第三节函数的增减性判别法
高中数学中几种判断函数增减性的方法
高中数学中几种判断函数增减性的方法函数的单调性（增减性）是函数的基本性质之一，是高中数学必须掌握且能熟练运用的基础知识。
函数中函数值的变化方向与自变量的变化方向密切相关，当自变量的变化方向与函数值的变化方向一致时，函数图象（曲线）是下降的，或者说是递减的；反之，是上升的，或者说是递增的，函数的这种性质称为单调性。
函数的单调性是函数在某个区间或整个定义域上的性质。
利用函数的单调性可以求函数在某个区间上的最大（小）值、可以比较两个或多个函数值的大小、还可以解不等式及判断函数在某个区间内的零点个数。
但在解决这些问题之前必须确定函数的单调性，即函数在定义域区间内是增函数还是减函数。
下面介绍几种判断函数增减性的方法。
一、利用函数单调性的定义判别设函数f（x）的定义域为i：如果对于定义域i内某个区间a上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数f（x）是区间a上的函数。
在此定义中必须注意：1.证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义进行，x1，x2具有三个特征：一是任意性，也就是说，x1，x2是任取的，证明单调性时不能用两个特殊值随意替换x1，x2；二是x1，x2有大小，通常规定x1＜x2；三是x1，x2同属一个单调区间。
此三者缺一不可。
2.这个区间a可以是定义域i本身，也可以是定义域i的某个真子集。
3.不是所有的函数都具有单调性。
如函数，它的定义域为r，但不具备单调性；又如y＝3x+2，x ∈n+，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。
二、利用函数值与自变量的变化趋势判别或利用函数图象的“走势”判别当函数值与自变量的变化趋势时，函数为函数。
函数图象（曲线）“从左到右走坡路”，函数为函数。
三、利用函数单调性的运算性质判别若函数f（x），g（x）在定义域区间a上具有单调性，则在区间a上具有下列性质：①f（x）与f（x）+c（c为常数）具有相同的单调性；②当a＞0时，f（x）与af（x）具有相同的单调性；当a＜0时，f（x）与af（x）具有相反的单调性；③若f（x）恒不等于零，当k＞0时，f（x）与具有相反的单调性；单k＜0时，f（x）与具有相同的单调性；④当f（x）与g（x）都是函数时，则f（x）+g（x）也是函数；⑤若f（x）与g（x）都是函数时。
高等数学自考3.3函数的单调性与极值
上单调增加； 在 上单调增加 （i）如果在 b)内f ′(x) > 0，则f (x)在[a, b]上单调增加； ）如果在(a, 内 ， 上单调减少。 （ii）如果在 b)内f ′(x) <0，则f (x)在[a, b]上单调减少。 ）如果在(a, 内 ， 在 上单调减少
例1 讨论函数 y = e x − x − 1的单调性 . 的单调性 解 Q y′ = e x − 1. 又 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
的极值点与极值。 例4 求 f (x) = (x −1) x 的极值点与极值。
3 2
解
定义域（ 定义域（−，+）
2 5x − 2 f ′( x) = x + ( x −1) x = 3 , 3 3 x 2 当 x = 时 , f ′( x ) = 0; 5 当 x = 0时 , f ′( x )不存在
4 3
′(x) = 12x3 −12x2 = 12x2 ( x −1), 解 f
令 得驻点: f ′( x) = 0 得驻点 x = 0, 1.
′′( x) = 36x2 − 24x = 12x(3x − 2) f
f ′′(0) = 0, f ′′(1) = 12 > 0.
由极值第二判别法, 由极值第二判别法 ξ=1时, 时 f (ξ)有极小值 f (1)=4. 有极小值: ξ 有极小值 由于 f ′′( 0 ) = 0 所以,需用极值第一判别法判定 所以 需用极值第一判别法判定: 需用极值第一判别法判定
O x
y = x3
定理2 极值存在的一阶充分条件） 定理2（极值存在的一阶充分条件） 在该邻域（ 可除外）可导， 在该邻域（x0可除外）可导， 设f (x)在x0的某邻域内连续， 在 的某邻域内连续， 不存在的点。 x0为f (x)的驻点或使 ′(x) 不存在的点。 的驻点或使f 的驻点或使 (i) 若当 < x0 时，f ′(x) > 0；当x > x0 时，f ′(x) < 0， 若当x ； ， 则 f (x0) 是f (x)的极大值； 的极大值； 的极大值 (ii) 若当 < x0 时，f ′(x) < 0； 当x > x0 时，f ′(x) >0， 若当x ； ， 的极小值； 则 f (x0) 是f (x)的极小值； 的极小值 (iii) 若在 0的两侧，f ′(x)不变号， 若在x 的两侧， 不变号， 不变号 不是极值。 则f (x0)不是极值。 不是极值
函数的增减性
单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
二、 确定下列函数的单调区间：
10 1、 y ； 3 2 4x 9x 6x 2 2、 y 3 ( 2 x a )(a x ) 3、 y x sin 2 x .
