一元二次方程导学案1
2022年人教版《一元二次方程(导学案)》精品学案
第二十一章一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.2的平方的长方形?解：设长方形的长为xx)m.根据题意，得xx)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2x=±2.即方程的另一个根为-2.角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1教学方法引导发现、讲练结合法．教具准备多媒体课件教学过程一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P 到直线l 的距离 ？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流 探究新知探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC 的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．[生3]我们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．[生甲]噢，对，我知道了．[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、用一用:1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．巩固所学及时点拨四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一3、采用角平分线性质解题强调三个条件。
人教版九年级上册数学全册导学案
人教版九年级上册数学全册导学案《21.1一元二次方程》导学案 NO ：01班级_______姓名_______小组_______评价_______一、学习目标1、认识一元二次方程及根的概念；2、掌握一元二次方程的一般形式，并会将任何一个一元二次方程化成一般形式。
二、自主学习１、一元二次方程的概念（1）阅读教材引例，在练习本上自己按题意列出方程并整理，写出最后的方程 是 ；说一说这个方程是 元 次方程。
(2)用类似的方法研究问题1、问题2，经整理后的两个方程分别是 ； ；它们都是 元 次方程。
(3)归纳总结：含有 个未知数，且未知数的最高次数为 的整式方程叫做一 元二次方程。
说一说一元二次方程有哪些特点？（与同学认真交流）2、一元二次方程的一般形式阅读教材：一元二次方程的一般形式 （抄写三遍）。
说一说哪 一项是二次项？系数是多少？有什么要求？哪一项是一次项？一次项系数是多 少？哪一项是常数项？（与同学认真交流课堂展示）3、一元二次方程的根阅读教材，说一说什么叫一元二次方程的根？它有什么特点？（与同学认真交流。
）自学检测：1、若关于x 的方程023)1(=---x x m n是一元二次方程，则m ≠ _，n =______；2、方程1)12)(3(-=+-x x x 写成一般式是 ；二次项是 ____； 一次项系数是 。
三、合作探究1、下列方程中，是一元二次方程的有①2x=－2 ②32=x ③2y 2－3y+1=0④x －3y=4⑤11=-x x⑥5x 2=x 2、根不为x ＝-2的方程是（ ）A 、022=+x xB 、5x+10＝0C 、0232=+-x xD 、083=+x3、如果ax 2－x －12＝0是x 的一元二次方程，则a 的取值范围是如果（m －3）011=++-x xm 是x 的一元二次方程，则m 的取值是_________4、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和 常数项。
一元二次方程1导学案
个队各赛一场，全部比赛用 x
学习目标
重 学习要点
点
难
点
学 习 备注 内 容
一元二次方程的定义
正确理解一般形式中各系数的取值及 化成一般形式
学生学习活动设计
问题引入： 问题 1：在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的 高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如 果雕像的高为 2m，那么它的下部应设计为多高？
新课导学： 思考：上面的方程有什么特点？ 1、一元二次方程的定义：等号两边都是 ，只含有 个未知 数，并且未知数的最高次数是 的方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式是： ； 其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次 项系数， 是常数项 一元二次方程的解也叫一元二次方程的 。
A
学 习 内 容
3、已知 m 是方程 x2 x 2 0 的一个根，求代数式 4 m2 4m 2 4、已知关于 x 的方程 x2 bx a 0 有一个根是 a （ a 0 ） ，则 a b 的值为
5、 已知 a 是方程 x -2013x+1=0 的一个根， 求代数式 a -2012a+
练 习 反 馈
1、关于 x 的方程 (a 1) x2 3x 0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是 2、在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ① 3x 2 7 0 ③ ( x 2)(x 5) x2 1 A 1个 B 2个
2
）
（1）当 m 为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当 m 的何值时，此方程是一元二次方程？
内
问题 2：有一块矩形铁皮，长 100 ㎝，宽 50 ㎝， 在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个 无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600C ㎡,那么铁皮各角应切去多 大的正方形？ 分析:设切去的正方形的边长为 x ㎝， x _ 则盒底的长为： ； 宽为： 列方程为： 整理得：
九年级数学导学案-一元二次方程
九年级数学导学案——一元二次方程§2.1.1一元二次方程(一) 导学案【学习目标】1．会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力。
3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。
【学习重难点】重点：一元二次方程的概念难点：如何把实际问题转化为数学方程【学法指导】通过具体问题列出方程，化简方程，分析方程特点，抽象、归纳出一元二次概念和一般形式。
【知识链接】1.什么是一元一次方程？什么是二元一次方程？【问题导学】自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：1.情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。
