因式分解法解一元二次方程__导学案
因式分解法导学案—2025学年人教版数学九年级上册
第21 章一元二次方程（5）——因式分解法一、复习回顾：1、解下列方程x²−7=0x²−2x−3=03x2−2√3x+2=02、因式分解的常见方法有那些?二、新知探究：从小学的知识我们知道：如果a·b=0；那么根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度为10x-4.9x²,根据上述规律，要求物体经过多少秒落回地面? 即高度为0m时，可列方程：10x−4.9x²=0由上可知，解一元二次时也可以不通过开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再得到两个一元一次方程，从而实现降次。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
三、典例分析：例1、解下列方程(1)2x²+3x=0 (2) x(x--2)+x-2=0 (3)5x2−2x−14=x2−2x+34注意：用因式分解法必须保证方程右边；一般当方程比较繁杂时，我们可以先将方程四、巩固练习：解下列方程(1)x²+x=0(2)x2−2√3x=0 (3) 3x(2x+1)=4x+2(4)3x²−6x=−3(5)4x²−121=0(6)x²+x−2=0五、拓展提升：例2、解方程((x−4)²=(5−2x)²(多种方法解)六、知识小结：1、解一元二次方程有哪些方法?2、如何尝试用因式分解法解一元二次方程? (因式分解法的选择)中午作业：1、解方程(1)x²+9x=0(2)x²+9=6x(3)(2+x)²−9=0(4)3x(x−2)=2(2−x) (5)(x−2)(x+3)=−6(6)(x−1)2=(2x−3)2(7)x²−x−6=0(8)x²−5x+6=02、若一个多边形共有20条对角线，求这是个几边形?。
用因式分解法求解一元二次方程导学案
用因式分解法求解一元二次方程导学案一、学习目标1、理解因式分解法解一元二次方程的概念。
2、掌握用因式分解法解一元二次方程的一般步骤。
3、能够熟练运用因式分解法求解简单的一元二次方程。
二、学习重点1、用因式分解法解一元二次方程的条件。
2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤。
三、学习难点1、如何通过观察方程的特点，选择合适的因式分解方法。
2、理解因式分解法解一元二次方程的原理。
四、知识回顾1、什么是一元二次方程？一般形式是什么？一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程。
一般形式为：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ≠ 0$）。
2、我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？直接开平方法和配方法。
3、什么是因式分解？把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。
五、新课导入我们已经学习了直接开平方法和配方法来解一元二次方程，今天我们将学习一种新的解一元二次方程的方法——因式分解法。
六、探究因式分解法解一元二次方程（一）思考：如果$ab ＝ 0$，那么$a$和$b$的值可能是多少？因为$0$乘以任何数都得$0$，所以当$ab ＝ 0$时，＄a ＝ 0$或$b ＝0$。
（二）观察下面的方程：＄（x 2)（x ＋ 3) ＝ 0$因为两个因式的乘积为$0$，所以$x 2 ＝ 0$或$x ＋ 3 ＝ 0$解得$x_1 ＝ 2$，＄x_2 ＝－3$（三）一般地，如果$a ＼times b ＝ 0$，那么$a ＝ 0$或$b ＝ 0$，这就是说，当一个一元二次方程的一边是$0$，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解的方法求解。
这种用因式分解解一元二次方程的方法称为因式分解法。
七、因式分解法解一元二次方程的一般步骤1、将方程右边化为 0。
2、将方程左边因式分解。
3、令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程。
4、解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
《用因式分解解一元二次方程》教案
《用因式分解解一元二次方程》教案用因式分解解一元二次方程教案目标本教案旨在介绍如何使用因式分解的方法解一元二次方程。
知识回顾在开始讲解因式分解解一元二次方程之前，让我们先回顾一下相关的知识点：- 一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数且a≠0。
- 一元二次方程的解可以分为实数解和虚数解，实数解可以进一步分为有理数解和无理数解。
解题步骤接下来，我们将介绍使用因式分解解一元二次方程的步骤：步骤1：将一元二次方程化为标准形式（即将方程中的项按次数降序排列）。
步骤2：确定方程中的a、b和c的值。
步骤3：使用因式分解将方程进行分解。
步骤4：令因式中的每一个部分等于0，解方程得到各个因式对应的解。
步骤5：将得到的解进行验证，即代入原方程中检验是否满足。
实例演练下面我们通过一个实例来演示如何使用因式分解解一元二次方程：实例：解方程x^2 - 5x + 6 = 0步骤1：将方程化为标准形式，得到x^2 - 5x + 6 = 0。
步骤2：确定a、b和c的值，得到a = 1，b = -5，c = 6。
步骤3：使用因式分解将方程进行分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
步骤4：令因式中的每一个部分等于0，解方程得到x - 2 = 0和 x - 3 = 0。
步骤5：求解得到x = 2 和 x = 3，将这些解代入原方程验证是否满足。
总结因式分解是解一元二次方程的一种常用方法，通过将方程进行因式分解，可以得到方程的解。
在使用因式分解解一元二次方程时，我们需要依次进行化简、确定值、分解、解方程和验证等步骤。
通过实例的演练，我们可以更好地理解和掌握这一方法。
希望本教案对你有所帮助！。
《用因式分解法解一元二次方程》教案
《用因式分解法解一元二次方程》教案【学习目标】1．会用因式分解法解某些一元二次方程．2．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根．【主体知识归纳】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6．(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0．∴x 1＝0，x 2＝23． 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0；(6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．(2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27．(3)移项，得3x 2－4x －1＝0，∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1， ∴x ＝37232)1(34)4()4(2±=⨯-⨯⨯--±--，∴x 1＝372+，x 2＝372-． (4)移项，得y 2－2y －15＝0，把方程左边因式分解，得(y －5)(y ＋3)＝0；∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．(5)将方程左边因式分解，得(x －3)［5x －(x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0，∴x －3＝0或4x －1＝0，∴x 1＝3，x 2＝41． (6)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，［2(3x ＋1)］2－［5(x －2)］2＝0，［2(3x ＋1)＋5(x －2)］·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0，(11x －8)(x ＋12)＝0，∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝118，x 2＝－12． 