选修2-3 第一章 计数原理 1.2排列组合应用题(学案)
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列(第3课时)教案新人教A版选修2-3(2021
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1 排列第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程,从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识,正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．错误!错误!提出问题：7位同学排队,根据上一节课所学的方法，解决下列排列问题．(1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4），共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法?（4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1）问题可以看作：7个元素的全排列A错误!＝5 040。
(2）根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A错误!＝720。
排列问题解法学案
选修2-3第一章1.2.1排列问题的解法（学案）学案设计：绵阳市开元中学 王小凤老师学习时间：2012年 月 日 学生姓名：一．学习目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；2.掌握解决排列问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题，提高学生解决问题分析问题的能力；3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.二．学习重、难点重点：应用基础知识解决现实生活中的排列问题，激发学生学习热情。
难点：排列中的典型问题的基本解法。
三．学习过程 （一）复习巩固1．分类加法计数原理：完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：N = 种不同的方法．2．分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：N = 种不同的方法．3．分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．4．排列的定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
5．排列数：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有 。
用符号 表示。
排列数公式：m nA = 或m nA =（二）解题策略1.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解析:（特殊位置优先法）由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不满足要求的元素占了这两个位置.第一步：先排末位共有 种方法； 第二步：然后排首位共有 种方法； 第三步：最后排其它位置共有 种方法； 由分步计数原理得，共有五位奇数【思考】1．第一步与第二步的顺序能否交换？结果如何？2．若采用特殊元素优先法，具体步骤应怎样？【方法小结】位置分析法和元素分析法是解决排列问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
人教版数学选修2-3第一章《计数原理》教案
XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板一、复习知识点：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有n k种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+……+n k种不同的方法。
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n k种不同方法二、典型例题1、.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有种。
2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可用，则不同的染色方法共有多少种？3、用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_______.4、用0,1,2,3,4五个数字（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？5、用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2000大的四位奇数______个。
XX中学课时教学设计模板求以按依次填个空位来考虑，排列数公式：=（）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是，共有个因数；（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列全排列数：（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1） ＝＝3360 ； （2） ＝＝720 ； （3）＝＝360例2．（1）若，则 ， ．（2）若则用排列数符号表示 ． 解：（1） 17 ， 14 ． （2）若则＝ ．例3．（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）； （2）； （3）课堂练习：P20 练习 第1题mn A m (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+!()!n n m -,,m n N m n *∈≤n 1n m -+m n m =n (1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=316A 66A 46A 316A 161514⨯⨯66A 6!46A 6543⨯⨯⨯17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----1569n A -2,3,5,7,11255420A =⨯=5554321120A =⨯⨯⨯⨯=2141413182A =⨯=XX 中学课时教学设计模板解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；问题可以用“捆绑法”；“分离”2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析：(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插空法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．XX 中学课时教学设计模板一、复习引入：1．排列数公式及其推导：（）2、解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．二、典型例题1.满足不等式>12的n 的最小值为 ( ) A .7 B . 8C .9D .10【解析】选D .由排列数公式得:>12，即(n -5)(n -6)>12， 整理得n 2-11n +18>0， 所以n <2(舍去)或n >9. 又因为n ∈N *，所以n min =10. 2.若=89，则n =______.【解析】原方程左边==(n -5)(n -6)-1.(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤所以原方程可化为(n-5)(n-6)-1=89，即n2-11n-60=0，解得n=15或n=-4(舍去).15>7满足题意.3.解关于x的不等式:>6.【解析】原不等式可变形为>，即(11-x)(10-x)>6，(x-8)(x-13)>0，所以x>13或x<8，又所以2<x≤9且x∈N*，所以2<x<8且x∈N*，所以原不等式的解集为.4.求证:+m+m(m-1)=(n，m∈N*，n≥m>2).【证明】因为左边=+m+m(m-1)======右边，所以等式成立.习题1.2 B组第2、3题XX 中学课时教学设计模板组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=n m（2）；2)(1)!n m m -+710C2)(1)!n m m -+,m N ∈*且XX 中学课时教学设计模板．2)(1)!n m m -+mn n C -=XX 中学课时教学设计模板．＝+2)(1)!n m m -+mn n C -=m C．2)(1)!n m m -+,N m ∈*且mn n C -=XX 中学课时教学设计模板a+b ）相乘，每个（a+b ）在相乘时，有两种选择，(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈叫二项式系数表示，即通项0,1,)n 1+1)1n r rn n n C C x x =+++++23344111)()()C x x x++(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板9)的展开式常数项； (r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈(r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板．二项展开式的通项公式：二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表）增减性与最大值．的增减情况由二项式系数逐渐增大．的，且在中间取得最大值；(r n r r n n n n C a b C b n N -++++∈1r n r rr n T C a b -+=n 1,2,32)(1)!n k k -+n，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项，，，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系说明：由性质（3）及例1知.，求：；）； （.时，，展开式右边为，，∴ ，r r n n C x x ++++12rnn n n n C C C C ++++++(nr n r r n nn n a b C a b C b n N -++++∈23(1)n nn n n C C C +-++-13)()n n C C +-++13n n C C +=++021312n n n n n C C C C -++=++=7277(12)x a a x a x a x -=++++7a ++1357a a a a +++7||a ++1x =7(122)1-=-127a a a ++++27a a +++1=-1=127a a a +++=-0127a a a ++++1=-234567a a a a a a +-+-+-77)13a +=--(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)+3x+2)5的展开式中，求本节课学习了二项式系数的性质 7||a ++=61)(a a +-。
高中数学选修2-3第一章 排列组合二项式定理导学案
§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）【学习要求】1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题【学法指导】两个计数原理是推导排列数、组合数计算公式的依据，其基本思想贯穿本章始终，理解两个原理的关键是分清分类与分步.【知识要点】两个计数原理1．分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法.2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法.【问题探究】探究点一分类加法计数原理问题1用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？问题2问题1中最重要的特征是什么？问题3由问题1你能归纳出一般结论吗？问题4分类加法计数原理中的“各种方法”与“完成这件事”有什么关系？例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？问题5若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？小结如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同的方法．跟踪训练1某校高三共有三个班，其各班人数如下表：（1）从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？探究点二分步乘法计数原理问题1如图，从丽水经杭州到上海的途径有多少种？问题2用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？问题3由上述问题1,2，你能归纳猜想出一般结论吗？问题4分步乘法计数原理中的“各步方法”与“完成这件事”有什么关系？问题5如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？例2某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，有多少种不同的选法？小结利用分步乘法计数原理解决问题时，一定要正确设计“分步”的程序，即完成这件事共分几步，每一步的具体内容是什么，各步的方法、种数是多少，最后用分步乘法计数原理求解．跟踪训练2已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是多少？探究点三两个计数原理的综合应用问题比较分类加法计数原理和分步乘法计数原理，你能找出它们的区别与联系吗？例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？（3）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？小结解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．跟踪训练3现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？（4）要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？【当堂检测】1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．812．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为 ( ) A ．1＋1＋1＝3 B ．3＋4＋2＝9 C ．3×4×2＝24 D ．以上都不对 3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线 ( ) A ．24种 B ．16种 C ．12种 D ．10种4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋b i ，其中虚数有________个． 5．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．【课堂小结】1．本课主要学习了两个重要的计数原理，应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，加法原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；乘法原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系． 2．通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用．【拓展提高】1．用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以,,,,,2121B B A A ⋅⋅⋅…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？2．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数号码.3．