苗圃的长和宽各是多少？解：设____________________, 列方程得：_________________你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗？2.阅读课本P32，思考下列问题：1）什么是一元二次方程？2）什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？3.课前小练：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3x2=5x-1 （2）(x+2)(x-1)=6 （3）4-7x2=0【合作探究】1.一元二次方程应用举例：1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm ，那么地毯中央长方形图案的长为__________m ，宽为___________m ，根据题意，可得方程_____________。
化成一般形式得_______________。
2）如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。
用公式法解一元二次方程导学案
用公式法解一元二次方程(1)一、学习目标：1.引导学生写出一元二次方程求根公式的推导过程.2.知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程重点：说出一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误.二、学习过程导学一）独学：1、一元二次方程的一般式： ( a≠0 ), 二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
2、把方程4x2+4x+10=1-8x化为一般形式为：，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
3、用配方法解方程： 2x2-12x+10=04、说出配方法解一元二次方程的一般步骤?二）对学：小组讨论学习（合作交流）1、一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。
2、你能否用上面配方法的步骤求出ax2+bx+c=0（a≠0）的两根？解：二次项系数化为1，得：，移项，得：配方，得：即∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：（1）b2-4ac＞0，则2244b aca-＞0直接开平方，得：即∴x1= ，x2=（2）b2-4ac=0，则2244b aca-=0此时方程的根为即一元二次程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个的实根。
（3）b2-4ac＜0，则2244b aca-＜0，此时（x+2ba）2 ＜0，而x取任何实数都不能使（x+2ba）2 ＜0，因此方程实数根。
3、用公式法解一元二次方程的一般步骤：○1把方程整理成一般形式，确定a,b,c的值，注意符号○2求出b2-4ac的值○3当b 2-4ac ≥0时，把a ，b ，c 及b 2-4ac 的值带入求根公式x=242b b ac a -±-求出x 1，x 2； 当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根三）群学：1、不解方程，判别一元二次方程根的情况：（1）2x 2+3x-4=0 (2)5(x 2+1)-7x=02、若关于一元二次方程3x 2-3x+c=0有实数根，则方程c 的取值范围是______。
21章一元二次方程导学案鲁微微
21.1、一元二次方程（1）主备人：鲁微微审核：九年级数学组时间：班级姓名学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
教学过程：一、自学引言部分，走进一元二次方程分析：设下部高x米，则可列方程：去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？探究新知：自学课本2页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：问题1可列方程：整理得②问题2可列方程：整理得③1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义：展示反馈： 1、判断下列方程是否为一元二次方程。
【我学会了】1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 是二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数。
3、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
自主探究：1、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项,023)7(2=+-x mx x 的方程关于05)12()1()8(22=-+-++a y a y a y 的方程关于（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x2、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2；（2）0822=-+x x ±2， ±4【巩固练习】教材第4页练习2归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？达标测评1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）0233122=--x x （ ）（2）0522=+-y x ( )(3) 02=++c bx ax （ ） (4)07142=+-x ( )2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x 2－x =2； （2）7x －3=2x 2;（3）(2x －1)－3x (x －2)=0 （4）2x (x －1)=3(x ＋5)－4.3、把方程p q nx mx nx mx -=++-22 ()0≠+n m 化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
新人教版一元二次方程导学案
21.1一元二次方程（第1课时）一、学习目标1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、学习重点、难点重点：建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。
难点：在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。
三、学习过程（一）知识准备：（1) 多项式3x 2y-2x-1是次项式,其中最高次项是,二次项系数为,一次项系数为,常数项为 。
（2）叫方程,我们学过的方程类型有。
（3）解下列方程或方程组： ①1)1(2-=+x x ②⎩⎨⎧=+=-42y x y x ③211=-x（二）新课学习：1.自学教材P25——27，回答以下问题。
（1）一元二次方程的定义：等号两边都是，只含有个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： (a ≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项。
【注意】①方程ax 2+bx +c =0只有当a ≠0时才叫一元二次方程，如果a =0，b ≠0时就是方程了。
所以在一般形式中，必须包含a ≠0这个条件。
