用配方法解一元二次方程(1)导学案
配方法解一元二次方程导学案
5．已知（x+y）（x+y+2）—8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．（这种方法叫换元法）
6、用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0 （2）3x2－5x－6＝0.
原方程的解是x1＝_____，x2＝_1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（ ）2＝－1＋____，
即_____________________
所以__________________
原方程的解是x1＝____________;x2＝___________.
总结规律
1、请说出完全平方公式
我们知道，形如 的方程，可变形为 ，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如 的一类方程（注意其中二次项的系数为1），化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．
2、配方、填空：
（1） +6x+( )=(x+ ) ；
（2） —8x+( )=(x—) ；
（3）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（4）x2＋ x＋（ ）＝（x＋ ）2；
填完后，想一想你所填写的常数项与一次项系数有什么关系吗？说出你的想法。
的是（）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
3．方程x2+4x-5=0的解是________．
（3） ＋8x－2＝0（4） －5x－6＝0.
2、用配方法解下列方程：
用配方法求解一元二次方程(第1课时)北师大版九年级数学上册教学详案
第二章 一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程教学目标1.根据平方根的意义解形如x 2＝n (n ≥0)的方程.2.理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程.3.把一元二次方程通过配方转化为(x+m )2＝n (n ≥0)的形式，体会转化的数学思想.教学重难点重点：利用配方法解一元二次方程.难点：把一元二次方程通过配方转化为(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式.教学过程导入新课试一试:解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x 2＝4; (2) x 2＝0; (3) x 2+1＝0.解:根据平方根的意义，得（1）x 1＝2,x 2＝-2 ;（2）x 1＝x 2＝0 ;（3）x 2＝-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.探究新知思考：如果我们把x 2＝4，x 2＝0，x 2+1＝0变形为x 2＝p ，各方程的解会是什么情形？老师总结：一般地，对于方程x 2＝p ：（1）当p >0 时，根据平方根的意义，方程x 2＝p 有两个不相等的实数根x 1＝−√p ，x 2＝√p ；（2）当p ＝0 时，根据平方根的意义，方程x 2＝p 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝0； （3）当p <0 时，因为对任何实数x ，都有x 2≥0，所以方程x 2＝p 无实数根. 例1：利用直接开平方法解下列方程: （1）x 2＝25; (2) x 2-900＝0; (3)(x +2)2＝7; (4)2(1−3x)2-18＝0. 解：(1) x 2＝25 直接开平方，得x ＝±5,即x 1＝5，x 2＝-5. （2）x 2-900＝0，移项，得x 2＝900，直接开平方，得x ＝±30，即x 1＝30，x 2＝-30.（3）(x +2)2＝7，直接开平方，得x +2＝±√7，即x 1＝-2+√7，x 2＝-2-√7. （4）2(1−3x)2-18＝0，移项，得2(1−3x)2＝18，则(1−3x)2＝9，直接开平方，得1-3x ＝±3, 即1-3x ＝3或1-3x ＝ -3，解得x 1＝−23，x 2＝43. 注意：（1）采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x 2＝p 或（mx ＋n ）2＝ p （p ≥0）的形式的方程，可得方程的根为x ＝±√p 或mx ＋n ＝±√p .（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p 为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正”“负”两种情况.做一做：填上适当的数，使下列等式成立.（1）x 2＋12x ＋36＝(x ＋6)2＋6)2＝ x 2+12x ＋36； （2）x 2―4x ＋4＝(x ―2)2 x ―2)2＝ x 2―4x ＋4； （3）x 2＋8x ＋16＝(x ＋4)2 ＋4)2＝x 2＋8x ＋16； （4）a 2+2ab +b 2＝( a +b )2 (a +b )2＝ a 2+2ab +b 2；教学反思（5）a 2-2ab +b 2＝( a -b )2-b )2＝ a 2-2ab +b 2.问题：上面左侧等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？老师总结：二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 对于形如 x 2+ax+(a 2)2的式子如何配成完全平方式？老师总结：x 2+ax +(a 2)2＝(x +a 2)2.将不是平方形式的方程，通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 例2：用配方法解方程：x 2＋8x ―9＝0. 分析：先把它变成（x +m )2＝n 的形式再用直接开平方法求解. 解：移项，得x 2＋8x ＝9.两边同时加上一次项系数8的一半的平方,得x 2＋8x +42＝9+42，即（x +4)2＝25.两边开平方，得x +4＝±5，即x +4＝5或x +4＝-5，所以x 1＝1，x 2＝−9.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1)移 —— 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)配 —— 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x ＋m )2＝n 的形式.(3)开 —— 如果方程的右边是非负数，即n ≥0，就可左右两边开平方得x ＋m ＝±√n ；当n <0时，原方程无解.(4)解 —— 方程的解为x ＝－m ±√n .即用配方法解方程的基本思路:把方程化为（x +n )2＝p 的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解. 问题解决： 上节课梯子底部滑动问题：x 2+12x -15＝0.