10.2 二重积分的计算(新)
二重积分的计算方法(二)
x + y = 2 → v = 2.
x+ y=2
D
o
x
v
v=2
u = −v D′ u = v
o
u
J
=
∂(x, y) ∂(u,v)
=
−1 2 1
1
2 1
=
−1, 2
22
∫∫ ∫∫ 故
y− x
e y+ xdxdy =
e
u v
−
1
dudv
D
D′
2
∫ ∫ ∫ = 1
2
2
dv
0
u v
e v du
−v
=
1 2
x−
3y
=
0
⇒ θ1
=
π 6
x2 + y2 = 2 y ⇒ r = 2sinθ
∫∫ ∫ ∫ ( x2 + y2 )dxdy =
π
3 dθ
4sinθ r 2 ⋅ rdr = 15( π −
3).
D
π 6
2 sin θ
2
例 5 求曲线 ( x2 + y2 )2 = 2a2( x2 − y2 ) 和 x2 + y2 ≥ a2所围图形最右边一块的面积.
0
0
x
= 4 a3(3π − 4) 3
D1 : x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤
2ay − y2 . y
V
=
4V1
=
16 a3(3π 3
−
4)
.
注意：被积函数和区域的对称性.
x
o
三、二重积分的换元法
平面上同一个点，直角 坐标与极坐标之
10.2 二重积分的计算
∫∫D
b a d
f (x, y) dx dy
ϕ2 ( x)
1
= ∫ d x ∫ (x) f (x, y) dy ϕ = ∫ d y∫
c
ψ 2 ( y)
ψ 1( y) y)
f (x, y) dx
y y = ϕ (x) 2 d x =ψ2 ( y) x =ψ1( y) D y y = ϕ1(x) c o a x bx
§10.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 被 函 由曲顶柱体体积的计算可知 当 积 数 f (x, y) ≥ 0 且在D上连续时 且在 上连续时, 若D为 X – 型区域 上连续时 为 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) D: a ≤ x ≤b
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
0
f (x, y)dx
8
例5. 计算 所围成. y = 4 − x2, y = −3x, x =1 所围成. 解: 令f (x, y) = x ln(y + 1+ y )
2
其中D 由
4
y = −3x
y
y = 4 − x2
令ρ = ∆u + ∆v , 则
2 2
T
y
M4
M3
D
M1
M2
o
x
∂x x2 − x1= x(u + ∆u, v) − x(u, v)= ∆u + o(ρ) ∂u (u, v)
18
∂x x4 − x1= x(u, v + ∆v) − x(u, v) = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 同理得 y2 − y1 = ∂ y ∆u + o(ρ) ∂u (u, v) ∂y y4 − y1 = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 充分小时, 当∆u, ∆v充分小时 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 充分小时
(完整版)第二节二重积分的计算
即等于两个定积分的乘积.
例2 求 x2e y2dxdy, 其中D 是以 (0,0),(1,1),(0,1)
D
为顶点的三角形.
解 因 e y2dy 无法用初等函数表示,
所以, 积分时必须考虑次序.
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
0
D
e1 y2
y3 dy
1
1 y2e y2dy2 1 1 2
Oa
b x Oa
bx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
D
3. 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (利用积分区域的可加性)
y
D3
D1 D2
O
x
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
0
3
60
6 e
例3 交换积分次序:
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x
y 2x x2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
例4 计算积分 I
1
2 1
dy
1
y
y e x dx
(
x,
y)dx)dy
D
即
f y)dx.
D
c
1( y)
二重积分的计算方法
x2
11 ( x y )dy dx 2 ( y x )dy . 1 x 15
1 0
x 1
e
t 2
1 dt , 求0 f ( x )dx.
1 解(一)： f ( x )dx [ xf ( x )] 0 xf ( x )dx 1 0
f (1) xe
1 0
x2
dx [ 1 e x ]1 1 (e 1 1). 0 2 2
2
解(二) I ( e dt )dx
1 x 0 1
t 2
t
2 t t 0
( e dt )dx dt e dx
1 0 1 x
1 0
t 2
1 t 2 e tdt 0
1 1 (e 1). 2
练习设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，并设 f ( x )dx A ，
1 0
求 dx f ( x ) f ( y )dy .