②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。
2．新课应用: 1、下列方程是一元二次方程的是有：（1），（2）(x+1)(x-1)=0， （3），（4）01122=-+xx ，（5），（6）05322=-+y x2、参照教材P 26例题，解答：①一元二次方程15242+-=x x x 化为一般形式是：；其二次项是：；一次项是：；常数项是：.②把方程()()11212=+-y y 化为一般形式为：；其二次项系数是；一次项系数是；常数项是. 3、若033)3(2=++--nx xm n 是关于x 的一元二次方程，则（）.A m ≠0，n=3B m ≠3，n=4C m ≠0，n=4D m ≠3，n ≠0 4、已知：关于x 的方程()()021122=-++-x k x k .（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程.四、达标过关测试1.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）.A.()()12132+=+x x B.02112=-+x x C.02=++c bx ax D.1222-=+x x x2．一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为：，二次项系数为： ___，一次项系数为： ____，常数项为： _____.3．关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m ________时为一元一次方程；当m___________时为一元二次方程.4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为．5．如图所示，在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（）A ．213014000x x +-= B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --= D ．0350652=+-x x21.1一元二次方程（第2课时）---- 一元二次方程的根一、学习目标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。
苏科版数学九年级上册_《用一元二次方程解决问题(1)》导学案1
1.4一元一次方程解决问题（1）【学习目标】1.掌握建立方程解决“平均增长率”实际问题．2.进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力．【教学重难点】重点：找相等关系，列一元二次方程方程解应题．难点：寻找正确的等量关系，用一个未知数表示另外一个未知数．【预习导航】1．列一元一次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)________；(6)检验；(7)写出答案．2．某工厂一种产品2016年的产量是100万件，计划2018年产量达到121万件．假设2016年到2018年这种产品产量的年增长率相同（设增长率为x）（1）2017年这种产品的产量是万件（用含x的代数式表示）；（2）2018年这种产品的产量是万件（用含x的代数式表示）；（3）根据题意列出方程．【新知导学】活动一：用一根长22cm的铁丝：（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32cm2的矩形？思考与交流：（1）如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？（2）你是如何解这个方程的？方程的解都符合题意吗？（3）猜一猜，这根铁丝围成的矩形中，面积最大的是多少？（设计意图：让学生经历用一元二次方程解决实际问题的过程，理解相等关系的寻找、检验结果是否符合实际意义等步骤，进一步提高学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.）活动二：某种服装原价为每件80元，经两次降价，现售价为每件51.2元，求平均每次降价的百分率.若设平均每次降价的百分率是x，那么第一次降价后的售价为，那么第二次降价后的售价为，列出的方程是．例题例1 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？变式：某企业成立3年来，累计向国家上缴利税208万元，其中第一年上缴40万元，求后两年上缴利税的年平均增长的百分率．例2 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率是多少？例3 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a 为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB 的长是多少米？（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【课堂检测】1．某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( )A ．9%B ．10％C ．11％D ．12％2．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是 （ ）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x =C ．3000(1+x %)2=5000D ．23000(1)3000(1)5000x x +++=3．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x ，根据题意列出的方程是 ．4．把一根长为80cm 的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于2002cm ，该怎么剪？（2）这两个正方形的面积之和可能等于4882cm 吗？说明理由.5．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.【课后巩固】基本检测1．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台。
22.1一元二次方程(1)导学案
22.1一元二次方程（1）导学案一 学前准备：1．_______________ _____________________________叫方程；______________________________ _______________叫一元一次方程。
__________________________ ___________________叫二元一次方程。
___________________________ __________________叫分式方程。
2.下列方程是一元一次方程的有___ ___;是分式方程的有___ __;二元一次方程的有____ _. ①3x-2=0;②x 2x 1=+;③x +2y=3;④1y 3y 221y +=-++;⑤s+t=8; ⑥;04x 2x 2=-+⑦;0350x 75x 2=+-⑧.56x x 2=- 二 探究活动（一） 独立思考·解决问题１、剪一块面积为1502cm 的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，这块铁皮该怎么剪呢？如果铁皮的宽为x （cm ），那么铁皮的长为_____ ____cm .根据题意，可得方程是：______________ ________6，求这两个数。