（让学生仿照例2，独立解决） 解：x 2+12x －15＝0，移项，得x 2+12x ＝15.两边同时加上一次项系数12的一半的平方，得x 2+12x +62＝15+62，即(x +6)2＝51.两边开平方，得x +6＝±√51.所以x 1＝√51―6，x 2＝―√51―6(不合实际).注意：在实际问题中，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性. 课堂练习1.一元二次方程x 2-16＝0的根是( ) A.x ＝2 B.x ＝4 C.x 1＝2,x 2＝2 D.x 1＝4,x 2＝-42.一元二次方程x 2-6x -6＝0配方后为 ( ) A.(x -3)2＝15 B.(x -3)2＝3 C.(x +3)2＝15 D.(x +3)2＝33.用配方法解方程x 2-3x -3＝0时，配方结果正确的是( ) A.(x −3)2＝3 B.(x −32)2＝3 C. (x −3)2＝34 D.(x −32)2＝2144.若一元二次方程x 2+bx +5＝0配方后为(x −3)2＝k ，则b ，k 的值分别教学反思为（）A. 6，13B.6，4C.-6，4D.-6，135.用配方法解方程:(1)x2-2x＝4; (2)x2+4x-1＝0.参考答案1.D2.A3.D4.C5.解：(1)方程两边都加上1,得x2-2x+1＝5,即(x-1)2＝5，所以x-1＝±√5,所以原方程的解是x1＝1+√5，x2＝1-√5.(2)移项，得x2+4x＝1.配方,得x2+4x+4＝1+4，即(x+2)2＝5.开方，得x+2＝±√5.所以x1＝-2+√5,x2＝-2-√5.课堂小结1.配方法：x2+ax+(a2)2＝(x+a2)2.2.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：布置作业课本习题2.3 知识技能 1 问题解决2，3板书设计2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程1.配方法：x2+ax+(a2)2＝(x+a2)2.2. 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：.教学反思。
用公式法+配方法求解一元二次方程 导学案
3 用公式法求解一元二次方程第1课时1.会用配方法解一般的字母系数的一元二次方程,掌握ax2+bx+c=0(a≠0)形式的方程的解法.2.知道一元二次方程的求根公式,会用公式法解一元二次方程.3.重点:一元二次方程的求根公式.知识点一阅读教材本课时“例题”前面的内容,完成下列问题.用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0).两边都除以一次项系数a,得x2+x+=0.1.为什么可以两边都除以一次项系数a?a≠0.配方:加上再减去一次项系数一半的平方,x2+x+()2-+=0,即 (x+)2-=0,(x+)2=.2.现在可以两边开平方吗?不可以,因为不能保证≥0.3.什么情况下≥0?并完成后面的解答过程.∵a≠0,∴ 4a2>0,要使≥0,只要使b2-4ac≥0即可.4.用配方法解ax2+bx+c=0(a≠0),两边直接开平方可得x= ,这个式子称为一元二次方程的求根公式.【归纳总结】一般地,对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是知识点二阅读教材本课时“例题”及其后面的内容,完成下列问题.1.在例题第(2)小题中,方程变形为一般形式是为确定a、b、c的值.2.公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)化简:把方程化为一般形式,从而确定a、b、c的值;(2)定根:求出b2-4ac的值,并与0比较大小,判断方程是否有根;(3)代值:在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入求根公式x=,计算后得到方程的根.3.若b2-4ac <0,则求根公式无意义,即一元二次方程无实数根.【归纳总结】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根可以由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.互动探究一:若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是(A )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断互动探究二:方程x(x+3)=14的解是(B)A.x=B.x=C.x=D.x=互动探究三:已知k≠1,一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有实数根,则k的取值范围是(D)A.k≠2B.k>2C.k<2且k≠1D.k为一切不是1的实数互动探究四:关于x的一元二次方程ax2-3x-2=0有实数根,求a的取值范围.解:当a≠0时,Δ=9+8a≥0,有实数根,解得a≥-,又∵ax2-3x-2=0是一元二次方程,∴a≠0.即a≥-且a≠0.第2课时1.通过一元二次方程的建模过程,体会方程的解必须符合实际意义,增强用数学的意识,巩固用配方法解一元二次方程.2.判断一元二次方程的根符合代数意义的同时是否符合实际意义.3.重点:一元二次方程的根是否符合实际意义.知识点阅读教材本课时“习题2.6”之前的内容,完成下列问题.1.如图所示的是小明设计的方案,其中花园四周小路的宽度都相等.(1)设花园四周小路的宽度均为x m,可列怎样的一元二次方程?(16-2x)(12-2x)=×16×12.(2)一元二次方程的解是什么?x1=2,x2=12.(3)(16-2x)和(12-2x)分别表示矩形花园的长和宽,则x的取值范围是什么?解得x<6,又x>0,所以x的取值范围是0<x<6.(4)这两个解虽然都符合代数意义,但x= 12不符合实际意义.2.小亮的设计方案如图所示,其中花园每个角上的扇形都相同.(1)设花园四周小路的宽度均为x m,可列怎样的一元二次方程?πx2=×16×12.(2)一元二次方程的解是什么?x1=,x2=-.(3)符合x>0的实际意义的解是多少?x1=.3.小颖设计的方案如下:在矩形的四个角上建造花园,中间用互相垂直且宽度相同的两条通路隔开.请你帮她求出通路的宽.解:设通路的宽为x m.根据题意列方程:(16-x)(12-x)=×16×12,解得x1=4,x2=24.当x= 24时,24-x<0,所以不符合题意,舍去.【归纳总结】对于方程ax2+bx+c=0(a≠0),若Δ>0,则方程的两根x1、x2都符合代数意义,但在实际的一元二次方程应用中,符合代数意义的根不一定符合实际意义.互动探究一:如图①,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为 1 米.图①图②互动探究二:在一幅长80 cm,宽50 cm的长方形风景画的四周镶一条宽度均匀的金色纸边,制成一幅长方形挂图(如图②),若整幅挂图的面积为5400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是(80+2x)(50+2x)=5400.