解
2a
y 2ax
y 2ax x 2 x a a 2 y 2
a
2a
a
原式 = dy 2 y 0
a
a a2 y2
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dyy 2 f ( x , y)dx.
x
f ( x )dx f ( y )dy,
0
故2 I
f ( x )dx
1 0
1
x
f ( y )dy f ( x )dx f ( y )dy
二重积分的计算
二重积分的计算二重积分的计算，是多元函数积分学的第一个难关，这一关过好了，对于其他类型（三重积分，曲线和曲面积分等）的积分，将开个好头，希望大家真正理解并掌握。
首先需要化点功夫弄明白二重积分的定义以及性质。
这里我就不写过多的内容，因为深入理解需要在具体的计算中才能加深理解，就事论事地背定义是很难有效果的。
二重积分的计算，最基本也是最根本的是要理解转化二重积分为累次积分的原理，即一个二重积分化为两个有先后次序的定积分，这2个定积分一般彼此存在着关系，先积分的那个定积分一般是后一个定积分的被积函数。
转化的前提是需要将被积区域D 表示为不等式形式。
二重积分的被积区域是个平面域，常用两种表示法：1）12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先y 后x ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)x x bb Da x a x f x y d f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
2）12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先x 后y ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)y y dd Dc y c y f x yd f x y dx dy dy f x y dx ψψψψσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
上述公式表示的是在直角坐标系下的计算公式。
在直角坐标系下，对平面区域可以沿平行于坐标轴的直线来分划该区域，所以积分微元d dxdy σ=。
如果被积区域D 是一个矩形区域，则:c y dD a x b≤≤⎧⎨≤≤⎩，而且被积函数可表为(,)()()f x yg xh y =， 此时，二重积分实际变为两个独立定积分的乘积：(,)()()()()b d bdDa c a cf x y dg xh y d y d x g x d x h y d yσ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 这是二重积分计算中最简单的情况。
成教Ch10_2二重积分的计算
0
dy ．
2．积分
∫
R
0
R − x dx ∫
2 2 R 0
R2 − x2
0
dy
R2 − x2 0
是否能看成是积分 ∫
R 2 − x 2 dx 与积分 ∫ dx
dy 的乘积？
《经济数学》教案
华东理工大学数学系
15/40
作业：P170（习题10.2）
1(1)(3)(5)(8), 2(2)(4)(6), 3(1)(3)(5)
华东理工大学数学系
4/40
y=x2
1 x2+y2=4
x
O y 1 x=y2
x
1
4
x
《经济数学》教案
曲顶柱体体积的计算： 设f(x，y)≥0，则以曲面z= f(x，y)为顶， 以闭区域 D 为底的 曲顶柱体的体积为 V = ∫∫ f ( x, y )dσ ． 设 D 为X−−型区域：
D
z y=ϕ2(x) y A(x0) D O y=ϕ1(x) a
O −1
1
x
10/40
例2 例 2 计算 ∫∫ y 1 + x 2 − y 2 dσ ，其中 D 是由直线 y=1、x=−1
D
及y=x 所围成的闭区域． 解 画出区域D， 可把D看成是X−−型区域：−1≤x≤1，x≤y≤1． 于是 y 1 + x − y dσ = ∫ [ ∫ y 1 + x 2 − y 2 dy ]dx ∫∫
《经济数学》教案 华东理工大学数学系
∆ri
x
18/40
按二重积分的定义 ∫∫ f ( x, y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,η i ) ∆σi ．
D
10.2二重积分的计算
1 2 x 0
f ( x, y )dy ，得
y 2 x
D2 {( x , y ) | 0 y 2 x, 1 x 2}
y 2x x2
故积分区域如图
原式 0 dy 1
1 2 y 1 y
2
f ( x , y )dx .
二、二重积分换元法
x r cos , T : 0 r , 0 2π , y r sin ,
往往能达到简化积分区域或被积函数的目的. 此时, 变换 T 的雅可比行列式为
( x , y ) cos J (r , ) ( r , ) sin
r sin r cos
D
r d r d d 0 re
0
2
a
r 2
dr
(1 e
由于 e
x2
a 2
)
的原函数不是初等函数, 故本题无法用直角
坐标计算.