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名. （1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?【课后作业】§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二）【学习要求】巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用两个原理解决实际问题．【学法指导】用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性.【双基检测】1．如图所示，在由开关组A 与B 所组成的并联电路中，接通电源，则只闭合一个开关能使电灯发光的方法种数为 ()A ．6B ．5C ．30D ．12．用4种不同的颜色涂入如图所示的矩形A ，B ，C ，D 中，每个矩形只涂入一种，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有 ( ) A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种3．在夏季，一个女孩有红、绿、黄3件上衣，红、绿、黄、白、黑5种裙子，这位女孩夏季某一天去学校上学，有________种不同的穿法．【题型解法】题型一 两个计数原理在排数中的应用 例1 数字不重复的四位偶数共有多少个？小结 排数问题实际就是分步问题，需要用乘法原理解决．此题中，由于数字0的出现，又进行了分类讨论，即在解决相关的排数问题时，要注意两个原理的综合应用． 跟踪训练1 用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个： （1）三位整数？（2）无重复数字的三位整数？（3）小于500的无重复数字的三位整数？题型二 两个计数原理的实际应用 例2 （1）给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A ～G 或U ～Z ，后两个要求用数字1～9，最多可以给多少个程序命名？（2）核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分．一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每个位置上都有一个称为碱基的化学成分所占据．总共有4种不同的碱基，分别用A 、C 、G 、U 表示(如图所示)．在一个RNA 分子中，各种碱基能以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类RNA 分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？小结 以上两个问题分别表示两个原理在计算机字节与生物学中的应用，要解决好实际问题，首先要将问题与学习过的两个原理联系，确定用分类还是分步，或是分类和分步综合应用．跟踪训练2 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态，因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．问：（1）一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码(GB 码)包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？【当堂检测】1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法有() A．48种B．24种C．14种D．12种2．已知函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数为() A．125 B．15 C．100 D．103．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中有________项．4．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：（1）无重复数字的三位数？（2）可以有重复数字的三位数？5．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容．交通管理部门出台了一种汽车牌照号码组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么按照这种办法共能给多少辆汽车上牌照？【课堂小结】本课时主要讲解了两个基本原理的应用，通过不同类型的题目，要仔细体会两个计数原理的具体用法，尤其是在自然科学、现代科技中处处都离不开两个计数原理的应用，从而深刻体会数学本身的重要性，进一步坚定学好数学的信念.【拓展提高】1．某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？2．在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有条.3．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有种．4．自然数2520有多少个约数？5．现要排一份5天的值班表，每天有1人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不准同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的选法？6．用1，2，3三个数字，可组成个无重复数字的自然数.【课后作业】§1.1习题课分类加法计数原理与分步乘法计数原理【学习要求】1．进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．能根据实际问题特征，正确选择原理解决实际问题．【知识要点】两个计数原理在解决计数问题中的用法在利用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析，是分类还是分步．【题型解法】题型一抽取(分配)问题例1高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种小结解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．跟踪训练13个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？题型二涂色问题例2一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．（1）如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法？（2）如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？小结(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色．因此一般以不相邻区域同色，不同色为分类依据，相邻区域可用分步涂色的办法涂色．(2)涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色．跟踪训练2如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．题型三 种植问题例3 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．小结 按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步．跟踪训练3 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种(以数字作答).【当堂检测】1．某电话局的电话号码为168*****，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有 ( ) A ．20个 B ．25个 C ．32个 D ．48个2．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax ＋By ＝0的系数，则形成不同的直线最多有 ( ) A ．18条 B ．20条 C ．25条 D ．10条3．如图是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻正方形涂不同的颜色．如果颜色可反复使用，那么共有________种涂色方法．4．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个： （1）无重复数字的三位数？ （2）可以有重复数字的三位数？【课堂小结】1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．2．应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤．3．一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏． 4．若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些.【拓展提高】1．有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是2．如图6个扇形区域F E D C B A 、、、、、，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可供选择，有多少种染色方法？3．将一个四棱锥S ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？§1.2.1排列（一）【学习要求】1．理解并掌握排列的概念．2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．【学法指导】排列是分步乘法计数原理的一个重要应用，学习中要理解排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想.【知识要点】1．排列：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)．2．排列数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 表示．3．排列数公式：A mn ＝ (n ，m ∈N *，m ≤n )＝ .【问题探究】探究点一 排列(数)的概念问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的安排方法？问题2 从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 问题3 怎样判断一个具体问题是否为排列问题？ 例1 判断下列问题是否是排列问题．（1）从1、2、3、4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ （2）从1、2、3、4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ （3）会场有50个座位，要求选出3个座位安排3位客人就座，有多少种不同的方法？小结 判断一个问题是否为排列问题的依据是否是有顺序，有顺序且是从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个不同的元素的问题就是排列，否则就不是排列． 跟踪训练1 判断下列问题是否是排列问题：（1）某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？ （2）从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？（3）从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？探究点二 排列的列举问题问题 对于简单的排列问题，怎样写出从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列？ 例2 写出下列问题的所有排列：（1）从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ （2）写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列．小结 在写出所要求的排列时，可采用“树形”图或“框”图一一列出，一定保证不遗漏．跟踪训练2 写出下列问题的所有排列：（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？（2）A 、B 、C 、D 四名同学排成一排照相，要求自左向右，A 不排第一，B 不排第四，共有多少种不同的排列方法？探究点三 排列数公式的推导及应用问题1 由例2中两个问题知：A 24＝4×3＝12，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？ 问题2 由以上规律，你能写出A m n 吗？有什么特征？若m ＝n 呢？例3 （1）计算：2A 58＋7A 48A 88－A 59. （2）求证：A m n ＋1＝m ·A m －1n ＋A m n .小结 利用排列数公式进行运算时，要注意排列数之间的关系，两种形式中，一种形式用于化简，证明等，而另一种形式常用于求解．跟踪训练3 （1）某年全国足球甲级(A 组)联赛共有10个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？（2）解不等式：2996->x X A A【当堂检测】1．下列问题属于排列问题的是 ( ) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算． A ．①④ B ．①② C ．④ D ．①③④2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )A ．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B ．甲乙丙，乙丙甲C ．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D ．甲乙，甲丙，乙丙 3．设m ∈N *，且m <15，则(15－m )(16－m )…(20－m )等于( )A ．A 615－mB ．A 15－m 20－mC ．A 620－m D ．A 520－m4．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．【课堂小结】1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.【拓展提高】1．（1）215A;（2）66A（3）28382AA -;（4）6688A A .2．某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行 场比赛；3．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？【课后作业】§1.2.1排列（二）【学习要求】1．进一步加深对排列概念的理解．2．掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．【双基检测】1．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( )A ．A 4nB ．A n －4nC ．n ！－4!D ．A n －3n2．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( ) A ．36 B ．120 C ．720 D ．2403．从集合M ＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ， ①可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？②可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1？其中属于排列问题的是________，其结果为________．4．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必须担任语文科代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．【题型解法】题型一 无限制条件的排列问题例1 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？