设其中较小的一个数位x ，请列出满足题意的方程____ ______________.3、正方形的面积是22cm ，求它的边长？_______________________________________.4、矩形花圃一面靠墙，另外三面所围得栅栏的总长度是19m ，如果花圃的面积是242m ，求花圃的长和宽。
__________________ ______________ _________.（二） 师生探究·合作交流议一议：1、上面的方程有哪些共同的特点呢？你知道什么是一元二次方程了吗？2、结合上面的方程的特点你能够用一个式子表示一元二次方程的一般形式吗？３、20(0)ax bx c a ++= ≠其中_____ _叫做二次项，a 叫做_____ _, bx 叫做_____ __,b 叫做_____ __， c 是常数项。
用因式分解法求解一元二次方程导学案
用因式分解法求解一元二次方程导学案一、学习目标1、理解因式分解法解一元二次方程的概念。
2、掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤。
3、会用因式分解法解简单的一元二次方程。
二、重点难点1、重点：用因式分解法解一元二次方程。
2、难点：正确分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式。
三、知识回顾1、我们已经学习了一元二次方程的一般形式：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$）。
2、解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法。
四、新课导入我们知道，如果两个数的乘积为 0，那么这两个数中至少有一个为0。
对于一元二次方程，如果我们能把它化成两个一次式的乘积等于 0 的形式，那么就可以得到两个一元一次方程，从而求解。
这就是我们今天要学习的因式分解法解一元二次方程。
五、因式分解法的概念如果一元二次方程可以化成两个一次因式的积等于 0 的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，从而得到两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例如，方程$x^2 5x ＋ 6 ＝ 0$可以因式分解为$（x 2)（x 3) ＝ 0$，则$x 2 ＝ 0$或$x 3 ＝ 0$，解得$x_1 ＝ 2$，＄x_2 ＝ 3$。
六、常见的因式分解方法1、提公因式法例如：＄3x ＋ 6 ＝ 3(x ＋ 2)＄2、公式法（1）平方差公式：＄a^2 b^2 ＝（a ＋ b)（a b)＄例如：＄4x^2 9 ＝（2x ＋ 3)（2x 3)＄（2）完全平方公式：＄a^2 ± 2ab ＋ b^2 ＝（a ± b)＾2$例如：＄x^2 ＋ 6x ＋ 9 ＝（x ＋ 3)＾2$3、十字相乘法例如：＄x^2 ＋ 5x ＋ 6 ＝（x ＋ 2)（x ＋ 3)＄七、用因式分解法解一元二次方程的步骤1、将方程右边化为 0。
2、将方程左边因式分解。
3、令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程。
2.3一元二次方程的应用(1)导学案
2.3 一元二次方程的应用（1）班级__________________ 姓名__________________〖学习目标〗1．经历一元二次方程的实际应用，体验一元二次方程的应用价值；2．会列一元二次方程解应用题。
〖学习重点与难点〗重点：列一元二次方程解应用题。
难点：例2的第（2）题，学生不容易理解，是本节学习的难点。
一、问题引入（把握时间，看看你的效率）cm的长方体木箱，问底面的长和宽是多1．要做一个高是8cm,底面长比宽多5cm,体积5283少？总结：列方程解应用题的基本步骤怎样？2．练一练：已知两个连续正奇数的积等于63,求这两个数。
二、例题精讲（先思考，然后和老师一起完成）例1 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系。
每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元。
要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？练习1：某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元。
为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。
据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱。
如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？三、继续探索（先思考，然后和老师一起完成）（1）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么一年后的销售收入将达到_________万元（用代数式表示）（2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么两年后的销售收入将达到__________万元（用代数式表示）例2截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总数以达2083万台.（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.注意：叙述年平均增长率时，要有明确规范的说法，如：“从何年到何年的年平均增长率”，“从何月到何月的月平均增长率”，不要随用其他的说法，（2）上网计算机总数2001年12月31日至2003年12月31日的年平均增长与2000年12月31日至2002年12月31日的年平均增长相比，哪段时间年平均增长率较大？练习2：某单位为节省经费,在两个月内将开支从每月1600元降到900元,求这个单位平均每月降低的百分率是多少?四、巩固练习一个容器内盛满纯酒精50kg，第一次倒出若干千克纯酒精后加入相同千克数水；第二次又倒出相同千克数的酒精溶液，这时容器中的酒精溶液含纯酒精32kg。
一元二次方程导学案
x一元二次方程导学案一、交流预习：问题1要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？1、用红笔画出问题中的关键语句2、将此语句写成等量关系式为_____________________________3、若设雕像下部高为x m ，那么上部高为_______m,4、等量关系式变为方程为_________________________5、将方程去分母，把所有项移项到等号左边并化简得____________________① 问题2如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？1、底面是______形，由面积公式可得等量关系式为_______________2、若设切去正方形边长为x cm ，底面长为_______cm,底面宽为_______cm3、等量关系式变为方程为______________________4、将方程所有项移项到等号左边并化简得___________________②问题3要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？1、如果有2个队参赛是____场比赛，3个队是_____场，4个队是______场，如果是x 个队参赛是______________场比赛。