注: 利用例8可得到一个在概率论与数理统计及工程
上非常有用的反常积分公式
x2 e 0
dx
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
2 2
O
则所求体积为
0 y a2 x2 底为 D : 0 xa
a
x
z
a
x2 z2 a2
y
a a
o
a
y
x
y
a
8 d x
0 a a2 x2
y R2 x 2
0
a x dy
2 2
o
D
a x
16 3 8 (a x )d x a 0 3
10.2二重积分的计算(1)
xydx]dy
2
1
[
y
x2 ] y dy 21
2
1
[
y3 2
y ]dy 2
y4 [
8
y2 4
]
12
1
1 8
.
例 2 计算 y 1 x2 y2d , 其中 D 是由直线 D
y x、x 1和 y 1 所围成的闭区域.
解 如图, D 既是 X 型, 又是Y 型.若视为X
型, 则
11
原积分 [ y 1 x2 y2dy]dx 1 x
第二节 二重积分的计算法（1）
一、利用直角坐标系计算二重积分 二、交换二次积分次序 三、对称性、奇偶性的应用
一、利用直角坐标系(right angle coordinate system)计算二重积分
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
y2 x 及直线 y x 2所围成的闭区域.
解 如图,
D 既是 X 型, 也是Y 型. 但易见选择前者计算
较麻烦, 需将积分区域划分为两部分来计算, 故选
择后者.
2 y2
xyd
[ 1 y2
xydx]dy
D
2 [ x2 1 2
y]
y y2
2
dy
1 2
2
[ y( y 2)2 y5 ]dy
)(e
y
1 0
)
(e
1)2 .
例 6 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所围
成的立体的体积.
解 设两个圆柱面的方程分别为 x2 y2 R2 及
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
10.2 二重积分的计算法
d
二次积分
c
2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y )dx dy 的计算：
一． 计算定积分
2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y )dx 。此时，由于以 x 作为积分变量，因此需要将二
次函数 f ( x, y ) 中的 x 看作变量，而将另一个变量 y 看作常数（事实上，这思想类
y 。特别地， 1 ( x ) 与 2 ( x) 可能为常数，因为常数也属于函数。再对 x 求积分，
x 的积分下限与积分上限分别为 a 与 b ，它们都是常数。
二次积分
b
a
2 ( x )
1 ( x )
f ( x, y )dy dx 的计算：
一． 计算定积分
2 ( x )
1 ( x )
d c
2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y )dx dy dy
c
d
2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y )dx
其中， 1 ( y ) 与 2 ( y ) 皆为以 y 为变量的一元函数，不含变量 x ，而 c 与 d 皆为常 数。 注：注意观察积分变量 x, y 的积分下限与积分上限。先对 x 求积分， x 的积分下 限与积分上限分别为 1 ( y ) 与 2 ( y ) ，它们都是以 y 为变量的一元函数，不含变 量x。 特别地， 1 ( y ) 与 2 ( y ) 可能为常数， 因为常数也属于函数。 再对 y 求积分，
别为 x 轴坐标的最小值与最大值，它们皆为常数。
例：设 D 是由直线 x 0 ， y 2 ， y 2 x 所围成的闭区域，求二重积分 xy d 。
102二重积分的计算法一
分部积分法(略). (05/06学年第一学期考试题A卷)
解Ⅱ 化为二次积分,交换积分次序
原式=
1
(
xey2dy)dx
1
dx
xey2dy
1
dx
1ey2dy
01
01
0x
0x1 DX : xy1
DY
:
0y1 0xy
原式
1
dy
yey2dx
00
1ey2dy
y
dx
e 1 y2
ydy
0
公式1
上式称为 y后先 x对 的对 二次积分
几点小结
Df(x ,y )d x d ya b [ 1 2 (( x x ))f(x ,y )d y ]d x
9
①通过体积作 ,实为 现过 了渡 二重积 计分 算的 方一 法种
通过计算两次(单 定积 积)来 分 分求. 解
②二重积分的计算关定键限是：投影穿线法
2(x0)
AA((xx0 )0 )
1(x0) oo aa xx00
xx
bbyy1(1x()x)
1(x0)
2(x0)
A A ((x x0)) 1 2 1 (2 ((x(x x)x 0 )0 ))ff(x (,xy 0,)y d)ydy
b
VaA(x)dx
即得
D D ff( (x ,y ) )d d a b a [ b d x 1 2 (( x x ) )1 2 (f( x x ) ()x f,y () x d ,y y ]) d d x y .