小结 本题两小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．跟踪训练1 （1）某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的 信号？（2）将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？题型二 元素“在”与“不在”问题例2 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．跟踪训练2五个学生和一个老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？题型三元素“相邻”与“不相邻”问题例37人站成一排．（1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？（3）甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？（4）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？小结处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．跟踪训练3对于本例中的7人，（1）甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？（2）甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？（3）甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？【当堂检测】1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个 D．60个2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144 C．576 D．6843．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为()A．42 B．30 C．20 D．124．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．【课堂小结】1．对有特殊限制的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置．2．对从正面分类繁杂的排列问题，可考虑使用间接法．3．对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题，可使用“捆绑法”、“插空法”.【拓展提高】1.（1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？（2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？（3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？2．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？3．用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.（1）没有重复数字的四位偶数？（2）比1325大的没有重复数字四位数？4．有4位男学生3位女学生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？（1）4个男学生必须连在一起；（2）其中甲、乙两人之间必须间隔2人.（3）若三女生互不相邻（4）若甲、乙两位同学必须排两端（5）若甲、乙两位同学不得排两端（6）若甲、乙两女生相邻且不与第三女生相邻5．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？6．一条铁路原有n个车站，为适应客运需要新增)1(mm个车站，客运车票增加62种，问原有多少个车站，现有多少个？【课后作业】§1.2.2组合(一)【学习要求】1．理解组合及组合数的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．【学法指导】组合研究的问题与排列是平行的，两者的区别是有无“顺序”．学习中可和排列相比较，领悟概念的本质，组合数公式推导中要研究组合与排列的关系.【知识要点】1．组合：一般地，从n个不同元素中，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)．2．组合数:从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．3．组合数公式：C m n＝A m nA m m＝＝(n，m∈N*，m≤n).【问题探究】探究点一组合的概念问题1从3名同学甲、乙、丙中选2名去参加一项活动，有多少种不同选法？问题2问题1和“从3名同学中选出2名去参加一项活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动”有何区别？问题3排列与组合有什么联系和区别？例1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．（1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信？（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？（3）10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？。
数学选修2-3第一章计数原理习题集（附答案解析）
第 1 页 共15 页 选修2-3 第一章章节习题集1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、课时过关·能力提升1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( ) A.12B.28C.32D.640解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32. 答案:C2.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A .60B .48C .36D .24解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B . 答案:B3.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为( )A.8B.15C.35D.53 解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有35种不同的发送方法. 答案:C4.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A ,B 的值,则可表示出的不同直线的条数为( ) A.19B.20C.21D.22解析:当A 或B 中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB ≠0时,A 有5种选法,B 有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 答案:D5.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( ) A.60种B.40种C.20种D.10种解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10 种情况,假设A,B 两人拿到自己的外衣,则C,D,E 三人不能拿到自己的外衣,则只有C 取D,D 取E,E 取C,或C 取E,D 取C,E 取D 两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×10×2=202=20种情况. 答案:C6.将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案( ) A .81种B .12种C .7种D .256种解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81种. 答案:A7.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、人分别从事翻译、导游、导游、导游、导购、导购、导购、保洁四项不同的工作保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A .280种 B .240种 C .180种D .96种解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B 答案:B8.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( ) A .360B .240C .120D .60解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数. 答案:C9.圆周上有2n 个等分点(n 大于2),任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 .解析:先在圆周上找一点,因为有2n 个等分点,所以应有n 条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n 个,所以一共有2n (n-1)个符合题意的直角三角形. 答案:2n (n-1)10.如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 .解析:由题图可知,从A 到B 有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 答案:1911.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传给甲,则共有种不同的传递方法.解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有3种不同的传法.共有6种不同的传递方法. 答案:612.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A 爬到相对顶点C 1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法:分别经过AB,AD,AA1从局部上看每一类又需分两步完成,故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.13.用n种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.当n=6时,该板报有多少种书写方案?解:第一步选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;第二步选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角用的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩色粉笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法.共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.14.用0,1,0,1,……,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.解:由于0不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有9种选择,十位和个位各有10种选法由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.(4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择,个位数字也有9种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=91.1.2 排列与组合1.2.1 排列一、课时过关·能力提升1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是( )A.①②③④B.②④C.②③D.①④解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如,∴②是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线=1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线.故③不是排列问题,④是排列问题.答案:B2.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有( )A.66种B.36种C.种D.12种解析:本题相当于对6个元素进行全排列,故有种排法.答案:C3.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)2)……(m+20)可表示为 ( )A. B. C. D.解析:由排列数公式,=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m.答案:D4.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有( )A.12种B.16种C.24种D.32种解析:将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有=24种坐法.答案:C5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120解析:个位数字有种排法,十位、百位、千位有种排法,从而共=48个不同的四位偶数答案:C6.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是( )A. B. C. D.解析:第一步先排5个独唱节目共种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选3个插空共有种,故一共有种.答案:C7.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有( )A.48种B.192种C.240种D.288种解析:(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有种排法,而女生可互换位置,所以共有种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为=192.答案:B8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( )A.120个B.80个C.40个D.20个解析:由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以一共有=40个.答案:C9.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有 .解析:分三步完成:第1步,将两位爸爸排在两端,有种排法;第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有种排法;第3步,两个小孩之间还有种排法.因此,这6人的入园排法共有=24种.答案:24种10.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.那么甲不在(1)班,乙不在(2)班的分配方法有 .解析:先分甲,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有种分法,再分乙有种分法,分配丙、丁有种分法.因此,总共有=14种分法.答案:14种11.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?(1)偶数不相邻;(2)偶数一定在奇数位上;(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.解:(1)用插空法,共有=1 440个.(2)先把偶数排在奇数位上有种排法,再排奇数有种排法共有=576个.(3)1和2排列有种方法,在1和2之间放一个奇数有种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有种排法,故共有=720个.12.