互动探究三:如图,利用一面长25 m的墙,用50 m长的篱笆,围成一个长方形的养鸡场.怎样才能围成一个面积为300 m2的长方形养鸡场?解:(1)设养鸡场的宽为x m,则长为(50-2x)m.由题意列方程,得x(50-2x)=300,解得x1=10,x2=15.当x1=10时,50-2x=30>25不合题意,舍去;当x2=15时,50-2x=20<25符合题意.答:当宽为15 m,长为20 m时可围成面积为300 m2的长方形养鸡场.互动探究四:小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2,他的说法对吗?请说明理由.解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm ,则另一个正方形的边长为(10-x ) cm.由题意得x2+( 10-x )2=58 .解得x1=3,x2=7.4×3=12,4×7=28.所以小林应把绳子剪成 12 cm和28 cm的两段.( 2 )假设能围成.由(1)得,x2+( 10-x )2=48 .化简得x2-10x+26=0.因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0 ,所以此方程没有实数根,所以小峰的说法是对的.2 用配方法求解一元二次方程1.会用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.2.会用配方法解一元二次方程,知道配方法的解题步骤.3.重点:会用配方法解一元二次方程.【旧知回顾】若一个数的平方等于4,则这个数是±2 ,若一个数的平方等于7,则这个数阅读教材本课时“议一议”,完成下列问题.1.根据平方根的定义填空:如果方程能够化成x2=n(n≥0)或(x+m)2=n(n≥0)的形式,那么x=±或x+m= ±.2.你会解下列一元二次方程吗?试一试.(1)x2=5;(2)2x2+3=5;(3)x2+2x+1=5;(4)(x+6)2+72=102.(1)x1=,x2=-;(2)x1=1,x2=-1;(3)x1=-1,x2=--1;(4)x1=-6,x2=--6.【归纳总结】在解上面方程的过程中,都可以将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是阅读教材本课时第一个“做一做”与“例1”,完成下列问题.1.填上适当的数,使下列等式成立.(1)x2+12x+ 36=(x+6)2;(2)x2-2x+ 1=(x- 1)2;(3)x2+8x+ 16=(x+ 4)2.2.上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系?常数项等于一次项系数的一半的平方.3.用配方法解一元二次方程的步骤:(1)将方程化为一般形式;(2)将常数项移到等号的右阅读教材本课时“例2”,完成下列问题.1.在“例2”中,第一步的作用是什么?把二次项的系数化为1.2.如果第二步移项,第三步配方,能得到方程(x+)2=吗?试一试.可以.第一步:两边都除以3,得x2+x-1=0,第二步:移项,得x2+x=1,第三步:配方,得x2+x+()2=1+()2,(x+)2=.3.完成教材本课时第二个“做一做”.当h=10时,10=15t-5t2,解这个方程,得t1=1,t2=2.因此在1秒或2秒时,小球才能达到10 m高.【归纳总结】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤:(1)将方程化为一般形式,化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;(2)配方;(3)移项,使方程变形为(x+m)2=n的形式;(4)利用直接开平方解方程即可.互动探究一:关于x的方程x2=m的解为(D)A.B.-C.±D.当m≥0时,x=±,当m<0时,方程没有实数根互动探究二:运用直接开平方法解方程:(2x-3)2=(x+2)2.解:2x-3=x+2或2x-3=-(x+2)∴x1=5,x2=.【方法归纳交流】原方程可看作(x+m)2=n的形式,运用直接开平方就可将原方程转化为两个一元一次方程,即可求解.互动探究三:用配方法证明x2-4x+5的值不小于1.证明:x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1,∵无论x取何值,(x-2)2≥0,∴(x-2)2+1≥1,即x2-4x+5的值不小于1.互动探究四:如图,在一块长92 m,宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等),水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽?解:设水渠的宽度为x m.(92-2x)(60-x)=885×6.解得x1=105(不合题意,舍去),x2=1,∴x=1.答:水渠的宽度为1 m.*互动探究五:如果多项式P=2a2-8ab+17b2-16a+4b+1999,那么P可以等于800吗?解:P=2a2-8ab+17b2-16a+4b+1999=(a2-16a+64)+(b2+4b+4)+(a2-8ab+16b2)+1931=(a-8)2+(b+2)2+(a-4b)2+1931.∵(a-8)2和(b+2)2和(a-4b)2均为非负数,∴P不能等于800.【方法归纳交流】最值问题在下册将会细讲,此处带星号稍作了解.求代数式的最值问题,需要先配方,然后再利用平方数的非负性去判断最值的情况.见《导学测评》P12。
2 用配方法求解一元二次方程 第1课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 导学案
2用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 导学案学习目标1、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，探究配方法的意义。
2、通过以前所学的开平方方法，初步了解配方法；3、牢记配方法的一般步骤.学习过程一.复习回顾：1.利用直接开平方法解下列方程（1）9x 2=1 (2)(x+3)2=52.能利用直接开平方法求解的一元二次方程具有什么特征?3.下列方程能用直接开平方法来解吗？（1）x 2+12x+36=9（2）x 2+6x-15=0二.新课学习：1.例题练习交流探讨并回答问题：（1）你会如何解此方程：x 2-6x-40=0 呢？移项，得 x 2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x 2-6x+32=40+32即 （x-3）2=49开平方，得 x-3 =±7即 x-3=7或x-3=-7所以 x 1=10,x 2=-4（2）做一做，填一填（1）x 2+2x+ =(x+ )2（2）x 2-8x+ =(x- )2（3）y 2+5y+ =(y+ )2（4）y 2-21y+ =(y- )2问题：你能从中总结出什么规律吗？2、例题学习并思考下列问题：例1: 用配方法解方程：x 2+12x-15=0解：移项得x 2+12x=15，两边同时加上62得，x 2+12x+62=15+36，即(x+6)2=51两边开平方，得x 1=651-；x 2=-651-（1）配方法的特点？（2）配方法的步骤？三.