12
例1 计算 x d y ,其D ： 中 y 由 1 ,x2 及 yx所围. 闭
D
解 Ⅰ
看作X－型域
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法2. 二重积分的计算法目前所能接触到的方法是：将二重积分化为两次单积分将二重积分化为两次单积分_接下来介绍：①直角坐标系②极坐标③二重积分的换元法（至于二重积分的换元法，仅作简单介绍）2.1 利用直角坐标计算二重积分本质思想是通过画图来判断是先对x还是先对y积分。
（先对哪一个积分不绝对，需要具体问题具体分析，但仍需考虑图形，这里不过多解释为什么，仅给出相关题型的做法）下面的介绍中，默认f(x,y)≥0①有如下闭区域D：∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y) dy（先对y后对x）②∬Df(x,y) dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx（先对x后对y）（注：这里未考虑在立体空间中的形状，但只研究物体在xOy面上的投影即可解决问题）我们称①、②中的区域分别为X型区域、Y型区域。
（按先对、x、y中的哪个积分来命名）若闭区域D既是X型区域，又是Y型区域，则选择哪一种都可以（尽量找简单的）不管先对还是进行积分，要找准积分限不管先对x还是y进行积分，要找准积分限“每个人都有每个人的理解方式，这里我有些解释不出来，大家自行领会吧”注：在解题时，注意使用可加性"可加性"，区间可以分为X型、Y型，既是X型又是Y型的，此时我们对其分别求二重积分即可。
这里给出一个例子来让大家认识到选择正确的积分次序的重要性：计算∬Dy1+x2−y2 dσ，其中区域D是由、、y=x、x=−1、y=1围成的闭区域。
显然D既是X型，又是Y型积分区域，现在我们用两种方法来看一下：①先对y后对x：∫−11dx∫x1y1+x2−y2 dσ（偶函数，想想为什么这里是）=−13∫−11[(1+x2−y2)32|x1] dx=−13∫−11(|x|3−1) dx_（偶函数，想想为什么这里是|x|3）=−23∫01(x3−1)dx=−23(x44−x)|01 =−23⋅(14−1)=12②先对x后对y：∫−11dy∫y1y1+x2−y2dx=∫−11[xy(1+x2−y2)12|1y−∫1yx d[y(1+x2−y2)12]]=∫−11[y2−y2−y2−∫1yx2y1+x2−y2 dx]dy此时还需求∫1yx2y1+x2−y2 dx，难免比较麻烦。
(完整版)§10.2二重积分的计算法(二)
o
A
（2）的特例
2π
( )
d f ( cos , sin ) d. 定限口诀
0
0
3. 极坐标系下区域的面积 d d.
D
8
9/17
观察练习 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原
点,试问 的变化范围是什么?
(1) y ( ) D
ox
(2) y ( )
D
o
x
答: (1) 0 π;
D
O
2a x
14
15/17
经验
一般来说，当积分区域为圆形、扇形、环 形区域，而被积函数中含有 x2 y2、 y、 x
xy
时，采用极坐标计算二重积分往往比较简单.
15
16/17
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
f ( cos , sin ) d d
D
d
2( ) f ( cos , sin ) d.
1 ( )
定限口诀仍适用
5
6/17
特别地
若区域特征如图
1( )
,
D
2( )
1( ) 2( ).
o
A
f ( cos , sin ) d d
D
d
2 ( ) f ( cos , sin ) d.
1 ( )
定限口诀
6
7/17
（2）极点O 恰在区域 D 的边界曲线之上时
区域特征如图
1 ( )
d
( ) 0
f ( cos , sin ) d.
2π
d
( )
f ( cos , sin ) d.
