（a），B（b），不难看出
b>1>0>a.
此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数（即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离。
由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a-b与0的相对大小就可以了，即
初中的时候，我们就已经归纳出了不等式的三个性质：
性质1
性质2
性质3
【尝试与发现】
5≥3，2≥2，2≤2这三个命题都是真命题吗？
a-b<0⇔a<b,
a-b=0⇔a=b,
a-b>0⇔a>b.
事实上，如下图所示，a>b是指点A在点B的右侧，a+c和b+c表示点A和点B在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点A'和B'的相对位置，与A和B的相对位置是一样的，因此a+c>b+c.
性质1可以用如下方式证明：因为
（a+c）-（b+c）=a+c-b-c=a-b，
又因为a>b，所以a-b>0，从而
（a+c）-（b+c）>0.
因此a+c>b+c.
性质2可以用类似的方法证明：因为
ac-bc=（a-b）c，
又因为a>b，所以a-b>0，而c>0，因此
（a-b）c>0，
因此ac-bx>0，即ac>bc.
性质3的证明留作练习.
【尝试与发现】
在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质。
性质4
直观上，如下图所示，点A在点B的右侧，点B在点C的右侧，因此点A必定在点C 的右侧.
你能利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及这三个性质的证明吗？
用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：
（1）a>b是a+c>b+c的条件；
（2）如果c>0，则a>b是ac>bc的条件；
（3）如果c<0，则a>b是ac<bc的条件.
证明因为
a-c=（a-b）+（b-c），
又因为a>b，所以a-b>0；且b>c，所以b-c>0，因此
（a-b）+（b-c）>0，
从而a-c>0，即a>c.
性质4通常称为不等关系的，.我们前面在判断x2>-1等类似命题的真假时就用过不等关系的传递性。
性质5
这只要利用a-b=-（b-a）就可以证明，请读者自行尝试.
另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母。
【典型例题】
例1 比较x2-x和x-2的大小.
例1的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，大家应熟练掌握.
需要注意的是，前面我们证明不等式性质和解答例1的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法.在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等。
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论1 .
证明 a+b>c⇒a+b+（-b）>c+（-b）⇒a>c-b.
推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论1通常称为不等式的移项法则.
推论2
证明根据性质1有
a>b⇒a+c>b+c，
b>d⇒b+c>b+d，
再根据性质4可知
a+c>b+d.
b 1a 1＜我们把a>b 和c>d （或a<b 和c<d ）这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式.
推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.很明显，
推论2可以推广为更一般的结论：
有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向。
推论3
证明 根据性质2有
a>b ，c>0⇒ac>bc ，
c>d ，b>0⇒bc>bd ，
再根据性质4可知
ac>bd.
很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.
推论4
这个结论的证明只要多次使用推论3的结论即可.
推论5
证明 假设a ≤b ，即
a <
b 或a =b ，
根据推论4和二次根式的性质，得
a<b 或a=b.
这都与a>b 矛盾，因此假设不成立，从而a >b .
【尝试与发现】
可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推
理得到矛盾，最后得出假设不成立。
这种得到数学结论的方法通常称为 ，反
证法是一种间接证明的方法.
例2 （1）已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ；
（2）已知a>b ，ab>0，求证：
d
b
c
a
＞
3
1
m
3
m
1
＞
+
+
（3）已知a>b>0，0<c<d，求证：
可以看出，例2中所使用的方法是综合法.综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中
p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论。
【尝试与发现】
上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证
明q”，这可以表示为p⇐g，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结
论成立的充分条件.5
2
7
3＜
+的证明过程也可简写为：因为
例3 已知m>0，求证：
1.判断下列命题的真假：
（1）当x=3时，x≥3；（2）当x≥3时，x=3；
（3）当x≥3且x≤3时，x=3.
2.用“ >”或“<”填空：
（1）x+5 x+2；（2）a<b⇒3a 3b；
（3）a<b⇒-5a -5b；（4）当c 0时，a>b⇒ac<bc；
（5）a>b⇒a-1 b-2；（6）a>b>0，c<d<0⇒ac bd.
3.求证：如果a>b，c<0，那么ac<bc.
4.用反证法证明3
2
5
6-
-＜.
你能证明5
2
7
3＜
+吗？用综合法证明这个结论方便吗？你觉得可以怎样证明这个结论？
1．设，则“”是“” 的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．若0a b >>，0c d <<，则下列选项中正确的是（
） A ．1
1
ac bd < B ．ad bc > C ．a b
c d
> D ．a b d c < 【答案】
【学习过程】1.真 假 真
2. ＞ ＜ ＞ ＜ ＞ ＞
3. 略
4.略
【当堂检测】1.A 2.A 3.D。