尝试应用：1、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -= 2、用配方法把方程210x x +-=化为21()2x m +=，则m= .3、用配方法解方程：x 2-23x+118=0;四.自主总结：1、配方法:通过配成 的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 .2、用配方法解一元二次方程的步骤::把常数项移到方程的右边;:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将方程左边配成完全平方式:根据平方根意义,方程两边开平方;:解一元一次方程;:写出原方程的解.五.达标测试一、选择题1．用配方法解方程x 2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）A ．（x+2）2=3B ．（x-2）2=3C ．（x-2）2=5D ．（x+2）2=52．用配方法解一元二次方程x 2－4x+3=0时可配方得（ ）A ．(x －2)2=7B ．(x －2)2=1C ．(x+2)2=1D ．(x+2)2=23．用配方法将代数式a 2+4a-5变形，结果正确的是（ ）Ａ． (a+2)2-1Ｂ．(a+2)2-5 Ｃ．(a+2)2+4 Ｄ．(a+2)2-9 二、填空题4．填上适当的数，使下面各等式成立：（1）x 2+3x+_______=(x+________)2；（2）_______-3x+14=(3x_______)2； （3）4x 2+_____+9=(2x________)2； （4）x 2-px+_______=(x-_______)2；（5）x 2+b a x+_______=(x+_______)2.5．x 2x+_____=（x-______）2．6．在横线上填上适当的数或式，使下列等式成立：（1）x 2+px+________=（x+_______）2；（2）x 2+b ax+_________=（x+_______）2 三、解答题7．用配方法解方程：（1）x 2+4x-3=0（2）x 2﹣4x+1=0．达标测试答案：一、选择题1．A ．【解析】试题分析：移项得，x 2+4x=-1，配方得，x 2+4x+22=-1+4，（x+2）2=3，故选A ．2．B 【解析】原方程化为22441,(2)1,x x x -+=-=故选B3．D 【解析】a 2+4a-5=a 2+4a+4-4-5=（a+2）2-9，故选D ．二、填空题 4．（1）93,42；（2）9x 2，12-；（3）12x ，+3；（4）2,42p p ；（5）22,42b b a a5．12；2 【解析】试题分析：根据常数项等于一次项系数一半的平方，即可得到结果。
新人教版九年级数学上册：21章一元二次方程导学案
x新人教版九年级数学上册：21．1 一元二次方程（1）导学案学习内容： 学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其相关的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式，并用这些概念解决问题．学习难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 学习过程：（阅读教材第2 至3页，并完成预习内容。
）问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程 _____________________________整理得_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。
列方程____________________________化简整理得 ____________________________ ③请口答下面问题：（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________ （2）它们最高次数分别是几次？___________方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程.这样的方程叫做一元二次方程 小结：一元二次方程的一般形式:____________________________ 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。
《解一元二次方程——配方法》 导学案
《解一元二次方程——配方法》导学案一、学习目标1、理解配方法的概念，掌握用配方法解一元二次方程的步骤。
2、会用配方法解数字系数的一元二次方程。
3、通过配方法的探究，培养逻辑思维能力和运算能力。
二、学习重点用配方法解一元二次方程。
三、学习难点配方的过程和技巧。
四、知识回顾1、一元二次方程的一般形式：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a≠0$）。
2、完全平方公式：＄（a ± b)＾2 ＝ a^2 ± 2ab ＋ b^2$。
五、探究新知（一）什么是配方法我们知道，形如$（x ＋ m)＾2 ＝ n$（＄n≥0$）的方程可以直接用开平方法求解。
那么，对于一般形式的一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝0$（＄a≠0$），能否通过变形转化为$（x ＋ m)＾2 ＝ n$的形式呢？配方法就是通过变形将一元二次方程转化为$（x ＋ m)＾2 ＝ n$的形式来求解的方法。
（二）用配方法解方程的步骤以方程$x^2 ＋ 6x 7 ＝ 0$为例：1、移项：把常数项移到方程右边，得到$x^2 ＋ 6x ＝ 7$。
2、配方：在方程两边加上一次项系数一半的平方，即加上$（＼frac{6}｛2}）＾2 ＝ 9$，得到$x^2 ＋ 6x ＋ 9 ＝ 7 ＋ 9$，即$（x ＋ 3)＾2 ＝ 16$。
3、开方：方程两边开平方，得到$x ＋ 3 ＝ ±4$。
4、求解：解这两个一元一次方程，得到$x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝－7$。
（三）典型例题例 1：用配方法解方程$x^2 4x 1 ＝ 0$解：移项，得$x^2 4x ＝ 1$配方，得$x^2 4x ＋ 4 ＝ 1 ＋ 4$，即$（x 2)＾2 ＝ 5$开方，得$x 2 ＝ ±＼sqrt{5}＄解得$x_1 ＝ 2 ＋＼sqrt{5}＄，＄x_2 ＝ 2 ＼sqrt{5}＄例 2：用配方法解方程$2x^2 ＋ 3x 2 ＝ 0$解：方程两边同时除以 2，得$x^2 ＋＼frac{3}｛2}x 1 ＝ 0$移项，得$x^2 ＋＼frac{3}｛2}x ＝ 1$配方，得$x^2 ＋＼frac{3}｛2}x ＋（＼frac{3}｛4}）＾2 ＝ 1 ＋（＼frac{3}｛4}）＾2$，即$（x ＋＼frac{3}｛4}）＾2 ＝＼frac{25}｛16}＄开方，得$x ＋＼frac{3}｛4} ＝ ±＼frac{5}｛4}＄解得$x_1 ＝＼frac{1}｛2}＄，＄x_2 ＝－2$六、课堂练习1、用配方法解方程$x^2 ＋ 8x ＋ 7 ＝ 0$2、用配方法解方程$3x^2 6x ＋ 1 ＝ 0$七、课堂小结1、配方法的概念。