a 0 )； (
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三、 证明下列不等式： 1、 当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ； 2、 当 x 4时， 2 x x 2 ； 1 3 3、 若 x 0，则 sin x x x . 6 四、 方程 ln x ax (a 0) 有几个实根.
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
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二、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用.
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证
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得 ( x1 x2 )
函数增减性与奇偶判断准则
一复合函数1.增减性对于 F(x)=f[g(x)] 的复合函数,其增减性满足乘法定则即: 增复合增=增, 减复合减=增 ,减复合增=减,由此可推出更高阶规律,例如增复合增复合减=增复合减=减.2.奇偶性对于F(x)=f[g(x)] 的复合函数,其实只要掌握好奇偶函数的定义，自己推一下是非常容易的。
记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]，如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数；当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。
在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。
E 相乘函数1.增减性对于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则.知道你会不信,很好,我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而F(x)=x^2,有增有减.2.奇偶性对于F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶除法就不用说了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)[1/f(x)], 自己推. 不过最重要的是,上述所说的都要符合在相同定义域内,否则...都是枉然。
函数的增减性与函数最值的判定与求解
利用单调性研究最值：在闭区间上连续的函数，如果在区间内单调递增或递减，则该函数在此区间内必存在最值点
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实际应用举例
06
利用函数的增减性与最值解决实际问题的方法
验证解的正确性和可行性
Байду номын сангаас
利用最值点进行实际问题的求解
分析函数的增减性，确定最值点
确定问题中函数的表达式和定义域
数学建模中函数的增减性与最值的应用
首先确定函数的增减性
利用增减性判断函数的最值
结合函数图像确定最值位置
计算最值并得出结论
利用函数最值研究函数的增减性
函数最值与增减性的关系：函数的最值点是函数增减性变化的转折点
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利用最值点判断增减性：在闭区间上连续的函数，如果在区间两端取到的函数值异号，则函数在此区间内必有最值点
添加项标题
利用导数研究增减性：通过求导数可以判断函数的增减性，导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减
增减函数的应用
增减函数在经济学中的应用
增减函数的定义和性质
增减函数在数学分析中的应用
增减函数在物理学中的应用
函数最值的判定
03
函数最值的定义与性质
函数最值的定义：函数在某点处取得最大值或最小值
函数最值的性质：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值
判定函数最值的方法
二次函数判别式法：对于二次函数，通过判别式判断最值
函数最值与增减性的关系
05
增减性对函数最值的影响
增减性与最值的关系可以通过导数来判断
单调递减函数的最值为极小值
单调递增函数的最值为极大值
增减性决定了函数最值的性质
函数最值与增减性的相互转化
高一数学 第三讲 函数的增减性
函数的增减性一、 概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A如果对于区间I 内的任意两个值x 1,x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1 )<f(x 2 )，那么就说y=f(x)在区间I 上是增函数。
I 称为y=f(x)的单调增区间。