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?解:∵原有n个车站,∴原有客运车票种.又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票种.由题设知:=62,∴(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,∴2mn+m2-m=62,∴n=(m-1)>0,∴(m-1),∴62>m(m-1),即m2-m-62<0.又∵m>1,∴1<m<,∴1<m≤8.当m=2时,n=15.当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.∴n=15,m=2.∴原有车站15个,现有车站17个.1.2.2 组合一、课时过关·能力提升1.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为=45.答案:A2.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 ( )A.210B.126C.70D.35解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种,故不同的改变方法有2×35=70种.答案:C3.有15盏灯,要求关掉6盏,且相邻的灯不能全关掉,两端的灯不能关掉,则不同的关灯方法有( )A.28种B.84种C.180种D.360种解析:将9盏灯排成一排,关掉的6盏灯插入9盏亮灯的中间8个空隙中的6个空隙中,有=28种方法.答案:A4.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.答案:A5.中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为( )A. B.C. D.解析:首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为.答案:D6.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为 ( )A.9B.10C.12D.14解析:y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成2条曲线,有组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成3条曲线,有组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成2条曲线,有组.故共有=14组相互平行的切线.答案:D7.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是 ( )A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类,一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24种放法,另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 .(用数字作答)解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.答案:140种9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 .(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有90+234=324个.答案:324个10.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种的菜.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备 种不同的素菜(结果用数值表示)解析:在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是=10.若选择方式至少为200种,设素菜为x种, 则有≥200,即≥20,化简得x(x-1)≥40,解得x≥7.所以,至少应准备7种素菜.答案:711.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,不同的取法种数为 .解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.答案:5612.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息 由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.13.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=1911.3 二项式定理1.3.1 二项式定理一、课时过关·能力提升1.的展开式中倒数第3项的系数是( )A.·2B.·26C.·25D.·22解析:的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=·(2x)2··22·x-8.该项的系数为·22.答案:D2.的展开式中的常数项为-220,则a的值为 ( )A.1B.-1C.2D.-2解析:T k+1=·a k.∵T k+1为常数项,∴-k=0,∴k=3.∴·a3=-220,∴a=-1.答案:B3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( )A.3B.6C.9D.21解析:由已知x3=[2+(x-2)]3=·23+·22·(x-2)+·2·2·((x-2)2+(x-2)3.所以a2=·2=6.答案:B4.的展开式中含x3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5解析:T k+1=·x 5-k=(-1)k·x5-2k,令5-2k=3,则k=1故x3项的二项式系数为=5答案:D5.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于 ( )A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理,得(1+)5=1+·()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4=41+29,即a=41,b=29,故a+b=70.答案:C6.(1-)6(1+)4的展开式中x的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4解析:方法一:(1-)6的展开式的通项为(-)m,(1+)4的展开式的通项为)n,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数等于·(-1)0··(-1)1··(-1)2·=-3.方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x).于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数为·1+·(-1)1·1=-3.答案:B7.若x>0,设的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为 .解析:由T3=x,T4=,则M+N=≥2.当且仅当,即x=时,等号成立答案:8.二项式的展开式中,常数项的值为 .答案:0,1,2,……,n)的部分图象如图,则a= .9.已知(ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a2x2+a1x+a0(x∈N*),点A i(i,a i)(i=0,1,2,解析:由展开式得T k+1=(ax)n-k=a n-k·x n-k,由题图可知a1=3,a2=4,即a=3,且a2=4,化简得na=3,且=4,解得a=.答案:10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明:32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(·8n+1+·8n+…+·8+1)-24n+37=3×64(·8n-1 +·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(·8n-1+·8n-2+…+)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除11.(1)求(1+x)2(1-x)5的展开式中x3的系数;(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.解:(1)(1+x)2的通项为T r+1=·x r,(1-x)5的通项为T k+1=(-1)k·x k,其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x3的系数为-=5.(2)展开式的通项为T k+1=(x)n-k·=·2k·(k=0,1,2,…,n),由题意,得20+2+22=129所以1+2n+2n(n-1)=129,则n2=64,即n=8.故T k+1=·2k·(k=0,1,2,…,8),若展开式存在常数项,则=0,解之,得k=∉Z,所以展开式中没有常数项若展开式中存在一次项,则=1,即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T7=26x=1 792x.1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、课时过关·能力提升1.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中含的项是( )A. B.C. D.解析:由的展开式中各项系数之和为128可得2n =128,n=7.其通项T k+1=(3x )7-k =(-1)k ·37-k,令7-=-3,解得k=6,此时T 7=.答案:C 2.的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是( )A.第8项B.第9项C.第8项、第9项D.第11项、第12项 解析:展开式中的第8项为)n-7为常数,即=0,解得n=21.故展开式中系数最大的项为第11项、第12项.答案:D 3.若(x+3y )n展开式的系数和等于(7a+b )10展开式中的二项式系数之和,则n 的值为( ) A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n =210,解得n=5.答案:A4.已知+2+22+…+2n =729,则的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n =3n=729,解得n=6.则=32.答案:B5.(1+x )n(3-x )的展开式中各项系数的和为1 024,则n 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析:由题意知(1+1)n (3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9. 答案:B6.若(1-2x )2 015=a 0+a 1x+…+a 2 015x2 015(x ∈R ),则+…+的值为( ) A.2 B.0C.-1D.-2 解析:令x=0,则a 0=1,令x=,则a 0++…+=0,故+…+=-1.答案:C7.(x+1)9按x 的升幂排列二项式系数最大的项是( ) A .第4项和第5项 B .第5项 C .第5项和第6项 D .第6项解析:展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大. 答案:C8.在(a-b )10的二项展开式中,系数最小的项是 .解析:在(a-b )10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T 6=a 5(-b )5=-252a 5b 5.答案:-252a 5b 59.设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= . 解析:∵(x-1)21的展开式的通项为T k+1=x 21-k (-1)k ,∴a 10+a 11=(-1)11+(-1)10=-=-=0.答案:0 10.若(2x+)4=a 0+a 1x+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为 .解析:令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+)4,令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(-2+)4,(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)·)·((a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)=(2+)4(-2+)4=1. 答案:111.若(2x-3y )10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y 2+…+a 10y 10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解:(1)各项系数之和即为a 0+a 1+a 2+…+a 10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a 0+a 2+a 4+…+a 10,偶数项系数的和为a 1+a 3+a 5+…+a 9. 由(1)知a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,①令x=1,y=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,②①+②得,2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510,则奇数项系数的和为;①-②得,2(a 1+a 3+…+a 9))=11-5510,则偶数项系数的和为12.已知(+3x 2)n 展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.解:令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n =4n展开式二项式系数和为+…+=2n ,由题意有4n -2n=992.即(2n )2-2n -992=0,(2n -32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T 3=)3·(3x 2)2=90x 6, T 4=)2(3x 2)3=270.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由T k+1=)5-k ·(3x 2)k =3k,得⇒⇒≤k≤.因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=34=405.13.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般的有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.解:(1)=1 140(2)+…+,证明如下:左边=+…++…+=…==右边.。
高中数学第一章计数原理整合学案北师大版选修23