说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0．当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0．(2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0，∵a ＋b ≠0且a －b ≠0，∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba b a -+． 说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例4:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值． 剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y 13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--． 当x ＝－y 时，21y 4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2． 说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用．【同步达纲练习】1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0； (8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x 2－4x ＋3＝0； (2)(x －2)2＝256； (3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2－2x －3＝0； (5)(2t ＋3)2＝3(2t ＋3)；(6)(3－y )2＋y 2＝9；(7)(1＋2)x 2－(1－2)x ＝0；(8)5x 2－(52＋1)x ＋10＝0；(9)2x 2－8x ＝7(精确到0．01)；(10)(x ＋5)2－2(x ＋5)－8＝0．5．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．6．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx y x +-的值．7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．8．请你用三种方法解方程：x (x ＋12)＝864．9．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系式h ＝－5(t －2)(t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2．(1)t 1＝－7，t 2＝4(2)x 1＝－21，x 2＝－2(3)y 1＝－1，y 2＝－23(4)x 1＝－m ，x 2＝－n (5)x 1＝5，x 2＝－1 3．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－21，x 2＝21；(3)x 1＝0，x 2＝7；(4)x 1＝7，x 2＝－3；(5)x 1＝－5，x 2＝3；(6)x 1＝－1，x 2＝31； (7)x 1＝53，x 2＝－21；(8)x 1＝8，x 2＝－2． 4．(1)x 1＝1，x 2＝3；(2)x 1＝18，x 2＝－14；(3)x 1＝253+，x 2＝253-；(4)x 1＝3，x 2＝－1； (5)t 1＝0，t 2＝－23；(6)y 1＝0，y 2＝3；(7)x 1＝0，x 2＝22－3； (8)x 1＝55，x 2＝10；(9)x 1≈7.24，x 2＝－3.24；(10)x 1＝－1，x 2＝－7． 5．(1)x 2－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，(x －2a )2＝(a －1)2，∴x －2a ＝±(a －1)，∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2－5k －6＝0，x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0，［x －(k ＋1)］［x －(k －6)］＝0，∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2∴x1＝4m ，x 2＝－2m(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0，(x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0，∴x1＝－m ，x 2＝－m －16．(x ＋4y )(x －y )＝0，x ＝－4y 或x ＝y 当x ＝－4y 时，y x y x +-＝3544=+---y y y y ； 当x ＝y 时，y x y x +-＝y y y y +-＝0． 7．(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0，(x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0，(x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0，∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去)8．x1＝－36，x 2＝249．∵x 2＋3x ＋5＝9，∴x 2＋3x ＝4，∴3x 2＋9x －2＝3(x 2＋3x )－2＝3×4－2＝1010．10＝－5(t －2)(t ＋1)，∴t ＝1(t ＝0舍去)11．(1)x1＝－2，x 2＝2(2)(x 2－2)(x 2－5)＝0，(x ＋2)(x －2)(x ＋5)(x －5)＝0。
因式分解法解一元二次方程【学案】
学习过程复习预习1．复习提问如果a×b=0，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．即a=0或者b=0。
2．复习：将下列各式分解因式。
(1)5X2-4X (2)X2-4X+4 (3)4X(X-1)-（X-1）(4) X2-4 (5)X2+4X+3(6）X2-3X+2一、知识讲解考点1提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．考点2运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．考点3平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)三例题精析【例题1】【题干】解方程x-2＝x（x-2）【答案】 x1＝2，x2＝1．【解析】解：原方程可化为x-2-x（x-2）＝0．（x-2）（1-x）＝0∴ x-2＝0或1-x＝0．∴ x1＝2，x2＝1．【题干】（2011•泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2【答案】C【解析】考点：解一元二次方程－因式分解法。
专题：计算题。