2、由题意可知方程为_______________________________3、将方程所有项都移项到等号左边并化简得_______________________③二、探究新知探究新方程：观察上面方程①②③回答下面问题1、这三个方程含有几个未知数？________________2、这三个方程等号两边是什么代数式？___________3、在三个方程中最高次项的次数是多少？___________方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程.类比一元一次方程的定义思考具有上面特点的方程应该叫_____________.怎么判断一个方程是一元二次方程1、方程()()2513+=-x x x 是一元二次方程吗？为什么？2、方程()412+=-x x x 是一元二次方程吗？为什么？通过上面两个问题我们发现要想判断这类整式方程是否为一元二次方程一定要先将方程________________________________________________.经过这样整理的一元二次方程都可化为形如02=++c bx ax 其中a 应满足________.这种形式我们叫一元二次方程的一般形式。
用配方法解一元二次方程学案
用配方法解一元二次方程导学案（第一课时）主备人：刘凌云审核人：学习目标：1．会用开平方法解形如（x＋m）2＝n(n≥0)的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型,增强学生运用数学的意识和能力．3．体会转化的数学思想方法．4．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．学习重点、难点重点：利用配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程通过配方转化为（x＋m）2＝n(n≥0)的形式．一、课前预习（提出实际问题，让学生用数学知识解决问题）用彩灯围成一个面积为24平方米的长方形舞台，若要长比宽多2米，那么舞台的长和宽，该如何确定的呢？设计意图：利用现实生活问题，不仅能够生动自然引出我们要解决的数学问题，更重要的是学生们感兴趣，可以激发他们的热情，为下一步探究营造了轻松愉悦的氛围。
若想求出舞台的长和宽，需解方程x2 + 2x-24=0 （学生解方程有困难，教师需引导。
）前面我们可求出了x2 + 2x-24=0方程中x的近似值，你能求出它的精确值吗？今天就学习用配方法解一元二次方程．二、课内探究1．自主学习师：你都会解哪些简单的一元二次方程？（请同学自由回答）生：例如x2=4 (x+3)2=9x=±2 x+3=±3x1=0 x2= - 6师：形如x2=4、(x+3)2=9 的一元二次方程有什么特点呢？你是如何解它们的？（独立思考后，与同桌互相交流）生：方程都可以写成(x+m)2=n(n≥0) 的形式。
两边开平方便可求出方程的解。
2．合作探究师：方程x2+8x-9=0 该如何解呢？（停顿，留给学生时间思考。
若仍没有学生想到办法，教师进一步引导。
）师：方程x2+10x＋25=16(x+5) 2 =16x+5=±4x1= -1 x2= - 9师：看来将一个一般形式的一元二次方程,转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式利用开平方法就可以求解。
二次函数与一元二次方程(1)导学案人教版数学九年级上册
第2课二次函数与一元二次方程(1)◆知识点抛物线与坐标轴的交点坐标(1)求函数图象与x轴的交点坐标：令y＝0；(2)求函数图象与y轴的交点坐标：令x＝0.1.已知二次函数y＝－x2＋6x－8.求该二次函数的图象与x轴的两个交点坐标.2.已知二次函数y＝x2＋2x－3.求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标.◆知识点二次函数与一元二次方程的关系(1)填空：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) Δ>0有两个不相等的实数根与x轴有两个交点Δ＝0有两个相等的实数根与x轴有一个交点Δ<0没有实数根与x轴没有交点(2)若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(m，0)，(n，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝m，x2＝n；(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有1个交点( 0，c ).3.抛物线y＝x2－4x＋3与x轴有2个交点.4.抛物线y＝x2＋4x＋4与坐标轴交点的个数为( )A．0B．1C．2 D．35.若抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有2个交点，求m的取值范围.6.若二次函数y＝(m－1)x2－2x＋m2的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为－1或2.7.若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝2.8.如图所示，二次函数y＝－x2＋2x＋k的图象与x轴的一个交点坐标为(3，0)，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的解为( )A．x1＝3，x2＝－2B．x1＝3，x2＝－1C．x1＝1，x2＝－1D．x1＝3，x2＝－3强化训练1.【几何直观】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2.抛物线y＝x2－6x＋5与x轴的交点坐标为(5，0)，(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，5).3.二次函数y＝ax2＋bx＋9的图象与x轴只有一个交点(－3，0)，则方程ax2＋bx＝－9的根为x1＝x2＝－3.4.(2022•大庆)已知函数y＝mx2＋3mx＋m－1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为1或.5.已知二次函数y＝2x2－mx－m2.(1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标．。
2.1一元二次方程(1)导学案
2.1 一元二次方程（1）班级__________________ 姓名__________________〖学习目标〗1.经历一元二次方程概念的发生过程；2.理解一元二次方程的概念；3.了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
〖学习重点与难点〗重点：一元二次方程的概念，包括它的一般形式。
难点：例1第（4）题包括了代数式的变形和等式变形两个方面，计算容易产生差错，是本节学习的难点。
一、课前准备（把握时间，独立完成）1．知识回忆：什么叫一元一次方程？答：只含有 ，并且未知数的最高次数是 次的方程叫一元一次方程。
2．探索新知：阅读课本第24页合作学习，列出问题（1）、（2）关于未知数x 的方程： （1） ； （2） 。