0
0
（在积分中注意使用对称性）
二重积分计算方法
二重积分计算方法引言二重积分是高等数学中的重要内容，常用于计算平面区域上的面积、质量、重心等问题。
计算二重积分时，需要掌握一些常见的计算方法，本文将介绍三种常见的计算方法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法以及变量代换法。
直角坐标系下的累次积分法直角坐标系下的累次积分法是最常用的计算二重积分的方法之一。
对于平面上的一个区域D，可以将其分解为若干个小矩形区域，然后通过对每个小矩形区域进行积分求和，从而得到整个区域的二重积分值。
具体步骤如下： 1. 将区域D划分为若干个小矩形区域，每个小矩形区域的面积可以通过计算两个相邻顶点之间的距离得到。
2. 对每个小矩形区域进行积分，积分的上限和下限分别是该小矩形区域在x轴和y轴上的边界。
3. 将每个小矩形区域的积分结果求和，得到整个区域D的二重积分值。
极坐标系下的累次积分法在一些特殊的情况下，采用极坐标系进行计算可以简化计算过程。
极坐标系下，平面上的点由极径和极角两个参数决定，适用于具有旋转对称性的问题。
具体步骤如下： 1. 将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。
极坐标系下，二重积分的积分变量可以表示为r和θ。
2. 将区域D在极坐标系下表示出来，确定积分的上限和下限。
3. 对每个小区域进行积分，积分的上限和下限分别是在极坐标系下的边界。
4. 将每个小区域的积分结果求和，得到整个区域D的二重积分值。
变量代换法变量代换法是一种常用的计算二重积分的方法，通过引入新的变量进行积分变换，从而简化计算过程。
具体步骤如下： 1. 引入新的变量，将二重积分中的自变量进行变换。
2. 将原来的二重积分转换为新的变量下的二重积分。
3. 对新的二重积分进行计算，可以使用上述的直角坐标系下的累次积分法或者极坐标系下的累次积分法。
4. 将计算得到的结果转换回原来的变量，得到整个区域D的二重积分值。
总结本文介绍了三种常见的二重积分计算方法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法以及变量代换法。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法计算二重积分是数学中的一个重要概念，在实际问题的建模和求解中有着广泛的应用。
但是对于初学者来说，计算二重积分可能是一个比较困难的任务。
有一些简便的方法可以帮助我们更轻松地计算二重积分。
本文将介绍几种简便方法来计算二重积分，希望能对大家的学习有所帮助。
一、直角坐标系下的计算我们首先回顾一下在直角坐标系下计算二重积分的过程。
设积分区域为D，函数为f(x, y)，则二重积分的计算公式为：∬ f(x, y) dA = ∫∫D f(x, y) dx dy其中D表示积分区域，dA表示面积元素，f(x, y)表示要被积的函数。
在直角坐标系下，我们通常通过将积分区域D分解为水平方向和垂直方向的两个部分，然后进行累次积分的方法来计算二重积分。
这种方法在处理一些复杂的积分区域时可能会比较繁琐，下面我们就介绍一些简便的方法来计算二重积分。
对于一些具有旋转对称性的积分区域，我们可以转换到极坐标系下来简化计算过程。
极坐标系的坐标变换公式为：x = rcosθy = rsinθr表示从原点到点(x, y)的距离，θ表示向量OP与x轴的夹角。
在极坐标系下，面积元素dA可以表示为:dA = rdrdθ利用这个变换，我们可以将二重积分转化为极坐标下的累次积分。
具体来说，我们首先确定极坐标系中r和θ的取值范围，然后进行r方向和θ方向的累次积分。
这样做可以帮助我们简化积分区域，并且在计算上也更加方便。
三、换元法除了极坐标系下的计算方法，换元法也是计算二重积分的一种简便方法。
换元法是一种常用的积分技巧，在解决一些复杂函数积分时特别有用。
换元法的基本思想是通过一些代数变换来简化被积函数或者积分区域。
对于二重积分来说，我们可以通过一些变换来将原积分转化为一个更容易计算的积分。
当积分区域为一个矩形时，我们可以通过线性变换来将其变为单位矩形，这样做可以大大简化计算过程。
换元法在实际应用中需要具体问题具体分析，需要我们灵活运用。
第二二重积分的计算法
D
1y
2
[
1
y
x2 2
]2y
dy
2
(2 y
1
y3 )dy
2
[y2
y4 8
]12
11 8
例4 计算二重积分 ex ydxdy,其中区域D是由x 0、
D
x 1、y 0 和y 1围成的矩型.