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．解答：解：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．【题干】（2011湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x－1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x－2）2+3B、（x+2）2－4C、（x+2）2－5D、（x+2）2+4【答案】C．【解析】考点：配方法的应用．专题：配方法．分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．解答：解：x2+4x－1=x2+4x+4－4－1=x+22－5，故选C．点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．【题干】（2011•柳州）方程x2﹣4=0的解是（）A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4【答案】C．【解析】考点：解一元二次方程－直接开平方法。
因式分解法--解一元二次方程导学案
因式分解法-----解一元二次方程姓名______________学号________________学习目标: 1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解 法解某些一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵 活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.活动一，温故知新 1.将下列各题因式分解 am+bm+cm= ; a 2-b 2= ; a 2±2ab+b 2= ;1832--x x _______2.如果a ·b=0，那么a=_____或b=______，3.解下列方程：(1)x 2+2x=0(用配方法)； (2)3x 2+6x=0(用公式法).活动二，探究新知仔细观察上面两个方程的特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？请你任选一个方程试试看，相信自己一定能行的。
归纳：于是我发现（1）对于一个左边易于因式分解，而右边是零的一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________，这种解法叫做__________________。
（2）如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。
比如：如果(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或_______，即1x=-或________。
练一练：说出下列方程的根： （1）(8)0x x -= _______________ （2）(31)(25)0x x +-=_________________ 活动三，运用新知 用因式分解法解下列方程：(1) x 2-4x=0 (2) 4x 2-49=0 (3) 5x 2-20x+20=0 （4）01452=--x x(5)(2)20x x x -+-= （6）3(21)42x x x +=+ (7) 2(5)315x x +=+ （8）(2x-1)2=(3-x)2思考：你解方程的方法是如何使二次方程降为一次的？请你说说你的做法。
12.2用因式分解法解一元二次方程教学案
12. 2用因式分解法解一元二次方程教学案（一）一、素质教育目标（一）知识教学点：1.正确理解因式分解法的实质.2.熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程.（二）能力训练点：通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神.（三）德育渗透点：通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想.二、教学重点、难点、疑点及解决方法1.教学重点：用因式分解法解一元二次方程.2.教学难点’正确理解AB = 0 A=O=J（B = 0 （A. B表示两个因式）3.教学疑点：理解“充要条件”、“或”、“且”的含义.三、教学步骤（一）明确目标学习了公式法，便可以解所有的一元二次方程.对于有些一元二次方程，例如（X—2）（x+ 3）= 0,如果转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为X— 2 = 0或x+ 3 = 0,解起来就变得简单多了•即可得X i = 2, X2= -3.这种解一元二次方程的方法就是本节课要研究的一元二次方程的方法一一因式分解法.（二）整体感知所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式.如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零.用因式分解法更为简单.例如：x2+ 5x + 6= 0,因式分解后(x+ 2) (x+ 3)=0,得x+ 2 = 0 或x+ 3= 0, 这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解.可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键.“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据.方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件.满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单.(三)重点、难点的学习与目标完成过程1.复习提问Cl) AB=O^A=0或B = Q•语宫表述；如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零.反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零.“或”有下列三层含义①A= 0且B M 0②心0且B= 0③A= 0且B= 0C2) (K -2) 3)= 0 K -2 = 0或盘+3=0・2.例1解方程x2+ 2x= 0.解：原方程可变形x (x+ 2)= 0……第一步二x= 0或x+ 2= 0……第二步X i=0, X2=-2.教师提问、板书，学生回答.分析步骤(一)第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”.分析步骤(二)对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．例2用因式分解法解方程X2+ 2x—15= 0.解：原方程可变形为(x+ 5)(x-3)= 0.得，x+ 5= 0 或x-3= 0.二x i = -5, X2 = 3.教师板演，学生回答，总结因式分解的步骤：(一)方程化为一般形式；(二)方程左边因式分解；(三)至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；(四)两个一元一次方程的解就是原方程的解.练习：P. 22 中 1 、2.第一题学生口答，第二题学生笔答，板演. 体会步骤及每一步的依据.例 3 解方程3( x-2) -x( x-2)= 0.解：原方程可变形为( x-2)( 3-x)= 0.二x-2= 0 或3-x= 0.二X i = 2, X2= 3.教师板演，学生回答.此方程不需去括号将方程变成一般形式.对于总结的步骤要具体情况具体分析.练习P. 22 中3.(2)(3x+ 2) 2=4 (x-3) 2.解：原式可变形为(3x+ 2) 2-4 (x-3) 2= 0.[(3x+2)+ 2 (x-3) ][ (3x+ 2) -2 (x-3) ]= 0即：(5x-4)(x+ 8) =0.5x-4= 0 或x + 8= 0.4 “学生练习、板演、评价.教师引导，强化.练习：解下列关于x的方程1.X2 4-(5-72)x-5^/2 = 0；2.1?十X-715=0;3.H3+ x-2-/2 = Q；4.K2- (3+和任)ir-v'is =0J5.2x2 +〔厶疗+ D x-^3 = 0t6.(4x+ 2) 2= x (2x + 1).学生练习、板演.教师强化，引导，训练其运算的速度.练习P. 22中4.(四)总结、扩展1.因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.”四、布置作业教材P. 21中A1、2.