如果对于区间I 内的任意两个值x 1,x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1 )>f(x 2 )，那么就说在这个区间I 上是减函数。
I 称为y=f(x)的单调减区间。
1. 证明函数xx x f 2)(+=在),2(+∞上是增函数．2．归纳解题步骤归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 练习：证明函数x x f =)(在),0[+∞上是增函数．问题：要证明函数)(x f 在区间),(b a 上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的),(,21b a x x ∈，且21x x ≠有0)()(1212>--x x x f x f 可以吗?分析这种叙述与定义的等价性．尝试用这种等价形式证明函数x x f =)(在),0[+∞上是增函数．①如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内是减函数。
②设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02121是减函数。
二、主要方法：1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2.判断函数的单调性的方法有： ()1用定义；()2用已知函数的单调性； ()3利用函数的导数；()4如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数 ()5图象法；()6复合函数的单调性结论：“同增异减” ()7奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.()8 互为反函数的两个函数具有相同的单调性．(9)在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
理解函数的增减性与单调性
理解函数的增减性与单调性函数的增减性与单调性是数学中常用的概念，在函数的研究中起到非常重要的作用。
理解函数的增减性与单调性，能够帮助我们更好地理解函数的性质，从而在解决问题时做出准确的判断和推理。
一、增减性概念1、增减性的定义在定义函数的增减性之前，我们首先要清楚函数的定义。
函数是将一个集合的每个元素映射到另一个集合的对应元素的规则。
对于定义在区间上的函数，如果对于区间内的任意两个数a和b，当a<b时，有f(a)<f(b)，则称函数f在该区间上是增函数；当a<b时，有f(a)>f(b)，则称函数f在该区间上是减函数。
当函数f在一个区间上既是增函数又是减函数时，称函数f在该区间上是常数函数。
2、增减性的判定准则函数的增减性可以通过求导数来判定。
对于函数y=f(x)，如果f'(x)>0，那么函数f(x)在该点上是增函数；如果f'(x)<0，那么函数f(x)在该点上是减函数；如果f'(x)=0，那么函数f(x)在该点上是极值点。
3、函数图像的变化增函数的图像通常是从左下方向右上方倾斜的直线或曲线；减函数的图像通常是从左上方向右下方倾斜的直线或曲线。
二、单调性概念1、单调性的定义函数的单调性是指函数在某个区间上递增或递减的性质。
如果在一个区间内，对于任意的a和b，当a<b时，有f(a)<f(b)，则称函数f在该区间上是严格递增的；如果当a<b时，有f(a)<=f(b)，则称函数f在该区间上是递增的。
同理，在一个区间内，如果对于任意的a和b，当a<b时，有f(a)>f(b)，则称函数f在该区间上是严格递减的；如果当a<b时，有f(a)>=f(b)，则称函数f在该区间上是递减的。
2、判断单调性的方法与判断增减性不同，判断函数的单调性时，我们需要分析函数的图像和导函数的符号。
对于函数y=f(x)，如果在区间上f'(x)>0且f''(x)>=0，那么函数f(x)在该区间上是递增的；如果在区间上f'(x)<0且f''(x)<=0，那么函数f(x)在该区间上是递减的。
第三节函数的增减性判别法
例4 证
试证明0 x
f
(x)
sin
x 2
1
时,有
sin
x 2
x
.
(99年考研题)
x
x1 x
xx
x
x cos sin cos ( tan )
f ( x)
22 x2
2
22 Байду номын сангаас2
2 0
且 f ( x) 在 x 处连续
故 f ( x) 在 0 x 单调减少
x (a,b)
题型二 证明不等式
例3 试证明 x 0时,有x ln(1 x). 证 f ( x) x ln(1 x)
f ( x) 1 1 x 0 ( x 0) 1 x 1 x
且 f ( x) x ln(1 x) 在 x 0 处连续 故 f ( x) 在 x 0 单调增加 从而 f ( x) f (0) 0 ( x 0) 所以 x ln(1 x) ( x 0).
第三节 函数的增减性判别法
y
y
o
xo
x
定理4.6 设函数 f ( x)在(a, b)内可导,
①如果在 (a, b)内恒有 f ( x) 0, 则 f ( x)
在 (a,b) 内单调增加. ②如果在 (a, b)内恒有 f ( x) 0, 则 f ( x)
在 (a, b) 内单调减少.
例6 比较 e 与 e 的大小.