观察整理后的两个式子：（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 特征（1） ；（2） ； （3） 。
二、自主学习（合作学习，相互帮助）1.下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
(1)3x+2=5y-3 (2) x 2=4 (3) 3x 2-y=0 (4) x 2-4=(x+2) 2 (5) ax 2+bx+c=0 （6）x 2+3x=-3 （7）x3+7=x 2-5 （8）x 2+4xy+4y 2=02.下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有( )2x 2－32x=0；xx 1-=2x －1；x 2－3y=0 ；x 2－x 2(x 2+1)－3=0A.0个B.1个C.2个D.3个 3.下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A.3(x+1)2= 2(x+1) B .05112=-+xxC.ax 2+bx+c= 0 D.x 2+2x= x 2-1 三、继续探索观察刚刚做题涉及到的一元二次方程，你能否发现他们的共同点？ 能否用共同的形式来表示？一元二次方程通常可写成如下的一般形式：讨论：为什么二次项系数a 不能为0？假如a=0会出现什么情况？b 、c 能不能为0？ 练习：将下列方程化为一般形式，并指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项。
一元二次方程的根与系数的关系(1)--导学案
注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________
例题分析
例１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）：
① x2+ 3x -1= 0 ② x2+ 6x +2= 0 ③ 3x2－4x+1= 0 (4)x2+ 3x +3= 0
4．假如-2和 是一元二次方程的两根，那么该一元二次方程为___________;
5．一元二次方程 的两根为 ，则 =______。
6．若 是方程 的两根，且 ，求k的值。
四、拓展延伸，提升水平
1、设方程 的两根分别为 ，不解方程求出以下各式的值。
2、关于x的方程 有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；
例2.已知关于x的方程x2+ ｋx －6= 0的一个根是2，求另一个根及ｋ的值
三、学以致用，当堂检测
1．若关于x的一元二次方程的两个根为 ，则这个方程是（ ）
A. B.
C. D.
2．若方程 的两根是2和-3，则p，q分别为（ ）
A. 2,-3 B. -1,-6 C. 1,-6 D. 1,6
3．方程 ，当m=_____时，此方程两个根互为相反数；当m=_____时，两根互为倒数。
2、请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？
小结：
1．假如一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．
2．假如方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；
初中数学《一元二次方程》导学案
21.1一元二次方程一、本节知识点讲解【知识点1】一元二次方程1.一元二次方程的定义：方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a++=≠其中2ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
【题型1】一元二次方程的定义【例1】（2022春•香坊区期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2−2x=0B．3x+1＝7x C．a2﹣2a＝0D．2x﹣5＝y【变式1】（2022春•惠山区期末）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x﹣1＝0B．3x+x2=7C．x2﹣2x﹣3＝0D．x+y＝6【变式2】（2022春•滨江区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．﹣3x＝0B．1x2+1x−2=0C．x3+x2＝1D．x2+2x＝2x2﹣1【变式3】（2022春•宁波期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣2y+4＝0D．x2+3=2 x【例2】（2022春•通州区期末）若关于x的方程（a﹣1）x2+x＝0是一元二次方程，则a的范围是（）A．a＝1B．a＞1C．a≠1D．a＜1【变式1】（2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．±2【变式2】（2021秋•文山市期末）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则（）A．m≠±2B．m＝﹣2C．m＝2D．m＝±2【变式3】（2021秋•望城区期末）若关于x的方程(m−2)x m2−2+4x−7=0是一元二次方程，则m的值为（）A．m≠2B．m＝±2C．m＝﹣2D．m＝2【小结】【题型2】一元二次方程的一般形式【例1】（2022春•乐清市期末）把一元二次方程x（2x﹣1）＝x﹣3化为一般形式，正确的是（）A．2x2+3＝0B．2x2﹣2x﹣3＝0C．2x2﹣x+2＝0D．2x2﹣2x+3＝0【变式1】（2022春•琅琊区校级月考）将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（）A．2x2+5x﹣7＝0B．2x2+5x+1＝0C．2x2﹣5x+1＝0D．x2﹣7x﹣1＝0【变式2】（2021秋•兰山区期末）把方程x2﹣3（x+1）＝2x化成一般形式正确的是（）A．x2﹣x﹣3＝0B．x2+x+3＝0C．x2﹣5x﹣3＝0D．x2﹣x+3＝0【变式3】（2022春•蜀山区期末）方程x（2x﹣5）＝4x﹣10化为一元二次方程的一般形式是（）A．2x2﹣9x+10＝0B．2x2﹣x+10＝0C．2x2+14x﹣10＝0D．2x2+3x﹣10＝0【例2】（2022春•通州区期末）一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，3，﹣4B．0，3，4C．0，﹣3，4D．1，﹣3，﹣4【变式1】（2021秋•临邑县期末）方程x2﹣5x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，﹣5，﹣2B．1，5，2C．1，5，﹣2D．0，﹣5，﹣2【变式2】（2022春•金华月考）一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（）A．8B．﹣1C．0D．2【变式3】（2021秋•双牌县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（）A．0B．3C．﹣3D．﹣3或3【小结】【题型3】一元二次方程的解（2022春•荣昌区校级期末）若x＝1是关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣2＝0的一个根，则m﹣n+2021【例1】的值为（）A．