教材P. 23中B1、2 (学有余力的学生做).2.因式分解法解一元二次方程的步骤是：(1)化方程为一般形式；(2)将方程左边因式分解；(3)至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解.但要具体情况具体分析.3.因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了次”转化为“一次”的过程.五、板书设计12. 2用因式分解法解一元二次方程(一)一・」.例例1.…… 2……二、因式分解法的步骤(1)……练习:(2)…… …(3)……(4)……但要具体情况具体分析六、作业参考答案教材P. 21中A1(1)X1=-6, x2=-1(2)X1=6, X2=-1(3)y i=15, y2=2(4)y i=12, y2=-5(5)x i=1, x2=-11,(6)x i=-2, x2=14 教材P. 21中A2略(1)解：原式可变为：(5mx-7)5mx-7=0 或mx-b = 0又T m工07.-Ki --- ---1 5m2巾=一m(2)解：原式可变形为(2ax+ 3b) (5ax-b)= 02ax + 3b= 0或5ax-b= 0•/ a z 0(C =3£2= 0? (8)-y2=3)耳］=1, (10)=1, K教材P. 23中B1.解：（1）由y的值等于0得x2-2x-3=0b(mx-2)= 0变形为(x-3)( x+ 1)= 0「• x-3= 0 或x+仁0…X i = 3, X2=-1( 2)由y 的值等于-4得x2-2x-3=-4方程变形为x2-2x+ 1=0(x-1) 2=0解得x1=x2=1二当x=3或x= -1时，y的值为0 当x=1时，y的值等于-4教材P．23 中B2证明：T x2-7x y+ 12y2= 0(x-3y)( x-4y) =0x-3y=0或x-4y=0二x=3y,或x=4y。
用因式分解法解一元二次方程导学案
3.4用因式分解法解一元二次方程导学案学习目标掌握用因式分解法解一元二次方程.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法一—因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.重难点关键1 •重点：用因式分解法解一元二次方程.2. ?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便.学习过程一、课前预习：(学生活动)解下列方程.(1)2X2+X=0 (用配方法) (2) 3X2+6X=0 (用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，X前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上()2，同时减去()2.( 2)直接用公式求解.二、课内探究1、自主学习：思考下面各题.(1)上面两个方程中有没有常数项？(2)等式左边的各项有没有共同因式？上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解：2 22X +X=X (2X+1)，3X +6X=3X (X+2 )因此，上面两个方程都可以写成：(1)X (2X+1) =0 (2) 3X (X+2) =0因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是(1) X=0或2X+1=0，所以x仁0，X2=-.(2)3X=0或X+2=0，所以X1 =0，X2=-2 .结论：因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.2、合作交流：先自己完成，后小组对照答案，改正错误例1 .解方程(1) 4X2=11X(2)( X-2 ) 2=2X-4分析：(1)移项提取公因式X；( 2)等号右侧移项到左侧得-2X+4提取-2 因式，即-2 (X-2)，再提取公因式X-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，？另一边为0的形式解：(1)(2)移项，得因式分解，得：_______________整理，得：于是，得____________________3. 精讲点拨：例2.已知9a2-4b2=0,求代数式的值.要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误.解：4、巩固练习练习1、2.应用拓展例3.我们知道x2- (a+b) x+ab= (x-a)(x-b)，那么x2- (a+b) x+ab=0 就可转化为(x-a)( x-b) =0,请你用上面的方法解下列方程.(1) x2-3x-4=0 (2) X2-7X+6=0(3) x2+4x-5=0上面这种方法，我们把它称为十字相乘法.归纳小结本节课要掌握：(1) 用因式分解法，即用提取公因式法、？十字相乘法等解一元二次方程及其应用.(2) 三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别：联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次.②公式法是由配方法推导而得到.③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程.区别：①配方法要先配方，再开方求根.②公式法直接利用公式求根.③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0, ?再分别使各一次因式等于0.布置作业教材三、课后延伸：一、选择题1. 下面一元二次方程解法中，正确的是( ).A. (x-3) (x-5) =10X 2，二x-3=10，x-5=2，.°. X1=13，X2=7B. ( 2-5x) + (5x-2) 2=0，.°.( 5x-2)( 5x-3) =0，二x1= ，x2=2C. （x+2）+4x=0,.°. x i=2, X2=-2D. x2=x两边同除以x，得x=12. 下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3 或x-仁3,其中正确的命题有（）.A. 0个B . 1个C. 2个D . 3个3. 如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）.A. -B. -1C.D. 1二、填空题1 .X2-5X因式分解结果为_______ 2X（ x-3 ）-5（ x-3）因式分解的结果是 __ .2 .方程（2x-1）2=2X-1的根是________ .3. __________________________________________ 二次三项式X2+20X+96分解因式的结果为____________________________________ 如果令X2+20X+96=0, 那么它的两个根是__________ .三、综合提高题1.用因式分解法解下列方程.（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0(3) X2-12X-28=0(4) X2-12X+35=02 .已知(x+y)( x+y-1) =0,求x+y 的值.3.今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场.为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am,另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m,问鸡场长与宽各为多少？（其中a> 20m）。
人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案：21.2.3因式分解法
人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案21.2.3 因式分解法【学习目标】1.会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法；2.通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想.【知识梳理】 用因式分解法来解一元二次方程必须要先化成ab=0的形式. 那么a=0 或 b=0(a 、b 为因式)。