解 : ex ydydx
D
11
[ ex e ydy]dx
00
1
交换积分次序
11
左边 dx e y f (x)dy
0 x2
1
f (x)e y |1x2 dx
0
1
f (x)(e ex2 )dx 右边
0
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
i
1 2
(ri
ri )2
i
1 2
ri2
解 : xyd [ xydx]dy
D
1 y 2
2
[
-1
yx 2 2
]
y y
2
2
dy
1 2
2
[
-1
y(
y
2)2
y5 ]dy
55 8
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1x
4x
[ xydy]dx [ xydy]dx
0 x
1 x2
显然这样计算比较麻烦.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在数学的广袤领域中，二重积分是一个重要的概念，它在许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法，对于我们解决诸如计算平面区域的面积、物体的质量、重心等问题具有关键意义。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是用来计算在一个平面区域上的函数的累积量。
简单来说，就是把这个区域划分成无数个小的部分，对每个小部分上的函数值乘以小部分的面积，然后把这些乘积加起来。
接下来，我们探讨几种常见的二重积分计算方法。
直角坐标系下的计算方法是基础且重要的。
当积分区域是一个矩形时，计算相对简单。
假设积分区域为＄D ＝＼｛（x,y) ｜ a ＼leq x ＼leq b, c ＼leq y ＼leq d\｝＄，被积函数为＄f(x,y)＄，则二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_c^d f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这意味着我们先对＄y$ 进行积分，把＄x$ 看作常数，得到一个关于＄x$ 的函数，然后再对＄x$ 进行积分。
如果积分区域不是矩形，而是由直线围成的一般区域，比如＄D ＝＼｛（x,y) ｜＼varphi_1(x) ＼leq y ＼leq ＼varphi_2(x)， a ＼leq x ＼leq b\｝＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这种情况下，我们先对＄y$ 积分，然后对＄x$ 积分。
极坐标系下的计算方法在处理具有圆形或扇形特征的积分区域时非常有用。
在极坐标系中，点的坐标表示为＄（r,＼theta)＄，其中＄r$ 表示点到原点的距离，＄＼theta$ 表示极角。
如果积分区域可以用极坐标表示为＄D ＝＼｛（r,＼theta) ｜＼alpha ＼leq ＼theta ＼leq ＼beta, ＼varphi(＼theta) ＼leq r ＼leq ＼psi(＼theta)＼｝＄，被积函数为＄f(x,y) ＝ f(r\cos\theta, r\sin\theta)＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta} ＼left(＼int_{＼varphi(＼theta)｝＾｛＼psi(＼theta)｝ f(r\cos\theta, r\sin\theta) r ＼，dr ＼right)d\theta＼这里需要注意的是，多了一个＄r$ ，这是因为在极坐标下，面积元素＄dx\，dy$ 要换成＄r\，dr\，d\theta$ 。
二重积分的计算法
rkrkk
d rd rd
2021/10/10
k
rk
rk
20
Df(x,y)dD f(rco ,srsin )rdrd
rd d
1. 极点在积分区域外
dr
d r
Dr2()
r2()
o
r1()o r1()
设 D: 1() r 2(),则 D f(rc o,rsi)n rdrd
d
1 2 ( ())f(rco,rs si)n rdr
（先对 x 积分，视 y 为常量， 对y 积分，视 x 为常量)
⑤、何时不得不将积分域D分块？ 穿入穿出不唯一。
2021/10/10
9
例 1 改 变 积 分 1 dx 1xf(x,y)d的 y次 序 . 00
解 积分区域如图
0 x1 Dx :0 x1x
0 y1 Dy :0 x1 y
y1x
原 式
2(y) f(x,y)dx
D
c
1(y)
2021/10/10
4
当被积函数 f(x,y)在D上变号时, 由于
f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)
2
2
f1(x,y)
f2(x,y)均非负
D f ( x ,y ) d x d y D f 1 ( x ,y ) d x d y
D f2(x,y)dxdy
0
0
0
2021/10/10
1 e y2 2
1 0
1 2
1
1 e
.