公式法解一元二次方程导学案
一、预习引领1．用配方法解下列方程（1）6x 2-7x +1=0 （2）4x 2-3x =52请总结用配方法解一元二次方程的步骤： 2.如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+b x+c =0（a ≠0），请用上面配方法的步骤求出它的两根．小结:一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：()042422≥--±-=ac b aac b b x二、课堂练习：用公式法解下列方程：（1）0542=--x x （2）01322=-+x x （3）07232=-+x x(4）01842=+--x x （5）0222=-+n mx x （6）01722=++x x三、一元二次方程的根的判别式关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式是： 性质：（1）当b 2－4ac ＞0时， ；（2）当b 2－4ac ＝0时， ； （3）当b 2－4ac ＜0时，练习：1.不解方程，判别方程05752=+-x x 的根的情况。
2．若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
四、达标检测：用适当的方法解下列方程： (1) 01522=+-x x(2) 1842-=--x x(3) 02322=--x x(4)()()()0112=-++-y y y y（5）1252+=y y（6）()()213=-+y y （7）03)13(2)13(2=----x x（8）020122=+-x x（9）02452=--x x（10）0101732=++x x（11）035442=--x x（12）05)4(3)4(22=----x x五、拓展提高已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？。
数学九年级上册《配方法(1)》导学案
数学九年级上册《配方法（1）》导学案设计人：王审核人：【学习目标】1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)或（mx+n）2=p(p≥0)的方程2、灵活应用直接开平方法解一元二次方程，体会换元的数学思想及类比的学习方法。
3、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；使学生了解转化的思想在解方程中的应用。
【学习重点】掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
【学习难点】理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。
【学习方法】通过自学明白如何用直接开平方法解一元二次方程，以及应用直接开平方法解一元二次方程应满足什么条件。
研学中通过释疑解难灵活运用所学知识解答相应题目，明确考点，学以致用。
自学阅读课本第5页至第6页练习部分，完成下列问题：1.问题1中的方程x2=5等号左边是什么，等号右边是什么？2、解方程x2=5时方程两边同时经过什么运算？用这种方法解一元二次方程的依据是什么？3、解方程（x+3）2=5运用了什么数学思想和数学学习方法？4.完成课本第5页练习我自学中的困惑：研学1.将自学内容中的收获与困惑与同伴交流。
2.能力提升形如x2=p(p≥0)或（mx+n）2=p(p≥0)的方程有几个解？中考聚焦（2011年柳州中考试题）解方程:x2-4=0示学展示一：展示自学部分问题较多的题目。
展示二：展示研学能力提升。
检学必做题：解下列方程：（1）（x+2）2 =3 （2）（2x+3）2-5=0选做题1、已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（）A n=0B m、n异号C n是m的整数倍D m、n同号2、一个正方形的面积是100cm2，求这正方形的边长是多少？小结1、本节课我的收获：2、本节课的优秀小组：优秀个人：3.本节课用到了哪些数学思想方法？课时作业1、若x2-6x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=9，q=3 B．p=9，q=-3 C．p=-9，q=3 D．p=-9，q=-32、方程x2+4=0的根为（）．A．2 B．-2 C．±2 D．无实数根。
配方法导学案
课题：2.2配方法（第1课时）【学习目标】1．会用开平方法解一元二次方程；理解配方的概念并掌握配方的技巧；2．通过自主探索和小组合作，会运用配方法解一元二次方程，理解解法中“降次”的思想；3．激情投入，全力以赴学习，在不断的探索中享受学习的快乐。
【使用说明和学法指导】1．认真阅读、探究课本基础知识，并借助导学案自主学习，理解配方的概念并掌握配方的技巧。
2．认真完成导学案的各项探究、解决各个问题；3．初步评价自己完成学习目标情况，并把自己的疑问说出来，以求课堂上解决。
一、探究新知：知识点1 直接开平方法解一元二次方程：求一个非负数的平方根：如果92=x ，则x =_______；如果52=x ，则x =_______. 试求下列方程的根：(1) 0162=-x (2)072=-x提示：当满足方程的根不止一个时，为了区分，应把方程的根写为1x 、2x 的形式。
一般情况下，方程根的个数与其次数一样。
探究1：对于方程4)3(2=+x ，你能用上面的方法求解吗？你是如何解的？知识点2 配方法解一元二次方程完全平方式——形如222b ab a +±的二次三项式。
填上适当的式子，使下列等式成立：（1）22(________)12=++x x ； （2）22(________)96=+-x x（3）22)6(_____12+=++x x x ； （4）22)5(______10-=+-x x x（5）22____)(______4-=+-x x x ； （6）22____)(_____8+=++x x x探究2：1.观察上面式子，左边的二次三项式中，常数项和一次项系数有什么关系？你能将0142=+-x x 化成左边为完全平方式的方程吗？2.解方程：0982=-+x x 提示：将一元二次方程化成n m x =+2)(的形式，一边是个完全平方式，另一边是一个常数，当n ≥0时，两边开平方即可求解。
解：移项得(把常数项移到方程另一边)：配方(两边都加上一次项系数一半的平方)，得：即：开平方得：∴_______________,21==x x 二、看看谁最棒用配方法解下列一元二次方程：(1)725102=+-x x (2)162=+x x(3)08142=--x x (4)48222+=++x x x三、活学活用如图1，在一块长35m 、宽26m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为8502m ，道路的宽应为多少？若将图1中的道路修建成如图2的形状，结果是否相同？四、问问你自己用配方法解一元二次方程的步骤，解决实际问题应注意根的实际意义。
配方法1导学案
11.用配方法求解下列问题 （1）求 2x2-7x+2 的最小值 ； （2）求-3x2+5x+1 的最大值。
反 思
=(x+3)2 x2+8x+
=(x+
)2 x2-12x+
=(x-
)2
x2-
2 x+ 5
=(x-
)2
.