2020B．2022C．2023D．2026【变式1】（2022春•连江县期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2b﹣2a 的值是（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【变式2】（2021秋•莆田期末）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝2，则m的值为（）A．﹣10B．﹣2C．2D．10【变式3】（2021秋•覃塘区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2mx+m＝0的一个实数根，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【小结】二、当堂检测1．（2022春•岳麓区校级期末）下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2＝0C．x2+2x=1x D．x2+y2＝02．（2022春•道外区期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．πx＝6B．x−3x=2C．xy＝1D．x2+5x＝63．（2022春•泰兴市期末）若关于x的方程（a﹣1）x2＝2为一元二次方程，则a满足（）A．a＝1B．a≠1C．a＝0D．a≠04．（2021秋•江油市期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（）A．﹣1B．2C．﹣1或3D．35．（2022春•道外区期末）将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．3x2﹣6x+1＝0B．3x2+6x+1＝0C．3x2+6x﹣1＝0D．3x2﹣6x﹣1＝06．（2022春•嘉兴期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（）A．x2﹣3x﹣1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+3x﹣1＝0D．x2+3x+1＝07．（2022春•泗阳县期末）一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是（）A．1B．8C．7D．28．（2022•凤山县模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（）A．1B．1或2C．2D．±19．（2022•白银模拟）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2018的值为（）A．2020B．2021C．2022D．202310．（2022春•琅琊区校级月考）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx﹣2m﹣4＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣1D．−5 3三、家庭作业1．（2022春•铁岭月考）下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．3x ﹣2＝0B ．x 2﹣3＝5C ．x +y 2＝4D ．1x +x 2＝12．（2021秋•文山市期末）已知关于x 的方程（m ﹣2）x |m |﹣3x ﹣4＝0是一元二次方程，则（ ）A ．m ≠±2B ．m ＝﹣2C ．m ＝2D ．m ＝±23．（2021春•全椒县期中）关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣5x +m 2﹣4＝0的常数项为0，则m 的值是（ ）A ．0B ．±2C ．2D ．﹣24．（2021秋•新洲区期中）将方程3x （x ﹣1）＝5（x +2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（ ）A ．3B ．﹣8xC ．﹣8D ．﹣105．（2022•新化县模拟）若a 是x 2﹣3x ﹣2022＝0的一个根，则a 2﹣3a +1的值是（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20236．（2021秋•武夷山市期末）已知x ＝2是方程x 2﹣2x +c ＝0的一个根，则实数c 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．27．（2021秋•丰台区期末）若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0有一个解为x ＝0，那么m 的值是（ ）A．﹣1B．0C．1D．1或﹣1二．填空题（共5小题）8．（2022春•碑林区校级期末）若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为．9．（2021秋•祁阳县期末）若（2﹣a）x a2−2−5＝0是一元二次方程，则a＝．10．（2022春•台江区校级期末）将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式为．11．（2022春•沙坪坝区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0的一个根是2，则m2＝．12．（2022•长沙县一模）如果m是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，那么代数式3m2﹣9m的值为．21.1一元二次方程一、本节知识点讲解【知识点1】一元二次方程4.一元二次方程的定义：方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程全章导学案(不分版本,通用)
1 反思：【学习目标】1、体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；2、理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项. 【学习重点】由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念. 【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）（1) 多项式2321x y x --是 次 项式,其中最高次项是 ,二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 .（2） 叫方程,我们学过的方程类型有 . 【活动二】自主交流 探究新知（25分钟）1.自学教材P17——19，回答以下问题.（1）一元二次方程的定义：只含有 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 （二次）的 方程，叫做一元二次方程. （2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： (a ≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项.