【北师大版】八年级数学上册：7.5《三角形内角和定理》(1)ppt课件
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最新新北师大版八年级数学上7.5三角形内角和定理教学讲义ppt课件
∠A=1800 – (∠B+∠C).
∠B=1800 – (∠A+∠C).
∠C=1800 – (∠A+∠B).
∠A+∠B=1800－∠C.
∠B+∠C=1800－∠A.
B
∠A+∠C=1800－∠B.
A C
这里的结论,以后可以直接运用.
例1
如图，△ABC在中，∠B=38°，∠C=62°，AD是 △ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
• 肖邦 咏唱 一腔热血 • 忧虑 蜡烛 巴黎 路德维卡 • 悲愤欲绝 四处奔波 • 异国他乡 与世长辞 • 弥留之际 • 深渊
我会选
• 盛（chéng shèng )满 蜡烛（zhú zú)
• (永 咏）唱 （忧 优）虑 • 悲（愤 奋）欲绝 与世长（词辞）
弥（流 留）之际
• 悲痛欲绝(①死 ②绝对 ) • 与世长辞(①文辞，言辞 ②告别 )
请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则
P AQ
132
∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), B
C
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
小明的想法已经变为现实,由此你受到什 么启发?你有新的证法吗?
新北师大版八年级数学上 7.5三角形内角和定理
• 我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记
得这个结论的探索过程吗?
(1)如图,当时我们是
A
把∠A移到了∠1的位
1
置,∠B移到了∠2的位
置.如果不实际移动
∠A和∠B,那么你还有 其它方法可以达到同
北师大版数学八年级上册7.5《三角形的内角和》课件(共24张PPT)
学习目标
1.通过剪拼、折叠验证三角形的内角和等于1800 的性质； 2.会把三角形的三个内角和转化为一个平角 来证明三角形的内角和性质；
3.理解和掌握三角形的性质内角和；
4.能灵活应用三角形内角和定理进行简单的计算 和推理证明；
5.知道三角形按角分可分为锐角三角形，直角 三角形，钝角三角形.
复习
转化思想是数学中的常用方法.
方法拓展
你还可如何添加辅助线如何来说明三角形的三个 内角和等于180°？
A A
E
2 1
E
B
C
D A
B
C
F
B
E
D
C
11
知识应用
1.（口答）下列各组角是同一个三角形的内角
Hale Waihona Puke 吗？为什么？（1）3°， 150°， 27° 是 （2）60°， 40°， 90° 不是
（3）30°， 60°， 50° 不是
为什么？ （2）一个三角形中最多有 1 个直角？ 为什么？ （3）一个三角形中最多有 1 个钝角？ 为什么？
通过上面的交流可见三角形的三个角可能有几种 情况？
（1）三个角都是锐角的三角形， 叫锐角三角形
锐角三角形
（2）有一个角是直角的三角形 叫直角三角形
直角三角形
（3）有一个角是钝角的三角形 叫钝角三角形
两直线平行,内错角相等 ∠C=∠1（ 因为∠2+∠1+∠BAC=1800 B C
）
所以∠B+∠C+∠BAC=1800
小 结
1.在前面，为了解决问题的需要，在原来的图
形上添画的线叫做辅助线.
在图形中辅助线通常画成虚线.
2.转化思想
为了说明三个内角的和为1800,方法是 把三个内角转化为一个平角，这种
1.通过剪拼、折叠验证三角形的内角和等于1800 的性质； 2.会把三角形的三个内角和转化为一个平角 来证明三角形的内角和性质；
3.理解和掌握三角形的性质内角和；
4.能灵活应用三角形内角和定理进行简单的计算 和推理证明；
5.知道三角形按角分可分为锐角三角形，直角 三角形，钝角三角形.
复习
转化思想是数学中的常用方法.