17
例8．求I= x y1 x 2 y 2 d x d y ,D :y x ,x 1 ,y 1 围 成 ；
D
y
二重积分的公式
二重积分的公式二重积分是数学分析中的一个重要概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
咱们先来说说二重积分的公式到底是啥。
简单来讲，二重积分的公式可以表示为：$\iint_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d}f(x,y) dy dx$ 。
这看起来有点复杂，别着急，咱们慢慢捋捋。
就拿我之前教过的一个学生的经历来说吧。
有一次上课，我给大家讲二重积分，这位同学一脸迷茫地看着我，就好像掉进了一个完全陌生的世界。
我就问他：“咋啦，哪儿不明白？”他皱着眉头说：“老师，这公式看起来太抽象了，根本搞不懂啊。
”我就跟他说：“别着急，咱们慢慢来。
”为了让大家更好地理解这个公式，咱们来想象一下。
假如有一块不规则的农田，我们想知道这块农田的总产量。
那怎么算呢？我们可以把这块农田划分成很多小方格，每个小方格的面积都很小。
然后我们去测量每个小方格的产量，再把所有小方格的产量加起来，这不就大概能得到整块农田的总产量了嘛。
这其实就和二重积分的原理有点像。
在二重积分的公式中，$f(x,y)$ 就好比是每个小方格的产量，而$d\sigma$ 就是小方格的面积。
我们通过对 $x$ 和 $y$ 的积分，就相当于把所有小方格的产量都加起来了。
再比如说，我们要计算一个平面区域上的质量分布。
假设这个平面区域是一块厚度不均匀的铁板，$f(x,y)$ 表示每一点的密度，那么通过二重积分，我们就能算出这块铁板的总质量。
咱们继续深入理解一下这个公式。
在计算二重积分的时候，积分的顺序是有讲究的。
有时候先对 $y$ 积分，有时候先对 $x$ 积分，这得根据具体的函数形式和积分区域来决定。
就像有一次做练习题，题目给了一个积分区域是由两条抛物线围成的。
很多同学一开始就选错了积分顺序，结果越算越乱。
这时候就得仔细观察这个区域的特点，选择合适的积分顺序，才能顺利地算出结果。
还有啊，在实际应用中，比如计算物体的重心、转动惯量等等，二重积分都能发挥大作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作业 P154-P157 1(1,4), 2(1,4), 6(2,4) 7, 10, 13(1,3), 14(2),15(3)，18
21
D
其中，D {(x, y) 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
:在极坐标系下xy
r r
cos sin
圆方程 r 1
直线方程 r
1
sin cos
x2 y2 1 x y1
区域 D： 0 ，
1
r 1.
2 sin cos
f (x, y) dxdy
2 d
1
0
4
0
4
令
R 时,
I1 4 ,
I2
4
,
即,
上式两端均趋于
4
.
( ex2 dx)2 , 故， ex2 dx
0
4
0
2
17
例3 计算 (x2 y2 )dxdy，其中，D由圆：x2 y2 2 y，x2 y2 4 y D
及直线：y 3x 0，x 3y 0所围成的平面闭区域.
解：x
3
y
0
1
6
y
3x
0
2
3
；
x2 y2 2 y r 2sin
x2 y2 4 y r 4sin
(x2 y2)dxdy
3 d
4sin r 2 rdr 15 (
3).
6
2 sin
4
D
18
例 4 计算 sin( x2 y2 ) dxdy，其中，D {(x, y) 1 x2 y2 4}.
积分时必须考虑次序
y
1
x
I dx e x dy
1 2
x2
1 x(e ex )dx 1 2
3e 1 e. 82
y x y x2
10
练习 I ( x2 y2 2xy 2) dxdy，
D
D : x2 y2 1，x 0，y 0.
D2 D1
解：I x y dxdy 2 dxdy
D
a
1 ( x)
y y 2(x) D
o a y 1(x)b x
X 型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于 两个交点.
3
y
(2)
D为Y
型区域：
1
(
y) c
x 2(y)
yd
d
x 2(y)
x 1(y) c
f (x, y)dxdy
d
dy
2 ( y) f (x, y)dx
D
( )
d 0 f (r cos , r sin )rdr.
o
r ( )
D
A
公式(3) 区域特征如图： 0 2，0 r ( ).
f (r cos, r sin )rdrd
D
2
( )
0 d 0 f (r cos , r sin )rdr.
r ( ) D
o
A
14
例1 写出积分 f (x, y)dxdy的极坐标下的二次积分形式，
1
dx
x (x2 y)dy
0
x2
D
1
[
x
2
(
x x2 ) 1 (x x4 )]dx
0
2
33 140
x y2 y x2
8
例5 求 x2e y2 dxdy，其中，D 是以为顶点(0, 0), (1,1), (0,1)
D
的三角形.