【注意】①方程20ax bx c ++=只有当a ≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b ≠0时就是 方程了.所以在一般形式中，必须包含a ≠0这个条件.②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.2. 一元二次方程的解：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边值相等的_______________的值. 【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.）1.下列方程是一元二次方程的是有 ：（1）3239x x +=，（2）(1)(1)0x x +-=，（3）220y =，（4）01122=-+xx ，（5）232m =， （6）05322=-+y x .2.把方程()()11212=+-y y 化为一般形式为： ；其二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .3.若033)3(2=++--nx x m n 是关于x 的一元二次方程，则m= ，n= .4.下面哪些数是方程260x x --=的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4.5. 已知m 是方程260x x --=的一个根，则代数式2m m -=________.6.已知：关于x 的方程()()021122=-++-x k x k . （1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程.【活动五】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟）1.当a______时，关于x 的方程22()(1)a x x x +=-+是一元二次方程.2.若关于x 的方程27(3)(5)50m m x m x -++-+=是一元二次方程，试求m 的值，•并指出这个方程的各项系数．3．关于x 的方程21()36m m m x x +-+=可能是一元二次方程吗？为什么？2 反思：§22.2.1《一元二次方程的解法——直接开平方法》导学案【学习目标】1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程． 【学习重点】运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟） 1.我们知道x 2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x= ，如果x 换元为2x-1，即2(21)5x -=，也用直接开平方的方法可以这样求解. 2.(1) 解：由方程 2(21)5x -=，得21x -=_______即 21x -=____，21x -=_____∴ 1x =_______, 2x =_____(2) 解：由方程 2692x x ++=，得(_________)2=2∴ ______________=_______ 即 ____________, ____________ ∴ 1x =_______, 2x =_____ 【活动二】自主交流 探究新知（15分钟） 仿照知识链接中的方法解下列方程：(1) 28x = (2) 22(1)4x -=(3) 2694x x++=(4)2490m -= （5）291241x x ++=【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）1、形如2x p =(0)p ≥或2()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法.2、如果方程能化成2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥的形式，那么可得x =mx n +=【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.） 1．若224()x x p x q-+=+，那么p 、q 的值分别是（ ）．A ．p=4，q=2B ．p=4，q=-2C ．p=-4，q=2D ．p=-4，q=-2 2．方程2390x +=的根为（ ）．A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．无实数根 3．解方程：（1）28160x -=（2）22(3)72x -=【活动五】拓展延伸（独立完成8分钟，班级展示2分钟） 1．如果a 、b 21236b b -+=0，求ab 的值.2．用直接开平方法解方程：22(1)180x --=3．解关于x 的方程2()(0)x m n n +=≥．4. 已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值.3 反思：§22.2.2《一元二次方程的解法——因式分解法》导学案【学习目标】1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程． 【学习重点】用因式分解法解一元二次方程. 【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）1.分解因式：（1）2832x - （2）244x x -+ （3）228x x --2.填空：填上适当的数，使下列等式成立：(1) 25____(____x x x ++=+2) (2) 21____(____2x x x ++=+2) (3) 2____(____x x +=-2) (4) 2____(____bx x x a++=+2) 【活动二】自主交流 探究新知（20分钟）仿照知识链接中的方法解下列方程：（1）2410x -= （2）22150x x --=【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）总结因式分解的步骤： ①通过___________把一元二次方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次因式的______;③令每个因式分别为______，得到两个一元一次方程; ④解 ，它们的解就是原方程的解。
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第18章 一元二次方程导学案
18.2一元二次方程的解法（1）
学习目标：
1．理解一元二次方程降次的转化思想；
2．会利用直接开平方法对形如2()(0)x m n n +=
≥的一元二次方程进行求解； 3．发现不同方程的转化式，运用已有知识解决新问题。
学习重点：运用开平方法解形如2()(0)x m n n +=
≥的方程； 学习难点：通过根据平方根的意义解形如2x n =的方程，知识迁移到根据平方根的意
义解形如2()(0)x m n n +=
≥的方程。
一． 学前准备：
1．9的平方根是____,用符号表示为__________;
2．25的平方根是____,用符号表示为_________;
3．a 的平方根是________;2()____________a b ±=
二．探究活动：
（一）独立思考·解决问题
1．解方程：22(1)
9;(2)25;x x = =
2．解方程：22(1)3480;(2)(23)49x x -= -=
（二）师生探究·合作交流
议一议：
1．上述解一元二次方程的方法是什么？它的理论依据是是什么？。