从化三中2016届高三毕业班10月段考理科数学试题(含答案)

从化三中2016届高三毕业班10月段考试题——理科数学第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知 (1+i )z=2i ，则复数z=（ ）A.1+iB.1−iC.−1+iD.−1−i 2、已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为，则M N ⋂=（ ） A ．{x |x>-1} B ．{x|x ＜1} C ．{x|-1＜x ＜1} D ．∅3、设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===．若λ为实数,()//,a b c λλ+=则（ ） A ．14 B.12C.1D. 2 5、下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -=6、设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（7、若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为（ ）A ．531B. 6C. 523D. 48、已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）A 、16B 、24C 、32D 、48CD9、执行如右图所示程序框图， 则输出a =（ ）A 、20B 、14C 、10D 、710、已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ）A .72 B .52.3 .2 11、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=．当01x ≤≤时，2()f x x =．若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ． 0或12-C ． 14-或12-D ． 0或14- 12、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++= （ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、=-+-1)21(2lg 225lg. 14、已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线方程为 ．15、曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .16、已知函数(1)34,0,(),0,x a x a x f x a x -+-≤⎧=⎨ >⎩对于任意的12,R x x ∈，都满足条件211221()()0()f x f x x x x x ->≠-成立，则a 的取值范围是 .DC 1A 1B 1CBA三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分） 已知c b a ,,分别是C B A ABC ,,的角∆所对的边，且3,2π==C c 。

（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,； （Ⅱ）若的值。

求A A A B C ,2sin 2)sin(sin =-+18、（本小题满分12分）某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为(]490,495，(]495,500，(]500,505，(]505,510，(]510,515）（I ）若从这40件产品中任取两件，设X 为重量超过505克的产品数量，求随机变量X 的分布列；（II ）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率。

19、（本小题满分12分）如图5，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点,12A A AB ==.（Ⅰ）求证：1//AB 平面1BC D ；（Ⅱ）若四棱锥11-B AAC D 的体积为3,求二面角1--C BC D 的正切值. 20、（本小题满分12分）设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e =22,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的取值范围.21、（本小题满分12分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x在区间(上仅有一个零点．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22、选修4-1：几何证明选讲如图，已知点C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，过C 的直线交AB 的延长线于E ，交过点A 的圆O 的切线于点D ，//BC OD ，2AD AB ==. （Ⅰ）求证：直线DC 是圆O 的切线； （Ⅱ）求线段EB 的长.23、选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（其中θ为参数），点M 是曲线1C 上的动点，点P 在曲线2C 上，且满足2OP OM = .（Ⅰ）求曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线3πθ=与曲线1C 、2C 分别交于A 、B 两点，求AB .24、选修4-5：不等式选讲已知函数()R a a x x x f ∈-+-=,12。

（Ⅰ）当3=a 时，解不等式()4≤x f ； （Ⅱ）若()a x x f +-=1，求x 的取值范围。

从化三中2016届高三毕业班10月段考理科数学参考答案一、 单项选择题（每小题5分，共60分） 二、填空题（每空5分，共20分）13、___________-1_____________ 14、________2x-y-1=0___________15、____________16___________ 16、___________513a <≤___________ 三、解答题（共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）3,2π==C c ，由余弦定理得ab b a ab b a -+=-+=22223cos24π。

ABC ∆ 的面积等于3，4,3sin 21=∴=∴ab C ab 。

4分联立⎩⎨⎧==-+4422ab ab b a 解得2,2==b a 。

6分（Ⅱ）(),cos sin 4)sin(sin ,2sin 2)sin(sin A A A B A B A A B C =-++∴=-+A A AB cos sin 2cos sin =∴。

8分①当20cos π==A A 时，则。

9分②当,sin 2sin 0cos A B A =≠时，由正弦定理得a b 2=， 联立334,3322422==⎩⎨⎧==-+b a ab ab b a 解得， 6,3,222ππ=∴=+=∴A C c a b ,综上所述，62ππ==A A 或。