方法拓展
你还可如何添加辅助线如何来说明三角形的三个 内角和等于180°？
A A
E
2 1
E
B
C
D A
B
C
F
B
E
D
C
11
知识应用
1.（口答）下列各组角是同一个三角形的内角
Hale Waihona Puke 吗？为什么？（1）3°， 150°， 27° 是 （2）60°， 40°， 90° 不是
（3）30°， 60°， 50° 不是
为什么？ （2）一个三角形中最多有 1 个直角？ 为什么？ （3）一个三角形中最多有 1 个钝角？ 为什么？
通过上面的交流可见三角形的三个角可能有几种 情况？
（1）三个角都是锐角的三角形， 叫锐角三角形
锐角三角形
（2）有一个角是直角的三角形 叫直角三角形
直角三角形
（3）有一个角是钝角的三角形 叫钝角三角形
两直线平行,内错角相等 ∠C=∠1（ 因为∠2+∠1+∠BAC=1800 B C
）
所以∠B+∠C+∠BAC=1800
小 结
1.在前面，为了解决问题的需要，在原来的图
形上添画的线叫做辅助线.
在图形中辅助线通常画成虚线.
2.转化思想
为了说明三个内角的和为1800,方法是 把三个内角转化为一个平角，这种
北师大八年级数学上册《7.5 三角形内角和定理》课件
练一练
已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A (a)求∠B的度数 (b)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
C D
A
B
今天的收获
证明三角形内角和定理的几种方法 辅助线的作法技巧 三角形内角和定理的简单应用
今天的作业
课本随堂练习；习题
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
D C
练一练
△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ ∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？ △ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？
2个直角呢？若有1个直角,另外两角有什么特点?
三角形的三个内角中，只能有__个直角或__个钝角 任意一个三角形，至少有__个锐角,至多有__个锐角 三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？
180°
证明:三角形三个内角的和等于180°
已知：如图,△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°
D
A
E
〖方法1〗证明：过A点作DE∥BC
新北师大版八年级数学上册《三角形内角和定理》课件
北师大版八年级上§7.5
三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°
已知：如图，∠A, ∠B ,∠C是△ABC的三个内角.
求证：∠A + ∠B +∠C = 180°
B A E
C
证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA， 则 ∠ACE =∠A(两直线平行，内错角相等)， ∠ECD =∠B(两直线平行，同位角相等) ∵∠ACE +∠ECD +∠ACB =180°(平角定义) ∴∠A + ∠B +∠ACB = 180°(等量代换)
————
；
2、在△ABC中，∠A=105°，∠B - ∠C=15°，
，∠C=
————
A D E C
3、已知:如图在△ABC中 DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70° B 则∠ADE= .
4、已知:如图在△ABC中， ∠B=38°, ∠C=62°. AD是△ABC的角平分线， 求∠ADB的度数.
(1)求∠BAC
(2)求∠BAD (3)求∠ADB
A
B
D
C
（三角形内角和定理）
（角平分线定义） （三角形内角和定理）
1、三角形内角和定理的不同证明方法；
2、巧做辅助线进行角的转换；
3、三角形内角和定理的应用。
巧做辅助线
A E C
E A
F A
E C
B
D
B
C
B
D
A S Q B M P R T C M N Q
S P
N
A R
E
1 2 B D
A 3
F 4 C
B T
C
……
1、课本习题4.1 2、学案
1、2、3
三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°
已知：如图，∠A, ∠B ,∠C是△ABC的三个内角.
求证：∠A + ∠B +∠C = 180°
B A E
C
证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA， 则 ∠ACE =∠A(两直线平行，内错角相等)， ∠ECD =∠B(两直线平行，同位角相等) ∵∠ACE +∠ECD +∠ACB =180°(平角定义) ∴∠A + ∠B +∠ACB = 180°(等量代换)
————
；
2、在△ABC中，∠A=105°，∠B - ∠C=15°，
，∠C=
————
A D E C
3、已知:如图在△ABC中 DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70° B 则∠ADE= .
4、已知:如图在△ABC中， ∠B=38°, ∠C=62°. AD是△ABC的角平分线， 求∠ADB的度数.