解 令 f (x) ln x
x
且
f ( x)
1 ln x x2
0
x (e,)
因 f ( x) 在 [e, ) 连续
函数的增减性与拐点问题
函数的增减性与拐点问题函数的增减性与拐点问题是数学中常见的一个概念，用来描述函数在不同区间上的变化趋势。
在本文中，我们将探讨函数的增减性和拐点的定义、判断方法以及与实际问题的应用。
一、函数的增减性函数的增减性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体来说，对于一个单调递增的函数，当自变量增大时，函数值也随之增大；对于一个单调递减的函数，自变量增大时，函数值会减小。
判断函数的增减性有以下两种常用方法：1. 导数法导数可以反映函数的变化率，因此可以通过函数的导数来判断函数的增减性。
具体来说，若函数在某一区间上的导数大于零，说明函数在该区间上是递增的；若导数小于零，说明函数在该区间上是递减的。
2. 一阶导数与二阶导数法如果函数在某一点处的一阶导数从正数变为负数，那么这个点就被称为拐点。
拐点处函数的增减性发生了改变。
此外，如果拐点处的二阶导数存在且不为零，那么这个点就是一个真正的拐点。
二、拐点问题拐点问题是研究函数曲线变化的重要课题之一。
在函数曲线上，拐点通常表现为曲线从凸向上转变为凹向上，或者从凹向上转变为凸向上的点。
判断拐点有以下两种方法：1. 导数法将函数的二阶导数等于零的点称为临界点。
如果在临界点左侧的二阶导数为正，右侧的二阶导数为负，那么这个点就是一个拐点，曲线在此处发生凹凸变形。
2. 一阶导数的变化如果函数在某一点的一阶导数发生突变，即从增加或减少变为相反的趋势，那么这个点就是一个拐点。
三、函数增减性与拐点问题的应用函数的增减性与拐点问题在实际问题中有广泛的应用。
以下是其中的两个例子：1. 经济学中的应用经济学中常利用函数的增减性与拐点来描述需求变动、营销策略等问题。
通过分析产品需求量的变化趋势，可以找到销售高峰和低谷的时间点，从而合理安排生产和营销策略，提高企业的效益。
2. 物理学中的应用物理学中的运动学问题也涉及了函数的增减性与拐点问题。
通过分析物体的位置、速度和加速度之间的关系，可以判断物体在不同时间段内是匀速运动、加速运动还是减速运动，进而获得运动状态的详细信息。
高中数学中的函数的增减与最值
高中数学中的函数的增减与最值函数是数学中的重要概念，它描述了两个量之间的依存关系。
在高中数学中，我们经常需要分析函数的增减性以及确定函数的最值。
掌握这些概念和技巧，对于解决实际问题和应对高考数学是至关重要的。
本文将依次介绍函数的增减性和最值的求解方法。
一、函数的增减性函数的增减性描述了函数在其定义域内的变化趋势。
通常，我们通过函数的导数来判断函数的增减性。
对于闭区间上的连续函数，我们可以通过导函数的正负性来判断函数的增减性。
当导函数大于零时，函数单调递增；当导函数小于零时，函数单调递减。
对于开区间上的函数，我们可以通过导函数的增减性来判断函数的增减性。
当导函数的增减性与函数的增减性一致时，函数在该区间内是增加的；当导函数的增减性与函数的增减性相反时，函数在该区间内是减少的。
除了导数法，我们还可以利用零点与拐点来判断函数的增减性。
当函数在某点的导数为0时，该点就是函数的极值点或者拐点。
通过计算函数在极值点附近的导数符号来确定函数的增减性。
二、函数的最值函数的最值是指函数在其定义域中取得的最大值和最小值。
通过求解函数的最值，我们可以找到函数的最高点和最低点，从而对函数的性质有更深入的认识。
对于闭区间上的连续函数，我们可以通过求解函数的导数为零的点来确定函数的最值。
当导函数由正数变为负数时，函数取得最大值；当导函数由负数变为正数时，函数取得最小值。
对于开区间上的函数，我们可以通过求解函数的极限来确定函数的最值。
当函数在区间的端点处取得最值时，我们需要进一步求解函数在区间内的极值。
另外，闭区间上的连续函数还可以利用上确界和下确界来求解最值。
通过将闭区间划分为若干个子区间，在每个子区间内找出函数的最值，然后比较这些最值来确定整个区间上函数的最值。
三、实例分析现以一个具体的函数为例，说明如何通过分析函数的增减性和求解最值来解决实际问题。
假设有一个开水器，它的工作原理可以用函数y = f(x)来描述，其中x表示加热时间（单位：分钟），y表示温度（单位：摄氏度）。
判断函数增减性的快速方法
判断函数增减性的快速方法
判断函数增减性的快速方法是一项重要的计算机科学技能，在题库、竞赛和实用编程中都有着广泛的应用。
这方面的技能能够帮助我们快速确定一个函数的单调性，有利于更好地掌握函数的变化规律。
一般来说，函数增减性可以用定义域上的点、及和点处导数的关系来进行判断。
具体而言，我们可以通过计算函数在各个定义域上的导数，来判断函数在对应的定义域上的增减性：
（1）如果导数为正，则表明该函数在该点处是增函数；