用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）方程右边化为 。
（2）将方程左边分解成两个 的乘积。
（3） 至少 个 因式为零，得到两个一元一次方程。
（4） 两个 一元一次方程的解 就是原方程的解。
【典型例题】知识点 因式分解法解一元二次方程1.解方程()()153152-=-x x x 的最适当的方法是 （ ）A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法2.已知方程(x-2)(3x+1)=0，则x-2的值为（ ） A.37- B.0 C.-2 D.37-或0 3.用因式分解法解下列方程．（1）062=-x x （2）2（x ﹣3）2＝x 2﹣9（3）()()x x -=-52532 （4）()01222=-+x x【巩固训练】1.已知方程4x 2-3x=0，下列说法正确的是（ ）A.只有一个根x=43B.只有一个根x=0C.有两个根x 1=0,x 2=43 D.有两个根x 1=0,x 2=-43 2.如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（ ）A.x=1或x=-2B.必须x=1C.x=2或x=-1D.必须x=1且x=-2 3.已知实数x 满足（x 2﹣x ）2﹣4（x 2﹣x ）﹣12＝0，则代数式x 2﹣x +1的值是（ ）A ．7B ．﹣1C ．7或﹣1D ．﹣5或34.下列方程适合用因式分解法的是（ ）A.210x x ++=B.0132=+-x xC.2230x x ++=D.2(1)1x x -=-5.已知方程20x px q ++=的两根分别为3和4-，则q px x +-2可分解为（ ）A ．()()34x x -+ B. ()()34x x +- C. ()()34x x ++ D. ()()34x x --6.若三角形三边的长均能使代数式29180x x -+=的值为零，则此三角形的周长是（ ）A ．9或18B ．12或15C ．9或15或18D ．9或12或15或187.若实数a 、b 满足（4a+4b ）（4a+4b ﹣2）﹣8＝0，则a+b ＝8.用因式分解法解下列方程：(１) 2x = ； (２)()2331x x +=+（3）02222=+-x x (４)()()229241x x -=+。
八年级数学下册《因式分解法解一元二次方程》教案、教学设计
4.设计不同难度层次的习题，使学生在巩固基础知养其创新思维。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性；
2.培养学生勇于面对困难，敢于挑战自我的精神，使其在解决问题中增强自信心；
4.家长签字确认，加强对学生学习情况的了解和关注。
4.加强团队合作指导，提高学生的沟通协作能力；
5.关注学生个体差异，实施差异化教学，激发学生的学习兴趣和潜能。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：因式分解法解一元二次方程的步骤和方法，以及在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）理解一元二次方程的根的判别式及其与因式分解的关系；
（2）灵活运用因式分解法解决各种类型的一元二次方程；
4.能够根据一元二次方程的特点，选择合适的解法，提高解题效率；
5.通过练习，提高学生的运算速度和准确性。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师将采用以下过程与方法：
1.引导学生通过观察、分析、归纳一元二次方程的特点，发现因式分解法解一元二次方程的规律；
2.通过讲解、示范、练习等多种方式，帮助学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法；
（4）注重课堂反馈，及时调整教学进度和策略，提高教学效果。
3.教学评价：
（1）采用过程性评价与终结性评价相结合的方式，全面评估学生的学习效果；
（2）关注学生在小组合作中的表现，评价其团队协作能力和沟通能力；
（3）设置开放性问题，评价学生的创新思维和解决问题的能力；
（4）鼓励学生自我评价和相互评价，提高学生的自我认知和反思能力。
八年级数学下册《因式分解法解一元二次方程》教案、教学设计
21.2.3因式分解法解一元二次方程(教案)
1.教学重点
-重点一：一元二次方程标准形式的掌握，即ax² + bx + c = 0（a, b, c为常数，且a≠0）。通过讲解和示例，使学生理解方程各部分的数学意义。
-举例：方程x² + 3x - 4 = 0中，a=1，b=3，c=-4，强调a≠0的条件。
-重点二：因式分解法的应用，包括提取公因式、十字相乘等方法，以及如何将一元二次方程转化为因式分解的形式。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了因式分解法解一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了因式分解法解一元二次方程，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
2.提高学生的数学建模素养，通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题转化为数学问题，并运用数学知识进行解决；
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用判别式Δ分析一元二次方程的根的性质，增强对数学问题的深入理解；
4.增强学生的数学抽象思维，让学生掌握一元二次方程的一般形式，并能够将其与因式分解法有效结合。
4.通过例题和练习，熟练运用因式分解法求解一元二次方程，并能解决实际问题。
本节课将结合教材内容，针对以上要点进行深入讲解和练习。
二、核心素养目标
《21.2.3因式分解法解一元二次方程》的核心素养目标如下：
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用因式分解法进行一元二次方程的求解，理解数学知识之间的内在联系；
关于小组讨论，我发现学生们在讨论因式分解法在实际生活中的应用时，思维比较局限，难以提出具有创新性的观点。在今后的教学中，我会引导学生多关注生活，发现生活中的数学问题，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
《用因式分解法求解一元二次方程》教案
4 用因式分解法求解一元二次方程【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程.能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法.【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力.【情感态度】通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法.【教学重点】用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.一、情境导入,初步认识复习：将下列各式分解因式（1）5x2-4x；（2）x2-4x+4；（3）4x（x-1）-2+2x；（4）x2-4；（5）（2x-1）2-x2.【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度.二、思考探究，获取新知一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程.当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法.【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据.三、运用新知，深化理解1.解方程5x2＝4x.解：原方程可变形x（5x-4）＝0……第一步∴x＝0或5x-4＝0……第二步∴x1=0，x2=4/5.