自主学习
问题 2：要使一块长方形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16m2，场地的长和宽各是多 通 过 预 少？ 习，我掌 若设场地宽为 xm,长为(x+6)m,则有 x(x+6)=16 即 x2+6x-16=0 握了： 思考：1、x2+6x-16=0, 利用直接开平方能解吗？ 2、观察右侧框图，理解框图中的每一步 x2+6x-16=0 在框图中第二步为什么两边加 9？ 移项
解一元二次方程------配方法 第 2 课时 时间 9 月 7 日 年级 九年级 主备教师王波 班级 ＿＿姓名
知识升华： 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长 25m),另外三边用木栏围 成,木栏长 40m. (1) 鸡场的面积能达到 182m2 吗? (2) 鸡场的面积能达到 200m2 吗? (3) 鸡场的面积能达到 250m2 吗? 如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
当堂检测 1．用适当的数填空： ①x2+6x+ =（x+ ）2 ②x2－5x+ =（x－ ）2③x2+ x+ =（x+ ）2 ④x2－9x+ =（x－ ）2 2．将二次三项式 2x2-3x-5 进行配方，其结果为_________． 3．已知 4x2-ax+1 可变为（2x-b）2 的形式，则 ab=_______．
用配方法解一元二次方程学案
用配方法解一元二次方程导学案（第一课时）主备人：刘凌云审核人：学习目标：1．会用开平方法解形如（x＋m）2＝n(n≥0)的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型,增强学生运用数学的意识和能力．3．体会转化的数学思想方法．4．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．学习重点、难点重点：利用配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程通过配方转化为（x＋m）2＝n(n≥0)的形式．一、课前预习（提出实际问题，让学生用数学知识解决问题）用彩灯围成一个面积为24平方米的长方形舞台，若要长比宽多2米，那么舞台的长和宽，该如何确定的呢？设计意图：利用现实生活问题，不仅能够生动自然引出我们要解决的数学问题，更重要的是学生们感兴趣，可以激发他们的热情，为下一步探究营造了轻松愉悦的氛围。
若想求出舞台的长和宽，需解方程x2 + 2x-24=0 （学生解方程有困难，教师需引导。
）前面我们可求出了x2 + 2x-24=0方程中x的近似值，你能求出它的精确值吗？今天就学习用配方法解一元二次方程．二、课内探究1．自主学习师：你都会解哪些简单的一元二次方程？（请同学自由回答）生：例如x2=4 (x+3)2=9x=±2 x+3=±3x1=0 x2= - 6师：形如x2=4、(x+3)2=9 的一元二次方程有什么特点呢？你是如何解它们的？（独立思考后，与同桌互相交流）生：方程都可以写成(x+m)2=n(n≥0) 的形式。
两边开平方便可求出方程的解。
2．合作探究师：方程x2+8x-9=0 该如何解呢？（停顿，留给学生时间思考。
若仍没有学生想到办法，教师进一步引导。
）师：方程x2+10x＋25=16(x+5) 2 =16x+5=±4x1= -1 x2= - 9师：看来将一个一般形式的一元二次方程,转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式利用开平方法就可以求解。
配方法解一元二次方程教案
配方法解一元二次方程教案教学目标：1. 学生通过学习本课，能够掌握一元二次方程的基本定义。
2. 学生能够掌握一元二次方程的解法，包括配方法。
3. 学生能够运用所学知识解决实际问题。
教学重点：1. 掌握一元二次方程的配方法解法。
2. 能够正确运用配方法解决相关题目。
教学难点：1. 学生理解和掌握一元二次方程的配方法。
2. 学生能够运用配方法解决复杂的一元二次方程。
教学准备：教师准备好课件、黑板、白板、笔等。
教学过程：一、导入（5分钟）通过提问的方式复习一元二次方程的基本定义以及解法，引出配方法的概念。
二、讲解（15分钟）1. 介绍配方法的基本思路：将一元二次方程转化为完全平方的形式，然后求解。
2. 详细讲解配方法的步骤：a. 将一元二次方程化为标准形式：$ax^2+bx+c=0$。
b. 将方程两边同时乘以$a$，得到$ax^2+bx+c=0$。
c. 将方程两边同时加上$b^2-4ac$，得到$ax^2+bx+b^2-4ac+c=0$。
d. 将方程进行因式分解，得到$(x+\frac{b}{2a})^2=b^2-4ac$。
e. 从而得到解$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
三、练习（25分钟）1. 在黑板上出示几道配方法的练习题，由学生进行解答。
2. 学生个别或小组合作完成几道配方法的练习题。
四、巩固与拓展（15分钟）1. 出示一些较为复杂的一元二次方程题目，由学生进行解答。
2. 引导学生思考一元二次方程的实际应用问题，例如抛物线的问题等。
3. 学生能够自由发挥，找出解决一元二次方程问题的方法。
五、小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，帮助学生巩固知识点。
教学反思：本课采用了导入、讲解、练习、巩固与拓展、小结的教学方法，使学生在掌握配方法解一元二次方程的基本思路和步骤的同时，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
《一元二次方程的解法》 导学案
《一元二次方程的解法》导学案一、学习目标1、理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式。
2、熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程。
3、能根据方程的特点，灵活选择合适的解法，提高解题能力。
二、学习重难点1、重点（1）一元二次方程的四种解法。
（2）选择合适的方法解一元二次方程。
2、难点（1）配方法的理解和运用。
（2）公式法中求根公式的推导和应用。
三、知识回顾1、什么是方程？含有未知数的等式叫做方程。
2、我们学过哪些方程？一元一次方程、二元一次方程等。
四、一元二次方程的概念1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
2、一般形式：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a≠0$），其中$ax^2$是二次项，＄a$是二次项系数；＄bx$是一次项，＄b$是一次项系数；＄c$是常数项。
五、一元二次方程的解法1、直接开平方法（1）适用条件：方程形如$x^2 ＝ p$（＄p≥0$）或$（x ＋ m)＾2 ＝ n$（＄n≥0$）。
（2）解法：对于$x^2 ＝ p$，直接开平方得$x ＝ ±＼sqrt{p}＄；对于$（x ＋ m)＾2 ＝ n$，开平方得$x ＋ m ＝ ±＼sqrt{n}＄，即$x ＝ m ±＼sqrt{n}＄。
例如：解方程$x^2 ＝ 9$，解得$x ＝ ±3$；解方程$（x 2)＾2 ＝16$，＄x 2 ＝ ±4$，＄x ＝ 2 ± 4$，即$x_1 ＝ 6$，＄x_2 ＝－2$。
2、配方法（1）步骤：①移项：把常数项移到方程右边；②二次项系数化为 1：方程两边同时除以二次项系数；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④写成完全平方式：＄（x ＋ m)＾2 ＝ n$的形式；⑤直接开平方求解。
例如：解方程$x^2 ＋ 4x 5 ＝ 0$移项得：＄x^2 ＋ 4x ＝ 5$二次项系数化为 1 得：＄x^2 ＋ 4x ＋ 4 ＝ 5 ＋ 4$配方得：＄（x ＋ 2)＾2 ＝ 9$开平方得：＄x ＋ 2 ＝ ±3$解得：＄x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝－5$3、公式法（1）求根公式：对于一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝0$（＄a≠0$），其求根公式为$x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。
解一元二次方程——配方法导学案(新版新人教版)