(1)求∠BAC
(2)求∠BAD (3)求∠ADB
A
B
D
C
（三角形内角和定理）
（角平分线定义） （三角形内角和定理）
1、三角形内角和定理的不同证明方法；
2、巧做辅助线进行角的转换；
3、三角形内角和定理的应用。
巧做辅助线
A E C
E A
F A
E C
B
D
B
C
B
D
A S Q B M P R T C M N Q
S P
N
A R
E
1 2 B D
A 3
F 4 C
B T
C
……
1、课本习题4.1 2、学案
1、2、3
《三角形的内角和定理(第1课时)》PPT课件 北师大版八年级数学
为180°呢?
还可以用拼接 的方法，你知 道怎样操作吗？
折叠
探究新知
剪拼
A
1 2
B C
（小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表 演式剪拼过程）
探究新知
三角形的内角和定理的证明 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
还有其他的拼接 方法吗？ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说 明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
巩固练习 解：因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向, 所以∠ABD＝60°. 又因为∠DBE＝90°， 所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°. 因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， 所以∠ACE＝90°－40°＝50°. 所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 ____直__角___三角形 ；
③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则∠A= 60°， ∠ B= 50°，∠ C= 70°.
探究新知
素养考点 3 利用三角形的内角和定理解决实际问题
例3 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A
∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE. ∴∠CED=∠B=78°. 又∵∠C=60°, ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C） =180°-（78°+60°） =42°．
课堂小结 通过本课时的学习，需要我们掌握：
辅助线
三角形的 内角和等 于180 °
5三角形内角和定理(第1课时)PPT课件(北师大版)
证法1:
过点A作DE∥BC. ∵DE∥BC, ∴∠1=∠B,∠2=∠C
D
A
E
12
3
(两直线平行,内错角相等).
∵∠1+∠2+∠3=180° B (平角的定义),
C
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
(等量代换).
证法2：
过点A作AD∥BC.
∵AD∥BC，∴∠1=∠B(两直线平行，内错角相
等)，∠DAC+∠C=180°(两直线平行，同旁内角
4.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5， 求∠A，∠B，∠C的度数。
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为 x，3x，5x， 则x+3x+5x=180°， 解得x=20°， ∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.
明字母，便于书写证明过程； (3)辅助线小画能小虚把辅线题助 ，目线 写中， 清可作 其利时 来用的隐藏条件显 露出来，化源难，为隐易藏。条件见
知识探究
怎样添加辅助线？
例题讲授
如 图 所 示 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ B=38° ， ∠ C=62°， AD 是 △ ABC 的 角 平 分 线 ， 求 ∠ADB的度数.
∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.
课堂小结
证明的基本思想
运用辅助线将原三角形中处于不同位置的 三个内角集中在一起，拼成一个平角。辅 助线是联系命题的条件和结论的桥梁.
检测反馈
1.三角形三个内角的和等于 180 .
° 2.如下图所示的是三角形内角和定理的几种证 明方法，可分别记作 拼凑 法，作平行线 法，折叠
三角形内角和定理北师大版八年级数学上册PPT教学课件
证明:作BC的延长线CD,过点C
方 作CE∥AB,则
A
法 ∠1=∠A 一 (两直线平行,内错角相等), B
12
C
E D
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换). 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,利用逆向思考 的方法,把问题转化为一个平角,同旁内角互 补,或者两个直角之和,或者其它方法.这种转 化思想是数学中的常用方法.