【教学说明】教师提问、板书，学生回答.分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”.分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解.用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法.由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法.2.用因式分解法解下列方程：（1）5x2+3x＝0；（2）7x（3-x）＝4（x-3）；（3）9（x-2）2＝4（x+1）2.分析：（1）左边＝x（5x+3），右边＝0；（2）先把右边化为0，即7x （3-x）-4（x-3）＝0，找出（3-x）与（x-3）的关系；（3）应用平方差公式.解：（1）因式分解，得x（5x+3）＝0，于是得x＝0或5x+3＝0，x1＝0，x2＝-3/5；（2）原方程化为7x（3-x）-4（x-3）＝0，因式分解，得（x-3）（-7x-4）＝0，于是得x-3＝0或-7x-4＝0，x1＝3，x2＝-4/7；（3）原方程化为9（x-2）2-4（x+1）2＝0，因式分解，得［3（x-2）+2（x+1）］［3（x-2）-2（x+1）］＝0，即（5x-4）（x-8）＝0，于是得5x-4＝0或x-8＝0，x 1＝4/5，x 2＝8.【教学说明】（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解.（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数.3.选择合适的方法解下列方程.（1）2x 2-5x+2=0；（2）（1-x ）（x+4）=（x-1）（1-2x ）；（3）3（x-2）2＝x 2-2x.分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1-x ）与（x-1）的关系用因式分解法；（3）3（x-2）2＝x ·（x-2）用因式分解法.解：（1）a=2，b=-5，c=2，b 2-4ac=2-4×2×2=9＞0，x=522--⨯（）=534±， x 1=2，x 2=12； （2）原方程化为（1-x ）（x+4）+（1-x ）（1-2x ）＝0，因式分解，得（1-x ）（5-x ）=0，即（x-1）（x-5）=0，x-1=0或x-5=0，x 1=1，x 2=5；（3）原方程变形为3（x-2）2-x （x-2）=0，因式分解，得（x-2）（2x-6）＝0，x-2＝0或2x-6＝0，x 1＝2，x 2＝3.【教学说明】解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑配方法，而公式法比较麻烦.公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程.4.已知（a 2+b 2）2-（a 2+b 2）-6＝0，求a 2+b 2的值.分析：若把（a 2+b 2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a 2+b 2）为未知数的一元二次方程.解：设a 2+b 2=x ，则原方程化为x 2-x-6=0. a=1，b=-1，c=-6，b 2-4ac=（-1）2-4×1×（-6）＝25＞0，x ＝125 ，∴x 1=3，x 2=-2. 即a 2+b 2=3或a 2+b 2=-2， ∵a 2+b 2≥0，∴a 2+b 2=-2不符合题意应舍去，取a 2＋b 2=3.【教学说明】（1）整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题.（2）在做题时要注意隐含条件.5.用一根长40cm 的铁丝围成一个面积为91cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？解：设长为xcm ，则宽为（402-x ）cm ， x ·（402-x ）＝91， 解这个方程，得x 1=7，x 2=13. 当x=7cm 时，402-x=20-7=13（cm ）（舍去）；当x=13cm 时，402-x=20-13=7（cm ）.当围成正方形时，它的边长为404＝10（cm ），面积为102=100（cm 2）. 【教学说明】应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力. 四、师生互动，课堂小结1.本节课我们学习了哪些知识？2.因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？【教学说明】对某些方程而言因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再考虑其它方法.1.布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题.2.完成创优作业中本课时“课时作业”部分.这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”.在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法.。
《因式分解法解一元二次方程》教学设计
学生回答
巩固所学内容
七、教学评价设计（说明针对教学目标的达标检测内容和方法）
根据新课程标准的评价理念，在教学过程中，不仅注重学生的参与意识和学生对待学习的态度是否积极，而且注重引导学生尝试从不同角度分析和解决问题
八、板书设计
书设计
复习回顾新课讲解例题解析学生板演小结作业
九、课后反思
1，大部分学生能熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法；
四、教学重点及难点（确定教学重点和难点，并简要说明强化重点和突破难点的策略）
教学重点：因式分解法解一些一元二次方程.
教学难点：能够正确选择因式和活动设计等）
本节课我主要采用启发式、类比法、探究式的教学方法。教学中力求体现“类比---探究-----归纳”的模式。有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。由于学生配平方的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，指导学生通过观察与演示，总结因式分解规律，从而突破难点。
二、学情分析（说明学生学习本内容可能遇到的知识和能力困难）
任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。这就要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发。分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。当他们在解决实际问题时，发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的配方法问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，用配方法公式法后，这就为我们继续研究用因式分解法解一元二次方程奠定了基础。
教师巡视引导
学生回答：因式分解法的概念
特别提示:
（1）用因式分解法解一元二次方程的条件是:方程左边易于____,而右边等于______;
九年级数学上册《用因式分解法解一元二次方程》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元二次方程的概念，能准确识别一元二次方程的标准形式。
2.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤，并能运用该方法解决实际问题。
3.能够运用十字相乘法、平方差公式、完全平方公式等方法进行因式分解，提高解题效率。
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，让他们共同探讨以下问题：
1.为什么因式分解法可以解一元二次方程？
2.在使用因式分解法解方程时，可能会遇到哪些困难？如何克服？