（2）如果导数为负，则表明该函数在该点处是减函数；
（3）如果导数不存在，则表明该函数在该点处函数是不存在增
减性。
此外，还可以利用一阶导数过零点法来判断函数增减性，即用一阶导数过零点法判断函数是增函数还是减函数。
首先，我们根据定义域上的点，得出该函数的一阶导数。
然后，利用二分法求出一阶导数在定义域上的零点。
最后，依据零点的位置，就可以判断该函数在该定义域上是增函数还是减函数。
以上判断函数增减性的快速方法可以让我们快速确定函数的增
减性，有利于更好地掌握函数的变化规律。
此外，该方法在高等数学和科学技术中也广泛应用，它可以帮助我们快速研究一个实际问题给出的函数，用以作为理解实际问题的基础。
总之，判断函数增减性的快速方法是一项重要的计算机科学技能，它可以帮助我们快速确定一个函数的增减性，并快速研究一个实际问
题给出的函数。
学习并熟练掌握这一重要技能，可以极大地提高我们的数学能力和科学技能，有利于我们的未来发展。
判断增减函数的两种常用方法
判断增减函数的两种常用方法判断一个函数是增函数还是减函数是数学中一种常见的问题。
在分析函数的增减性时，有两种常用的方法：一阶导数法和二阶导数法。
一阶导数法是通过求函数的一阶导数来判断其增减性。
函数的一阶导数描述了函数在其中一点的斜率或变化率。
如果函数的一阶导数在定义域上大于0，则该函数在该区间上是增函数；如果一阶导数小于0，则函数是减函数。
需要注意的是，一阶导数为0的点是可能存在的转折点或极值点。
当一阶导数为0时，我们需要结合其他方法来确定其增减性。
举例说明一阶导数法。
考虑函数f(x)=x^2，我们可以计算它的一阶导数f'(x)=2x。
在定义域上，2x大于0，说明f(x)是增函数。
然而，一阶导数法有一些局限性。
首先，一阶导数只能告诉我们函数的整体趋势，但不能提供确切的增减区间。
其次，一阶导数法对于具有多个转折点的函数来说不是很有效。
在这种情况下，我们可以考虑使用二阶导数法。
二阶导数法是通过求函数的二阶导数来判断其增减性。
函数的二阶导数描述了函数的曲率或者一阶导数的变化率。
如果函数的二阶导数在定义域上大于0，则该函数是凸函数，即是增函数；如果二阶导数小于0，则函数是凹函数，即是减函数。
再次需要注意的是，二阶导数为0的点可能存在拐点。
举例说明二阶导数法。
考虑函数g(x)=x^3，我们可以计算它的二阶导数g''(x)=6x。
对于所有x，6x大于0，说明g(x)是一个增函数。
二阶导数法在一些情况下更有优势，因为它可以提供更多的信息。
例如，当函数的一阶导数为0时，我们可以看一下二阶导数来确定是极大值或极小值。
当函数的一阶导数一直大于0，而二阶导数在其中一点变为小于0时，我们可以确定在那个点函数发生了从增加到减少的反转。
总之，判断增减函数的两种常用方法是一阶导数法和二阶导数法。
一阶导数法通过一阶导数的正负来判断函数的增减性，但对于具有多个转折点的函数有一定的局限性。
而二阶导数法通过二阶导数的正负来判断函数的增减性，可以提供更多的信息。
函数的增减与最值
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目 录
Part One.
函数的增减性
Part Two.
函数的最值
Part Three.
增减性与最值的 关系
Part One
函数的增减性
增函数与减函数的定义
增函数的定义：对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)的函数 减函数的定义：对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)的函数
Part Three
增减性与最值的关系
增减性对最值的影响
增减性决定了最值的取值范围
增减性影响最值的个数和位置
增减性是判断最值存在的依据
增减性对最值的性质和特征有 重要影响
最值在增减性中的作用
增减性决定了最 值的取值范围
最值出现在增减 性变化的临界点
最值的大小与增 减性的变化趋势 有关
利用最值在增减 性中的特性可以 解决实际问题
几何法：通过观察函数图像，找到极值点，从而得到函数的最值
三角函数法：利用三角函数的性质，如周期性、有界性等，来求函数的最值 参数方程法：通过参数方程将函数转化为易于处理的形式，再利用代数法或几何 法求最值
最值在函数中的应用
最大值和最小值的求法
最大值和最小值的概念
最大值和最小值在生活中的 应用
最大值和最小值在数学建模 中的应用
判断函数增减性的方法
导数法：通过求导数并分析导数的符号来判断函数的增减性 定义法：通过比较自变量在一定区间内的变化率来判断函数的增减性 单调性定理：利用单调性定理来判断函数的增减性 图象法：通过观察函数的图象来判断函数的增减性
增减函数的性质
增函数的性质：函数值随着自 变量的增大而增大
高中数学函数的增减性与极值点计算