高中数学第一章计数原理整合学案北师大版选修2-3知识建构综合应用专题一利用两个原理解排列组合问题的常用方法“两个原理”是两种重要的计数方法，它是列式计数时选择加法或者乘法的理论根据，在排列、组合应用题中，基本上全是用加法和乘法连结了排列数与组合数的计算.所以正确地使用加法和乘法原理是解决排列、组合应用题的基础.一、树形图法【例1】将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B 不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试写出他们四个人所有不同的排法.解：由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，据此可分为三类：由此可写出所有的排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.所以他们四个人共有9种不同的排法.二、依次排序法利用分步乘法计数原理求解与排列顺序有关的问题时，可以用依次排序法.依次排序法就是把数字或字母分为前后，首先排前面的数字或字母再依次排后面的数字或字母，将最后的数字或字母排完，则排列结束，这种方法多用于数字问题.【例2】用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些数由小到大排成一个数列{a n}.(1)写出这个数列的前11项；（2）求这个数列共有多少项；（3）若a n=341,求n.解：(1）用1、2、3、4四个数字排成三位数，前11项由小到大的顺序为111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.（2）这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数的个数，每一个位置都有4种排法，根据分步乘法计数原理共有4×4×4=64项.（3）比a n=341小的数有两类，分别是：①1××2××②31×32×33×根据两个原理得N=2×4×4+3×4=44项，所以n=44+1=45.三、转化法一般情况下研究的排列问题是不重复的排列问题，但是在实际生活中常会遇到这样的问题：车辆牌照的号码、电话号码、电报号码等等，都是一些重复排列.事实上，解决这些问题借助于“两个原理”非常容易办到.【例3】（1）4个同学，分配到3个课外小组中去活动，共有几种分配方法？（2）4个同学，争夺3项竞赛的冠军，冠军获得者共有几种可能？解：（1）因为每个同学都可以分配到任何一个小组中去，有3种分法，所以课外小组的分配共有N=3×3×3×3=34=81种方法.（2）因为每一项冠军都可被任何一个同学获得，有4种可能，所以冠军获得者共有的可能总数为N=4×4×4=43=64种.从此例可以看出，在解重复排列的问题时，首先应把题意分析清楚，判断出应以哪一个为主来考虑分配，也就是说应该正确判断出哪一个应作为底数n，哪一个应作为指数m，这是解题的关键所在.专题二排列组合解题方法一、直接法（元素、位置优先考虑法）1.特殊元素分析法：即以元素为主考虑，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.2.特殊位置分析法：即以位置为主考虑，先安排有特殊要求的位置，再考虑其他位置. 【例1】有两排坐位，前排11个，后排12个，现安排2人就座，规定前排中间的3个坐位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同的排法的种数是（）.346 C解析：法一：因为前排中间3个坐位不能坐，所以实际可坐的坐位前排8个，后排12个.（1）两人一个前排，一个后排，方法数为C18C112A22；（2）两人均在后排，共A212种，排除两相邻的情况A22A111，即A212-A22A111；(3)两人均在前排，又分两类：①两人一左一右时为C14C14A22；②两人同左或同右时为2（A24-A2213A）.综上，不同的排法种数为C18C112A22+（A212-A22A111）+C14C14A22+2（A24-A22A13）=346种.法二：一共可坐的位置有20个，2个人就座方法数为A220，排除两人左右相邻的情况，可把能坐的20个坐位排成连续一行（B与C相接），任两个坐位看成一个整体，即相邻的坐法有A1 19A22，但这其中包括B、C相邻，而这种相邻在实际中是不相邻的，还应再加上2A22.∴不同的排法种数是A2 20-A119·A22+2A22=346种.答案：B绿色通道:本题综合运用了特殊元素分析法与特殊位置分析法、间接法以及分类讨论的思想方法，若考虑不周，很难做对，是难度较大的创新题..二、插空法不相邻问题常用插空法：我们可以根据题目的具体特点，首先排定某些元素，再用余下的元素进行插空，这样处理有关的排列组合问题，往往能收到111良好的解题效果.【例2】马路上有9盏路灯，为了节约用电，可以关掉其中的三盏路灯，要求关掉的路灯不能相邻，且不在马路的两头，那么不同的关灯方案共有多少种？解：本题可以看成被关掉的路灯夹在6盏亮着的灯的空档里.6盏亮着的灯排在一起，中间空档有5个，从5个空档中选出某3个，插进去三盏关掉的路灯，因此，不同的关灯方案共有C35=10种.三、捆绑法对于几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个元素，与其他元素排列，然后再考虑它们“内部”的排列，这种解决排列问题的方法称为“捆绑法”.【例3】用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数，共有多少个？解：先将1与2，3与4，5与6捆绑起来分别看作一个元素再与7，8排列， 所以共有A 33A 24A 22A 22A 22=576种.四、间接法间接法是求解排列组合问题的常用方法.带有限制条件的排列组合问题，常用“元素分析法”和“位置分析法”，当直接考虑对象较为复杂时，可用逆向思维，使用间接法（排除法），即先不考虑约束条件，求出所有排列、组合总数，然后减去不符合条件的排列、组合种数.【例4】从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？ （1）A 、B 、C 三人至少一人入选； （2）A 、B 、C 三人至多二人入选. （1）解法一：（直接法） 可分三类，①A、B 、C 三人只选一人，有13C ·C 49=378种，②A、B 、C 三人中选择二人，则还须从其余9人中选3人，有C 23·C 39=252种，③A、B 、C 三人都入选则有C 33·C 29=36种， ∴共有378+252+36=666种. 解法二：（间接法）先从12人中任选5人，再减去A 、B 、C 三个都不选的情况，共有C 512-C 59=666种. （2）解法一（直接法）可分三类，由（1）可得共有C 59+13C ·C 49+C 23·C 39=756种. 解法二（间接法）先从12人中任选5人，再减去A 、B 、C 三人均入选的情况，即 C 512-C 29=756种.绿色通道:从以上解题过程可以看出：解决排列组合题目时，要从基本概念入手，正面分析问题、解决问题，直接法为常用方法；但从正面入手，情况较为复杂，不易解决时，可以从问题的反面入手，将其转化为一个简单的等价问题来解决，往往收到意想不到的效果.. 五、隔板法这类问题的特征是：（1）被分的元素没有区别；（2）被分的元素的个数不小于分得的组数；（3）每个小组至少分得一个元素.具备这些条件时就可以用公式：将n 个相同元素分成m 份（n≥m)时，有C 11--m n 种分配方法.【例5】某地区有9所学校，现有先进教师名额11个，要求每所学校至少有一个名额，共有多少种不同的分配方法？解：因为名额没有区别，因此，可以在11个名额所产生的10个空隙中插入8个板，即将这11个名额分成9份，有C 810种分配方法.类似情况还有：将20个相同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子，每个盒子里的小球数不小于盒子的编号，共有多少种放法？可首先分别在盒子中依次放入0，1，2，3个小球，问题即转化为14个相同元素分成4份的问题，即有C 313种放法. 专题三二项式系数的求法 一、通项公式法通项公式T r+1=C rn a n-r ·b r (r=0,1,2,…,n)仅表示（a+b)n的展开式中的第r+1项. 特别地，对于(a-b)n，其通项公式是 T r+1=(-1)rC rn ·a n-r ·b r(r=0,1,2,…,n). 【例1】求(x 2+24x-4)5的展开式中含x 4的项的系数. 解：∵(x 2+24x-4)5的展开式的通项为 C r5(x 2+24x )5-r (-4)r, 而(x 2+24x)5-r 的二项展开式的通项为C kr -5x 2(5-r-k)(24x)k ,∴T r+1=C rr k C -55x 2(5-r-k)(24x)k ·(-4)r=(-4)rC r 5C kr -54k x10-2r-4k.∵0≤r≤5,0≤k≤5-r,(r,k∈N ), 令10-2r-4k=4,可得k=0,1时，r=3,1.∴含x 4的项的系数为（-4)3C 35C 0240+(-4)1C 15C 1441=-960.二、数列求和法【例2】（x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x 2的系数为___________. 解析：由等比数列求和公式得 原式=xx x 6)1()1(-+-.所以原式中x 3的系数是（x-1)6的展开式中x 4的系数，即26C ·(-1)2=15.答案：15三、利用乘法分配律【例3】（x+2)10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为_____________.解析：要得到含x 10的项，必须是(x+2)10的展开式中的项C 210x 822与第二个因式中的x 2作积或者是（x+2)10的展开式中的项C 010x 1020与-1作积,故x 10的系数为4C 210-1=179.答案：179四、特殊值法（赋值法）【例4】若(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为（）.-1C.解析：令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4;令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4=(2-3)4,两式相乘，得(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+3)4·(2-3)4=1.答案：A五、转化法【例5】在(x2+3x+2)5的展开式中，x的系数为（）.240 C解析：由于求的是x的系数，故与x2项无关，从而原题可以转化为求(3x+2)5的展开式中x 的系数.（3x)·24=240x，故选B.易求得，T5=C45答案：B科海观潮排列组合的由来排列组合问题，最早见于我国的《易经》一书.所谓“四象”就是每次取两个爻（ｙáｏ)的排列，“八卦”是每次取三个爻的排列.在汉代数学家徐岳的《数术记遗》（公元2世纪）中，也曾记载与占卜有关的“八卦算”，即把卦按不同的方法在八个方位中排列起来.它与“八个人围一张圆桌而坐，问有多少种不同坐法”这一典型的排列问题类似.11世纪时，邵雍还进一步研究了六十四卦的排列问题.排列的历史可以上溯到殷周之际的占卜术，较完整的文字记载则见于《易经》.“易”含变化的意思，书中称：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”“两仪”可=4种不同的排列，称为“四象”，用两种基本符号阳爻和阴爻表示，每次取两个，就有22即太阳、少阴、少阳、太阴；每次取三个，共有23=8种不同的排列，称为“八卦”，即乾（qián）、兑（duì)、离（lí)、震（znèn)、巽（xùn)、坎（kǎn)、艮（gèn)、坤（kūn)；若每次取六个，则可得26=64种不同的排列，叫做“六十四卦”.这是一种特殊的排列问题，即从n种事物中每次取r种，而且允许重复的排列数，答案应是n r.但是古代没有指数概念，对于很大的r来说，求出答数并非易事.唐代张遂（公元683年—公元727年）、宋代沈括（公元1031年—公元1095年）都曾计算过棋局总数，即围棋盘上所有可能的不同布局的总数，这相当于从事物（黑子、白子、空位）中每次取出361个（围棋盘的格点数）的排列数，与《易经》中的卦象数目是同一类数学问题.沈括在《梦溪笔谈》中详细地记述了计算棋局总数的理论根据和过程.古代的棋盘共有17路289个点，后来发展到19路361个点.唐朝僧人一行（俗名张遂）曾计算过一切可能摆出的棋局总数.后来，11世纪北宋时期沈括在《梦溪笔谈》中，进一步讨论了围棋布局总数问题.他利用一些排列、组合的办法对一行的计算作了分析.沈括指出，当361个棋子全用上时，棋局总数可达到10 00052的数量级.。
高中数学选修2-3 第一章 计数原理 1-2-1-1 排列与排列数公式(附答案解析)
数学选修2-3 第一章计数原理1.2.1 排列与排列数公式一、选择题(每小题5分，共20分)1．5A35＋4A24等于()A．107 B．323 C．320 D．3482．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2 160 B．720 C．240 D．1203．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120 C．720 D．2404．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为()A．A20m B．A20m＋20C．A20m＋20D．A21m＋20二、填空题(每小题5分，共10分)5．若2A3n＝3A2n＋1－8A1n，则n的值为________．6．S＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S的个位数字为________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)由1,2,3,4四个数字共能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．＜6A n8的n的值．8．求满足n A3n＞3A2n且A n＋289．(10分)一条铁路上原有n个车站，为适应客运需要，现新增加了m(m＞1)个车站，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？参考答案一、1.【解析】原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.【答案】D2.【解析】A 310＝10×9×8＝720.【答案】B3.【解析】此问题可以看成求6名同学站成一排的方法数即A 66＝720，故选C.【答案】C4.【解析】可知最大数是m ＋20，展开式中是21个连续自然数的积，因而可表示为A 21m ＋20.【答案】D二、5.【解析】原等式化为：2·n (n －1)(n －2)＝3(n ＋1)n －8n ，∴2n 2－9n ＋9＝0，解得n ＝32(舍)或n ＝3. ∴原方程的解为n ＝3.【答案】36.【解析】∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.【答案】3三、7.【解析】(1)由题意作树形图，如图．故所有的两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)直接画出树形图．由上面的树形图知，所有的四位数为：1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241, 3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321.共24个四位数．8.【解析】两不等式可化为：()()()()()212318!8!66!8!n n n n n n n ⎧-->⋅⋅-⎪⎨<⋅⎪--⎩①②∵n －1＞0，∴①式可化为n (n －2)＞3，即n 2－2n －3＞0，∴n ＞3或n ＜－1(舍去)．由②得：8！(6－n )！＜6·8！(8－n )(7－n )·(6－n )！. ∴(8－n )(7－n )＜6，即：n 2－15n ＋50＜0， ∴5＜n ＜10.由排列数的意义可知： n ≥3且n ＋2≤8，∴3≤n ≤6.综上，5＜n ≤6.又n ∈N *，∴n ＝6.9.【解析】由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，∴A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62， ∴m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，∵m ＜2n ＋m －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝22n ＋m －1＝31，解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．。
高中数学选修2-3 第1章 计数原理第一章1.2.2(二)
方式．
研一研·题型解法、解题更高效
小结
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(1)解简单的组合应用题时， 首先要判断它是不是组合问
题， 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素 之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． (2)要注意两个基本原理的运用， 即分类与分步的灵活运用， 在 分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．
本 课 时 栏 目 开 关
________ 90 条．
解析
2 (1)C10 ＝45；
(2)A2 10＝90.