3.请举例说明如何运用十字相乘法、平方差公式、完全平方公式进行因式分解。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习环节，我会设计以下几类题目：
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，增强学生的应用能力。
4.通过小组合作学习，培养学生团结协作、互相帮助的精神，提高学生的团队意识。
5.引导学生认识到数学在生活中的重要作用，培养学生的数学思维和创新能力。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的概念有初步的认识，能解一些简单的一元二次方程。但在运用因式分解法解一元二次方程方面，大部分学生的掌握程度还不够熟练，对一些复杂的方程仍存在一定的困难。此外，学生在数学思维、问题分析和解决能力方面发展不均衡，需要教师在教学中关注个体差异，进行有针对性的指导。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将通过一个与学生生活息息相关的问题来引起学生的兴趣：“小明的妈妈给了他一些钱，他打算买一些苹果和葡萄。如果苹果每个3元，葡萄每千克10元，小明用这些钱买了4个苹果和x千克的葡萄，一共花了22元。请问小明买了多少千克的葡萄？”
解一元二次方程—因式分解法导学案
22.2.3解一元二次方程—因式分解法教学目标:1.了解因式分解法的概念和解题步骤.2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.教学重点:会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程教学难点:让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学过程一、自主预习1、如何利用由ab=0得 a=0或b=0 使二次方程降为一次的？2、什么叫因式分解法解一元二次方程？3、因式分解法解一元二次方程的解题步骤是什么？二、复习引入1、什么叫因式分解？因式分解的方法都是有哪几种？（口答）2、在实数范围内因式分解。
（1）4x2-12x (2)4x2-9(3)x2-7 (4)(2x-1)2-(x-3)23、判断正误。
（1）若ab=0；则 a=0或b=0 ( )（2）若a=0或b=0；则ab=0 ( )（3）若(x+2)(x-5)=0；则x-2=0或x-5=0 ( )（4）若x-2=0或x-5=0；则(x+2)(x-5)=0 ( )三、探究新知方程x2 －5x=0左边可以因式分解得，右边为0，于是得x=0或 =0，∴x1= ，x2= 。
归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法．例(教材P 39例3)解下列方程：（用因式分解法）（1）02)2(=-+-x x x (2)221352244x x x x --=-+归纳：因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为 。
②将方程左边式子 ，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
③对两个一元一次方程分别求解。
(3) 02)2(=-+-x x x (用配方法) （4）221352244x x x x --=-+（用公式法）归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.所以，在解一元二次方程时要根据方程特点选择合适的方法解方程四、巩固练习（1）必做题1.用因式分解法解方程：（教材Ｐ40练习1）（1）02=+x x （2）0322=-x x （3）3632-=-x x（4）012142=-x （5）24)12(3+=+x x x （6）22)25()4(x x -=-2.选用合适方法解方程（1）x 2+x+41=0； （2）x 2+x-2=0； （3）(x-2)2 =2-x ； （4）2x 2-3=0.3.下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7B ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=25，x 2=35 C ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=1（2）选做题1、（中考题）方程3)3(+=+x x x 的解是（ ）A 、1=xB 、01=x 32-=xC 、11=x 32=xD 、11=x 32-=x3、一元二次方程02=++q px x 的两根分别是1和-2，那么将q px x ++2因式分解的结果为 。
用因式分解法解一元二次方程
初三学年数学《用因式分解法解一元二次方程》导学案课型：展示课备课组：初三备课组制作人：李秀娟学习目标：1.熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤。
2.通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想。
学习重点：用因式分解法解一元二次方程学习难点：正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（A、B表示两个因式）思维导航：1. 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.2. 分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”授课模式：目标导航、双主高效1.一元二次方程的一般式是什么？2.请用已学过的方法解方程：x —4=0你能解决这个问题吗？一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？分解因式法的定义：温馨提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”解下列方程1、x－3x－10=02、(x+3)(x－1)=5温馨提示:到黑板做的既快又准，而且抢到教鞭的同学，获得讲课的机会。
接力竞赛游戏：解下列方程温馨提示:各小组指派2名同学参加“做题接力竞赛”，每人一题，以既快又准的小组为获胜组。
用因式分解法解一元二次方程的步骤：1.（基础题）下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？)2(5)2(3)1(+=+x x x 05)13)(2(2=-+x .48.462;83563)2)(5(18)2)(5(21==∴==+==-⨯=+-=+-x x x x x x x x x x 或原方程的解为，得由，得由原方程化为解：解方程2.（能力提升提）3.（开放题）以“能力提升题”的模式，请你自编一道与本节课的知识相关的题，并解答。
《用因式分解法求解一元二次方程》教案
（用因式分解法求解一元二次方程）教案（用因式分解法求解一元二次方程）教案一、教学目标（知识与技能）掌握应用因式分解的方法，会正确求一元二次方程的解。
（过程与方法）通过利用因式分解法将一元二次方程转化成两个一元一次方程的过程，体会“等价转化〞“降次〞的数学思想方法。
（感情态度价值观）通过探讨一元二次方程的解法，体会“降次〞化归的思想，逐渐养成主动探究的精神与积极参与的意识。
二、教学重难点（教学重点）运用因式分解法求解一元二次方程。
（教学难点）发觉与理解分解因式的方法。
三、教学过程(一)导入新课复习回忆：和学生一起回忆平方差、完全平方公式，以及因式分解的常用方法。
(二)探究新知问题1：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗如果相等，这个数是几你是怎样求出来的学生小组商量，探究后，展示三种做法。
问题：小颖用的什么法——公式法小明的解法对吗为什么——违背了等式的性质，x可能是零。
小亮的解法对吗其依据是什么——两个数相乘，如果积等于零，那么这两个数中至少有一个为零。
问题2：学生探讨哪种方法对，哪种方法错;错的原因在哪你会用哪种方法简便]师引导学生得出结论：如果a·b=0，那么a=0或b=0(如果两个因式的积为零，则至少有一个因式为零，反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零。