高中数学函数的增减性与极值点计算在高中数学学习中，函数的增减性与极值点是一个重要的概念和考点。
理解和掌握这些知识对于解题和解决实际问题具有重要意义。
本文将通过具体的题目举例，分析和说明函数的增减性与极值点的计算方法，并给出解题技巧和指导。
一、函数的增减性函数的增减性是指函数在定义域上的取值随自变量的增大或减小而增加或减小的性质。
要判断一个函数的增减性，我们可以通过求导数或者利用函数的性质进行分析。
例如，考虑函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，我们可以通过求导数来判断函数的增减性。
首先，求导得到$f'(x)=3x^2-6x+2$。
然后，我们令$f'(x)=0$，解方程得到$x=1$和$x=\frac{1}{3}$。
接下来，我们可以绘制函数$f(x)$的一阶导数的符号表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hlinex & (-\infty, \frac{1}{3}) & (\frac{1}{3}, 1) & (1, +\infty) \\\hlinef'(x) & + & - & + \\\hline\end{array}\]根据符号表，我们可以得出函数$f(x)$在区间$(-\infty, \frac{1}{3})$上是递减的，在区间$(\frac{1}{3}, 1)$上是递增的，在区间$(1, +\infty)$上是递减的。
因此，函数$f(x)$的极小值点为$x=\frac{1}{3}$，极大值点为$x=1$。
除了求导数的方法外，我们还可以利用函数的性质进行分析。
例如，对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，如果$a>0$，则函数的图像开口向上，是一个凸函数，函数在顶点处取得最小值；如果$a<0$，则函数的图像开口向下，是一个凹函数，函数在顶点处取得最大值。
通过对函数的性质进行分析，我们可以快速判断函数的增减性和极值点的位置。
函数的增减性与极值知识点总结
函数的增减性与极值知识点总结函数的增减性和极值是微积分中的重要概念，对于研究函数的行为和性质具有重要意义。
在本文中，我们将总结函数的增减性和极值的相关知识点，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数的增减性函数的增减性描述了函数在定义域内是递增还是递减的性质。
具体来说，我们可以通过函数的导数或者函数的一阶导数来判断函数的增减性。
1. 函数在某个区间内递增的条件是什么？如果函数在一个区间内的导数大于零，那么这个函数在该区间内是递增的。
也就是说，如果函数f(x) 在[a, b]的内导数f'(x) 大于0, 则 f(x) 在[a, b]是递增的。
2. 函数在某个区间内递减的条件是什么？如果函数在一个区间内的导数小于零，那么这个函数在该区间内是递减的。
也就是说，如果函数f(x) 在[a, b]的内导数f'(x) 小于0, 则 f(x) 在[a, b]是递减的。
3. 函数在某个区间内单调递增的条件是什么？如果函数在一个区间内的导数始终大于等于零，那么这个函数在该区间内是单调递增的。
也就是说，如果函数f(x) 在[a, b]的内导数f'(x) 大于等于0, 则 f(x) 在[a, b]是单调递增的。
4. 函数在某个区间内单调递减的条件是什么？如果函数在一个区间内的导数始终小于等于零，那么这个函数在该区间内是单调递减的。
也就是说，如果函数f(x) 在[a, b]的内导数f'(x)小于等于0, 则 f(x) 在[a, b]是单调递减的。
二、极值极值是函数在某个点上的最大值或者最小值。
通过寻找函数的极值，我们可以得到函数的拐点和临界点等重要信息。
1. 函数的极大值点和极小值点的判断条件是什么？函数的极值点可以通过求解函数的导数等于零的方程来确定。
如果函数f(x) 在点x=c 处的导数f'(c)=0，并且在左右邻域内的导数符号相反，则认为函数在x=c 处有一个极大值点或极小值点。
判断函数增减性的方法
判断函数增减性的方法
判断函数的增减性是数学中的重要内容，它能够让我们精准地衡量函数值的极值，从而达到最大效力。
在传统的数学教学中，教师们经常使用图像变异的方式来传授判断函数的增减性的方法，但是这种传统的办法远远不能适应目前网络教学的需要。
随着教育界对网络教学的重视和普及，有越来越多的教学者开始从网络技术中汲取智慧，开发出具有分辨性能好及具有内在规律的互联网判断函数增减性的系统模型。
目前，教育界已经逐步将虚拟和实体的教学融合在一起，为判断函数增减性提供更多的选择：一方面，通过教师上网技术的传授，加深学生的理解，使他们能够更好地掌握解题思路；另一方面，通过虚拟量实验，将抽象的数据可视化，帮助学生更快地解决数学问题。