试一试·双基题目、基础更牢固
3．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列 和组合的区别和联系： (1)从 A、B、C、D 四个景点选出 2 个进行游览；
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1．若集合 M＝{x|Cx 7≤21}，则组成集合 M 的元素的个数为( C ) A．1 B． 3 C．6 D．7
试一试·双基题目、基础更牢固
2 ． (1) 平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有
45 条； ________
(2)平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有
研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练 1
7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社
区公益活动．若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有
本 课 时 栏 目 开 关
________ 140 种．(用数字作答)
解析
【2020】最新高中数学第一章计数原理1-2排列与组合1-2-1第2课时排列的综合应用学案新人教A版选修2-3(1)
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．
3．解简单的排列应用题的基本思想
[基础自测]
1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( )
A．6B．8
C．9D．12
C[由A ＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]
2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.
24[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A ＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A ＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A ＝6种排法．
则共有2×2×6＝24种排法．]
5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？
A．36B．120
C．720D．Leabharlann 40C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A ＝720.]
2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种B．360种
C．480种D．720种
C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A ＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]
人教版高中数学选修2-3第一章计数原理1.2排列与组合教案8
9．（2007年重庆卷）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有____25_____种.（以数字作答）
A．40种B．60种C．100种D．120种
7.（2007年陕西卷）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
8．（2007年四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
（A）288个（240个（C）144个（D）126个
课题：1．2．1排列（5）第课时总序第个教案
课型：新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日
教学目标：
知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题
情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.
（Ａ）１５ （Ｂ）１６ （Ｃ）１７ （Ｄ）１８
答案：B；
5．（2007年全国卷I）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
6．（2007年全国卷Ⅱ）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（B）
高二理数 选修2-3 第1章 计数原理 1.2 排列与组合 Word版含解析
第章．排列与组合．排列与排列数()排列的定义：一般地，从个不同元素中取出(≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．()排列数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记为．()排列数公式：＝(－)(－)…(－＋)＝．＝·(－)·(－)·…···＝！，规定！＝．．组合与组合数()组合的定义：一般地，从个不同的元素中取(≤)个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．()组合数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．()组合数公式＝＝＝．()组合数的性质性质：＝．性质：＝＋(≤，∈*，∈*)．温馨提示：（）排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．（）解排列组合题的“字方针，个技巧”：()“二十四字”方针是解排列组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．()“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径．即：①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；⑨至少(多)问题间接法；⑩选排问题先取后排法；⑪局部与整体问题排除法；⑫复杂问题转化法．、如何判断一个问题是排列问题与还是组合问题？、组合问题常见的基本类型有几种及其求解策略是什么？．【北京朝阳区二模】现将张连号的电影票分给甲、乙等个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为．．．．．【山西太原五中月考】名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这人的笔试名次的所有可能的种数是（）．．．．．【黑龙江哈六中月考】某公司共有五个不同部门，现有名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个不同部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（）．．．．．【山东烟台二中月考】将甲，乙等位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（）．种．种．种．种．【山东烟台二中月考】某班在男生女生中选择人参加演讲比赛，选中的人中有男生有女生，且男生甲和女生乙最少选中一人，则不同的选择方法有（）种．．．．．【山东烟台二中月考】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）．种．种．种．种．【山西太原五中月考】数学老师从一张测试卷的道选择题、道填空题、道解答题中任取道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的不同取法有种．．【河南南阳一中月考】甲、乙、丙三人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是．（用数字作答）．【山西孝义热身训练】共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务，现从辆黄色共享单车和辆蓝色共享单车中任取辆进行检查，则至少有两个蓝色共享单车的取法种数是．．【山东烟台二中月考】个男生，个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）（Ⅰ）个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？。
《数学人教A版高中选修2-3第一章 计数原理--1.2 排列与组合--1.2.2 组合 》(人教)
得其中1件是次品的抽法有 种，因此根据分类加法计数原
理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法
人民教育出版社A版 高三|选修2-3
(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ 解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】
解：（1）
,或
；
（2）
；
（3）
．
点拨：区分排列与组合
例2．解方程：（1） 【知识点：组合数的性质】
人民教育出版社A版 高三|选修2-3
例3．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中 任意抽出 3 件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】 解：解法 1 从100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包
人民教育出版社A版 高三|选修2-3
例3．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这
100 件产品中任意抽出 3 件.
(1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】
解：（1）由原方程得
高中数学第一章计数原理1.2.2组合教案新人教A版选修2-3(2021学年)
广东省肇庆市高中数学第一章计数原理1．２.２组合教案新人教Ａ版选修2-３编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(广东省肇庆市高中数学第一章计数原理 1.２．2 组合教案新人教A版选修2－3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为广东省肇庆市高中数学第一章计数原理 1.2.２组合教案新人教A版选修2-３的全部内容。
1。
2.2组合教学目标:1。
理解组合的意义，掌握组合数的计算公式； ２。
能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点:理解组合的意义，掌握组合数的计算公式第一课时一、复习引入：1分类加法计数原理:做一件事情，完成它可以有ｎ类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2。
分步乘法计数原理:做一件事情，完成它需要分成ｎ个步骤,做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法３.排列的概念：从n 个不同元素中，任取m (m n ≤)个元素(这里的被取元素各不相同）按照一．定的顺序．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号m n A 表示 5．排列数公式：(1)(2)(1)mnA n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤)６阶乘:!n 表示正整数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘规定0!1=．7.排列数的另一个计算公式：m nA =!()!n n m -８。
选修2-3学案第1章计数原理1-2-2
1.2.2 组合课时目标1.理解组合的概念，理解排列数A m n与组合数C m n之间的联系.2.理解并掌握组合数的两个性质，能够准确地运用组合数的两个性质进行化简、计算和证明.3.掌握排列、组合的一些常见模型和解题方法．1．组合一般地，从n个________元素中，任意________________________________，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．2．组合数与组合数公式组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法组合数公式乘积形式C m n＝____________________阶乘形式C m n＝________性质C m n＝____________；C m n＋1＝________＋________备注①n，m∈N*且m≤n②规定C0n＝13.排列与组合(1)两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素；(2)排列与元素的顺序________，组合与元素的顺序________．一、选择题1．从5人中选3人参加座谈会，则不同的选法有()A．60种B．36种C．10种D．6种2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为()A．3 B．4 C．12 D．243．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，则不同的选法有()A．C310种B．A310种C．A13·A27种D．C13·C27种4．房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，若至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为() A．32 B．31 C．25 D．105．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值4日，乙不值6日，则不同的安排方法共有()A．30种B．36种C．42种D．48种6．12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A25二、填空题7．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．8．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种．9．若对?x ∈A ，有1x ∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合，则集合M ＝{－1,0，13，12，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题10．