解： e y2 dy 无法用初等函数表示，
积分时必须考虑次序
1
f (r cos , r sin )rdr.
D
sin cos
15
例 2 计算 ex2 y2 dxdy，其中 D 是由中心在原点 , 半径为 a的圆周
D
所围成的闭区域，并用上述结果计算反常 积分 ex2 dx. 0
解 : D : 0 r a, 0 2.
ex2y2 dxdy
2
D
x2 y2
解：由对称性，可只考虑第一象限部分，
D 4D1
D1
注意：被积函数也需要有一定的奇偶性.
sin( x2 y2 )
D
dxdy x2 y2
sin( x2 y2 )
4
D1
dxdy x2 y2
4
2 d
2 sin r
rdr 4
0
1r
D1 :
0
2
,
1 r 2
19
例 5：改变坐标系
D1
S
D2
16
又 I ex2 y2 dxdy R ex2 dx R ey2 dy ( R ex2 dx)2;
0
0
0
S
I1
ex2 y2 dxdy
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd
R er2 rdr (1 eR2 );
D1
0
0
4
同理 ex2 y2 dxdy (1 e2R2 );
D2
4
(1 eR2 ) ( R ex2 dx)2 (1 e2R2 );
x2ey2 dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
0
0
D
e1 y2 y3 dy
0
3
e1 y2 y2 dy2 1 (1 2).
0
6
6e
9
1
例 6 计算积分 I 2 dy
yy
1
e x dx dy
yy
e x dx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解： e x dx 无法用初等函数表示，
D
D
x y dxdy (x y)dxdy (y x)dxdy
D
D1
D2
2
2 dy
1 y2
(x y)dx
2
2 dx
1x2 ( y x)dy 2 ( 2 1)
0
y
0
x
3
2
D
dxdy
2
4
2
故，I 2 ( 2 1)
3
2
11
二、利用极坐标计算二重积分
★ 对 f (x, y)d，讨论其极坐标下的形式：
1
1 x 2
(1) dx
f (x, y)dy
0
1x2
1
2
d
0
f (r cos, r sin )rdr
2
2
4xx2
4
4xx2
(2) I dx
f (x, y)dy dx
0
2xx2
2
0
f (x, y)dy
4cos
2 d f (r cos , r sin )rdr
0
2cos
20
D
令
x
y
r cos ，则 r sin
f
(x,
y)
f
(r cos, r sin ).
直角坐标系下 d dxdy，极坐标系下 d ?
d rdrd
f (x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd.
D
12
公式(1) 区域特征如图: ，1( ) r 2 ( ).
I dy f (x, y)dx
0
2y
y x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1D2
o
22 2 x
7
例 4 求 (x2 y)dxdy，其中，D 是由抛物线 y x2 和 x y2 D
所围平面闭区域.
解：两曲线的交点
y x2
x
y2
(0, 0)，(1,1).
(x2 y)dxdy
y2 x y 2x x2
6
例3 交换积分I
2
dx
x2
22
2 f (x, y)dy dx
8x2 f (x, y)dy 次序.
0
0
2
0
解：积分区域由两部分组成 :
D1
:
0
y
1 2
0x
x2 2
，D2
:
0
2
y
x
8 2
x2 2
将 D D1 D2 视为Y 型区域
2
8 y2
将 D看作X
型区域
:
1 1
yx x2
y yx 1
I
2
x
dx xy dy
1
1
2 1
1 2
xy 2
x
1
dx
0 1 2x
2
1
[
1 2
x3
1 2
x]dx
9 8
解法 2
将
D
看作Y
型区域
:
y 1
x y
2 2
I
2
2
dy xy dx
1
y
2 1
1 2
x
2
y
2 y
dy
2 1
2 y
1 2
d
0
a er2 rdr
0
(1 ea2 ).
D
设 D1 {( x, y) | x2 y2 R2}
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2}
S {(x, y) | 0 x R,0 y R}
D2
S
DSD1 2
显然有 D1 S D2 ex2 y2 0,
R 2R
ex2 y2 dxdy ex2 y2 dxdy ex2y2 dxdy.
b
f (x, y)d a A(x)dx D
b