未来，随着传统的教学模式逐渐被教师和学生共同接受，以及先进的信息技术的应用，更多的互联网判断函数增减性技术将在数学教学中得以应用。
而且，随着当今社会人才竞争越发激烈，教育者们也应该利用这种技术来提升教学质量，从而助力学生的成长。
函数增减性判断口诀
导数和函数的单调性的关系
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间。
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。
1若fx0在ab上恒成立则fx在ab上是增函数fx0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间
函数增减性判断口诀
复合函数增减性判断口诀:增复合增=增,减复合减=增,减复合增=减。加减函数增减性判断口诀：增+增=增，减+减=减，减+增则无定则。
函数增减性判断口诀同Βιβλιοθήκη 异减。增+增=增。
减+减=减。
增-减=增。
函数增减性判断口诀
函数增减性判断口诀对于一元函数 $f(x)$，我们可以通过它在某一区间的单调性来判断函数的增减性。
下面是一些常见的口诀，能够帮助我们方便地记忆函数的增减性。
1. 函数单减，导数负增；函数单增，导数正增。
这是最基本的判断函数增减性的口诀。
当函数单调递减时，导数随着自变量的增大而减小；当函数单调递增时，导数随着自变量的增大而增大。
2. 导函数为 $0$，函数极值；导函数不存在，函数可能有极值。
当导函数为 $0$ 时，函数可能有极值或拐点。
需要根据二阶导数的正负性来判断。
当导函数不存在时，函数可能有极值或拐点。
需要根据函数图像形状来判断。
3. 导函数变号，函数有极值；导函数不变，函数无极值当导函数变号的时候，函数在这个点附近有一个极值点。
当导函数不变的时候，函数在这个点附近不可能有极值点。
4. 分析极值，注意倒数、函数；函数不连续，须排除。
在分析极值的时候，需要注意函数不连续的情况，需要将不连续点剔除。
同时也要注意，极值点必须是导数为0的点，不能仅仅是函数值最大或最小的点。
5. $f'(x)>0$，函数单调增；$f'(x)<0$，函数单调减。
这是一组简单的口诀，可以快速帮助我们记忆函数的单调性。
当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。
6. 二阶导数符号，决定函数凸凹；二阶导数为0，判断拐点。
判断函数的凸凹性可以通过二阶导数的符号来决定。
当二阶导数大于0时，函数是凸的；当二阶导数小于0时，函数是凹的。
当二阶导数等于0时，需要通过导函数的符号来判断拐点。
7. 函数图像下降，导数为负；函数图像上升，导数为正。
这是一组简单的口诀，可以帮助我们在大致知道函数图像的走向时，快速判断导数的符号。
当函数图像下降时，导数为负；当函数图像上升时，导数为正。
8. 函数单调性已知，增减可确定。
当函数的单调性已知时，我们可以根据其单调性来确定函数的增减性。
9. $x$ 点左侧单增，右侧单减，$x$ 为极大；$x$ 点左侧单减，右侧单增，$x$ 为极小。
函数增减性、极值与最值、曲线、函数图形的画法
注 如果函数的导数在某区间上的有限个点处为零，在其余各 点处恒为正或负，则函数在该区间上仍为单增或单减。 例5 讨论 y x 的单调性
3
y
y x3
x
解 定义域 ,
y 3 x 2 0（除去x 0 ）
f x 在 ,上单调增加.
0
又例 讨论y x cos x 在 [2， ] 上的单调性 2 解
1 例6 证明 x 1 时， 2 x 3 x 1 1 1 1 证 令 f x 2 x ( 3 ) 则 f x 2 2 ( x x 1) x x x x
在1, 内，f x 0, f x 在[1, )上单调增加, 1 又 f x f 1 0 当 x 1 时，2 x 3 x
例2 求 f x ( x 2 1)3 1 的极值.
解
f x 6 x( x 2 1) 2
y
令 f ( x ) 0
f 0 0,
得 x1 1, x2 0, x3 1
f 0 0为极小值.
1
f x 6( x 2 1)(5 x 2 1)
2如果在 a, b内 f x 0, 则 f x 在a, b上单调减少 .
证 在[a, b]上任取两点 x1 、 2 (不妨设 x1 x2 ) , x
则 x 2 x1 0, 由拉格朗日中值定理，有
f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( )( x 2 x1 )
§4.3
y
y f x
函数的增减性
y
B
f ( x ) 0
A
f x 0
y f x
A
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⇒ f ( x ) < f ( 0) = 0
2
x ∈ (0,1).