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？ (1)没有次品；(2)恰有2件是次品；(3)至少有2件是次品．11．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法？能力提升12．将5位志愿者分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，则不同的分配方案有________种．13．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，问有多少种不同的选法？解答组合应用题的总体思路1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，使用分类加法计数原理．2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用分步乘法计数原理．3．考察顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题用排列解答．4．辩证地看待“元素”与“位置”．排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定．有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好．1．2.2组合答案知识梳理1．不同取出m(m≤n)个元素合成一组2．所有不同组合的个数C m nn?n－1??n－2?…?n－m＋1?m！n！m！?n－m?！Cn－mnC m n C m－1n13．(2)有关无关作业设计1．C[所求为5选3的组合数C35＝10(种)．]2．B3．D[每个被选的人都无角色差异，是组合问题．分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法；故有C13·C27种不同选法．]4．B[因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题．开1个灯有C15种方法，开2个灯有C25种方法，……5个灯全开有C55种方法，根据分类加法计数原理，不同的开灯方法有C15＋C25＋…＋C55＝31(种)．]5．C[若甲在6日值班，在除乙外的4人中任选1人在6日值班有C14种选法，然后4日、5日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；若甲在5日值班，乙在4日值班，余下的4人有C14C13C22＝12(种)安排方法；若甲、乙都在5日值班，则共有C24C22＝6(种)安排方法．所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．]6．C[从后排8人中选2人，有C28种选法，这2人插入前排4人中且保证其他人的相对顺序不变，则先向前排4人中(5个空档)插入1人，有5种插法，余下的1人则要插入前排5人中(6个空档)，有6种插法，即2人共有A26种插法，所以共有C28A26种不同调整方法．]7．600解析可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C25·A44＝240(种)选法；②甲、丙同不去，乙去，有C35·A44＝240(种)选法；③甲、乙、丙都不去，有A45＝120(种)选法，所以共有600种不同的选派方案．8．432解析分3类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C12·C12·C12·C12·A44种；第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C22·C22·A44种；第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C22·C22·A44种．故满足题意的所有不同的排法共有C12·C12·C12·C12·A44＋C22·C22·A44＋C22·C22·A44＝432(种)．9．15解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；12，2；13，3，共4组，所以集合M 的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15.10．解 (1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有C 597＝(种)．(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有C 397C 23＝(种)．(3)至少有2件是次品的抽法，按次品件数来分有两类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有C 397C 23种． 第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有C 297C 33种． 按分类加法计数原理有C 397C 23＋C 297C 33＝(种)．11．解 设A ，B 代表2名老师傅．A ，B 都不在内的选派方法有C 45·C 44＝5(种)；A ，B 都在内且当钳工的选派方法有C 22·C 25·C 44＝10(种)； A ，B 都在内且当车工的选派方法有C 22·C 45·C 24＝30(种)；A ，B 都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有C 22·A 22·C 35·C 34＝80(种)； A ，B 有一人在内且当钳工的选派方法有C 12·C 35·C 44＝20(种)； A ，B 有一人在内且当车工的选派方法有C 12·C 45·C 34＝40(种)；所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法． 12．90解析 分成3组有C 25·C 23·C 11A 22＝15(种)分法．分赴世博会三个场馆有A 33＝6(种)方法，∴共有15×6＝90(种)．13．解 设集合A ＝{只会划左舷的3个人}，B ＝{只会划右舷的4个人}，C ＝{既会划左舷又会划右舷的5个人}．先分类，以集合A 为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A 中有3人；②A 中有2人；C 中有1人；③A 中有1人，C 中有2人；④C 中有3人．第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B ∪C 中选3人，即有C 39种选法．因是分步问题，所以有C 33·C 39种选法．第②类，划左舷的人在A 中选2人，有C 23种选法，在C 中选1人，有C 15种选法，划右舷的在B ∪C 中剩下的8个人中选3人，有C 38种选法．因是分步问题，所以有C 23·C 15·C 38种选法．类似地，第③类，有C 13·C 25·C 37种选法，第④类有C 03·C 35·C 36种选法．所以一共有C 33·C 39＋C 23·C 15·C 38＋C 13·C 25·C 37＋C 03·C 35·C 36＝84＋840＋1 050＋200＝2 174种选法．。
高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 组合教案 新人教B版选修2-3(2021年整理)
例9。
把12个3的三个盒子中（1）要求每个（2）要求每个同的装法？
练习：若把1共有多少种分配
板书设计:
教学过程设计
例6。
某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行：（1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名
（2）半决赛:甲组第一名与乙组第二名,乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场）决出胜者
（3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负
例7。
设北京故宫博物院某日接待游客10000人，如果从这些游客中任意选出10名幸运游客,一共有多少种不同的选择(保留4位有效数字)？若把10份不同的纪念品发给选出的幸运游客每人一份，又有多少种不同的选择？
例8。
把四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中：
（1）不许有空盒子的放法有多少种？
（2）允许有空盒子的放法有多少种？
（3）若把四个小球分别标上1、2、3、4的标号，不许有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，共有多少种不同的放法？
教学目标。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合课堂导学案新人教B版选修2-3(2021学年)
高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合课堂导学案新人教B版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章计数原理 1.２排列与组合１.２.2 组合课堂导学案新人教Ｂ版选修2-3)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 组合课堂导学三点剖析一、组合数的运算 【例1】已知mnm m n C C C •=-107116，求m C 8. 解析:m 的范围{x|0≤m≤5,m∈Z },由已知,!6)!6(!5)!5(!m m m m --- =!710!)!7(7⨯-⨯m m ,即60-1０(6-ｍ)＝（7—m ）（６－m). 得m ＝２1或m=2，又ｍ∈[0，5], 则ｍ=2， ∴m C 8＝28C =28。
温馨提示用m mm n mnA A C =计算具体的组合数，用)!(!!m n m n C mn -=证明有关组合数的代数式,有时还用到组合数的性质化简.二、有限制条件的组合问题【例2】某医院有内科医生1２名，外科医生8名,现要选派５名参加赈灾医疗队。
（１)某内科医生必须参加,某外科医生不能参加，有多少种选法? （２）至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加，有几种选法?解析：（1）某内科医生参加，某外科医生不参加,只需从剩下的１８名医生中选4名即可.故有418C =3 ０60（种)。
（2）解法一:依据组合问题分类讨论原则.至少有一名内科医生和至少有一名外科医生可分为四类:一内四外；二内三外；三内二外;四内一外.共有112C ·48C +212C ·38C ＋312C ·28C +412C ·18C ＝1４ 656（种)．解法二:依据组合问题不符合条件的用剔除原则,事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生"的对立面是“全部为内科医生或外科医生,”共有512C ＋58C 种选法，则 520C —(512C +58C )=１４ 656(种). 温馨提示题目中含有“含"与“不含",“最多”与“至少”等问题．解“含有”一般是先将这些元素取出,不足部分由另外元素补充，“不含”，可将这些元素剔除,再从剩下的元素中取；解“最多”与“最少”问题,可用直接法分类求解,也可用间接法求解。
数学选修2-3第一章计数原理1.2.1排列第1)学案
第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列(第1课时)一、【学习关键词】 1.了解排列与排列数的意义，能根据具体问题，写出符合要求的排列. 2.能利用树形图写出简单问题中的所有排列.3.掌握排列数公式，并能利用它计算排列数．(这是本节的重点，要掌握好．)二、【课前自主梳理】1．排列 (1)定义：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照____________排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)相同排列：若两个排列相同，则两个排列的________完全相同，并且元素的____________也相同．2．排列数 (1)定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的________________，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号________表示．(2)排列数公式：A m n ＝________________________＝!()!n n m ；特别地，A n n ＝n ×(n －1)×…×3×2×1＝n ！，(m ，n ∈N ＋，且m ≤n )，0！＝1. 三、【课堂合作研习】 例1．计算从d c b a ,,,这4个元素中，取出4个元素的排列数，并写出所有的排列.例2．求证：m n m n m n A mA A 11+-=+.例3．某年全国足球中超联赛共有10个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？例4．（1）有4名大学毕业生，到6个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多招聘一名新雇员，且4名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？（2）有6名大学毕业生，到4个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这4个公司都完成了招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？四、【巩固练习】1．18×17×16×…×9×8等于( )A．A818B．A918C．A1018D．A11182．若x＝n！3！，则x等于( )A．A3n B．A n－3n C．A n3D．A3n－33．与A310·A77不等的是( )A．A910B．81A88C．10A99D．A10104．若A5m＝2A3m，则m的值为( )A．5 B．3 C．6 D．75．计算：2A59＋3A699！－A610＝________；11(1)!()!nmmA m n---⋅-＝________.6. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种7. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有个.五、【强化训练】1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人参加某项活动； ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．A ．①④B ．①②C ．③④D ．①③④2．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种 3．A 、B 、C 三地之间有直达的火车，需要准备的车票种数是( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．14．5名同学排成一排照相，不同排法的种数是( ) A ．1 B ．5 C ．20 D ．120 5．给出下列四个关系式：①()1!!1n n n +=+ ②11m m n n A nA --=③()!!m n n A n m =- ④()()111!!m n n A m n ---=- 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是( )A ．24B ．22C ．20D ．12 7．从1～9的9个数字中任取5个数组成没有重复数字的五位数，且个位、百位、万位上必须是奇数的五位数的个数为________．8．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．。