点拨（3分钟）
你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？
添加辅助线思路：1、构造平角
A
E
A
F
F
E
2、构造同旁内角
A
S
Q
P
N R
B
CB
D
7.5.1三角形内角和定理-北师大版八 年级数 学上册 课件
第七章
平行线的证明
学习目标
1. 掌握三角形内角和定理的证明
2.能运用三角形内角和定理解决问题。
7.5.1三角形内角和定理-北师大版八 年级数 学上册 课件
我们知道三角形的内角和等于180°。你还记得这个结 论的探索过程吗？
（1）如图，如果我们把∠A移到∠1的位置，你能说明这 个结论吗？如果不移到∠A，那么你还有什么方法可以达 到同样的效果？
3
3
3点O是ABC与ACB的n等分线的交点，
OBC OCB 80 ,BOC 180 80
n
n
当BOC 170时，是八等分线的绞线所成的角
7.5.1三角形内角和定理-北师大版八 年级数 学上册 课件
北师大版数学八年级上册《7.5 三角形内角和定理(1)》优课件
已知：如图，四边形ABCD。
D
求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360° 。
C
证明：连接AC ∵∠BAC+∠B+
∠ACB=180A°
B
(三角形三个内角和等于180°)
且∠DAC+∠D+ ∠ACD=180°
(三角形三个内角和等于180°) ∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D =360°
(等式性质)
新知归纳
且∠C=90° (已知)
角和等于180°)
∴∠A+∠B+ 90°=180° (等量代换)
∴∠A+∠B=90° (等式性质)
巩固练习
3、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为D。求证：∠A=∠DCB。
合作交流
ⅱ、正三角形的三一个内角都是相多等少，度并？且证都明等你于的结
证明：过点A作PQ∥BC。B
C
∴∠C=∠1 (两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) ∵∠1+∠2+ ∠CAB=180° (平角的定义) ∴∠A+∠B +∠CAB=180° (等量代换)
新知探究
Ⅲ、你还有其他方法证明三角形内角和定理吗？
已知：如图，△ABC。
A
D
求证：∠A+∠B +∠C=180° 。
3、定理： (1)直角三角形的两锐角互余； (2)正三角形的三个内角都相等，且都等于60°； (3)四边形的内角和等于360°。
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月4日星期一2022/4/42022/4/42022/4/4 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/42022/4/42022/4/44/4/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/42022/4/4April 4, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
北师大版八年级数学上册《7.5 三角形内角和定理》课件
F A
1
B 2 3C E
D
想一想
已知：D是直线AB上一点，E是直线AC上一点， 直线BE与直线CD相交于F，∠A=62°,若 ∠ACD=35°,∠ABE=20°.
求： （1）∠BDC度数； （2）∠BFD度数．
C
F E
D
A
B
练一练
已知：如图,在三角形ABC中,AD平分外角∠EAC, ∠B=∠C.
第七章 平行线的证明 学科网
5. 三角形内角和定理（第2课时）
教学目标：
灵活运用三角形的外角和两条性质解决 相关问题。
教学重点：
三角形外角和定理。
教学难点：
三角形外角和定理的应用，推论。
三角形的外角
定义： 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角， 叫做三角形的外角。
特征：
(1) 顶点在三角形的一个顶点上． (2) 一条边是三角形的一边． (3) 另一条边是三角形某条边的延长线．
证明：∵ ∠1 +∠BAF=180°(1平角= 180°) ∠2 +∠CBD=180° ∠3 +∠ACE=180°
又∵ ∠1+ ∠2 + ∠3= 180° (三角形内角和定理)
∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 +∠BAF +∠CBD +∠ACE=3× 180° ∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE=540 ° - 180°= 360°
求证：AD∥BC
E
A
D
B
C
练一练
已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角， E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE.