解一元二次方程——配方法导学案（新版新人教版）第3课时解一元二次方程-配方法一、学习目标1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤；．学会利用配方法解一元二次方程.二、知识回顾1．形如的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+=±从而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.．如果方程能化成x2＝p或2＝p的形式,那么利用直接开平方法可得x＝±或x＋n=±．三、新知讲解1．配方法的依据配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式及直接开平方法．．配方法的步骤化——化二次项系数为1如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1.移——移项通过移项使方程左边为二次项和一次项右边为常数项配——配方在方程两边都加上一次项系数一半的平方根据完全平方公式把原方程变为的形式．解——用直接开平方法解方程.四、典例探究．配方法解一元二次方程【例1】用配方法解下列方程时，配方有错误的是A．x2﹣2x﹣99=0化为2=100B．x2+8x+9=0化为2=25 c．2t2﹣7t﹣4=0化为2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为2=总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：把二次项的系数化为1；把常数项移到等号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．用直接开平方法解这个方程.练1用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0；3x2+8x-3=0；x=120.．用配方法求多项式的最值【例2】当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.练2用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．练3已知a、b、c为△ABc三边的长．求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．当a2+2b2+c2=2b时，试判断△ABc的形状．五、课后小测一、选择题．若把代数式x2﹣2x+3化为2+形式，其中，为常数，结果为A．2+4B．2+2c．2+4D．2+2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为A．2=17B．2=15c．2=17D．2=17或2=17二、填空题．一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为2=1，则a=．．当x=时，代数式3x2﹣6x的值等于12．三、解答题．用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．．试说明：不论x，y取何值，代数式x2+4y2﹣2x+4y+5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？．阅读下面的材料并解答后面的问题：小李：能求出x2+4x﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下：因为x2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=﹣=2﹣7而2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．问题：小华的求解过程正确吗？你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程．．阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣2+4∵2≥0∴2+4≥4∴y2+4y+8的最小值为4仿照上面的解答过程，求2++4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．．已知代数式x2﹣2x﹣2+5﹣5的最小值是﹣23，求的值．0．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣32≤0，所以﹣32+6≤6，即﹣32+6有最大值6，此时a=﹣1．①当x=时，代数式﹣22+3有最值为．②当x=时，代数式﹣x2+4x+3有最值为．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？典例探究答案：【例1】【解析】配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴2=100，故A选项正确．B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴2=7，故B选项错误．c、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴2=，故c选项正确．D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴2=．故D选项正确．故选：B．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．练1．【解析】移项，得x2﹣2x=24，配方，得：x2﹣2x+1=24+1，即：2=25，开方，得：x﹣1=±5，∴x1=6，x2=﹣4．两边除以3，得：,移项，得：，配方，得：，即：，开方，得：∴整理，得：，配方，得：，即：，开方，得：∴点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．【例2】【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=2+2﹣4，又∵2+2的最小值是0，∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．点评：本题考查配方法的应用；根据﹣4y，4x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．练2．【解析】将﹣8x2+12x﹣5配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a2≥0这一性质即可证得．解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8﹣5=﹣8[x2﹣x+2]﹣5+8×2=﹣82﹣，∵2≥0，∴﹣82≤0，∴﹣82﹣＜0，即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．练3．【解析】将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；将等式右边的项移至左边，然后配方即可．解：a2﹣b2+c2﹣2ac=2﹣b2=∵a、b、c为△ABc三边的长，∴＞0，＜0，∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．由a2+2b2+c2=2b得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0配方得：2+2=0∴a=b=c∴△ABc为等边三角形．点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方．课后小测答案：一、选择题．【解析】二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方．解：x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=2+2．故选：B．点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．．【解析】先移项，得x2﹣8x=1，然后在方程的左右两边同时加上16，即可得到完全平方的形式．解：移项，得x2﹣8x=1，配方，得x2﹣8x+16=1+16，即2=17．故选A．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，对多项式进行配方，不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于二次函数和判断代数式的符号等，应熟练掌握．二、填空题．