)“或〞有以下三层含义①a=0且b≠0 ②a≠0且b=0 ③a=0且b=0问题3：(1)什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解(2)用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么(3)用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么(4)用因式分解法解一元二方程，必需要先化成一般形式吗因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解。
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法。
老师提示：1.用分解因式法的条件是：方程左边易于分解，而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零。
《一元二次方程的解法》 导学案
《一元二次方程的解法》导学案一、学习目标1、理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式。
2、熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程。
3、能根据方程的特点，灵活选择合适的解法，提高解题能力。
二、学习重难点1、重点（1）一元二次方程的四种解法。
（2）选择合适的方法解一元二次方程。
2、难点（1）配方法的理解和运用。
（2）公式法中求根公式的推导和应用。
三、知识回顾1、什么是方程？含有未知数的等式叫做方程。
2、我们学过哪些方程？一元一次方程、二元一次方程等。
四、一元二次方程的概念1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
2、一般形式：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a≠0$），其中$ax^2$是二次项，＄a$是二次项系数；＄bx$是一次项，＄b$是一次项系数；＄c$是常数项。
五、一元二次方程的解法1、直接开平方法（1）适用条件：方程形如$x^2 ＝ p$（＄p≥0$）或$（x ＋ m)＾2 ＝ n$（＄n≥0$）。
（2）解法：对于$x^2 ＝ p$，直接开平方得$x ＝ ±＼sqrt{p}＄；对于$（x ＋ m)＾2 ＝ n$，开平方得$x ＋ m ＝ ±＼sqrt{n}＄，即$x ＝ m ±＼sqrt{n}＄。
例如：解方程$x^2 ＝ 9$，解得$x ＝ ±3$；解方程$（x 2)＾2 ＝16$，＄x 2 ＝ ±4$，＄x ＝ 2 ± 4$，即$x_1 ＝ 6$，＄x_2 ＝－2$。
2、配方法（1）步骤：①移项：把常数项移到方程右边；②二次项系数化为 1：方程两边同时除以二次项系数；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④写成完全平方式：＄（x ＋ m)＾2 ＝ n$的形式；⑤直接开平方求解。
例如：解方程$x^2 ＋ 4x 5 ＝ 0$移项得：＄x^2 ＋ 4x ＝ 5$二次项系数化为 1 得：＄x^2 ＋ 4x ＋ 4 ＝ 5 ＋ 4$配方得：＄（x ＋ 2)＾2 ＝ 9$开平方得：＄x ＋ 2 ＝ ±3$解得：＄x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝－5$3、公式法（1）求根公式：对于一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝0$（＄a≠0$），其求根公式为$x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。
用因式分解法求解一元二次方程导学案
第二章一元二次方程４．用因式分解法求解一元二次方程一、学情分析学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级学生学习了因式分解，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学目标：1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；2、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；3、通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。
4、进一步丰富数学学习的成功体验，使学生在学习中培养良好的情感、态度和主动参与、合作交流的意识，进一步提高观察、分析、概括等能力。
三、教学过程分析第一环节：复习回顾1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。
3、选择合适的方法解下列方程：①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0第二环节：情景引入、探究新知1、师：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？生：齐答行。
师：出示问题，一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？说明：学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。
2、师：同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题?你认为那种方法更合适?为什么?说明：小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因式分解法解一元二次方程 导学案
陈店中学周长耀
【温故知新】
1、什么叫因式分解？
2、你所知道的因式分解的方法有哪些？
3、将下列各式因式分解
①x 2-x ②x 2-4 ③x 2-2x+1 ④x 2+x-12
4、回想乘法法则：几个数相乘，有一个因式为零，则积为 。
反之，若ab=0，那么________
运用这一结论，快速求解下列方程
① x(x-1)=0
② (x+4)(x-4)=0
③ (x-3)(x+5)=0
5、思考：试试这个吧！解方程：x 2=3x
【闪亮登场】
1、试着用上面的方法求解一元二次方程x 2=3x
（说明理论依据和步骤）
2、总结因式分解法解一元二次方程的定义
先将一元二次方程通过（ ）化为两个一次式的乘积等于（ ）的形式，再使这两个一次式分别等于（ ），从而实现（ ），这种解法叫做因式分解法。
3、经典例题
① x(x-2)+x-2=0
② (2x －1)2=(x ＋2)2
③ 5x 2-2x-41=x 2-2x+4
3 ④ 4x 2+12x+9=0
⑤ x 2-3x-18=0
4、总结因式分解的步骤
【右化零，左分解，两因式，各求解】
5、找找茬
① (x-3)2=4(x-3)
解：方程两边同除以x-3，得
x=4
② (x-2)(x+3)=-6
解：x-2=0或x+3=0
∴x 1=2，x 2=-3
6、再试身手
课本40页练习第1题
【百舸争流】
1、用适合的方法解下列一元二次方程
①x2 -2x=99
②x2 -x-1=0
③ x2-x-6=0
2、谈谈如何选择合适的方法解一元二次方程，三种方法的优缺点
可以作这么一个形象的比方，如同在陆地上去某地，骑自行车是最普通的选择，就是别上坡太多；步行一定可以到达，但有时费时费力；倘若交通方便，乘出租车是一个不错的选择。
配方法（自行车）公式法（步行）因式分解法（出租车）
易于因式分解的，可用因式分解法，易于配成完成平方式的，可选择配方法，不易于配方和因式分解的，可用公式法。
3、用适当的方法解下列一元二次方程
①3x(x+1)+4(x+1)=0
②x2-2x-3=0
③x2-4x-96=0
④x2-x-3=0
【超越自我】
试解答下列问题
①x2-3x-4=0
②x3-3x2-4x=0
③(x+5)2-3(x+5)-4=0
④x4-3x2-4=0
【小结作业】
课本43页第6、8、9题。