求证：∠1>∠2
D
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解：∠A＝36°，∠B＝72°，∠C＝72°
10．(8分)如图，B处在A处南偏西45°方向，C处在A处南偏东15°
方向，C处在B处北偏东80°方向，求∠ACB的度数．
解：∠ACB＝85°
11．关于三角形内角的叙述错误的是( A．三角形三个内角的和是180° B．三角形两个内角的和一定大于60° C．三角形中至少有一个角不小于60°
∠D＝∠DCE，所以∠ACB＋∠DCE＝90°，所以∠ACD＝90°，所
以AC⊥CD
21．(12分)如图所示，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板
的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C. (1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？ (2)若改变三角板的位置 ，但仍使点B，点C在三角板的边XY和边XZ上， 此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由． 解：(1)60° (2) 不改变． ∵∠ A ＝ 30° ， ∴∠ ABC ＋ ∠ ACB
＝ 180° － 30° ＝ 150° ， ∵ ∠ BXC ＝ 90° ，
∴∠ XBC ＋ ∠ XCB ＝ 90° ， ∴∠ ABX ＋ ∠ ACX ＝60°，∴不改变
A．50°
4．(3分)(2014· 邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°， AD 平分∠ BAC ， 交 BC 于点 D ， DE∥AB ， 交 AC 于点 E ， 则∠ ADE 的
大小是(
C
)
B．54° C．40° D．50°
A．45°
5．(3分)如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C， 则∠1＋∠2等于( A．360° B ) B．250° C．180° D．140°
15．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝_________ 360° ． 16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝
158°，则∠EDF＝________ ． 68°
17 ． 直 角 三 角 形 两 锐 角 角 平 分 线 相 交 所 成 的 角 的 度 数 是 45°或135° __________________ ．
形是(
C
)
B．锐角三角形 D．等边三角形
A．直角三角形 C．钝角三角形
2 ．(3 分)已知△ABC的三个内角满足关系式∠B＋∠C＝∠A，则此 三角形(
C
)
A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60° C．一定是直角三角形
D．一定是钝角三角形
3 ． (3 分 )△ABC 中 ， ∠ A －∠ B ＝ 35° ， ∠ C ＝ 55° ， 则∠ B 等于 ( C ) B．55° C．45° D．40°
B
)
D．一个三角形中最大的角所对的边最长
12 ． 如图 ， 点 O 是△ ABC 内一点 ， ∠ A ＝ 80° ， ∠ 1 ＝ 15° ， ∠ 2 ＝
40°，则∠BOC等于( A．95° C．135° 13．如图，∠α＝________ ． 10° 14 ． 如 图 ， 直 线 a∥b ， 则 ∠ A ＝ _______ 20° ， 若 作 BH⊥AC 于 H ， 则 ∠ABH＝________ 70° ． C ) B．120° D．无法确定
7．5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理
1．定理：三角形的内角和等于__________ 180° ． △ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180° 2 ． 表达式： _______________________________ ． ( 三角形内角和
定理)
1．(3分)若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶4，那么这个三角
AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．
解：18°
20 ． (8 分 ) 如图 ， 已知 AB∥DE ， 点 C 是 BE 上的一点 ， ∠ A ＝∠ BCA ， ∠D＝∠DCE.求证：AC⊥CD.
证明：因为AB∥DE，所以∠B＋∠E＝180°.因为△ABC与△CED的
内角和都是 180° ， 所以 ∠ A ＋ ∠ ACB ＋ ∠ B ＋ ∠ DCE ＋ ∠ D ＋ ∠ E ＝ 360°. 所以 ∠ A ＋ ∠ ACB ＋ ∠ DCE ＋ ∠ D ＝ 180°. 因为 ∠ A ＝ ∠ BCA ，
8．(3 分)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好 放在等腰直角三角板的斜边 AB 上，BC 与 DE 交于点 M.如果∠ADF
85 度． ＝100°，那么∠BMD 为______
1 1 9．(8 分)在△ABC 中，如果∠A＝2∠B＝2∠C，求∠A，∠B， ∠C 分别等于多少度．
第15题图
第16题图
18 ． 在△ ABC 中 ， BC 边不动 ， 点 A 竖直向上运动 ， ∠ A 越来越小 ， ∠B，∠C越来越大．若∠A减小α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α， β，γ三者之间的等量关系是________________ ． α＝β＋ γ 19．(8分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝66°，AE⊥BC于E，
6．(3分)三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角 40° 大20°，则此三角形的最小角等于________. 7 ． (3 分 ) 如图所示 ， 在△ ABC 中 ， ∠ BAC ＝ 90° ， AD⊥BC 于点 D ， 则∠B＝∠________ ，∠C＝∠________ ． CAD BAD