高中数学第1章计数原理1.2排列教学案苏教版选修2-3(2021年整理)
2018年高中数学第1章计数原理1.2 排列教学案苏教版选修2-3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高中数学第1章计数原理1.2 排列教学案苏教版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 排列第1课时排列与排列数公式1．甲、乙两名同学参加一项活动，其中一名参加上午的活动,另外一名参加下午的活动．问题1:甲在上午和乙在上午是相同的安排法吗？提示：不是．问题2:有几种不同的排法？提示：两种．甲上午，乙下午;甲下午，乙上午．2．若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．问题3：让你去安排这项活动,需要几步？提示:分两步．问题4：它们是什么？提示：第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学．问题5：有几种排法?提示：上午有3种,下午有2种，因分步完成共3×2＝6种．问题6：这些排法相同吗?提示：不相同，它们是有顺序的．3．从a、b、c中任取两个元素，按照一定的顺序排成一列．问题7：共有多少种不同的排列方法？提示：3×2＝6种．问题8:试写出它们的排列．提示：ab,ac，ba,bc，ca，cb.排列的定义一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
已知数字1，2，3,4，5，6。
问题1：从1，2，3，4,5，6中选出两个数字,能构成多少个没有重复数字的两位数?提示：有6×5＝30（个)．问题2：从1，2，3，4，5，6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数字的三位数？提示：有6×5×4＝120(个)．问题3：从1，2，3，4,5，6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数字的四位数？提示：有6×5×4×3＝360(个)．问题4：若从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素排成一列,有多少种不同的排法？提示：有n(n－1）（n－2）…(n－m＋1）（个)．排列数全排列定义从n不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数同元素的一个全排列表示法A错误!A错误!公式乘积形式A m n＝n(n－1) （n－2）…（n－m＋1）A错误!＝n(n－1)（n－2)·…·3·2·1阶乘形式A错误!＝错误!A错误!＝n！性质A0，n＝1;0!＝1备注n，m∈N＊，且m≤n1．判断一个具体问题是不是排列问题主要看从n个元素中取出m个元素后,在安排m个元素时，是有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列．也就是说排列与元素的顺序有关，与元素顺序无关的不是排列．2．排列与排列数是两个不同的概念,排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数．［例1] 下列哪些问题是排列问题:(1)从10名学生中抽2名学生开会;（2）从2,3，5，7，11中任取两个数相乘；（3)以圆上的10个点为端点作弦；(4)10个车站，站与站间的车票．［思路点拨］利用排列的定义去判断，关键是看取出的元素是否与顺序有关．[精解详析] (1）2名学生开会没有顺序,不是排列问题．（2）两个数相乘,与这两个数的顺序无关，不是排列问题．(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．(4）车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．[一点通] 判断一个具体问题是否有顺序的方法：变换元素的位置，看结果有无变化，若有变化,则与元素的顺序有关,是排列问题；否则，为非排列问题．1．更改例题的各条件如下,请重新判断是不是排列问题：(1)抽2名学生当正、副班长；（2)取两个数相除；(3)以圆上10个点为端点作有向线段；（4）10个车站间站与站的票价．解:（1）2名学生当正、副班长是有顺序的，故是排列问题．（2）两个数有除数和被除数之分，有顺序，是排列问题．(3)有向线段有起点和终点之分,有顺序，是排列问题．(4）两车站间来回的票价一样，故与顺序无关,不是排列问题．2．判断下列问题是否为排列问题．（1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；(2）选2个小组分别去植树和种菜;（3)选2个小组去种菜；(4）选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;（6)某班40名学生在假期相互通信．解:(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．（2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3）、（4）不存在顺序问题，不属于排列问题．（5)中每个人的职务不同，例如，甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题,属于排列问题．（6）A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题,属于排列问题．所以在上述各题中（2）、（5)、（6）属于排列问题。
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高中数学选修2-3第一章计数原理1.2 排列组合应用题基础知识回顾1.分类计数原理（加法原理）公式： .2.分步计数原理（乘法原理）公式： .3.排列数公式： .4.组合数公式： .5.组合数的两个性质：(1) ； (2) .6.排列数与组合数的关系： .例题分析：A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排1．,,,,法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不3,,,,同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种4．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种5．有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种6．12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A种 D 、444128433C C C A 种7．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有 种。
8. 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种9．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有 种不同分配方案10．某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有 种不同派遣方案。
11.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、60012.从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有种。
13.从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有种。
14.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有种不同的参赛方案。
15. 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有种16.6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种17.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有种。
18.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140种B、80种C、70种D、35种19.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有种。
20.9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有种不同的分组方法。
21.以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70种B、64种C、58种D、52种22.四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A、150种B、147种C、144种D、141种23.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有种不同站法.24.把6名实习生分配到7个车间实习共有种不同方法。
25.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有种.26.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，有种不同的方法．27.30030能被个不同偶数整除．28.正方体8个顶点可连成对异面直线．高中数学选修2-3 第一章 计数原理1.2 排列组合应用题基础知识回顾1.分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++ .2.分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =⨯⨯⨯ .3.排列数公式：m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -),,(n m N n m ≤∈*．注: 1!0=.4.组合数公式：m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅),,(n m N n m ≤∈*. 5.组合数的两个性质：(1)m n C =m n n C -；(2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注: 10=n C . 6.排列数与组合数的关系：m m n nA m C =⋅！. 二．排列组合应用题的解题方法： 1．捆绑法――解决相邻问题 2．插空法――解决相离问题 3．缩倍法――解决定序问题 4．分步法――解决标号排位问题 5．逐分法――解决有序分配问题 6．分组法――解决全员分配问题 7．隔板法――解决名额分配问题8．分类法――解决有限制条件的分配问题、多元问题、“至少”“至多”问题 9．集合法――解决交叉问题 10．优先法――解决定位问题11．单排法――解决多排问题、圆排问题 12．先取后排法――解决选排问题13．排除法――解决部分符合条件问题、“至少”“至多”问题 14．求幂法――解决可重复的排列问题 15．构造法――解决复杂排列组合问题16．枚举法――解决元素个数较少的排列组合问题 17．分解合成法――解决复杂的排列组合问题例题分析：1．相邻问题捆绑法。
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列． 1．,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则相当于4人的全排列，4424A =种.答案：D2．相离问题插空排。
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B3．定序问题缩倍法。
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B 4．标号排位问题分步法。
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。
选B5．有序分配问题逐分法。
有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。
5.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种。
选C6.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A种 D 、444128433C C C A 种 答案：A5、 全员分配问题分组法。
7.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法。
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配。
8.5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种 答案：B6、 名额分配问题隔板法。
9.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种。
7、 限制条件的分配问题分类法。
10.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种 ②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种④若甲乙 都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法。
所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种。
8、 多元问题分类法。
元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计。
11.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个。