题型三
讨论方程的根
证明方程有唯一实根的一般方法: 证明方程有唯一实根的一般方法:
存在惟一实根. 惟一实根 例5 证明 x + 2 x + 1 = 0在 (−1, 0) 存在惟一实根
3
f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 1 显然在 [−1,0]上连续； 上连续； 证 令
求单调区间的三个步骤： 求单调区间的三个步骤：
1、求出 、
f ′( x ) = 0 以及 f ′( x )不存在的点 不存在的点.
2、这些点把 f ( x ) 的定义域分成若干子区间 、 的定义域分成若干子区间. 3、列表讨论 、
f ( x )在各子区间的符号， 在各子区间的符号，
从而判断单调性. 从而判断单调性
3
( −1, 0)
内存在唯一实根. 内存在唯一实根
题型一 判断单调性
题型二
证明不等式
题型三
讨论方程的根
作业题 习题四(A)15(2).16(3) 习题四
x2 1 >0 g ′( x ) = − (1 − x ) = 2 1+ x 1+ x
∴ f ( x ) 单调增加， 单调增加，
∴ g ( x )单调增加， 单调增加，
∴ f ( x ) > f (0) = 0
∴ g ( x ) > g(0) = 0
1 2 即 ln(1 + x ) > x − 2 x
的单调区间. 例2 确定函数 f ( x ) = x 3 的单调区间 解 定义域为 ( −∞ ,+∞ )
′( x ) = 3 x 2 f
令 f ′( x ) = 0 得 x = 0
x (−∞ ,0) −∞ + (0,+∞ )
+
y′
y
如果在 (a , b) 内 f ′( x ) ≥ 0, 且等号只在个别 点成立,则 点成立 则 f ( x ) 在 (a , b) 内单调增加 内单调增加试证明 x − x < ln(1 + x ) < x , x > 0. 2
证 令
f ( x ) = x − ln(1 + x )
再令
1 2 g( x ) = ln(1 + x ) − ( x − x ) 2
x 1 = > 0 ( x > 0) f ′( x ) = 1 − 1+ x 1+ x
即
x > ln(1 + x )
综上
1 2 x − x < ln(1 + x ) < x , x > 0. 2
例4 设 x ∈ (0,1), 证明 (1 + x ) ln 2 (1 + x ) < x 2 .
f ( x ) = (1 + x ) ln 2 (1 + x ) − x 2 证 f ′( x ) = ln 2 (1 + x ) + 2 ln(1 + x ) − 2 x x ∈ (0,1) 1 2 f ′′( x ) = 2 ln(1 + x ) ⋅ + −2 1+ x 1+ x ln(1 + x ) − x x ∈ (0,1) <0 = 2⋅ 1+ x f ′′( x ) < 0 ⇒ f ′( x ) ⇒ f ′( x ) < f ′(0) = 0 ⇒ f ( x) ∴ (1 + x ) ln (1 + x ) < x
第三节 函数单调性的判别法
y
y
o
a
b
x
o
a
b
x
定理4.6 定理4.6 设函数 f ( x )在(a , b) 内可导 内可导, ①如果在 (a , b) 内恒有 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 内单调增加. 在 [a , b] 内单调增加 ②如果在 (a , b)内恒有 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 内单调减少. 在 [a , b] 内单调减少. 证明 设 x1 < x2 是 (a , b) 内任意两点 f ( x ) 在 [ x1 , x 2 ]上满足拉格朗日定理条件 • • • • • 故存在 ξ ∈ ( x1 , x2 ) 使得 a x1 ξ x 2 b f ( x 2 ) − f ( x1 ) = f ′(ξ )( x 2 − x1 )> 0, 故 f ( x )单增 单增.
因 f ( −1) = −2 < 0
f (0) = 1 > 0
有零值定理， 有零值定理，f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 1 = 0 至少存在一个实根. 在 (−1,0) 至少存在一个实根 又因为 f ′( x ) = 3 x 2 + 2 > 0, 所以在 [−1, 0] 上单调增加. 上单调增加 所以 x + 2 x + 1 = 0 在
题型一 判断单调性 3 的单调区间. 例1 确定函数 f ( x ) = x − 3 x 的单调区间 解 定义域为 ( −∞ ,+∞ )
′( x ) = 3 x 2 − 3 = 3( x − 1)( x + 1) f 令 f ′( x ) = 0 得 x1 = −1, x2 = 1 x y′ y ( −∞ ,−1) (−1,1) − + − (1,+∞ ) +