12分18、（本小题满分12分）解：（I ）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为()0.010.0554012+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦ 2分GFEODC 1A 1B 1CBA由题意得随机变量X 的所有可能取值为 0,1,2 3分()228240630130C P X C ===，()11281224028165C C P X C ===，()212240112130C P X C === 6分∴随机变量X 的分布列为8分（II ）由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3设Y 为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则()5,0.3Y B 10分故所求概率为()223520.30.70.3087P Y C ==⨯⨯= 12分19、（本小题满分12分）（1）证明: 连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线,∴ 1//OD AB . …… 2分 ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . …… 4分 (2)解: 依题意知，12AB BB ==，∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC CAC =. 作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ……6分 设BC a =，在Rt △ABC中，AC =AB BC BE AC ==， ∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+126=a =. …… 7分依题意得，3a =，即3BC =. …… 8分 (以下求二面角1--C BC D 的正切值提供两种解法)解法1:∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点F ，连接DF ，则DF //AB ,且112DF AB ==. ∴DF ⊥平面11BB C C .作1FG BC ⊥，垂足为G ，连接DG ， 由于1DF BC ⊥，且DF FG F = ， ∴1BC ⊥平面DFG . ∵DG ⊂平面DFG , ∴1BC ⊥DG .∴DGF ∠为二面角1--C BC D 的平面角. …… 10分 由Rt △BGF ～Rt △1BCC ,得11GF BFCC BC =,得1132BF CC GF BC ⨯=== 在Rt △DFG 中, tan DF DGF GF ∠==∴二面角1--C BC D. …… 12分 解法2: ∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .以点1B 为坐标原点,分别以11B C ,1B B ,11B A 所在直线为x 轴, y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系1B xyz -.则()0,2,0B ,()13,0,0C ,()0,2,2A ,3,2,12D ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴()13,2,0BC =- ,3,0,12BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面1BC D 的法向量为n (),,x y z =,由n 10BC = 及n 0BD = ,得320,30.2x y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令2x =,得3,3y z ==-.故平面1BC D 的一个法向量为n ()2,3,3=-, …… 9分又平面1BC C 的一个法向量为()0,0,2AB =-,∴cos 〈n ,AB 〉= ⋅n AB n AB200323⨯+⨯+-⨯-==…… 10分 ∴sin 〈n ,AB 〉==. ∴tan 〈n ,AB 〉=3.∴二面角1--C BC D. …… 12分 20、（本小题满分12分）解:(1)依题意知,24, 2.a a =∴= …… 2分 ∵22==a c e , ∴2,222=-==c a b c . …… 3分∴所求椭圆C 的方程为12422=+y x . …… 5分 （2）∵ 点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ，∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=+-=⨯--.222,1210101010x x y y x x y y ……7分解得：001435y x x -=，001345y x y +=. ……8分 ∴011543x y x -=-. ……9分∵ 点P ()00,y x 在椭圆C :12422=+y x 上, ∴220≤≤-x , 则105100≤-≤-x .∴1143y x -的取值范围为[]10,10-. ……12分21、（本小题满分12分）所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞； ……4分()f x 在x =(1ln )2k k f -=. ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.答案：（1）证明：连接OC ， AD 是圆O 的切线，90DAO ∴∠= //,,BC OD AOD OBC DOC BCO ∴∠=∠∠=∠,OB OC OBC BCO =∴∠=∠ ,AOD DOC ∴∠=∠,又,,OA OC OD OD OCD OAD ==∴≅ ,90,DCO DAO OC DC ∴∠=∠=∴⊥ ,∴直线DC 是圆O 的切线；（2）设,//,,EB EC EB x BC OD BO CD=∴= DC 是圆O 的切线，2,DC DA ∴==11,22BO AB EC x ==∴= ， 由（1）得，直线EC 是圆O 的切线，2EC EB EA ∴=⋅，()2242,3x x x EB x ∴=+∴==. 23、（本小题满分10分） 答案：（1）设()()''''2,,,,,2,2,x x P x y M x y OP OM y y ⎧=⎪=∴⎨=⎪⎩ 点M 在曲线1C上，()'2''2'1,13,x x y y θθ⎧=+⎪∴∴-+=⎨=⎪⎩， 曲线2C 的普通方程为()22212x y -+=； （2）曲线1C 的极坐标方程为22cos 20,ρρθ--= 将3πθ=代入得2ρ=，∴A 的极坐标为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 曲线2C 的极坐标方程为24cos 80,ρρθ--= 将3πθ=代入得4ρ=，∴B 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 422AB ∴=-=.解（Ⅰ）当3=a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-<<+≥-=-+-=,21,34,321,2,3,43312x x x x x x x x x f 2分 其图像如图所示，与直线4=y 相交于点()(),424,0，和B A 4分 ∴不等式()4≤x f 的解集为{}20≤≤x x ， 5分 （Ⅱ）()()(),11212a x a x x a x x x f +-=---≥-+-=()()(),0121≤--⇔+-=∴a x x a x x f 7分 ①当;2121⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤<x a x x a 的取值范围是时， ②当;2121⎭⎬⎫⎩⎨⎧=的取值范围是时，x a ③当.2121⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤>a x x x a 的取值范围是时， 10分。