【解析】利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值．解：∵2=x2﹣6x+9，∴a=9；故答案为：9．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．．【解析】根据题意列出方程，两边除以3变形后，再加上1配方后，开方即可求出解．解：根据题意得：3x2﹣6x=12，即x2﹣2x=4，配方得：x2﹣2x+1=5，即2=5，开方得：x﹣1=±，解得：x=1±．故答案为：1±．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三、解答题．【解析】按照配方法的一般步骤计算：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，配方得2=5，∴x﹣1=±，∴x1=1﹣，x2=1+．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．．【解析】原式利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．解：原式=x2﹣2x+1+4y2+4y+1+3=2+2+3≥3，当x=1，y=﹣时，x2+4y2﹣2x+4y+5有最小值是3．点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．．【解析】对于x2+4x﹣3和x2﹣3x+4都是同时加上且减去一次项系数一半的平方．配成一个完全平方式与常数的和，利用完全平方式为非负数的性质得到原代数式的最小值．解：正确能．过程如下：x2﹣3x+4=x2﹣3x+﹣+4=2+∵2≥0，所以x2﹣3x+4的最小值是．点评：此题考查配方法的运用，配方法是常用的数学思想方法．不仅用于解方程，还可利用它解决某些代数式的最值问题．它的一个重要环节就是要配上一次项系数一半的平方．同时要理解完全平方式的非负数的性质．．【解析】多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．解：2++4=2+，∵2≥0，∴2+≥．则2++4的最小值是；﹣x2+2x=﹣2+5，∵﹣2≤0，∴﹣2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5．点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．．【解析】先将原式变形为x2﹣2﹣2+5﹣5=2﹣22+5﹣5，由非负数的性质就可以求出最小值．解：x2﹣2﹣2+5﹣5=2﹣22+5﹣5．∵代数式x2﹣2﹣2+5﹣5的最小值是﹣23，∴﹣22+5﹣5=﹣23解得=﹣2或=点评：本题考查了配方法的运用，非负数的性质，一个数的偶次幂为非负数的运用．解答时配成完全平方式是关键．0．【解析】①由完全平方式的最小值为0，得到x=1时，代数式的最大值为3；②将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；③设垂直于墙的一边长为x，根据总长度为16，表示出平行于墙的一边为，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x 的值．解：①∵2≥0，∴当x=1时，2的最小值为0，则当x=1时，代数式﹣22+3的最大值为3；②代数式﹣x2+4x+3=﹣+7=﹣2+7，则当x=2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；③设垂直于墙的一边为x，则平行于墙的一边为，∴花园的面积为x=﹣2x2+16x=﹣2+32=﹣22+32，则当边长为4米时，花园面积最大为322．故答案为：①1；大；3；②2；大；7点评：此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．。
一元二次不等式解法(1)导学案
3.2 一元二次不等式（第1课时）学习要求1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系2．会解简单的一元二次不等式及简单应用．【课堂互动】自学评价1．一元二次不等式的一般形式：．例1.解下列不等式(1)x2－7x+12>0 (2)－x2－2x+3≥0(3)x2－2x+1<0 (4)x2－2x+2<0总结归纳：1.思考：当a<0时，怎么办呢？（转化与化归思想）2.解集就是解的集合，所以不等式的解集要用集合的形式表示（有时区间也可以）3.解不等式的关键就是找到方程的根，在数轴标根，画草图就可以4.解一元二次不等式的步骤：一看x2系数，二求方程的根，三看图写出结论。
例2：解下列不等式(1).1<x2－3x+3≤7 (2)(x2+4x-5)(x2-2x+2)>0(2)(x2+4x-5)(x2-4x+4)>0 (4)x4-x2-6≥0(5) +4-1x x >0 (6) -3+7x x ≤0总结归纳：分式不等式的解法：（1）分式不等式的基本形式：）（或00)()(<>x g x f ；）（或00)()(≤≥x g x f （2）常规解法：把相除变成相乘即：⇔>0)()(x g x f ⇔≥0)()(x g x f 例3：不等式ax 2+bx+2<0的解集为{x| －12<x<13}, 求a －b ．知识拓展：理解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，是解决本例题的关键。
“三个二次”的关系：（关键是函数的图像：抛物线）设一元二次方程的根为21,x x （有根的情况下）则一元二次函数的零点为21,x x ；一元二次不等式解集的端点就是21,x x追踪训练1.解下列不等式；；；．2.解不等式．3.已知关于x的不等式．若不等式的解集为或，求k的值；若不等式的解集为，求实数k的取值范围．4.已知关于x的不等式的解集为．求实数a，b的值；解关于x的不等式：．。
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3.2用配方法解一元二次方程（1）导学案
一、学习目标
知识与技能：
1、会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程；
2、会用因式分解法解简单的一元二次方程。
3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用。
4、使学生经历探索解一元二次方程的过程。
过程与方法：
在具体问题中感受方程作为刻画现实世界的有效模型的意义。
感情态度与价值观：
在共同探究问题中学会学习，树立自信心。
二、学习重点
掌握直接开平方法，渗透转化思想。
三、学习难点
是怎样的一元二次方程适用于直接开平方法，并理解一元二次方程有两个实数根，也可能无实数根。
四、学习过程
（一）复习练习：
1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。
（1）（2）
（3）
2、要求学生复述平方根的意义。
（1）文字语言表示：如果一个数的平方等于，这个数叫的平方根。
（2）用式子表示：若，则叫做的平方根。
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根。
（3） 4 的平方根是，81的平方根是， 100的算术平方根是。
（二）学习过程
活动一：自主探究，合作交流
试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4；（2）x2－1＝0;
活动二：探索新知
概括
对于第（1）个方程，有这样的解法：
方程x2＝4，
意味着x是4的平方根，所以 ,
即x= 2.
这种方法叫做直接开平方法.
对于第（2）个方程，有这样的解法：
将方程左边用平方差公式分解因式，得
（x－1）（x＋1）＝0，
必有x－1＝0，或x＋1＝0,
分别解这两个一元一次方程，得 x1＝1，x2＝－1.
这种方法叫做因式分解法.
思考
（1）方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？
（2）方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？
活动三：运用新知解决问题
做一做：
试用两种方法解方程x2－900＝0.
活动四、挑战自我
解下列方程：
（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0 ; （3）x2＝169；（4）45－x2＝0；
（5）12y2－25＝0；（6）4x2+16＝0
五、归纳总结，形成知识网络
通过这节课的学习你有哪些收获？
六、作业布置
课本81页练习题1、2。